第二章单自由度系统振动
§1-1 概述
单自由度系统的振动理论是振动理论的理论基础。(1)尽管实际的机械都是弹性体或多自由度系统，然而要掌握多自由度振动的基本规律，就必须先掌握单自由度系统的振动理论。此外，(2)许多工程技术上的具体振动系统在一定条件下，也可以简化为单自由度振动系统来研究。[举例如下：]
例如：(1)悬臂锤削镗杆；(2)外圆磨床的砂轮主轴；(3)安装在地上的床身等。
[力学模型的简化方法]若忽略这些零部件中的镗杆、主轴和转轴的质量，只考虑它们的弹性。忽略那些支承在弹性元件上的镗刀头、砂轮、床身等惯性元件的弹性，只考虑它们的惯性。把它们看成是只有惯性而无弹性的集中质点。于是，实际的机械系统近似地简化为单自由度线性振动系统的动力学模型。
在实际的振动系统中必然存在着各种阻尼，故模型中用一个阻尼
器来表示。阻尼器由一个油缸和活塞、油液组成。
汽车轮悬置系统等等。
[以上为工程实际中的振动系统]
单自由度振动系统——指用一个独立参量便可确定系统位置的振动系统。
所有的单自由度振动系统经过简化，都可以抽象成单振子，即将系统中全部起作用的质量都认为集中到质点上，这个质点的质量m 称为当量质量，所有的弹性都集中到弹簧中，这个弹簧刚度k称为当量弹簧刚度。以后讨论中，质量就是指当量质量，刚度就是指当量弹簧刚度。
在单自由度振动系统中，质量m、弹簧刚度k、阻尼系数C是振动系统的三个基本要素。有时在振动系统中还作用有一个持续作用的激振力P。
应用牛顿运动定律，作用于一个质点上所有力的合力等于该质点的质量和该合力方向的加速度的乘积。
（牛顿运动定律）（达伦培尔原理）
现取所有与坐标x 方向一致的力、速度和加速度为正，则：
kx x C t P x
m --= ωsin 0 (牛顿运动定律) （达伦培尔原理：在一个振动体上的所有各力的合力必等于零） （动静法分析：作用在振动体上的外力与设想加在此振动体上的惯性力组成平衡力系）
上式经整理得，
t P kx x C x
m ωsin 0=++ （2.1）
该式就是单自由度线性振动系统的运动微分方程式的普遍式。它
可以分为以下几种不同的情况：
（1）单自由度无阻尼自由振动
0=+kx x
m （2）单自由度有阻尼自由振动
0=++kx x C x
m （3）单自由度无阻尼受迫振动
t P kx x m ωsin 0=+
（4）单自由度有阻尼受迫振动
t P kx x C x
m ωsin 0=++ §2-2 单自由度系统无阻尼自由振动
无阻尼自由振动是指振动系统不受外力，也不受阻尼力影响时所
作的振动。其动力学模型如图2.3所示。
图2.3 单自由度系统无阻尼自由振动动力学模型 设质量块的质量为m ，它所受的重力为W 。弹簧刚度为k ，它是弹簧每伸长或压缩一个单位长度所施加的力。
弹簧未受力时的原长为l ，挂上质量块后，弹簧的静伸长为j λ。此时系统处于静平衡状态，平衡位置为O-O ，由静平衡条件得：
W k j =λ
（2.2）
当系统受到外界某种初始干扰后，系统的静平衡状态受到破坏，则弹性力不再与重力平衡，而产生弹性恢复力，使系统产生自由振动。若取静平衡位置为坐标原点，以x 表示质量块的垂直位移，并作为系统的广义坐标，取向下为正。则当质量块离开平衡位置x 时，质量块所受的作用力,重力W 和弹性力()x k j +λ，由于受力不平衡，质量块即产生加速运动。
()kx x k W x
m j -=+-=∴λ 即
0=+kx x m
（2.3）
上式即为单自由度系统无阻尼自由振动的运动微分方程式。 现求解上列微分方程，先将（2.3）式改写成：
0=+x m
k x
令
m
k n
=2ω
（这里是有用意的）
则
02
=+x x
n
ω （2.5） 这是一个齐次二阶常系数线性微分方程。 设
st
e
x =是方程的解，代入（2.5）式
()
022
=+st n e s
ω
有
02
2
=+n
s ω
n i S ω±=∴
（两个不相等的实根）
故方程（2.5）的通解为
()()()
()
212211212121;
:6.2sin cos sin cos sin cos C C i b C C b t
b t b t i t C t i t C e C e C x n n n n n n t
i t i n n -=+=+=-++=+=-式中ωωωωωωωω
（2.6）式表明，单自由度系统无阻尼自由振动包含两个频率相同的简谐振动，而这两个同频率的简谐振动，合成后仍是一个简谐振动， 即： ()?ω+=t A x
n sin
式中：21
1
22
21b b tg
b
b A -=+=
?
A 和?是两个待定常数，取决于振动的初始条件。设振动的初始条件为：
00,,0x x
x x t ===时 代入（2.7）式中得：
?ω?cos ;
sin 00n A x
A x == 解之得：
001
22020
x
x tg
x x A n
n
ω?ω-=+
=
二、振动特性的讨论 1．振动的类型
无阻尼自由振动是简谐振动。其振动特性只决定于系统的弹性和质量块的惯性。
2．系统的频率和周期 系统振动的圆频率
m
K
n =
ω
系统的振动频率
m
K f n n π
πω212=
=
系统的振动周期：
m
K f T n π
21==
由此可见，系统的圆频率和频率只与系统本身的物理性质（弹性和惯性）有关。因此,当振动系统的结构确定之后，系统的振动频率就固定不变，而不管运动的初始条件如何，也和振幅的大小无关。
ω
n
——固有圆频率（natural circlar frequency ）
f n ——固有频率（natural frequency ）
(说明)线性系统自由振动等时性可以用于判断，刚度相同的两个系统，质量大的系统固有频率低，质量小的系统固有频率高。质量相同的两个系统，刚度小的系统固有频率低，刚度大的系统固有频率高。
换句话说，系统质量增大和刚度减小都会使系统固有频率下降；反之，要提高系统的固有频率，应减小系统质量和增大系统刚度。这一性质在定性研究振动，特别是希望调整系统的固有频率时是极重要的。
3．系统的振幅和初相位
运动微分方程中，A 是系统自由振动的振幅，它表示质量块离开静平衡位置的最大位移。?则是初相位，表示质量块的初始位置。
振幅A 和初相位?的大小取决于00,,x
x n ω的数值。这就是说，振幅A 和初相位?不仅由系统的惯性和弹性所决定，而且还与运动的初始条件有关。
振幅和初相位都决定于初始条件，这是自由振动的共同特性。 4．常力对振动特性的影响
常力（如重力）作用在系统上，只改变系统的平衡位置，而不影响系统的运动规律、固有频率、振幅和初相位，即不影响系统的振动特性。
因此，在分析振动时，只要以平衡位置作为坐标原点，就可以不考虑常力。
[例1] 一质量块m 安放在长度为l 的简支梁的中点，梁的弯曲刚度为EJ ，若忽略梁的质量，试求此系统的固有频率。
解：将上述系统简化为一个单自由度自由振动系统，简支梁相当于一根弹簧。根据材料力学简支梁的挠度公式，在梁的中点作用一个垂直力P 时，该点的挠度为：
EJ Pl y 483
=
故简支梁的弹簧刚度为：
348l
EJ y P k ==
所以系统的固有圆频率即可算出：
3
93
.6ml EJ
m k n ==ω
系统的固有频率为：
3
1.12ml EJ f n n ==πω
[例2] 试确定图2.6中各个系统的固有频率。
解：在图2.6（a ）所示的系统中，质量块m 作铅直方向位移（平动）时，引起各分弹簧的等量伸长。设弹簧的静伸长为j λ，则该系统静平衡时，质量块的重力W 与各分弹簧的弹性力之间存在下列关系：
j n i i j j j K k k k W λλλλ??
