数 学 试 卷（一）
*考试时间120分钟 试卷满分150分
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，将正确答案的序号填在题后的括号内，每小题3分，共24分） 1．|65-|＝（ ）
A ．65+
B ．65-
C ．－65-
D ．56- 2．如果一个四边形ABCD 是中心对称图形，那么这个四边形一定是（ ） A ．等腰梯形 B ．矩形 C ．菱形 D ．平行四边形 3． 下面四个数中，最大的是（ ）
A ．35-
B ．sin88°
C ．tan46°
D ．
2
1
5- 4．如图，一个小圆沿着一个五边形的边滚动，如果五边形的各边长都和小圆的周长相等，那么当小圆滚动到原来位置时，小圆自身滚动的圈数是（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．10 5．二次函数ｙ＝（2ｘ－1）2
＋2的顶点的坐标是（ ） A ．（1，2） B ．（1，－2） C ．（
21，2） D ．（－2
1
，－2）
6．足球比赛中，胜一场可以积3分，平一场可以积1分，负一场得0分，
某足球队最后的积分是17分，他获胜的场次最多是（ ） A ．3场 B ．4场 C ．5场 D ．6场 7． 如图，四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点E ，如果△CDE 的
面积为3，△BCE 的面积为4，△AED 的面积为6，那么△ABE 的面积为
（ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10
8． 如图，△ABC 内接于⊙O，AD 为⊙O 的直径，交BC 于点E ，
若DE ＝2，OE ＝3，则tanC·tanB ＝ （ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5 二、填空题（每小题3分，共24分）
9．写出一条经过第一、二、四象限，且过点(1-，3)的直线解析式 . 10．一元二次方程ｘ2
＝5ｘ的解为 ．
11． 凯恩数据是按照某一规律排列的一组数据，它的前五个数是：26
9
,177,21,53,31，按照
这样的规律，这个数列的第8项应该是 ． 12．一个四边形中，它的最大的内角不能小于 ． 13．二次函数x x y 22
12
+-=，当x 时，0 14． 如图，△ABC 中，BD 和CE 是两条高，如果∠A ＝45°，则BC DE ＝ ． 15．如图，已知A 、B 、C 、D 、E 均在⊙O 上，且AC 为 ⊙O 的直径，则∠A ＋∠B ＋∠C ＝__________度． 16．如图，矩形ABCD 的长AB ＝6cm ，宽AD ＝3cm. O 是AB 的中点，OP ⊥AB ，两半圆的直径分别为AO 与OB ．抛物线ｙ＝ａｘ2 经过C 、D 两点，则图中阴影部分 的面积是 cm 2. 三、（第17小题6分，第18、19小题各8分，第20小题10分，共32分） 17．计算：01 )32009(22 1 245cos 4) 2 1(8--?÷-?-+- 18．计算：2211 1211x x x x ??-+÷ ?-+-?? 19．已知：如图，梯形ABCD 中，A B ∥CD ，E 是BC 的中点，直线AE 交DC 的延长线于 点F ． （1）求证：△ABE ≌△FCE ； （2）若BC ⊥AB ，且BC ＝16，AB ＝17，求AF 的长． C A 20．观察下面方程的解法 ｘ4－13ｘ2＋36＝0 解：原方程可化为（ｘ2－4）（ｘ2－9）＝0 ∴（ｘ＋2）（ｘ－2）（ｘ＋3）（ｘ－3）＝0 ∴ｘ＋2＝0或ｘ－2＝0或ｘ＋3＝0或ｘ－3＝0 ∴ｘ 1＝2，ｘ 2 ＝－2，ｘ 3 ＝3，ｘ 4 ＝－3 你能否求出方程ｘ2－3｜ｘ｜＋2＝0的解？ 四、（每小题10分，共20分） 21．（１）顺次连接菱形的四条边的中点，得到的四边形是．（２）顺次连接矩形的四条边的中点，得到的四边形是． （３）顺次连接正方形的四条边的中点，得到的四边形是． （４）小青说：顺次连接一个四边形的各边的中点，得到的一个四边形如果是正方形，那么原来的四边形一定是正方形，这句话对吗？请说明理由． 22．下面的表格是李刚同学一学期数学成绩的记录，根据表格提供的信息回答下面的问题 （１）李刚同学6次成绩的极差是． （２）李刚同学6次成绩的中位数是． （３）李刚同学平时成绩的平均数是． （４）如果用右图的权重给李刚打分，他应该得多少分？ （满分100分，写出解题过程） 23．（本题12分）某射击运动员在一次比赛中，前6次射击已经得到52环，该项目的记录是89环（10次射击，每次射击环数只取1~10中的正整数）. （1）如果他要打破记录，第7次射击不能少于多少环？ （2）如果他第7次射击成绩为8环，那么最后3次射击中要有几次命中10环才能打破记录？ （3）如果他第7次射击成绩为10环，那么最后3次射击中是否必须至少有一次命中10环才有可能打破记录？ 24．（本题12分）甲、乙两条轮船同时从港口A出发，甲轮船以每小时30海里的速度沿着北偏东60°的方向航行，乙轮船以每小时15海里的速度沿着正东方向行进，1小时后，甲船接到命令要与乙船会和，于是甲船改变了行进的速度，沿着东南方向航行，结果在小岛C 处与乙船相遇．假设乙船的速度和航向保持不变，求： （１）港口A与小岛C之间的距离 （２）甲轮船后来的速度． 25．（本题12分）如图，在平面直角坐标系内，已知点A （0，6）、点B （8，0），动点P 从点A 开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动，同时动点Q 从点B 开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动,设点P 、Q 移动的时间为t 秒． (1) 求直线AB 的解析式； (2) 当t 为何值时，△APQ 与△AOB 相似？ (3) 当t 为何值时，△APQ 的面积为524 个平方单位？ 26．（本题14分）如图，直线y= -x+3与x轴，y轴分别相交于点B、C，经过B、C两点的抛物线与x轴的另一交点为A，顶点为P，且 对称轴为直线x=2． （1）求A点的坐标； （2）求该抛物线的函数表达式； （3）连结AC．请问在x轴上是否存在点Q，使得以点P、 B、Q为顶点的三角形与△ABC 相似，若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 2009年中考模拟题 数学试题参考答案及评分标准 一、选择题（每小题3分，共24分） 1．Ｄ； 2．D ； 3．C ；4．Ｃ；5．Ｃ； 6．C ；7．Ｂ；8．C ． 二、填空题（每小题3分，共24分） 9．ｙ＝－ｘ＋2等； 10．ｘ1＝0，ｘ2＝5； 11．133； 12．90°； 13．227； 14．2 1 15．90；16． π4 9 三、（第17小题6分，第18、19小题各8分，第20小题10分，共32分） 17．解：原式＝2222 2 4222??-? -+ －1 ． ．．．．．．．．．．．．．．4分 ＝822222--+ －1 ＝－7 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 18．计算：22111211 x x x x ??-+÷ ?-+-?? 解：原式＝)1(]) 1() 1)(1(1[2 -?--++ x x x x ）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 x x x x x x 211)1(]11 1[=++-=-?-++ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 19．（１）证明： ∵E 为BC 的中点 ∴BE ＝CE ∵AB ∥CD ∴∠BAE ＝∠F ∠B ＝∠FCE ∴△ABE ≌△FCE ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 解：由（１）可得：△ABE≌△FCE ∴CE＝AB＝15，CE＝BE＝8，AE＝EF ∵∠B＝∠BCF＝90° 根据勾股定理得AE＝17 ∴AF＝34．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 20．解：原方程可化为 ｜ｘ｜2－3｜ｘ｜＋2＝0．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 ∴（｜ｘ｜－1）（｜ｘ｜－2）＝0 ∴｜ｘ｜＝1或｜ｘ｜＝2 ∴ｘ＝1，ｘ＝－1，ｘ＝2，ｘ＝－2 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分四．（每小题10分，共20分） 21． 解：（１）矩形；（２）菱形，（３）正方形．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（４）小青说的不正确 如图，四边形ABCD中AC⊥BD，AC＝BD，BO≠DO，E、F、G、H 分别为AD、AB、BC、CD的中点 显然四边形ABCD不是正方形 但我们可以证明四边形ABCD是正方形（证明略） 所以，小青的说法是错误的．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 22． 解：（１）10分．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 （２）90分．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （３）89分．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （４）89×10％＋90×30％＋96×60％＝93.5 李刚的总评分应该是93.5分．