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2012年广东省广州市高三一模理科数学试题(Word精较版)

试卷类型：A

2012年广州市普通高中毕业班综合测试（一）

数学（理科）

2012.3

本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写

在答题卡上。用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：锥体的体积公式Sh V 3

=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．方差()()()

2222

121n s x x x x x x n ??=

-+-+???+-????，其中12n

x x x x n

+++= . 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的． 1．已知复数()i i 1i a b +=-（其中,a b ∈R ，i 是虚数单位），则a b +的值为

A ．2-

B ．1-

C ．0

D ．2

2．已知全集U =R ，函数

y =

A ，函数()2log 2y x =+的定义域为集合

B ，则集合()

U A B = e

A ．()2,1--

B ．(]2,1--

C ．(),2-∞-

D ．()1,-+∞ 3．如果函数()sin 6f x x ωπ?

?=+

???()0ω>的相邻两个零点之间的距离为12

，则ω的值为 A ．3 B ．6 C ．12

D ．24

4．已知点()P a b ，（0ab ≠）是圆O ：2

x y r +=内一点，直线l 的方程为2

0ax by r ++=，那么直

线l 与圆O 的位置关系是

A ．相离

B ．相切

C ．相交

D ．不确定

5．已知函数()21f x x =+，对于任意正数a ，12x x a -<是()()12f x f x a -<成立的

A ．充分非必要条件

B ．必要非充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

6．已知两个非零向量a 与b ，定义sin θ?=a b a b ，其中θ为a 与b 的夹角．若()3,4-a =， ()0,2b =，

则?a b 的值为

A ．8-

B ．6-

C ．8

D ．6

7．在△ABC 中，60ABC ∠=

，2AB =，6BC =，在BC 上任取一点D ，使△ABD 为钝角三角形的

概率为 A ．

16 B ．13 C ．12 D ．2

8．从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字中任取3个不同的数字构成空间直角坐标系中的点的

坐标(),,x y z ，若x y z ++是3的倍数，则满足条件的点的个数为

A ．252

B ．216

C ．72

D ．42

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分

（一）必做题（9～13题） 9．如图1是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积为．

10．已知()2

1d 4kx x +?

2≤≤，则实数k 的取值范围为． 11．已知幂函数(

)

57m y m m x

-=-+在区间()0,+∞上单调递增，

则实数m 的值为．

12．已知集合{}

1A x x =≤≤2，{}

1B x x a =-≤，若A B A =I ，

则实数a 的取值范围为．

13．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小

石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图2中的实心点个数1，5，12，22，…，

被称为五角形数，其中第1个五角形数记作11a =，第2个五角形数记作25a =，第3个五角形数记作

312a =，第4个五角形数记作422a =，……，若按此规律继续下去，则5a = ，若145n a =，则n = ．

5 12

1 22

图2

图1 俯视图正(主)视图

侧(左)视图

（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）如图3，圆O 的半径为5cm ，点P 是弦AB 的中点，

3OP =cm ，弦CD 过点P ，且

CP CD =，则CD 的长为 cm ． 15．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，已知直线l 与曲线C 的

参数方程分别为l ：1,

1x s y s =+??=-?（s 为参数）和C ：2

2,x t y t

=+??=?（t 为参数），若l 与C 相交于A 、B 两点，则AB = ．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）

已知函数()tan 34f x x π?

?=+

???

．（1）求9f π??

???的值；（2）设3,

2απ??∈π ??

，若234f απ??+= ???，求cos 4απ?

?- ??

?的值．

17．（本小题满分12分）

如图4所示的茎叶图记录了甲、乙两个小组（每小组4人）在期末考试中

的数学成绩．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以a 表示．

已知甲、乙两个小组的数学成绩的平均分相同．

（1）求a 的值；（2）求乙组四名同学数学成绩的方差；

（3）分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，记这两名同学数学

成绩之差的绝对值为X ，求随机变量X 的分布列和均值（数学期望）．

（温馨提示：答题前请仔细阅读卷首所给的计算公式及其说明．） 18．（本小题满分14分）

如图5所示，在三棱锥ABC P -

中，AB BC ==

平面⊥PAC 平面ABC ，AC PD ⊥于点D ，

1AD =，3CD =

，PD =．

（1）证明△PBC 为直角三角形；

（2）求直线AP 与平面PBC 所成角的正弦值．

图4 甲组乙组 8 9 7 a 3 5 7 9 6 6 图5

图3

19．（本小题满分14分）

等比数列{}n a 的各项均为正数，4352,,4a a a 成等差数列，且2

322a a =．

（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()()