?
??=++=∑=1321
所以系统的总弹簧刚度为：
∑===
n
i i j
K W
k 1
λ
因此该系统的固有圆频率为：
m
k k k m k n 3
21++==
ω
在图2.6（b ）所示的系统中，若将质量块m 看成是由两个分质量块m 1和m 2所组成，即
m = m 1＋m 2
两个分质量块分别与弹簧k 1和k 2连接，这两个分系统的固有圆频
率为：
222
1
1
1;
m k m k n n =
=ωω
由于这两个质量块是牢固地连接在一起的，所以它们的固有频率必然相等，且等于整个系统的固有频率
ω
n
，即：
2
12211221121;k k K k m k m k m k m m k
m k m k n
n n +==
=====ωωω 所以整个系统的固有圆频率为：
m
k k m k
n 21+=
=ω
在图2.6（c ）所示的系统中，质量块m 的重力W 通过弹簧传至固定点。在平衡时，作用在各分弹簧上的力均为W 。质量块的位移则等于各分弹簧变形的总和，即：
∑
∑==?=+
+===
==
=++=n
i i
j j j j n
i ji
j j j j K W K W K W K W K W K W K W K W 13
213
322
1
11
3211
λλλλλλλλλ
即
∑==n
i i
K K 111
因此
3121323213211111
K K K K K K K K K K K K K ++=+
+= 所以该系统的固有圆频率为：
()m k k k k k k k k k m
k
n 3121323
21++=
=ω
由本例可以看出：系统中的弹性环节往往由多个弹簧组成，组成的方式可以是并联，也可以是串联，或串并联同时存在。为了计算固有频率，就需要根据各分弹簧刚度来确定系统总的弹簧刚度。总结一下可以得出以下规则：并联弹簧的等效弹簧刚度等于各分弹簧刚度之和；串联弹簧的等效弹簧刚度的倒数等于各分弹簧刚度倒数之和。 三、扭转振动
以上讨论的是直线振动的情况，但在工程技术上常常碰到另一种
需要用角位移θ作为广义坐标来表达其振动状态的扭转振动。
由牛顿定律的表达式为：
θ
I M =∑
式中M ——施加于转动物体上的力矩； I ——转动物体对于转动轴的转动惯量；
θ
——角加速度。 如图2.7所示，在一根垂直轴下端固定着一个圆盘。圆盘转动惯量为I ，轴的扭转刚度为θK ，轴的长度l ，直径为d 。
当系统受到某种干扰后，即作扭转自由振动。现取θ为广义坐标，并以逆时针为正。振动时圆盘上受到一个由圆轴作用的、与θ方向相反的弹性恢复力矩θθK -。
可建立上述系统的扭转振动运动微分方程式
0=+-=θθ
θθθ
θ
K I K I
022
=+=
θωθωθ
n
n
I
k 令 可见，扭转自由振动的微分方程与直线自由振动的微分方程完全相似。其通解为：
()?ωθ+=t A sin
所以单自由度系统扭转自由振动也是一个简谐振动。其固有圆频率、固有频率及周期分别为
I
k T I
k f I k n θθθ
π
π
ω221==
=
振幅A 和初相位?也决定于扭转振动的初始条件，若t=0时，
0,θθθθ ==，则： 0
01
2
2020
θωθ?ωθ
θ n n
tg
A -=+=
四、计算系统固有频率的其它方法
在振动研究中，计算振动系统的固有频率有很重要的意义。除用上述方法外，还有以下几种常用的方法，即静变形法、能量法和瑞利法。
1．静变形法（Static Deformation Method ）
如前所述，当单振子处于静平衡状态时，弹簧的弹性力与振动质量的重力互相平衡，即存在以下关系式：
j
j
j m g W
K W k λλλ=
=
=
故系统的固有频率为：
j n g
m K f λπ
π2121==
由此可见，只要知道质量块处的弹簧静变形λj ，就可以计算出系统的固有频率。
[例] 设一悬臂梁长度为l ，抗弯刚度为EJ ，自由端有一集中质量m 。梁本身重量忽略不计。试求这一系统的固有频率（见图2.8）。
解：悬臂梁在自由端由集中力mg 所引起的静挠度为：
3
3
3213m l EJ f EJ
m gl n j πλ=
∴=
注：当不易用计算方法求出静挠度时，也可用实测方法得到静挠度。然后计算系统固有频率。
[例1] 一根矩形截面梁，上面承受质量为m 的物体，若忽略梁的质量，试用能量法求该系统的固有频率。
解：梁的刚度可用静变形法求出：
j
mg
k λ=
而梁的静挠度可根据材料力学公式计算：
EJl
b mga j 32
2=λ
故
223b
a EJl k =
可求出该系统的固有圆频率：
223b
ma EJl
n =
ω （2.30） 2．能量法（Energy Method ）
在无阻尼自由振动系统中，由于没有能量的损失，所以振幅始终保持为一常数，即在振动过程中振幅始终保持为一常数，即在振动过程中振幅始终不衰减。我们将这样的系统称为保守系统。
在保持系统中，根据机械能守恒定律，在整个振动过程的任一瞬时机械能应保持不变。即 T ＋U=常数
或
()0=+U T dt
d
式中：T ——系统中运动质量所具有的动能；
U ——系统由于弹性变形而储存的弹性势能，或由于重力作功而产生的重力势能。
对于单自由度无阻尼自由振动系统来说，系统的动能为：
2
2
1x m T = 系统的势能则由以下两部分组成：
1）重力势能 当质量块m 低于静平衡位置时，重力势能为－mgx 。 2）弹性势能 当质量块m 运动至离静平衡位置+x 距离时，弹簧的弹性力对质量块所作的功即为系统此时的弹性势能。
系统的弹性势能为：
2
2
1kx mgx kxdx mgx x
+=+?
故系统的势能为：
2
22
121kx kx mgx mgx U =++-=
E kx x m =+2
22
121 （常数） （2.28） 这就是单自由度无阻尼自由振动系统的能量方程。无阻尼原由振动系统的能量关系是振动质体的动能与弹簧势能的相互转化过程，而无能量的消耗。
若将无阻尼自由振动的时间历程
t A x n ωsin =代入系统的能量方程式，可得
E t kA t A m n n n =+ωωω222
22sin 2
1cos 21
① 当t=0时 E A m T U n ===22max
2
10ω ② n
t ωπ2=时
E KA U T ===2max
2
1
0 由于势能的最大值相等（max max U T =）
即 2222
121KA A m n =ω 根据睛式即可算出系统的固有频率：
m
k
n =
ω
[补例2] 图示为一测振仪简图，物块质量为m ，由刚度系数为k 1的弹簧支持，上面连于直角杠杆AOB 的A 点，B 点用刚度系数为k 2的水平弹簧连于仪器壳体上。C 为笔尖，D 为滚圆，上面裹以纸带，仪器工作时毛尖C 可在纸带上指出振动曲线，设杠杆对其转轴O 的转动惯量为I 。试求系统的固有频率。
解：这是单自由度系统，设杠杆作微振动的摆角为θ，由于是简
谐振动，故t A n ωθsin =，则物块（或A 点）和B 点的振动位移和速度分别为
t
bA b x t aA a x b x a x n n n
n ωωθωωθθ
θcos ,cos ,
2121======?
