分式
分式及其基本性质 一． 知识点：
1.分式的概念：形如
B
A
(A 、B 是整式，且B 中含有字母（未知数），B ≠0)的式子，叫做分式(fraction ).其中A 叫做分式的分子(numerator ),B 叫做分式的分母
（denominator ）.整式和分式统称有理式（rational expression ）. 注意：在分式中，分母的值不能是零.如果分母的值是零，则分式没有意义。（分式有意义的条件）
2.分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.与分数类似，根据分式的基本性，可以对分式进行约分和通分.
3.分式值为零的条件：分子等于零且分母不等于零。 典型例题
1.23m m
是一个分式么？
答：是。虽然可以化成3m 的整式形式，但在化简的过程中正是运用了分式的基
本性质化简的，另外2
3m m
与3m 中的字母的取值也不同．
习题一
（1）．当x 取什么值时，下列分式有意义？(1)12+a a ;(2) 3252
-a a （2）. 要使分式)5)(32(23-+-x x x
有意义，则.（ ）
（A ）x ≠
23-
(B)x ≠5 (C)x ≠23-且x ≠5 (D)x ≠23
-
或x ≠5
（3）. 当a 为任意有理数时，下列分式一定有意义的是.（ ）
（A ）112++a a （B ）12+a a （C ）112++a a （D ）2
1
a a + （4）. 当x 是什么数时，分式25
2++x x 的值是零？
解：由分子x+2=0得x=-2 而当x=-2时，分母2x-5≠0
所以，当x=-2时，分式的值是零
习题二
一、填空题 1.约简公式
= .
2.a 取整数 时，分式(1-114++a a )〃a 1
的值为正整数. 3.如果x+x 1=3，则1x x x 2
42
++的值为 .
4.已知x=1+a 2,y=1-a 1
.用x 的代数式表示y ，得y= ；用y 的代数式表
示x ，得x= .
5．要使代数式3a 2a 3
a 2
---的值为零，只须 .
6.已知s=)y s (q 1yq
x ≠--,用x 、y 、s 表示q 的式子是 .
7.两个容积相等的瓶子中装满了酒精和水的溶液，其中一个瓶子中酒精与水的容
积之比是p ∶1，另一个瓶子中是q ∶1.若把这两瓶溶液混合在一起，混合液中酒精与水的容积之比为 . 二、解答题
8.化简分式2
32m m 21m m m 1+-+--
9.解关于x 的方程，其中a+2b-3c ≠0,a 、b 、c 互不相等.
10.已知ab=1，证明11b b 1a a =+++
11.甲的工作效率是乙的2倍，若甲先完成32
后乙来完成，这样完成工作所用时
间比甲、乙两人同时工作晚4天，甲、乙两人单独完成这项工作各需多少天？
分式的运算 一． 知识点：
1.分式的乘除法：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.如果得到的不是最简分式，应该通过约分进行化简.分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。分式乘方的法则：分子的乘方作分子，分母的乘方作分母。
2.分式的加减法：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减.
分式的运算 一、选择题:
1.下列各式计算正确的是( )
A.22
2a ab b a b b a -+=--; B.223
2()x xy y x y x y ++=++
C.2
3546
x x y y ??= ???; D.11x y x y -=-+-
2.计算
2
111111x x ?
???+÷+ ? ?--???? 的结果为( ) A.1 B.x+1 C.1x x + D.1
1x -
3.下列分式中,最简分式是( )
A.a b b a --
B.22x y x y ++
C.24
2x x -- D.2
22a a a ++-
4.已知x 为整数,且分式2221x x +-的值为整数,则x 可取的值有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
5.化简
11x y y x ????
-÷- ? ?
????的结果是( )
A.1
B.x y
C.y
x D.-1
6.当
,代数式2111x x x x x x ??-÷
?-+-?? 的值是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题
7.计算213122x x x --
-- 的结果是____________.
8.计算a 2÷b ÷1b ÷c ×1c ÷d ×1
d 的结果是__________. 9.若代数式13
24x x x x ++÷
++有意义,则x 的取值范围是__________.
10.化简131224a a a -??-÷ ?--?
? 的结果是___________. 11.若
22222
2M xy y x y x y x y x y --=+--+ ,则M=___________. 12.公路全长s 千米,骑车t 小时可到达,要提前40分钟到达,每小时应多走____千米.
三、计算题
13.2222
99369x x x x x x x +-++++; 14.
23111x x x x -??÷+- ?--?? 四、解答题
15.阅读下列题目的计算过程:
2
3232(1)
11(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x ----=--++-+- ①
=x-3-2(x-1) ② =x-3-2x+2 ③ =-x-1 ④
(1)上述计算过程,从哪一步开始出现错误?请写出该步的代号:______. (2)错误的原因是__________.
(3)本题目的正确结论是__________.
16.已知x 为整数,且2
22218339x x x x ++++--为整数,求所有符合条件的x 值的和.
可化为一元一次方程的分式方程
一．知识点：
1.分式方程：方程中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程.
2.解分式方程的过程，实质上是将方程的两边乘以同一个整式，约去分母，把分式方程转化为整式方程来解.所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母.在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘以一个含未知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不适合原分式方程的解（或根），这种根通常称为增根.因此，在解分式方程时必须进行检验.
[例1]解方程
解：
（1）方程两边同乘(x-2)，去分母，得
3x-5=2(x-2)-(x+1)
整理，得x=0
检验：当x=0时，x-2≠0
∴x=0是原方程的根。
（2）去分母，两边都乘x(x-1),得
6x-(8-2x)=0
∴x=1
检验：当x=1时，x(x-1)=0
∴x=1是原方程增根，原方程无解。
[例2]关于x的方程有增根，则a的值为___________。
解：去分母，得ax+1-x+1=0
(a-1)x=-2
∴a=-1
[例3]解方程
思路分析：
解这类问题应将可分解因式的分母分解，便于找出最简公分母，x2-2x=x(x-2),最简公分母为x(x-2)
解：方程两边都乘以x(x-2)，约去分母，得
4=2x-(x-2),
解这个整式方程，得x=2.
检验：当x=2时，x(x-2)=2×(2-2)=0
所以2是增根，原方程无解。
[例4]解方程
思路分析：
若直接去分母，最简公分母为(x+5)(x+6)(x+7)(x+8)，运算量大，分析各分母x+5、x+6、x+7、x+8，相邻两者间距为
1，可适当分组，再通分求解。
解：
方程两边分别通分，得：
∴(x+8)(x+7)=(x+6)(x+5)，
去括号，得x2+15x+56=x2+11x+30
4x=-26,
[例5]k为何值时，方程会产生增根？
思路分析：
此例类似解分式方程，但不同的是有待定系数k,k的取值决定着未知数x的值，故可用k的代数式表示x。结合增
根产生是最简公分母x-3=0时产生的，可建立新的方程求解。
解：去分母，得
x-4(x-3)=k,
当x-3=0即x=3时，方程会产生增根。
∴k=3.
[例6]一小船由A港到B港顺流需行6小时，由B港到A港逆流需行8小时，一天，小船早晨6点由A港出发顺流到B港
时，发现一救生圈在途中掉落在水中，立刻返回，1小时后找到救生圈，问：（1）若小船按水流速度由A港漂流
到B港要多少小时？（2）救生圈是何时掉入水中的？
思路分析：
本题的关键是：（1）弄清顺流速度、逆流速度与船在静水中速度和水速的关系；（2）弄清问题中的过程和找出所包含
的相等关系。
解：（1）设小船由A港漂流到B港用x小时，则水速为
由静水速度=顺流速度-水速=逆流速度+水速。
解得：x=48（小时）。
经检验x=48是原方程的解。
答：小船按水流速度由A港漂流到B港要48小时。
（2）设救生圈在y点钟落入水，由问题（1）可知水流速度为每小时，小船
顺流由A港到B港用6小时，
逆流走1小时，同时救生圈又顺流向前漂了1小时，依题意有：
解得：y=11
答：救生圈在中午11点落水。
三、检测题
A组
1、方程的解是x=_________.
2、当x=_______时，两分式的值相等。
3、若方程有增根,则增根是________
4、若关于x 的方程有增根是1，则 a=_______.