2123n n n b a n n +=

++，求数列{}n b 的前n 项和n S ．

20．（本小题满分14分）

已知椭圆2

y x +=的左，右两个顶点分别为A 、B ．曲线C 是以A 、B 两点为顶点，的双曲线．设点P 在第一象限且在曲线C 上，直线AP 与椭圆相交于另一点T ．（1）求曲线C 的方程；

（2）设P 、T 两点的横坐标分别为1x 、2x ，证明：121x x ?=；

（3）设TAB ?与POB ?（其中O 为坐标原点）的面积分别为1S 与2S ，且PA PB uu r uu r g ≤15，求22

S S -的取值范围．

21．（本小题满分14分）

设函数()e x

f x =(e 为自然对数的底数)，23()12!3!!

n n x x x g x x n =+++++L （*

n ∈N ）．（1）证明：()f x 1()g x ≥；

（2）当0x >时，比较()f x 与()n g x 的大小，并说明理由；

（3）证明：()123222211e 2341n

n g n ????????+++++< ? ? ? ?+????????

≤L （*

n ∈N ）

．

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2012年广州市普通高中毕业班综合测试（一）

数学（理科）试题参考答案及评分标准

说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供

参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．

2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该

题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

二、填空题：本大题查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其

中14~15题是选做题，考生只能选做一题．第13题仅填对1个，则给3分．

9 10．2,23??

????

11．3 12．[]1,2 13．35，10 14．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分12分）

（本小题主要考查两角和的正切、诱导公式、同角三角函数的基本关系和两角差的余弦等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）（1）解：9f π?? ???

tan 34ππ??

=+ ???……………………………………………………………………………1分

tan

tan 341tan tan

ππ

ππ-…………………………………………………………………………3分

=-．……………………………………………………………………

…4分

（

2）

解

：因为

3tan 3444f ααπππ???

?+=++ ? ????

?………………………………………………………………5分 ()tan α=+π…………………………………………………………………

…6分

tan 2α==．

……………………………………………………………………7分

所以

sin 2cos α

=，即sin 2cos αα=． ① 因为2

sin cos 1αα+=， ② 由①、②解得2

cos 5

α=．………………………………………………………………………………9分

因为3,2απ??

∈π ?

，所以cos α=

，sin α=10分

所以cos 4απ?

?- ?

??cos cos sin sin 44

ααππ

=+ ………………………………………………………11分

?=+= ??．……………………………………12分

17．（本小题满分12分）

（本小题主要考查统计、方差、随机变量的分布列、均值（数学期望）等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识）（1）解：依题意，得11

(87899696)(87909395)44

a ?+++=?++++，

……………………………1分

解得3a =................................................................................................................2分（2）解：根据已知条件，可以求得两组同学数学成绩的平均分都为92x =. (3)

分

所以乙组四名同学数学成绩的方差为

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()()()()2222

21879293929392959294s ??=

-+-+-+-=?

?. …………………………

…5分

（3）解：分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，共有4416?=种可能的结果．……………6分

所以X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，6，8，9.…………………………………………………8分

由表可得1(0)16P X ==

，2(1)16P X ==，1(2)16P X ==，4(3)16P X ==， 2(4)16P X ==，3(6)16P X ==，1(8)16P X ==，2

(9)16

P X ==.

所以随机变量X 随机变量X 的数学期望为

121423012346161616161616EX =?