?
系统的动能与势能分别为
()
()
2
2212222211022
20212121212
12121b
k a k x k x k U I m a I x m T +=+=+=+=
θθθ ()
()
得系统固有频率
由于因此,2
121max max 2
2212
max 0
22
2max U T b k a k A U I m a A T n =+=+=ω 0
22221I ma b k a k n ++=
ω
[例3] 图2.11所示为测量低频振幅用的传感器的一个元件——无定向摆。已知a =3.54cm ，l =4cm ，mg=0.856N ，k=0.3N/cm ，且整个系统对转动轴O 的转动惯量I O =17.6×10－2N ·cm ·S 2，试求系统的固有频率。
机械振动基础试卷 一、填空题（本题15分，每空1分） 1、机械振动大致可分成为：（）和非线性振动；确定性振动和（）；（）和强迫振动。 2、在离散系统中，弹性元件储存( )，惯性元件储存（），（）元件耗散能量。 3、周期运动的最简单形式是（），它是时间的单一（）或（）函数。 4、叠加原理是分析（ ）系统的基础。 5、系统固有频率主要与系统的（）和（）有关，与系统受到的激励无关。 6、系统的脉冲响应函数和（）函数是一对傅里叶变换对，和（）函数是一对拉普拉斯变换对。 7、机械振动是指机械或结构在平衡位置附近的（ ）运动。 二、简答题（本题40分，每小题10分） 1、 简述振动系统的实际阻尼、临界阻尼、阻尼比的联系与区别。 （10分） 2、 共振具体指的是振动系统在什么状态下振动简述其能量集聚过程 （10分） 3、 简述刚度矩阵[K]中元素k ij 的意义。 （10分） 4、 简述随机振动问题的求解方法，以及与周期振动问题求解的区别。 （10分） 三、计算题（45分） 、（14分）如图所示中，两个摩擦轮可分别绕水平轴O 1，O 2 无相对滑动；摩擦轮的半径、质量、转动惯量分别为r 1、m 1、I 1和m 2、I 2。轮2的轮缘上连接一刚度为k 的弹簧，轮1悬挂质量为m 的物体，求： 1）系统微振的固有频率；（10分） 2）系统微振的周期；（4分）。 、（16分）如图所示扭转系统。设转动惯量I 1＝I 2，扭转刚度K r1＝K r2。 1）写出系统的动能函数和势能函数； （4分） 2）求出系统的刚度矩阵和质量矩阵； （4分） 3）求出系统的固有频率； （4分） 4）求出系统振型矩阵，画出振型图。 （4分） 、（15分）根据如图所示微振系统， 1）求系统的质量矩阵和刚度矩阵和频率方程； （5 分） 2）求出固有频率； （5分） 3）求系统的振型，并做图。 （5分） 参考答案及评分细则： 填空题（本题15分，每空1分） 1、线性振动；随机振动；自由振动； 2、势能；动能；阻尼 图2 图3
单自由度系统机械振动 1. 图示系统的轮和绳之间无相对滑动，只作纯 滚动，建立系统的运动微分方程，并求系统 的固有频率，圆盘转动惯量为J ，质量块的 质量为m ，弹簧刚度为K 。 2． 图所示，W=1000N ，k=2 104N/m ，图示位 置弹簧已承受初压力F 0=100N ，现将支承突 然撤去，重块落下后作自由振动时的振动位 移表达式？（取重力加速度g=10m/s 2） 3．如图所示为一台机器，其总质 量为M ，安装在一个弹簧和一 个阻尼器上，弹簧常数为k ，阻 尼系数为c 。机器工作时旋转中 心为O ，角速度为ω，不平衡 质量大小为m ，偏心距离为e 。 机器只能在垂直方向运动。求机器振动时传给地面的力的最大值。 W K
4．图示系统中，质量m 上受激励力为 F （t ）=sin ωt+10sin10ωt 时， 求质量m 的稳态响应 5. 图示系统的轮和绳之间无相对滑动，只作纯滚动，建立系统的运动微分方程，并求系统的固 有频率，圆盘转动惯量为J ，质量块的质量为m ， 弹簧刚度为K 6. 一重块与两弹簧相连，W=490N ，k=9800N/m ， 图示位置弹簧不受力，现将支承突然撤去，重块 落下后作自由振动时的振动位移表达式？ 7. 如图所示为一台机器，其总质量为m ，通过一个弹簧和一个阻尼器安装在基础上，弹 簧常数为k ，阻尼系数为c 。基础的运动为 y(t)=Ysin ωt ，机器只能在垂直方向运动。求 基础振动时传给机器的力的最大值。 W K K
8．图示系统中，质量m上受激励力为 F（t）=sinωt+10sin10ωt时， 求质量m的稳态响应。 9.一般振动问题，如图所示： 三类振动问题分别是： （1）振动分析，已知，求； （2）振动环境预测或载荷分析，已知，求； （3）系统识别，已知，求。 10. 振动问题的分类，根据自由度数分，有， 和。 11. 简谐振动x=Asin(ωt+φ)，其中的振动位移为，振幅 为， 振动频率为为，振动的初相位为 12. n个自由度振动系统有个固有频率，有个固有 振型， 其中的第i阶主振型有个节点。
习 题 1-1一单层房屋结构可简化为题1-1图所示的模型，房顶质量为m ，视为一刚性杆；柱子高h ，视为无质量的弹性杆，其抗弯刚度为EJ 。求该房屋作水平方向振动时的固有频率。 解：由于两根杆都是弹性的，可以看作是两根相同的弹簧的并联。 等效弹簧系数为k 则 mg k δ= 其中δ为两根杆的静形变量，由材料力学易知 δ=3 24mgh EJ = 则 k = 3 24EJ h 设静平衡位置水平向右为正方向，则有 " m x kx =- 所以固有频率3 n 24mh EJ p = 1-2 一均质等直杆，长为 l ，重量为W ，用两根长h 的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如题1-2图所示。试写出此杆绕通过重心的铅垂轴作微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。 解：给杆一个微转角 2 a ＝h 2F cos α＝mg 由动量矩定理： a h a mg a mg Fa M ml I M I 822cos sin 12 1 2 2-=-≈?-=== =αθ αθ&& 题1-1图 题1-2图 F sin α 2 θ h mg
其中 12 cos sin ≈≈θ α α h l ga p h a mg ml n 2 2 2 2 2304121==?+θθ&& g h a l ga h l p T n 3π23π2π22 2= == 1-3求题1-3图中系统的固有频率，悬臂梁端点的刚度分别是k 1和k 3，悬臂梁的质量忽略不计。 解：悬臂梁可看成刚度分别为k 1和k 3的弹簧，因此，k 1与k 2串联，设总刚度为k 1ˊ。k 1ˊ与k 3并联，设总刚度为k 2ˊ。k 2ˊ与k 4串联，设总刚度为k 。即为 21211k k k k k += '，212132k k k k k k ++='，4 241213231421432421k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ++++++= ) (42412132314 214324212k k k k k k k k k k m k k k k k k k k k p ++++++= 1-4求题1-4图所示的阶梯轴一圆盘系统扭转振动的固有频率。其中J 1、J 2和J 3是三个轴段截面的极惯性矩，I 是圆盘的转动惯量，各个轴段的转动惯量不计，材料剪切弹性模量为G 。 解： 111/l GJ k = （1） 222/l GJ k = （2） 333/l GJ k = （3） )/(23323223l J l J J GJ k += （4） ) (/)()4)(3)(2(1/)(2332113221332122312l J l J Il l J J l J J l J J G P I k k P n n +++=+=知 ）由（ 题1-3图 题1-4图
试举出振动设计、系统识别和环境预测的实例。 如果把双轴汽车的质量分别离散到前、后轴上去，在考虑悬架质量和非悬架质量两个离散质量的情况下，画出前轴或后轴垂直振动的振动模型简图，并指出在这种化简情况下，汽车振动有几个自由度?
