2015-2016学年第一学期《高等数学》（2）期末试卷（A 卷）
一、单项选择题（每小题3分）
1、极限222200
sin(3)
lim 3x y x y x y →→+=+( ) A.0 B.2 C.1
D.不存在
2、 方程组22
149
3x y z ?-
=???=?
在空间解析几何中表示( ) （Ａ）双曲柱面； （Ｂ）两平行直线； （Ｃ）双曲线； （Ｄ）平面．
3、设函数f(x,y)=ln(1+x 2+y 2), 则f(x,y)在点（0，0） ( )
A ．取得最大值0
B ．取得最小值0
C ．不取得极值
D ．无法判断是否取得极值
4、微分方程32)(1)xy x y dy y dx +=+（是( )
A.齐次微分方程
B.可分离变量的微分方程
C.一阶线性齐次微分方程
D.一阶线性非齐次微分方程
5、若函数),(y x z z =的全微分y y x x y z d cos d sin d +=，则二阶偏导数y
x z ???2=（ ）
A.x sin -
B.y sin
C.x cos
D.y cos
6、下列各级数中收敛的是 （ ）
A ． 1
1
n n ∞
=∑； B ． 11n n n ∞
=+∑ ；
C ． 13()2n n ∞
=∑ ； D ． 222
n n
∞
=∑．
二、填空题（每小题3分）
1、y ＇=2x 的通解为y =_________.
2、4224(1,0)
+2x z
x ?=?设z=x y +y ,则
3、设三元函数u xyz =, 则du =________________________.
4、微分方程0y 4y 4y =+'-''的通解为
5、设22{(,)|16}D x y x y =+≤，则二重积分d d D
x y =
??
6、1
(1)n n U ∞
=∑-收敛，则lim n n U →∞
=
三、解答题（共计64分） 1、设函数3223+z x x y y =+，求,z z
x y
???? （本题7分 ） 2、设(),z z x y =是由方程3335x y z z ++=所确定的隐函数,求
z
x ?? 及 .z y
??（本题7分 ）
3、 求微分方程dy x
dx y
=-满足初始条件(1)2y =的特解 （本题7分 ）
4、计算二重积分I=23D
x y dxdy ??，其中D 是由直线1,1,0,1x x y y =-===所围成
的区域. （本题7分 ）
5、求一阶线性微分方程32x
y y e '+=的通解 （本题7分 ）
6、用比值审敛法判别级数134
n
n n n ∞
=∑的敛散性 （本题7分 ）
7、求函数322(,)42f x y x x xy y =-+-的极值 （本题7分 ）
8、用级数的敛散性的定义判别级数
1111233445(+1)(2)
n n +++???++??????+的敛散性，若收敛，求出级数的和 （本题7分 ）
9、某工厂生产两种型号的机床，其产量分别为x台和y台，成本函数为
22
=+-（单位：万元），若根据市场调查预测，共需这两种机床16台，问(,)2
C x y x y xy
应如何安排生产，才能使成本最小？（本题8分）
高等数学(2)--期末考试试题
重庆三峡学院 2008 至 2009 学年度第 2 期 高等数学（二）试题（A ） 试题使用对象 ： 全院 2008 级 工科各 专业(本科) 命题人： 陈晓春 考试用时 120 分钟 答题方式采用： 闭卷 说明：1、答题请使用黑色或蓝色的钢笔、圆珠笔在答题纸上书写工整。 2、考生应在答题纸上答题，在此卷上答题作废。 一、 填空题（每小题3分，本题共15分） 1．设22 z x y =+z z y x x y ??-=?? 2．设2 22 :D x y R +≤，则22D x y dxdy += 3．设2 222 :x y z R Ω++≤，则dxdydz Ω =??? 4.级数 ∑∞ =1 1n p n 收敛，则p 5．微分方程1 +=''x e y 的通解 二．单项选择题（每小题3分，本题共15分） 1．存在),(0 y x f x ，) (00y x f y 。则有（ ）。 A ，),(y x f z =在),(0 y x 点连续。 B ，),(y x f z =在),(0 y x 点有定 C ，),(y x f z =在),(0 y x 点可微。 D ，),(y x f z =在),(0 y x 点存在极
2.数∑∞ =1 n n u 收敛，则下列级数（ ）也收敛。 A,1+∑∞=1 n n u B ,∑∞ =+1 ) 1(n n u C ,∑∞=1 n n u D, ∑∞ =--1 1 ) 1(n n u 3. 20 12333 +--+=y x y x z 的极大值点为（ ）。 A(1,2) B(-1,2) C (-1,-2) (1,-2) 4. 设曲线L ：? ? ?==t a y t a x sin cos ] 2,0[π∈t ，则曲线积分 ()?= +L ds y x 22 。 A 、2 a π B 、2 2a π C 、 3 a π D 、3 2a π 5．表达式dy y x Q dx y x P ),(),(+为某一函数的全微分的充要条件是（ ） A 、x P ??=y Q ??； B 、y P ??=x Q ??； C 、x P ??=y Q ??-； D 、y P ??=x Q ??- 。 二、 计算题（每小题8分，共7小题，共56分） 1、设函数),(xy y x f +=μ，具有二阶连续偏导数，求x u ??，y x u ???2。 2、求曲线x t t y t z t t =+=-=+2742542 2,,在点(,,)--561处的切线及法 平面方程。 3、画出积分区域的草图，并计算二重积分??=D dxdy x I 2 ， 其中D 是由曲线2=xy ，2 1x y +=及直线2=x 所围成的区域。 4、求幂级数∑ ∞ =-1 )2(n n n x 的收敛半径与收敛域。 5、设()(02),f x x x =≤≤将f x ()展成以4为周期的正弦级数。