5、若方程有增根，则增根是______.
6、如果方程有增根，则m=( )
A.0
B.1
C.2
D.3
7、，则x的值为( )
A．-1 B.2 C.-2 D.无解
8、若分式的值为0，则x为( )
A.-3
B.2
C.-2 D±2
9、如果关于x的方程有增根，则m的值等于( )
A.-3
B.-2
C.-1
D.3
10、下列说法正确的是
A、方程的解等于零就是增根
B、使分子的值为零的解是增根
C、使所有分母的值都为零的解是增根
D、使最简公分母的值为零的解是增根
11、有纯酒精800克，要配制浓度为64%的酒精溶液，问需要加多少克蒸馏水？B组
1、若关于x的方程有增根，则增根是_______.
2、已知，且a,b,c是互不相等的常数，则
x+y+z=___________.
3、某校有70%的学生住校，住校学生的40%和不住校学生的60%是男生，求该校男生占学生总数的百分比是多少？
4、一项工程，甲、乙、丙三队合做4天可以完成，甲队单独做15天可以完成，乙队单独做12天可以完成，丙队单独做
几天可以完成？
5、甲、乙两人分别从相距36千米的A、B两地同时相向而行，甲从A地出发和行至1千米时，发现有物件遗忘在A地，
便立即返回，取到物件后又立即从A地向B地行进，这样甲、乙两人恰好在AB 中点处相遇，又知甲比乙每小时多走
0.5千米，求甲、乙两人的速度？
一、填空题（每小题2分，共20分）
1、在有理式22xy ，πx ，11
+a ，y x +1，122-m 中属于分式的有 . 2、分式33
+-x x 的值为0，则x= .
3、分式x x 2
-和它的倒数都有意义，则x 的取值范围是 . 4、当_____=x 时，
x --11的值为负数；当x 、y 满足 时，)
(3)
(2y x y x ++的值为3
2；
5、若分式y x y
-3的值为4，则x,y 都扩大两倍后，这个分式的值为
6、当x= 时，分式11+x 与11
-x 互为相反数. 7、若分式方程=-1x m
1-x -11
有增根，则m= .
8、要使方程=-11
x a x -2有正数解，则a 的取值范围是 9、+++)2)(1(1
x x )3)(2(1++x x +)2007)(2006(1
.....+++x x =_____________
10、若=a 3b 4=c 5，则分式222c b a ac
bc ab +++-=____________
二、选择题（每小题3分，共30分） 11、已知m 、n 互为相反数，a 、b 互为倒数,|x|则
ab x x
n
m -++2的值为（ ） A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 12、晓晓根据下表，作了三个推测：
①3-
x-1
x
(x>0)的值随着x 的增大越来越小；
②3-
x-1
x
(x>0)的值有可能等于2； ③3-x-1
x (x>O)的值随着x 的增大越来越接近于2． 则推测正确的有( )
A 、0个
B 、1个
C 、2个
D 、3个 13. 下列分式方程有解的是（ ）
A 、++12x 13-x =162-x
B 、0
12=+x x C 、0122=-x D 、111=-x
14. 下列式子:（1）y
x y x y x -=
--1
22；（2）c a b a a c a b --=--；（3）1-=--b a a b ； （4）
y
x y
x y x y x +-=
--+-中正确的是 （ ） A 、1个 B 、2 个 C 、3 个 D 、4 个
15. 若分式m x x ++21
2不论m 取何实数总有意义，则m 的取值范围是（ ）
A 、m ≥1
B 、m ＞1
C 、m ≤1
D 、m ＜1
16. 下列分式中是最简单分式的是（ ）.
A 、264x y
B 、x y y x --2)(2
C 、b a b a ++2
2 D 、y x y x --22
17.下列分式与y x y
x +-相等的是（ ）
A 、55+++-y x y x
B 、y x y
x +-22 C 、222)(y x y x --（x ≠y ） D 、2222y x y x +-
18. 纳米是一种长度单位，1纳米＝10－9米，已知某种花粉的直径为3 500纳米，
?那么用科学记数法表示该种花粉的直径为（ ）
A 、3.5×104米
B 、3.5×10－5米
C 、3.5×10－9米
D 、3.5×10－
6
米
19.张老师和李老师同时从学校出发，步行15千米去县城购买书籍，张老师比李老师每小时多走1千米，结果比李老师早到半小时，两位老师每小时各走多少千米？若设李老师每小时走x 千米，则由题意得到的方程是（ ）
A 、2115115=-+x x
B 、2111515=+-x x
C 、2115115=--x x
D 、2111515=--x x
20. 已知分式
xy
y
x -+1的值是a ，如果用x 、y 的相反数代入这个分式所得的值为b ， 则a 、b 关系（ ）
A 、相等
B 、互为相反数
C 、互为倒数
D 、乘积为－1 三、解答题（每题5分，共20分）
21、化简：[22
222a b a ab b -+++2ab
÷(1a +1b )2]〃2222a b ab -+.
22、当21,23-==b a 时，求??? ??-+???? ?
?
-+-b a ab b a b a ab b a ＋44的值.
23、请你先化简：112
223+----x x x
x x x ，再选取一个使．．．原式有意义，而你又喜爱的数代入求值.
24、A 玉米试验田是边长为a 米的正方形减去一个边长为1米的正方形蓄水池后余下部分，B 玉米试验田是边长为（a －1）米的正方形，两块试验田的玉米都收获了500千克.
（1）那种玉米的单位面积产量高？
（2）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
四、探索题（每题10分，共30分） 25、观察以下式子：
1112122132+→=+＞，5527544264+→=+＜，3354355555
+→=+＞， 7737
22232
+→=+＜.请你猜想，将一个正分数的分子分母同时加上一个正数，这个分数的变化情况，并证明你的结论.
26、甲、乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料.两次饲料的价格有变化，两位采购员的购货方式也不同，其中，甲每次购买1000千克，乙每次用去800元，而不管购买多少饲料.
（1）甲、乙所购饲料的平均单价各是多少？（2）谁的购货方式更合算？
27、一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔300枝以上，（不包括300
枝），可以按批发价付款，购买300枝以下，（包括300枝）只能按零售价付款.小明来该店购买铅笔，如果给八年级学生每人购买1枝，那么只能按零售价付款，需用120元，如果多购买60枝，那么可以按批发价付款，同样需要120元，
①这个八年级的学生总数在什么范围内？
②若按批发价购买6枝与按零售价购买5枝的款相同，那么这个学校八年级学生有多少人？
参考答案
一、1. 11+a ，y x +1
2. 3
3.x ≠0 且x ≠2
4.x<1，x+y ≠0
5. 4
6. 0
7. 1
8. a ＜2
9. )2007)(1(2006
++x x 10. 507
二、11. B 12.C 13. D 14. B 15. B 16.C 17. C 18. D 19. B 20. B 三、21.
2
2()
a b + 22. 原式＝a 2－b 2
＝2 23.原式＝2x －1，答案不唯一，如取x ＝3，得原式＝2×3－1＝5 24. （1）A 玉米试验田面积是(a 2－1)米2，单位面积产量是
1
5002
-a 千克／米2
； B 玉米试验田面积是(a －1)2米2，单位面积产量是
2
)
1(500-a 千克／米2
； 因为a 2－1－(a －1)2＝2(a －1)，而a －1＞0，所以0＜(a －1)2＜a 2－1， 所以
15002-a ＜2
)1(500
-a ，即B 玉米的单位面积产量高. (2) 2)1(500-a ÷15002-a ＝2)1(500
-a ×50012-a ＝2
)1()1)(1(--+a a a ＝11-+a a ，
所以高的单位面积产量是低的单位面积产量的
1
1
-+a a 倍. 四、25. 猜想：当一个分数的分子小于分母时，分子与分母同加上一个正数后所得的分数大于原来的分数，当一个分数的分子大于分母时，分子与分母同加
上一个正数后所得的分数小于原来的分数，即设一个分数b
a
(a 、b 均是正数)
和一个正数m ，则b a (a ＞b )→b m a m ++＞b a ，b a (a ＜b )→b m a m ++＜b
a
.
