第二十二讲直角三角形的再发现
直角三角形是一类特殊三角形，有着丰富的性质：两锐角互余、斜边的平方是两直角边的平方和、斜边中线等于斜边一半、30°所对的直角边等于斜边一半等，在学习了相似三角形的知识后，我们利用相似三角形法，能得到应用极为广泛的结论。
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，则有：
1、同一三角形中三边的平方关系：AB2=AC2+BC
2、AC2=AD2+CD2、BC2=CD2+BD2。
2、角的相等关系：∠A=∠DCD，∠B=∠ACD。
3、线段的等积式：由面积得AC×BC=AB×CD；
由△ACD∽△CBD∽△ABC，得CD2=AD×BD、AC2=AD×AB、BC2=BD×AB。
以直角三角形为背景的几何问题，常以下列图形为载体，综合了全等三角形、相似三角形、等腰三角形，特殊四边形等丰富的知识。
注：直角三角形被斜边上的高分成的3个直角三角形相似，由此导出的等积式的特点是：一线段是两个三角形的公共边，另两条线段在同一直线上，这些等积式广泛应用于与直角三角形问题的计算与证明中。
例题求解
【例1】等腰三角形ABC的底边长为8cm，腰长5cm，一动点P在底边上从B向C以0．25cm／秒的速度移动，当点P运动到PA与腰垂直的位置时，点P运动的时间为。(江苏省常州市中考题) 思路点拨：为求BP需作出底边上的高，就得到与直角三角形相关的基本图形，注意动态过程。【例2】如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，S矩形ABCD=40cm2，S△ABE：S△DBA=1：5，则AE的长为( ) A、4cm B、5cm C、6cm D、7cm (青岛市中考题)
思路点拨：从题设条件及基本图形入手，先建立AB、AD的等式。
【例3】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，DB为BC的中点，E为AC上一点，点G在BE上，连结DG并延长交AE于F，若∠FGE=45°。
(1)求证：BD×BC＝BG×BE；
(2)求证：AG⊥BE；
(3)若E为AC的中点，求EF：FD的值。（盐城市中考题）
思路点拨：发现图形中特殊三角形、基本图形、线段之间的关系是解本例的基础．(1)证明△GBD ∽△CBE ；(2)证明△ABG ∽EBA ；(3)利用相似三角形，把求
FD
EF
的值转化为求其他线段的比值。 【例4】 如图，H 、Q 分别是正方形ABCD 的边AB 、BC 上的点，且BH=BQ ，过B 作HC 的垂线，垂足为P 。求证：DP ⊥PQ 。 (“祖冲之杯”邀请赛试题)
思路点拨：因∠BPQ+∠QPC=90°，要证DP ⊥PQ ，即证∠QPC+∠DPC=90°，只需证∠BPQ=∠DPC ，只要证明△BPQ ∽△CPD 即可。
注：题设条件有中点，图形中有与直角三角形相关的基本图形，给我们以丰富的联想，单独应用或组合应用可推出许多结论．因此，读者应不拘泥于给出的思路点拨，多角度探索与思考，寻找更多更好的解法，以培养我们发散思的能力。
【例5】 已知△ABC 中，BC>AC ，CH 是AB 边上的高，且满足
BH
AH
BC AC
2
2，试探讨∠A 与∠B 的关系，井加以证明。 (武汉市选拔赛试题)
思路点拨：由题设条件易想到直角三角形中的基本图形、基本结论，可猜想出∠A 与∠B 的关系，解题的关键是综合运用勾股定理、比例线段的性质，推导判定两个三角形相似的条件。
注 构造逆命题是提出问题的一个常用方法，本例是在直角三角形被斜边上的高分成的相似三角形得出结论基础上提出的一个逆命题，读者你能提出新的问题吗?并加以证明。
直角三角形的再发现学力训练
1、如图，已知正方形ABCD 的边长是1，P 是CD 边的中点，点Q 在线段BC 上，当BQ= 时，三角形ADP 与三角形QCP 相似。 (云南省中考题)
2、如图，Rt △ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，DF ⊥CB 于E ，若BE=6，CE=4，则AD= 。
3、如图，平行四边形ABCD 中，AB=2，BC=23，AC=4，过AC 的中点O 作EF ⊥AC 交AD 于E ，交BC 于F ，则EF= 。 (重庆市竞赛题)
4、P 是Rt △ABC 的斜边BC 上异于B 、C 的一点，过点P 作直线截△ABC ，使截得的三角形与△ABC 相似，满足这样条件的直线共有( )
A 、1条
B 、2条
C 、3条
D 、4条 (2001年安徽省中考题) 5、在△ABC 中，AD 是高，且AD 2=BD ×CD ，那么∠BAC 的度数是( )
A 、小于90°
B 、等于90°
C 、大于90°
D 、不确定 6、如图，矩形ABCD 中，AB=3，BC=3，A
E ⊥BD 于E ，则EC=( )
A 、
27 B 、25 C 、215 D 、2
21
7、如图，在矩形ABCD 中，E 是CD 的中点，BE ⊥AC 交AC 于F ，过F 作FG ∥AB 交AE 于G ，求证：AG 2＝AF ×FC 。
8、如图，在平行四边形ABCD 中，∠DBC ＝45°，DE ⊥BC 于E ，BF ⊥CD 于F ，DE 、BF 相交于H ，BF 、AD 的延长线相交于G 。
求证；(1)AB=BH ；(2)AB 2=GA ×HE 。 (青岛市中考题)
9、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AD 平分∠CAB 交BC 于点D ，过点C 作CE ⊥AD 于E ，CE 的延长线交AB 于点F ，过点E 作EG ∥BC 交AB 于点G ，AE ×AD=16，AB=45 (1)求证：CE=EF ；(2)求EG 的长。 (河南省中考题)
10、如图，直角梯形ABCD 中，∠A ＝90°，AC ⊥BD ，已知
k AD BC =，则BD
AC
= 。 (江苏省竞赛题)
11、如图，在Rt △ABC 中，两条直角边AB 、AC 的长分别为l 厘米、2厘米，那么直角的角平分线的长度等于 厘米。
12、如图，点D 、E 分别在△ABC 的边AC 和BC 上，∠C ＝90°，DE ∥AB ，且3DE=2AB ，AE=13，BD=9，那么AB 的长为 。 ( “我爱数学”初中数学夏令营试题)