2018年全国硕士研究生入学统一考试 数学二考研真题与全面解析（Word 版） 一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 1.若( ) 2 12 lim 1x x x e ax bx →++=，则（） （A ）1,12a b ==-（B ）1,12a b =-=-（C ）1,12a b ==（D ）1 ,12a b =-= 【答案】(B ) 【解析】由重要极限可得 ()()()22 222 22 11 220 1 1 1 lim 21 1lim lim 1(1)lim 1(1)x x x x x x x x x x e ax bx e ax bx x x e ax bx x x e ax bx e ax bx e ax bx e →→→++-++-? ++-→=++=+++-=+++-=， 因此，2222 22 001 () 12lim 0lim 0x x x x x ax bx x e ax bx x x →→++++++-=?=ο 或用“洛必达”：2(1)200012212lim 0lim lim 0222 x x x b x x x e ax bx e ax b e a a x x ?=-→→→++-++++=?=======， 故1 ,12 a b ==-，选（B ）. 2.下列函数中在0x =处不可导的是（） （A ）()sin f x x x =（B ）()sin f x x x = （C ）()cos f x x =（D ）()cos f x x = 【答案】(D ) 【解析】根据导数定义，A.0 00sin ()(0) lim lim lim 0x x x x x x x f x f x x x →→→-===，可导； B.0 00sin ()(0) lim lim lim 0x x x x x x x f x f x x x →→→-===,可导；
北京理工大学珠海学院 2010 ～ 2011学年第二学期《高等数学(A)2》期末试卷A （答案） 适用年级专业：2010级信息、计算机、机械与车、化工与材料学院各专业 一．选择填空题（每小题3分，共18分） 1.设向量 a =（2,0,-2）,b = （3,-4,0），则a ?b = 分析：a ?b = 2 234 i j k -- = -6j – 8k – 8i = （-8,-6,-8） 2.设 u = 2 2 3 x xy y ++.则 2u x y ??? = 分析：u x ?? = 22x y +, 则2u x y ??? = 2' (2)x y += 2y 3.椭球面 2 2 2 2315x y z ++= 在点（1,-1,,2）处的切平面方程为 分析：由方程可得，2 2 2 (,,)2315F x y z x y z =++- ，则可知法向量n =（ Fx, Fy, Fz ）; 则有 Fx = 2x ， Fy = 4y ， Fz = 6z ，则过点（1,-1,,2）处的法向量为 n =（2,-4,,12） 因此，其切平面方程为：2(1)4(1)12(2)0x y z --++-= ，即 26150x y z -+-= 4.设D ：y = x, y = - x, x = 2直线所围平面区域.则 (2)D y d σ+=??___________ 分析：画出平面区域D （图自画），观图可得， 2 (2)(2)8x x D y d dx y dy σ-+=+=???? 5.设L ：点(0 , 0 )到点(1 , 1)的直线段.则 2L x ds =? _________ 分析：依题意可知：L 是直线y = x 上点(0 , 0 )与点(1 , 1)的一段弧，则有 1 1 2 L x ds x x === ? ?? 6.D 提示：级数 1 n n u ∞ =∑发散，则称级数 1 n n u ∞ =∑条件收敛 二.解答下列各题（每小题6分，共36分）
１ 高等数学（A2）试卷（二） 答案及评分标准 一、选择题（本大题共8小题，每题4分，共32分） 1. B, 2. D, 3. B, 4. C, 5. D, 6. B, 7. D, 8. B. 二、计算题（本大题共4小题，没题7分，共28分） 1． 设),(y x z z =是由方程333a xyz z =-确定的隐函数, 求dz . 解: 方程两边对x 求导,得 03332='--'x x z xy yz z z (1分) 解得 xy z yz z x -= '2 (3分) 方程两边对x 求导,得 xy z xz z y -= '2 (5分) 所以, )(2 xdy ydx xy z z dz +-= (7分) 2． 求?? -= D dxdy y x I 22, D 由1,==x x y 及x 轴围成. 解: x y x D ≤≤≤≤0,10:, 故有 ? ? -= 10 22x dy y x dx I (2分) 令t x y cos =, 则有 ? ?=10 20 22 sin π tdt dx x I (6分) 12 π = (7分) 3． 求函数)1ln()(432x x x x x f ++++=的麦克劳林展开式及收敛区间. 解: x x x f --=11ln )(5 (2分) 由∑ ∞=-≤<--= +11 )11() 1()1ln(i n n t n t t , 可得 (4分) ∑∞ =<≤--=-155 )11()1ln(i n x n x x (5分) ∑∞ =<≤--=-1)11()1ln(i n x n x x (6分) 所以, ∑∑∞=∞ =<≤--=151)11()(i n i n x n x n x x f (7分) 4． 