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离散数学第6章_代数系统

离散数学 第6章 习题解答

第6章 习题解答 6.1 A:⑨; B:⑨; C:④; D:⑥; E:③ 分析 对于给定的集合和运算判别它们是否构成代数系统的关键是检查集合对给定运算的封闭性,具体方法已在5.3节做过说明. 下面分别讨论对各种不同代数系纺的判别方法. 1°给定集合S 和二元运算°,判定是否构成关群、独导点和群. 根据定义,判别时要涉及到以下条件的验证: 条件1 S 关于 °运算封闭: 条件2 °运算满足结合集 条件3 °运算有幺元, 条件4 °.,1S x S x ∈∈?- 其中关群判定只涉及条件1和2;独导点判定涉及条件1、2、和3;而群的判定则涉及到所有的四个条件。 2 ° 给定集合S 和二元运算 °和 *,判定是否构成环,交换环,含幺环,整环,域.根据有关定义需要检验的条件有: 条件1 S 构成交换群, 条件2 构成关群, 条件 3 * 对 °运算的分配律, 条件4 * 对运算满足交换律, 条件5 * 运算有幺元, 条件6 * 运算不含零因子——消去律, 条件7 ,0,,2||≠∈?≥x S x S 有S x ∈-1(对*运算). 其中环的判定涉及条件1,2和3;交换环的判定涉及条件1,2,3和4;含幺环的判定涉及条件1,2,3和5;整环的判定涉及条件1-6;而域的判定则涉及全部7个条件. 3° 判定偏序集≤><,S 或代数系统><,*, S 是否构成格、分本配格、有补格和布尔格. 若≤><,S 为偏序集,首先验证y y x ∧?,和y x ∨是否属于S.若满足条件则S

为格,且>∧∨<,,S 构成代数系统.若><,*, S 是代数系统且°和*运算满足交换律、结合律和吸收律,则><,*, S 构成格。 在此基础上作为分配格的充分必要条件是不含有与图6.3所示的格同构的子 格。而有补格和布尔格的判定只要根据定义进行即可。 注意对于有限格,只要元素个数不是2的幂,则一定 不是布尔格。但元素个数恰为n 2的有限格中只有唯一 的布尔格。 以本题为例具体的判定过程如下: (1) 由12S n n n ?=+可知1S 对+运算不封闭,根本不构成代数系统。 (2)由242*2S ?=可知2S 对*运算不封闭,也不构成代数系统。 (3)3S 关于,* 运算封闭,构成代数系统。且3S 关于模n 加法 满足交换群的定义,关于模n 乘法*满足关群的定义,且*对 有分配律。因而><,*,3 S 构成环。但当n=6时,有6.02*33*2S ==中含有零因子2和3,不是整环,也不是域。类似地分析可知,当n 为合数时,n S 不是域,但n 为素数时n S 构成域。 (4)4S 是偏序集。对于小于等于关系},max{},,min{,y x y x y x y x =∨=∧≤,显然有4,S y x y x ∈∨∧,构成格。但4S 不是有补格,2和3没有补元,也不是布尔代数。 (5)容易验证5S 关于矩阵加法构成群。 6.2 A:②; B:③; C:⑦; D:⑩; E:⑨ 分析 此处的G 实际上是n Z Z .4关于模n 加法构成群,但关于模n 乘法只构成独导点,而不构成群,因为0没乘法逆元。>⊕<,G 是循环群。2是2阶元 ,1和3是4阶元。 如何求群G 中元素的阶?如果n G =||,则,G x ∈?||x 是n 的正因子。首先找到n 的正因子,并从小到大列出来,然后依次检查每相正因子r 。使得e x r =的