+?+?+?+?+?12

891616

+?+?…………………………11分

6817

164

=.…………………………………………………………………………………………12分 18．（本小题满分14分）

（本小题主要考查空间线面关系、直线与平面所成角、空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）

（1）证明1：因为平面⊥PAC 平面ABC ，平面PAC 平面ABC AC =， PD ?平面PAC ，

AC PD ⊥，

所以PD ⊥平面ABC ．…………………………………………………………………………………

1分

记AC 边上的中点为E ，在△ABC 中，AB BC =，所以AC BE ⊥．

因为AB BC ==4=AC ，所以BE ==

=………………

……………………10分

3分

因为PD⊥AC，所以△PCD为直角三角形．

因为PD=3

CD=，

所以

PC===．………4分

连接BD，在Rt△

BDE中，因为BE=，1

DE=

，

所以

BD===5分

因为PD⊥平面ABC，BD?平面ABC，所以PD⊥BD．

在Rt

△PBD中，因为PD

=BD=，

所以

PB==

=6分在PBC

中，因为BC=

PB=PC=

所以222

BC PB PC

+=．

所以PBC

?为直角三角形．………………………………………………………………………………7分

证明2：因为平面⊥

PAC平面ABC，平面PAC I平面ABC AC

=，PD?平面PAC，AC

PD⊥，

所以PD⊥平面ABC．…………………………………………………………………………………

1分

记AC边上的中点为E，在△ABC中，因为AB

=，所以AC

BE⊥．

因为

AB BC

==4

AC，

所以BE===………………

3分

连接BD，在Rt

△BDE中，因为90

BED

∠=o，BE

=，1

DE=，

所

以

B D

4分在△BCD中，因为3

CD=

，BC=BD=，

所以222

BC BD CD

+=，所以BC BD

⊥．……………………………………………………………

5分

因为PD⊥平面ABC，BC?平面ABC，

所以BC PD

⊥．…………………………………………………………………………………………

A C

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6分

因为BD PD D = ，所以BC ⊥平面PBD ．

因为PB ?平面PBD ，所以BC PB ⊥．

所以PBC

?为直角三

角

形．………………………………………………………………………………7分

（2）解法1：过点A 作平面PBC 的垂线，垂足为H ，连PH ，

则APH ∠为直线AP

与平面PBC 所成的

角．…………………………………………………………8分

由（1）知，△ABC

的面积1

ABC S AC BE ?=??=9分

因为PD =所以1

P ABC ABC V S PD -?=?

?13=?=

…………………………10分

由（1）知PBC ?

为直角三角形，BC =

PB =

所以△PBC

的面积11

322

PBC S BC PB ?=??==．……………………………………11分

因为三棱锥A PBC -与三棱锥P ABC -的体积相等，即A PBC P ABC V V --=，

即1

333AH ??=

所以3

AH =．……………………………………………………………12分

在Rt △PAD

中，因为PD =1AD =，

所以

2AP ==

=．………………………………………………………

13分

因为3sin 23

AH APH AP ∠=== 所以直线AP

与平面PBC 所成角的正弦值为

．…………………………………………………14分

解法2：过点D 作DM AP ∥，设DM PC M = ，

则DM 与平面PBC 所成的角等于AP 与平面PBC 所成的角．……………………………………

8分

由（1）知BC PD ⊥，BC PB ⊥，且PD PB P = ，所以BC ⊥平面PBD ．因为BC ?平面PBC ，

所以平面PBC ⊥平面PBD ．

过点D 作DN PB ⊥于点N ，连接MN ，则DN ⊥平面PBC ．

所以DMN ∠为直线DM 与平面PBC 所成的角．……10分在Rt △PAD

中，因为PD =1AD =，

所以

2AP =

=．………………………………………………………

11分因为DM AP ∥，所以

DM CD AP CA =，即3

DM =，所以

DM =

．………………………………12分

由（1）知BD

=，PB

=，且PD =，

所以PD BD DN PB ?===13分

因为2sin 332

DN DMN DE ∠===

，所以直线AP

与平面PBC 所成角的正弦值为

．…………………………………………………14分

解法3：延长CB 至点G ，使得BG BC =，连接AG 、PG ，……………………………………8分

在△PCG 中，PB BG BC ===

所以90CPG ∠=o

，即CP PG ⊥．

在△PAC 中，因为PC =2PA =，4AC =，所以2

PA PC AC +=，所以CP PA ⊥．因为PA PG P =I ，

P A

D E

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所以CP ⊥平面PAG ．…………………………………………………………………………………

9分

过点A 作AK PG ⊥于点K ，因为AK ?平面PAG ，所以CP AK ⊥．因为PG CP P =I ，

所以AK ⊥平面PCG ．

所以APK ∠为直线AP 与平面PBC 所成的角．……………………………………………………11分

由（1）知，BC PB ⊥，

所以PG PC ==．

在△CAG 中，点E 、B 分别为边CA 、CG 的中点，

所以2AG BE ==12分

在△PAG 中，2PA =

，AG =

PG =

所以2

PA AG PG +=，即PA AG ⊥．……………………………………………………………13分

因为sin AG APK PG ∠=

==．所以直线AP 与平面PBC

．…………………………………………………14分

解法4：以点E 为坐标原点，以EB ，EC 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立如图的空间直角坐标系

E xyz -，…………………………………………………………………………………………………8分

则()0,2,0A -

，)B

，()0,2,0C

，(0,P -．

于是(

AP =

，PB =

，(

0,3,PC =

设平面PBC 的法向量为(),,x y z =n ，

则0,0.

PB PC ??=???=?? n n

即0,30.

y y +==??