13、如图，△ABC 为等腰直角三角形，∠C=90°，若AD=31AC ，CE=3
1
BC ，则∠1与∠2的大小关系
是( ) A 、∠1>∠2 B 、∠1<∠2 C 、∠1=∠2 D 、无法确定 (天津市竞赛题)
14、如图，△ABC 中，CD ⊥AB 交AB 于点D ，有下列条件： ①∠A=∠BCD ；②∠A+∠BCD=∠ADC ；③
AC
BC
CD BD =
；④BC 2=BD ×BA 。 其中，一定能判断△ABC 是直角三角形的共有( )
A 、0个
B 、1个
C 、2个
D 、3个 (2003年河南省竞赛题)
15、如图，在直角梯形ABCD 中，AB=7，AD=2，DC=3，如果边AD 上的点P 使得以P ，A 、D 为顶点的三角形和以P 、B 、C 为顶点的三角形相似，那么这样的点P 有( ) A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个
16、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 是角平分线，DE ∥BC 交AC 于点E ，DF ∥AC 交BC 于点F 。求证：(1)四边形CEDF 是正方形；(2)CD 2=AE ×BF 。 (山东省竞赛题)
17、如图，在Rt △ABC 中，∠BCA=90°，CD ⊥AB 于D ，已知Rt △ABC 的三边长都是整数，且BD=113，求Rt △BCD 与Rt △ACD 的周长之比。 (全国初中数学联赛题)
18、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A 的平分线AD 交BC 边于D ，求证：
BD
BC
AD AC 22
2=。 (昆明市竞赛题)
19、如图，已知边长为a 的正方形ABCD ，在AB 、AD 上分别取点P 、S ，连结PS ，将Rt △SAP 绕正方形中心O 旋转180°得Rt △QCR ，从而得四边形PQRS ．试判断四边形PQRS 能否变化成矩形?若能，设PA= x ，SA=y ，请说明x 、y 具有什么关系时，四边形PQRS 是矩形；若不能，请说明理由。
(山东省济南市中考题)
20、如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90° (1)当点D 在斜边AB 内时，求证：
AB
BD
AD BC BD CD -=
-2
2
2； (2)当点D 与点A 重合时，(1)中的等式是否存在?请说明理由；
(3)当点D 在BA 的延长线上时，(1)中的等式是否存在?请说明理由。(全国初中数学竞赛题)
28．2．1 解直角三角形 1．理解解直角三角形的意义和条件；(重点) 2．根据元素间的关系，选择适当的关系式，求出所有未知元素．(难点) 一、情境导入 世界遗产意大利比萨斜塔在1350年落成时就已倾斜．设塔顶中心点为B, 塔身中心线与垂直中心线夹角为∠A ，过点B 向垂直中心线引垂线，垂足为点C .在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝5.2m ，AB ＝54.5m ，求∠A 的度数． 在上述的Rt △ABC 中，你还能求其他未知的边和角吗？ 二、合作探究 探究点一：解直角三角形 【类型一】 利用解直角三角形求边或角 已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、 ∠B 、∠C 的对边分别为a ，b ，c ，按下列条件解直角三角形． (1)若a ＝36，∠B ＝30°，求∠A 的度数和边b 、c 的长； (2)若a ＝62，b ＝66，求∠A 、∠B 的度数和边c 的长． 解析：(1)已知直角边和一个锐角，解直角三角形；(2)已知两条直角边，解直角三角形． 解：(1)在Rt △ABC 中，∵∠B ＝30°，a ＝36，∴∠A ＝90°－∠B ＝60°，∵cos B ＝a c ，即c ＝a cos B ＝36 3 2＝243，∴b ＝sin B ·c ＝12×243＝123； (2)在Rt △ABC 中，∵a ＝62，b ＝66，∴tan A ＝a b ＝33 ，∴∠A ＝30°，∴∠B ＝60°，∴c ＝2a ＝12 2. 方法总结：解直角三角形时应求出所有未知元素，解题时尽可能地选择包含所求元素与两个已知元素的关系式求解． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第4题 【类型二】 构造直角三角形解决长度问题
第1章 解直角三角形 专项练习 一、锐角三角函数： 1、各三角函数之间的关系： ⑴sin ＝cos ; ⑵sin 2＋cos 2＝ ; ⑶tan ＝ . 2、在Rt △ABC 中，∠C ＝900 ，AC ＝12，BC ＝15。 （1）求AB 的长； （2）求sinA 、cosA 的值； （3）求A A 2 2 cos sin +的值； （4）比较sinA 、cosB 的大小。 2、（1）在Rt △ABC 中，∠C ＝900 ，5=a ，2=b ，则sinA ＝ 。 （2）在Rt △ABC 中，∠A ＝900 ，如果BC ＝10，sinB ＝0.6，那么AC ＝ 。 （3）在ABC Rt ?中，C ∠＝90，c = 8 , sinA = 4 1 ，则b = . 3、选择：（1）在Rt △ABC 中，∠C ＝900 ，3 1 tan = A ，AC ＝6，则BC 的长为（ ） A 、6 B 、5 C 、4 D 、2 （2）Rt ABC ?中，C ∠＝90，43AC BC ==，,cos B 的值为 （ ） 15A 、 35B、 43C、 34 D、 （3）ABC ?中，C ∠＝90，tan 1A =，则sin B 的值是 （ ） 3A 、 2B、1C、 2 D、4、计算： （1)sin 30o+cos 45o; (2) s in260o+cos260o-tan 45o. （3）???-??+?60tan 60sin 45cos 230sin (42453(sin 602cos30)tan30?-?+? 二、解直角三角形 1、如图,身高1.5m 的小丽用一个两锐角分别是30o和60o 的三角尺测量一棵树的高度.已知她与树之间的距离为5m,那么这棵树大约有多高?