第六章 代数系统

第六章代数系统 1. 填空题:f是X上的n元运算的定义是()。 2. 判断正误,并说明原因:自然数集合N上的减法运算“-”是个封闭的运算。 3. 判断正误,并说明原因:实数集合R上的除法运算“?”是个封闭的运算。 4.填空题:代数系统的定义是:()。 5. 填空题:*是X上的二元运算,*具有交换性,则它的运算表的特征是()。 6.填空题:*是X上的二元运算,*具有幂等性,则它的运算表的特征是()。 7. 简答题:*是X上的二元运算,*具有幺元,如何在它的运算表上判定哪个元素是幺元? 8. 简答题:*是X上的二元运算,*具有零元,如何在它的运算表上判定哪个元素是零元? 9. 简答题:*是X上的二元运算,*具有幺元,如何判定哪个元素是元素x的逆元? 10 令N4={0,1,2,3},N4上定义运算+4: 任何x,y∈N4 , x+4 y=(x+y)(mod 4) 。例如2+43=(2+3)(mod 4) =5(mod 4)=1 请列出的运算表。然后判断+4运算是否有交换性、有幺元、有零元、各个元素是否有逆元?如果有上述这些元素,请指出这些元素都是什么。 11. 判断正误,并说明原因:对于整集合I上的减法运算“-”来说,0是幺元。 12. 填空题:E是全集,E={a,b},E的幂集P(E)上的交运算?的幺元是()。零元是()。有逆元的元素是(),它们的逆元分别是()。 13. 填空题:E是全集,E={a,b},E的幂集P(E)上的并运算è的幺元是()。零元是()。有逆元的元素是(),它们的逆元分别是()。

14. 填空题:E是全集,E={a,b},E的幂集P(E)上的对称差运算?的幺元是()。零元是()。有逆元的元素是()。它们的逆元分别是()。 15. 填空题:对于自然数集合N上的加法运算“+”,13=()。 16. 填空题:你所知道的满足吸收律的运算有()。 17. 填空题:你所知道的具有零元的运算有(),其零元是()。 18. 设?是X上的二元运算,如果有左幺元e L∈X,也有右幺元e R∈X,则e L= e R =e ,且幺元e 是唯一的。 19. 设?是X上的二元运算,如果有左零元θL∈X,也有右零元θR∈X,则θL=θR =θ,且零元θ是唯一的。 20. 设?是X上有幺元e且可结合的二元运算,如果x∈X,x的左、右逆元都存在,则x的左、右逆元必相等。且x的逆元是唯一的。 21. 设?是X上且可结合的二元运算,如a∈X,且a-1∈X,则a是可消去的,即任取x,y∈X,设有a?x=a?y 则x=y。 22. 对于实数集合R,给出运算如下:+是加法、—是减法、·是乘法、max是两个数中取最大的、min是两个数中取最小的、|x-y|是x与y差的绝对值。判 N”。 23. 设R是实数集合,在R上定义二元运算* 如下:任取x,y∈R, x*y=xy-2x-2y+6

离散数学(第五版)清华大学出版社第6章习题解答

离散数学(第五版)清华大学出版社第6章习题解答 6.1 A:⑨; B:⑨; C:④; D:⑥; E:③ 分析对于给定的集合和运算判别它们是否构成代数系统的关键是检查集合对 给定运算的封闭性,具体方法已在 5.3节做过说明. 下面分别讨论对各种不同代数系纺的判别方法. 1°给定集合S和二元运算°,判定是否构成关群、独导点和群. 根据定义,判别时要涉及到以下条件的验证: 条件1 S关于°运算封闭: 条件2 °运算满足结合集 条件3 °运算有幺元, 条件4 °?x∈S,x-1∈S. 其中关群判定只涉及条件1和2;独导点判定涉及条件1、2、和3;而群的判定则涉及到所有的四个条件。 , *>是否构成环,交换环,含幺环,整环, 2 °给定集合S和二元运算°和*,判定S构成交换群, 条件2 构成关群, 条件 3 * 对°运算的分配律, 条件4 * 对运算满足交换律, 条件5 * 运算有幺元, 条件6 * 运算不含零因子——消去律, 条件7 |S|≥2,?x∈S,x≠0,有x-1∈S(对*运算). 其中环的判定涉及条件1,2和3;交换环的判定涉及条件1,2,3和4;含幺环的判定涉及条件1,2,3和5;整环的判定涉及条件1-6;而域的判定则涉及全部7个条件. 3°判定偏序集是否构成格、分本配格、有补格和布尔格. 73 若构成代数系统.若是代数系统且°和*运算满足交换律、结合律和吸收律,则构成格。