取1y =

，则z =

，x =．所以平面PBC

的一个法向量为=

n ．……………………………………………………

12分

设直线AP 与平面PBC 所成的角为θ，

则sin cos AP AP AP θ?=<>===?

n ,n n ．所以直线AP 与平面PBC

．…………………………………………………14分

若第（1）、（2）问都用向量法求解，给分如下：

（1）以点E 为坐标原点，以EB ，EC 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立如图的空间直角坐标系

E xyz -，

1分则)B

，()0,2,0C ，(0,P -．

于是(BP =- ，()

2,0BC =

．

因为(()

2,00BP BC =-=

，

所以BP BC ⊥ ．

所以BP BC ⊥．所以PBC

?为直角三角

形．………………………………………………………………………………7分（2）由（1）可得，()0,2,0A -．

于是(AP = ，PB =

，(0,3,PC =

．

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设平面PBC 的法向量为(),,x y z =n ，

则0,0.PB PC ??=???=??

n n

即0,30.

y y +==?? 取1y =

，则z =

，x =．所以平面PBC

的一个法向量为=

n ．……………………………………………………

12分

设直线AP 与平面PBC 所成的角为θ，

则sin cos AP AP AP θ?=<>===?

n ,n n ．所以直线AP 与平面PBC

．…………………………………………………14分 19．（本小题满分14分）

（本小题主要考查等比数列的通项、裂项求和等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识）

（1）解：设等比数列{}n a 的公比为q ，依题意，有

453

224,22.

a a a a a +?=??

?=?即

3452

322,

a a a a a =+???=??……………………………………………………………………2分所

以

2112

2.a q a q a q a q a q ?=+??=??………………………………………………………………………………3分由于10a ≠，0q ≠，解之得11,21.2

a q ?

=????=??或11,

21.a q ?=???=-?……………………………………………………

5分

又10,0a q >>，所以111

,22

a q ==，…………………………………………………………………6分

所以数列{}n a 的通项公式为12n

n a ??

= ???

（*n ∈N ）．…………………………………………………

7分

（2）解：由（1），得()()252123n n n b a n n +=?++()()25121232

n n n n +=?++．………………………………

8分

所以21121232

n n b n n ??=-?

?++??

111

(21)2(23)2n n

n n -=

++．…………………………………………………………………10分

所以12n n S b b b =+++L

(

)()21111

1113525272212232n n n n -??????=-+-++-?? ? ????++??????L ()11

3232n

n =

-+．故数列{}n b 的前n 项和()113232

n n S n =

-+．………………………………………………………14分 20．（本小题满分14分）

（本小题主要考查椭圆与双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、函数最值等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）

（1）解：依题意可得(1,0)A -，(1,0)B ．…………………………………………………………………1分

设双曲线C 的方程为2

21y x b

-=()0b >，

=，即2b =．

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所

以双曲线

的方程为

y x -=．……………………………………………………………………3分

（2）证法1：设点11(,)P x y 、22(,)T x y （0i x >，0i y >，1,2i =），直线AP 的斜率为k （0k >），

则

直

线

的方程为

(1)y k x =+，………………………………………………………………………4分

联

立

方

程

组

()2

21,1.4

y k x y x ?=+?

=??………………………………………………………………………………5分整理，得(

224240k

k x k +++-=，

解得

x =-或

44k x k -=

+．所以

44k x k

-=+．…………………………………………………………6分同理可得，2

44k x k +=-．…………………………………………………………………………………

7分

所

以

121x x ?=．……………………………………………………………………………………………8分

证法2：设点11(,)P x y 、22(,)T x y （0i x >，0i y >，1,2i =），则111AP y k x =+，2

21AT y k x =+．…………………………………………………………………………4分

因为AP

AT k k =，所以12

1211y y x x =++，即()()

221222

1211y y x x =++．……………………………………5分

因为点P 和点T 分别在双曲线和椭圆上，所以22

14y x -=，22

2214

y x +=．

即(

)

1141y x =-，(

41y x =-．

…………………………………………………………………6分

所以()

()

22122

12414111x x x x --=

++，即

121111

x x x x --=

++．……………………………………………………7分

所

以

121x x ?=．……………………………………………………………………………………………8分

证法3：设点11(,)P x y ，直线AP 的方程为1

1(1)1

y y x x =++，………………………………………4分

联

立

方

程

组

()112

21,11.4

y y x x y x ?=+?+?

??+=??…………………………………………………………………………5分整理，得2

111114(1)24(1)0x y x y x y x ??++++-+=??，

解得1x =-或22

1122

4(1)4(1)x y x x y +-=++．…………………………………………………………………6分

将2

44y x =-代入221122114(1)4(1)x y x x y +-=++，得11x x =，即2

x x =．所以121x x ?=．…………………………………………………………………………………………8分

（3）解：设点11(,)P x y 、22(,)T x y （0i x >，0i y >，1,2i =），

则()111,PA x y =--- ，()111,PB x y =--

．

因为15PA PB ?≤ ，所以()()21111115x x y ---+≤，即22

1116x y +≤．…………………………

9分

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因为点P 在双曲线上，则2

211

y x -=，所以22114416x x +-≤，即214x ≤．

因为点P 是双曲线在第一象限内的一点，所以112x <≤．…………………………………………10分

因为1221||||||2S AB y y ==，21111

||||||22

S OB y y ==，所以()()22222222122121121

441544

S S y y x x x x -=-=---=--． (11)

