第３７卷第８期２ＯＯ５年８月 哈尔滨工业大学学报 ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＨＡＲＢＩＮＩＮＳＴ【ＴＵＴＥＯＦ’ｒＥＣＨＮＯＬＯＧＹ Ｖ０１．３７Ｎｏ．８ Ａｕｇ．２００５关于级数的绝对收敛 杨云燕 （哈尔滨工业大学数学系，黑龙江哈尔滨１５０００ｌ，Ｅ哪ａｉｌ：ｙｙｙ蚰＠ｈｉｔ．ｅｄｕ．叻） 摘要：拓展了级数绝对收敛的概念．设（ｘ，ｘ’）是任意对偶系统，在ｚ上找到了一个可容许拓扑ｒ，使得在 （ｘ，ｒ）上有界乘数收敛级数都是绝对收敛的，但是，当可容许拓扑下７严格强于ｒ时，在（ｘ，ｒ’）中，一定存在有 界乘数收敛级数不是绝对收敛的．这个结果的建立主要借助予李容录的一致收敛引理…和Ａｎｔｏｓｉｋ—Ｍｉｋｕｓ－ｉｎｓｋｉ矩阵定理‘２１． 关键词：绝对收敛；有界乘数收敛；等度连续；可容许拓扑；Ａｎｔｏｓｉｋ—Ｍｉｋｕｓｉｎｓｋｉ矩阵定理 中图分类号：０１７３文献标识码：Ａ文章编号：０３６７—６２３４（２００５）０８—１１１３—０３ ｏｎａｂｓｏｌｕｔｅｌｙｃｏｎＶｅｒｇｅｎｔｓｅｒｉｅｓ ＹＡＮＧＹｕｎ－ｙａｎ （Ｄｅｐｔ．ｏｆＭａｔｈｅｍ砒ｉｃｓ，ＨａｒｂｉｎＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｈａｒｂｉｎ１５０００１，Ｃｈｉｎａ，Ｅ－ｍａｊｌ：ｙｙｙａｎ＠ｈｉｔ．ｅｄｕ．ｃｎ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅｃｏｎｃｅｐｔｏｆａｂｓｏｌｕｔｅｃｏｎｖｅ唱ｅｎｃｅｉｓｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ．Ｆｏｒｅｖｅｒｙｄｕａｌｐａｉｒ（Ｘ，ｘ’），Ｔｈｅｒｅｅｘｉｓｔｓａｎａｄｍｉｓｓｉｂｌｅｔｏｐｏｌｏｇｙ丁ｏｎｘｓｕｃｈｔｈａｔ，ｉｎ（Ｘ，丁），ｂｏｕｎｄｅｄｍｕｌｔｉｐｌｉｅｒｃｏｎｖｅ唱ｅｎｔｓｅｒｉｅｓａｒｅａｂｓｏｌｕｔｅｌｙｃｏｎｖｅｒｇｅｎｔｂｕｔｉｎ（Ｘ，ｒ’），ｗｈｅｒｅｔｈｅａｄｍｉｓｓｉｂｌｅｔｏｐｏｌｏｇｙｒ’ｉｓｓｔｒｉｃｔｌｙｓｔｒｏｎｇｅｒｔｈａｎｒ，ｔｈｅｒｅｅｘｉｓｔｂｏｕｎｄｅｄｍｕｌｔｉｐｌｉｅｒｃｏｎ． Ｖｅ唱ｅｎｔｓｅｒｉｅｓｗｈｉｃｈａｒｅｎｏｔａｂｓｏＩｕｔｅｌｙｃｏｎｖｅｒｇｅｎｔ．ＴｈｉｓｒｅｓｕｈｉｓｂａｓｅｄｏｎｔｈｅＵｎｉｆｏ珊ＣｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅＬｌｅｍｍａ…ｏｆＵＲｏｎｇ．１ｕａｎｄＡｎｔｏｓｉｋ．ＭｉｋｕｓｉｎｓｋｉＢａｓｉｃＭａｔｒｉｘＴｈｅｏｒｅｍ［引． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ａｂｓｏｌｕｔｅｃｏｎＶｅＥｇｅｎｃｅ；ｂｏｕｎｄｅｄｍｕｌｔｉｐｌｉｅｒｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ；ｅｑｕｉｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙ；ａｄｍｉｓｓｉｂｌｅｔｏｐｏｌｏｇｙ；Ａｎｔｏｓｉｋ．ＭｉｋｕｓｉｎｓｋｉＭａ喇ｘＴｈｅｏｒｅｍ 称赋范空间（ｘ，０?ＩＩ）内的级数∑鼍是绝对收敛的若∑三，Ｉ｜巧ＩＩ＜＋∞．