求微分方程1 cos 1222-=-+'x x y x x y 满足1)0(=y 的特解. 解: 方程两边同乘1)(2122-=?=-- x e x dx x x μ得 (2分) x y x dx d cos ])1[(2=-, c x y x +=-sin )1(2 (4分) 通解为, 1 sin 2 -+=x c x y (5分) 由1)0(=y 得1-=c , 所求特解为1 1 sin 2 --=x x y (7分) 三、计算题(本题8分) 用高斯公式计算?? ∑ ++= dxdy z dzdx y dydz x I 222, 其中∑为立体 c z b y a x ≤≤≤≤≤≤Ω0,0,0:的表面外侧. 解: 由高斯公式可得
考试科目： 高等数学 考试时间：120分钟 试卷总分100分 一、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在括号中）（本大题共5 小题，每小题4分，总计20分） １、设L 是2 2 2 a y x =+（0>a ）的正向圆周，则y y xy x y x x L d )(d )(3223? -+-的 值为（ ）． (A) 2π4a ； (B) 4 πa -； (C) 4πa ； (D) 33 π2a ． ２、设 Ω为立方体：10≤≤x ，10≤≤y ，10≤≤z ，则 =??? Ω z y x y x d d d 2 （ ）． (A) 31 ； (B) 41； (C) 61； (D) 8 1 ３、幂级数 () ∑∞ =-1 1n n n n x 的收敛域为（ ）. (A) ]1,1[-； (B) )1,1[-； (C) ]1,1(-； (D) )1,1(-. 4、设a ，b +=-，则必有（ ）． (A) =+； (B) =-； (C) =?； (D) 0=? ． ５、微分方程x x y y y 2e e 36+=+'-''的特解应具有的形式为（ ）. （A ）)e e (2x x B A x +； （B ）x x B A 2e e +； （ C ）x x Bx A 2e e +； （ D ）x x B Ax 2e e +. 二、填空题（将正确的答案填在横线上）（本大题共5小题，每小题4分，总计20分） １、设y x u =（0>x ，1≠x ），则.= u d .
2、曲线 ?? ???==-01 422 z x y 绕x 轴旋转一周，所得的旋转曲面的方程为 . 3、设∑的方程为22y x z += 在10≤≤z 部分的上侧，则??∑ =y x z d d 2 . 4、设2 2 2),,(z xy x z y x f ++=，则),,(z y x f 在点)2,1,1(-处沿方向{}1,2,2-=l 的方向导数为 . 5、设D 是两坐标轴及直线1=+y x 围成的区域，则 ??+D y x y x d d )(的值为 . 三、解答下列各题（1、2、3、4每小题7分，5、6每小题10分，总48分） 1、求过点)4,2,1(-A 且与二平面02=-+z y x 及023=++z y x 都平行的直线方程. 2、求曲面0582 =++--z x xy x 在点)1,3,2(-处的切平面与法线方程.
高数测试题二 (导数及应用) . )arctan 2 (lim )3();cot 1( lim )2(;sin 4cos lim )1(.12 20 3 x x x x x x x x x x x π +∞ →→→--求求求极限： ._____) (2)()(lim )(''.22 =--++=→h a f h a f h a f a x x f h 点附近连续，则在设.),0()1 1()(..3的单调性在函数讨论+∞+=x x x f 也是极小值 是极小值，也是极大值 是极大值，是极大值 是极小值，是极小值 是极大值，，下列命题中正确的是设)2 ()0()D ()2 ()0()C ()2()0()B ()2()0()A (._____cos sin )(.4π ππ π f f f f f f f f x x x x f += .)()2();0()1(0 ,arctan 0 ,)(.53的单调增减区间确定，求：设x f f x x x x x x f '???≥<-= 拐点； 函数图形的凹凸区间及； 函数的增减区间及极值，求已知函数)2()1()1(.62 3 -=x x y (D)3(C)1(B)2 (A). _____33 ln 2.7=-===-+=y y y y x x y 的水平渐近线方程为函数 .,1)3,1(.823b a bx ax y 的拐点，求是曲线设++= 何者更大，为什么？ 和，问设22 21212 1e e 20.9x x x x x x <<< . )(e 0.10x a a a x a a x +<+>>，证明：，常数设 . 0)(')1,0(:). 0(d )(3)1,0(]1,0[)(.111 3 2==?ξξf f x x f x f ，使得内存在一点在证明内可导，且上连续，在在设函数 ) (')(2)('),1,0(.0)0()1,0(]1,0[)(.12ξξξξξf f f f x f =+∈=使试证：至少存在一点 内可导，且上连续，在在设 还是极小值点？ ，的极值点，是极大值点为的极值点？如果是否是试判定，，且的一个解，若是方程设)()(0)('0)(04'2'')(..130000x f x x f x x f x f y y y x f y =>=+-=
