当前位置：文档之家› 高中数学立体几何题库全练习[1]

高中数学立体几何题库全练习[1]

立体几何基础题题库二（有详细答案）

361. 有一个三棱锥和一个四棱锥，棱长都相等，将它们一个侧面重叠后，还有几个暴露面? 解析：有5个暴露面.

如图所示，过V 作VS ′∥AB ，则四边形S ′ABV 为平行四边形，有∠S ′VA=∠VAB=60°，从而ΔS ′VA 为等边三角形，同理ΔS ′VD 也是等边三角形，从而ΔS ′AD 也是等边三角形，得到以ΔVAD 为底，以S ′与S 重合.

这表明ΔVAB 与ΔVSA 共面，ΔVCD 与ΔVSD 共面，故共有5个暴露面.

362. 若四面体各棱长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积的值是 .(只须写出一个可能的值)

解析：该题的显著特点是结论发散而不惟一.本题表面上是考查锥体求积公式这个知识点，实际上主要考查由所给条件构造一个四面体的能力，首先得考虑每个面的三条棱是如何构成的. 排除｛1，1，2｝，可得｛1，1，1｝，｛1，2，2｝，｛2，2，2｝，然后由这三类面在空间构造满足条件的一个四面体，再求其体积.

由平时所见的题目，至少可构造出二类满足条件的四面体，五条边为2，另一边为1，对棱相等的四面体.

对于五条边为2，另一边为1的四面体，参看图1所示，设AD=1，取AD 的中点为M ，平面BCM 把三棱锥分成两个三棱锥，由对称性可知AD ⊥面BCM ，且V A —BCM =V D —BCM ，所以

V ABCD =

S ΔBCM ·AD. CM=22DM CD -=2

1(2-=

215.设N 是BC 的中点，则MN ⊥BC ，MN=22CN CM -=14

15-=

211

，从而S ΔBCM

21×2×211=2

，故V ABCD =

31×211×1=6

对于对棱相等的四面体，可参见图2.其体积的计算可先将其置于一个长方体之中，再用长方体的体积减去四个小三棱锥的体积来进行.亦可套公式V=12

·)b a c )(a c b )(c b a (222222222-+-+-+，不妨令a=b=2，c=1，则 V=

·)441)(414)(144(-+-+-+ =

122

·7=12

14. 363. 湖结冰时，一个球漂在其上，取出后(未弄破冰)，冰面上留下了一个直径为24cm,深为8cm 的空穴，求该球的半径.

解析：设球的半径为R ，依题意知截面圆的半径r ＝12,球心与截面的距离为d ＝R-8，由截面性质得：r 2+d 2＝R 2

,即122+(R-8)2＝R 2.

得R ＝13 ∴该球半径为13cm.

364. 在有阳光时，一根长为3米的旗轩垂直于水平地面，它的影长为3米，同时将一个半径为3米的球放在这块水平地面上，如图所示，求球的阴影部分的面积(结果用无理数表示).

解析：由题意知，光线与地面成60°角，设球的阴影部分面积为S ，垂直于光线的大圆面积为S ′，则Scos30°＝S ′,并且S ′＝9π，所以S ＝63π(米2

)

365. 设棱锥M —ABCD 的底面是正方形，且MA ＝MD ，MA ⊥AB ，如果ΔAMD 的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径.

解析： ∵AB ⊥AD ，AB ⊥MA ， ∴AB ⊥平面MAD ，由此，面MAD ⊥面AC. 记E 是AD 的中点，

从而ME ⊥AD.

∴ME ⊥平面AC ， ME ⊥EF

设球O 是与平面MAD 、AC 、平面MBC 都相切的球. 不妨设O ∈平面MEF ，于是O 是ΔMEF 的内心. 设球O 的半径为r ，则r ＝MF

EM EF S MEF

++△2

设AD ＝EF ＝a,∵S ΔAMD ＝1. ∴ME ＝

a 2.MF ＝22

)2(a

a +, r ＝

22)2(22

a a a +++

≤

222

+＝2-1

当且仅当a ＝

，即a ＝2时，等号成立. ∴当AD ＝ME ＝2时，满足条件的球最大半径为2-1.

366. 在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，期棱长为a. (1)求证BD ⊥截面AB 1C ；（若一条直线垂直于一条斜线在这平面内的射影，则这条直线垂直于这条斜线） (2)求点B 到截面AB 1C 的距离；

(3)求BB 1与截面AB 1C 所成的角的余弦值。

()11

1:DD BD

⊥??⊥?⊥?

证明面ABCD BD AC

同理BD 1⊥AB 1.∴BD 1⊥面ACB 1.