第6章几个典型的代数系统

第六章 几个典型的代数系统 本章讨论几类重要的代数结构:半群、群、环、域、格与布尔代数等.我们先讨论最简 单的半群. 6.1 半群 6.1.1半群的概念 定义6.1.1 设是代数结构,若?是可结合的二元运算,即: ?a ,b ,c ∈S ,(a ?b)?c=a ?(b ?c) 则称为半群; 定义6.1.2 设是半群。若关于运算?有单位元e ,则称为含么半群,有单 位元半群或独异点,记为。 定义6.1.3 若半群的运算?满足交换律,则称是可交换半群。 [例6.1.1] (1)都是含么半群;不是半群; (2)设A 为任一集合,则<ρ(A),?,Φ>,<ρ(A),?,A >都是可交换的含么半群; (2)设∑是个字母表, 是∑*上的连接运算,则空串ε就是∑*中关于连接运算 的单位元 且该运算满足结合律,故<∑*, ,ε>是一个独异点。 6.1.2子半群 定义6.1.4 半群的了代数叫子半群 ,即设是半群,T 为S 的非空子集。若T 关于运 算?封闭,则称的子半群。 定义6.1.5 设是独异点,T 为S 的非空子集。若T 关于运算?封闭,且e ∈T , 则称的子独异点。 [例6.1.2] 都是的子半群;的子独异点,但 不是的子独异点,因为0不在N +中。 定义6.1.6设V 1=, V 2=是两个半群,V 1与V 2的积代数V 1?V 2 = 其中S=S 1?S 2,,,,,2211><>*>=<<21212211,,,y y x x y x y x

离散数学结构 第6章 集合代数

第六章集合代数 1. 集合,相等,(真)包含,子集,空集,全集,幂集 2. 交,并,(相对和绝对)补,对称差,广义交,广义并 3. 文氏图,有穷集计数问题 4. 集合恒等式(等幂律,交换律,结合律,分配律,德·摩根律,吸收律,零律,同一 律,排中律,矛盾律,余补律,双重否定律,补交转换律等) 学习要求 1. 熟练掌握集合的子集、相等、空集、全集、幂集等概念及其符号化表示 2. 熟练掌握集合的交、并、(相对和绝对)补、对称差、广义交、广义并的定义及其性 质 3. 掌握集合的文氏图的画法及利用文氏图解决有限集的计数问题的方法 4. 牢记基本的集合恒等式(等幂律、交换律、结合律、分配律、德·摩根律、收律、零 律、同一律、排中律、矛盾律、余补律、双重否定律、补交转换律) 5. 准确地用逻辑演算或利用已知的集合恒等式或包含式证明新的等式或包含式

6.1 集合的基本概念 一.集合的表示 集合是不能精确定义的基本概念。直观地说,把一些事物汇集到一起组成一个整体就叫集合,而这些事物就是这个集合的元素或成员。例如: 方程x2-1=0的实数解集合; 26个英文字母的集合; 坐标平面上所有点的集合; …… 集合通常用大写的英文字母来标记,例如自然数集合N(在离散数学中认为0也是自然数),整数集合Z,有理数集合Q,实数集合R,复数集合C等。 表示一个集合的方法有两种:列元素法和谓词表示法,前一种方法是列出集合的所有元素,元素之间用逗号隔开,并把它们用花括号括起来。例如 A={a,b,c,…,z} Z={0,±1,±2,…} 都是合法的表示。谓词表示法是用谓词来概括集合中元素的属性,例如集合 B={x|x∈R∧x2-1=0} 表示方程x2-1=0的实数解集。许多集合可以用两种方法来表示,如B也可以写成{-1,1}。但是有些集合不可以用列元素法表示,如实数集合。 集合的元素是彼此不同的,如果同一个元素在集合中多次出现应该认为是一个元素,如{1,1,2,2,3}={1,2,3} 集合的元素是无序的,如 {1,2,3}={3,1,2} 在本书所采用的体系中规定集合的元素都是集合。 元素和集合之间的关系是隶属关系,即属于或不属于,属于记作∈,不属于记作,例如 A={a,{b,c},d,{{d}}} 这里a∈A,{b,c}∈A,d∈A,{{d}}∈A,但b A,{d} A. b和{d}是A的元素的元素。可以用一种树形图来表示这种隶属关系,该图分层构成,每个层上的结点都表示一个集合,它的儿子就是它的元素。上述集合A的树形图如图6.1所示。图中的a,b,c,d也是集合,由于所讨论的问题与a,b,c,d的元素无关,所以没有列出它们的元素。鉴于集合的元素都是集合这一规定,隶属关系可以看作是处在不同层次上的集合之间的关系。

