新课程标准数学选修2—2第一章课后习题解答
第一章 导数及其应用 3．1变化率与导数 练习（P6）
在第3 h 和5 h 时，原油温度的瞬时变化率分别为1-和3. 它说明在第3 h 附近，原油温度大约以1 ℃／h 的速度下降；在第5 h 时，原油温度大约以3 ℃／h 的速率上升. 练习（P8）
函数()h t 在3t t =附近单调递增，在4t t =附近单调递增. 并且，函数()h t 在4t 附近比在3t 附近增加得慢. 说明：体会“以直代曲”的思想. 练习（P9）
函数()r V =
(05)
V ≤≤的图象为
根据图象，估算出(0.6)0.3r '≈，(1.2)0.2r '≈.
说明：如果没有信息技术，教师可以将此图直接提供给学生，然后让学生根据导数的几何意义估算两点处的导数. 习题1.1 A 组（P10）
1、在0t 处，虽然1020()()W t W t =，然而
10102020()()
()()
W t W t t W t W t t t
t
--?--?≥
-?-?.
所以，企业甲比企业乙治理的效率高.
说明：平均变化率的应用，体会平均变化率的内涵. 2、
(1)(1)
4.9 3.3h h t h t t
t
?+?-=
=-?-??，所以，(1) 3.3h '=-.
这说明运动员在1t =s 附近以3.3 m ／s 的速度下降. 3、物体在第5 s 的瞬时速度就是函数()s t 在5t =时的导数.
(5)(5)
10
s s t s
t t
t
?+?-=
=?+??，所以，(5)10s '=.
因此，物体在第5 s 时的瞬时速度为10 m ／s ，它在第5 s 的动能2
1310150
2
k E =??= J.
4、设车轮转动的角度为θ，时间为t ，则2(0)kt t θ=>.
由题意可知，当0.8t =时，2θπ=. 所以258
k π=
，于是2
258
t
πθ=
.
车轮转动开始后第3.2 s 时的瞬时角速度就是函数()t θ在 3.2t =时的导数.
(3.2)(3.2)25
208
t t t
t θθθ
ππ
?+?-=
=?+??，所以(3.2)20θπ'=.
因此，车轮在开始转动后第3.2 s 时的瞬时角速度为20π1s -. 说明：第2,3,4题是对了解导数定义及熟悉其符号表示的巩固.
5、由图可知，函数()f x 在5x =-处切线的斜率大于零，所以函数在5x =-附近单调递增. 同理可得，函数()f x 在4x =-，2-，0，2附近分别单调递增，几乎没有变化，单调递减，单调递减. 说明：“以直代曲”思想的应用.
6、第一个函数的图象是一条直线，其斜率是一个小于零的常数，因此，其导数()f x '的图象如图（1）所示；第二个函数的导数()f x '恒大于零，并且随着x 的增加，()f x '的值也在增加；对于第三个函数，当x 小于零时，()f x '小于零，当x 大于零时，()f x '大于零，并且随着x 的增加，()f x '的值也在增加. 以下给出了满足上述条件的导函数图象中的一种.
说明：本题意在让学生将导数与曲线的切线斜率相联系. 习题3.1 B 组（P11）
1、高度关于时间的导数刻画的是运动变化的快慢，即速度；速度关于时间的导数刻画的是速度变化的快慢，根据物理知识，这个量就是加速度.
2、
说明：由给出的()v t 的信息获得()s t 的相关信息，并据此画出()s t 的图象的大致形状. 这个过程基于对导数内涵的了解，以及数与形之间的相互转换.
3、由（1）的题意可知，函数()f x 的图象在点(1,5)-处的切线斜率为1-，所以此点附近曲线呈下降趋势. 首先画出切线的图象，然后再画出此点附近函数的图象. 同理可得（2）（3）某点处函数图象的大致形状. 下面是一种参考答案.
说明：这是一个综合性问题，包含了对导数内涵、导数几何意义的了解，以及对以直代曲思想的领悟. 本题的答案不唯一. 1．2导数的计算 练习（P18）
1、()27f x x '=-，所以，(2)3f '=-，(6)5f '=.
2、（1）1ln 2
y x '=
； （2）2x y e '=；
（3）4106y x x '=-； （4）3sin 4cos y x x '=--； （5）1
sin
33
x y '=-； （6）y '=
.
习题1.2 A 组（P18） 1、
()()
2S S r r S r r r
r
r
π?+?-=
=+???，所以，0
()lim (2)2r S r r r r ππ?→'=+?=.
2、()9.8 6.5h t t '=-+.
3、()r V '=
4、（1）21
3ln 2
y x x '=+
； （2）1n x n x y nx e x e -'=+；
（3）2
3
2
3sin co s co s sin x x x x x
y x
-+'=
； （4）9899(1)y x '=+；
（5）2x y e -'=-； （6）2sin(25)4cos(25)y x x x '=+++.
5、()8f x '=-+. 由0()4f x '=有 048=-+，解得0x =
6、（1）ln 1y x '=+； （2）1y x =-.
7、1x y π
=-
+.
8、（1）氨气的散发速度()500ln 0.8340.834t A t '=??.
（2）(7)25.5A '=-，它表示氨气在第7天左右时，以25.5克／天的速率减少.
习题1.2 B 组（P19） 1、（1）
（2）当h 越来越小时，sin ()sin x h x
y h
+-=
就越来越逼近函数cos y x =.
（3）sin y x =的导数为cos y x =.
2、当0y =时，0x =. 所以函数图象与x 轴交于点(0,0)P . x y e '=-，所以0
1x y ='
=-.
所以，曲线在点P 处的切线的方程为y x =-.
2、()4sin d t t '=-. 所以，上午6:00时潮水的速度为0.42-m ／h ；上午9:00时潮水的速度为
0.63
-m ／h ；中午12:00时潮水的速度为0.83-m ／h ；下午6:00时潮水的速度为 1.24-m ／h. 1．3导数在研究函数中的应用 练习（P26）
1、（1）因为2()24f x x x =-+，所以()22f x x '=-.
当()0f x '>，即1x >时，函数2()24f x x x =-+单调递增； 当()0f x '<，即1x <时，函数2()24f x x x =-+单调递减. （2）因为()x f x e x =-，所以()1x f x e '=-.
当()0f x '>，即0x >时，函数()x f x e x =-单调递增； 当()0f x '<，即0x <时，函数()x f x e x =-单调递减. （3）因为3()3f x x x =-，所以2()33f x x '=-.
当()0f x '>，即11x -<<时，函数3()3f x x x =-单调递增； 当()0f x '<，即1x <-或1x >时，函数3()3f x x x =-单调递减. （4）因为32()f x x x x =--，所以2()321f x x x '=--. 当()0f x '>，即13
x <-
或1x >时，函数32()f x x x x =--单调递增；
当()0f x '<，即11
3
x -<<时，函数32()f x x x x =--单调递减.
2、
3、因为2()(0)f x a x b x c a =++≠，所以()2f x ax b '=+. （1）当0a >时，
()0f x '>，即2b x a >-时，函数2()(0)f x a x b x c a =++≠单调递增； ()0
f x '<，即2b x a <-
时，函数2()(0)f x a x b x c a =++≠单调递减.
（2）当0a <时，
()0f x '>，即2b x a <-时，函数2()(0)f x a x b x c a =++≠单调递增； ()0
f x '<，即2b x a
>-
时，函数2()(0)f x a x b x c a =++≠单调递减.
4、证明：因为32()267f x x x =-+，所以2()612f x x x '=-. 当(0,2)x ∈时，2()6120f x x x '=-<，
因此函数32()267f x x x =-+在(0,2)内是减函数. 练习（P29）
1、24,x x 是函数()y f x =的极值点，
其中2x x =是函数()y f x =的极大值点，4x x =是函数()y f x =的极小值点. 2、（1）因为2()62f x x x =--，所以()121f x x '=-. 令()1210f x x '=-=，得112
x =.
当112
x >
时，()0f x '>，()f x 单调递增；当112
x <
时，()0f x '<，()f x 单调递减.
所以，当112
x =时，()f x 有极小值，并且极小值为2
11149(
)6(
)2121212
24
f =?-
-=-
.