(2)AB=BC=BB 1?G 为△AB 1C 的中心.AC=2a AG=

6323a 22=?? a ∴BG=2

22229

396)36(

a a a a a =-=-=33a (3)∠BB 1G 为所求

cos ∠BB 1G=3

636

11==a a

BB GB 367. 已知Ｐ为ＡＢＣＤ所在平面外一点，Ｍ为ＰＢ的中点，求证：ＰＤ∥平面ＭＡＣ．

解析：因M 为PB 的中点，连BD ∩AC 于O 后，可将PD 缩小平移到MO ，可见MO 为所求作的平行线．证明连ＡＣ交ＢＤ于Ｏ，连ＭＯ，

则ＭＯ为△ＰＢＤ的中位线，

∴ＰＤ∥ＭＯ，∵ＰＤ?平面ＭＡＣ，ＭＯ平面ＭＡＣ， ∴ＰＤ∥平面ＭＡＣ．

368. 如图，在正方体ＡＢＣＤ－Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1中，M ，N ，Ｅ，Ｆ分别是棱Ｂ1Ｃ1，A 1D 1，Ｄ1Ｄ，ＡＢ的中点．

（１）求证：Ａ1Ｅ⊥平面ＡＢＭＮ．（２）平面直线A 1E 与MF 所成的角．解析：（１）要证A 1E ⊥平面ABMN ，只要在平面中找到两条相交直线与A 1E 都垂直，显然MN 与它垂直，这是因为MN ⊥平面A 1ADD 1，另一方面，AN 与A 1E 是否垂直，这是同一个平面中的问题，只要画出平面几何图形，用平几知识解决．（２）为（１）的应用．

证明（１）∵AB ⊥平面A 1ADD 1，而Ａ1Ｅ?平面A 1ADD 1，

∴AB ⊥Ａ1Ｅ．在平面A 1ADD 1中，A 1E ⊥AN ， ∵AN ∩AB ＝A ，∴A 1E ⊥平面ABMN ．

解（２）由（１）知A 1E ⊥平面ABMN ，而MF ?平面ABMN ，∴A 1E ⊥MF ，则A 1E 与MF 所成的角为９０°

369. 如图，在正方体ＡＢＣＤ－Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1中，M 为棱C Ｃ1的中点，AC 交BD 于点O ，求证：A 1O ⊥平面MBD ．

解析：要证A 1O ⊥平面MBD ，只要在平面MBD 内找到两条相交直线与A 1O 都垂直，首先想到DB ，先观察 A 1O 垂直DB 吗？

方法１：发现A 1O 平分DB ，想到什么？（△A 1DB 是否为等腰三角形） ∵A 1D ＝A 1B ，DO ＝OB ，∴A 1O ⊥DB ．

方法２：A 1O ⊥DB 吗？即DB ⊥A 1O 吗？DB 垂直包含A 1O 的平面吗？（易见DB ⊥平面A 1ACC 1）

再观察A 1O 垂直何直线？DM ？BM ？因这两条直线与A 1O 均异面，故难以直接观察，平面MDB 中还有何直线？易想到MO ，因MO 与A 1O 相交，它们在同一平面内，这是一个平几问题，可画出平几图进行观察．证明取CC 1中点M ，连结MO ，∵DB ⊥A 1A ，DB ⊥AC ，A 1A ∩AC=A ，∴DB ⊥平面A 1ACC 1，而A 1O ?平面A 1ACC 1，∴A 1O ⊥DB ．在矩形A 1ACC 1中，∵tan ∠AA 1O=

22，tan ∠MOC=2

，∴∠AA 1O=∠MOC ，则∠A 1OA ＋∠MOC ＝９０°，∴A 1O ⊥OM ，∵OM ∩DB ＝O ，∴A 1O ⊥平面MBD ．

370. 点P 在线段AB 上，且AP ∶PB ＝１∶２，若A ，B 到平面α的距离分别为a ，b ，求点P 到平面α的距离．解析：（１）A ，B 在平面α的同侧时，P 平面α的距离为

23132b

a b a +=

+；（２）A ，B 在平面α的异侧时，P 平面α的距离为3

2)(3

32b

a b a -=-+．

点评一是画图时，只要画出如右上图的平面图形即可，无需画出空间图形；二是对第（２）种情形，若以平面为“水平面”，在其上方的点高度为正，在其下方的点高度为负，则第（２）种情形的结论，就是将（１）结论中的b 改为(－b)，而无需再画另一图形加以求解．

371. 若两直线a 与b 异面，则过a 且与b 垂直的平面（）（Ａ）有且只有一个（Ｂ）可能存在也可能不存在

（Ｃ）有无数多个（Ｄ）一定不存在（Ｂ）

解析：若存在，则a ⊥b ，而由条件知，a 不一定与b 垂直．

372. 在正方体ＡＢＣＤ－Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1中，若E 是A 1C 1的中点，则直线CE 垂直于（）

（Ａ）AC （Ｂ）BD （Ｃ）A 1D （Ｄ）A 1D 1 解析：（Ｂ）

BD ⊥AC ，BD ⊥CC 1，∴BD ⊥平面A 1ACC 1，∴BD ⊥CE ．

373. 定点P 不在△ABC 所在平面内，过P 作平面α，使△ABC 的三个顶点到α的距离相等，这样的平面共有（）

（Ａ）１个（Ｂ）２个（Ｃ）３个（Ｄ）４个解析：D

过P 作一个与AB ，AC 都平行的平面，则它符合要求；设边AB ，BC ，CA 的中点分别为E ，F ，G ，则平面PEF 符合要求；同理平面PFG ，平面PGE 符合要求

374. P 为矩形ABCD 所在平面外一点，且PA ⊥平面ABCD ，P 到B ，C ，D 三点的距离分别是5，17，13，则P 到A 点的距离是

（）（Ａ）１

（Ｂ）２（Ｃ）3

（Ｄ）４

解析：（A ）

设AB ＝a ，BC ＝b ，PA ＝h ，则a 2+h 2=5, b 2+h 2=13, a 2+b 2+h 2=17,∴h=1．

375. 线段AB 的两个端点A ，B 到平面α的距离分别为6cm, 9cm, P 在线段AB 上，AP ：PB ＝１：２，则P 到平面α的距离为．解析：７cm 或１cm ．

