高二数学（文）期末复习题《导数及其应用》
一、选择题 1.
0()0f x '=是函数()f x 在点0x 处取极值的: (
)
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件 2、设曲线
21y x =+在点))(,(x f x 处的切线的斜率为()g x ，则函数()cos y g x x =的部分图象可以为(
)
A. B. C. D.
3．在曲线y ＝x 2
上切线的倾斜角为
π
4
的点是( ) A ．(0,0)
B ．(2,4) C.???
?14，1
16
D.???
?12，14 4.若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b)处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( )
A ．a ＝1，b ＝1
B ．a ＝－1，b ＝1
C ．a ＝1，b ＝－1
D ．a ＝－1，b ＝－1 5．函数f(x)＝x 3
＋ax 2
＋3x －9，已知f(x)在x ＝－3时取得极值，则a 等于( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
6. 已知三次函数f(x)＝13x 3－(4m －1)x 2＋(15m 2
－2m －7)x ＋2在x∈(－∞，＋∞)是增函数，则m 的取值范围是( )
A ．m<2或m>4
B ．－4 C ．2 D ．以上皆不正确 7. 直线 y x =是曲线ln y a x =+的一条切线，则实数a 的值为( ) A ．1- B ．e C ．ln 2 D ．1 8. 若函数)1,1(12)(3+--=k k x x x f 在区间上不是单调函数，则实数k 的取值范围（ ） A ．3113≥≤≤--≤k k k 或或 B ．3113<<-<<-k k 或 C ．22<<-k D ．不存在这样的实数k 9. 10．函数 ()f x 的定义域为(),a b ，导函数()f x '在(),a b 内的图像如图所示， 则函数 ()f x 在(),a b 内有极小值点（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 10.已知二次函数 2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有()0f x ≥，则 (1)'(0) f f 的最 小值为（ ） A ．3 B ． 5 2 C ．2 D ． 32 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 11.函数 sin x y x = 的导数为 _________________ 12、已知函数223)(a bx ax x x f +++=在x=1处有极值为10，则f(2)等于____________. 13．函数 2cos y x x =+在区间[0,]2 π 上的最大值是 14．已知函数3()f x x ax =+在R 上有两个极值点，则实数a 的取值范围是 15. 已知函数 )(x f 是定义在R 上的奇函数，0)1(=f ， 0) ()(2 >-'x x f x f x ） （0>x ，则不等式 0)(2>x f x 的解集是 三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 设函数f(x)＝sinx －cosx ＋x ＋1,0 17. 已知函数 3()3f x x x =-.（Ⅰ）求)2(f '的值； （Ⅱ）求函数()f x 的单调区间. 18. 设函数 R x x x x f ∈+-=,56)(3.（1）求)(x f 的单调区间和极值； （2）若关于x 的方程a x f =)(有3个不同实根，求实数a 的取值范围. （3）已知当)1()(,),1(-≥+∞∈x k x f x 时恒成立，求实数k 的取值范围. 19. 已知1x =是函数32()3(1)1f x mx m x nx =-+++的一个极值点，其中,,0m n R m ∈<（1）求m 与n 的关系式； （2）求()f x 的单调区间； （3）当[1,1]x ∈-，函数()y f x =的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m ，求m 的取值范围。 20. 已知函数2()ln .f x x ax bx =--（I ）当1a =-时，若函数()f x 在其定义域内是增函数，求b 的取值范围； （II ）若()f x 的图象与x 轴交于1212(,0),(,0)()A x B x x x <两点，且AB 的中点为0(,0)C x ，求证：0'()0.f x < 21. 已知函数 2 (),()2ln (x f x g x a x e e ==为自然对数的底数） （1）求()()()F x f x g x =-的单调区间，若() F x 有最值，请求出最值；（2）是否存在正常数a ，使()()f x g x 与的图象有且只有一个公共点，且在该公共点处有共同的切 线？若存在，求出a 的值，以及公共点坐标和公切线方程；若不存在，请说明理由。 高二数学（文）期末复习《导数及其应用》参考答案 二、填空题：11. 2 'y x = ；12. 18 13.36 +； 14.}0|{ 4)＋1 (0 令f′(x)＝0，即sin(x ＋π4)＝－22，解之得x ＝π或x ＝3 2 π. x ，f′(x)以及f(x) ∴f(x)的单调增区间为(0，π)和(2π，2π)单调减区间为(π，2π)．f 极大(x)＝f(π)＝π＋2，f 极小(x)＝f(32π)＝3π 2. 17. 解：（Ⅰ） 33(2-='x x f ），所以9)2(='f . （Ⅱ） 2()33f x x '=-，解()0f x '>，得1x >或1x <-.