（2）因为3()27f x x x =-，所以2()327f x x '=-. 令2()3270f x x '=-=，得3x =±. 下面分两种情况讨论：
①当()0f x '>，即3x <-或3x >时；②当()0f x '<，即33x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：
注：图象形状不唯一.
因此，当3x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为54；
当3x =时，()f x 有极小值，并且极小值为54-.
（3）因为3()612f x x x =+-，所以2()123f x x '=-. 令2()1230f x x '=-=，得2x =±. 下面分两种情况讨论：
①当()0f x '>，即22x -<<时；②当()0f x '<，即2x <-或2x >时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：
因此，当2x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为10-；
当2x =时，()f x 有极大值，并且极大值为22
（4）因为3()3f x x x =-，所以2()33f x x '=-. 令2()330f x x '=-=，得1x =±. 下面分两种情况讨论：
①当()0f x '>，即11x -<<时；②当()0f x '<，即1x <-或1x >时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：
因此，当1x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为2-；
当1x =时，()f x 有极大值，并且极大值为2
练习（P31）
（1）在[0,2]上，当112
x =
时，2()62f x x x =--有极小值，并且极小值为149(
)12
24
f =-
.
又由于(0)2f =-，(2)20f =.
因此，函数2()62f x x x =--在[0,2]上的最大值是20、最小值是4924
-
.
（2）在[4,4]-上，当3x =-时，3()27f x x x =-有极大值，并且极大值为(3)54f -=；
当3x =时，3()27f x x x =-有极小值，并且极小值为(3)54f =-；
又由于(4)44f -=，(4)44f =-.
因此，函数3()27f x x x =-在[4,4]-上的最大值是54、最小值是54-.
（3）在1
[,3]3-上，当2x =时，3()612f x x x =+-有极大值，并且极大值为(2)22f =.
又由于155()3
27
f -=
，(3)15f =.
因此，函数3()612f x x x =+-在1
[,3]3
-上的最大值是22、最小值是
5527
.
（4）在[2,3]上，函数3()3f x x x =-无极值. 因为(2)2f =-，(3)18f =-.
因此，函数3()3f x x x =-在[2,3]上的最大值是2-、最小值是18-. 习题1.3 A 组（P31）
1、（1）因为()21f x x =-+，所以()20f x '=-<. 因此，函数()21f x x =-+是单调递减函数. （2）因为()cos f x x x =+，(0,
)
2x π∈，所以()1sin 0f x x '=->，(0,
)
2
x π∈.
因此，函数()cos f x x x =+在(0,)
2π上是单调递增函数.
（3）因为()24f x x =--，所以()20f x '=-<. 因此，函数()24f x x =-是单调递减函数. （4）因为3()24f x x x =+，所以2()640f x x '=+>. 因此，函数3()24f x x x =+是单调递增函数.
2、（1）因为2()24f x x x =+-，所以()22f x x '=+.
当()0f x '>，即1x >-时，函数2()24f x x x =+-单调递增. 当()0f x '<，即1x <-时，函数2()24f x x x =+-单调递减. （2）因为2()233f x x x =-+，所以()43f x x '=-. 当()0f x '>，即34x >时，函数2()233f x x x =-+单调递增. 当()0f x '<，即34
x <
时，函数2()233f x x x =-+单调递减.
（3）因为3()3f x x x =+，所以2()330f x x '=+>. 因此，函数3()3f x x x =+是单调递增函数. （4）因为32()f x x x x =+-，所以2()321f x x x '=+-. 当()0f x '>，即1x <-或13
x >时，函数32()f x x x x =+-单调递增.
当()0f x '<，即113
x -<<
时，函数32()f x x x x =+-单调递减.
3、（1）图略. （2）加速度等于0.
4、（1）在2x x =处，导函数()y f x '=有极大值； （2）在1x x =和4x x =处，导函数()y f x '=有极小值； （3）在3x x =处，函数()y f x =有极大值； （4）在5x x =处，函数()y f x =有极小值.
5、（1）因为2()62f x x x =++，所以()121f x x '=+. 令()1210f x x '=+=，得112
x =-.
当112x >-时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当112
x <-
时，()0f x '<，()f x 单调递减.
所以，112
x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为2
11149()6()212
12
12
24
f -
=?-
-
-=-
.
（2）因为3()12f x x x =-，所以2()312f x x '=-. 令2()3120f x x '=-=，得2x =±. 下面分两种情况讨论：
①当()0f x '>，即2x <-或2x >时；②当()0f x '<，即22x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：
因此，当2x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为16；
当2x =时，()f x 有极小值，并且极小值为16-.
（3）因为3()612f x x x =-+，所以2()123f x x '=-+. 令2()1230f x x '=-+=，得2x =±. 下面分两种情况讨论：
①当()0f x '>，即2x <-或2x >时；②当()0f x '<，即22x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：
因此，当2x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为22；
当2x =时，()f x 有极小值，并且极小值为10-.
（4）因为3()48f x x x =-，所以2()483f x x '=-. 令2()4830f x x '=-=，得4x =±. 下面分两种情况讨论：
①当()0f x '>，即2x <-或2x >时；②当()0f x '<，即22x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：
因此，当4x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为128-；
当4x =时，()f x 有极大值，并且极大值为128.
6、（1）在[1,1]-上，当112
x =-
时，函数2()62f x x x =++有极小值，并且极小值为
4724
.
由于(1)7f -=，(1)9f =，
所以，函数2()62f x x x =++在[1,1]-上的最大值和最小值分别为9，
4724
.
（2）在[3,3]-上，当2x =-时，函数3()12f x x x =-有极大值，并且极大值为16； 当2x =时，函数3()12f x x x =-有极小值，并且极小值为16-. 由于(3)9f -=，(3)9f =-，
所以，函数3()12f x x x =-在[3,3]-上的最大值和最小值分别为16，16-. （3）在1[,1]3
-
上，函数3
()612f x x x =-+在1[,1]3
-
上无极值.
由于1
269()3
27
f -=
，(1)5f =-，
所以，函数3()612f x x x =-+在1[,1]3
-
上的最大值和最小值分别为
26927
，5-.
（4）当4x =时，()f x 有极大值，并且极大值为128.. 由于(3)117f -=-，(5)115f =，
所以，函数3()48f x x x =-在[3,5]-上的最大值和最小值分别为128，117-. 习题3.3 B 组（P32）
1、（1）证明：设()sin f x x x =-，(0,)x π∈. 因为()cos 10f x x '=-<，(0,)x π∈ 所以()sin f x x x =-在(0,)π内单调递减
因此()sin (0)0f x x x f =-<=，(0,)x π∈，即sin x x <，(0,)x π∈. 图略 （2）证明：设2()f x x x =-，(0,1)x ∈. 因为()12f x x '=-，(0,1)x ∈
所以，当1
(0,)2
x ∈时，()120f x x '=->，()f x 单调递增，
2
()(0)0f x x x f =->=；
当1
(,1)2
x ∈时，()120f x x '=-<，()f x 单调递减，
2
()(1)0
f x x x f =->=；
又11()0
2
4
f =
>. 因此，20x x ->，(0,1)x ∈. 图略
（3）证明：设()1x f x e x =--，0x ≠. 因为()1x f x e '=-，0x ≠
所以，当0x >时，()10x f x e '=->，()f x 单调递增，
()1(0)0
x
f x e x f =-->=；
当0x <时，()10x f x e '=-<，()f x 单调递减，
()1(0)0
x
f x e x f =-->=；
综上，1x e x ->，0x ≠. 图略 （4）证明：设()ln f x x x =-，0x >. 因为1()1f x x
'=
-，0
x ≠
所以，当01x <<时，1()10
f x x '=->，()f x 单调递增，
()ln (1)10f x x x f =-<=-<；
当1x >时，1()10
f x x
'=
-<，()f x 单调递减，
()ln (1)10f x x x f =-<=-<；
当1x =时，显然ln 11<. 因此，ln x x <. 由（3）可知，1x e x x >+>，0x >.
. 综上，ln x x x e <<，0x > 图略
2、（1）函数32()f x ax bx cx d =+++的图象大致是个“双峰”图象，类似“
”或“
”
的形状. 若有极值，则在整个定义域上有且仅有一个极大值和一个极小值，从图象上能大致估计它的单调区间.