本文将这个简单的概念推广到局部凸空间的情形，进而发现：在一个对偶系统中存在一个可容许拓扑ｒ，使得对所有强于弱拓扑而弱于ｒ的可容许拓扑而言，所有有界乘数收敛级数都是绝对收敛的． 以下如不加声明，ｘ代表局部凸空间，ｘ’是它的对偶． 定义１称ｘ中的级数∑勺是绝对收敛的，若对任意等度连续序列｛Ｚ｝￡ｘ’有∑王，ｚ（勺）收敛． 若ｘ是赋范空间，｛骛｝∈ｘ，则∑三，ＩＩ巧ｏ＜＋∞当且仅当对任意等度连续序列｛彳｝∈ｘ’，∑二。Ｚ（戈，）收敛 收稿日期：２００４一０６—２８． 作者简介：杨云燕（１９７８一），女，博士研究生 为得到以下有关级数及其绝对收敛性质的一些结果，引进如下的一致收敛引理［１｜： 引理ｌ－ｆ２≠勿，Ｇ是Ａｂｅｌ拓扑群，｛Ｚ｝ｃＧｎ，则下列（１）（２）等价． （１）对每个｛哟｝ｃ以，∑二。石（ｑ）收敛． （２）∑工，Ｚ（哆）关于｛ｑ｝ｃ力一致收敛． 定理ｌｘ中的级数∑巧绝对收敛当且仅当对任意等度连续集Ａ∈ｘ’，∑二。ｌＺ（勺）Ｉ关于｛Ｚ｝互Ａ一致收敛． 证明假设∑吩绝对收敛．若Ａ是ｘ’的一个等度连续子集，则曰＝｛矿：ＩｔＩ≤ｌ／∈Ａ｝也等度连续．因此，对任意｛乃｝∈Ａ，∑二，Ｉ‘７；（％）Ｉ收敛．从而，据引理１有∑三，Ｉｚ（巧）Ｉ关于｛ｚ｝∈Ａ一致收敛． 若Ａ∈ｘ’等度连续，命 ０髫｜Ｉ＾＝ｓｕｐ｛Ｉ．厂（菇）ｌ：厂∈Ａ｝，菇Ｅｘ， 万方数据
无穷级数整理 一、数项级数 （一）数项级数的基本性质 1.收敛的必要条件：收敛级数的一般项必趋于0. 2.收敛的充要条件（柯西收敛原理）：对任意给定的正数ε，总存在N 使得对于任何两个N 大于的正整数m 和n ，总有ε<-n m S S .（即部分和数列收敛） 3.收敛级数具有线性性（即收敛级数进行线性运算得到的级数仍然收敛），而一个收敛级数和一个发散级数的和与差必发散. 4.对收敛级数的项任意加括号所成级数仍然收敛，且其和不变. 5.在一个数项级数内去掉或添上有限项不会影响敛散性. （二）数项级数的性质及敛散性判断 1.正项级数的敛散性判断方法 （1）正项级数基本定理：如果正项级数的部分和数列有上界，则正项级数收敛. （2）比较判别法（放缩法）：若两个正项级数 ∑∞ =1 n n u 和 ∑∞ =1 n n v 之间自某项以后成立着关系： 存在常数0>c ，使),2,1(Λ=≤n cv u n n ，那么 （i ）当级数 ∑∞ =1n n v 收敛时，级数 ∑∞ =1n n u 亦收敛； （ii ）当级数 ∑∞ =1 n n u 发散时，级数 ∑∞ =1 n n v 亦发散. 推论：设两个正项级数 ∑∞ =1 n n u 和∑∞ =1 n n v ，且自某项以后有 n n n n v v u u 1 1++≤，那么 （i ）当级数 ∑∞ =1n n v 收敛时，级数 ∑∞ =1n n u 亦收敛； （ii ）当级数 ∑∞ =1 n n u 发散时，级数 ∑∞ =1 n n v 亦发散. （3）比较判别法的极限形式（比阶法）：给定两个正项级数 ∑∞ =1 n n u 和∑∞ =1 n n v ， 若0lim >=∞→l v u n n n ， 那么这两个级数敛散性相同.（注：可以利用无穷小阶的理论和等价无穷小的内容） 另外，若0=l ，则当级数 ∑∞ =1 n n v 收敛时，级数 ∑∞ =1 n n u 亦收敛；若∞=l ，则当级数 ∑∞ =1 n n u 发 散时，级数 ∑∞ =1 n n v 亦发散.