设有两个刚度分别为1k ，2k 的线性弹簧如图T —所示，试证明： 1)它们并联时的总刚度eq k 为：21k k k eq += 2)它们串联时的总刚度eq k 满足： 2 1111k k k eq += 解：1)对系统施加力P ，则两个弹簧的变形相同为x ，但受力不同，分别为： 1122P k x P k x =?? =? 由力的平衡有：1212()P P P k k x =+=+ 故等效刚度为：12eq P k k k x = =+ 2)对系统施加力P ，则两个弹簧的变形为： 11 22P x k P x k ?=??? ?=?? ，弹簧的总变形为：1212 11()x x x P k k =+=+ 故等效刚度为：122112 111 eq k k P k x k k k k ===++
求图所示扭转系统的总刚度。两个串联的轴的扭转刚度分别为1t k ，2t k 。 解：对系统施加扭矩T ，则两轴的转角为： 11 22t t T k T k θθ?=??? ?=?? 系统的总转角为： 1212 11 ( )t t T k k θθθ=+=+， 12111()eq t t k T k k θ==+ 故等效刚度为： 12 111 eq t t k k k =+
两只减振器的粘性阻尼系数分别为1c ，2c ，试计算总粘性阻尼系数eq c 1)在两只减振器并联时， 2)在两只减振器串联时。 解：1)对系统施加力P ，则两个减振器的速度同为x &，受力分别为： 1122 P c x P c x =?? =?&& 由力的平衡有：1212()P P P c c x =+=+& 故等效刚度为：12eq P c c c x = =+& 2)对系统施加力P ，则两个减振器的速度为： 11 22P x c P x c ? =????=?? &&，系统的总速度为：12 12 11()x x x P c c =+=+&&& 故等效刚度为：12 11 eq P c x c c = =+&
一、填空题 1、机械振动按不同情况进行分类大致可分成（线性振动）和非线性振动；确定性振动和（随机振动）；（自由振动）和强迫振动。 2、周期运动的最简单形式是（简谐运动），它是时间的单一（正弦）或（ 余弦）函数。 3、单自由度系统无阻尼自由振动的频率只与（质量）和（刚度）有关，与系统受到的激励无关。 4、简谐激励下单自由度系统的响应由（瞬态响应）和（稳态响应）组成。 5、工程上分析随机振动用（数学统计）方法，描述随机过程的最基本的数字特征包括均值、方差、（自相关函数）和（互相关函数）。 6、单位脉冲力激励下，系统的脉冲响应函数和系统的（频响函数）函数是一对傅里叶变换对，和系统的（传递函数）函数是一对拉普拉斯变换对。 2、在离散系统中，弹性元件储存( 势能)，惯性元件储存（动能），（阻尼）元件耗散能量。 4、叠加原理是分析（线性）系统的基础。 5、系统固有频率主要与系统的（刚度）和（质量）有关，与系统受到的激励无关。 6、系统的脉冲响应函数和（频响函数）函数是一对傅里叶变换对，和（传递函数）函数是一对拉普拉斯变换对。 7、机械振动是指机械或结构在平衡位置附近的（往复弹性）运动。 1．振动基本研究课题中的系统识别是指根据已知的激励和响应特性分析系统的性质，并可得到振动系统的全部参数。（本小题2分） 2．振动按激励情况可分为自由振动和强迫振动两类。（本小题2分）。 3．图（a）所示n个弹簧串联的等效刚度= k ∑ = n i i k1 1 1 ；图（b）所示n个粘性阻尼串联的等效粘 性阻尼系数= e C ∑ = n i i c1 1 1 。（本小题3分） （a）（b） 题一 3 题图 4．已知简谐振动的物体通过距离静平衡位置为cm x5 1 =和cm x10 2 =时的速度分别为s cm x20 1 = &和s cm x8 2 = &，则其振动周期= T；振幅= A10.69cm。（本小题4分） 5．如图（a）所示扭转振动系统，等效为如图（b）所示以转角 2 ?描述系统运动的单自由度 系统后，则系统的等效转动惯量= eq I 2 2 1 I i I+，等效扭转刚度= teq k 2 2 1t t k i k+。（本小题4分）
机械振动习题解答（四）·连续系统的振动 连续系统振动的公式小结： 1 自由振动分析 杆的拉压、轴的扭转、弦的弯曲振动微分方程 22 222y y c t x ??=?? (1) 此式为一维波动方程。式中，对杆，y 为轴向变形，c =；对轴，y 为扭转 角，c ；对弦，y 为弯曲挠度，c 令(,)()i t y x t Y x e ω=，Y (x )为振型函数，代入式(1)得 20, /Y k Y k c ω''+== (2) 式(2)的解为 12()cos sin Y x C kx C kx =+ (3) 将式(3)代入边界条件，可得频率方程，并由此求出各阶固有频率ωn ，及对应 的振型函数Y n (x )。可能的边界条件有 /00, 0/0p EA y x Y Y GI y x ??=??? ?'=?=????=???? 对杆，轴向力固定端自由端对轴，扭矩 (4) 类似地，梁的弯曲振动微分方程 24240y y A EI t x ρ??+=?? (5) 振型函数满足 (4)4420, A Y k Y k EI ρω-== (6) 式(6)的解为 1234()cos sin cosh sinh Y x C kx C kx C kx C kx =+++ (7) 梁的弯曲挠度y (x , t )，转角/y x θ=??，弯矩22/M EI y x =??，剪力 33//Q M x EI y x =??=??。所以梁的可能的边界条件有 000Y Y Y Y Y Y ''''''''======固定端，简支端，自由端 (8) 2 受迫振动 杆、轴、弦的受迫振动微分方程分别为 222222222222(,) (,), (,) p p u u A EA f x t t x J GI f x t J I t x y y T f x t t x ρθθ ρρ??=+????=+=????=+??杆：轴：弦： (9) 下面以弦为例。令1 (,)()()n n n y x t Y x t ?∞==∑，其中振型函数Y n (x )满足式(2)和式(3)。代入式(9)得 1 1 (,)n n n n n n Y T Y f x t ρ??∞ ∞ ==''-=∑∑ (10) 考虑到式(2)，式(10)可改写为 21 1 (,)n n n n n n n Y T k Y f x t ρ??∞ ∞ ==+=∑∑ (11) 对式(11)两边乘以Y m ，再对x 沿长度积分，并利用振型函数的正交性，得 2220 (,)l l l n n n n n n Y dx Tk Y dx Y f x t dx ρ??+=???