（2）因为32()f x ax bx cx d =+++，所以2()32f x a x b x c '=++.
下面分类讨论：
当0a ≠时，分0a >和0a <两种情形： ①当0a >，且230b ac ->时，
设方程2()320f x a x b x c '=++=的两根分别为12,x x ，且12x x <，
当2()320f x a x b x c '=++>，即1x x <或2x x >时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增； 当2()320f x ax bx c '=++<，即12x x x <<时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递减. 当0a >，且230b ac -≤时，
此时2()320f x ax bx c '=++≥，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增. ②当0a <，且230b ac ->时，
设方程2()320f x a x b x c '=++=的两根分别为12,x x ，且12x x <，
当2()320f x a x b x c '=++>，即12x x x <<时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增； 当2()320f x ax bx c '=++<，即1x x <或2x x >时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递减. 当0a <，且230b ac -≤时，
此时2()320f x ax bx c '=++≤，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递减 1．4生活中的优化问题举例 习题1.4 A 组（P37）
1、设两段铁丝的长度分别为x ，l x -，则这两个正方形的边长分别为4
x ，
4
l x -，两个正方
形的面积和为 22
22
1()()(
)(22)44
16
x
l x S f x x lx l -==+=-+，0x l
<<.
令()0f x '=，即420x l -=，2
l x =
.
当(0,)2
l
x ∈时，()0f x '<；当(,)2
l
x l ∈时，()0f x '>.
因此，2
l x =
是函数()f x 的极小值点，也是最小值点.
所以，当两段铁丝的长度分别是2
l 时，两个正方形的面积和最小.
2、如图所示，由于在边长为a 的正方形铁片的四角截去 四个边长为x 的小正方形，做成一个无盖方盒，所以无 盖方盒的底面为正方形，且边长为2a x -，高为x . （1）无盖方盒的容积2()(2)V x a x x =-，02
a x <<.
（2）因为322()44V x x ax a x =-+，
所以22()128V x x ax a '=-+. 令()0V x '=，得2
a x =
（舍去），或6
a x =
.
当(0,)6
a
x ∈时，()0V x '>；当(,)62
a a
x ∈时，()0V x '<.
因此，6
a x =
是函数()V x 的极大值点，也是最大值点.
所以，当6
a x =时，无盖方盒的容积最大.
3、如图，设圆柱的高为h ，底半径为R ， 则表面积222S R h R ππ=+ 由2V R h π=，得2
V
h R π=.
因此，2
2
2
2()222V
V S R R R R
R
R
ππππ=+=
+，0R >.
令2()40
V S R R R
π'=-
+=
，解得R =
.
当R ∈时，()0S R '<；
当)R ∈+∞时，()0S R '>.
因此，R =
是函数()S R 的极小值点，也是最小值点.
此时，2
2V
h R
R
π=
==.
所以，当罐高与底面直径相等时，所用材料最省. 4、证明：由于2
1
1
()()
n
i
i f x x a n
==
-∑，所以1
2
()()n
i
i f x x a n
='=
-∑. 令()0f x '=，得1
1n
i
i x a n
==
∑，
可以得到，1
1
n
i
i x a n
==
∑是函数()f x 的极小值点，也是最小值点. 这个结果说明，用n 个数据的平均值1
1n
i
i a n
=∑
表示这个物体的长度是合理的，
这就是最小二乘法的基本原理. 5、设矩形的底宽为x m ，则半圆的半径为
2
x m ，半圆的面积为
2
8
x π2
m
，
（第3题）
矩形的面积为2
8
x a π-
2
m
，矩形的另一边长为()8a x x
π-
m
因此铁丝的长为22()(1)2
4
4
x a x a l x x x x
x
πππ=
++-
=+
+
，0x <<
令2
2()104
a l x x
π'=+
-
=，得x =
.
当x ∈时，()0l x '<；当x ∈时，()0l x '>.
因此，x =
()l x 的极小值点，也是最小值点.
时，所用材料最省.
6、利润L 等于收入R 减去成本C ，而收入R 等于产量乘单价. 由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式，再用导数求最大利润. 收入2
11(25)258
8
R q p q q q q
=?=-
=-，
利润2
2
11(25)(1004)21100
8
8
L R C q q q q q =-=--+=-
+-，0200q <<.
求导得1214L q '=-
+ 令0L '=，即1210
4
q -
+=，84q =.
当(0,84)q ∈时，0L '>；当(84,200)q ∈时，0L '<；
因此，84q =是函数L 的极大值点，也是最大值点.
所以，产量为84时，利润L 最大,
习题1.4 B 组（P37）
1、设每个房间每天的定价为x 元，
那么宾馆利润2
1801()(50)(20)701360
10
10
x L x x x x -=--=-
+-，180680x <<.
令1()700
5
L x x '=-
+=，解得350x =.
当(180,350)x ∈时，()0L x '>；当(350,680)x ∈时，()0L x '>. 因此，350x =是函数()L x 的极大值点，也是最大值点. 所以，当每个房间每天的定价为350元时，宾馆利润最大. 2、设销售价为x 元／件时，
利润4()()(4)()(5)
b x L x x a
c c c x a x b
b
-=-+?=--，54
b a x <<.
令845()0
c a c b c
L x x b b
+'=-+=，解得458
a b
x +=
.
当45(,)
8a b
x a +∈时，()0L x '>；当455(
,)84
a b b
x +∈时，()0L x '<.
当458
a b
x +=
是函数()L x 的极大值点，也是最大值点.
所以，销售价为458
a b
+元／件时，可获得最大利润.
1．5定积分的概念
练习（P42）
83
.
说明：进一步熟悉求曲边梯形面积的方法和步骤，体会“以直代曲”和“逼近”的思想. 练习（P45）
1、221
12()[()2]()i i i i i s s v t n
n
n n n n
'?≈?=?=-+?
=-?+?，1,2,,i n = .
于是 111
()n
n
n
i i i i i i s s s v t n
==='=
?≈
?=
?∑
∑
∑
2
1
12[()
]n
i i
n n
n
==
-?
+?
∑
22211111()()()2
n n n n n n n n -=-?--?-?+
22
3
1[12]2n n =-++++ 3
1
(1)(21)
2
6n n n n ++=-?
+
111(1)(1)2
3
2n n =-
+
+
+
取极值，得
1
1
1
1115
lim
[
()]lim [(1)(1)2]323n
n
n n i i i
s v n n n n →∞
→∞====-+++=
∑
∑
说明：进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想. 2、
223
km.
说明：进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想，熟悉求变速直线运动物体路程的方法
和步骤.
练习（P48）
23
4
x d x =?
. 说明：进一步熟悉定积分的定义和几何意义.
从几何上看，表示由曲线3y x =与直线0x =，2x =，0y =所围成的曲边梯形的面积4S =.
习题1.5 A 组（P50） 1、（1）100
2
1111
(1)[(1)1]0.495
100100
i i x d x =--≈
+-?=∑?；
（2）500
21111(1)[(1)1]0.499
500
500
i i x d x =--≈
+
-?
=∑
?；
（3）1000
2
1
1
11
(1)[(1)1]0.4995
1000
1000
i i x d x =--≈
+
-?
=∑
?.
说明：体会通过分割、近似替换、求和得到定积分的近似值的方法. 2、距离的不足近似值为：18112171310140?+?+?+?+?=（m ）； 距离的过剩近似值为：271181121713167?+?+?+?+?=（m ）. 3、证明：令()1f x =. 用分点 011i i n a x x x x x b -=<<<<<<=
将区间[,]a b 等分成n 个小区间，在每个小区间1[,]i i x x -上任取一点(1,2,,)i i n ξ=
作和式
1
1
()n
n
i i i b a f x b a
n
ξ==-?=
=-∑
∑
，
从而
1
1lim
n
b
a
n i b a d x b a
n
→∞
=-==-∑
?
，
说明：进一步熟悉定积分的概念. 4、
根据定积分的几何意义，0
x
?
表示由直线0x =，1x =，0y =
以及曲线y =
所围成的曲边梯形的面积，即四分之一单位圆的面积，因此0
4
x π=
?.