离散数学(屈婉玲版)第六章部分答案

6.1(5) 5S =n M (R),+为矩阵加法,则S 是(群) 答:满足封闭性,因为矩阵加法可结合所以为半群,且幺元为e =0的矩阵,故为独异点。又因为以任一n 阶矩阵的逆元存在是它的负矩阵,所以是群。 评语:答案太简单 6.2 (1)因为可结合,交换,幺元为1,但不存在逆元 所以是半群 (2)因为可交换,结合,幺元为0,是有限阶群并且是循环群,G 中的2阶元是2,4阶元是1和3 6.4 设Z 为正数集合,在Z 上定义二元运算 ° ,? x,y ∈Z 有 x ° y=x+y-2, 那么Z 与运算 ° 能否构成群?为什么? 解: 设 ? a,b,c ∈Z (a ° b )° c = (a+b-2) ° c = a+b- 2+ c-2 =a+b+c-4 a ° ( b ° c) = a ° (b+c-2) =a + b+c-2-2 =a+b+c-4 对2∈Z ,? x ∈Z 有 x ° 2=x+2-2=x=2° x, 可见 , 存在幺元,幺元为2。 对? x ∈Z 有4-x ∈Z,使x ° (4-x )= (4-x) ° x=2 所以 x-1 = 4-x 所以Z 与运算 ° 能构成群 。 6.7 下列各集合对于整除关系都构成偏序集,判断哪些偏序集是格? (1)L={1,2,3,4,5}. (2)L={1,2,3,6,12}. (3)L={1,2,3,4,6,9,12,18,36}. (4)L={1,2,2(2),…,2(n)}. (1)L={1,2,3,4,5}. 解:由它的哈斯图可以知道,该偏序集不是格,因为3和4、5和4 、3和5有最大下届是1,但是没有最小上届。 (2)L={1,2,3,6,12}. 解:由它的哈斯图可以知道,该偏序集是格。因为L 中的任意俩个元素都有最大下结和最小上届。 (3)L={1,2,3,4,6,9,12,18,36}. 解:由它的哈斯图可以知道,该偏序集是格。因为L 中的任意俩个元素都有最大下结和最小上届。 (4)L={1,2,2(2),…,2(n)}.