一. 选择题（每个小题给出的选项中，只有一项符合要求：本题共有5个小题，每 小题4分，共2０分） 1.当0→x 时,1sec -x 是2 2 x 的（ ）. .A 高阶无穷小 .B 低阶无穷小 .C 同阶但不是等阶无穷小 D .等阶无穷小 2.下列四个命题中成立的是（ ）. .A 可积函数必是连续函数 .B 单调函数必是连续函数 .C 可导函数必是连续函数 D .连续函数必是可导函数 3.设()x f 为连续函数,则()?dx x f dx d 等于( ). .A ()C x f + .B ()x f .C ()dx x df D .()C dx x df + 4.函数()x x x f sin 3=是（ ）. .A 偶函数 .B 奇函数 .C 周期函数 D .有界函数 5.设()x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,内可导,()()b f a f =, 则在()b a ,内，曲线()x f y =上平行于x 轴的切线（ ）. ()A 不存在 ()B 仅有一条 ().C 不一定存在 ().D 至少有一条 二.填空题:(只须在横线上直接写出答案,不必写出计算过程,每小题4分,共40分) 1.设函数()???>+≤=0 ,0,x x a x e x f x 在0=x 处连续，则 __________=a . 2.()()().___________________311sin lim 221=+--→x x x x 3..___________________________1lim 2=++--∞→x x x x x
4.设函数()x f 在点1=x 处可导，且()11 ==x dx x df ，则()()._______121lim 0=-+→x f x f x 5.设函数()x x f ln 2=，则 ().____________________=dx x df 6.设x e 为()x f 的一个原函数，则().___________________=x f 7.()._________________________2=?x dt t f dx d 8. ._________________________0=? ∞+-dx e x 9. ().________________________2= +?-ππdx x x 10.幂级数()∑∞=-022n n n x 的收敛半径为.________________ 三.计算题:(每小题6分,共60分) 1.求极限()()()()()x b x a x b x a x ---+++∞→lim . 2.求极限()n n n n n n 75732lim +-++∞→. 3.设()b ax e y +=sin ，求dy . 4.设函数x xe y =，求0 22=x dx y d . 5.设y 是由方程()11sin =--x y xy 所确定的函数,求(1).0=x y ; (2).0 =x dx dy . 6.计算不定积分?+dx x x 132. 7.设函数()???≤<≤≤=2 1,210,2x x x x x f ，求定积分()?20dx x f .
中国计量大学2016 ~ 2017 学年第2学期 《高等数学A2》课程试卷(A)参考答案及评分标准 开课二级学院：理学院，学生班级： ，教师： 一、填空题（每题3分，共30分） 1、22 (1)(2)44x z y -++=- 2、3 3、23 4、2 5、sin xy z ye z x -- 6、11122223211(1)x x f f f f y y y y --+-- 7、10(,)y e e dy f x y dx ?? 8、9、[2,4)- 10、12a a - 二、计算与解答题（每小题8分，共64分） 1. 解：设过点(1,1,2)-的所求直线方程为112x y z m n l -+-==，即参数方程为1x mt =+，1y nt =-，2z lt =+，由已知条件有230m n l -+=， （4分） 而相交的直线的参数方程为x t =，31y t =--，21z t =+，因两直线相交，得3n =-， 1112t m l = =--，即有1l m -=，解得15l =-，65 m =-，故直线方程为 1126151x y z -+-==. （4分） 2．解: 设平面方程为 (1)(1)(1)0A x B y C z -+++-=，连接两点得向量(1,2,4)--，故有 240A B C -+-= （4分） 而平面与121123x y z +--==--平行，所以 230A B C --+=，解得 2C A =-，72 B A =-， 即所求平面方程为 2745x y z --=. （4分） 3. 解：y D e dxdy ??22234y y y e dy dx ---=??， （4分） 223(6)y y y e dy -= --?233+7e e -=. (4分) 4．解：2L xdy x ydx -?2 2220(2(1))x x x dx =-+? (4分) 2 240()x x dx =-?5615 =- （4分）