5、（1）0
3114
x d x -=-
?.
由于在区间[1,0]-上3
0x ≤，所以定积分0
31
x d x -?表示由直线0x =，1x =-，0y =和曲线
3
y x
=所围成的曲边梯形的面积的相反数.
（2）根据定积分的性质，得1
013
3
3
1
1
1104
4
x d x x d x x d x --=
+
=-
+
=??
?
.
由于在区间[1,0]-上3
0x ≤，在区间[0,1]上3
0x ≥，所以定积分131
x d x -?等于位于x 轴上方的
曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积. （3）根据定积分的性质，得2
0233
3
11
11544
4
x d x x d x x d x --=
+
=-
+=
??
?
由于在区间[1,0]-上30x ≤，在区间[0,2]上30x ≥，所以定积分2
31
x d x -?等于位于x 轴上方的
曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积.
说明：在（3）中，由于3x 在区间[1,0]-上是非正的，在区间[0,2]上是非负的，如果直接利
用定义把区间[1,2]-分成n 等份来求这个定积分，那么和式中既有正项又有负项，而且无法抵挡一些项，求和会非常麻烦. 利用性质3可以将定积分2
3
1
x d x -?化为0
23
3
1
x d x x d x
-+
??
，这样，3
x 在区间[1,0]-和区间[0,2]上的符号都是不变的，再利用定积分的定义，容易求出0
31
x d x -?，
23
x d x
?
，进而得到定积分2
31
x d x -?的值. 由此可见，利用定积分的性质可以化简运算.
在（2）（3）中，被积函数在积分区间上的函数值有正有负，通过练习进一步体会定积分的几何意义.
习题1.5 B 组（P50）
1、该物体在0t =到6t =（单位：s ）之间走过的路程大约为145 m.
说明：根据定积分的几何意义，通过估算曲边梯形内包含单位正方形的个数来估计物体走过的路程. 2、（1）9.81v t =.
（2）过剩近似值：8
111899.819.8188.29
2
2
4
2
i i =??
?
=?
?
=∑（m ）；
不足近似值：8
1
111879.819.8168.67
2
2
4
2
i i =-??
?
=?
?
=∑（m ）
（3）4
9.81td t ?；
40
9.81d 78.48
t t =?
（m ）.
3、（1）分割
在区间[0,]l 上等间隔地插入1n -个分点，将它分成n 个小区间：
[0,
]l n ，2[
,]l l n n
，……，(2)[
,]n l
l n
-，
记第i 个区间为(1)[
,]i l il
n n
-（1,2,i n = ），其长度为
(1)il i l l x n n n
-?=
-
=.
把细棒在小段[0,]l n
，2[,
]l l n
n
，……，(2)[
,]n l
l n
-上质量分别记作：
12,,,n m m m ??? ，
则细棒的质量1
n
i
i m m ==?∑
.
（2）近似代替
当n 很大，即x ?很小时，在小区间(1)[
,]i l il n n
-上，可以认为线密度2
()x x ρ=的值变
化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于任意一点(1)[,]i i l il
n n
ξ-∈处的函数值2()i i ρξξ=. 于是，细棒在小段(1)[
,]i l il n n -上质量 2()i i i l
m x n
ρξξ?≈?=（1,2,i n = ）.
（3）求和
得细棒的质量 21
1
1
()n
n
n
i
i i
i i i l m m
x n
ρξξ
====?≈
?=
∑∑
∑.
（4）取极限
细棒的质量 21
lim n
i
n i l m n
ξ
→∞
==∑，所以2
l m x d x
=
?
..
1．6微积分基本定理 练习（P55）
（1）50； （2）503； （3
53
3
； （4）24；
（5）
3ln 2
2-； （6）12
； （7）0； （8）2-.
说明：本题利用微积分基本定理和定积分的性质计算定积分. 习题1.6 A 组（P55） 1、（1）
403
； （2）13ln 2
2
--； （3）9
ln 3ln 22
+-；
（4）176
-
； （5）
2
318
π+； （6）22ln 2e e --.
说明：本题利用微积分基本定理和定积分的性质计算定积分. 2、3300
sin [co s ]2xd x x ππ
=-=?
.
它表示位于x 轴上方的两个曲边梯形的面积与x 轴下方的曲边梯形的面积之差. 或表述为：位于x 轴上方的两个曲边梯形的面积（取正值）与x 轴下方的曲边梯形的面积（取负值）的代数和.
习题1.6 B 组（P55）
1、（1）原式＝2
21
01
1[]222
x e
e =
-
； （2）原式＝46
1
1[sin 2]2
2
4
x π
π=
-
；
（3）原式＝3
12
6
[
]ln 2
ln 2
x
=
.
2、（1）co s 1sin [][co s co s()]0
m x m xd x m m m
m
π
π
ππ
ππ--=-
=-
--=?；
（2）sin 1co s [sin sin ()]0m x m xd x m m m
m
π
π
ππ
ππ--=
|=
--=?； （3）21co s 2sin 2sin []224m x
x m x m xd x d x m π
ππ
ππ
π
π----=
=-=??
； （4）2
1co s 2sin 2co s []22
4m x
x m x m xd x d x m π
ππ
ππ
π
π---+=
=+
=??
.
3、（1）0.202
2
2
()(1)[]49245245
t kt
kt
t
kt
t
g g g g g g s t e
d t t e
t e
t e
k
k k
k k
k
----=
-=+
=
+
-=+-?
.
（2）由题意得 0.2492452455000t t e -+-=.
这是一个超越方程，为了解这个方程，我们首先估计t 的取值范围. 根据指数函数的性质，当0t >时，0.201t e -<<，从而 5000495245t <<， 因此，5000524549
49
t <<
.
因此50000.27
49
245 3.3610
e
-?
-≈?，5245
0.27
49
245 1.2410
e
-?
-≈?，
所以，70.271.2410245 3.3610t e ---?<
从而，在解方程0.2492452455000t t e -+-=时，0.2245t e -可以忽略不计. 因此，.492455000t -≈，解之得 524549
t ≈
（s ）.
说明：B 组中的习题涉及到被积函数是简单的复合函数的定积分，可视学生的具体情况选做，不要求掌握.
1．7定积分的简单应用 练习（P58） （1）
323
； （2）1.
说明：进一步熟悉应用定积分求平面图形的面积的方法与求解过程. 练习（P59） 1、525
33
(23)[3]22
s t d t t t =
+=+=?
（m ）.
2、424
00
3(34)[
4]40
2
W x d x x x =
+=+=?
（J ）.
习题1.7 A 组（P60） 1、（1）2； （2）92
.
2、2
[]b b
a a
q q q q W k
d r k
k
k
r
r a
b
=
=-=-?
.
3、令()0v t =，即40100t -=. 解得4t =. 即第4s 时物体达到最大高度. 最大高度为 424
00
(4010)[405]80
h t d t t t =
-=-=?
（m ）. 4、设t s 后两物体相遇，则
2
(31)105
t t t d t td t +=
+?
?
，
解之得5t =. 即,A B 两物体5s 后相遇. 此时，物体A 离出发地的距离为
5235
00
(31)[]130
t d t t t +=+=?
（m ）.
5、由F kl =，得100.01k =. 解之得1000k =. 所做的功为 0.120.1
00
10005005
W ld l l =
=|=?
（J ）.
6、（1）令55()50
1v t t t
=-+
=+，解之得10t =. 因此，火车经过10s 后完全停止.
（2）10210
00
551(5)[555ln (1)]55ln 1112
s t d t t t t t
=
-+
=-
++=+?
（m ）.
习题1.7 B 组（P60） 1、（1
）a a
x
-?
表示圆222x y a +=与x 轴所围成的上
半圆的面积，因此2
2
a a
a x π-=
?
（2
）1
]x d x -?表示圆22(1)1x y -+=与直线
y x
=所围成的图形（如图所示）的面积，
因此，2
1
111]114
24
2
x d x ππ?=
-
??=
-
?.
2、证明：建立如图所示的平面直角坐标系，可设抛物线的 方程为2
y ax =，则2
()2
b
h a =?，所以2
4h a b
=
.
从而抛物线的方程为 2
2
4h y x
b
=
.