离散数学第6章作业答案

第六章习题答案 2. 设P = {< 1, 2 >, < 2, 4 >, < 3, 3 >}, Q = {< 1, 3 >, < 2, 4 >, < 4, 2 >} 找出P?Q, P?Q, dom(P), dom(Q), ran(P)及ran(Q),并证明: dom(P ? Q) = dom(P) ? dom(Q) ran(P? Q) ? ran(P) ? ran(Q) 解P ? Q ={< 1, 2 >, < 2, 4 >, < 3, 3 >, < 1, 3 >, < 4, 2 >},P ? Q ={< 2, 4 >} dom(P)={1, 2, 3},dom(Q)= {1, 2, 4},ran(P) = {2, 3, 4},ran(Q) = {2, 3, 4}。 x∈ dom(P?Q) ??y (< x, y > ∈ P ? Q) ??y (< x, y > ∈ P∨ < x, y > ∈ Q) ??y (< x, y > ∈ P) ∨?y (< x, y > ∈ Q) ? x∈ dom(P) ∨ x∈ dom(Q) ? x∈ dom(P) ? dom(Q) y∈ ran(P? Q) ??x (< x, y > ∈ P?Q) ??x (< x, y > ∈ P ∧ < x, y > ∈ Q) ??x (< x, y > ∈ P) ∧?x (< x, y > ∈ Q) ?y∈ ran(P) ∧ y∈ ran(Q) ?y∈ ran(P) ? ran(Q) 如上例,ran(P? Q) = {4} ? {2, 3, 4} = ran(P) ? ran(Q) 3. 若关系R和S自反的,对称的和传递的,证明:R?S也是自反的,对称的和传递的。证明设R和S是集合A上的关系。 因为R和S是自反的,所以,对于A中的任意元素x,有< x, x >∈R和 < x, x >∈S。因此< x, x >∈R?S,即R?S是自反的。 因为R和S是对称的,所以对于任意< x, y >, < x, y >∈R?S ? < x, y >∈R∧ < x, y >∈S ? < y, x >∈R∧ < y, x >∈S ? < y, x >∈R?S 因此,R?S是对称的。 因为R和S是传递的,所以对于任意< x, y >和< y, z >, < x, y >∈R?S∧ < y, z >∈R?S ? < x, y >∈R∧ < x, y >∈S ∧ < y, z >∈R∧ < y, z >∈S ? (< x, y >∈R∧ < y, z >∈R) ∧ ( < x, y >∈S∧< y, z >∈S) ? < x, z >∈R∧ < x, z >∈S ? < x, z >∈R?S 因此,R?S是传递的。 5.设A = {1, 2, 3},A上的关系R1, R2, R3, R4, R5分别由图6.17给出,试 问:R1, R2, R3, R4, R5各有哪些性质?

离散数学-第六章集合代数课后练习习题及答案

第六章作业 评分要求: 1. 合计57分 2. 给出每小题得分(注意: 写出扣分理由). 3. 总得分在采分点1处正确设置. 一有限集合计数问题 (合计20分: 每小题10分, 正确定义集合得4分, 方法与过程4分, 结果2分) 要求: 掌握集合的定义方法以及处理有限集合计数问题的基本方法 1 对60个人的调查表明, 有25人阅读《每周新闻》杂志, 26人阅读《时代》杂志, 26人阅读《财富》杂志, 9人阅读《每周新闻》和《财富》杂志, 11人阅读《每周新闻》和《时代》杂志, 8人阅读《时代》和《财富》杂志, 还有8人什么杂志也不读. (1) 求阅读全部3种杂志的人数; (2) 分别求只阅读《每周新闻》、《时代》和《财富》杂志的人数. 解定义集合: 设E={x|x是调查对象}, A={x|x阅读《每周新闻》}, B={x|x阅读《时代》}, C={x|x阅读《财富》} 由条件得|E|=60, |A|=25, |B|=26, |C|=26, |A∩C|=9, |A∩B|=11, |B∩C|=8, |E-A∪B∪C|=8 (1) 阅读全部3种杂志的人数=|A∩B∩C| =|A∪B∪C|-(|A|+|B|+|C|)+(|A∩B|+|A∩C|+|B∩C|) =(60-8)-(25+26+26)+(11+9+8)=3 (2) 只阅读《每周新闻》的人数=|A-B∪C|=|A-A∩(B∪C)|=|A-(A∩B)∪(A∩C)| =|A|-(|A∩B|+|A∩C|-|A∩B∩C|)=25-(11+9-3)=8 同理可得只阅读《时代》的人数为10, 只阅读《财富》的人数为12. 2 使用容斥原理求不超过120的素数个数. 分析:本题有一定难度, 难在如何定义集合. 考虑到素数只有1和其自身两个素因子, 而不超过120的合数的最小素因子一定是2,3,5或7(比120开方小的素数), 也就是说, 不超过120的合数一定是2,3,5或7的倍数. 因此, 可定义4条性质分别为2,3,5或7的倍数, 先求出不超过120的所有的合数, 再得出素数的个数. 解定义集合: 设全集E={x|x∈Z∧1≤x∧x≤120} A={2k|k∈Z∧k≥1∧2k≤120}, B={3k|k∈Z∧k≥1∧3k≤120}, C={5k|k∈Z∧k≥1∧5k≤120}, D={7k|k∈Z∧k≥1∧7k≤120}. 则不超过120的合数的个数=|A∪B∪C∪D|-4 (因为2,3,5,7不是合数) =(|A|+|B|+|C|+|D|)-(|A∩B|+|A∩C|+|A∩D|+|B∩C|+|B∩D|+|C∩D|)+ (|A∩B∩C|+|A∩B∩D|+|A∩C∩D|+|B∩C∩D|)-|A∩B∩C∩D|-4 =(60+40+24+17)-(20+12+8+8+5+3)+(4+2+1+1)-0-4 (理由见说明部分) =89 因此不超过120的素数个数=120-1-89=30 (因为1不是素数) 说明: |A|=int(120/2); |A?B|=int(120/lcd(2,3)); |A?B?C|=int(120/lcd(2,3,5)); |A?B?C?D|=int(120/lcd(2,3,5,7)).

