“鹰隼三朝展羽翼，蛟龙一跃上九天”
2013－2014 学年上学期高三年级
第一次摸底考试 数学 学科试卷（理科）
考试时间：120分钟 试卷满分：150分 命题人：吴普林 审题人：林逸凡
注意事项：
1．本次考试使用条形码粘贴，学生需认真核对条形码粘贴上的信息，确认无误后粘到答题卡上指定位置；
2．客观题填涂必须使用2B 铅笔，且按要求填满填涂点；
3．答题内容必须全部书写在答题卡题目规定的答题区域内（每题的答题区域以方框为界）； 4．必须保持答题卡的卷面整洁、平整，不得揉、搓或折叠，以免影响扫描效果．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）已知集合{12}A =，，{|05}B x x =∈< （A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1 （2 ）函数()lg(2)f x x =++ （A ）(20)(0)-+∞ ，， （B ）(2)-+∞， （C ）(21]-， （D ）(1)+∞， （3）若2sin 2cos 2θθ+=-，则cos θ= （A ）1 （B ）12 （C ）1 2 - （D ）－1 （4）在一次跳高比赛前，甲、乙两名运动员各试跳了一次．设命题p 表示“甲的试跳成绩超过2米”， 命 题q 表示“乙的试跳成绩超过2米”，则命题()()p q ?∨?表示 （A ）甲、乙恰有一人的试跳成绩没有超过2米 （B ）甲、乙两人的试跳成绩都没有超过2米 （C ）甲、乙至少有一人的试跳成绩超过2米 （D ）甲、乙至少有一人的试跳成绩没有超过2米 （5 （A ）两条直线 （B ）两条射线 （C ）两条线段 （D ）一条射线和一条线段 （6 ）已知函数()cos f x x x =－，x ∈R ，若()f x ≥1，则x 的取值范围为 （A ）{|}3 x k x k k π πππ++∈Z ≤≤， （B ）{|22}3 x k x k k π πππ+ +∈Z ≤≤， （C ）5{|}66x k x k k π πππ+ +∈Z ≤≤， （D ）5{|22}66 x k x k k ππππ++∈Z ≤≤， （7）ABC △的三个内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，， ，2sin sin cos a A B b A +=，则 b a = （A ） （B ）（C （D （8）函数()(1)(1)(1)(2)(2)(1)f x x x x x x x =+-+--+-+的两个零点分别位于区间 （A ）(11)-，和(12)，内 （B ）(1)-∞-，和(11)-，内 （C ）(12)，和(2)+∞，内 （D ）(1)-∞-，和(2)+∞，内 （9）曲线sin sin cos x y x x = +在点1 ()42 M π，处的切线的斜率为 （A ）12- （B ）1 2 （C ） （D （10） “0a <”是“函数2()||f x ax x =-在区间(0)+∞，上单调递增”的 （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （11）已知函数()f x 的图象如图所示，则函数(1)y f x =-的大致图象是 （12）已知函数()sin 2x f x x =∈R ，，将函数()y f x =图象上所有点的横坐标缩短为原来的1 2 倍（纵坐不 变），得到函数()g x 的图象，则关于()()f x g x ?有下列命题，其中真命题的个数是 ①函数()()y f x g x =?是奇函数； ②函数()()y f x g x =?不是周期函数； ③函数()()y f x g x =?的图像关于点(π，0)中心对称； ④函数()()y f x g x =? . （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． （13）已知幂函数()a f x x =的图象过点11 ()24 ，，则log 8a = . （14）如图，ABC △中，点D 在BC 边上，且2 2.5AC BC ==，， 10.5AD BD ==，，则AB 的长为 . （15）已知αβ， 均为锐角，且cos(sin()αβαβ+-= ，则2=β . （16）设a 为实常数，()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x <时，2 ()97a f x x x =++. 若“[0)x ?∈+∞，，()1f x a <+”是假命题，则a 的取值范围为 . 