分A ，B 在平面α的同侧与异侧两种情况．同侧时，P 到平面α的距离为31

9326?+?＝７（cm ），异侧时，P 到平面α

的距离为3

9326?-?＝１（cm ）．

376. △ABC 的三个顶点A ，B ，C 到平面α的距离分别为2cm, 3cm, 4cm ,

且它们在α的同一侧，则

△ABC 的重心到平面α的距离为．解析：3cm ． 3

43++＝3cm ． 377. Rt △ABC 中，D 是斜边AB 的中点，AC ＝６，BC ＝８，EC ⊥平面ABC ，且EC ＝１２，则ED ＝．

解析：１３．

AB ＝１０，∴CD ＝５，则ED ＝22125+＝１３．

378. 如图，在正方体ＡＢＣＤ－Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1中，求：

（１）A 1B 与平面A 1B 1CD 所成的角；

（２）B 1B 在平面A 1C 1B 所成角的正切值．

解析：求线面成角，一定要找准斜线在平面内的射影．

（１）先找到斜足A 1，再找出B 在平面A 1B 1CD 内的射影，即从B 向平面A 1B 1CD 作垂线，一定要证明它是平面A 1B 1CD 的垂线．

这里可证BC 1⊥平面A 1B 1CD ，O 为垂足，

∴A 1O 为A 1B 在平面A 1B 1CD 上的射影．

（２）若将平面D 1D 1BB 竖直放置在正前方，则A 1C 1横放在正前方，估计B 1B 在平面A 1C 1B 内的射影应落在O 1B 上，这是因为A 1C 1⊥平面D 1DBB 1，∴故作B 1H ⊥O 1B 交于H 时，BH 1⊥A 1C 1，即H 为B 1在平面A 1C 1B 内的射影．另在求此角大小时，只要求∠B 1BO 1即可．解析：（１）如图，连结BC 1，交B 1C 于O ，连A 1O ．

∵A 1B 1⊥平面B 1BCC 1，BC 1?平面B 1BCC 1，∴A 1B 1⊥BC 1．又B 1C ⊥BC 1，A 1B 1∩B 1C ＝B 1，

∴BC 1⊥平面A 1B 1CD ，O 为垂足，

∴A 1O 为A 1B 在平面A 1B 1CD 上的射影，则∠BA 1O 为A 1B 与平面A 1B 1CD 所成的角． sin ∠BA 1O ＝

1=B A BO ，∴∠BA 1O ＝３０°．（２）连结A 1C 1交B 1D 1于O 1，连BO 1，

作B 1H ⊥BO 1于H ．∵A 1C 1⊥平面D 1DBB 1，∴A 1C 1⊥B 1H ．又B 1H ⊥BO 1，A 1C 1∩BO 1＝O 1，∴B 1H ⊥平面A 1C 1B ， ∴∠B 1BO 1为B 1B 与平面A 1C 1B 所成的角， tan ∠B 1BO =

22111=B B O B ，即B 1B 与平面A 1C 1B 所成的角的正切值为2

． 379. Rt △ABC 中，∠C ＝９０°，BC ＝３６，若平面ABC 外一点P 与平面A ，B ，C 三点等距离，且P 到平面ABC 的距离

为８０，M 为AC 的中点．（１）求证：PM ⊥AC ；

（２）求P 到直线AC 的距离；

（３）求PM 与平面ABC 所成角的正切值．

解析：点P 到△ABC 的三个顶点等距离，则P 在平面ABC 内的射影为△ABC 的外心，而△ABC 为直角三角形，其外心为斜边的中点．

证明（１）∵PA ＝PC ，M 是AC 中点，∴PM ⊥AC

解（２）∵BC ＝３６，∴MH ＝１８，又PH ＝８０，

∴PM ＝8218802222=+=+MH PH ，即P 到直线AC 的距离为８２；（３）∵PM=PB=PC ，∴P 在平面ABC 内的射线为△ABC 的外心， ∵∠C=90° ∴P 在平面ABC 内的射线为AB 的中点H 。 ∵PH ⊥平面ABC ，∴HM 为PM 在平面ABC 上的射影，则∠PMH 为PM 与平面ABC 所成的角，∴tan ∠PMH ＝

1880=

=MH PH 380. 如图，在正四面体ABCD 中。各面都是全等的正三角形的四面体，M 为AD 的中点，求CM 与平面BCD 所成角的余弦值．

解析：要作出CM 在平面BCD 内的射影，关键是作出M 在平面BCD 内的射影，而M 为AD 的中点，故只需观察A 在平面BCD 内的射影，至此问题解法已明朗．解作AO ⊥平面BCD 于O ，连DO ，作MN ⊥平面BCD 于N ，则N ∈OD ．设AD ＝a ，则OD ＝a a 33233

2=?，∴AO ＝a OD AD 3

622=-，∴MN ＝

a 6

．又∵CM ＝

a 2

，∴CN ＝a a MN CM 62112722==

-． ∴CM 与平面BCD 所成角的余弦值为

7=CM CN ． 381. 如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是棱A 1A 的中点，N 在AB 上，且AN ∶NB ＝１∶３，求证：C 1M ⊥MN ．