于是，抛物线拱的面积2
3
22
02
2
4422()2[]33
b
b h h S h x d x h x x b h
b
b
=-
=-
=?.
3、如图所示.解方程组2
2
3y x y x
?=+?
=?
得曲线22y x =+与曲线3y x =交点的横坐标11x =，22x =. 于是，所求的面积为1
2
2
2
01
[(2)3][3(2)]1x x d x x x d x +-+
-+=??
. 4、证明：2
[]()
R h R h
R
R
M m M m M m h W G
d r G
G
r
r
R R h ++=
=-=+?
.
第一章 复习参考题A 组（P65）
1、（1）3； （2）4y =-.
2、（1）2
2sin co s 2co s x x x
y x
+'=
； （2）23(2)(31)(53)y x x x '=-+-；
（3）2
2ln ln 2x
x
y x x
'=+； （4）24
22(21)
x x y x -'=+.
3、3
2G M m F r
'=-
.
4、（1）()0f t '<. 因为红茶的温度在下降.
（第1（2）题）
（第2题）
数列题目精选精编 【典型例题】 （一）研究等差等比数列的有关性质 1. 研究通项的性质 例题1. 已知数列}{n a 满足1 111,3(2)n n n a a a n --==+≥. （1）求32,a a ； （2）证明： 312n n a -= . 解：（1）2 1231,314,3413a a a =∴=+==+= . （2）证明：由已知1 13 --=-n n n a a ，故)()()(12211a a a a a a a n n n n n -++-+-=--- 1 2 1313 3 312n n n a ---+=++++= ， 所以证得31 2n n a -= . 例题2. 数列{}n a 的前n 项和记为11,1,21(1)n n n S a a S n +==+≥ （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）等差数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为n T ，且315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求n T . 解：（Ⅰ）由121n n a S +=+可得121(2)n n a S n -=+≥， 两式相减得：112,3(2)n n n n n a a a a a n ++-==≥， 又21213a S =+=∴213a a = 故{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列 ∴1 3 n n a -= （Ⅱ）设{}n b 的公差为d ，由315T =得，可得12315b b b ++=，可得25b = 故可设135,5b d b d =-=+，又1231,3,9a a a ===， 由题意可得2 (51)(59)(53)d d -+++=+，解得122,10d d == ∵等差数列{}n b 的各项为正，∴0d > ∴2d = ∴2(1) 3222n n n T n n n -=+ ?=+ 例题3. 已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同，且2 12322...a a a +++ 128n n a n -+=对任意的*N n ∈都成立，数列{} n n b b -+1是等差数列. ⑴求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； ⑵是否存在N k * ∈，使得(0,1)k k b a -∈，请说明理由. 点拨：（1）2112322...28n n a a a a n -++++=左边相当于是数列{}12n n a -前n 项和的形式，可以联想到已知n S 求n a 的方法，当2n ≥时，1n n n S S a --=. （2）把k k a b -看作一个函数，利用函数的思想方法来研究k k a b -的取值情况. 解：（1）已知212322a a a +++ (1) 2n n a -+8n =(n ∈*N ）① 2n ≥时，212322a a a +++ (2) 128(1)n n a n --+=-(n ∈*N ）②
高二数学（文）选修1-2测试题（60分钟） 满分：100分 考试时间：2018年3月 姓名： 班级： 得分： 附：1.22 (),()()()() n ad bc K n a b c d a b a c b c b d -= =+++++++ 2.“X 与Y 有关系”的可信程度表： P (K 2≥k ) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 一、 单项选择题（每题4分，共40分。每题只有一个选项正确，将答案填在下表中） 1、下列说法不正确的是（ ） A ．程序图通常有一个“起点”，一个“终点” B ．程序框图是流程图的一种 C ．结构图一般由构成系统的若干要素和表达各要素之间关系的连线（或方向箭头）构成 D ．流程图与结构图是解决同一个问题的两种不同的方法 2． 给出下列关系：其中具有相关关系的是（ ） ①考试号与考生考试成绩； ②勤能补拙； ③水稻产量与气候； ④正方形的边长与正方形的面积。 A ．①②③ B ．①③④ C ．②③ D ．①③ 3、黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案： 则第n 个图案中的白色地面砖有( )． A ．4n －2块 B ．4n ＋2块 C ．3n ＋3块 D ．3n －3块 4、如图是一商场某一个时间制订销售计划时的局部结构图，则直 接影响“计划” 要素有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 5、用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（ ）。 A.假设三内角都不大于60度； B. 假设三内角都大于60度； C. 假设三内角至多有一个大于60度； D. 假设三内角至多有两个大于60度。 6、在复平面内，复数 103i i +的共轭复数应对应点的坐标为（ ） A ． (1,3) B ．(1,-3) C ．(-1,3) D ．(3 ,-1) 7、已知两个分类变量X 和Y ，由他们的观测数据计算得到K 2的观测值范围是3.841
高一数学 第八章 平面向量 第一讲 向量的概念与线性运算 一．【要点精讲】 1．向量的概念 ①向量：既有大小又有方向的量。几何表示法AB u u u r ，a ；坐标表示法),(y x j y i x a 。 向量的模（长度），记作|AB u u u r |.即向量的大小，记作｜a |。向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小. ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，规定0r 平行于任何向量。（与0的区别） ③单位向量｜ a ｜＝1。④平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量，记作a ∥b ⑤相等向量记为b a 。大小相等，方向相同 ),(),(2211y x y x 2121y y x x 2．向量的运算（1）向量加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法.如图，已知向量a ，b ，在平面内任 取一点A ，作AB u u u r a ，BC u u u r b ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a+b ，即 a+b AB BC AC u u u r u u u r u u u r 特殊情况： a b a b a+b b a a+b (1) 平行四边形法则三角形法则C B D C B A A 向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： AB BC CD PQ QR AR u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r L ，但这时必须“首尾相连”。②向量减法： 同一个图中画出 a b a b r r r r 、 要点:向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点.（3）实数与向量的积 3．两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线 有且只有一个实数 ，使得b =a 。 二．【典例解 析】 题型一： 向量及与向量相关的基本概念概念 例1判断下列各命题是否正确 (1)零向量没有方向 (2)b a 则, (3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段
高中新课标数学选修（1-2）综合测试题 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。) 1.独立性检验，适用于检查______变量之间的关系 （ ） A.线性 B.非线性 C.解释与预报 D.分类 2.样本点),(,),,(),,(2211n n y x y x y x 的样本中心与回归直线a x b y ??? 的关系（ ） A.在直线上 B.在直线左上方 C. 在直线右下方 D.在直线外 3.复平面上矩形ABCD 的四个顶点中，C B A 、、所对应的复数分别为i 32 、i 23 、 i 32 ， 则D 点对应的复数是 （ ） A.i 32 B.i 23 C.i 32 D.i 23 4.在复数集C 内分解因式5422 x x 等于 （ ） A.)31)(31(i x i x B.)322)(322(i x i x C.)1)(1(2i x i x D.)1)(1(2i x i x 5.已知数列 ,11,22,5,2，则52是这个数列的 （ ） A.第6项 B.第7项 C.第19项 D.第11项 6.用数学归纳法证明)5,(22 n N n n n 成立时，第二步归纳假设正确写法是（ ） A.假设k n 时命题成立 B.假设)( N k k n 时命题成立 C.假设)5( n k n 时命题成立 D.假设)5( n k n 时命题成立 7.2020 )1() 1(i i 的值为 （ ） A.0 B.1024 C.1024 D.10241 8.确定结论“X 与Y 有关系”的可信度为5.99℅时，则随即变量2 k 的观测值k 必须（ ） A.大于828.10 B.小于829.7 C.小于635.6 D.大于706.2 9.已知复数z 满足||z z ，则z 的实部 （ ） A.不小于0 B.不大于0 C.大于0 D.小于0 10.下面说法正确的有 ( ) （1）演绎推理是由一般到特殊的推理； （2）演绎推理得到的结论一定是正确的； （3）演绎推理一般模式是“三段论”形式； （4）演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关。 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 11.命题“对于任意角 2cos sin cos ,4 4 ”的证明：