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）(本小题满分12分) B D C A 已知p :|3|2x ->，q :(1)(1)0x m x m ≤－＋－－，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围． （18）(本小题满分12分) 已知函数()sin()(00)2 f x A x x π ω?ω?=+∈><< R ，，，的部分图象如图所示． （Ⅰ）求函数()f x 的解析式； （Ⅱ）求函数()f x 的单调递增区间． （19）(本小题满分12分) 在ABC △中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，设S 为ABC △的面积，满足 222 )S a b c = ＋－． （Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）求sin sin A B +的最大值． （20）(本小题满分12分) 已知真命题:“函数()y f x =的图像关于点()P a b ，成中心对称图形”的充要条件为“函数()y f x a b =+-是奇函数”. （Ⅰ）将函数()sin()244g x x x x ππ=-+--∈R ，的图像向左平移4 π 个单位，再向上平移2个单位，求 此时图像对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数()g x 图像对称中心的坐标； （Ⅱ）求函数22()log 2x h x x -=图像对称中心的坐标； （Ⅲ）已知命题：“函数 ()y f x =的图像关于某直线成轴对称图像”的充要条件为“存在实数a 和b ，使得函数()y f x a b =+- 是偶函数”.判断该命题的真假，如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请说明理由，并类比题设的真命题对它进行修改，使之成为真命题(不必证明). （21）(本小题满分12分) 已知函数()(1)e x f x x x -=-∈R ，，其中e 是自然对数的底数. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间和极值； （Ⅱ）若函数()y g x =对任意x 满足()(4)g x f x =-，求证：当2x >时，()()f x g x >； （Ⅲ）若12x x ≠，且12()()f x f x =，求证：12 4.x x +> 请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号． （22）(本小题满分10分)选修4－1：几何证明选讲 如图，锐角ABC △的内心为D ，过点A 作直线BD 的垂线，垂足为F ，点E 为内切圆D 与边AC 的切 点. （Ⅰ）求证：A D F E ，，，四点共圆； （Ⅱ）若50C ∠=?，求DEF ∠的度数. （23）(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程选讲 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos sin x y ? ?=??=? (?为参数)，曲线2C 的参数方程为 cos sin x a y b ? ?=?? =? (0a b ?>>，为参数)．在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l θα=：与1C ，2C 各有一个交点．当0α=时，这两个交点间的距离为2，当2 π α= 时，这两个交点重合． （Ⅰ）分别说明1C ，2C 是什么曲线，并求出a 与b 的值； F E D C B A （Ⅱ）设当4π α= 时，l 与1C ， 2C 的交点分别为11A B ，，当4 π α=-时，l 与1C ， 2C 的交点分别为22A B ，，求四边形1221A A B B 的面积． （24）(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数()||f x x a =-. （Ⅰ）若不等式()3f x ≤的解集为{|15}x x -≤≤，求实数a 的值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若()(5)f x f x m ++≥对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围． 