模拟试卷一 ―――――――――――――――――――――――――――――――――― 注意：答案请写在考试专用答题纸上，写在试卷上无效。（本卷考试时间100分） 一、单项选择题（每题3分，共24分） 1、已知平面π：042=-+-z y x 与直线1 1 1231: -+= +=-z y x L 的位置关系是（ ） （A ）垂直 （B ）平行但直线不在平面上 （C ）不平行也不垂直 （D ）直线在平面上 2、=-+→→1 123lim 0xy xy y x （ ） （A ）不存在 （B ）3 （C ）6 （D ）∞ 3、函数),(y x f z =的两个二阶混合偏导数y x z ???2及x y z ???2在区域D 内连续是这两个二阶混合 偏导数在D 内相等的（ ）条件. （A ）必要条件 （B ）充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）非充分且非必要条件 4、设 ??≤+=a y x d 224πσ，这里0 a ，则a =（ ） （A ）4 （B ）2 （C ）1 （D ）0 5、已知 ()()2 y x ydy dx ay x +++为某函数的全微分，则=a （ ） （A ）-1 （B ）0 （C ）2 （D ）1 6、曲线积分=++?L z y x ds 2 22（ ），其中.110:222? ??==++z z y x L （A ） 5 π （B ）52π （C ）53π （D ）54π 7、数项级数 ∑∞ =1 n n a 发散，则级数 ∑∞ =1 n n ka （k 为常数）（ ） （A ）发散 （B ）可能收敛也可能发散 （C ）收敛 （D ）无界 8、微分方程y y x '=''的通解是（ ） （A ）21C x C y += （B ）C x y +=2 （C ）22 1C x C y += （D ）C x y += 2 2 1 二、填空题（每空4分，共20分）
《高等数学b2》期末考试试卷（A 卷） 1．微分方程02=-'+''y y y 的通解为 ( )． （A ）x x e C e C y 221+=- （B ） x e x C C y -+=)(21 （C ）x x e C e C y 221-+= （D ） )sin cos (21x C x C e y x += （其中1C 、2C 为任意常数） 2．点)1,1,2(到平面01=+-+z y x 的距离是 ( )． （A ）3 （B ） 3 1 （C ）2 （D ） 5 3．设二元函数),(y x f 在点),00y x （处的两个偏导数都存在，则函数),(y x f 在该点处（ ）． （A ）连续 （B ）不连续 （C ）可微 （D ）不一定可微 4．0lim =∞ →n n u 是级数 ∑∞ =1 n n u 收敛的（ ）． （A ） 必要非充分条件 （B ） 充分非必要条件 （C ） 充分必要条件 （D ） 既非充分又非必要条件 5．设曲线L 的方程为)0(2 2 2 >=+R R y x ，则? +L ds y x 22等于（ ）． （A ）R π2 （B ）2 2R π （C ）R π （D ）2 R π 6．下列级数中发散的是（ ）． （A ）∑∞ =-1 )1(n n n （B ） ∑∞ =1 21 n n （C ） ∑∞ =1 1 sin n n （D ） ∑∞ =12 3 n n n 1．函数xy e z =当1=x 、2=y 时的全微分=dz ． 2．直线1 3411: 1+=-=-z y x L 与直线1222:2-= -+=z y x L 的夹角=? ． 3．若幂级数 ∑∞ =-0 )1(n n n x a 的收敛半径是1，则该级数在开区间 内收敛． 4．交换积分次序=??1 10 2),(x dy y x f dx ． 5．已知1=y 、x y =、2 x y =是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则该方程的通解为 ． 6．函数x x f =)(在),[ππ-上可以展成傅里叶级数为 ∑∞ =++1 0)sin cos (2n n n nx b nx a a ，则 =2b ． 一、选择题（每小题4分，共24分） 二、填空题（每小题4分, 共24分）
一、 填空题（本大题共5题，每题2分，共10分。请直接将正确结果填 入各题的空格处） 1. 函数2 2 1y x z --= 的定义域 ； 2. 由方程z e xz yz xy =+-所确定的隐函数),(y x z z =在点()1,1处的全微分1 1==y x dz = ； 3. 变换二重积分 ? ?= = b a x a I dy y x f dx I 的积分次序后 ),( ； 4. 将函数()2 cos x x f =展开成x 的幂级数为 ； 5. 微分方程0='-''y y 的通解是 。 二、 选择题（本大题共5题，每题2分，共10分。每小题有四个选项， 其中有且只有一个选项正确，请将正确选项的代号字母填入括号内） 6. 在空间解析几何中方程42 2=+y x 表示（ ）。 A ．圆 B ．平面 C ．圆柱面 D ．球面 7. 设函数2 2 y x z =，则 =??22 x z （ ）。 A. 2 2y B. xy 4 C. y 4 D. 0 8. 设(){}01,01,≤≤-≤≤-=y x y x D ，则??D dxdy 等于（ ）。 A ．－1 B ．1 C ．2 D ．－2 9. 级数∑∞ =1 21 n n （ ）。 A. 发散 B.收敛，其和为2 C.收敛，其和为1 D.收
敛，其和为3 10. 下列方程中，（ ）是二阶线性齐次微分方程。 A ． y y dx y d ='+22 B ． y x y '+=''2 )( C ．y y x y '+=''2 D ．x y y y +'=''2 )( 三、 计算题（本大题共9题，每题7分，共63分。解答须有主要解题步 骤，说明必要的理由） 11. 设),(v u f z =，y x u 2 =，y x v = ，求 y z x z ????, 。 12. 求函数12 2 ++=y x z 在条件03=-+y x 下的极值。 13. ?? D xyd σ，其中D 是由抛物线x y =2及直线2-=x y 所围成的 闭区域。 14. 计算??D dxdy y 2，其中D 为：412 2≤+≤y x 。（要求画草图。提 示：在极坐标下计算） 15. 计算由y x z ++=1，1=+y x ，0=x ，0=y 及0 =z 所围成立体的体积 16. 判断级数∑ ∞ =12 sin n n n α的敛散性； 17. 求幂级数n n x n ∑ ∞ =1 1的收敛区间与和函数。 18. 求解微分方程xy x y -= '1。