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 23．小强和小亮的说法是错误的，小明的说法是正确的．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分不妨设小明首先抽签， 由树状图可知，共出现6种等可能的结果，其中小明、小亮、小强抽到A 签的情况都有 两种，概率为 3 1 ，同样，无论谁先抽签，他们三人抽到A 签的概率都是3 1 ． 所以，小明的说法是正确的．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 24．解：（１）作BD ⊥AC 于点D 由题意可知：AB ＝30×1＝30，∠BAC ＝30°，∠BCA ＝45° 在Rt △ABD 中 ∵AB ＝30，∠BAC ＝30° ∴BD ＝15，AD ＝ABcos30°＝153 在Rt △BCD 中， ∵BD ＝15，∠BCD ＝45° ∴CD ＝15，BC ＝152 ∴AC ＝AD ＋CD ＝153＋15 即A 、C 间的距离为（153＋15）海里．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （２） ∵AC ＝153＋15 轮船乙从A 到C 的时间为 15 15 315 ＝3＋1 由B 到C 的时间为3＋1－1＝3 ∵BC ＝152 ∴轮船甲从B 到C 的速度为 3 215＝56（海里／小时） 答：轮船甲从B到C的速度为56海里／小时．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分七、 25．解：（１）老师说，三个同学中，只有一个同学的三句话都是错的，所以丙的第一句话和老师的话相矛盾，因此丙的第一句话是错的，同时也说明甲、乙两人中有一个人是全对的；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 （２）如果丙的第二句话是正确的，那么根据抛物线的对称性可知，此抛物线的对称轴是直线ｘ＝2，这样甲的第一句和乙的第一句就都错了，这样又和（１）中的判断相矛盾，所以乙的第二句话也是错的；根据老师的意见，丙的第三句也就是错的．也就是说，这条抛物线一定过点（－1，0）；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （３）由甲乙的第一句话可以断定，抛物线的对称轴是直线ｘ＝1，抛物线经过（－1，0），那么抛物线与ｘ轴的两个交点间的距离为4，所以乙的第三句话是错的； 由上面的判断可知，此抛物线的顶点为（1，－8），且经过点（－1，0） 设抛物线的解析式为：ｙ＝ａ（ｘ－1）2－8 ∵抛物线过点（－1，0） ∴0＝ａ（－1－1）2－8 解得：ａ＝2 ∴抛物线的解析式为ｙ＝2（ｘ－1）2－8 即：ｙ＝2ｘ2－4ｘ－6．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 八、（本题14分） 26．【探究】证明：过点F作GH∥AD，交AB于H，交DC的延长线于点G ∵AH∥EF∥DG，AD∥GH ∴四边形AHFE和四边形DEFG都是平行四边形 ∴FH＝AE，FG＝DE ∵AE＝DE ∴FG＝FH ∵AB∥DG ∴∠G＝∠FHB，∠GCF＝∠B ∴△CFG≌△BFH ∴FC＝FB．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 【知识应用】过点C作CM⊥ｘ轴于点M，过点A作AN⊥ｘ轴于点N，过点B作BP⊥ｘ轴于点P 则点P的坐标为（ｘ 2，0），点N的坐标为（ｘ 1 ，0） 由探究的结论可知，MN＝MP ∴点M的坐标为（ 22 1x x+ ，0） ∴点C的横坐标为 22 1x x+ 同理可求点C的纵坐标为 22 1y y+ ∴点C的坐标为（ 22 1x x+ ， 22 1y y+ ）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 【知识拓展】 当AB是平行四边形一条边，且点C在ｘ轴的正半轴时，AD与BC互相平分，设点C的坐标为（ａ，0），点D的坐标为（0，ｙ） 由上面的结论可知：－6＋ａ＝4＋0，－1＋0＝5＋ｂ ∴ａ＝10，ｂ＝－6 ∴此时点C的坐标为（10，0），点D的坐标为（0，－6） 同理，当AB是平行四边形一条边，且点C在ｘ轴的负半轴时 求得点C的坐标为（－10，0），点D的坐标为（0，6） 当AB是对角线时 点C的坐标为（－2，0），点D的坐标为（0，4）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分
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