理由是：
b m a m ++－b a ＝()()()a b m b a m a a m +-++＝()()
m a b a a m -+，由于a 、b 、m 均是正数，所以当a ＞b ，即a －b ＞0时，
b m a m ++－b a ＞0，即b m a m ++＞b
a
，当a ＜b ，即a －b ＜0时，b m a m ++－b a ＜0，即b m a m ++＜b
a
26. （1）设两次购买的饲料单价分别为m 元/千克和n 元/千克（m ，n 是正数，
且m ≠n ）
甲两次购买饲料的平均单价为
2100010001000?+n m ＝2
n
m +（元/千克），
乙两次购买饲料的平均单价为n
m 8008002
800+?＝n
m mn +2（元/千克）.
（2）甲、乙两种饲料的平均单价的差是2n m +－n m mn +2＝)
(2)(2
n m m m ++－)(24n m mn +
＝)(24222n m mn n mn m +-++＝)
(2)(2
n m n m +-，
由于m 、n 是正数，因为m ≠n 时，)
(2)(2
n m n m +-也是正数，即2n m +－n m mn +2＞0，
因此乙的购买方式更合算.
27. ①设这个学校八年级学生有x 人.由题意得，x ≤300且x +60＞300，所以240
＜x ≤300；②有两个数量关系：一是批发价购买6枝与按零售价购买5枝的款相同；二是用120元按批发价付款比按零售价付款可以多购买60枝.若设
批发价每支y 元，则零售价每支6
5y 元.由题意得，y y 120605
6120=+.解之得，y ＝31，经检验，y ＝3
1为原方程的解.所以，
.3005
6120
=y 即①240人＜八年级的学生总数≤300人，②这个学校八年级学生有300人.
《分式》分式方程行程、工程问题
一、填空
1.小华从家到学校的路程是s 米，时间是t 秒，则他的平均速度v=______米/秒。 2、一项工程，甲单独做a 小时可以完成， 乙 单 独做 b 小时可以完成，问甲乙两人合作完成这项工程需要几小时？ 问：（1）甲每小时完成 ____________. （2）乙每小时完成_____________.
（3）甲乙两人合作完成这项工程共需要 ____________ 小时。
3、某 市为治理污水，需要铺设一段全长3000米的污水输送管道，为了尽量减少施工对城市交通造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前30天完成了任务，设原计划每天管道铺设管道x 米，则 实际每天管道铺设管道___________米， 实际施工__________天，
可列方程为__________________。
4、某运输公司需要装运一批货物，由于机械设备没有到位，只好先用人工装运，5.小时后完成一半，后来机械装运和人工同时进行，1小时完成了后一半，如果设单独采用机械装运X 小时可以完成后一半任务，则在这装运过程中 人工完成了总工作量的_________，机械完成了总工作量的_________， 可列方程为__________________。
6.甲、乙两地相距100千米，一辆长途客车从甲地开出2小时后，一辆轿车也从甲地开出，结果轿车比客车迟20分到达乙地。已知轿车与客车速度的比是3：2。设客车的速度的为X 千米/小时,则 轿车的速度为__________，
从甲地到乙地客车用了________小时，轿车用了________小时， 可列方程为__________________。
7.甲、乙两人从相距36千米的两地同时出发相向而行，甲从A 地出发至2千米时发现有物品忘在A 地，便立即返回，取了物品后又立即从A 地向B 地行去，这样两人恰好在A 、B 的中点相遇，又知甲比乙每小时多走0.5千米，设乙的速度为X 千米/小时，则
甲的速度为______________，
从出发到相遇甲的路程为_________________，乙的路程为_________________ 可列方程为________________________。 二、选择
8.某煤厂原计划x 天生产120吨煤，由于采用新的技术，每天增加生产3吨，因此提前2
天完成任务，列出方程为------------------------------------------------------------------------（ ） A
31202120-=-x x B 32120120-+=x x C 31202120-=+x x D 32
120
120--=x x 9．农机厂职工到距工厂15千米的某地检修农机，一部分人骑自行车先走半小时后，其余人乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车速度为自行车速度的3倍，若设自行车的速度为x 千米/时，则所列方程为（ ）
A.2115315+=x x
B.
x
x 15
21315=- C.2115315-=x x D.2115315?=x x
10．某车间要加工170个零件，在加工完90个以后改进了操作方法，?每天可多加工10个，一共用5天完成了任务，若改进操作方法后每天加工x 个零件，?所列方程正确的是（ ）． 8090809080908090.5.5.5.510101010A B C D x x x x x x x x +=+=+=+=--++ 三、解答 11.甲、乙二人同时从张庄出发，步行15千米到李庄．甲比乙每小时多走1千米，结果比乙早到半小时．二人每小时各走几千米？
12.甲、乙二人做机器零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个零件与乙做60个零件的时间相等，求甲、乙两人各做多少个零件？
13.一台甲型拖拉机4天耕完一块地的一半，加一天乙型拖拉机，两台合耕，1天耕完这块地的另一半。乙型拖拉机单独耕这块地需要几天？
14.A 做90个零件所需要的时间和B 做120个零件所用的时间相同，又知每小时A 、B 两人共做35个机器零件。求A 、B 每小时各做多少个零件。
15．一项工程，甲、乙、丙三队合做4天可以完成。甲队单独做，15天可以完成；乙队单独做，12天可以完成。丙队单独做，几天可以完成？
16、某中学到离学校15千米的某地旅游，先遣队和大队同时出发，行进速度是大队的1.2倍，以便提前半小时到达目的地做准备工作。求先遣队和大队的速度各是多少？
14、我军某部由驻地到距离30千米的地方去执行任务，由于情况发生了变化，急行军速度必需是原计划的1.5倍，才能按要求提前2小时到达，求急行军的速度。
15、一小艇在江面上顺流航行63千米到目的地，然后逆流回航到出发地，航行时间共5小时20分．已知水流速度为每小时3千米，小艇在静水中的速度是多少？小艇顺流航行时间和逆流回航时间各是多少？
16．甲、乙两地相距135千米，大小两辆汽车从甲地开往乙地，大汽车比小汽车早出发5小时，小汽车比大汽辆早到30分钟，小汽车和大汽车的速度之比为5∶2，求两车的速度．
18、从甲地到乙地的路程是15千米，A骑自行车从甲地到乙地先走，40分钟后，B骑自行车从甲地出发，结果同时到达。已知B的速度是A的速度的3倍，求两车的速度。
19、某运输公司需要装运一批货物，由于机械设备没有到位，只好先用人工装运，6小时后完成一半，后来机械装运和人工同时进行，1小时完成了后一半，如果设单独采用机械装运X小时可以完成后一半任务，那么应满足的方程是什么？
20.甲、乙两地相距100千米，一辆长途客车从甲地开出2小时后，一辆轿车也从甲地开出，结果轿车比客车迟20分到达乙地。已知轿车与客车的速度的比是3：2。求轿车和客车的速度。
21.甲、乙两人从相距36千米的两地同时出发相向而行，甲从A地出发至2千米时发现有物品忘在A地，便立即返回，取了物品后又立即从A地向B地行去，这样两人恰好在A、B的中点相遇，又知甲比乙每小时多走0.5千米，求甲、乙两人的速度。
22、某市为治理污水，需要铺设一段全长3000米的污水输送管道，为了尽量减少施工对城市交通造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前30天完成了任务，实际每天铺设多长管道？
23．已知某项工程由甲、乙两队合做12天可以完成，共需工程费用13 ?800元，乙队单独完成这项工程所需时间是甲队单独完成这项工程所需时间的2倍少10天，且甲队每天的工程费用比乙队多150元．
（1）甲、乙两队单独完成这项工程分别需要多少天？
（2）若工程管理部门决定从这两个队中选一个队单独完成此项工程，从节约资金的角度考虑，应该选择哪个工程队？请说明理由．