习 题 2-1已知系统的弹簧刚度k =800 N/m ，作自由振动时的阻尼振动周期为1.8s ，相邻两振幅的比值 1 2 .41=+i i A A ，若质量块受激振力t t F 3cos 360)(=N 的作用，求系统的稳态响应。 解：由题意，可求出系统的运动微分方程为 t m x n x p x n 3cos 360 22 =++ 得到稳态解 )3cos(α-=t B x 其中 m k B B B 45.0360 4)1(02 2220 == +-= λζλ 222 122tg λζλ ωωα-=-= n p n 由 d nT i i A A e 2.41 === +η 489 .3π 2797 .0ln 8 .1ln ======d d d d d T p T n T nT η η 又 22n p p n d -= 有 579.32 22=+=n d n p n p p 45.51255.1298.0374 .0838 .01838.0223.02tg 103.1408 .045 .0838.0223.04)838.01(45 .0223.0579 .3797.0838.0579 .33 2 222===-??= == ??+-= === == =ααζω λB p n p n n 所以 x ＝1.103 cos(3t －51?27') 2-2一个无阻尼弹簧质量系统受简谐激振力作用，当激振频率ω1 =6rad/s 时，系统发生共振；给
质量块增加1 kg 的质量后重新试验，测得共振频率ω2 =5.86rad/s ，试求系统原来的质量及弹簧刚度。 解：设原系统的质量为m ，弹簧常数为k 由 m k p n = ，共振时m k p n ==1ω 所以 m k =6 ① 又由 当 86.51 2=+= =m k p n ω ② ①与②联立解出 m ＝20.69 kg ，k ＝744.84 N/m 2-3总质量为W 的电机装在弹性梁上，使梁产生静挠度st δ，转子重Q ，重心偏离轴线e ，梁重及阻尼可以不计，求转速为ω时电机在垂直方向上稳态强迫振动的振幅。 解：列出平衡方程可得： 222()sin sin()sin()st Q W W k x w e wt x g g W Q x kx w e wt g g kg Q x x w e wt W W ππ-σ+- =+=++=+ 所以：2n kg P W Q h w e W ==， 又因为st st W W k k =σ=σ即 22() st st B w e B W g w =σ-σ将结果代入Q = 即为所求的振幅 2-4如题2-4图所示，作用在质量块上的激振力t F t F ωsin )(0=，弹簧支承端有运动 t a x s ωco s =，写出系统的运动微分方程，并求稳态振动。 题2-4图
机械振动课程学习心得体会 机械振动作为一门专业基础课程，其涉及的学科、专业面广，需要学员具备数学、力学、计算机技术及实验技术等基础理论知识。其主要目的与任务是培养学生学习和掌握机械振动的基本理论，初步具有把机械系统振动、噪声等实际问题抽象为理论模型，并利用所学到的理论知识和方法来分析和解决实际机械系统振动噪声问题的能力，学会机械振动噪声的测试分析及实验方法和技能。培养学生对机械系统动态问题的认识和分析能力，并且提高学生在学校和将来解决实际工程问题的能力。 通过该网络课程学习，我主要从如下方面对该课程进行了系统性学习： 1、再一次深入了解了机械振动的基础知识，如振动研究的基本内容和方法、振动的分类、振动的运动学分析基础知识、频谱分析知识及相应的力学模型建立等基础知识； 2、深入学习了单自由度的自由振动的分析方式和方法。在单自由度系统中，学习了无阻尼自由振动、能量法、等效质量与等效刚度概念，并对其计算进行了相关学习； 3、单自由度的强迫振动学习。理解并掌握了单自由度系统强迫振动的基础知识，结合工程实例例如带有集中载荷的悬臂梁系统，通过在自由端施加力的激励下引起强迫振动的振动频率特性分析，通过该课程学习的知识，利用频率特性曲线，可以很好的求出系统固有频率及阻尼常数；学习到了某种机械系统受到外在激励作用下的分析方法和可采用的实验手段；如稳态受迫振动的主要特性：①在简谐激振力下，单自由度系统稳态受迫振动亦为简谐振动。 ②稳态受迫振动的频率等于简谐激振力的频率，与振动系统的质量及刚度系数无关。③稳态受迫振动的振幅大小与运动初始条件无关，而与振动系统的 固有频率、激振力的频率及激振力的力幅有关。 4、学习了二自由度系统。在双自由度系统的学习中，掌握了二自由度无阻尼自由振动基本知识，并对在一个系统中受到谐振激励条件下的稳态响应进行了较为详细的学习，并能很好的运用到工程实际问题中；除此之外，对动力吸振器的原理进行了学习，通过该原理学习，给实际工厂中工件在车削中发颤引起的噪音问题提出了较为合理的解决方案； 连续系统的定义：系统的惯性、弹性和阻尼都是连续分布的振动系统叫连续系统；工程振动测试的主要参数：位移、速度、加速度、激振力、激振频率和振幅。 5、在多自由度系统中，运动方程如何建立、固有频率与振型的分析方法如：振型截断法、状态空间法等，还了解了计算基频的近似方法。通过这些方法的学习，无论是给工程实际问题，还是对以后该课程及相关课程的教学上面都提供了比较好的素材和知识面，以便能更好的完成教学和科研工作； 6、连续弹性体振动及有限元法：弹性连续体振动问题都只是在简单的特殊边界情况下才能得到精确解，而对于复杂弹性连续体的振动，通常无法得到精确解。因此，只能采用近似解，近似解方法很多，其要旨在于将无限自由度系统（连续体）变换成为有限多自由度系统（离散系统）来处理。有限元的基本思想是将一个复杂结构（连续系统）看成是有限个基本元素（单元）在有限个结点彼此相联结的组合结构。每个单元都是一个弹性体。有限元法通常是采用位移法，即以结点处的位移作为基本未知量，单元的位移是用结点位移的插值函数表示，单元以至整个结构的一切参数包括位移、应变、应力等都通过结点位移表示出来。从振动问题来看，最后是将一个连续体的振动问题变成了一个以有限个结点位移为广义坐标的多自由度系统的振动问题。有限单元法分析过程基本上可分为结构离散化、单元分析、整体分析三个步骤。
第三章两自由度系统振动 §3-1 概述 单自由度系统的振动理论是振动理论的基础。在实际工程问题中，还经常会遇到一些不能简化为单自由度系统的振动问题，因此有必要进一步研究多自由度系统的振动理论。 两自由度系统是最简单的多自由度系统。从单自由度系统到两自由度系统，振动的性质和研究的方法有质的不同。研究两自由度系统是分析和掌握多自由度系统振动特性的基础。 所谓两自由度系统是指要用两个独立坐标才能确定系统在振动过程中任何瞬时的几何位置的振动系统。很多生产实际中的问题都可以简化为两自由度的振动系统。例如，车床刀架系统（a）、车床两顶尖间的工件系统（b）、磨床主轴及砂轮架系统（c）。只要将这些系统中的主要结合面（或芯轴）视为弹簧（即只计弹性，忽略质量），将系统中的小刀架、工件、砂轮及砂轮架等视为集中质量，再忽略存在于系统中的阻尼，就可以把这些系统近似简化成图（d）所示的两自由度振动系统的动力学模型。 以图3.1（c）所示的磨床磨头系统为例分析，因为砂轮主轴安装在砂轮架内轴承上，可以近似地认为是刚性很好的，具有集中质量的砂轮主轴系统支承在弹性很好的轴承上，因此可以把它看成是支承在砂轮架内的一个弹簧——质量系统。此外，砂轮架安装在砂轮进刀
拖板上，如果把进刀拖板看成是静止不动的，而把砂轮架与进刀拖板的结合面看成是弹簧，把砂轮架看成是集中的质量，则砂轮架系统又近似地可以看成是支承在进刀拖板上的另一个弹簧——质量系统。这样，磨头系统就可以近似地简化为图示的支承在进刀拖板上的两自由度系统。 在这一系统的动力学模型中，m1是砂轮架的质量，k1是砂轮架支承在进刀拖板上的静刚度，m2是砂轮及其主轴系统的质量，k2是砂轮主轴支承在砂轮架轴承上的静刚度。取每个质量的静平衡位置作为坐标原点，取其铅垂位移x1及x2分别作为各质量的独立坐标。这样x1和x2就是用以确定磨头系统运动的广义坐标。(工程实际中两自由