第25章解直角三角形检测试题 时间：60分钟 等级 将所选选项的字母写在题后的括号中 1．在△ABC 中， AB =5，AC =4，BC=3则sinA 的值是（ ）。 A ．53 B ．54 C ．35 D ．4 3 2．已知α为锐角，且3tan(α+100 )=1,则α的度数为（ ）。 A ．30° B ．45° C ．20° D ．35° 3．在正方形网格中，△ABC 的位置如图所示，则 tan B ∠的值为（ ）。 A ．1 B ．3 C ． 3 2 D ． 33 4．已知Rt △ABC 中,∠C =90?，tanA=3 1 ，且AC=33，则BC 的值 为( ). A ．43 B ．83 C ．4 D ．3 5一辆汽车沿倾斜角是α的斜坡行驶500米，则它上升的高度是() A.500sin α米 B.500sin α米 C.500cos α米 D.500 cos α 米 6．下列说法中，正确的是( ) A.sin600+cos300=1. B.若α为锐角，则2)1(sin -α﹦1﹣sin α. C.对于锐角β，必有sin cos ββ<. D.在Rt △ABC 中,∠C =90?，则有tan cot A 7．如图,是一个中心对称图形，A 为对称中心，若∠C=90°， ∠B=30°，BC=1，则 BB ′的长为( ). A ．4 B ．33 C ．3 32 第3题图 第7题图 30° A C B ′ B C ′
D ． 3 3 4 8.下列各式中正确的是（ ） A sin300+cos600=1 B sinA= 2 1 =300 C cos600=cos(2×300 )=2cos300 D tan600+cot450=23 9.当锐角A ＞300时，cosA 的值是（ ） A 小于21 B 大于2 1 C 小于23 D 大于23 10.等腰三角形一腰上的高线为1，且高线与底边的夹角的正切值为 1，则这个等腰三角形的面积为（ ）。 A 2 1 B 1 C 23 D 3 11.如图，在某海岛的观察所A 测得船只B 的俯角是300 ，若观察 所的标高（当水位是0米时的高度）是53米，当时的水位是+3米，则观察所A 和船只B 的水平距离是（ ）米。 A 50 B 503 C 53 D 533 12．如图，Rt △ABC 中， ∠C =90?， AC BC =， 点D 在AC 上，30CBD ∠=?,则AD DC 的值为( ) A ．3 B ．2 2 C ．31- D ．不能确定 第12题图
直角三角形（提高） 【学习目标】 1．理解和掌握判定直角三角形全等的一种特殊方法——“斜边，直角边”（即“HL”）. 2．能熟练地用判定一般三角形全等的方法及判定直角三角形的特殊方法判定两个直角三角形全等. 3. 能应用直角三角形的性质解题. 【要点梳理】 要点一、判定直角三角形全等的一般方法 由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了。这里用到的是“AAS”，“ASA”或“SAS”判定定理. 要点二、判定直角三角形全等的特殊方法——斜边，直角边定理 在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的，一般三角形不具备. 要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了. （2）判定两个直角三角形全等的方法共有5种：SAS、ASA、AAS、SSS、HL. 证明两个直角三角形全等，首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三 角形全等的证明方法. （3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三 角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”. 要点三、直角三角形的性质 定理1：直角三角形的两个锐角互余. 定理2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 推论1：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 推论2：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°. 要点诠释：这个定理的前提条件是“在直角三角形中”，是证明直角三角形中一边等于另一边（斜边）的一半的重要方法之一，通常用于证明边的倍数关系. 【典型例题】 类型一、直角三角形全等的判定——“HL” 1、判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明 理由： （1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（） （2）一个锐角和斜边对应相等；（） （3）两直角边对应相等；（） （4）一条直角边和斜边对应相等．（） 【答案】（1）全等，“AAS”；（2）全等，“AAS”；（3）全等，“SAS”；（4）全等，“HL”. 【解析】理解题意，画出图形，根据全等三角形的判定来判断.