华师大版初中数学教材按年级分目录 七年级上 走进数学世界；有理数；整式的加减；图形的初步认识；数据的收集与表示； 七年级下 一元一次方程；二元一次方程组；一元一次不等式；多边形；轴对称；体验不确定现象； 八年级上 数的开方；整式的乘除；勾股定理；平移与旋转；平行四边形的认识 八年级下 分式；函数及其图像；全等三角形；平行四边形的判定；数据整理与初步处理 九年级上 二次根式；一元二次方程；图形的相似；解直角三角形；随机事件的概率； 九年级下 二次函数；圆；几何的回顾；样本与总体； 华东师大版按章节分目录 第1章走进数学世界 §1.1从实际问题到方程：1.数学伴我们成长；2.人类离不开数学；3.人人都能学会数学；阅读材料华罗 庚的故事；视数学为生命的陈景润；少年高斯的速算；§1.2让我们来做数学；1.跟我学；2.试试看；阅 读材料幻方. 第2章有理数 §2.1正数和负数：1.相反意义的量；2.正数与负数；3.有理数；§2.2数轴；1.数轴；2.在数轴上比较 数的大小；§2.3相反数；§2.4绝对值；§2.5有理数的大小比较；1.数轴；2.在数轴上比较数的大小； §2.6有理数的加法；1.有理数的加法法则；2.有理数加法的运算律；§2.7有理数的减法；§2.8有理 数的加减混合运算；1.加减法统一成加法；2.加法运算律在加减混合运算中的应用；阅读材料中国人最 早使用负数；§2.9有理数的乘法；1.有理数的乘法法则；2.有理数乘法的运算律；§2.10有理数的除 法；§2.11有理数的乘方；阅读材料与；§2.12科学记数法；阅读材料光年和纳米；§2.13有理数的混 合运算；§2.14近似数和有效数字；§2.15用计算器进行数的简单运算；阅读材料从结绳记数到计算器； 小结；复习题第3章整式的加减 §3.1列代数式： 1.用字母表示数； 2.代数式； 3.列代数式；§3.2代数式的值；阅读材料有趣的“3x+1”问题；§3.3整 式；1.单项式；2.多项式；3.升幂排列与降幂排列；§3.4整式的加减；1.同类项；2.合并同类项；3.去 、管路敷设技术通过管线不仅可以解决吊顶层配置不规范高中资料试卷问题，而且可保障各类管路习题到位。在管路敷设过程中，要加强看护关于管路高中资料试卷连接管口处理高中资料试卷弯扁度固定盒位置保护层防腐跨接地线弯曲半径标高等，要求技术交底。管线敷设技术包含线槽、管架等多项方式，为解决高中语文电气课件中管壁薄、接口不严等问题，合理利用管线敷设技术。线缆敷设原则：在分线盒处，当不同电压回路交叉时，应采用金属隔板进行隔开处理；同一线槽内，强电回路须同时切断习题电源，线缆敷设完毕，要进行检查和检测处理。、电气课件中调试对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行 高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料试卷相互作用与相互关系，根据生产工艺高中资料试卷要求，对电气设备进行空载与带负荷下高中资料试卷调控试验；对设备进行调整使其在正常工况下与过度工作下都可以正常工作；对于继电保护进行整核对定值，审核与校对图纸，编写复杂设备与装置高中资料试卷调试方案，编写重要设备高中资料试卷试验方案以及系统启动方案；对整套启动过程中高中资料试卷电气设备进行调试工作并且进行过关运行高中资料试卷技术指导。对于调试过程中高中资料试卷技术问题，作为调试人员，需要在事前掌握图纸资料、设备制造厂家出具高中资料试卷试验报告与相关技术资料，并且了解现场设备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。 、电气设备调试高中资料试卷技术电力保护装置调试技术，电力保护高中资料试卷配置技术是指机组在进行继电保护高中资料试卷总体配置时，需要在最大限度内来确保机组高中资料试卷安全，并且尽可能地缩小故障高中资料试卷破坏范围，或者对某些异常高中资料试卷工况进行自动处理，尤其要避免错误高中资料试卷保护装置动作，并且拒绝动作，来避免不必要高中资料试卷突然停机。因此，电力高中资料试卷保护装置调试技术，要求电力保护装置做到准确灵活。对于差动保护装置高中资料试卷调试技术是指发电机一变压器组在发生内部故障时，需要进行外部电源高中资料试卷切除从而采用高中资料试卷主要保护装置。
分式知识点归纳 一、分式的定义： 一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子 B A 叫做分式，A 为分子，B 为分母。 二、与分式有关的条件 ①分式有意义：分母不为0（0B ≠） ②分式无意义：分母为0（0B =） ③分式值为0：分子为0且分母不为0（???≠=0 0B A ） ④分式值为正或大于0：分子分母同号（???>>00B A 或? ??<<00B A ） ⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（?? ?<>00B A 或???><00B A ） ⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B ） ⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0） 三、分式的基本性质 （1）分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。 字母表示：C B C ??=A B A ，C B C ÷÷=A B A ，其中A 、B 、C 是整式，C ≠0。 （2）分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变， 即：B B A B B --=--=--=A A A 注意：在应用分式的基本性质时，要注意 C ≠0这个限制条件和隐含条件B ≠0。 四、分式的约分 1．定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。 2．步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。 3．两种情形：①分式的分子与分母均为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约 去分子分母相同因式的最低次幂。 ②分子分母若为多项式，先对分子分母进行因式分解，再约分。 4．最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。 ◆约分时。分子分母公因式的确定方法： 1)系数取分子、分母系数的最大公约数作为公因式的系数. 2)取各个公因式的最低次幂作为公因式的因式. 3)如果分子、分母是多项式,则应先把分子、分母分解因式,然后判断公因式. 五、分式的通分 1．定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。 （依据：分式的基本性质！） 2．最简公分母：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。 ◆通分时，最简公分母的确定方法： 1．系数取各个分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数. 2．取各个公因式的最高次幂作为最简公分母的因式. 3．如果分母是多项式,则应先把每个分母分解因式,然后判断最简公分母.
分式计算题精选1.计算（x+y）2．化简3．化简：4．化简：5．化简：6.计算：
7.化简：． 8.化简： 9.化简：． 10计算：．11.计算：．12．解方程：．
13.解方程： 14.解方程：=0． 15.解方程：（1） ． 16. 17解方程：﹣=1； ﹣=0．18.
20.已知 3x 2 + xy - 2 y 2 = 0 （ x ≠0， y ≠0），求 - - 的值。 1 ? ? x ，求 1 ? ? x ，求 19.已知 a 、 b 、 c 为实数，且满足 (2 - a )2 + 3 - b 2 + c 2 - 4 (b - 3)(c - 2) = 0 ，求 1 1 + 的值。 a - b b - c x y x 2 + y 2 y x xy 21.计算已知 x 2 1 ? 1 ?= - ?÷? + x ? 的值。 x 2 - 2 1 - 2 ? 1 - x 1 + x ? ? x 2 - 1 ? ? 1 1 1 ? x - y = 3 22.解方程组： ? ? 1 1 = 2 ?? x y 9 23.计算（1）已知 x 2 1 ? 1 ?= - ?÷? + x ? 的值。 x 2 - 2 1 - 2 ? 1 - x 1 + x ? ? x 2 - 1 ?
