专题训练1-1-2(2015)【二轮】

第2讲不等式及线性规划

一、选择题

1．(2014·广州综合测试)已知x＞－1，则函数y＝x＋

1

x＋1

的最小值为 ()．

A．－1 B．0 C．1 D．2 解析∵x＞－1，∴x＋1＞0.

∴y＝x＋

1

x＋1

＝(x＋1)＋

1

x＋1

－1，

≥2(x＋1)·1

x＋1

－1＝1，

当且仅当x＋1＝

1

x＋1

，即x＝0时取等号．

答案 C

2．(2014·安徽“江南十校”联考)已知向量a＝(3，－2)，b＝(x，y－1)，且a∥b ，

若x，y均为正数，则3

x＋

2

y的最小值是()．

A.5

3B．

8

3

C．8 D．24 解析∵a∥b，∴3(y－1)＋2x＝0，

即2x＋3y＝3.

∵x＞0，y＞0，

∴3

x＋

2

y＝?

?

?

?

?

3

x＋

2

y·

1

3(2x＋3y)

＝1

3?

?

?

?

?

6＋6＋

9y

x＋

4x

y≥

1

3(12＋2×6)＝8.

当且仅当3y＝2x时取等号．答案 C

3．(2014·天津卷)设变量x ，y 满足约束条件???

x ＋y －2≥0，

x －y －2≤0，

y ≥1，

则目标函数z ＝x ＋

2y 的最小值为

( )．

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

解析 根据约束条件作出可行域，如图阴影部分所示．

由z ＝x ＋2y ，得y ＝－12x ＋z

2.

先画出直线y ＝－12x ，然后将直线y ＝－1

2x 进行平移． 当直线过点A 时，z 取得最小值．

由???

y ＝1，x ＋y －2＝0得A (1,1)，故z 最小值＝1＋2×1＝3. 答案 B

4．已知关于x 的不等式2x ＋2

x －a ≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最

小值为

( )．

A ．1

B ．32

C ．2

D ．52

解析 2x ＋2x －a ＝2(x －a )＋2x －a

＋2a ≥2·

2(x －a )·2x －a

＋2a ＝4＋2a ，

由题意可知4＋2a ≥7，得a ≥32，即实数a 的最小值为3

2，故选B. 答案 B

5．在R 上定义运算?：x ?y ＝x (1－y )．若对任意x ＞2，不等式(x －a )?x ≤a ＋2都成立，则实数a 的取值范围是

( )．

A ．[－1,7]

B ．(－∞，3]

C ．(－∞，7]

D ．(－∞，－1]∪[7，＋∞)

解析 由题意得(x －a )?x ＝(x －a )(1－x )，故不等式(x －a )?x ≤a ＋2可化为(x －a )(1－x )≤a ＋2，化简得x 2－(a ＋1)x ＋2a ＋2≥0.

故原题等价于x 2－(a ＋1)x ＋2a ＋2≥0在(2，＋∞)上恒成立，

由二次函数f (x )＝x 2－(a ＋1)x ＋2a ＋2的图象，知其对称轴为x ＝a ＋1

2，讨论得?????

a ＋12≤2，f (2)≥0或???

??

a ＋12>2，f ? ??

??

a ＋12≥0，解得a ≤3或3

答案 C 二、填空题

6．(2014·潍坊一模)已知a ＞b ＞0，ab ＝1，则a 2＋b 2

a －

b 的最小值为________．

解析 ∵a ＞b ＞0，ab ＝1，

∴a 2＋b 2a －b ＝(a －b )2＋2ab a －b ＝(a －b )2＋2a －b ＝(a －b )＋2a －b ≥2 2.当且仅当：a －b ＝2时取等号． 答案 2 2

7．(2014·吉林省实验中学)若直线2ax －by ＋2＝0(a ＞0，b ＞0)被圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0截得的弦长为4，则1a ＋1

b 的最小值是________．

解析 易知圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的半径为2，圆心为(－1,2)，因为直线2ax －by ＋2＝0(a ＞0，b ＞0)被圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0截得的弦长为4，所以直线2ax －by ＋2＝0(a ＞0，b ＞0)过圆心，把圆心坐标代入得：a ＋b ＝1，

所以1a ＋1b ＝? ????1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋a b ≥4，当且仅当b a ＝a

b ，a ＋b ＝1，即a ＝b ＝

1

2时等号成立． 答案 4

8．已知x ＞0，y ＞0，x ＋y ＋3＝xy ，且不等式(x ＋y )2－a (x ＋y )＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是________．

解析 要使(x ＋y )2－a (x ＋y )＋1≥0恒成立，则有(x ＋y )2＋1≥a (x ＋y )， 即a ≤(x ＋y )＋

1

x ＋y

恒成立． 由x ＋y ＋3＝xy ，得x ＋y ＋3＝xy ≤?