常数项级数 所谓无穷级数即表示无穷项相加，他是一种研究函数以及数值计算的工具。 一、 常数项级数的概念和性质 ① 引例y ǐn l ì ：求圆的周长，可以内接正多边形，当正多边形边数无穷 增加时的极限值近似可以得到圆的周长： 123n A a a a a =++?????++???????? 一般地 ，如果给定一个数列： 123,,,,n u u u u ,?????????? 则由这个数列所构成的和的表达式： 123,n u u u u +++?????+????? 叫做（常数项）无穷级数，简称（常数）级数，记为： 1231,n n n u u u u u ∞==+++?????+?????∑ 其中第n 项称为级数的一般项。 n u 下面从有限项的和出发，观察它的变化趋势，来理解无穷多个数量相加的意义： 作（常数项）级数的前n 项的和，记作： 123n n S u u u u =+++?????+ n S 称为级数的部分和，当n 依次取得1，2，3，……时，他们构成了一个新的数列： 11S u =，21S u u 2=+，312S u u u 3=++ 123n n S u u u u =+++?????+
② 常数项级数的和函数定义：如果级数 1231 ,n n n u u u u u ∞ ==+++?????+?????∑的部分和数列 {}n S 有极限s ，即：lim n n S s →∞ = 称无穷级数收敛，这时极限s 叫做这个级数的和，并写成： 1n n u ∞=∑123n s u u u u =+++?????++????? 如果极限不存在，则称无穷级数 1n n u ∞=∑发散。
第四节 条件收敛与绝对收敛 对于任意项级数∑∞ =1n n a ，我们已经给出了其收敛的一些判 别方法，本节我们讨论任意项级数的其他性质 - 条件收敛与绝对收敛. 定义10．5 对于级数∑∞ =1 n n a ，如果级数∑∞ =1 ||n n a 是收敛的,我们 称级数∑∞ =1 n n a 绝对收敛. 如果∑∞=1 ||n n a 发散,但∑∞=1 n n a 是收敛的， 我们称级数∑∞ =1 n n a 条件收 敛。 条件收敛的级数是存在的,如∑∞ =+-11 .)1(n n n 收敛级数可以看成是有限和的推广，但无限和包含有极限过程。并不是有限和的所有性质都为无限和所保持。大体说来,绝对收敛的级数保持了有限和的大多数性质，条件收敛的级数则在某些方面与有限和差异很大。下面我们讨论条件收敛与绝对收敛的性质。 定理10。1７ 绝对收敛级数必为收敛级数，反之则不然． 证明：设级数∑∞ =1 n n a 收敛，即∑∞ =1 ||n n a 收敛，由C ａuc ｈy 收敛准 则，对0>?ε， 存在N ，当n 〉N 时,对一切自然数 p , 成立着 ε<++++++||||||21p n n n a a a 于是：
≤++++++||21p n n n a a a ε<++++++||||||21p n n n a a a 再由Cauchy 收敛准则知∑∞ =1 n n a 收敛。 由级数∑∞ =+-1 1 )1(n n n 可看出反之不成立. 注：如果正项级数∑∞=1 ||n n a 发散，不能推出级数∑∞ =1 n n a 发散。 但如果使用Cauchy 判别法或Ｄ'Ａlembert 判别法判定出 ∑∞=1 ||n n a 发散，则级数∑∞ =1 n n a 必发散,这是因为利用Cauch ｙ判别 法或D ’Ａｌｅｍｂert 判别法来判定一个正项级数∑∞ =1 | |n n a 为发散时，是根据这个级数的一般项｜a n ｜当+∞→n 时不趋于0，因此对级数∑∞ =1n n a 而言,它的一般项也不趋于零，所以级 数∑∞ =1 n n a 发散。 