- x - y ?? ÷ 25. ? 24. 1 1 2 4 + + + 1 - x 1 + x 1 + x 2 1 + x 4 ? 2 2 ? x + y ?? x - y - ? 3x x + y ? 3x ?? x
2014寒假初中数学分式计算题精选 参考答案与试题解析 1计算（x+y）?=x+y． 解：原式=． 2化简，其结果是． 解：原式=??（a+2）+ = + = = =． 故答案为： =． 3 解：原式=×=． =． 4 解：=1﹣=1﹣==．5化简：=．
华师版初中数学知识点总结 1、相反意义的量向东和向西，零上和零下，收入和支出， 升高和下降，买进和卖出。 2、正数和负数像+，+12， 1、3，258等大于0的数（“+”通常不写）叫正数。像-5，- 2、8，-等在正数前面加“a。（6）多重符号化简多重符号 化简的结果是由“－”号的个数决定的。如果“－”号是奇数 个，则结果为负；如果是偶数个，则结果为正。可简写为“奇负偶正”。 6、绝对值（1）在数轴上表示数a的点离开原点的距离，叫 做数a的绝对值。（2）一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零、（3）绝对值的主要性 质一个数的绝对值是一个非负数，即a≥0，因此，在实数范围内，绝对值最小的数是零、 (4)两个相反数的绝对值相等、 (5) 运用绝对值比较有理数的大小两个负数，绝对值大的反而小、（6）比较两个负数的方法步骤是：1）先分别求出两个负数的绝 对值；2）比较这两个绝对值的大小；3）根据“两个负数，绝对 值大的反而小”作出正确的判断、 7、有理数的加法(1)有理数加法法则1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对
值。3）互为相反数的两个数相加得零。4）一个数与0相加，仍得这个数。（2）有理数加法的运算律加法交换律：a＋b＝b＋a加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 8、有理数的减法减去一个数等于加上这个数的相反数。a-b=a+(-b) 9、有理数的加减混合运算（1）省略加号和的形式：在一个和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写。例如：把-8+（+10）+（-6）+（-4）写成省略加号和的形式为- 8+10-6-4。读作“负8，正10，负6，负4的和”也可读作“负8加10减6减4。（2）适当的应用加法运算律。 10、有理数的乘法（1）有理数的乘法法则两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与零相乘都得零。（2）几个不等于零的数相乘，积的正负号由负因数的个数决定，当负号的个数为奇数时，积为负；当负号的个数为偶数时，积为正。 几个数相乘，有一个因数为零，积就为零。（3）乘法运算律乘法交换律： ab=ba乘法结合律：(ab)c=a(bc)乘法对加法的分配律： a(b+c)=ab+ac 11、有理数的除法（1）倒数：乘积为1的两个数互为倒数。 【注】 0没有倒数。（2）有理数除法法则1：除以一个数等于乘以这个数的倒数。
初中数学分式随堂练习40 一、选择题（共5小题；共25分） 1. 下列各式与相等的是 A. B. D. 2. 若，，，则，，大小关系是 A. B. C. D. 3. 为保证达万高速公路在年底全线顺利通车，某路段规定在若干天内完成修建任务．已知甲 队单独完成这项工程比规定时间多用天，乙队单独完成这项工程比规定时间多用天，如果甲、乙两队合作，可比规定时间提前天完成任务．若设规定的时间为天，由题意列出的方 程是 A. B. C. D. 4. 若为整数，且的值也为整数，则所有符合条件的的值有 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 5. 已知关于的分式方程的解是非负数，那么的取值范围是 A. B. C. 且 D. 二、填空题（共4小题；共20分） 6. 要使有意义，则实数的取值范围是． 7. 一种病毒的直径为米，用科学记数法表示为米． 8. 如果，那么的结果是． 9. 年月，全球首个火车站在上海虹桥火车站启动．虹桥火车站中网络峰值速率为 网络峰值速率的倍．在峰值速率下传输千兆数据，网络比网络快秒，求这两种网络的峰值速率．设网络的峰值速率为每秒传输千兆数据，依题意，可列方程为． 三、解答题（共4小题；共52分） 10. 阅读下列材料：
方程的解是；的解是；的解是； （即）的解是． 观察上述方程与解的特征，猜想关于的方程的解，并利用“方程的解” 的概念进行验证． 11. 求下列各分式的值： （1），其中． （2），其中，． 12. 计算：． 13. 阅读下面材料，并解答问题． 材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 【解析】 由分母为，可设，则 对应任意，上述等式均成立， ，， 这样，分式被拆分成了一个整式与一个分式的和． 解答： （1）将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． （2）直接写出时，的最小值为．
2014寒假初中数学分式计算题精选 参考答案与试题解析 一．选择题（共2小题） 1．（2012?台州）小王乘公共汽车从甲地到相距40千米的乙地办事，然后乘出租车返回，出租车的平均速度比公共汽车多20千米/时，回来时路上所花时间比去时节省了，设公共汽车的平均速度为x千米/时，则下面列出的方程 中正确的是（） A．B．C．D． 解答：解：设公共汽车的平均速度为x千米/时，则出租车的平均速度为（x+20）千米/时， 根据回来时路上所花时间比去时节省了，得出回来时所用时间为：×， 根据题意得出=×，故选：A． 2．（2011?齐齐哈尔）分式方程=有增根，则m的值为（） A．0和3 B．1C．1和﹣2 D．3 考点：分式方程的增根；解一元一次方程． 专题：计算题． 分析：根据分式方程有增根，得出x﹣1=0，x+2=0，求出即可．D 二．填空题（共15小题） 3．计算的结果是． 4．若，xy+yz+zx=kxyz，则实数k=3 分析： 分别将去分母，然后将所得两式相加，求出yz+xz+xy=3xyz，再将xy+yz+zx=kxyz 代入即可求出k的值．也可用两式相加求出xyz的倒数之和，再求解会更简单． 点评：此题主要考查学生对分式的混合运算的理解和掌握，解答此题的关键是先求出yz+xz+xy=3xyz．5．（2003?武汉）已知等式：2+=22×，3+=32×，4+=42×，…，10+=102×，（a，b均为正整数），则a+b= 109． 解答： 解：10+=102×中，根据规律可得a=10，b=102﹣1=99，∴a+b=109． 6．（1998?河北）计算（x+y）?=x+y．
最新华师大版初中数学教科书目录 七年级上 第1章走进数学世界 数学伴我们成长 人类离不开数学 人人都能学会数学 第2章有理数 § 2.1有理数 1. 正数与负数 2. 有理数 § 2.2数轴 1. 数轴 2. 在数轴上比较数的大小 § 2.3相反数 § 2.4绝对值 § 2.5有理数的大小比较 § 2.6有理数的加法 1. 有理数的加法法则 2. 有理数加法的运算律 § 2.7有理数的减法 § 2.8有理数的加减混合运算 1. 加减法统一成加法 2. 加法运算律在加减混合运算中的应用§ 2.9有理数的乘法 1. 有理数的乘法法则 2. 有理数乘法的运算律 § 2.10有理数的除法 § 2.11有理数的乘方 § 2.12科学记数法 § 2.13有理数的混合运算 § 3.1列代数式 1.用字母表示数 2.代数式 3.列代数式 § 3.2代数式的值 § 3.3整式 1.单项式 2.多项式 3.升幕排列与降幕排列§ 3.4整式的加减 1. 同类项 2. 合并同类项 3. 去括号与添括号 4. 整式的加减 第4章图形的初步认识 § 4.1生活中的立体图形 § 4.2立体图形的视图 1. 由立体图形到视图 2. 由视图到立体图形 § 4.3立体图形的表面展开图 § 4.4平面图形 § 4.5最基本的图形一点和线 1. 点和线 2. 线段的长短比较 § 4.6 角 1. 角 2. 角的比较和运算 3. 余角和补角 第5章相交线与平行线 § 5.1相交线 1. 对顶角 2. 垂线 3. 同位角、内错角、同旁内角§ 5.2平行线 1. 平行线 2. 平行线的判定 3. 平行线的性质 七年级下 第6章一元一次方程 § 6.1从实际问题到方程 § 6.2解一元一次方程 1. 等式的性质与方程的简单变形 2. 解一元一次方程 § 6.3实践与探索 第7章一次方程组 § 7.1二元一次方程组和它的解 § 7.2二元一次方程组的解法