解析：在空间中作出两条直线垂直相对较在平面内作两条直线垂直难．此题C 1M 与MN 是相交直线，一种方法可通过勾股定理来验证它是否垂直，另一方法为：因MN 是平面A 1ABB 1内的一条直线，可考虑MC 1在平面A 1ABB 1内的射影．证明１设正方体的棱长为ａ，则MN ＝a 4

， C 1M ＝a a a a 2

3)2

(222=

++，C 1N ＝a a a a 441

)43(222=

++，

∵MN ＋MC 1＝NC 1，∴C 1M ⊥MN ．

证明２连结B 1M ，∵C 1B 1⊥平面A 1ABB 1， ∴B 1M 为C 1M 在平面A 1ABB 1上的射影．

设棱长为a ，∵AN ＝a 41，AM ＝a 21，∴tan ∠AMN ＝2

，

又tan ∠A 1B 1M ＝

，则∠AMN ＝∠A 1B 1M ，∴B 1M ⊥MN ，由三垂线定理知，C 1M ⊥MN ．

382. 如图，ABCD 为直角梯形，∠DAB ＝∠ABC ＝９０°，AB ＝BC ＝a ，AD ＝２a ，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝a ．

（１）求证：PC ⊥CD ；

（２）求点B 到直线PC 的距离．

解析：（１）要证PC 与CD 垂直，只要证明AC 与CD 垂直，可按实际情形画出底面图形进行证明．（２）从B 向直线PC 作垂直，可利用△PBC 求高，但需求出三边，并判断其形状（事实上，这里的∠PBC ＝９０°）；另一种重要的思想是：因PC 在平面PAC 中，而所作BH 为平面PAC 的斜线，故关键在于找出B 在平面PAC 内的射影，因平面PAC 处于“竖直状态”，则只要从B 作“水平”的垂线，可见也只要从B 向AC 作垂线便可得其射影．证明（１）取AD 的中点E ，连AC ，CE ，则ABCE 是正方形，△CED 为等腰直角三角形．

∴AC ⊥CD ，∵PA ⊥平面ABCD ，∴AC 为PC 在平面ABCD 上的射影，∴PC ⊥CD ；解（２）连BE 交AC 于O ，则BE ⊥AC ，又BE ⊥PA ，AC ∩PA ＝A ，∴BE ⊥平面PAC ．过O 作OH ⊥PC 于H ，连BH ，则BH ⊥PC ．

∵PA ＝a ，AC ＝a 2，∴PC ＝a 3，则OH ＝a a

a a 66

3221=??

，

∵BO ＝

a 2

，∴BH ＝a OH BO 3622=+ 383. 四面体ABCD 的四个面中，是直角三角形的面至多有

（）

（Ａ）１个（Ｂ）２个（Ｃ）３个（Ｄ）４个解析：（D ）

设底面为直角三角形，从底面的一个锐角顶点作平面的垂线，则这样的四面体的每个面都是直角三角形．

384. 直角三角形ABC 的斜边AB 在平面α内，直角顶点C 在平面α外，C 在平面α内的射影为C 1，且C 1?AB ，则△C 1AB 为（）（Ａ）锐角三角形（Ｂ）直角三角形（Ｃ）钝角三角形（Ｄ）以上都不对解析：（C ）

∵C 1A 2+C 1B 2

＝AB, ∴∠AC 1B 为钝角，则△C 1AB 为钝角三角形．

385. △ABC 在平面α内，∠C ＝90°，点Ｐ?α，PA=PB=PC=7, AB=10, 则点P 到平面α的距离等于解析：62．

∵PA ＝PB ＝PC,∴P 在平面α内的射影为△ABC 的外心Ｏ，∵∠C ＝90°，∴Ｏ为AB 的中点，∵AO ＝５，PA ＝７，∴PO ＝625722=-

386. P 是边长为a 的六边形ABCDEF 所成平面外一点，PA ⊥AB ，PA ⊥AF ，PA ＝a ，则点P 到边CD 的距离是解析：2a ．

解析：如图，正四棱锥P —ABCD 的一个对角面△PAC 。设棱锥的底面边长为a ，高为h ，斜高为h ′，底面中心为O ，连PO ，则PO ⊥底面ABCD ，∴PO ⊥AC ，在△PAC 中，AC=a 2，PO=h ，

∴ah PO AC S PAC

21=?=? P A B C

在△PBC 中，h a S PBC '=?2

° ∴2:6:22

:22:='='=??h h h a ah S S PBC PAC ∴h:h ′=2:3.

取BC 中点E ，连OE ，PE ，可证∠PEO 即为侧面与底面所成两面角的平面角。在Rt △POE 中，sin ∠PEO=2

'=h h PE PO ， ∴∠PEO=

3π，即侧面与底面所成的角为3

. 394. 如右图，斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，A 1C 1⊥BC 1，AB ⊥AC ，AB=3，AC=2，侧棱与底面成60°角。

（1）求证：AC ⊥面ABC 1；

（2）求证：C 1点在平面ABC 上的射影H 在直线AB 上；（3）求此三棱柱体积的最小值。解析：（1）由棱柱性质，可知A 1C 1//AC

∵A 1C 1⊥BC 1，

∴AC ⊥BC 1，又∵AC ⊥AB ，∴AC ⊥平面

ABC 1 （2）由（1）知AC ⊥平面ABC 1，又AC ?平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面ABC 1