例10.38 讨论级数∑∞ =+++-1 1 1 12)1(n p n n n n 的敛散性，如收敛指明是条件收敛或绝对收敛。 解,当0≤p 时，由于∞ →n lim ,01 12≠++p n n n 所以级数发散． 当2>p 时， 因为 ∞ →n lim 1/11 12=++p p n n n n 而∑ ∞ =1 1n p n 收敛,所以原级数绝对收敛。
1、若数项级数和绝对收敛，则级数必绝对收敛.（正确） 2、数项级数收敛当且仅当对每个固定的满足条件（错误） 3、若连续函数列的极限函数在区间I上不连续，则其函数列在区间I不一致收敛。（正确） 4、若在区间上一致收敛，则在上一致收敛.（正确） 5、如果函数在具有任意阶导数，则存在，使得在可以展开成泰勒级数.（错误） 6、函数可导必连续，连续必可导。（错误） 7、极值点一定包含在区间内部驻点或导数不存在的点之中。（正确） 8、线性回归得出的估计方程为y=38+2x，此时若已知未来x的值是30，那么我们可以预 测y的估计值为( 98 )。 9、下列关系是确定关系的是（正方形的边长和面积）。 10、样本方差与随机变量数字特征中的方差的定义不同在于B、是由各观测值到均值距 离的平方和除以样本量减１.而不是直接除以样本量。 11、主要用于样本含量n≤30以下，不经分组资料平均数的计算的是D、直接法。 12、C、盒形图在投资实践中被演变成著名的K线图。 13、设事件A与B同时发生时，事件C必发生，则正确的结论是B、PC≥PA+PB-1。 14、统计学以C、概率论为理论基础，根据试验或者观察得到的数据来研究随机现象，对 研究对象的客观规律性作出种种合理的估计和判断。 15、已知甲任意一次射击中靶的概率为0.5,甲连续射击3次，中靶两次的概率为A、0.375. 16、下面哪一个可以用泊松分布来衡量B、一段道路上碰到坑的次数。 17、线性回归方法是做出这样一条直线，使得它与坐标系中具有一定线性关系的各点的C、 垂直距离的平方和。 18、当两变量的相关系数接近相关系数的最小取值-1时，表示这两个随机变量之间B、 近乎完全负相关。 19、关于概率，下列说法正确的是（ABC） 20、下列哪些方面需要用到概率知识分析其不确定性（ABC） 21、什么样的情况下，可以应用古典概率或先验概率方法（BD） 22、关于协方差，下列说法正确的有（ABD） 23、关于中位数，下列理解错误的有（BC） 24、线性回归时，在各点的坐标为已知的前提下，要获得回归直线的方程就是要确定该直线的（BD） 25、下列对众数说法正确的有（ABCD） 26、下列关于主观概率的说法正确的有（BC） 27、如果A和B是独立的，下列公式正确的有（BCD） 28、对于统计学的认识，正确的有（ACD） 29、关于中位数，下列理解错误的有（BC） 30、在自然界和人类社会中普遍存在变量之间的关系，变量之间的关系可以分为（AB） 31、应用逻辑判断来确定每种可能的概率的方法适用于古典概率或先验概率。（正确） 32、互补事件可以运用概率的加法和概率的乘法。（错误） 33、泊松分布中事件出现数目的均值入是决定泊松分布的唯一的参数。（正确） 34、袋中有5个白球，n个红球，从中任取一个恰为红球的概率为2/3,则n为（B、10） 35、我们探究概率主要是针对（C、不确定事件） 36、某人忘记了电话号码的一位数字，因而他随意拨号，第一次接通电话的概率是（B、1/10） 37、一个盒子里有20个球，其中有18个红球，每个球除颜色外都相同，从中任意取出3个球，则下列结论中，正确的是（C、所取出的3个球中，至少有1个是红球） 38、从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，要求其中至少有甲型和乙型电视机各1