分

由（2）知，121x x ?=，即21

1x x =．设2

1t x =，则14t <≤，

221245S S t t

-=--

．设()4

5t t

f t =--

，则()()()22

2241t t f t t t -+'=-+=，当12t <<时，()0f t '>，当24t <≤时，()0f t '<，所以函数()f t 在()1,2上单调递增，在(]2,4上单调递减．因为()21f =，()()140f f ==，所以当4t =，即12x =时，(

)

()22

min

40S S f -==．……………………………………………

12分

当2t =

，即1x =()

()2212max

21S S f -==．………………………………………………

13分

所以2

12S S -的取值范围为[]0,1．……………………………………………………………………

14分

说明：由(

1212

54541S S x x x x

-=-+≤-=，得()

2212max

1S S -=，给1分．

21．（本小题满分14分）

（本小题主要考查函数、导数、不等式、数学归纳法、二项式定理等知识，考查数形结合、化归与

转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力）（1）证明：设11()()()1x

x f x g x e x ?=-=--，

所

以

1()x x e ?'=-．………………………………………………………………………………………1分

当0x <时，1()0x ?'<，当0x =时，1()0x ?'=，当0x >时，1()0x ?'>．

即函数1()x ?在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增，在0x =处取得唯一极小值，………2分

因为1(0)0?=，所以对任意实数x 均有 11()(0)0x ??=≥．即1()()0f x g x -≥，所

以

()f x 1()g x ≥．………………………………………………………………………………………3分

（2）解：当0x >时，()f x >()n g x ．………………………………………………………………………4分

用数学归纳法证明如下：（资料来源：中国高考吧 https://www.doczj.com/doc/d79503966.html, ）

①当1n =时，由（1）知()f x 1()g x >．

②假设当n k =（*

k ∈N ）时，对任意0x >均有()f x >()k g x ，…………………………………5分

令()()()k k x f x g x ?=-，11()()()k k x f x g x ?++=-，

因为对任意的正实数x ，()()11()()()k k

k x f x g x f x g x ?++'''=-=-，由归纳假设知，1()()()0k k x f x g x ?+'=->．…………………………………………………………

6分

即11()()()k k x f x g x ?++=-在(0,)+∞上为增函数，亦即11()(0)k k x ??++>，因为1(0)0k ?+=，所以1()0k x ?+>．从而对任意0x >，有1()()0k f x g x +->．即对任意0x >，有1()()k f x g x +>．

HLLYBQ 整理供“高中试卷网（https://www.doczj.com/doc/d79503966.html, ）”

·19·

这就是说，当1n k =+时，对任意0x >，也有()f x >1()k g x +．

由①、②知，当0x >时，都有()f x >()n g x ．………………………………………………………8分

（3）证明1：先证对任意正整数n ，()1e n g <．

由（2）知，当0x >时，对任意正整数n ，都有()f x >()n g x ．令1x =，得()()11=e n g f <．所

以

()1e n g <．……………………………………………………………………………………………9分

再

证

对任

意正整数

，

()1

2222112341n

n g n ????????

+++++≤ ? ? ? ?

+????????

111112!3!!n =+++++ ．要证明上式，只需证明对任意正整数n ，不等式211!n

n n ??

≤ ?

+??

成立．即要证明对任意正整数n ，不等式1!2n

n n +??

≤ ???

（*）成立． (10)

分

以下分别用数学归纳法和基本不等式法证明不等式（*）：

方法1（数学归纳法）：

①当1n =时，1

111!2+??≤ ???

成立，所以不等式（*）成立．

②假设当n k =（*

k ∈N ）时，不等式（*）成立，

即1!2k

k k +??

≤ ???

．………………………………………………………………………………………

11分

则()()()1

111!1!1222k

k k k k k k k +++????

+=+≤+= ? ?

????

．

因为1

111011

1111

2211121C C C 2111112k k k k k k k k k k k k k k k k ++++++++++??

?+????????==+=+++≥ ? ? ?++++??????+??

???

，…12分

所以()1

121!222k k k k k ++++??

??+≤≤ ?

?????

．……………………………………………………………

13分

这说明当1n k =+时，不等式（*）也成立．

由①、②知，对任意正整数n ，不等式（*）都成立．

综上可知，对任意正整数n ，不等式()123222211e 2341n

n g n ????????

+++++≤< ? ? ? ?+????????