数学知识点总结 七年级上 第二章 有理数 1．相反意义的量 向东和向西，零上和零下，收入和支出，升高和下降，买进和卖出。 2．正数和负数 像+12，1.3，258等大于0的数（“+”通常不写）叫正数。 像-5，-2.8，等在正数前面加“—”（读负）的数叫负数。 【注】0既不是正数也不是负数。 3．有理数 （1）整数：正整数、零和负整数统称为整数。 分数：正分数和负分数统称为分数。 有理数：整数和分数统称为有理数。 （2）有理数分类 1) 按有理数的定义分类 2）按正负分类 正整数 正整数 整数 0 正有理数 有理数 负整数 有理数 正分数 正分数 0 负整数 分数 负有理数 负分数 负分数 【注】有限循环小数叫做分数。 （3）数集 把一些数组合在一起，就组成了一个数的集合，简称数集。所有的有理数组成的数集叫做有理数集，类似的，有整数集，正数集，负数集，所有的正整数和零组成的数集叫做自然数集或叫做非负整数集，所有负数和零组成的数集叫做非负数集。 4．数轴 （1）规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 【注】1）数轴的三要素：原点、正方向、单位长度缺一不可。 2）数轴能形象地表示数，所有的有理数都可用数轴上的点表示，但数轴上的点所表示的数并不都是有理数． （2）在数轴上比较有理数的大小 1）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 2）由正、负数在数轴上的位置可知：正数都有大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。 5．相反数 （1）只有符号不同的两个数称互为相反数，如－5与5互为相反数。 （2）从数轴上看，位于原点两旁，且与原点距离相等的两点所表示的两个数叫做互为相反数。（几何意义） （3）0的相反数是0。也只有0的相反数是它的本身。 （4）相反数是表示两个数的相互关系，不能单独存在。 （5）数a 的相反数是—a 。 （6）多重符号化简 多重符号化简的结果是由“－”号的个数决定的。如果“－”号是奇数个，则结果为负； 如果是偶数个，则结果为正。可简写为“奇负偶正”。 6．绝对值 （1）在数轴上表示数a 的点离开原点的距离，叫做数a 的绝对值。 （2）一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零． （3）绝对值的主要性质 一个数的绝对值是一个非负数，即a ≥0，因此，在实数范围内，绝对值最小的数是零． (4)两个相反数的绝对值相等． (5)运用绝对值比较有理数的大小 两个负数，绝对值大的反而小. （6）比较两个负数的方法步骤是： 1）先分别求出两个负数的绝对值； 2）比较这两个绝对值的大小； 3）根据“两个负数，绝对值大的反而小”作出正确的判断． 7．有理数的加法 (1)有理数加法法则 1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加
考点跟踪训练4 分式及其运算 一、选择题 1．(2010·孝感)化简????x y －y x ÷x －y x 的结果是( ) A. 1y B. x ＋y y C.x －y y D ．y 答案 B 解析 原式＝x 2－y 2xy ·x x －y ＝(x ＋y )(x －y )xy ·x x －y ＝x ＋y y . 2．(2011·宿迁)方程2x x ＋1－1＝1x ＋1 的解是( ) A ．－1 B ．2 C ．1 D ．0 答案 B 解析 把x ＝2代入方程，可知方程左边＝43－1＝13，右边＝13 .∴x ＝2是方程的解． 3．(2011·苏州)已知1a －1b ＝12，则ab a －b 的值是( ) A.12 B ．－12 C ．2 D ．－2 答案 D 解析 1a －1b ＝12，2b －2a ＝ab ，－2(a －b )＝ab ，所以ab a －b ＝－2. 4．(2011·威海)计算1÷1＋m 1－m ·()m 2－1的结果( ) A ．－m 2－2m －1 B ．－m 2＋2m －1 C ．m 2－2m －1 D ．m 2－1 答案 B 解析 原式＝1×1－m 1＋m ×(m ＋1)(m －1)＝－(m －1)2＝－m 2＋2m －1. 5．(2011·鸡西)分式方程x x －1－1＝m (x －1)(x ＋2) 有增根，则m 的值为( ) A ．0和3 B ．1 C ．1和－2 D ．3 答案 D 解析 去分母，得x (x ＋2)－(x －1)(x ＋2)＝m ，当增根x ＝1时，m ＝3；当增根x ＝－2 时，m ＝0，经检验，当m ＝0时，x x －1 －1＝0.x ＝x －1，方程无解，不存在增根，故舍去m ＝0.所以m ＝3. 二、填空题 6．(2011·嘉兴)当x ______时，分式13－x 有意义． 答案 ≠3 解析 因为分式有意义，所以3－x ≠0，即x ≠3. 7．(2011·内江)如果分式3x 2－27x －3 的值为0，那么x 的值应为________． 答案 －3 解析 分母x －3≠0，x ≠3；分子3x 2－27＝0，x 2＝9，x ＝±3，综上，x ＝－3. 8．(2011·杭州)已知分式x －3x 2－5x ＋a ，当x ＝2时，分式无意义，则a ＝________；当x <6时，使分式无意义的x 的值共有________个． 答案 6,2
华东师大版 初中数学按章节目录 七年级上 第1章走进数学世界 §1.1 从实际问题到方程： 第2章有理数 §2.1 正数和负数：1. 相反意义的量；2. 正数与负数；3. 有理数； §2.2 数轴；1. 数轴；2. 在数轴上比较数的大小； §2.3 相反数； §2.4 绝对值； §2.5 有理数的大小比较；1. 数轴；2. 在数轴上比较数的大小； §2.6 有理数的加法；1. 有理数的加法法则； 2. 有理数加法的运算律； §2.7 有理数的减法； §2.8 有理数的加减混合运算；1. 加减法统一成加法；2. 加法运算律在加减混合运算中的应用； §2.9 有理数的乘法；1. 有理数的乘法法则； 2. 有理数乘法的运算律； §2.10 有理数的除法； §2.11 有理数的乘方； §2.12 科学记数法； §2.13 有理数的混合运算； §2.14 近似数和有效数字； 第3章整式的加减 §3.1 列代数式：1. 用字母表示数；2. 代数式； 3. 列代数式； §3.2 代数式的值； §3.3 整式；1. 单项式；2. 多项式；3. 升幂排列与降幂排列； §3.4 整式的加减；1. 同类项；2. 合并同类项； 3. 去括号与添括号； 4. 整式的加减； 第4章图形的初步认识 §4.1 生活中的立体图形； 阅读材料欧拉公式； §4.2 画立体图形；1. 由立体图形到视图；2. 由视图到立体图形； §4.3 立体图形的表面展开图；§4.4 平面图形； §4.5 最基本的图形－点和线；1. 点和线；2. 线段的长短比较； §4.6 角；1. 角；2. 角的比较和运算；3. 角的特殊关系； §4.7 相交线；1. 垂线；2. 相交线中的角；§4.8 平行线；1. 平行线；2. 平行线的识别； 3. 平行线的特征； 第5章数据的收集与表示 §5.1 数据的收集；1. 数据有用吗；2. 数据的收集； §5.2 数据的表示；1. 利用统计图表传递信息；2. 从统计图表获取信息； 七年级下： 第6章一元一次方程； §6.1 从实际问题到方程； §6.2 解一元一次方程；1. 方程的简单变形； 2. 解一元一次方程； 第7章二元一次方程组； §7.1二元次方程组和它的解； §7.2二元一次方程组的解法； §7.3实践与探索； 阅读材料鸡兔同笼； 第8章一元一次不等式； §8.1认识不等式； §8.2解一元一次不等式；1. 不等式的解集； 2. 不等式的简单变形； 3. 解一元一次不等式；§8.3一元一次不等式组； 第9章多边形 §9.1三角形；1. 认识三角形；2. 三角形的外角和；3. 三角形的三边关系； §9.2多边形的内角和与外角和； §9.3用正多边形拼地板；1. 用相同的正多边形拼地板；2. 用多种正多边形拼地板； 第10章轴对称 §10.1生活中的轴对称； 阅读材料剪正五角星； §10.2轴对称的认识；1. 简单的轴对称图形； 2. 画图形的对称轴； 3. 设计轴对称图案； §10.3等腰三角形；1. 等腰三角形；2. 等腰