无穷级数知识点汇总 一、数项级数 （一）数项级数的基本性质 1.收敛的必要条件：收敛级数的一般项必趋于0. 2.收敛的充要条件（柯西收敛原理）：对任意给定的正数ε，总存在N 使得对于任何两个N 大于的正整数m 和n ，总有ε<-n m S S .（即部分和数列收敛） 3.收敛级数具有线性性（即收敛级数进行线性运算得到的级数仍然收敛），而一个收敛级数和一个发散级数的和与差必发散. 4.对收敛级数的项任意加括号所成级数仍然收敛，且其和不变. 5.在一个数项级数内去掉或添上有限项不会影响敛散性. （二）数项级数的性质及敛散性判断 1.正项级数的敛散性判断方法 （1）正项级数基本定理：如果正项级数的部分和数列有上界，则正项级数收敛. （2）比较判别法（放缩法）：若两个正项级数 ∑∞ =1 n n u 和 ∑∞ =1 n n v 之间自某项以后成立着关系： 存在常数0>c ，使),2,1(Λ=≤n cv u n n ，那么 （i ）当级数 ∑∞ =1n n v 收敛时，级数 ∑∞ =1n n u 亦收敛； （ii ）当级数 ∑∞ =1 n n u 发散时，级数 ∑∞ =1 n n v 亦发散. 推论：设两个正项级数 ∑∞ =1 n n u 和∑∞ =1 n n v ，且自某项以后有 n n n n v v u u 1 1++≤，那么 （i ）当级数 ∑∞ =1n n v 收敛时，级数 ∑∞ =1n n u 亦收敛； （ii ）当级数 ∑∞ =1 n n u 发散时，级数 ∑∞ =1 n n v 亦发散. （3）比较判别法的极限形式（比阶法）：给定两个正项级数 ∑∞ =1 n n u 和∑∞ =1 n n v ， 若0lim >=∞→l v u n n n ， 那么这两个级数敛散性相同.（注：可以利用无穷小阶的理论和等价无穷小的内容） 另外，若0=l ，则当级数 ∑∞ =1 n n v 收敛时，级数 ∑∞ =1 n n u 亦收敛；若∞=l ，则当级数 ∑∞ =1 n n u 发 散时，级数 ∑∞ =1 n n v 亦发散.
§1 常数项级数的概念和性质 【目的要求】 1、能区分无穷项相加与有限项相加的区别； 2、了解无穷级数部分和与级数收敛及发散的关系、和的定义； 3、掌握用部分和的极限、收敛级数的必要条件来判别级数的敛散性． 【重点难点】 数项级数的概念与性质． 【教学内容】 一、常数项级数的概念 定义1.1 给定一个无穷实数列{}n u ： 12,, ,, n u u u 则由这数列构成的表达式 12n u u u ++ ++ 叫做常数项无穷级数, 简称常数项级数, 记为∑∞ =1 n n u , 即 1231 n n n u u u u u ∞ ==+++++ ∑, 其中第n 项n u 叫做级数的一般项(或通项). 级数∑∞ =1n n u 的前n 项和 1231 n n i n i s u u u u u ===+++ +∑ 称为级数∑∞ =1 n n u 的前n 项部分和. 部分和构成的数列 12{}:,,, n n s s s s 称为部分和数列.