??

??x ＋y 22

， 即(x ＋y )2－4(x ＋y )－12≥0，解得x ＋y ≥6或x ＋y ≤－2(舍去)．设t ＝x ＋y ，则t ≥6，(x ＋y )＋1x ＋y ＝t ＋1t .设f (t )＝t ＋1

t ，则在t ≥6时，f (t )单调递增，所以

f (t )＝t ＋1t 的最小值为6＋16＝376，所以a ≤37

6，即实数a 的取值范围是? ????－∞，376. 答案 ? ?

???－∞，376

三、解答题

9．已知函数f (x )＝2x

x 2＋6

.

(1)若f (x )>k 的解集为{x |x <－3，或x >－2}，求k 的值； (2)对任意x >0，f (x )≤t 恒成立，求t 的取值范围． 解 (1)f (x )>k ?kx 2－2x ＋6k <0.

由已知{x |x <－3，或x >－2}是其解集，得kx 2－2x ＋6k ＝0的两根是－3，－2. 由根与系数的关系可知(－2)＋(－3)＝2k ，即k ＝－2

5. (2)因为x >0，f (x )＝

2x x 2＋6

＝2x ＋6x

≤226＝

6

6，当且仅当x ＝6时取等号．由已知f (x )≤t 对任意x >0恒成立，故t ≥66，即t 的取值范围是????

??

66，＋∞.

10．如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx

－1

20(1＋k

2)x2(k>0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮

弹落地点的横坐标．

(1)求炮的最大射程；

(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．

解(1)令y＝0，得

kx－1

20(1＋k

2)x2＝0，

由实际意义和题设条件知x>0，k>0，

故x＝

20k

1＋k2

＝

20

k＋

1

k

≤

20

2＝10，

当且仅当k＝1时取等号．

所以炮的最大射程为10千米．(2)因为a>0，

所以炮弹可击中目标?存在k>0，

使3.2＝ka－1

20(1＋k

2)a2成立?关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根

?判别式Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0?a≤6.

所以当a不超过6千米时，可击中目标．

11．已知函数f(x)＝x2＋bx＋c(b，c∈R)，对任意的x∈R，恒有f′(x)≤f(x)．

(1)证明：当x≥0时，f(x)≤(x＋c)2；

(2)若对满足题设条件的任意b，c，不等式f(c)－f(b)≤M(c2－b2)恒成立，求M

的最小值．

(1)证明易知f′(x)＝2x＋b.由题设，对任意的x∈R，2x＋b≤x2＋bx＋c，即

x 2

＋(b －2)x ＋c －b ≥0恒成立，所以(b －2)2

－4(c －b )≤0，从而c ≥b 2

4＋1，于

是c ≥1， 且c ≥2

b 2

4×1＝|b |，因此2c －b ＝c ＋(c －b )＞0.

故当x ≥0时，有(x ＋c )2－f (x )＝(2c －b )x ＋c (c －1)≥0.即当x ≥0时，f (x )≤(x ＋c )2.

(2)解 由(1)知c ≥|b |.当c ＞|b |时，有M ≥f (c )－f (b )c 2－b 2＝c 2－b 2＋bc －b 2c 2－b 2＝c ＋2b

b ＋

c .

令t ＝b c ，则－1＜t ＜1，c ＋2b b ＋c ＝2－1

1＋t .

而函数g (t )＝2－

11＋t

(－1＜t ＜1)的值域是? ?

???－∞，32.

因此，当c ＞|b |时，M 的取值集合为????

??

32，＋∞.

当c ＝|b |时，由(1)知b ＝±2，c ＝2.此时f (c )－f (b )＝－8或0，c 2－b 2＝0，从而f (c )－f (b )≤3

2(c 2－b 2)恒成立． 综上所述，M 的最小值为3

2.