新课标高中数学圆的方程典型例题 类型一：圆的方程 例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系． 分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内． 解法一：（待定系数法） 设圆的标准方程为2 2 2 )()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为2 2 2 )(r y a x =+-． 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点． ∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得：1-=a ，202 =r ． 所以所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径） 因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为 13 12 4-=--= AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ． 又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(2 2= ++==AC r ． 故所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22． ∴点P 在圆外． 说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？
高中数学选修2-1《常用逻辑用语》单元测试题 时间：90分钟满分：120分 第Ⅰ卷(选择题，共50分) 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分． 1．命题“存在x0∈R,2x0≤0”的否定是() A．不存在x0∈R,2x0＞0 B．存在x0∈R,2x0≥0 C．对任意的x∈R,2x≤0 D．对任意的x∈R,2x＞0 2．“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 3．与命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”等价的命题是() A．能被3整除的整数，一定能被6整除 B．不能被3整除的整数，一定不能被6整除 C．不能被6整除的整数，一定不能被3整除 D．不能被6整除的整数，不一定能被3整除 4．若向量a＝(x,3)(x∈R)，则“x＝4是|a|＝5”的() A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知命题p：?x∈R,2x＜3x；命题q：?x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是() A．p∧q B．綈p∧q C．p∧綈q D．綈p∧綈q 6．在三角形ABC中，∠A＞∠B，给出下列命题： ①sin∠A＞sin∠B；②cos2∠A＜cos2∠B；③tan ∠A 2＞tan ∠B 2. 其中正确的命题个数是() A．0个B．1个
C ．2个 D ．3个 7．下面说法正确的是( ) A ．命题“?x 0∈R ，使得x 20＋x 0＋1≥0”的否定是“?x ∈R ，使得x 2 ＋x ＋1≥0” B ．实数x ＞y 是x 2＞y 2成立的充要条件 C ．设p ，q 为简单命题，若“p ∨q ”为假命题，则“綈p ∧綈q ”也为假命题 D ．命题“若α＝0，则cos α＝1”的逆否命题为真命题 8．已知命题p ：?x 0∈R ，使tan x 0＝1，命题q ：?x ∈R ，x 2＞0.下面结论正确的是( ) A ．命题“p ∧q ”是真命题 B ．命题“p ∧綈q ”是假命题 C ．命题“綈p ∨q ”是真命题 D ．命题“綈p ∧綈q ”是假命题 9．下列结论错误的是( ) A ．命题“若log 2(x 2－2x －1)＝1，则x ＝－1”的逆否命题是“若x ≠－1，则log 2(x 2－2x －1)≠1” B ．设α，β∈? ???? －π2，π2，则“α＜β”是“tan α＜tan β”的充要条件 C ．若“(綈p )∧q ”是假命题，则“p ∨q ”为假命题 D ．“?α∈R ，使sin 2α＋cos 2α≥1”为真命题 10．给出下列三个命题： ①若a ≥b ＞－1，则 a 1＋a ≥ b 1＋b ；②若正整数m 和n 满足m ≤n ，则mn －m 2≤n 2；③设P (x 1，y 1)是圆O 1：x 2＋y 2＝9上的任意一点，圆O 2以Q (a ，b )为圆心，且半径为1.当(a －x 1)2＋(b －y 1)2＝1时，圆O 1与圆O 2相切． 其中假命题的个数为( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 第Ⅱ卷(非选择题，共70分) 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 11．给出命题：“若函数y ＝f (x )是幂函数，则函数y ＝f (x )的图象不过第四象限”．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是__________．
高中数学人教版选修2-1全套教案 第一章常用逻辑用语 日期： 1.1.1命题 （一）教学目标 １、知识与技能：理解命题的概念和命题的构成，能判断给定陈述句是否为命题，能判断命题的真假；能把命题改写成“若p，则q”的形式； ２、过程与方法：多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力； ３、情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。 （二）教学重点与难点 重点：命题的概念、命题的构成 难点：分清命题的条件、结论和判断命题的真假 教具准备：与教材内容相关的资料。 教学设想：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。 教学时间 （三）教学过程 学生探究过程： 1．复习回顾 初中已学过命题的知识，请同学们回顾：什么叫做命题？ 2．思考、分析 下列语句的表述形式有什么特点？你能判断他们的真假吗？ （1）若直线a∥b，则直线a与直线b没有公共点． （2）2+4=7． （3）垂直于同一条直线的两个平面平行． （４）若x2=1,则x=1． （５）两个全等三角形的面积相等． （６）３能被２整除． 3．讨论、判断 学生通过讨论，总结：所有句子的表述都是陈述句的形式，每句话都判断什么事情。其中（1）（3）（5）的判断为真，（2）（4）（6）的判断为假。 教师的引导分析：所谓判断，就是肯定一个事物是什么或不是什么，不能含混不清。 4．抽象、归纳 定义：一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．命题的定义的要点：能判断真假的陈述句． 在数学课中，只研究数学命题，请学生举几个数学命题的例子．教师再与学生共同从命题的定义，判断学生所举例子是否是命题，从“判断”的角度来加深对命题这一概念的理解．
最新人教A版高中数学选修2-1测试题全套及答案 案场各岗位服务流程 销售大厅服务岗： 1、销售大厅服务岗岗位职责： 1)为来访客户提供全程的休息区域及饮品; 2)保持销售区域台面整洁; 3)及时补足销售大厅物资,如糖果或杂志等; 4)收集客户意见、建议及现场问题点； 2、销售大厅服务岗工作及服务流程 阶段工作及服务流程 班前阶段1）自检仪容仪表以饱满的精神面貌进入工作区域 2）检查使用工具及销售大厅物资情况，异常情况及时登记并报告上级。 班中工作程序服务 流程 行为 规范 迎接 指引 递阅 资料 上饮品 （糕点） 添加茶水 工作 要求 1）眼神关注客人，当客人距3米距离 时，应主动跨出自己的位置迎宾，然后 侯客迎询问客户送客户
注意事项 15度鞠躬微笑问候：“您好！欢迎光临！”2）在客人前方1-2米距离领位，指引请客人向休息区，在客人入座后问客人对座位是否满意：“您好！请问坐这儿可以吗？”得到同意后为客人拉椅入座“好的，请入座！” 3）若客人无置业顾问陪同，可询问：请问您有专属的置业顾问吗？，为客人取阅项目资料，并礼貌的告知请客人稍等，置业顾问会很快过来介绍，同时请置业顾问关注该客人； 4）问候的起始语应为“先生-小姐-女士早上好，这里是XX销售中心，这边请”5）问候时间段为8:30-11:30 早上好11:30-14:30 中午好 14:30-18:00下午好 6）关注客人物品，如物品较多，则主动询问是否需要帮助（如拾到物品须两名人员在场方能打开，提示客人注意贵重物品）； 7）在满座位的情况下，须先向客人致歉，在请其到沙盘区进行观摩稍作等
待； 阶段工作及服务流程 班中工作程序工作 要求 注意 事项 饮料（糕点服务） 1）在所有饮料（糕点）服务中必须使用 托盘； 2）所有饮料服务均已“对不起，打扰一 下，请问您需要什么饮品”为起始； 3）服务方向：从客人的右面服务； 4）当客人的饮料杯中只剩三分之一时， 必须询问客人是否需要再添一杯，在二 次服务中特别注意瓶口绝对不可以与 客人使用的杯子接触； 5）在客人再次需要饮料时必须更换杯 子； 下班程 序1）检查使用的工具及销售案场物资情况，异常情况及时记录并报告上级领导； 2）填写物资领用申请表并整理客户意见；3）参加班后总结会； 4）积极配合销售人员的接待工作，如果下班时间已经到，必须待客人离开后下班；
选修2-2第一章单元测试（一） 时间：120分钟总分：150分 一、选择题（每小题5分，共60分） 1 .函数f(x)= x sinx 的导数为( A. f ‘ (x) = 2 x sinx + . x cosx 2. 若曲线y = x 2 + ax + b 在点(0, b)处的切线方程是x — y +1 = 0, 则() A . a = 1, b = 1 B . a =— 1, b = 1 C . a = 1, b =— 1 D . a =— 1, b =— 1 3. 设 f(x) = xlnx ,若 f ‘(x o )= 2,则 x 0 =( ) In2 A . e 2 B . e C^^ D . ln2 4. 已知 f(x) = x 2 + 2xf ‘ (1),贝S f ‘ (0)等于( ) B . f ‘ (x) = 2 x sinx — x cosx , sinx 厂 C . f (x)= 2 x + x cosx D . f ‘ sinx 厂 (x)= 2 x — x cosx 1 -3 -3
6. 如图是函数y= f（x）的导函数的图象，给出下面四个判断:
①f(x)在区间［—2,—1］上是增函数； ②x=—1是f(x)的极小值点； ③f(x)在区间［—1,2］上是增函数，在区间［2,4］上是减函数； ④x= 2是f(x)的极小值点. 其中，所有正确判断的序号是() A .①② B .②③C.③④ D .①②③④ 7. 对任意的x€ R,函数f(x) = x3+ ax2+ 7ax不存在极值点的充要条件是() A. O w a w 21 B. a= 0 或a = 7 C. a<0 或a>21 D. a= 0 或a= 21 8某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为P元，销售量为Q,则销量Q(单位：件)与零售价P(单位：元)有如下关系：Q= 8 300—170P—P2，则最大毛利润为(毛利润 =销售收入—进货支出)() A . 30 元B. 60 元C. 28 000元D. 23 000 元 x 9. 函数f(x) = —g(a 模块学习评价 (时间：120分钟，满分：150分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．设集合A＝{a，b，c，d，e}，B?A，已知a∈B，且B中含有3个元素，则集合B有() A．A26个B．C24个C．A33个D．C35个 【解析】∵A＝{a，b，c，d，e}，B?A，a∈B，且B中含有3个元素，则B中另外两个元素是从b，c，d，e四个元素中选出的，故满足题意的集合B有C24个． 【答案】 B 2．(2014·四川高考)在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为() A．30 B．20 C．15 D．10 【解析】根据二项式定理先写出其展开式的通项公式，然后求出相应的系数． 因为(1＋x)6的展开式的第(r＋1)项为T r＋1＝C r6x r，x(1＋x)6的展开式中含x3的项为C26x3＝15x3，所以系数为15. 【答案】 C 3．从5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、外语竞赛，其中A不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案种数为() A．24 B．48 C．72 D．120 【解析】A参加时有C34·A12·A33＝48种，A不参加时有A44＝24种，共72种． 【答案】 C 4．在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集数据、整理分析数据得“吸烟与患肺癌有关”的结论，并且在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为这个结论是成立的，下列说法中正确的是() A．100个吸烟者中至少有99人患有肺癌 B．1个人吸烟，那么这个人有99%的概率患有肺癌 C．在100个吸烟者中一定有患肺癌的人 D．在100个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有 【答案】 D 5．李老师乘车到学校，途中有3个交通岗，假设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.5，则他上班途中遇见红灯次数的数学期望是() A．0.4 B．1.5 C．0.43D．0.6 【解析】遇到红灯的次数服从二项分布X～B(3,0.5)． ∴E(X)＝3×0.5＝1.5. 【答案】 B 6．甲、乙两人从4门课程中各选修2门．则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有() A．6种B．12种 C．30种D．36种 高中数学函数与方程知识点总结、经典例题及解析、高考真题及答案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 函数与方程 【知识梳理】 1、函数零点的定义 （1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫做函数)(x f y =的零点。 （2）方程0)(=x f 有实根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点。因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程0)(=x f 是否有实数根，有几个实数根。函数零点的求法：解方程0)(=x f ，所得实数根就是()f x 的零点 （3）变号零点与不变号零点 ①若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数()f x 的变号零点。 ②若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数()f x 的不变号零点。 ③若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是一条连续的曲线，则0)()(?)(x f y =有2个零点?0)(=x f 有两个不等实根； 0?=?)(x f y =有1个零点?0)(=x f 有两个相等实根； 0? 人教版高中数学精品资料 本册综合测试 (时间：120分钟，满分：150分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.1＋2i (1－i )2＝( ) A ．－1－1 2i B ．－1＋1 2i C ．1＋1 2i D ．1－1 2i 解析 1＋2i (1－i )2＝1＋2i －2i ＝(1＋2i )i －2i ·i ＝－1＋1 2i . 答案 B 2．若f(x)＝e x ，则lim Δx →0 f (1－2Δx )－f (1)Δx ＝( ) A ．e B ．－e C ．2e D ．－2e 解析 ∵f(x)＝e x ，∴f ′(x)＝e x ，f ′(1)＝e . ∴lim Δx →0 f (1－2Δx )－f (1)Δx ＝－2lim Δx →0 f (1－2Δx )－f (1)－2Δx ＝－2f ′(1)＝－2e . 答案 D 3．已知数列2,5,11,20，x,47，…合情推出x 的值为( ) A ．29 B ．31 C ．32 D ．33 解析 观察前几项知，5＝2＋3， 11＝5＋2×3,20＝11＋3×3， x ＝20＋4×3＝32,47＝32＋5×3. 答案 C 4．函数y ＝f(x)在区间[a ，b]上的最大值是M ，最小值是m ，若m ＝M ，则f ′(x)( ) A ．等于0 B ．大于0 C ．小于0 D ．以上都有可能 答案 A 5．已知函数f(x)＝－x 3＋ax 2－x －1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－ 3 ]∪[3，＋∞) B ．[－3， 3 ] C ．(－∞，－ 3 )∪(3，＋∞) D ．(－3， 3 ) 解析 f ′(x)＝－3x 2＋2ax －1， 若f(x)在(－∞，＋∞)上为单调函数只有f ′(x)≤0， ∴Δ＝(2a)2－4(－3)(－1)≤0， 解得－3≤a ≤ 3. 答案 B 6．用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋…＋1 2n －1 最新人教A版高中数学选修2-1测试题全套及答案第一章常用逻辑用语 (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．下列语句中，不能成为命题的是() A．指数函数是增函数吗？B．2 012>2 013 C．若a⊥b，则a·b＝0 D．存在实数x0，使得x0<0 解析：疑问句不能判断真假，因此不是命题．D是命题，且是个特称命题． 答案： A 2．已知命题：“若x≥0，y≥0，则xy≥0”，则原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是() A．1个B．2个 C．3个D．4个 解析：原命题是真命题，逆否命题为真命题，逆命题为“若xy≥0，则x≥0，y≥0”是假命题，则否命题为假命题． 答案： B 3．设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋2y＋4＝0平行”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 解析：先求出两直线平行的条件，再判断与a＝1的关系． 若l1∥l2，则2a－2＝0，∴a＝1.故a＝1是l1∥l2的充要条件． 答案： C 4．命题p：x＋y≠3，命题q：x≠1且y≠2，那么命题p是命题q的() A．充分条件B．必要条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 解析：p q，且q p．所以选D. 答案： D 5．下列命题中是全称命题并且是真命题的是() A．每个二次函数的图象与x轴都有两个不同的交点 B．对任意非正数c，若a≤b＋c，则a≤b C ．存在一个菱形不是平行四边形 D ．存在一个实数x 使不等式x 2－3x ＋7<0成立 解析： A ，B 为全称命题，但A 为假命题；B 是真命题． 答案： B 6．下列命题是真命题的是( ) A ．“若x ＝0，则xy ＝0”的逆命题 B ．“若x ＝0，则xy ＝0”的否命题 C ．若x >1，则x >2 D ．“若x ＝2，则(x －2)(x －1)＝0”的逆否命题 解析： A 中逆命题为：若xy ＝0，则x ＝0，错误；选项B 中，否命题为：若x ≠0，则xy ≠0，错误；选项C 中，若x >1，则x >2，显然不正确；D 选项中，因为原命题正确，所以逆否命题正确． 答案： D 7．有下列命题：①2012年10月1日是国庆节，又是中秋节；②9的倍数一定是3的倍数；③方程x 2＝1的解是x ＝±1.其中使用逻辑联结词的命题有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．0个 解析： ①中有“且”；②中没有；③中有“或”． 答案： B 8．已知命题p ：任意x ∈R ，使x 2－x ＋1 4＜0，命题q ：存在x ∈R ，使sin x ＋cos x ＝2， 则下列判断正确的是( ) A ．p 是真命题 B ．q 是假命题 C ．?p 是假命题 D ．?q 是假命题 解析： ∵任意x ∈R ，x 2－x ＋1 4＝????x －122≥0恒成立， ∴命题p 假，?p 真； 又sin x ＋cos x ＝2sin ????x ＋π4，当sin ????x ＋π 4＝1时， sin x ＋cos x ＝2， ∴q 真，?q 假． 答案： D 9．给定下列命题： ①“x >1”是“x >2”的充分不必要条件； ②“若sin α≠12，则α≠π 6 ”； 高中数学选修1-1知识点总结 1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句. 2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论. 3、原命题：“若p ，则q ” 逆命题： “若q ，则p ” 否命题：“若p ?，则q ?” 