成立．

…………………………………

…14分

方法2（基本不等式法）：

2n +≤，……………………………………………………………………………………11分

n +≤

，

……，

n +≤

，将以上n 个不等式相乘，得1!2n

n n +??

≤ ???

．

……………………………………………………………13分

所以对任意正整数n ，不等式（*）都成立．

综上可知，对任意正整数n ，不等式()123222211e 2341n

n g n ????????

+++++≤< ? ? ? ?+????????

成立．

…………………………………

…14分

高考理科数学试题及答案2180

高考理科数学试题及答案（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 31i i +=+（） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i - 2. 设集合{}1,2,4A =，{} 2 40x x x m B =-+=．若{}1A B =，则B =（） A ．{}1,3- B ．{}1,0 C ．{}1,3 D ．{}1,5 3. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（） A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏 4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（） A ．90π B ．63π C ．42π D ．36π 5. 设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤?? -+≥??+≥? ，则2z x y =+的最小值是（） A ．15- B ．9- C ．1 D ．9 6. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有（） A ．12种 B ．18种 C ．24种 D ．36种 7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀， 2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）

2018年高考全国二卷理科数学真题(解析版)

2018年高考全国二卷理科数学真题（解析版）注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：根据复数除法法则化简复数，即得结果. 详解：选D. 点睛：本题考查复数除法法则，考查学生基本运算能力. 2. 已知集合，则中元素的个数为 A. 9 B. 8 C. 5 D. 4 【答案】A 【解析】分析：根据枚举法，确定圆及其内部整点个数. 详解：，当时，；当时，；当时，；所以共有9个，选A. 点睛：本题考查集合与元素关系，点与圆位置关系，考查学生对概念理解与识别.

3. 函数的图像大致为 A. A B. B C. C D. D 【答案】B 【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像. 详解：为奇函数，舍去A, 舍去D; ，所以舍去C；因此选B. 点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势； ③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复． 4. 已知向量，满足，，则 A. 4 B. 3 C. 2 D. 0 【答案】B 【解析】分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果. 详解：因为所以选B. 点睛：向量加减乘： 5. 双曲线的离心率为，则其渐近线方程为 A. B. C. D. 【答案】A

2018年高三数学模拟试题理科

黑池中学2018级高三数学期末模拟试题理科（四）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 1.已知集合{}2,101，， -=A ，{} 2≥=x x B ，则A B =I A ．{}2,1,1- B.{ }2,1 C.{}2,1- D. {}2 2.复数1z i =-,则z 对应的点所在的象限为 A ．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3 .下列函数中,是偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减的函数是 A ．2x y = B ．y x = C ．y x = D ．2 1y x =-+ 4.函数 y=cos 2(x + π4 )－sin 2(x + π4 )的最小正周期为 A. 2π B. π C. π2 D. π 4 5. 以下说法错误的是（） A ．命题“若x 2 -3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x 2 -3x+2≠0” B ．“x=2”是“x 2 -3x+2=0”的充分不必要条件 C ．若命题p:存在x 0∈R,使得2 0x -x 0+1<0,则﹁p:对任意x∈R,都有x 2 -x+1≥0 D ．若p 且q 为假命题,则p,q 均为假命题 6.在等差数列{}n a 中, 1516a a +=,则5S = A ．80 B ．40 C ．31 D ．-31 7.如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A ．π16+ B ．π416+ C ．π8+ D ．π48+ 8.二项式6 21()x x +的展开式中，常数项为 A ．64 B ．30 C ． 15 D ．1 9.函数3 ()ln f x x x =-的零点所在的区间是 A ．(1,2) B ．(2,)e C ． (,3)e D ．(3,)+∞ 10.执行右边的程序框图，若0.9p =，则输出的n 为 A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 开始 10n S ==， S p

高考真题理科数学解析版

理科数学解析一、选择题： 1.C【解析】本题考查集合的概念及元素的个数. 容易看出只能取-1,1,3等3个数值.故共有3个元素. 【点评】集合有三种表示方法：列举法，图像法，解析式法.集合有三大特性：确定性，互异性，无序性.本题考查了列举法与互异性.来年需要注意集合的交集等运算，Venn图的考查等. 2.D【解析】本题考查常有关对数函数，指数函数，分式函数的定义域以及三角函数的值域. 函数的定义域为,而答案中只有的定义域为.故选D. 【点评】求函数的定义域的依据就是要使函数的解析式有意义的自变量的取值范围.其求解根据一般有:(1)分式中，分母不为零;(2)偶次根式中，被开方数非负；(3)对数的真数大于0：（4）实际问题还需要考虑使题目本身有意义.体现考纲中要求了解一些简单函数的定义域，来年需要注意一些常见函数：带有分式，对数，偶次根式等的函数的定义域的求法. 3.B【解析】本题考查分段函数的求值. 因为，所以.所以. 【点评】对于分段函数结合复合函数的求值问题，一定要先求内层函数的值，因为内层函数的函数值就是外层函数的自变量的值.另外，要注意自变量的取值对应着哪一段区间，就使用