2007—2008学年第二学期 高等数学（2-2）期末试卷(A)参考答案 一、填空题：1~6小题，每小题4分，共24分. 请将答案写在指定位置上. 1. 平面1:0y z -=∏与平面2:0x y +=∏的夹角为 3 π . 2. 函数2 2y x z +=在点)2,1(处沿从点)2,1(到点)32,2(+的方向的方向导数为3 21+. 3. 设(,)f x y 是有界闭区域2 22:a y x D ≤+上的连续函数，则当0→a 时， = ??→D a dxdy y x f a ),(1 lim 20π) 0,0(f . 4. 区域Ω由圆锥面2 2 2 x y z +=及平面1=z 围成，则将三重积分 f dv ??? Ω 在柱面坐标系下 化为三次积分为 211 ()πθ? ??r d dr f r rdz . 5. 设Γ为由曲线3 2,,t z t y t x ===上相应于t 从0到1的有向曲线弧，R Q P ,,是定义在Γ上的连续 三元函数，则对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分有： Pdx Qdy Rdz Γ ++= ? 6. 将函数()1(0)f x x x π=+≤≤展开成余弦级数为 )0()5cos 51 3cos 31(cos 4 12 122ππ π ≤≤+++ - += +x x x x x Λ. 二、单项选择题：7~12小题，每小题3分，共18分。下列每题给出的四个选项中，只有一项符合题 目要求，请将所选项前的字母填在题后的括号内. 7. 若(,)z f x y =有连续的二阶偏导数，且(,)xy f x y K ''= (常数)，则(,)y f x y '=（ D ） (A) 2 2 K ； (B) Ky ； (C) ()?+Ky x ； (D) ()?+Kx y . 8. 设()f x 是连续的奇函数，()g x 是连续的偶函数，区域{(,)01,D x y x y =≤≤-≤≤，则 下列结论正确的是（ A ）. (A) ()()0D f y g x dxdy =??； (B) ()()0D f x g y dxdy =??； (C) [()()]0D f x g y dxdy +=??； (D) [()()]0D f y g x dxdy +=??.
成人高考（专升本理工）数学模拟试卷2 一、选择题（每小题4分，共40分） 1、1 1lim 21--→X X x ( C ) A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 2、函数)(x f 的函数13)(2'--=x x x f ，曲线)(x f 在2=x 处的切线斜率（ C ） A 、3 B 、5 C 、9 D 、11 3、函数21x y =，='y （ B ） A 、31x - B 、32x - C 、31x D 、x 1 4、函数)(x f 在区间),(+∞-∞单调增加，则使)2()(f x f φ成立的取值范围是（ A ） A 、)2(∞+， B 、)0,(-∞ C 、)2,(-∞ D 、)2,0( 5、函数1cos +=x y ，则=dy （ C ） A 、dx x )1(sin + B 、dx x )1(cos + C 、xdx sin - D 、xdx sin 6. ()=-?dx x x sin ( B ) A C x x ++cos 2 B C x x ++cos 22 C C x x +-sin 2 D C x x +-sin 22 7. ?-=π πxdx sin ( A ) A 0 B 1 C 2 D π 8.设函数33y x z +=，则=??y z ( D ) A 2 3x B 2233y x + C 44 y D 23y
9.设函数3 2y x z =，则=??22x z ( A ) A 32y B 26xy C 26y D xy 12 10.随机事件A 与B 为互不相容事件，则)(AB P =( D ) A )()( B P A P + B )()(B P A P C 1 D 0 二 填空题（每小题4分，共40分） 11.已知函数? ??+≤=0,10,sin )(φx x x x x f ，则)0(f = 0 ； 12. =--→2 )2sin(lim 2x x x 1 ； 13.曲线 22x y =在点（1，2）处的切线方程为y= 4x-2 ； 14.设函数x y sin =，则'''y = -cosx ； 15.函数x x y -=2 2的单调增加区间是 (1,+ ∞) ； 16. =?dx x 5 661X ； 17. ?=+x dt t t dx d 0 )arctan ( x x arctan + ； 18. =+?-dx x x x 1123)cos ( 3 2 ； 19.设函数y e z x +=，则=dz dy dx e x + ； 20.设函数).(y x f z =可微，且()00,y x 为其极值点，则 =??)(0,0y x x z 0 ； 三、解答题：21-28 （21-25:8分/题，26-28：10分/题） 21、计算x x x 20 )1(lim +→ 解：=210)1(lim ?→+x x x =2e