2013－2014学年上学期高三年级第一次模拟考试 参考答案及评分标准(理科数学) 一. （12） 解析：()()()h x f x g x = ?sin sin 2x x =22cos sin 22 x x =， ①错误，() h x 是偶函数；②错误，4π即为()h x 的一个周期； ③正确，可以验证()(2)0h x h x π+-=恒成立，故(π，0)是()y h x =的图像的一个对称中心； ④错误，令t ＝cos 2 x ，t ∈[－1，1]，则m (t )＝2t (1－t 2)＝2( t －t 3)，令m ′(t )＝2( 1－3t 2)＝0，得=t ±. 当t ＝±1时，函数值为0；当t =时，函数值为t ∴m (t )max ＝()h x 二．填空题：本大题共4个小题，每小题5分． （13）3 （14 （15）4π （16）8 7 a -≤ 提示： （16）解析：()y f x =是定义在R 上的奇函数，故可求解析式为2 2 970()00970a x x x f x x a x x x ?+->??? ==???++ ，，，，，， 又“0x ?≥，()1f x a <+”是假命题，则0x ?≥，()1f x a +≥是真命题， 当0x =时，1a +0≥，解得1a -≤，① 当0x >时，297a x x +-1a +≥，结合均值不等式有6||7a -1a +≥，得85a ≥或8 7 a -≤，② ①②取交集得a 的取值范围是8 7 a -≤. 三．解答题：本大题共6个小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分） 解析：由题意p ：5x >或1x <，q ：11m x m ≤≤－＋， 设{|51}A x x x =><或，{|11}B x m x m =≤≤－＋， ……6分 ∵p 是q 的必要不充分条件，∴B A ?≠， ……10分 ∴15m >－或+11m <，∴6m >或0m <， ∴实数m 的取值范围(6)(0)+∞-∞ ，，. ……12分 （18）（本小题满分12分） 解析：（Ⅰ）由题设图象知，周期11π5π2()π1212T =-=，所以2π 2T ω==， ……2分 因为点(5π12，0)在函数图象上，所以A sin(2×5π12＋φ)＝0，即sin(5π 6 ＋φ)＝0. 又因为0＜φ＜π2，所以5π5π4π663?<+< ，从而5π6＋φ＝π，即π 6 ?=. ……4分 又点(0，1)在函数图象上，所以π sin 16 A =，得A ＝2， ……6分 故函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin(2x ＋ π6 )． （Ⅱ）由πππ 2π22π262 k x k -++≤≤， ……8分 得ππ ππ36 k x k -+≤≤，k ∈Z ， ……10分 所以函数g (x )的单调递增区间是ππ [ππ]36 k k -+，(k ∈Z). ……12分 （19）（本小题满分12分） 解析：（Ⅰ）由题意可知1 2 ab sin C ·2ab cos C ， ……3分 所以tan C ……4分 因为0＜C ＜π，所以C ＝π 3 . ……6分 （Ⅱ）由已知sin A ＋sin B ＝sin A ＋sin(2π3 －A )＝sin A cos A ＋1 2sin A A ＋π 6)． ……9分 ∵0＜A ＜2π3，∴π6＜A ＋π6＜5π6 ，∴当A ＋π6＝π2即A ＝π 3时， ……11分 sin A ＋sin B 的最大值是 ……12分 （20）（本小题满分12分） 解析：（Ⅰ）平移后图像对应的函数解析式为1()sin g x x x x =+∈R ，， ……2分 ∵x ?∈R ，11()()g x g x -=-，∴1()g x 是奇函数， 又由题设真命题知，函数()g x 图像对称中心的坐标是(2)4 π -，. ……4分 （Ⅱ）设22()log 2x h x x -=的对称中心为()P a b ，,由题设知函数()h x a b +-是奇函数. 设()()f x h x a b =+-，则22() ()log 2() x a f x b x a -+=-+， 由不等式2() 02() x a x a -+>+的解集{|(2)}x a x a -<<--关于原点对称,得1a =. ……6分 此时21()log (11)2(1) x f x b x x -=-∈-+，，. 任取(11)x ∈-，，由()()0f x f x -+=，得1b =-， ……8分 所以函数22()log 2x h x x -=图像对称中心的坐标是(11)-，. （Ⅲ）此命题是假命题. 