1α，小车与斜面之间摩擦力 gk P T π 2=， ?? ? ??+= α2sin 2k P h k P A 2 m 。 ()2 2 34mr a r k n +=ω 3．确定图2-3系统的固有频率。
() r R g n -= 32ω 图2-3 第三章 两自由度系统振动 §3-1 概述 单自由度系统的振动理论是振动理论的基础。在实际工程问题中，还经常会遇到一些不能简化为单自由度系统的振动问题，因此有必要进一步研究多自由度系统的振动理论。 两自由度系统是最简单的多自由度系统。从单自由度系统到两自由度系统，振动的性质和研究的方法有质的不同。研究两自由度系统是分析和掌握多自由度系统振动特性的基础。 所谓两自由度系统是指要用两个独立坐标才能确定系统在振动过程中任何瞬时的几何位置的振动系统。很多生产实际中的问题都可以简化为两自由度的振动系统。例如，车床刀架系统（a ）、车床两顶尖间的工件系统（b ）、磨床主轴及砂轮架系统（c ）。只要将这些系统中的主要结合面（或芯轴）视为弹簧（即只计弹性，忽略质量），将系统中的小刀架、工件、砂轮及砂轮架等视为集中质量，再忽略存在
于系统中的阻尼，就可以把这些系统近似简化成图（d）所示的两自由度振动系统的动力学模型。 以图3.1（c）所示的磨床磨头系统为例分析，因为砂轮主轴安装在砂轮架内轴承上，可以近似地认为是刚性很好的，具有集中质量的砂轮主轴系统支承在弹性很好的轴承上，因此可以把它看成是支承在砂轮架内的一个弹簧——质量系统。此外，砂轮架安装在砂轮进刀拖板上，如果把进刀拖板看成是静止不动的，而把砂轮架与进刀拖板的结合面看成是弹簧，把砂轮架看成是集中的质量，则砂轮架系统又近似地可以看成是支承在进刀拖板上的另一个弹簧——质量系统。这样，磨头系统就可以近似地简化为图示的支承在进刀拖板上的两自由度系统。
《机械振动噪声学》习题集 1－1 阐明下列概念，必要时可用插图。 (a) 振动；(b) 期振动和期； (c) 简谐振动。振幅、频率和相位角。 1－2 一简谐运动，振幅为0.20 cm，期为0.15 s，求最大的速度和加速度。 1－3 一加速度计指示结构谐振在82 Hz 时具有最大加速度50 g，求其振动的振幅。 1－4 一简谐振动频率为10 Hz，最大速度为4.57 m/s，求其振幅、期和最大加速度。 1－5 证明两个同频率但不同相位角的简谐运动的合成仍是同频率的简谐运动。即： A cos ωn t+ B cos (ωn t+ φ) = C cos (ωn t+ φ' )，并讨论φ＝0、π/2 和π三种特 例。 1－6 一台面以一定频率作垂直正弦运动，如要求台面上的物体保持与台面接触，则台面的最大振幅可有多大？ 1－7 计算两简谐运动x1 = X1 cos ω t和x2 = X2 cos (ω + ε ) t之和。其中ε << ω。如发生拍的现象，求其振幅和拍频。 1－8 将下列复数写成指数A e i θ形式： (a) 1 + i3 (b) -2 (c) 3 / (3- i ) (d) 5 i (e) 3 / (3- i ) 2 (f) (3+ i ) (3 + 4 i ) (g) (3- i ) (3 - 4 i ) (h) [ ( 2 i ) 2 + 3 i + 8 ] 2－1 钢结构桌子的期τ＝0.4 s，今在桌子上放W = 30 N 的重物，如图2－1所示。已知期的变化?τ＝0.1 s。求：( a ) 放重物后桌子的期；( b )桌子的质量和刚度。 2 －2 如图2－2所示，长度为L、质量为m 的均质刚性杆由两根刚度为k 的弹簧系住，求杆绕 O点微幅振动的微分程。 2－3 如图2－3所示，质量为m、半径为r的圆柱体，可沿水平面作纯滚动，它的圆心O 用刚度为k的弹簧相连，求系统的振动微分程。 图2－1 图2－2 图2－3 2－4 如图2－4所示，质量为m、半径为R的圆柱体，可沿水平面作纯滚动，与圆心O 距离为a 处用两根刚度为k的弹簧相连，求系统作微振动的微分程。 2－5 求图2－5所示弹簧－质量－滑轮系统的振动微分程。 Word 资料
第5章 两自由度系统的振动 应用单自由度系统的振动理论，可以解决机械振动中的一些问题。但是，工程中有很多实际问题必须简化成两个或两个以上自由度，即多自由度的系统，才能描述其机械振动的主要特征。多自由度系统的振动特性与单自由度系统的振动特性有较大的差别，例如，有多个固有频率、主振型、 主振动和多个共振频率等。本章主要介绍研究两自由度系统机械振动的基本方法。 如图5-1所示。平板代表车身，它的位置可以由质心C 偏离其平衡位置的铅直位移z 及平板的转角 来确定。这样，车辆在铅直面内的振动问题就被简化为一个两自由度的系统。 5.1 双质量弹簧系统的自由振动 5.1.1 运动微分方程 图5-2(a)表示两自由度的弹簧质量系统。略去摩擦力及其它阻尼，以它们各自的静平衡位置为坐标x 1、x 2的原点，物体离开其平衡位置的位移用x 1、x 2表示。两物体在水平方向的受力图如图5-2(b)所示，由牛顿第二定律得 ? ? ?=+-=-++00)(2212222212111x k x k x m x k x k k x m &&&& (5-1) 这就是两自由度系统的自由振动微分方程。习惯上写成下列形式 ??? =+-=-+00212211dx cx x bx ax x &&&& (5-2) 显然此时 2 2 1 2 1 2 1,,m k d c m k b m k k a = == += 但对不同的系统， 式(5-2)中各系数的意义并不相同。 图5-1车辆模型 图5-2两自由度的弹簧质量系统
5.1.2 固有频率和主振型 根据微分方程的理论，设方程(5-2)的解，即两自由度无阻尼自由振动系统的解为 ?? ? ??+=+=)sin()sin(2211ααpt A x pt A x (5-3) 或写成以下的矩阵形式 )sin(2121α+?? ? ???????=??????????pt A A x x (5-4) 将式(5-4)代入式(5-2)，可得代数齐次方程组 ? ?? ???=????????????----002122 A A p d c b p a (5-5) 保证式(5-5)具有非零解的充分必要条件是式(5-5)的系数行列式等于零，即 0)(2 2 2 =----= ?p d c b p a p 展开后为 0)(24=-++-bc ad p d a p (5-6) 式(5-6)唯一确定了频率p 满足的条件，通常称为频率分程或特征方程。它是2p 的二次代数方程，它的两个特征根为 )(222 22 ,1bc ad d a d a p --??? ??++=μ bc d a d a +?? ? ??-+=2 22μ (5-7) 由于式(5-7)确定的2p 的两个正实根仅取决于系统本身的物理性质，与运动的初始条件无关，因此p 称为系统的固有频率。较小的一个称为第一阶固有频率，较大的一个称为第二阶固有频率。 5.2.2 主振型 将固有频率p 1和p 2分别代入式(5-5)的任一式，可得到对应于它们的振幅比