定义 1.2 如果级数∑∞ =1 n n u 的部分和数列}{n s 收敛, 即 s s n n =∞ →lim , (s 为一实数) 则称无穷级数∑∞ =1 n n u 收敛, 并称s 为级数∑∞ =1 n n u 的和, 并写成 1231 n n n s u u u u u ∞ ===+++ ++∑; 如果}{n s 发散, 则称无穷级数∑∞ =1 n n u 发散. 级数的收敛和发散统称为敛散性. 当级数∑∞ =1 n n u 收敛时, 其部分和n s 是级数∑∞ =1 n n u 的和s 的近似值, 它们之间的差 n n r s s =- 称为级数∑∞ =1 n n u 的余项. n s 和s 之间的误差可由||n r 去衡量, 由于s s n n =∞ →lim , 所以lim ||0n n r →∞ = 例1 讨论等比级数(几何级数) 20 n n n aq a aq aq aq ∞ ==+++++ ∑, (0a ≠) 的敛散性. 解 如果1q ≠, 则部分和 2 1 111n n n n a aq a aq s a aq aq aq q q q --=+++ +==----. 当||1q <时, 因为q a s n n -=∞→1lim , 所以此时级数n n aq ∑∞ =0 收敛, 其和为q a -1. 当||1q >时, 因为lim n n s →∞ 不存在, 所以此时级数n n aq ∑∞ =0 发散. 如果||1q =, 则当1q =时, 因为lim n n s →∞ 不存在, 因此此时级数n n aq ∑∞ =0 发散;
1、若数项级数和绝对收敛,则级数必绝对收 敛(正确)
1、若数项级数和绝对收敛，则级数必绝对收敛.（正确） 2、数项级数收敛当且仅当对每个固定的满足条件（错误） 3、若连续函数列的极限函数在区间I上不连续，则其函数列在区间I不一致 收敛。（正确） 4、若在区间上一致收敛，则在上一致收敛.（正确） 5、如果函数在具有任意阶导数，则存在，使得在可以展开成泰勒级数.（错 误） 6、函数可导必连续，连续必可导。（错误） 7、极值点一定包含在区间内部驻点或导数不存在的点之中。（正确） 8、线性回归得出的估计方程为y=38+2x，此时若已知未来x的值是30，那么 我们可以预测y的估计值为( 98 )。 9、下列关系是确定关系的是（正方形的边长和面积）。 10、样本方差与随机变量数字特征中的方差的定义不同在于B、是由各观测 值到均值距离的平方和除以样本量减１.而不是直接除以样本量。 11、主要用于样本含量n≤30以下，不经分组资料平均数的计算的是D、直 接法。 12、C、盒形图在投资实践中被演变成著名的K线图。 13、设事件A与B同时发生时，事件C必发生，则正确的结论是B、PC≥ PA+PB-1。 14、统计学以C、概率论为理论基础，根据试验或者观察得到的数据来研究 随机现象，对研究对象的客观规律性作出种种合理的估计和判断。 15、已知甲任意一次射击中靶的概率为0.5,甲连续射击3次，中靶两次的概 率为A、0.375.
16、下面哪一个可以用泊松分布来衡量B、一段道路上碰到坑的次数。 17、线性回归方法是做出这样一条直线，使得它与坐标系中具有一定线性关 系的各点的C、垂直距离的平方和。 18、当两变量的相关系数接近相关系数的最小取值-1时，表示这两个随机变 量之间B、近乎完全负相关。 19、关于概率，下列说法正确的是（ABC） 20、下列哪些方面需要用到概率知识分析其不确定性（ABC） 21、什么样的情况下，可以应用古典概率或先验概率方法（BD） 22、关于协方差，下列说法正确的有（ABD） 23、关于中位数，下列理解错误的有（BC） 24、线性回归时，在各点的坐标为已知的前提下，要获得回归直线的方程就是要确定该 直线的（BD）