哪一段解析式，体现考纲中要求了解简单的分段函数并能应用，来年需要注意分段函数的分段区间及其对应区间上的解析式，千万别代错解析式. 4.D【解析】本题考查三角恒等变形式以及转化与化归的数学思想. 因为，所以.. 【点评】本题需求解正弦值，显然必须切化弦，因此需利用公式转化；另外，在转化过程中常与“1”互相代换，从而达到化简的目的；关于正弦、余弦的齐次分式，常将正弦、余弦转化为正切，即弦化切，达到求解正切值的目的.体现考纲中要求理解三角函数的基本关系式，二倍角公式.来年需要注意二倍角公式的正用，逆用等. 5.B【解析】本题以命题的真假为切入点，综合考查了充要条件，复数、特称命题、全称命题、二项式定理等. （验证法）对于B项，令,显然，但不互为共轭复数，故B为假命题,应选B. 【点评】体现考纲中要求理解命题的概念，理解全称命题，存在命题的意义.来年需要注意充要条件的判断，逻辑连接词“或”、“且”、“非”的含义等. 6.C【解析】本题考查归纳推理的思想方法. 观察各等式的右边,它们分别为1,3,4,7,11，…，发现从第3项开始，每一项就是它的前两项之和，故等式的右

2018年全国高考ii卷理科数学试题及答案

绝密★启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的、号填写在答题卡上。 2．作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析：根据复数除法法则化简复数，即得结果. 详解：选D. 点睛：本题考查复数除法法则，考查学生基本运算能力. 2. 已知集合，则中元素的个数为 A. 9 B. 8 C. 5 D. 4 【答案】A 【解析】分析：根据枚举法，确定圆及其部整点个数. 详解：，当时，；当时，；当时，；所以共有9个，选A. 点睛：本题考查集合与元素关系，点与圆位置关系，考查学生对概念理解与识别.

3. 函数的图像大致为 A. A B. B C. C D. D 【答案】B 【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像. 详解：为奇函数，舍去A, 舍去D; ，所以舍去C；因此选B. 点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复． 4. 已知向量，满足，，则 A. 4 B. 3 C. 2 D. 0 【答案】B 【解析】分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果. 详解：因为所以选B. 点睛：向量加减乘： 5. 双曲线的离心率为，则其渐近线方程为

高三理科数学综合测试题附答案

数学检测卷（理）姓名----------班级----------总分------------ 一．选择题 : 本大题共12小题, 每小题5分, 共60分．在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的． 1．若集合{}{} 2 ||,0A x x x B x x x ===+≥，则A B = （）（A ）[1,0]- （B ）[0,)+∞ （C ） [1,)+∞ (D) (,1]-∞- 2．直线0543=+-y x 关于x 轴对称的直线方程为（）（A ）0543=++y x （B ）0543=-+y x （C ）0543=-+-y x （D ）0543=++-y x 3. 若函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程32220x x x +--=的一个近似根（精确到0.1）为（）。 A ．1.2 B ．1.3 C ．1.4 D ．1.5 4. 设)1,0(log )(≠>=a a x x f a , 若 ++)()(21x f x f ) ,,2,1,(,1)(n i R x x f i n =∈=+, 则 )()()(2 2221n x f x f x f +++ 的值等于（） (A) 2 1 (B) 1 (C) 2 (D)22log a 5.在等差数列{}n a 中，1815296a a a ++=则9102a a -= A ．24 B ．22 C ．20 D ．-8 6. 执行如图的程序框图，如果输入11,10==b a ，则输出的=S （） (A)109 (B) 1110 (C) 1211 (D) 13 12 7. ．直线21y x =-+上的点到圆2 2 4240x y x y + +-+=上的点的最近距离是 A B 1+ C 1- D ．1 8. 已知{(,)|6,0,0}x y x y x y Ω=+≤≥≥，{(,)|4,0,20}A x y x y x y =≤≥-≥，若向区（第6题）