九年级下册第一章 解直角三角形 1.1从梯子的倾斜程度谈起 2课时 1.2 30°、45°、60°角的三角函数值 1课时 1.3三角函数的有关计算1课时 1.4测量物体的高度2课时 1.5船有触礁的危险吗1课时 第一教时 【教学内容】从梯子的倾斜程度谈起（一） 【教学目标】1.经历探索直角三角形中边角关系的过程. 理解正切的意义和与现实生活的联 系. 2.能够用 tanA 表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，外能够用正切进行简单的计算. 【教学重点】1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系. 2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系. 【教学难点】理解正切的意义，并用它来表示两边的比. 【教学用具】三角板 【教学方法】引导—探索法. 【教学过程】 一、生活中的数学问题: 1、你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？ 2、生活问题数学化： ⑴如图：梯子AB 和EF 哪个更陡？你是怎样判断的？ ⑵以下三组中，梯子AB 和EF 哪个更陡？你是怎样判断的？ 二、直角三角形的边与角的关系（如图，回答下列问题） ⑴Rt △AB 1C 1和Rt△A B 2C 2有什么关系? ⑵ 2 22111B AC C B A C C 和有什么关系？ ⑶如果改变B 2在梯子上的位置(如B 3C 3)呢? ⑷由此你得出什么结论? 三、例题： 例1、如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡? 例2、在△ABC 中，∠C=90°，BC=12cm ，AB=20cm ，求tanA 和tanB 的值. 四、随堂练习： 1.在Rt △ABC 中,∠C=90°,AB=3,BC=1,则tanA= _______. 修改与批注
第25章 解直角三角形 §25.1 测量 【学习目标】 1.了解测量物体高度和物体之间距离的方法. 2.学会运用相似三角形对应边成比例或勾股定理解决相关测量问题. 【课前导习】 1．在△ABC 中，若∠C=90° , ∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c,则a 2+b 2= ． 2．若△ABC ∽DEF,AB=6，DE=8，则 )(AB = ) (BC = )(DF = ． 3. 地图上A 、B 两地的图上距离是1.6m ，比例尺为1：20000，则实际距离是 km ． 4.一个直角三角形的两边长分别是3和4，则第三边长是 ． 【主动探究】 问题一： 当你走进学校，仰头望着操场旗杆上高高飘扬的五星红旗时，你也许很想知道，操场旗杆有多高？ 你可能会想到利用相似三角形的知识来解决这个问题． 图25.1.1 如图25．1．1，站在操场上，请你的同学量出你在太阳光下的影子长度、旗杆的影子长度，再根据你的身高，便可以利用相似三角形的知识计算出旗杆的高度． 问题二：如果就你一个人，又遇上阴天，那怎么办呢？人们想到了一种可行的方法，还是利用相似三角形的知识，你知道吗？． 试一试：如图25．1．2所示，站在离旗杆BE 底部10米处的D 点，目测旗杆的顶部，视线AB 与水平线的夹角∠BAC 为34°，并已知目高AD 为1.5米．现在若按1∶500的比例将△ABC 画在纸上，并记为△A ′B ′C ′，用刻度直尺量出纸上B ′C ′的长度，便可以算出旗杆的实际高度．你知道计算的方法吗？ 图25.1.2 实际上，我们利用图25．1．2（1）中已知的数据就可以直接计算旗杆的高度，而这一问题的解决将涉及直角三角形中的边角关系．我们已经知道直角三角形的三条边所满足的关系（即勾股定理），那么它的边与角又有什么关系？这就是本章要探究的内容．
直角三角形例题精讲与练习 【例题精讲】 例1 若a 、b 、c 是直角三角形的三条边长，斜边c 上的高的长是h ，给出下列结论：①以a 2，b 2，c 2 的长为边的三条线段能组成一个三角形；③以a +b ，c +h ，h 的长为边的三条线段能组成直角三角形；④以，，，的长为边的三条线段能组成直角三角形．其中所有正确结论的序号为______________． 例2 如图，梯子AB 斜靠在墙面上，AC ⊥BC ，AC =BC ，当梯子的顶端A 沿AC 方向下滑x 米时，梯足B 沿CB 方向滑动y 米，则x 与y 的大小关系是（ ）． A ．x =y B ．x >y C ．x 内容 基本要求 略高要求 较高要求 勾股定理及逆定理 已知直角三角形两边长，求第三条边 会用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理的逆定理判定三角形是否为直角三角形 会运用勾股定理解决有关的实际问 题。 解直角三角形 知道解直角三角形的含义 会解直角三角形；能根据问题的需要添加辅助线构造直角三角形；会解由两个特殊直角三角形构成的组合图形的问题 能综合运用直角三角形的性质解决有关问题 锐角三角函数 了解锐角三角函数（正弦、余弦、正切、余切），知道特殊角的三 角函数值 由某个角的一个三角函数值，会求这个角其余两个三角函数值；会求含有特殊角的三角函数值的计算 能用三角函数解决与直角三角形有关的简单问题 模块一、勾股定理 1．勾股定理的内容：如果直角三角形的两直角边分别是a 、b ，斜边为c ，那么a 2＋b 2＝c 2．即直角三 角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。 注：勾——最短的边、股——较长的直角边、 弦——斜边。 知识点睛 中考要求 解直角三角形 C A B c b a 如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。即 222,,ABC AC BC AB ABC ?+=?在中如果那么是直角三角形。 4．勾股数： 满足a 2 +b 2=c 2的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．常用勾股数：3、4、5； 5、12、13；7、24、25；8、15、17。 模块二、解直角三角形 一、解直角三角形的概念 根据直角三角形中已知的量（边、角）来求解未知的量（边、角）的过程就是解直角三角形． 二、直角三角形的边角关系 如图，直角三角形的边角关系可以从以下几个方面加以归纳： c b a C B A （1）三边之间的关系：222a b c += (勾股定理) （2）锐角之间的关系：90A B ∠+∠=? （3）边角之间的关系：sin cos ,cos sin ,tan a b a A B A B A c c b ===== 三、 解直角三角形的四种基本类型 （1）已知斜边和一直角边(如斜边c ，直角边a )，由sin a A c = 求出A ∠，则90B A ∠=?