逆否命题：“若q ?，则p ?” 4、四种命题的真假性之间的关系： （1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； （2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 5、若p q ?，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 若p q ?，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）． 利用集合间的包含关系： 例如：若B A ?，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A=B ，则A 是B 的充要条件； 6、逻辑联结词：⑴且(and) ：命题形式p q ∧；⑵或（or ）：命题形式p q ∨； ⑶非（not ）：命题形式p ?. 7、⑴全称量词——“所有的”、“任意一个”等，用“ 全称命题p ：)(,x p M x ∈?； 全称命题p 的否定?p ：)(,x p M x ?∈?。 ⑵存在量词——“存在一个”、“至少有一个”等，用“?”表示； 特称命题p ：)(,x p M x ∈?； 特称命题p 的否定?p ：)(,x p M x ?∈?； 第二章 圆锥曲线 1、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于 12F F ）的点的轨迹称为椭圆． 即：|)|2(,2||||2121F F a a MF MF >=+。 这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距． 2、椭圆的几何性质： 高中数学排列与组合 （一）典型分类讲解 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 先排末位共有1 3C 然后排首位共有1 4C 最后排其它位置共有 34A 由分步计数原理得1 1 3 434 288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元 素内部进行自排。由分步计数原理可得共有 522522480A A A =种不同的排法 练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？ 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种， 第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种 46 A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有54 56A A 种 练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30 四.定序问题倍缩空位插入策略 例4. 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法 解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素 之间的全排列数,则共有不同排法种数是： 73 73/A A (空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有 47 A 种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有4 7A 种方法。 思考:可以先让甲乙丙就坐吗? （插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有 方法 练习题:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？ 5 10C 五.重排问题求幂策略 例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法 解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原 理共有6 7种不同的排法 练习题： 1． 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插 法的种数为 42 4 4 3 允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地n 不同的元素没有限制地安排在m 个位置上的排列数为n m 种 数学试题(选修1-1) 一．选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分) 1. “2 1sin =A ”是“?=30A ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ． 充分必要条件 D ． 既不充分也不必要条件 2. 已知椭圆116 252 2=+y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一焦点距离为（ ） A ．2 B ．3 C ．5 D ．7 3．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为（ ） A ．116922=+y x B ．116 252 2=+y x C ．1162522=+y x 或125 162 2=+y x D ．以上都不对 4．命题“对任意的3210x x x ∈-+R ，≤”的否定是（ ） A ．不存在3210x R x x ∈-+，≤ B ．存在32 10x R x x ∈-+，≤ C ．存在3210x R x x ∈-+>， D ．对任意的3210x R x x ∈-+>， 5．双曲线12 102 2=-y x 的焦距为（ B ） A ．22 B ．24 C ．32 D ．34 6. 设x x x f ln )(=，若2)(0='x f ，则=0x （ ） A ． 2e B ． e C ． ln 22 D ．ln 2 6. 若抛物线22y px =的焦点与椭圆22 162 x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．4- D ．4 7．已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（ ） A B C ．12 D ．13 8．．函数344+-=x x y 在区间[]2,3-上的最小值为（ ） A ．72 B ．36 C ．12 D ．0 、选择题 1已知a 、b 为实数，则2a . 2b 是log 2a log 2 b 的（ ） A.必要非充分条件 B.充分非必要条件 C.充要条件 2、 给出命题：若函数y 二f （x ）是幕函数，则函数y 二f （x ）的 图象不过第四象限.在它的逆命题、 否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是 （ ） A.0 B.1 C.2 D.3 3、 已知函数 f （x ）二sin x ?2xf （—）,则 f （―）二（ ） 3 3 A. 一1 B. 0 C. 一1 D.三 2 2 2 4、 如果命题“pl q”是假命题,非p ”是真命题，那么 （ ） A.命题p —定是真命题 B.命题q —定是真命题 C.命题q 可以是真命题也可以是假命题 D.命题q 一定是假命题 5、 已知命题 p :" ~x 1,2 1,x?-a _0"，命题 q :" R, x 2 ? 2ax ? 2-a = 0",若命题 q ”是真 选修2-1综合测试题 D.既不充分也不必要条件 命题,则实数a 的取值范围是 （ ） A.（」：，-2]U{1} B.（」：，-2]U[1,2] C.[ 1, D.[- 2,1] 6.如图ABCD- ABCD 是正方体, AB B 1E 1 = DF 1 = 弦值是（ ） 15 A 方 8 .187 D _3 ~2~ 7?如图所示，在四面体P — ABC 中, PC!平面 ABC 么二面角B — AP- C 的余弦值为（ B.申C 8我们把由半椭圆 2 2 仔占=1（x — 0）与半椭圆 a b 2 y_ b 2 2 x 2 =1 （x ：： 合成的曲线称作 果圆”（其中a^b 2 c 2, a b c 0）.如图, 设点F °,F 1,F 2是相应椭圆的焦点 A 、A 2和B 、B 2是 果圆”与 x,y 轴的交点，若守0F 1F 2是边长为1的等边三角，则a,b 的值分 则BE 与DF 所成角的余 AB= BO CA= PC ,那 高一数学必修1集合单元综合练习（Ⅰ） 一、填空题(本大题包括14小题；每小题5分，满分70分) 1、U ＝｛1，2，3，4，5｝，若A ∩B ＝｛2｝，(C U A )∩B ＝｛4｝，(C U A )∩(C U B )＝｛1，5｝，则下列结论正确的是 .错误!未指定书签。 ①、3A 且3B ；②、3A 且3B ； ③、3A 且3B ；④、3A 且3B 。 2、设集合M =｛x ｜－1≤x ＜2｝，N =｛x ｜x －k ≤0｝，若M ∩N ≠，则k 的取值范围是 3、已知全集I =｛x ｜x R ｝，集合A =｛x ｜x ≤1或x ≥3｝，集合B=｛x ｜k ＜x ＜k ＋1，k R ｝，且(C I A )∩B ＝，则实数k 的取值范围是 4、已知全集U Z =，2{1,0,1,2},{|}A B x x x =-==，则U A C B 为 5、设a b ∈R ，，集合{}10b a b a b a ??+=???? ，，，，，则b a -= 6、设集合M =},214|{},,412|{Z k k x x N Z k k x x ∈+==∈+=，则M N 。(选填 、、、?、＝、 N M ?、N M ?) 7、设集合{}R x x x A ∈≥-=,914, ? ?????∈≥+=R x x x x B ,03, 则A ∩B = 8、已知集合{}|1A x x a =-≤，{}2540B x x x =-+≥．若A B =?，则实数a 的取值范围是 9、设集合S ={A 0，A 1，A 2，A 3}，在S 上定义运算⊕为：A 1⊕A =A b ，其中k 为I +j 被4除的余数，I ，j =0，1，2， 3.满足关系式=(x ⊕x )⊕A 2=A 0的x (x ∈S )的个数为 10、定义集合运算：{},,A B z z xy x A y B *==∈∈.设{}1,2A =,{}0,2B =,则集合A B * 的所有元素之和为 11、设集合∈<≤=x x x A 且30{N }的真子集．．． 的个数是 二、解答题(本大题包括5小题；满分90分)解答时要有答题过程！ 12、(14分)若集合S ={}23,a ，{}|03,T x x a x Z =<+<∈且S ∩T ={}1，P =S ∪T ，求集合P 的所有子集 13、(16分)已知集合A ={}37x x ≤≤，B ={x |2高中数学选修2-3测试题
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