西南交通大学2016-2017学年第2 学期 高等数学A 期末考试试卷 2016~2017学年第2 学期 考试科目：高等数学A 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．二元函数2ln(21)z y x =-+的定义域为 。 2. 设向量(2,1,2)a =，(4,1,10)b =-，c b a λ=-，且a c ⊥，则λ= 。 3．经过(4,0,2)-和(5,1,7)且平行于x 轴的平面方程为 。 4．设yz u x =，则du = 。 5．级数11 (1)n p n n ∞ =-∑，当p 满足 条件时级数条件收敛。 二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．微分方程2()'xy x y y +=的通解是 （ ） A ．2x y Ce = B ．22x y Ce = C ．22y y e Cx = D ．2y e Cxy = 2．求极限 (,)(0,0)lim x y →= （ ） A ． 14 B ．12- C ．1 4 - D ．12
3．直线: 327 x y z L ==-和平面:32780x y z π-+-=的位置关系是 （ ） A ．直线L 平行于平面π B ．直线L 在平面π上 C ．直线L 垂直于平面π D ．直线L 与平面π斜交 4．D 是闭区域2222{(,)|}x y a x y b ≤+≤， 则D σ= （ ） A ．33()2b a π- B ．332()3b a π- C ．334()3b a π- D ．333()2 b a π - 5．下列级数收敛的是 （ ） A ．11(1)(4)n n n ∞ =++∑ B ．2111n n n ∞=++∑ C ．1121n n ∞=-∑ D ．1 n ∞ = 三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1. 求微分方程'x y y e +=满足初始条件0x =，2y =的特解。 2. 计算二重积分22 D x y dxdy x y ++?? ，其中22 {(,)1,1}D x y x y x y =+≤+≥。 3．设(,)z z x y =为方程2sin(23)43x y z x y z +-=-+确定的隐函数，求z z x y ??+??。
《高等数学（二）》期末复习题 一、选择题 1、若向量与向量)2,1,2(-=a 平行，且满足18-=?，则=（ ） （A ） )4,2,4(-- （B ）(24,4)--， （C ） (4,2,4)- （D ）(4,4,2)--. 2、在空间直角坐标系中，方程组2201x y z z ?+-=?=? 代表的图形为 ( ) （A ）直线 (B) 抛物线 （C ） 圆 (D)圆柱面 3、设2 2()D I x y dxdy =+??，其中区域D 由222x y a +=所围成，则I =（ ） (A) 22 4 a d a rdr a π θπ=? ? (B) 2240 2a d a adr a π θπ=?? (C) 2230 023a d r dr a π θπ=? ? (D) 224001 2 a d r rdr a πθπ=?? 4、 设的弧段为：2 30,1≤≤=y x L ，则=? L ds 6 （ ） （A ）9 (B) 6 （C ）3 (D) 2 3 5、级数 ∑∞ =-1 1 )1(n n n 的敛散性为 （ ） （A ） 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 敛散性不确定 6、二重积分定义式∑??=→?=n i i i i D f d y x f 1 0),(lim ),(σηξσλ中的λ代表的是（ ） （A ）小区间的长度 (B)小区域的面积 (C)小区域的半径 (D)以上结果都不对 7、设),(y x f 为连续函数，则二次积分??-1010 d ),(d x y y x f x 等于 ( ) （A ）??-1010 d ),(d x x y x f y (B) ??-1 010 d ),(d y x y x f y (C) ??-x x y x f y 10 1 0d ),(d (D) ?? 10 1 d ),(d x y x f y 8、方程2 2 2z x y =+表示的二次曲面是 ( ) （A ）抛物面 （B ）柱面 （C ）圆锥面 （D ） 椭球面
06/07试卷（B ） （本试卷共 4 页） 1、函数?????=≠+= 0001sin 1sin ),(xy xy x y y x y x f ，则极限),(lim 00y x f y x →→= 。 (A)不存在 (B)等于1 (C)等于零 (D)等于2 2、设函数221y x z +-=，则点(,)00是函数z 的 （A ）极大值点但非最大值点 （B ）极大值点且是最大值点 （C ）极小值点但非最小值点 （D ）极小值点且是最小值点 3、设f (x ,y )为连续函数，则积分 可交换积分次序为 4、 级数 ()∑∞=??? ??--1c o s 11n n n α （常数0>α） （A ）发散； （B ）条件收敛； （C ）绝对收敛； （D ）敛散性与α有关。 5、幂级数n n n x n 2131-∞=∑??? ??+的收敛半径是 (A) 1 ； (B) 3e ； (C) 3-e ； (D) 1-. 6、微分方程x x y y 2cos =+''的一个特解应具有形式 （A ）x D Cx x B Ax 2sin )(2cos )(+++ （ B ）x Bx Ax 2cos )(2+ （ C ）x B x A 2sin 2cos + （ D ）x B Ax 2cos )(+ （本大题共 4小题，每小题4分，总计 16 分 ） xy y x y x y x f =+=),(,),(22?，则[]),(),,(y x y x f f ?=?????? 。 3231,2,t z t y t x ===在点31,2,1(处的切线方程是 。 ),(y x 处的切线斜率为该点横坐标的平方，则此曲线的方程是 。 ()∑∞=-01n n n x a 在1-=x 处收敛，在3=x 处发散，则它的收敛域是 . 二. 解答下列各题（本大题共 2小题，总计 12 分 ） 1、（5分）设)tan ln(x y z =，求y x z z ,。 2、（7分）求函数xy z e u z +-=在点（2,1,0）处沿曲面3=+-xy z e z 法线方向的方向导数。