离散数学测试题 第6章自测题

第6章自测题 一、填空题(每小题3分,共15分) 1. 对于n 阶简单无向图图G ,若其边数为m ,则G 的补图G 的边数为( ). 2. 任意n 阶简单图G 有≤?)(G ( ). 3. 3K 的所有不同构的非空子图有( )个. 4. 设有向图G = (V , E ),V = {v 1,v 2,v 3,v 4},若G 的邻接矩阵A =???? ??????1001001111011010, 则v 1的出度od(v 1) =________, v 1的入度id(v 1) =________, 从v 2到v 4长度为2的路有________条. 5.在边赋权图中, 从节点u 到节点v 的路中, ( )的路称为u 到v 的最短路径. 二、单选题(每小题3分,共15分) 1. 一个连通无向图有3个5度点、1个4度点、3个2度点,其它的都是1度,那么它 的节点个数是≤( ) (A) 17 (B) 18 (C) 19 (D) 20. 2. 4阶完全无向图4K 中含3条边的不同构的生成子图有 (A)3 (B)4 (C)5 (D)2. 3. 设G 是简单图,G 是G 的补图,若G G ?,则称G 为自补图. 5阶不同构的自补 图个数为( ). (A)0. (B)1. (C)2. (D)3. 4. 在任意n 阶连通图中,其边数( ). (A)至多n – 1条. (B)至少n – 1条. (C)至多n 条. (D) 至少n 条 5. 任何无向图中,节点之间的可达关系是( )关系. (A)等价. (B)相容. (C)偏序. (D)拟序 三、判断题(每小题3分,共15分): 正确打“√”,错误打“×”. 1. 设G 是简单无向图,则G 与G 中度数为奇数的节点个数相同. ( ) 2. 设G 是简单无向图,则G 或G 是连通图. ( ) 3. 若无向图G 中恰有两个度数为奇数的节点,则该两点必可达. ( )