利用Adams 和Matlab 对二自由度系统振动进行仿真与分析 一、实验思想 Adams 是一种可以对一些典型运动进行高效仿真的软件，本实验是利用Adams 对二自由度系统振动进行仿真及分析，再和理论公式对比，并用另外一种常见的仿真软件Matlab 的仿真结果进行对比，观察两者的差异，分析软件仿真产生差异的原因，加深对二自由度系统振动的理解。 二、二自由度系统振动分析 固有频率取决于系统本身物理性质，而与初始条件无关。对于二 自由度的振动系统是有两种频率的简谐波组成的复合运动，这两个频率都是系统的固有频率。 主振型是当系统按固有频率作自由振动时，称为主振动。系统作 主振动时，任何瞬时各个运动坐标之间具有一定的相对比值，即整个系统具有确定的振动形态，称为主振型。 强迫振动是振动系统在周期性的外力作用下，其所发生的振动称 为强迫振动，这个周期性的外力称为驱动力。 三、二自由度系统自由振动 1.建立二自由度系统振动模型 1）创建底座：先生成一个尺寸合适的长方体基体，再使用add to part 指令创建底座的侧壁。 2）使用new part 指令分别创建两个滑块，创建滑块时应注意滑
块与滑块、滑块与侧壁之间的尺寸适当。 3）弹簧连接：分别用弹簧链接滑块、侧壁的中心点。弹簧生成后，依次选中弹簧，在modify 选项中的stiffness and damping 下拉菜单中将damping coefficient 设置成no damping，即弹簧无阻尼。 添加约束：底座和地面固定，滑块和底座用滑动副连接。 弹簧刚度分别改为1、1、2(newton/mm) 滑块质量分别为1.0 2.0 滑块与机体滑动副的阻尼改为1.0E-007 2.模型展示 3.运动仿真结果 设置x10=12 经过Adams 运算后，滑块1、2 运动状态如图所示：
（一） 一、填空题（本题15分，每空1分） 1、不同情况进行分类，振动(系统)大致可分成，（ ）和非线性振动；确定振动和（ ）；（ ）和强迫振动；周期振动和（ ）；（ ）和离散系统。 2、在离散系统中，弹性元件储存( )，惯性元件储存（ ），( )元件耗散能量。 3、周期运动的最简单形式是（ ），它是时间的单一（ ）或（ ）函数。 4、叠加原理是分析（ ）的振动性质的基础。 5、系统的固有频率是系统（ ）的频率，它只与系统的（ ）和（ ）有关，与系统受到的激励无关。 二、简答题（本题40分，每小题10分） 1、 简述机械振动的定义和系统发生振动的原因。（10分） 2、 简述振动系统的实际阻尼、临界阻尼、阻尼比的联系与区别。（10分） 3、 共振具体指的是振动系统在什么状态下振动？简述其能量集聚过程？（10分） 4、 多自由系统振动的振型指的是什么？（10分） 三、计算题（本题30分） 1、 求图1系统固有频率。（10分） 2、 图2所示为3自由度无阻尼振动系统。 (1)列写系统自由振动微分方程式（含质量矩阵、刚度矩阵）（10分）； (2)设1234t t t t k k k k k ====，123/5I I I I ===，求系统固有频率（10分）。 解：1)以静平衡位置为原点，设123,,I I I 的位移123,,θθθ为广义坐标，画出123,,I I I 隔离体，根据牛顿第二定律得到运动微分方程： 1111212222213233333243()0 ()()0()0 θθθθθθθθθθθθθ?++-=? +-+-=?? +-+=?t t t t t t I k k I k k I k k 图1 图2
《机械振动学》课程教学大纲 授课专业：学时数：36 学分数：2 一、课程的性质和目的 随着生产技术的不断发展，现代工业对产品精度、工程质量、可靠性以及噪声的要求不断提高，在设计产品时必须进行振动学分析。机械振动学是基础理论课过渡到设计课程的技术基础课，通过机械振动学的学习，培养学生具有机械振动学的基本概念，了解振动对机械工作精度、疲劳寿命、动态品质的影响，掌握必要的机械振动学基础知识，具备比较熟练的机械振动的计算和分析能力。 二、课程教学内容 第一章导论（4学时） 要求深刻理解与熟练掌握的重点内容有：1.机械振动的基本概念和分类；2.机械振动的一般分析过程；3.简谐振动及其表示方法；4.简谐振动的合成；5.谐波分析。 要求一般理解与掌握的内容有：简谐振动的复数表示法。 难点：机械振动的基本概念和一般分析过程。 第二章单自由度系统振动（12学时） 要求深刻理解与熟练掌握的重点内容有：1.无阻尼单自由度系统自由振动的建模、计算及分析；2.固有频率和组合弹簧的等效刚度系数；3.有阻尼单自由度系统自由振动的建模及分析；4.单自由度系统简谐受迫振动的建模及分析；5.机械系统振动的能量关系。 要求一般理解与掌握的内容有：1.系统等效质量和弹性元件的等效刚度的计算；2.有阻尼单自由度系统自由振动的计算；3.单自由度系统简谐受迫振动的计算；4.非简谐激振产生的受迫振动。 难点：自由振动和受迫振动的计算及分析；系统的等效质量和弹性元件的等效刚度的计算。 第三章两自由度系统振动（8学时） 要求深刻理解与熟练掌握的重点内容有：1.两自由度系统振动微分方程；2.两自由度系统自由振动的分析；3.两自由度系统受迫振动的分析；4.坐标耦合、坐标变换及主坐标。 要求一般理解与掌握的内容有：两自由度系统受迫振动的计算。 难点：频率方程、振型、模态向量、坐标耦合、坐标变换及主坐标等基本概念。 第四章多自由度系统振动（12学时） 要求深刻理解与熟练掌握的重点内容有：1.质量系数、刚度系数、阻尼系数及其矩阵表达式；2.建立多自由度系统振动微分方程的方法。3．固有频率、主振型、模态向量及其正规化、模态矩阵；5.模态分析法；6.多自由度系统自由振动的分析；6.多自由度系统受迫振动的分析。 要求一般理解与掌握的内容有：1.质量矩阵与刚度矩阵的正定性质；2.矩阵迭代法；3.多自由度系统振动的计算。 难点：模态向量、模态矩阵及模态分析法。
《机械振动学》教学大纲 随着工程技术发展，振动问题已成为诸多工程领域经常遇到的严重问题。因此，机械振动学已成为工程师必备的基础理论知识，他是机械制造及其自动化专业基础必修课。 课程目标：1．教授学生振动的基本理论和分析方法，培养学生掌握机械振动的基本原理和应用基本理论解决工程实际问题的能力。2．掌握与工程实际密切相关的若干理论知识，包括：测振原理、隔振设计、吸振器设计等。3．通过完成与工程相关的大作业，锻造学生对工程振动问题正确的力学建模能力，及应用振动理论和分析方法解决问题的能力。 become a serious problem often encountered in many engineering fields. Therefore, the mechanical vibration is the fundamental theoretical knowledge that engineers should master. This course is a required basic specialized course for the undergraduate of mechanical manufacturing and automation. Course Objectives：The objective of this course is to enable students to master the fundamental theories and methods of mechanical vibration, and to obtain the ability of applying those fundamental methods to salve practical engineering problems. Students are required to master several principles closely related to practical engineering, including vibration measurement, vibration isolation, vibration absorber.