2017年高考数学试题分项版解析几何解析版

2017年高考数学试题分项版—解析几何（解析版）一、选择题 1．(2017·全国Ⅰ文，5)已知F 是双曲线C ：x 2 －y 2 3 ＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则△APF 的面积为( ) A ．13 B ．12 C ．23 D ．32 1．【答案】D 【解析】因为F 是双曲线 C ：x 2－ y 2 3 ＝1的右焦点，所以F (2,0)．因为PF ⊥x 轴，所以可设P 的坐标为(2，y P )．因为P 是C 上一点，所以4－y 2P 3＝1，解得y P ＝±3，所以P (2，±3)，|PF |＝3. 又因为A (1,3)，所以点A 到直线PF 的距离为1，所以S △APF ＝12×|PF |×1＝12×3×1＝32. 故选D. 2．(2017·全国Ⅰ文，12)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2 m ＝1长轴的两个端点．若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( ) A ．(0,1]∪[9，＋∞) B ．(0，3]∪[9，＋∞) C ．(0,1]∪[4，＋∞) D ．(0，3]∪[4，＋∞) 2．【答案】A 【解析】方法一设焦点在x 轴上，点M (x ，y )．过点M 作x 轴的垂线，交x 轴于点N ，则N (x,0)．故tan ∠AMB ＝tan(∠AMN ＋∠BMN ) ＝3＋x |y |＋3－x |y |1－3＋x |y |· 3－x |y |＝23|y |x 2＋y 2－3. 又tan ∠AMB ＝tan 120°＝－3，且由x 23＋y 2m ＝1，可得x 2 ＝3－3y 2 m ，则23|y |3－3y 2m ＋y 2－3＝23|y |(1－3m )y 2＝－ 3.

2018高考理科数学全国一卷试题及答案

2018高考理科数学全国一卷一．选择题 1.设则( ) A. B. C. D. 2、已知集合 ,则( ) A. B. C. D. 3、某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番。为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区系农村建设前后农村的经济收入构成比例。得到如下饼图: 则下面结论中不正确的是( ) A.新农村建设后,种植收入减少 B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上 C.新农村建设后,养殖收入增加一倍 D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4、记为等差数列的前项和,若,则( ) A.-12 B.-10 C.10 D.12 5、设函数,若为奇函数,则曲线在点处的切线方程为( ) A. B. C. D. 6、在中,为边上的中线,为的中点,则( ) A. B. C. D. 7、某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如下图。圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上, 从M到N的路径中,最短路径的长度为( ) A. B. C. D. 8、设抛物线的焦点为,过点且斜率为的直线与交于两点,则( ) A.5 B.6 C.7 D.8

9、已知函数,,若存在个零点,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 10、下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形,此图由三个车圈构成,三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边,直角边.的三边所围成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ,在整个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别记为,则( ) A. B. C. D. 11、已知双曲线,为坐标原点,为的右焦点,过的直线与的两条渐近线的交点分别为若为直角三角形,则( ) A. B. C. D. 12、已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面所成的角都相等,则截此正方体所得截面面积的最大值为( ) A. B. C. D. 13、若满足约束条件则的最大值为。 14、记为数列的前n项的和,若,则。 15、从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有种.(用数字填写答案) 16、已知函数,则的最小值是。三解答题： 17、在平面四边形中, 1.求; 2.若求 18、如图,四边形为正方形,分别为的中点,以为折痕把折起,使点到达点的位置,且. 1. 证明:平面平面; 2.求与平面所成角的正弦值

2017年全国高考理科数学试题及答案全国卷1

绝密★启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷5页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =< B ．A B =R C ．{|1}A B x x => D ．A B =? 2．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A ． 1 4 B ． π8 C ．12 D ． π4 3．设有下面四个命题 1p ：若复数z 满足1 z ∈R ，则z ∈R ； 2p ：若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3p ：若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4p ：若复数z ∈R ，则z ∈R .

2018高考理科数学模拟试题

2018学年高三上期第二次周练数学（理科）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合{}=0123A ，，，， {}=21B x x a a A =-∈，，则=( )A B ? A. {}12， B. {}13， C. {}01 ， D. {}13-， 2．已知i 是虚数单位，复数z 满足()12i z i +=，则z 的虚部是（） A. i - B. i C. 1- D. 1 3．在等比数列{}n a 中， 13521a a a ++=， 24642a a a ++=，则数列{}n a 的前9项的和9S =（） A. 255 B. 256 C. 511 D. 512 4．如图所示的阴影部分是由x 轴，直线1x =以及曲线1x y e =-围成，现向矩形区域OABC 内随机投掷一点，则该点落在阴影区域的概率是（） A. 1e B. 21 e e -- C. 11e - D. 11e - 5．在 52)(y x x ++ 的展开式中，含 2 5y x 的项的系数是（） A. 10 B. 20 C. 30 D. 60 6．已知一个简单几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为 ( ) A. 36π+ B. 66π+ C. 312π+ D. 12 7．已知函数 ())2log(x a x f -= 在 )1,(-∞上单调递减，则a 的取值范围是( ) A. 11<<