在平面ABC 1内，过C 1作C 1H ⊥AB 于H ，则C 1H ⊥平面ABC ，故点C 1在平面ABC 上

的射影H 在直线AB 上。

（3）连结HC ，由（2）知C 1H ⊥平面ABC ， ∴∠C 1CH 就是侧棱CC 1与底面所成的角， ∴∠C 1CH=60°，C 1H=CH ·tan60°=CH 3 V 棱柱=CH CH H C AC AB H C S ABC 333232

2111=???=??=

?? ∵CA ⊥AB ，∴CH 2=≥AC ，所以棱柱体积最小值33362=?。

395. 已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ACB=900

，∠BAC=300

，BC=1，AA 1=6，M 为CC 1中点，求证：AB 1⊥A 1M 。

解析：因结论是线线垂直，可考虑用三垂线定理或逆定理

∵ ∠ACB=900

∴ ∠A 1C 1B 1=900

即B 1C 1⊥C 1A 1

又由CC 1⊥平面A 1B 1C 1得：CC 1⊥B 1C 1 ∴ B 1C 1⊥平面AA 1C 1C

∴ AC 1为AB 1在平面AA 1C 1C 的射影由三垂线定理，下证AC 1⊥A 1M 即可

在矩形AA 1C 1C 中，AC=A 1C 1=3，AA 1=CC 1=6

∵ 22

326

A C MC 111=

=，2263A A C A 1

11==

∴

A A C 11

1111= ∴ Rt △A 1C 1M ∽Rt △AA 1C 1 ∴ ∠1=∠2

又∠2+∠3=900

∴ ∠1+∠3=900

∴ AC 1⊥A 1M ∴ AB 1⊥A 1M

评注：利用三垂线定理的关键是找到基本面后找平面的垂线 396. 正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长为a ，在侧棱BB 1上截取BD=2

，在侧棱CC 1上截取CE=a ，过A 、D 、E 作棱柱的截面ADE

（1）求△ADE 的面积；（2）求证：平面ADE ⊥平面ACC 1A 1。

解析：分别在三个侧面内求出△ADE 的边长

AE=2a ，AD=

25a ，DE=a 2

)2a (a )BD EC (BC 2222=

+=-+ ∴ 截面ADE 为等腰三角形

222a 46)a 22()a 25(a 221h AE 21=-??=? （2）∵ 底面ABC ⊥侧面AA 1C 1C ∴ △ABC 边AC 上的高BM ⊥侧面AA 1C 1C 下设法把BM 平移到平面AED 中去取AE 中点N ，连MN 、DN

∵ MN //==21EC ，BD //==21EC

∴ MN //=

=BD ∴ DN ∥BM

∴ DN ⊥平面AA 1C 1C

∴ 平面ADE ⊥平面AA 1C 1C

397. 斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面是边长为4cm 的正三角形，侧棱AA 1与底面两边AB 、AC 均成600

的角，AA 1=7 （1）求证：AA 1⊥BC ；（2）求斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的全面积；（3）求斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积；（4）求AA 1到侧面BB 1C 1C 的距离。

解析：设A 1在平面ABC 上的射影为0

∵ ∠A 1AB=∠A 1AC

∴ O 在∠BAC 的平行线AM 上 ∵ △ABC 为正三角形 ∴ AM ⊥BC

又AM 为A 1A 在平面ABC 上的射影 ∴ A 1A ⊥BC （2）

3142

74AB A sin AA AB S S 11B B AA C C AA 1111=?

?=∠?== ∵ B 1B ∥A 1A

∴ B 1B ⊥BC ，即侧面BB 1C 1C 为矩形 ∴ 2874S C C BB 11=?= 又3444

S S 2ABC C B A 111=?=

=?? ∴ S 全=)cm (336282342823142+=?++? （3）∵ cos ∠A 1AB=cos ∠A 1AO ·cos ∠OAB

∴ cos ∠A 1AO=3

30cos 60cos OAB cos AB A cos 001==∠∠

∴ sin ∠A 1AO=

6 ∴ A 1O=A 1Asin ∠A 1AO=

637

∴ )cm (22863

7443O A S V 321ABC =??=?=? （4）把线A 1A 到侧面BB 1C 1C 的距离转化为点A 或A 1到平面BB 1C 1C 的距离为了找到A 1在侧面BB 1C 1C 上的射影，首先要找到侧面BB 1C 1C 的垂面设平面AA

1M 交侧面BB 1C 1C 于MM 1 ∵ BC ⊥AM ，BC ⊥A 1A ∴ BC ⊥平面AA 1M 1M

∴ 平面AA 1M 1M ⊥侧面BCC 1B 1 在平行四边形AA 1M 1M 中过A 1作A 1H ⊥M 1M ，H 为垂足则A 1H ⊥侧面BB 1C 1C

∴ 线段A 1H 长度就是A 1A 到侧面BB 1C 1C 的距离 ∴

)cm (223

32AM A sin M A H M A sin M A H A 11111111=?

=∠=∠= 398. 平面α内有半径为R 的⊙O ，过直径AB 的端点A 作PA ⊥α，PA=a ，C 是⊙O 上一点，∠CAB=600

，求三棱锥P —OBC 的侧面积。

解析：三棱锥P —OBC 的侧面由△POB 、△POC 、△PBC 三个三角形组成（求异面直线之间的距离的方法是得到一条直线

平行于另外一条直线所在的平面然后求这条直线到这平面的距离）

在求出边长元素后，求三角形面积时，应注意分析三角形的形状，简化计算 ∵ PA ⊥平面ABC

∴ PA ⊥AO ，AC 为PC 在平面ABC 上的射影 ∵ BC ⊥AC ∴ BC ⊥PC

△ POB 中，

2POB a 2

PA OB 21S =?=?