解()0f x '<，得11x -<<. 所以(,1)-∞-，(1,)+∞为函数()f x 的单调增区间，(1,1)-为函数()f x 的单调减区间. 18. 解:（1）2,2,0)(),2(3)(212=-=='-='x x x f x x f 得令 …………………1分 ∴当()0;,()0x x f x x f x ''<><<,当，…………………2分 ∴ )(x f 的单调递增区间是(,)-∞+∞和，单调递减区间是)2,2(-……3分 当245)(,2+-=有极大值x f x ；当245)(,2-=有极小值x f x .…………4分 （2）由（1）可知)(x f y =图象的大致形状及走向（图略） ∴当)(,245245x f y a y a ==+<<-与直线时的图象有3个不同交点，……6分 即当55a -<<+α=)(x f 有三解. …………………………………7分 （3） )1()5)(1()1()(2-≥-+--≥x k x x x x k x f 即∵),1(5,12+∞-+≤∴>在x x k x 上恒成立. 令5)(2-+=x x x g ，由二次函数的性质，),1()(+∞在x g 上是增函数， ∴,3)1() (-=>g x g ∴所求k 的取值范围是3-≤k ……………………………………12分 19. 解：（1）2 '()36(1).f x mx m x n =-++因为1x =是函数()f x 的一个极值点.所以'(1)0f = 即36(1)0,m m n -++=所以36n m =+ （2）由（1）知，22 '()36(1)363(1)[(1)]f x mx m x m m x x m =-+++=--+ 当0m <时，有2 11>+ ，当x 为化时，()f x 与'()f x 的变化如下表： 故由上表知，当0m <时，()f x 在(,1)m -∞+单调递减，在(1,1)m +单调递增，在(1,)+∞上单调递减. （3）由已知得'()3f x m >，即22(1)20mx m x -++>又0m <，所以222 (1)0x m x m m -++<，即 222 (1)0,[1,1]x m x x m m -++<∈- 设212()2(1)g x x x m m =-++，其函数图象开口向上，由题意知①式恒成立，所以 22(1)0120(1)010 g m m g ? -<+++ ? 03m -<<即m 的取值范围为4(,0)3- 20.（1）由题意： bx x x x f -+=2ln )(， )(x f 在),0(+∞上递增，∴021 )(≥-+= 'b x x x f 对),0(+∞∈x 恒成立，即x x b 21+≤ 对),0(+∞∈x 恒成立，∴只需min )21 (x x b +≤， 0>x ，∴ 2221≥+x x ，当且仅当2 2=x 时取“=”，∴22≤b ，∴b 的取值范围为)22,(-∞ （2）由已知得，???=--==--=0ln )(0ln )(2222212111bx ax x x f bx ax x x f ????-=-=22 221 211ln ln bx ax x bx ax x ，两式相减，得： )())((ln 21212121x x b x x x x a x x -+-+=?])()[(ln 21212 1b x x a x x x x ++-=，由b ax x x f -+='21 )(及 2102x x x +=，得：])([221)(2211000b x x a x x b ax x x f ++-+=--= '2 111ln 1 222x x x x x x +-+= ]ln )(2[1 2 1111222x x x x x x x x -+--=]ln )1() 1( 2[1212 121 12x x x x x x x x -+--= ，令)1,0(21∈=x x t ， 且t t t t ln 122)(-+-=?)10(< 2 <+--='t t t t ?，∴)(t ?在)1,0(上为减函数， ∴0)1()(=>??t ，又21x x <，∴0)(0<'x f 21. 解：（1）3222() ()()()( 0)x a x ea F x f x g x x e x ex -'''=-=-=>①当0, ()0a F x '≤>时 恒成立 ()(0,)F x +∞在上是增函数，()F x F 只有一个单调递增区间（0，-∞），没有最值……3分 ②当0a >时，()0)F x x = >， 若0x <<()0,()F x F x '<在上单调递减； 若x > ()0,())F x F x '>+∞在上单调递增， x ∴=当()F x 有极小值，也是最小值，即min ()2ln F x F a a a a ==-=- 所以当0a >时，()F x 的单调递减区间为 ，单调递增区间为)+∞，最小值为ln a a -，无最大值 （2）方法一，若()f x 与()g x 的图象有且只有一个公共点， 则方程 ()()0f x g x -=有且只有一解，所以函数()F x 有且只有一个零点 由（1）的结论可知min ()ln 01F x a a a =-==得 此时，2 ()()()2ln 0x F x f x g x x e =-=-≥ min ()0F x F == 1,()()f g f x g x ∴==∴与 的图象的唯一公共点坐标为 又f g ''== ()()f x g x 与 的图象在点处有共同的切线， 其方程为 1y x -=- ，即1y x =- 综上所述，存在 a 1=，使()()f x g x 与 的图象有且只有一个公共点 ，且在该点处的公切线方程为 1.y x = - 方法二：设 ()f x 与g(x)图象的公共点坐标为00(,)x y ，根据题意得???