K 2 I K 1 K 3 K t1 K t2 I 1 K t3 I 2 3I 1 K t4 （一） 一、填空题（本题15分，每空1分） 1、不同情况进行分类，振动(系统)大致可分成，（ ）和非线性振动；确定振动和（ ）；（ ）和强迫振动；周期振动和（ ）；（ ）和离散系统。 2、在离散系统中，弹性元件储存( )，惯性元件储存（ ），( )元件耗散能量。 3、周期运动的最简单形式是（ ），它是时间的单一（ ）或（ ）函数。 4、叠加原理是分析（ ）的振动性质的基础。 5、系统的固有频率是系统（ ）的频率，它只与系统的（ ）和（ ）有关，与系统受到的激励无关。 二、简答题（本题40分，每小题10分） 1、 简述机械振动的定义和系统发生振动的原因。（10分） 2、 简述振动系统的实际阻尼、临界阻尼、阻尼比的联系与区别。（10分） 3、 共振具体指的是振动系统在什么状态下振动？简述其能量集聚过程？（10分） 4、 多自由系统振动的振型指的是什么？（10分） 三、计算题（本题30分） 1、 求图1系统固有频率。（10分） 2、 图2所示为3自由度无阻尼振动系统。 (1)列写系统自由振动微分方程式（含质量矩阵、刚度矩阵）（10分）； (2)设1234t t t t k k k k k ====，123/5I I I I ===，求系统固有频率（10分）。 解：1)以静平衡位置为原点，设123,,I I I 的位移123,,θθθ为广义坐标，画出123,,I I I 隔离体，根据牛顿第二定律 得到运动微分方程： 所以：[][]12312222333340010000050;0000102101210012???? ????==???? ???????? +--???? ????=-+-=--???? ????-+-???? t t t t t t t t t t I M I I I k k k K k k k k k k k k 系统运动微分方程可写为：[][]1122330θθθθθθ???? ???? +=???????????? M K ………… (a) 或者采用能量法：系统的动能和势能分别为 求偏导也可以得到[][],M K 。 2)设系统固有振动的解为： 112233cos θθωθ???????? =???????????? u u t u ，代入（a ）可得： 图1 图2
第二章 单自由度系统的自由振动 本章以阻尼弹簧质量系统为模型,讨论单自由度系统的自由振动。 §2-1 无阻尼系统的自由振动 无阻尼单自由度系统的动力学模型如图所示。设质量为m ，单位是kg 。弹簧刚度为K ，单位是N ／m ，即弹簧单位变形所需的外力。弹簧在自由状态位置如图中虚线所示。当联接质量块后，弹簧受重力W=mg 作用而产生拉伸变形：，同时也产生弹簧恢复力K ，当其等于重力W 时，则处于静平衡位置，即 W=K 若系统受到外界某种初始干扰，使系统静平衡状态遭到破坏．则弹簧力不等于重力，这种不平衡的弹性恢复力，便使系统产生自由振动。首先建立座标，为简便起见，可选静平衡位置为座标原点，建立铅垂方向的座标x ，从原点算起，向下为正，向上为负，表示振动过程中质量块的位置。现设质量m 向下运动 到x ，此时弹簧恢复力为K(+x)，显然大于重力W ，由 于力不平衡，质量块在合力作用下，将产生加速度运动，故可按牛顿运动定律(作用于一个质点上所有力的合力，等于该质点的质量和沿合力方向的加速度的乘 积)，建立运动方程，取与x 正方向一致的力、加速度、速度为正，可列如下方程 改写为 0=+kx x m && (1-1-1 令 m k p = 2 (1-1-2) 单自由度无阻尼系统自由振动运动方程为 02=+x p x && (1-1-3) 设方程的特解为 st e x = 将上式代入(1-1-3)处特征方程及特征根为 ip s p s ±==+2,1220 则(1-1-3)的通解为 pt D pt C e C e C x ipt ipt sin cos 11+=+=- (1-1-4) C 、 D 为任意积分常数，由运动的初始条件确定，设t=0时 00,x x x x &&== （1-1-5） ()x m x k W F && =+?-= ∑量位静平衡位置 一自由度弹簧—质量系统 ? ==k mg W x &x )
《机械振动学》课程习题库 第一章 1.1 何谓机械振动？表示物体运动特征的物理量有哪些？ 1.2 按产生振动的原因分为几类？按振动的规律分为几类？ 1.3 何谓线性系统、机械系统和等效系统？ 1.4 如何理解瞬态振动、稳态振动、自由振动、强迫振动、纵向振动。横向振动、扭转振 动、参数振动和非线性振动？ 1.5 写出频率、角频率、相位、幅值、有阻尼固有频率，并说明意义，注明单位值。 1.6 如何理解粘性阻尼系数、等效阻尼、临界阻尼系数、欠阻尼和过阻尼？ 1.7 振动对机械产品有哪些影响？ 1.8 利用振动原理而工作的机电设备有哪些？试举例说明。 1.9 重温非简谐的周期性振动傅里叶级数，时间函数为f(t)，其周期为T ，表达式为： )s i n c o s ()(1 0t n b t n an a t f n n ωω++=?∞ = 式中：?= T dt t f T a 0 0)(1 ?=T n tdt n t f T a 0 cos )(2 ω ?=T n tdt n t f T b 0 sin )(2 ω 注：《手册》P9 1.10将下图所示的f(t)展成傅立叶级数。 参考答案：()∑∞== =5.2.1sin 1 440t n p t f n p b n b n n n ωππ 傅氏级数为奇数时，，当为偶数时，当 f(t) P 0 -P π/ω 2π/ω 3π/ω 4π/ω t
1.11今有一简谐位移x(t)(mm)，其表达式为：()=8sin(24 -),3 x t t π 求： 1. 振动的频率和周期； 2. 最大位移、最大速度和最大加速度； 3. t=0时的位移、速度和加速度； 4. t=1.5s 时的位移、速度和加速度。 参考答案：24rad/s ，3.82Hz ，0.2618s ；192mm/s ，4608mm/s 2；-6.9282mm ，96mm/s ，3990.65 mm/s 2 ；-3.253mm ，175.4mm/s ，1874 mm/s 2 1.12一振动体作频率为50Hz 的简谐振动，测得其加速度为80 m/s 2 ，求它的位移幅值和 速度幅值。 参考答案：0.8/mm ，254.34mm/s 。 1.13 一简谐振动的频率为10Hz ，最大速度4.57m/s ，求它的振幅、周期和最大加速度。 参考答案：0.073m ，0.1s ，287.9m/s 2 1.14 求图中刚性杆的振动系统中自由度的数目，并规定出该系统中所用的广义坐标系。 1.15 分析如图所示的机械系统，试求所需的自由度数目，并规定出该系统中所用的坐标系。 1.16 在对所示机械系统进行分析时，试求所用到的自由度数目，并规定一套系统振动分析时所用到的广义坐标系。 题1.14 图 题1.15 图