△ PBC 中，BC=ABsin600

=2a a 32

=? ∴ AC=a ∴ PC=a 2 ∴ 2POB a 2

6BC PC 21S =?=? △ POC 中，PO=PC=a 2，OC=a

∴ 222POC a 4

7)OC 21(PO OC 21S =-?=

? ∴ S 侧=2

222a 4

7622a 47a 26a 21++=++

399. 四棱锥V —ABCD 底面是边长为4的菱形，∠BAD=1200

，VA ⊥底面ABCD ，VA=3，AC 与BD 交于O ，（1）求点V 到CD 的距离；（2）求点V 到BD 的距离；（3）作OF ⊥VC ，垂足为F ，证明OF 是BD 与VC 的公垂线段；（4）求异面直线BD 与VC 间的距离。

解析：用三垂线定理作点到线的垂线在平面ABCD 内作AE ⊥CD ，E 为垂足

∴ AE 为VE 在平面ABCD 上的射影 ∴ VE ⊥CD

∴ 线段VE 长为点V 到直线CD 的距离

∵ ∠BAD=1200

∴ ∠ADC=600

∴ △ACD 为正三角形 ∴ E 为CD 中点，AE=

3242

=? ∴ VE=21AE V A 22=+ （2）∵ AO ⊥BD

∴ 由三垂线定理VO ⊥BD

∴ VO 长度为V 到直线BD 距离

VO=13AO V A 22=+

（3）只需证OF ⊥BD ∵ BD ⊥HC ，BD ⊥VA ∴ BD ⊥平面VAC ∴ BD ⊥OF

∴ OF 为异面直线BD 与VC 的公垂线（4）求出OF 长度即可在Rt △VAC 中

OC=2

AC=2，VC=5AC V A 22=+

∴ OF=OC ·sin ∠ACF=OC ·5

532VC VA =?=

400. 斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面△ABC 中，AB=AC=10，BC=12，A 1到A 、B 、C 三点的距离都相等，且AA1=13，求斜三棱柱的侧面积。解析：∵A 1A=A 1B=A 1C

∴ 点A 1在平面ABC 上的射影为△ABC 的外心，在∠BAC 平分线AD 上 ∵ AB=AC ∴ AD ⊥BC

∵ AD 为A 1A 在平面ABC 上的射影 ∴ BC ⊥AA 1 ∴ BC ⊥BB 1

∴ BB 1C 1C 为矩形，S=BB 1×BC=156 取AB 中点E ，连A 1E ∵ A 1A=A 1B ∴ A 1E ⊥AB

∴ 12)2

AB (

AA E A 2

11=-= ∴ 20S S B B A A C

C A A 1111==

∴ S 侧=396

401. 如图，在ΔABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝a,AC ＝b,D 是斜边AB 上的点，以CD 为棱把它折成直二面角A —CD —B 后，D 在怎样的位置时，AB 为最小，最小值是多少?

解析：设∠ACD ＝θ，则∠BCD ＝90°-θ，作AM ⊥CD 于M ，BN ⊥CD 于N ，于是AM ＝bsin θ,CN ＝asin θ.

∴MN ＝｜asin θ-bcos θ｜，因为A —CD —B 是直二面角，AM ⊥CD ，BN ⊥CD ，∴AM 与BN 成90°的角，于是AB ＝

22222)cos sin (cos sin θθθθb a a b -++＝θ222sin ab b a -+≥ab b a -+22.

∴当θ＝45°即CD 是∠ACB 的平分线时，AB 有最小值，最小值为ab b a -+22.

402.自二面角内一点分别向两个面引垂线，求证：它们所成的角与二面角的平面角互补.

已知：从二面角α—AB —β内一点P ，向面α和β分别引垂线PC 和PD ，它们的垂足是C 和D.求证：∠CPD 和二面角的平面角互补.

证：设过PC 和PD 的平面PCD 与棱AB 交于点E ， ∵PC ⊥α，PD ⊥β ∴PC ⊥AB ，PD ⊥AB ∴CE ⊥AB ，DE ⊥AB

又∵CE ?α，DE ?β，∴∠CED 是二面角α—AB —β的平面角. 在四边形PCED 内：∠C ＝90°，∠D ＝90°

∴∠CPD 和二面角α—AB —β的平面∠CBD 互补.

403.求证：在已知二面角，从二面角的棱出发的一个半平面内的任意一点，到二面角两个面的距离的比是一个常数. 已知：二面角α—ED —β，平面γ过ED ，A ∈γ，AB ⊥α，垂足是B.AC ⊥β，垂足是C. 求证：AB ∶AC ＝k(k 为常数)

证明：过AB 、AC 的平面与棱DE 交于点F ，连结AF 、BF 、CF. ∵AB ⊥α，AC ⊥β.∴AB ⊥DE ，AC ⊥DE.

∴DE ⊥平面ABC.∴BF ⊥DE ，AF ⊥DE ，CF ⊥DE.

∠BFA ，∠AFC 分别为二面角α—DE —γ，γ—DE —β的平面角，它们为定值. 在Rt ΔABF 中，AB ＝AF ·sin ∠AFB.