举反例说明:函数()f x x =的图像关于直线y x =-成轴对称图像，但是对任意实数a 和b ，函数()y f x a b =+-，即y x a b =+-总不是偶函数. ……10分 修改后的真命题: “函数()y f x =的图像关于直线x a =成轴对称图像”的充要条件是“函数()y f x a =+是偶函数”. ……12分 （21）（本小题满分12分） 解析：（Ⅰ）∵()f x =1x x e -，∴()f x '=2x x e -. ……2分 令()f x '=0，解得2x =. ∴()f x 在(,2)-∞ ……3分 ∴当2x =时，()f x 取得极大值(2)f =21 e . ……4分 （Ⅱ）证明：43()(4)x x g x f x e --=-=，413()()()x x x x F x f x g x e e ---=-=-令, ∴()F x '=4244 22(2)() x x x x x x x e e e e e -+-----=. ……6分 当2x >时，2x -＜0，2x ＞4，从而42x e e -＜0， ∴()F x '＞0，()F x 在(2,)+∞是增函数. 2211 ()(2)0,2()().F x F x f x g x e e ∴>=-=>>故当时,成立 ……8分 （Ⅲ）证明：∵()f x 在(,2)-∞内是增函数，在(2,)+∞内是减函数. ∴当12x x ≠，且12()()f x f x =，1x ，2x 不可能在同一单调区间内. 不妨设122x x <<，由（Ⅱ）可知22()()f x g x >， 又22()(4)g x f x =-，∴22()(4)f x f x >-. ∵12()()f x f x =，∴12()(4)f x f x >-. ∵2212,42,2x x x >-<<，且()f x 在区间(,2)-∞内为增函数， ∴124x x >-，即12 4.x x +> ……12分 （22）（本小题满分10分） 证明：（Ⅰ）由圆D 与边AC 相切于点E ，得90AED ∠=?， ∵DF AF ⊥，得90AFD ∠=?， ∴A D F E ，，，四点共圆. ……5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知四点A D F E ，，，共圆，得∠DEF ＝∠DAF ， 1()2ADF ABD BAD ABC BAC ∠=∠+∠=∠+∠11 (180)9022 C C =?-∠=?-∠， 结合BF ⊥AF ，得∠DEF ＝∠DAF ＝90?-∠ADF ＝12 C ∠，∴1 2DEF C ∠=∠. 由50C ∠=?得∠DEF ＝25?. ……10分 F E D B A （23）（本小题满分10分） 解析：（Ⅰ）C 1是圆，C 2是椭圆． 当0α=时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为(1，0)，(a ，0)，因为这两点间的距离为2，所以a ＝3. 当2 π α= 时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为(0，1) ，(0，b )，因为这两点重合，所以b ＝1. ……5分 （Ⅱ）C 1，C 2在平面直角标系下的方程分别为222 21 1.9 x x y y +=+=和 当4 π α=时，射线l 与C 1交点A 1的横坐标为x =，与C 2交点B 1的横坐标为x ' 当4 π α=-时，射线l 与C 1，C 2的两个交点A 2，B 2分别与A 1，B 1关于x 轴对称，因此四边形A 1A 2B 2B 1 为梯形． 故四边形A 1A 2B 2B 1的面积为 (22)()2 .25 x x x x ''+-= ……10分 （24）（本小题满分10分） 解析：（Ⅰ）由f (x )≤3，得|x －a |≤3，解得a －3≤x ≤a ＋3. 又已知不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，∴31, 35,a a =??+=? －－解得a ＝2. ……5分 （Ⅱ）（解法一）当a ＝2时，f (x )＝|x －2|. 设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)＝|x －2|＋|x ＋3|＝213,532,21 2.x x x x x ??+>? --，-，-≤≤， 所以当x ＜－3时，g (x )＞5；当－3≤x ≤2时，g (x )＝5；当x ＞2时，g (x )＞5. 综上可得，g (x )的最小值为5. ……10分 从而，若f (x )＋f (x ＋5)≥m ，即g (x )≥m 对一切实数x 恒成立，则m 的取值范围为(－∞，5]． （解法二）当a ＝2时，f (x )＝|x －2|， 由|x －2|＋|x ＋3|≥|(x －2)－(x ＋3)|＝5(当且仅当－3≤x ≤2时等号成立)得， ∵f (x )＋f (x ＋5)≥m ，即g (x )≥m 对一切实数x 恒成立，∴5m ≤， ∴m 的取值范围为(－∞，5]． ……10分
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