-∠， b =； （2）已知斜边和一锐角(如斜边 c ，锐角A )，求出90B A ∠=?-∠，sin a c A =，cos b c A =； （3）已知一直角边和一锐角(如a 和锐角A )，求出90B A ∠=?-∠，tan b a B =，sin a c A =； （4）已知两直角边(如a 和b ) ，求出c =tan a A b =，得90B A ∠=?-∠． 具体解题时要善于选用公式及其变式，如sin a A c =可写成sin a c A =，sin a c A =等． 四、解直角三角形的方法 解直角三角形的方法可概括为：“有斜(斜边)用弦(正弦，余弦)，无斜用切(正切，余切)，宁乘毋除，取原避中”．这几句话的意思是：当已知或求解中有斜边时，就用正弦或余弦；无斜边时，就用正切或余切； 当所求的元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法；既可由已知数据又可用中间数据求得时，则用原始数据，尽量避免用中间数据． 五、解直角三角形的技巧及注意点 在Rt ABC ?中，90A B ∠+∠=?，故sin cos(90)cos A A B =?-=，cos sin A B =．利用这些关系式，可在解题时进行等量代换，以方便解题． 六、如何解直角三角形的非基本类型的题型 对解直角三角形的非基本类型的题型，通常是已知一边长及一锐角三角函数值，可通过解方程(组)来转化为四种基本类型求解； （1）如果有些问题一时难以确定解答方式，可以依据题意画图帮助分析； 25.1 测量 教学目标 1、在探索基础上掌握测量。 2、掌握利用相似三角形的知识 教学重难点 重点：利用相似三角形的知识在直角三角形中，知道两边可以求第三边。 难点：应用勾股定理时斜边的平方等于两直角边的平方和。 教学过程 当你走进学校，仰头望着操场旗杆上高高飘扬的五星红旗时，你也许很想知道，操场旗杆有多高？ 你可能会想到利用相似三角形的知识来解决这个问题． 图25.1.1 如图25．1．1，站在操场上，请你的同学量出你在太阳光下的影子长度、旗杆的影子长度，再根据你的身高，便可以利用相似三角形的知识计算出旗杆的高度． 如果就你一个人，又遇上阴天，那怎么办呢？人们想到了一种可行的方法，还是利用相似三角形的知识． 试一试 如图25．1．2所示，站在离旗杆BE底部10米处的D点，目测旗杆的顶部，视线AB与水平线的夹角∠BAC为34°，并已知目高AD为1.5米．现在若按1∶500的比例将△ABC画在纸上，并记为△A′B′C′，用刻度直尺量出纸上B′C′的长度，便可以算出旗杆的实际高度． 你知道计算的方法吗？ 图25.1.2 实际上，我们利用图25．1．2（1）中已知的数据就可以直接计算旗杆的高度，而这一问题的解决将涉及直角三角形中的边角关系．我们已经知道直角三角形的三条边所满足的关系（即勾股定理），那么它的边与角又有什么关系？这就是本章要探究的内容．练习 1．小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度． 2．请你与你的同学一起设计切实可行的方案，测量你们学校楼房的高度． 习题25．1 1．如图，为测量某建筑的高度，在离该建筑底部30．0米处，目测其顶，视线与水平线的夹角为40°，目高1．5米．试利用相似三角形的知识，求出该建筑的高度．（精确到0．1米） （第1题） （第3题） 2．在平静的湖面上，有一枝红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被风吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深多少？ 3．如图，在一棵树的10米高B处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘A处．另一只爬到树顶D后直接跃到A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，求这棵树的高度． 小结与作业: 数学教案—八年级下册 姓名： 班次： 2014 年2月 第1章直角三角形 §1.1直角三角形的性质和判定（Ⅰ） （第1课时） 教学目标： 1、掌握“直角三角形的两个锐角互余”定理。 2、掌握“有两个锐角互余的三角形是直角三角形”定理。 3、掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”定理以及应用。 4、巩固利用添辅助线证明有关几何问题的方法。 教学重点：直角三角形斜边上的中线性质定理的应用。 难点：直角三角形斜边上的中线性质定理的证明思想方法。 教学方法：观察、比较、合作、交流、探索. 教学过程： 一、复习提问：（1）什么叫直角三角形？ （2）直角三角形是一类特殊的三角形，除了具备三角形的性质外， 还具备哪些性质? 二、新授 （一）直角三角形性质定理1 请学生看图形： 1、提问：∠A与∠B有何关系？为什么？ 2、归纳小结：定理1：直角三角形的两个锐角互余。 3、巩固练习： 练习1 （1）在直角三角形中，有一个锐角为520，那么另一个锐角度数 （2）在Rt△ABC中，∠C=900，∠A -∠B =300，那么∠A= ，∠B= 。 练习2 在△ABC中，∠ACB=900，CD是斜边AB上的高，那么，（1）与∠B互余的角有（2）与∠A相等的角有。（3）与∠B相等的角有。 （二）直角三角形的判定定理1 1、提问：“在△ABC中，∠A +∠B =900那么△ABC是直角三角形吗？” 2、利用三角形内角和定理进行推理 3、归纳：有两个角互余的三角形是直角三角形 练习3:若 ∠A= 600 ，∠B =300，那么△ABC 是 三角形。 （三）直角三角形性质定理2 1、实验操作： 要学生拿出事先准备好的直角三角形的纸片 （l ）量一量斜边AB 的长度 （2）找到斜边的中点，用字母D 表示 （3）画出斜边上的中线 （4）量一量斜边上的中线的长度 让学生猜想斜边上的中线与斜边长度之间有何关系？ 归纳命题：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 证明命题：（教师引导，学生讨论，共同完成证明过程） 推理证明思路： ①作点D 1 ②证明所作点D 1 具有的性质 ③ 证明点D 1 与点D 重合 应用定理： 例1如图1-5，已知CD 是?ABC 的AB 边上的中线，且CD=2 1 AB 。 求证：?ABC 是直角三角形 学生练习，指名板书 集体讲解，总结得出： 一个三角形一边上的中线等于这一边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 三、巩固训练： 练习4： 在△ABC 中， ∠ACB=90 °，CE 是AB 边上的中线，那么与CE 相等的线段有_________，与∠A 相等的角有_________，若∠A=35°，那么∠ECB= _________。 练习P4 2 四、小结： 通过今天的学习有哪些收获？ 