在Rt ΔAFC 中，AC ＝AF ·sin ∠AFC ，得：

AC AB ＝AFC

AF AFB

AF ∠∠sin sin ＝定值.

404. 如果直线l 、m 与平面α、β、γ满足l ＝β∩γ，l ∥α,m ?α和m ⊥γ.那么必有( ) A.α⊥γ且l ⊥m B.α⊥γ且m ∥β C.m ∥β且l ⊥m D.α∥β且α⊥γ 解析：∵m ?α,m ⊥γ. ∴α⊥γ. 又∵m ⊥γ,β∩γ＝l. ∴m ⊥l.

∴应选A.

说明本题考查线面垂直、面面垂直及综合应用推理判断能力及空间想象能力.

405. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝

2π，AB ＝a,AD ＝3a,且∠ADC ＝arcsin 5

5，又PA ⊥平面ABCD ，

AP ＝a.求：(1)二面角P —CD —A 的大小(用反三角函数表示)；(2)点A 到平面PBC 的距离.

解析：(1)作CD ′⊥AD 于D ′，∴ABCD ′为矩形，CD ′＝AB ＝a ，在Rt ΔCD ′D 中. ∵∠ADC ＝arcsin

55,即⊥D ′DC ＝arcsin 5

5， ∴sin ∠CDD ′＝

CD D C '＝5

5 ∴CD ＝5a ∴D ′D ＝2a ∵AD ＝3a,∴AD ′＝a ＝BC 又在Rt ΔABC 中，AC ＝

22BC AB +＝2a,

∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥AC ，PA ⊥AD ，PA ⊥AB. 在Rt ΔPAB 中，可得PB ＝2a.

在Rt ΔPAC 中，可得PC ＝22AC PA +＝3a.

在Rt ΔPAD 中，PD ＝2

2)3(a a +＝10a.

∵PC 2

+CD 2

＝(3a)2

+(5a)＝8a 2

＜(10a)2

∴cos ∠PCD ＜0，则∠PCD ＞90°

∴作PE ⊥CD 于E ，E 在DC 延长线上，连AE ，由三垂线定理的逆定理得AE ⊥CD ，∠AEP 为二面角P —CD —A 的平面角. 在Rt ΔAED 中∠ADE ＝arcsin

，AD ＝3a. ∴AE ＝AD ·sin ∠ADE ＝3a ·

5＝553 a.

在Rt ΔPAE 中，tan ∠PEA ＝

AE PA ＝a a 55

3＝35.

∴∠AEP ＝arctan

35，即二面角P —CD —A 的大小为arctan 3

5. (2)∵AD ⊥PA ，AD ⊥AB ，∴AD ⊥平面PAB.

∵BC ∥AD ，∴BC ⊥平面PAB.

∴平面PBC ⊥平面PAB ，作AH ⊥PB 于H ，∴AH ⊥平面PBC. AH 为点A 到平面PBC 的距离. 在Rt ΔPAB 中，AH ＝

PB AB PA ?＝a

a a 2?＝22

a. 即A 到平面PBC 的距离为

a. 说明 (1)中辅助线AE 的具体位置可以不确定在DC 延长线上，而直接作AE ⊥CD 于E ，得PE ⊥CD ，从而∠PEA 为所求，同样可得结果，避免过多的推算.(2)中距离的计算，在学习几何体之后可用“等体积法”求.

406. 如图，在二面角α—l —β中，A 、B ∈α，C 、D ∈l ，ABCD 为矩形，P ∈β，PA ⊥α，且PA ＝AD ，M 、N 依次是AB 、PC 的中点.

(1)求二面角α—l —β的大小； (2)求证：MN ⊥AB ；

(3)求异面直线PA 与MN 所成角的大小.

解析：(1)连PD ，∵ABCD 为矩形，∴AD ⊥DC ，即AD ⊥l.又PA ⊥l ，∴PD ⊥l. ∵P 、D ∈β，则∠PDA 为二面角α—l —β的平面角.

∵PA ⊥AD ，PA ＝AD ，∴ΔPAD 是等腰直角三角形，∴∠PDA ＝45°，即二面角α—l —β的大小为45°.

(2)过M 作ME ∥AD ，交CD 于E ，连结NE ，则ME ⊥CD ，NE ⊥CD ，因此，CD ⊥平面MNE ，∴CD ⊥MN.∵AB ∥CD ，∴MN ⊥AB (3)过N 作NF ∥CD ，交PD 于F ，则F 为PD 的中点.连结AF ，则AF 为∠PAD 的角平线，∴∠FAD ＝45°，而AF ∥MN ，∴异面直线PA 与MN 所成的45°角.