华东师大版初中数学电 子教材 七年级上册（双击章节下载） 第一章 .rar走进数学世界 第二章.rar 有理数 第三章 .rar 整式的加减 第四章 .rar 图形的初步认识 第五章.rar 数据的收集与表示 七年级下册（双击章节下载） 第六章 .rar 一元一次方程 第七章 .rar 二元一次方程组 第八章.rar 一元一次不等式 第九章.rar 多边形 第十章.rar 轴对称 第十一章.rar 体验不确定现象 八年级上册（双击章节下载） 第十二章 .rar 数的开方 第十三章 .rar整式的乘除 第十四章 .rar 勾股定理 第十五章 .rar 平移与旋转 第十六章 .rar 平行四边形的认识八年级下册（双击章节下载） 第十七章 .rar 分式 第十八章.rar 函数及其图象 第十九章.rar 全等三角形 第二十章.rar 平行四边形的判定 第二十一章.rar 数据的整理与初步处理 九年级上册（双击章节下载） 第二十二章.rar 二次根式 第二十三章.rar 一元二次方程 第二十四章（1） .rar 图形的相似 第二十四章（2） .rar 图形的相似 第二十五章.rar 解直角三角形 第二十六章.rar 随机事件的概率 九年级下册(以下为电子书需要先装阅读器软件包如"Adobe Acrobat Reader"等) 二十七二次函数.rar 二次函数（扫描版）第27章二次函数.rar(word旧版本) 二十八圆.rar 圆
二十九几何的回顾.rar 几何的回顾几何的回顾.rar（word旧版本） 三十样本与总体.rar 样本与总体a样本与总体.rar（word旧版本） 1. 若不给自己设限，则人生中就没有限制你发挥的藩篱。 2. 若不是心宽似海，哪有人生风平浪静。在纷杂的尘世里，为自己留下一片纯静的心灵空间，不管是潮起潮落，也不管是阴晴圆缺，你都可以免去浮躁，义无反顾，勇往直前，轻松自如地走好人生路上的每一步 3. 花一些时间，总会看清一些事。用一些事情，总会看清一些人。有时候觉得自己像个神经病。既纠结了自己，又打扰了别人。努力过后，才知道许多事情，坚持坚持，就过来了。 4. 岁月是无情的，假如你丢给它的是一片空白，它还给你的也是一片空白。岁月是有情的，假如你奉献给她的是一些色彩，它奉献给你的也是一些色彩。你必须努力，当有一天蓦然回首时，你的回忆里才会多一些色彩斑斓，少一些苍白无力。只有你自己才能把岁月描画成一幅难以忘怀的人生画卷。
分式化简、解分式方程和应用题三个重要问题 一、分式化简 1. 在分式的运算中，有整式时，可以把整式看做分母为1的式子，然后再计算。 2. 要注意运算顺序，先乘方、再乘除、后加减，同级运算从左到右（谁在前先 算谁）依次进行。有括号的先算括号里面的 3. 如果分式的分子分母是多项式，可先分解因式，再运算。 4. 注意分式化简题不能去分母. 1.先化简，再求值：23393 x x x ++--，其中1x =-． 2．先化简，再求值 4 421642++-÷-x x x x ，其中 x = 3 ． 3．先化简，再求值：22424412x x x x x x x -+÷--++-，其中x ＝2－2． 4.计算：2228224a a a a a a +-??+÷ ?--?? 5.化简: 35(2)482y y y y -÷+---
6.化简，： 2211()22x y x y x x y x +--++， 7.先化简，再求值：211122 x x x -??-÷ ?++??，其中2x =． 8.计算：22221(1)121 a a a a a a +-÷+---+． 二．分式方程： 解分式方程的步骤： 1、去分母，化分式方程为整式方程两边同乘 以最简公分母，分子要括起来， 2、解整式方程-------去括号、移项、合并同类项、系数化为1 3、检验-------带入最简公分母，若为零，则为増根，应舍去。 1、解分式方程： 2131 x x =--． 2、解方程223-=x x
3、解分式方程： 3131=---x x x 4、解方程： 22333x x x -+=-- 5、解方程 22111x x =--- 6、解方程： x x x -=+--23123. 7、解分式方程： 6122x x x +=-+ 8、 解方程33122x x x -+=--．
七年级上有理数 1．相反意义的量向东和向 西，零上和零下，收入和支出，升高和下降，买进和卖出。 2．正数和负数1 2 +”通常不写）叫正数。0的数（像“+，，+12，1.3258等大于34等在正数前面加“—”（读负）的数叫负数。像-5，-2.8，- 【注】0既不是正数也不是负数。 3．有理数 1）整数：正整数、零和负整数统称为整数。（分数：正分数和负分数统称为分数。有理数：整数和分数统称为有理数。）有理数分类（2 2）按正负分类按有理数的定义分类正整数正整数 整数 0 正有理数 有理数负整数有理数正分数 正分数 0 负整数 分数负有理数 负分数负分数 【注】有限循环小数叫做分数。 （3）数集把一些数组合在一起，就组成了一个数的集合，简称数集。所有的有理数组成的数集叫做有理数集，类似的，有整数集，正数集，负数集，所有的正整数和零组成的数集叫做自然数集或叫做非负整数集，所有负数和零组成的数集叫做非负数集。 4．数轴 1 （1）规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 【注】1）数轴的三要素：原点、正方向、单位长度缺一不可。 2）数轴能形象地表示数，所有的有理数都可用数轴上的点表示，但数轴上的点所表示的数并不都是有理数． （2）在数轴上比较有理数的大小 1）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 2）由正、负数在数轴上的位置可知：正数都有大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。 5．相反数 （1）只有符号不同的两个数称互为相反数，如－5与5互为相反数。 （2）从数轴上看，位于原点两旁，且与原点距离相等的两点所表示的两个数叫做互为相反数。（几何意义） （3）0的相反数是0。也只有0的相反数是它的本身。 （4）相反数是表示两个数的相互关系，不能单独存在。 （5）数a的相反数是—a。 （6）多重符号化简
. 分式计算题精选1.计算（x+y）? 2．化简 3．化简： 4．化简： 5．化简： 6.计算：
. 7. 化简：． 8.化简： 9.化简：． 10计算：． 11.计算：． 12．解方程：．
. 13.解方程： 14.解方程：=0． 15. 解方程：（1） ． 16. 17解方程：﹣=1； ﹣=0． 18.
. 19.已知a 、b 、c 为实数，且满足()() 02)3(432222=---+-+-c b c b a ，求c b b a -+-11的值。 20.已知0232 2=-+y xy x （x ≠0，y ≠0），求xy y x x y y x 2 2+--的值。 21.计算已知211222-=-x x ，求?? ? ??+-÷??? ??+--x x x x x 111112的值。 22.解方程组：??? ????==-92113111y x y x 23.计算（1）已知211222-=-x x ，求?? ? ??+-÷??? ??+--x x x x x 111112的值。
24.4214 121111 x x x x ++++++- 25.x y x y x x y x y x x -÷????????? ??--++-3232
2014寒假初中数学分式计算题精选 参考答案与试题解析 1计算（x+y）?= x+y ． 解：原式=． 2化简，其结果是． 解：原式=??（a+2）+ =+ = = =． 故答案为： = ． 3 解：原式=×=． = ． 4 解：=1﹣=1﹣==．5化简：= ．
（2016年新版）华东师大版初中数学实验教材目录七上 第2章有理数 §2.1 有理数 1. 正数和负数 2. 有理数 §2.2 数轴 1.数轴 2.在数轴上比较数的大小 §2.3 相反数 §2.4 绝对值 §2.5 有理数的大小比较 §2.6 有理数的加法 1. 有理数的加法法则 2. 有理数加法的运算律 §2.7 有理数的减法 §2.8 有理数的加减混合运算 1. 加减法统一成加法 2. 加法运算律在加减混合运算中的应用 §2.9 有理数的乘法 1. 有理数的乘法法则 2. 有理数乘法的运算律 §2.10 有理数的除法 §2.11 有理数的乘方 第3章整式的加减 §3.1 列代数式 1. 用字母表示数 2. 代数式 3. 列代数式 §3.2 代数式的值 §3.3 整式 1. 单项式 2. 多项式 3. 升幂排列与降幂排列 §3.4 整式的加减 1. 同类项 2. 合并同类项 3. 去括号与添括号 4. 整式的加减 第4章图形的初步认识 §4.1 生活中的立体图形 §4.2 立体图形的视图 1. 由立体图形到视图 2. 由视图到立体图形 §4.3 立体图形的表面展开图 §4.4 平面图形 §4.6 角 1. 角 2. 角的比较和运算 3. 余角和补角 第5章相交线与平行线 §5.1 相交线 1. 对顶角 2. 垂线 3. 同位角、内错角、同旁内角 §5.2 平行线 1. 平行线 2. 平行线的判定 3. 平行线的性质 七下 第6章一元一次方程 §6.1 从实际问题到方程 §6.2 解一元一次方程 1. 等式的性质与方程的简单变形 2. 解一元一次方程 第7章一次方程组 §7.1 二元一次方程组和它的解 §7.2 二元一次方程组的解法 *§7.3 三元一次方程组及其解法 §7.4 实践与探索 第8章一元一次不等式 §8.1 认识不等式 §8.2 解一元一次不等式 1. 不等式的解集 2. 不等式的简单变形 3. 解一元一次不等式 §8.3 一元一次不等式组 第9章多边形 §9.1 三角形 1. 认识三角形 2. 三角形的内角和与外角和 3. 三角形的三边关系 §9.2 多边形的内角和与外角和 §9.3 用正多边形铺设地面 1. 用相同的正多边形 2. 用多种正多边形 第10章轴对称、平移与旋转 §10.1 轴对称 1. 生活中的轴对称 2.轴对称的再认识 3.画轴对称图形 4.设计轴对称图案 §10.2 平移 1. 图形的平移 2. 平移的特征 §10.3 旋转 1. 图形的旋转 2. 旋转的特征 3. 旋转对称图形 §10.4 中心对称 §10.5 图形的全等 八上 第11章数的开方 §11.1 平方根与立方根