==)()()()(0' 0'00x f x f x g x f 即2 002ln 22x a x e x a e x ?=????=??由②得2 x a e = ，代入①得0 21 ln ,2x x = ∴= 从而1a = 此时由（1 ）可知min ()0F x F == 0x x ∴>≠当且()0,()()F x f x g x >>即 因此除0 x =0x ，使00()()f x g x = 故存在1a =，使()()f x g x 与的图象有且只有一个公共点，且在该公共 点处有共同的切线，易求得公共点坐标为 ，公切线方程为1y x = - 导数练习题 班 级 姓名 一、选择题 1．当自变量从x 0变到x 1时函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( ) A ．在区间[x 0，x 1]上的平均变化率 B ．在x 0处的变化率 C ．在x 1处的变化量 D ．在区间[x 0，x 1]上的导数 2．已知函数y ＝f (x )＝x 2 ＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( ) A ．0.40 B ．0.41 C ．0.43 D ．0.44 3．函数f (x )＝2x 2－1在区间(1,1＋Δx )上的平均变化率Δy Δx 等于( ) A ．4 B ．4＋2Δx C ．4＋2(Δx )2 D ．4x 4．如果质点M 按照规律s ＝3t 2 运动，则在t ＝3时的瞬时速度为( ) A ． 6 B ．18 C ．54 D ．81 5．已知f (x )＝－x 2＋10，则f (x )在x ＝32处的瞬时变化率是( ) A ．3 B ．－3 C ． 2 D ．－2 6．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( ) A ．不存在 B ．与x 轴平行或重合 C ．与x 轴垂直 D ．与x 轴相交但不垂直 7．曲线y ＝－1 x 在点(1，－1)处的切线方程 为( ) A ．y ＝x －2 B ．y ＝x C ．y ＝x ＋ 2 D ．y ＝－x －2 8．已知曲线y ＝2x 2上一点A (2,8)，则A 处的切线斜率为( ) A ．4 B ．16 C ．8 D ．2 9．下列点中，在曲线y ＝x 2上，且在该点 处的切线倾斜角为π 4的是( ) A ．(0,0) B ．(2,4) C ．(14，1 16) D ．(12，1 4) 10．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A ．a ＝1，b ＝ 1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－ 1 D ．a ＝－1，b ＝－1 11．已知f (x )＝x 2，则f ′(3)＝( ) A ．0 B ．2x C ． 6 D ．9 12．已知函数f (x )＝1 x ，则f ′(－3)＝( ) A ． 4 B.1 9 C ．－14 D ．－1 9 13．函数y ＝x 2 x ＋3 的导数是( ) 中档大题规范练——导数的应用 1．已知函数f (x )＝x 3－2x ＋1，g (x )＝ln x . (1)求F (x )＝f (x )－g (x )的单调区间和极值； (2)是否存在实常数k 和m ，使得x >0时，f (x )≥kx ＋m 且g (x )≤kx ＋m ？若存在，求出k 和m 的值；若不存在，说明理由． 解 (1)由F (x )＝x 3－2x ＋1－ln x (x >0)， 得F ′(x )＝3x 3－2x －1x (x >0)， 令F ′(x )＝0得x ＝1，易知F (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，从而F (x )的极小值为F (1)＝0. (2)易知f (x )与g (x )有一个公共点(1,0)，而函数g (x )在点(1,0)处的切线方程为y ＝x －1，下面只需 验证????? f (x )≥x －1 g (x )≤x －1都成立即可． 设 h (x )＝x 3－2x ＋1－(x －1)(x >0)， 则h ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)(x >0)． 易知h (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 所以h (x )的最小值为h (1)＝0， 所以f (x )≥x －1恒成立． 设k (x )＝ln x －(x －1)，则k ′(x )＝1－x x (x >0)． 易知k (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 所以k (x )的最大值为k (1)＝0， 所以g (x )≤x －1恒成立． 故存在这样的实常数k ＝1和m ＝－1，使得x >0时，f (x )≥kx ＋m 且g (x )≤kx ＋m . 2．设函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 在区间[0,1]上单调递增，在区间(－∞，0)，(1，＋∞)上单调递 减，又f ′(12)＝32 . (1)求f (x )的解析式． (2)若在区间[0，m ](m >0)上恒有f (x )≤x 成立，求m 的取值范围． 解 (1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ， 由已知f ′(0)＝f ′(1)＝0， 即????? c ＝0，3a ＋2b ＋c ＝0，解得????? b ＝－32a ，c ＝0.导数练习题 含答案
高考数学(文科)中档大题规范练(导数的应用)(含答案)
(完整word版)导数单元测试(含答案)