这节课主要讲了直角三角形的那两条性质定理和一条判定定理？ 1、 2、 F E D C B A 直角三角形 【学习目标】 1. 掌握勾股定理的内容及证明方法、勾股定理的逆定理及其应用．理解原命题与其逆命题，原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系． 2. 能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题；能利用勾股定理的逆定理，由三边之长判断一个三角形是否是直角三角形. 3. 能够熟练地掌握直角三角形的全等判定方法（HL ）及其应用. 【要点梳理】 要点一、勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为 ，斜边长为，那么. 要点诠释： （1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系. （2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目中的已知线段的长可以建 立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. （3）理解勾股定理的一些变式：，， . （4）勾股数：满足不定方程的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达 哥拉斯数），显然，以为三边长的三角形一定是直角三角形. 熟悉下列勾股数，对解题会很有帮助： ① 3、4、5； 5、12、13； 8、15、17； 7、24、25； 9、40、41…… ②如果是勾股数，当为正整数时，以为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形. ③（是自然数）是直角三角形的三条边长； ④（是自然数）是直角三角形的三条边长； ⑤ （是自然数）是直角三角形的三条边长. 要点二、勾股定理的证明 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 图（1）中 ，所以 . 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. a b ，c 222a b c +=2 2 2 a c b =-2 2 2 b c a =-()2 2 2c a b ab =+-222 x y z +=x y z 、、a b c 、、t at bt ct 、、22 1 21n n n -+，，1,n n >2 2 22,21,221n n n n n ++++n 2 2 2 2 ,,2m n m n mn -+,m n m n > 、 1 / 17 解直角三角形是九年级上学期第二章第二节的内容，通过本节的学习，需要 掌握直角三角形中，除直角外其余五个元素之间的关系，并熟练运用锐角三角比的意义解直角三角形，以及解直角三角形的相关应用．重点在于理解仰角、俯角、方向角、坡度、坡角等概念，并能利用其解决实际问题；难点在于，若一个三角形不是直角三角形，要有意识把它化归为解直角三角形的问题． 1、 解直角三角形 在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形． 在t R ABC ?中，如果=90C ∠?，那么它的三条边和两个锐角之间有以下的关系： （1）三边之间的关系： 222a b c += （2）锐角之间的关系： 90A B ∠+∠=? （3）边角之间的关系： sin cos a A B c ==，cos sin b A B c == tan cot a A B b == ，cot tan b A B a == 解直角三角形 内容分析 知识结构 模块一：解直角三角形 知识精讲 2 / 17 A B O x y A B C D E 【例1】 ABC ?中，90C ∠=?，已知AB = 6.4，40B ∠=?，则A ∠=______，AC =______， BC =______．（sin400.64?≈，sin500.77?≈，边长精确到0.1） 【难度】★ 【答案】 【解析】 【例2】 若菱形的周长为8，相邻两内角之比为3 : 1，则菱形的高是______． 【难度】★ 【答案】 【解析】 【例3】 如图，OAB ?中，OA = OB ，125AOB ∠=?．已知点A 的坐标是（4，0），则点B 的坐标是____________．（用锐角三角比表示） 【难度】★★ 【答案】 【解析】 【例4】 如图，在ABC ?中，90BAC ∠=?，AB = AC ，D 为边AC 的中点，DE BC ⊥于点E ， 连接BD ，则tan DBC ∠的值为（ ） A ．13 B ．21- C ．23- D ． 14 【难度】★★ 【答案】 【解析】 例题解析 25.3（1）解直角三角形 一、教学内容分析 本课时的内容是解直角三角形，首先是了解直角三角形中的边角的关系和什么是解直角三角形，以及在解直角三角形时，选择合适的工具解，即优选关系式.从而能提高学生分析问题和解决问题的能力. 二、教学目标设计 1.理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形． 2.通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步形成分析问题、解决问题的能力． 3．渗透数形结合的数学思想，养成良好的学习习惯． 三、教学重点及难点 教学重点：直角三角形的解法． 教学难点：锐角三角比在解直角三角形中的灵活运用． 四、教学过程设计 一、 情景引入 1．观察 引入新课：如图所示，一棵大树在一次强烈的台风中于地面10米处折断倒下，树顶落在离数根24米处.问大树在折断之前高多少米? 显然，我们可以利用勾股定理求出折断倒下的部分的长度为222410 ＝26 ， 26＋10＝36所以， 大树在折断之前的高为36米. 2．思考 1．在三角形中共有几个元素？ 2．直角三角形ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 、∠A 、∠B 这 五个元素间有哪些等量关系呢？ 3．讨论复习 师白：Rt △ABC 的边角关系、三边关系、角角关系分别是什 么？ 总结：直角三角形的边与角之间的关系 (1)两锐角互余∠A ＋∠B ＝90°； (2)三边满足勾股定理a 2＋b 2＝c 2； (3)边与角关系sinA ＝cosB ＝a c ，cosA ＝sinB ＝b c ， tanA ＝cotB ＝a b ，cotA ＝tanB ＝b a . 二、学习新课 1．概念辨析 师白：我们已掌握Rt △ABC 的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素． 定义：我们把由已知元素求出所有末知元素的过程，叫做解直角三角形. 2．