化简求值常用技巧 在给定的条件下求分式的值，大多数条件下难以直接代入求值，它必须根据题目本身的特点，将已知条件或所求分式适当变形，然后巧妙求解.常用的变形方法大致有以下几种： 1、 应用分式的基本性质 例1 如果12x x + =，则 24 2 1 x x x ++的值是多少? 解：由0x ≠，将待求分式的分子、分母同时除以2x ，得 原式=. 2 2 2 2 11111121 3 1()1 x x x x == = -++ + -. 2、倒数法 例2 如果12x x + =，则 24 2 1 x x x ++的值是多少? 解：将待求分式取倒数，得 4 2 2 22 2 2 1 111()1213x x x x x x x ++=+ +=+ -=-= ∴原式=13 . 3、平方法 例3 已知12x x + =，则2 2 1x x + 的值是多少？ 解：两边同时平方，得 2 2 2 2 1124,42 2.x x x x ++ =∴+ =-= 4、设参数法 例4 已知 0235 a b c ==≠，求分式 2 2 2 2323ab bc ac a b c +-+-的值. 解：设 235a b c k ===，则 2,3,5a k b k c k ===. ∴原式= 22 2 2 2 2323532566.(2)2(3)3(5) 5353 k k k k k k k k k k k ?+??-??= =- +-- 例5 已知 ,a b c b c a ==求 a b c a b c +--+的值. 解：设 a b c k b c a = ==，则 ,,.a bk b ck c ak ===
一、选择题 1．当x ＝1时，下列分式中值为0的是( ) A ． 11 x - B ． 22 2 x x -- C ． 3 1 x x -+ D ． 1 1 x x -- 2．计算221 93x x x +--的结果是（ ） A ． 13 x - B ． 13 x + C ． 13x - D ． 233 9 x x +- 3．分式 x 2 2x 6 -- 的值等于0，则x 的取值是 A ．x 2= B ．x ?2=- C ．x 3= D ．x ?3=- 4．下列式子中，错误的是 A ． 1a a 1 a a --=- B ．1a a 1 a a ---=- C ．1a 1a a a --- =- D ．1a 1a a a +--- = 5．计算： ()3 3 2xy ?-一 的结果是 A ．398x y -- B ．398x y --- C ．391x y 2 --- D ．361x y 2 --- 6．下列运算正确的是（ ） A ．2-3=-6 B ．(-2)3=-6 C ．( 23)-2=49 D ．2-3= 1 8 7．下列各式从左到右的变形正确的是（ ） A ．2211 88 a a a a ---=-++ B ．()() 2 2 1a b a b -+=- C ． 22 x y x y x y +=++ D ． 052520.11y y x x ++=-++ 8．使分式29 3 x x -+的值为0，那么x （ ）． A ．3x ≠- B ．3x = C ．3x =± D ．3x ≠ 9．将分式()0,0xy x y x y ≠≠-中的x .y 扩大为原来的3倍，则分式的值为：（ ） A ．不变； B ．扩大为原来的3倍 C ．扩大为原来的9倍； D ．减小为原来的 13 10．人体中红细胞的直径约为0.000 007 7 m ，用科学记数法表示该数据为 （ ） A ．7.7× 106 B ．7.7×107 C ．7.7×10－6 D ．7.7×10－7
第十六章分式知识点和典型例习题 【知识网络】 【思想方法】 1．转化思想 转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法、分式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等． 2．建模思想 本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历“实际问题———分式方程模型———求解———解释解的合理性”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对培养通过数学建模思想解决实际问题具有重要意义． 3．类比法 本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程． 第一讲 分式的运算 【知识要点】1.分式的概念以及基本性质; 2.与分式运算有关的运算法则 3.分式的化简求值(通分与约分) 4.幂的运算法则 【主要公式】1.同分母加减法则:()0b c b c a a a a ±±=≠ 2.异分母加减法则:()0,0b d bc da bc da a c a c ac ac ac ±±=±=≠≠; 3.分式的乘法与除法: b d bd a c ac ?=,b c b d bd a d a c ac ÷=?= 4.同底数幂的加减运算法则:实际是合并同类项 5.同底数幂的乘法与除法;a m ● a n =a m+n ; a m ÷ a n =a m －n 6.积的乘方与幂的乘方:(ab)m = a m b n , (a m ) n = a mn 7.负指数幂: a -p = 1p a a 0 =1 8.乘法公式与因式分解:平方差与完全平方式 (a+b)(a-b)= a 2 - b 2 ;(a ±b)2= a 2±2ab+b 2 （一）、分式定义及有关题型 题型一：考查分式的定义（一）分式的概念： 形如 A B (A 、B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0)的式子，叫做分式.其中 A 叫做分式的分子,B 叫做分式的分母. 【例1】下列代数式中：y x y x y x y x b a b a y x x -++-+--1 , ,,21,22π，是分式的有： . 题型二：考查分式有意义的条件：在分式中，分母的值不能是零.如果分母的值是零，则分式没 有意义. 【例2】当x 有何值时，下列分式有意义 （1） 44+-x x （2）232+x x （3）122-x （4）3||6--x x （5）x x 11- 题型三：考查分式的值为0的条件： 1、分母中字母的取值不能使分母值为零，否则分式无意义
第三章整式的加减 单元要点分析 教学内容 本单元主要内容：单项式、多项式、整式等有关概念，合并同类项、去括号、整式的加减运算． 课本首先通过实例列式表示数量关系，介绍了单项式、多项式以及整式等有关概念，然后通过对具体问题的解决，类比有理数的运算律，明确了同类项可以合并的道理，明确整式加减的法则以及去括号和添活号法则．这些内容也是对前一章内容的进一步认识．本章在呈现形式上突出了整式及整式加减产生的实际背景，使学生经历实际问题“符号化”的过程，发展符号感，为探索有关运算法则设置了归纳、类比等活动，力求学生对算理的理解和法则的掌握． 三维目标 1．知识与目标 （1）了解单项式、多项式整式等概念，弄清它们之间的联系和区别． （2）掌握单项式系数、次数和多项式的次数、项与项数的概念，?明确它们之间的关系． （3）理解同类项的概念，能熟练地合并同类项． （4）掌握去括号、添括号法则，能准确地去括号和添括号． （5）熟练地进行整式的加减运算． 2．过程与方法 通过丰富的实例、经历观察、分析、交流、概括出单项式、多项式、整式等有关概念；经历类比有理数的运算律，探索整式的加减运算法则．发展有条理的思考及语言表达能力和用数学知识解决实际问题的能力． 3．情感态度与价值观 培养学生主动探究，合作交流的意识．通过将数的运算推广到整式的运算，在整式的运算中又不断地运用数的运算，使学生感受到认识事物是一个由特殊到一般，由一般到特殊的辩证过程． 重、难点与关键 1．重点：理解整式的概念，会进行整式的加减运算． 2．难点：正确区别单项式的次数与多项式的次数，?括号前是负号时去括号或添活号易搞错符号． 3．关键：正确理解整式有关概念及明确运算步骤的依据． 课时划分 2．1 整式 2课时 2．2 整式的加减 3课时 数学活动 1课时 回顾与思考 1课时