第六章 代数系统

第六章代数系统 1、填空题:f就是X上得n元运算得定义就是( )。 2、判断正误,并说明原因:自然数集合N上得减法运算“-”就是个封闭得运算。 3、判断正误,并说明原因:实数集合R上得除法运算“÷”就是个封闭得运算。 4、填空题:代数系统得定义就是:( )。 5、填空题:*就是X上得二元运算,*具有交换性,则它得运算表得特征就是( )。 6、填空题:*就是X上得二元运算,*具有幂等性,则它得运算表得特征就是( )。 7、简答题:*就是X上得二元运算,*具有幺元,如何在它得运算表上判定哪个元素就是幺元? 8、简答题:*就是X上得二元运算,*具有零元,如何在它得运算表上判定哪个元素就是零元? 9、简答题:*就是X上得二元运算,*具有幺元,如何判定哪个元素就是元素x得逆元? 10 令N4={0,1,2,3},N4上定义运算+4: 任何x,y∈N4 , x+4 y=(x+y)(mod 4) 。例如2+43=(2+3)(mod 4) =5(mod 4)=1 请列出得运算表。然后判断+4运算就是否有交换性、有幺元、有零元、各个元素就是否有逆元?如果有上述这些元素,请指出这些元素都就是什么。 11、判断正误,并说明原因:对于整集合I上得减法运算“-”来说, 0就是幺元。 12、填空题:E就是全集,E={a,b},E得幂集P(E)上得交运算?得幺元就是( )。零元就是( )。有逆元得元素就是( ),它们得逆元分别就是( )。 13、填空题:E就是全集,E={a,b},E得幂集P(E)上得并运算?得幺元就是( )。零元就是( )。有逆元得元素就是( ),它们得逆元分别就是( )。 14、填空题:E就是全集,E={a,b},E得幂集P(E)上得对称差运算⊕得幺元就是( )。零元就是( )。有逆元得元素就是( )。它们得逆元分别就是( )。 15、填空题:对于自然数集合N上得加法运算“+”,13=( )。 16、填空题:您所知道得满足吸收律得运算有( )。 17、填空题:您所知道得具有零元得运算有( ),其零元就是( )。 18、设★就是X上得二元运算,如果有左幺元e L∈X,也有右幺元e R∈X,则e L= e R =e ,且幺元e 就是唯一得。 19、设★就是X上得二元运算,如果有左零元θL∈X,也有右零元θR∈X,则θL=θR =θ,且零元θ就是唯一得。 20、设★就是X上有幺元e且可结合得二元运算,如果x∈X,x得左、右逆元都存在,则x得左、右逆元必相等。且x得逆元就是唯一得。 21、设★就是X上且可结合得二元运算,如a∈X,且a-1∈X,则a就是可消去得,即任取x,y∈X,设有a★x=a★y 则x=y。 22、对于实数集合R,给出运算如下:+就是加法、—就是减法、?就是乘法、max 就是两个数中取最大得、min就是两个数中取最小得、|x-y|就是x与y差得绝对值。 N”。 x*y=xy-2x-2y+6 1.验证运算* 就是否满足交换律与结合律。 2.求运算*就是否有幺元与零元,如果有请求出幺元与零元。 3.对任何实数x,就是否有逆元?如果有,求它得逆元,如果没有,说明原因。

离散数学 第六章

第二部分集合论 引言 集合是数学中最为基本的概念,又是数学各分支、自然科学及社会科学各领域的最普遍采用的描述工具。集合论是离散数学的重要组成部分,是现代数学中占有独特地位的一个分支。 G.康托尔是作为数学分支的集合论的奠基人。1870年前后,他关于无穷序列的研究导致集合论的系统发展。1874年他发表了关于实数集合不能与自然数集合建立一一对应的有名的证明。1878年,他引进了两个集合具有相等的“势”的概念。然而,朴素集合论中包含着悖论。第一个悖论是布拉利-福尔蒂的最大序数悖论。1901年罗素发现了有名的罗素悖论。1932年康托尔也发表了关于最大基数的悖论。集合论的现代公理化开始于1908年E.策梅罗所发表的一组公理,经过A.弗兰克尔的加工,这个系统称为策梅罗-弗兰克尔集合论(ZF),其中包括1904年策梅罗引入的选择公理。另外一种系统是冯*诺伊曼-伯奈斯-哥德尔集合论。公理集合论中一个有名的猜想是连续统假设(CH)。K.哥德尔证明了连续统假设与策梅罗-弗兰克尔集合论的相容性,P.J.科恩证明了连续统假设与策梅罗-弗兰克尔集合论的独立性。现在把策梅罗-弗兰克尔集合论与选择公理一起称为ZFC系统。 本部分主要介绍朴素集合论的主要内容,其中包括集合代数(第六章)、二元关系(第七章)、函数(第八章)、集合的基数(第九章)等。本部分的先行知识及各部分的关系如下图所示:

6.1 集合的基本概念 一.集合的表示 集合是不能精确定义的基本概念。直观地说,把一些事物汇集到一起组成一个整体就叫集合,而这些事物就是这个集合的元素或成员。例如: 方程x2-1=0的实数解集合; 26个英文字母的集合;