例题分析 t i m e d g i e g a e g o 2019年中考数学专题复习第十八讲 直角三角形 【基础知识回顾】一、等腰三角形 1、定义：有两边 的三角形叫做等腰三角形，其中 的三角形叫做等边三角形 2、等腰三角形的性质： ⑴等腰三角形的两腰 等腰三角形的两个底角 简称为 ⑵等腰三角形的顶角平分线 、 互相重合，简称为 ⑶等腰三角形是轴对称图形，它有 条对称轴，是 3、等腰三角形的判定： ⑴定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形 ⑵有两 相等的三角形是等腰三角形，简称 【名师提醒：1、等腰三角形的性质还有：等腰三角形两腰上的 相等，两腰上的 相等，两底角的平分线也相等 。2、因为等腰三角形腰和底角的特殊性，所以在题目中往常出现对边和角的讨论问题，讨论边时应注意保证 ，讨论角时应主要底角只被为 角】 4、等边三角形的性质：⑴等边三角形的每个内角都 都等于 ⑵等边三角形也是 对称图形，它有 条对称轴1、等边三角形的判定： ⑴有三个角相等的三角形是等边三角形 ⑵有一个角是 度的 三角形是等边三角形【名师提醒：1、等边三角形具备等腰三角形的所有性质 2、有一个角是直角的等腰三角形是 三角形】 二、线段的垂直平分线和角的平分线1、线段垂直平分线定义： 一条线段且 这条线段的直线叫做线段的垂直平分线 2、性质：线段垂直平分线上的点到 得距离相等 3、判定：到一条线段两端点距离相等的点在 4、角的平分线性质：角平分线上的点到 的距离相等 5、角的平分线判定：到角两边距离相等的点在 【名师提醒：1、线段的垂直平分可以看作是 的点的集合，角平分线可以看作是 的点的集合。 2、要能够用尺规作一条已知线段的垂直平分线和已知角的角平分线】【重点考点例析】考点一：角的平分线例1 考点二：线段垂直平分线例2 考点三：等腰三角形性质的运用例3 第3讲 直角三角形 【知识体系】 直角三角形是一种特殊的三角形，它有许多重要的性质，如两个锐角互余，30°的角所对的直角边等于斜边的一半等. 另外, 如勾股定理与其逆定理，包括它们的发现、证明和应用，揭示了直角三角形三条边之间的数量关系，它可以解决许多直角三角形中的计算问题，是解直角三角形的主要依据之一，在生产生活实际中用途很大. 它不仅在数学中，而且在其他自然科学中也被广泛地应用. 【热身训练】 1. 如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC=25°，CD ⊥AB 于D ，则∠ACD = 度． 2. 如图，正方形ODBC 中，OC=1，OA=OB ，则数轴上点A 表示的数是 . 3. 将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm 的纸带边沿上. 另一个顶点在纸 带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角板的最大边的长为 （ ） A ．3cm B ．6cm C ．cm D ．4. 如图，在四个均由16 个小正方形组成的网格正方形中，各有一个格点三角形，那么这 四个三角形中，与众不同的是 ，不同之处是 . 5. 若,,a b c 分别是△ABC 的三条边长，且2 2 2 610850a a b c c b -+-+=-，则这个 三角形的形状是 ． 6. 如图，在△ABC 中，AB =3，AC =2，∠A =300，则△ABC 的面积等于 ( ) A. B. 32 C. D. D B C A 230° 第1题图 第2题图 第3题图 D C B A B C A 第4题图 第6题图 8.如图，将一根25cm长的细木棒放入长、宽、高分别为8cm、6cm和的长方体 无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是cm． 9.如图，由7个形状、大小完全相同的正六边形组成网格，正六边形的顶点称为格点. 已 知每个正六边形的边长为1，△ABC的顶点都在格点上，则 ABC S ? =. 【典型例题】 例1如图1，AD和AE分别是△ABC的BC边上的高和中线，点D是垂足，点E是BC 的中点，规定： A DE BE λ=．特别地，当点D、E重合时，规定：0 A λ=．另外，对, B C λλ 作类似的规定． （1）如图2，在△ABC中，∠C＝90o，∠A＝30o，求, A C λλ ； （2）在每个小正方形边长均为1的4×4的方格纸(图3)上，画一个△ABC，使其顶点在 格点（格点即每个小正方形的顶点）上，且2 A λ=，面积也为2； （3）若△ABC为锐角三角形, 则应该有: ①△ABC中1 A λ<; ②△ABC中1 A λ=; ③△ABC中1 A λ>. C C D E B A 图3 图2 图1 简答：（1）作BC边上的中线AD，λA＝ CD BD＝1 ; 过点C分别作AB边上的高CE和中线CF，λC＝ EF AF＝ 1 2 ; （2）请同学自行完成；（3）③ . 第7题图第8题图第9题图 《解直角三角形》说课稿 尊敬的领导，各位老师，亲爱的同学们大家好！我是来自商丘师院数学系的杨露，今天我说课的内容是九年义务教育课本九年级数学第二学期第二十八章第二节的内容《解直角三角形》。下面我将从以下四个环节对本节课的教学设计进行说明：（ 一、教材分析二、教法学法三、教学过程四、板书设计 一、教材分析 教材分析可分为教材的地位和作用，教学目标和教学重难点 1、教材的地位和作用 《解直角三角形》是九年义务教育课本九年级数学第二学期第二十四章第二节的内容。本节课 是在锐角三角函数的基础上学习的。让学生通过简单的问题情境，利用锐角三角函数的内容来研究 直角三角形的边、角关系，最后利用勾股定理及锐角三角函数的知识来解决实际中提出的问题。这 些实际问题的数量关系往往归结为直角三角形中边和角的关系。通过这一部分内容的学习，学生将 进一步感受数形结合的思想，体会数形结合的方法。 2、教学目标 作为一名教师除了把知识教给学生，更重要的是应该教给学生学习的方法，培养他们的自主探究、合作创新的意识，使他们会学。因此根据新课标的要求、教材的特点及学生的实际情况，我制 定了如下目标： 【知识目标】 弄清解直角三角形的含义，理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形。 【能力目标】 通过观察、猜想等数学活动过程，培养学生的逻辑推理能力。体验数形之间的联系，并能运用数 形结合的思想来解决问题， 【情感目标】 培养学生的发现意识和探究能力，使其具有强烈的好奇心和求知欲。认识知识的独立性。 3.教学重点、难点 基于以上对教材和教学目标的分析，本着课程标准，在吃透教材基础上，我得出本节课的重点与 难点。 教学重点：能选用适当的三角函数关系式来解直角三角形。 教学难点：将实际问题抽象为数学问题，利用数形结合来解决实际问题。 