高等数学(下)期末试卷参考答案 一、单项选择题(每题２分,总计１０分)。 1、),(00y x f x 与),(00y x f y 存在就是函数),(y x f 在点),(00y x 连续的( )。 A 、必要非充分的条件; B 、充分非必要的条件; C 、充分且必要的条件; D 、即非充分又非必要的条件。 3、设)ln(222z y x u ++=,则)(u grad div ＝( )。 A 、2221z y x ++; B 、2222z y x ++; C 、2222)(1z y x ++; D 、2222) (2z y x ++ 3、设D 就是xoy 面上以)1,1(),1,1(),1,1(---为顶点的三角形区域,1D 就是D 中在第一象限的部分,则积分??+D d y x y x σ)sin cos (3 3＝( ) A 、σd y x D ??1sin cos 23; B 、??132D yd x σ; C 、??+1 )sin cos (433D d y x y x σ; D 、0 4、设∑为曲面)0(222>=+R R y x 上的10≤≤z 部分,则??∑++dS y x e y x )sin(2222＝( )。 A 、0; B 、2sin Re R R π; C 、R π4; D 、2sin Re 2R R π 5、设二阶线性非齐次方程)()()(x f y x q y x p y =+'+''有三个特解x y =1,x e y =2,x e y 23=,则其通解为( )。 A 、x x e C e C x 221++; B 、x x e C e C x C 2321++; C 、)()(221x x x e x C e e C x -+-+; D 、)()(2221x e C e e C x x x -+- 二、填空题(每题３分,总计１５分)。 1、函数y xy ax x y x f 22),(22+++=在点)1,1(-处取得极值,则常数a ＝______。 2、若曲面2132222=++z y x 的切平面平行于平面02564=++-z y x ,则切点坐标为____________。 3、二重积分dx e y dy y x ??-1103的值为______________。 4、设空间立体Ω所占闭区域为0,0,1≥≥≤++y x z y x ,Ω上任一点的体密度就是
考试类型：一纸闭卷（ ）；完全闭卷（√）；开卷（ ） 浙江外国语学院 2015年毕业清考 课程名称 高等数学(二) 课程编号3040703003 学院 班级 学号 姓名 一、单项选择题（本大题10小题，每小题3分，共 30 分）每小题后列出的四个备选项中只有一个符合题目要求，请将其代码填写在括号中，错选、多选或未 选均无分。 1. 二元函数2 2221 arcsin 4ln y x y x z +++=的定义域是( ). （A ）412 2 ≤+≤y x ； （B ）412 2 ≤+ 3. =),(0y x f x ( ). （A ）))((x y x f y x x f x ?-?+→?00000 ,,lim （B ）))((x y x f y x x f x ?-?+→?00000,,lim （C ）))((x y x f y x x f x ?-?+→?,,lim 000 （D ）)) ((x y x f y x x f x ?-?+→?,,lim 000 4. 已知二重积分??=D dxdy 1，则围成区域Ｄ的是（ ） ． (A) 21||= x ，3 1 ||=y (B) x 轴，y 轴及022=-+y x (C) x 轴，2=x 及x y = (D) 1=+y x ，1=-y x 5. 下列不等式正确的是（ ） (A) 0)(331 2 2 >+?? ≤+σd y x y x (B) 0)(221 22 >+?? ≤+σd y x y x (C) 0)(1 22>+?? ≤+σd y x y x (D) 0)(1 22>-?? ≤+σd y x y x 6. ? ?-x dy y x f dx 10 1 ),(=( ) (A) ?? -1 010 ),(x d y x f dy x (B)??-x x d y x f dy 10 1 0),( (C) ? ?-y x d y x f dy 10 1 ),( (D) ??1 10),(x d y x f dy 7. 下列级数中,收敛的是( ). (A) 11)45(-∞ =∑n n (B) 11)54(-∞=∑n n (C) 1 11)45()1(-∞=-∑-n n n (D) ∑∞ =-+11)5445(n n 8. 设a 为非零常数,则当( )时,级数 ∑∞ =1 n n r a 收敛 . (A) ||||a r > (B) ||||a r > (C) 1||≤r (D)1||>r
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