下面，为了讲清重点、难点，使学生能达到本节设定的教学目标，我再从教法和学法上谈谈： 二、教法学法 第1章解直角三角形专项练习 一、锐角三角函数： 1、 各三角函数之间的关系： ⑴ sin = cos _____ ; ⑵ sin 2 + cos 2 = ; ⑶ tan = ________ . ____ 2、 在 Rt △ ABC 中，/ C = 900, AC = 12, BC = 15。 (1 )求 AB 的长； (2 )求 si nA 、cosA 的值; 2 2 (3)求 sin A cos A 的值； (4)比较 sinA 、cosB 的大小。 2、 (1 )在 Rt △ ABC 中，/ C = 900, a =,；5 , b =2，贝U si nA =_____________ 。 (2) 在 Rt △ ABC 中，/ A = 900,如果 BC = 10, sinB = 0.6，那么 AC = _________ 1 (3) 在 RUABC 中，一 C = 90, c = 8 , sinA = ，则 b = . 4 1 3、 选择：(1 )在 Rt △ ABC 中，/ C = 900, tanA , AC = 6，则 BC 的长为( 3 (3) sin 30 ..2 *cos45 —sin 60 *tan60 4 2sin4 5 - 3(sin60 -2cos30 ) tan30 二、解直角三角形 1、如图，身高1.5m 的小丽用一个两锐角分别是 30o 和60o 的三角尺测量一棵树的高度 .已知她与树之间的 距离为5m,那么这棵树大约有多高 ？ (2) Rt ABC 中， C = 90, AC =4, BC =3, cosB 的值为 1 r 3 4 r 3 A 、- B — C - D - 5 5 3 4 A 、6 B 、5 C ( (3) ABC 中， C = 90, tan A =1，则sin B 的值是 A > . 3 B .2 c 、1 D 鱼 2 4、计算: ( (1)sin 30o+cos45o; ⑵s in260o+cos250o-tan 45o. 第2讲：解直角三角形 一、建构新知 1.已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A=30°, BC=2, 则AB= , AC= ,∠B= °. 2.阅读教材后回答。 （1）已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A=α, BC=a, 则AB= , AC= , ∠B= °. （2）解直角三角形至少需要个条件，其中关于的条件必须有. （3）课本例题1中给出了一种解的直角三角形的方法，除此之外有没有其它的解法了，请你试着解一下，并且请你比较一下哪种解法更好，为什么？ 3.填写下表：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a ,b , c. 已知条件已知条件解法 一边一角一条直角边和一个锐角 （a, ∠A） 斜边和一个锐角 （c, ∠A） 两边 两条直角边 （a,b） 斜边和一条直角边 （a ,c） 4.阅读教材后回答. （1）如图，在斜坡AB上，坡角为, 坡度等于与的比（或叫坡比）， 其实质就是坡角的值，可用字母表示. （2）若∠B逐渐变大，坡度是如何变化的？B A C A B C 北 北 二、经典例题 例1. 将一副三角板按如图的方式摆放在一起，连接AD ,求∠ADB 的正弦值． 例2．由下列条件解题：在Rt △ABC 中，∠C =90°： （1）已知a =4，b =8，求c ． （2）已知b =10，∠B =60°，求a ，c ． 例3.台湾“华航”客机失事后，祖国大陆海上搜救中心立即通知位于A 、B 两处的上海救捞人局所属专业救助轮“华意”轮、“沪救12”轮前往出事地点协助搜索.接到通知后，“华意”轮测得出事地点C 在A 的南偏东60°、“沪救12”轮测得出事地点C 在B 的南偏东30°.已知B 在A 的正东方向，且相距100浬，分别求出两艘船到达出事地点C 的距离. A B D C A B D C 第1章 解直角三角形 专项练习 一、 细心选一选 1．在Rt △ABC 中，∠C=90°，cosA=5 3 ，那么tanB=( ) A. 53 B. 54 C. 34 D. 4 3 2. 在△ABC 中， tan A ＝1，cos B ＝2 1 ，则∠C 的度数是（ ） A. 75° B.60° C. 45° D.105° 3. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC =1，BC =3，则sinA ，cosA 的值分别为( ) A. 21，33 B. 23，21 C. 2 1，3 D. 23，33 4．在直角三角形中，如果各边都扩大1倍，则其锐角的三角函数值( ) A. 都扩大1倍 B.都缩小为原来的一半 C.都没有变化 D. 不能确定 5．已知α是锐角，且sin α+cos α= 3 3 2,则sin α·cos α值为( ) A. 32 B. 23 C. 6 1 D. 1 6．化简：140tan 240tan 2 +-? ? 的结果为( ) A.1+tan40° B. 1－tan40° C. tan40°－1 D. tan 2 40°+1 7.已知β为锐角，cos β≤ 2 1 ，则β的取值范围为( ) A.30°≤β ＜90° B. 0°＜β≤60° C. 60°≤β＜90° D. 30°≤β＜60° 8.三角函数sin30°、cos16°、cos43°之间的大小关系是( ) A. cos43°＞cos16°＞sin30° B. cos16°＞sin30°＞cos43° C. cos16°＞cos43°＞ sin30° D. cos43°＞sin30°＞cos16° 9．如图，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC 于E ，设∠ADE=α, 且cos α= 5 3 ，AB=4，则AD 的长为( ) A.3 B. 516 C. 320 D. 3 16 10．在平行四边形ABCD 中，已知AB=3cm ，BC=4cm ，∠B=60°，则S ABCD 等于( ) A. 63 cm 2 B. 123 cm 2 C.6 cm 2 . D.12 cm 2 二、精心填一填（共6小题；每小题5分，共30分） 11.若2sin （α+5°）=1，则α= °。 12.边长为8，一个内角为120°的菱形的面积为 。 13. 一等腰三角形的腰长为3，底长为2，则其底角的余弦值为 。 14.在△ABC 中，∠BAC=120°, AB=AC, BC=4,建立如下图的平面直角坐标系，则A 、B 、C 个点的坐标分别是;A( ， )、B( ， )、C( ， )。 15.如右下图，把矩形纸片OA BC 放入平面直角坐标系中，使OA 、OC 分别落在x 轴、y 轴上，连结O B 将 A B著名机构初中数学培优讲义解直角三角形.第04讲.学生版
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