407. 如图，在三棱柱ABC —A ′B ′C ′中，四边形A ′ABB ′是菱形，四边形BCC ′B ′是矩形，C ′B ′⊥AB. (1)求证：平面CA ′B ⊥平面A ′AB ；

(2)若C ′B ′＝2，AB ＝4，∠ABB ′＝60°，求AC ′与平面BCC ′B ′所成角的大小.(用反三角函数表示)

解析：(1)∵在三棱柱ABC —A ′B ′C 中，C ′B ′∥CB ，∴CB ⊥AB.∵CB ⊥BB ′，AB ∩BB ′＝B ，∴CB ⊥平面A ′AB.∵CB ?平面CA ′B ，∴平面CA ′B ⊥平面A ′AB

(2)由四边形A ′ABB ′是菱形，∠ABB ′＝60°，连AB ′，可知ΔABB ′是正三角形.取 B B ′中点H ，连结AH ，则AH ⊥BB ′.又由C ′B ′⊥平面A ′AB ，得平面A ′ABB ′⊥平面 C ′B ′BC ，而AH 垂直于两平面交线BB ′，∴AH ⊥平面C ′B ′BC.连结C ′H ，则∠AC ′H 为 AC ′与平面BCC ′B ′所成的角，AB ′＝4，AH ＝23，于是直角三

角形C ′B ′A 中，A ′C ＝5，在Rt ΔAHC ′中，sin ∠AC ′H ＝

2∴∠AC ′H ＝arcsin

523,∴直线AC ′与平面BCC ′

B ′所成的角是arcsin

408. 已知四棱锥P —ABCD ，它的底面是边长为a 的菱形，且∠ABC ＝120°，PC ⊥平面ABCD ，又PC ＝a ，E 为PA 的中点.

(1)求证：平面EBD ⊥平面ABCD ； (2)求点E 到平面PBC 的距离； (3)求二面角A —BE —D 的大小.

(1)证明: 在四棱锥P —ABCD 中，底面是菱形，连结AC 、BD ，交于F ，则F 为AC 的中点. 又E 为AD 的中点，∴EF ∥PC

又∵PC ⊥平面ABCD ，∴EF ⊥平面ABCD.EF ?平面EBD. ∴平面EBD ⊥平面ABCD.

(2)∵EF ∥PC ，∴EF ∥平面PBC

∴E 到平面PBC 的距离即是EF 到平面PBC 的距离过F 作FH ⊥BC 交BC 于H ，

∵PC ⊥平面ABCD ，FH ?平面ABCD ∴PC ⊥FH.

又BC ⊥FH ，∴FH ⊥平面PBC ，则FH 是F 到平面PBC 的距离，也是E 到平面PBC 的距离. ∵∠FCH ＝30°，CF ＝

3a. ∴FH ＝

21CF ＝4

3a. (3)取BE 的中点G ，连接FG 、AG 由(1)的结论，平面BDE ⊥平面ABCD ，AF ⊥BD ，

∴AF ⊥平面BDC. ∵BF ＝EF ＝

，∴FG ⊥BE ，由三垂线定理得，AG ⊥BE ， ∴∠FGA 为二面角D —BE —A 的平面角. FG ＝

2a ×22＝42a,AF ＝2

3a.

∴tg∠FGA＝

＝6,∠FAG＝arctg6

即二面角A—BE—D的大小为arctg6

409.若ΔABC所在的平面和ΔA1B1C1所在平面相交，并且直线AA1、BB1、CC1相交于一点O，求证：

(1)AB和A1B1、BC和B1C1、AC和A1C1分别在同一平面内；

(2)如果AB和A1B1、BC和B1C1、AC和A1C1分别相交，那么交点在同一直线上(如图).

(1)证明：∵AA1∩BB1＝O,

∴AA1、BB1确定平面BAO，

∵A、A1、B、B1都在平面ABO内，

∴AB?平面ABO；A1B1?平面ABO.

同理可证，BC和B1C1、AC和A1C1分别在同一平面内.

(2)分析：欲证两直线的交点在一条直线上，可根据公理2，证明这两条直线分别在两个相交平面内，那么，它们的交点就在这两个平面的交线上.

证明：如图，设AB∩A1B1＝P；

AC∩A1C1＝R；

∴面ABC∩面A1B1C1＝PR.

∵ BC?面ABC；B1C1?面A1B1C1，

且 BC∩B1C1＝Q ∴ Q∈PR,

即 P、R、Q在同一直线上.

410.点P、Q、R分别在三棱锥A-BCD的三条侧棱上，且PQ∩BC＝X,QR∩CD＝Z,PR∩BD＝Y.求证：X、Y、Z三点共线.

解析：证明点共线的基本方法是利用公理2，证明这些点是两个平面的公共点.

证明∵P、Q、R三点不共线，∴P、Q、R三点可以确定一个平面α.

∵ X∈PQ，PQ?α，∴X∈α，又X∈BC，BC?面BCD，∴X∈平面BCD.

∴点X是平面α和平面BCD的公共点.同理可证，点Y、Z都是这两个平面的公共点，即点X、Y、Z都在平面α和平面BCD的交线上.

411.直线m、n分别和平行直线a、b、c都相交，交点为A、B、C、D、E、F，如图，求证：直线a、b、c、m、n共面.

解析：证明若干条直线共面的方法有两类：一是先确定一个平面，证明其余的直线在这个平面里；二是分别确定几个平面，然后证明这些平面重合.

证明∵a∥b,∴过a、b可以确定一个平面α.

∵A∈a,a?α，∴A∈α,同理B∈a.

又∵A∈m，B∈m,∴m?α.同理可证n?α.

∵b∥c,∴过b,c可以确定平面β，同理可证m?β.

∵平面α、β都经过相交直线b、m,

∴平面α和平面β重合，即直线a、b、c、m、n共面.

412.证明两两相交而不共点的四条直线在同一平面内.

已知：如图，直线l1，l2，l3，l4两两相交，且不共点.

求证：直线l1，l2，l3，l4在同一平面内

解析：证明几条直线共面的依据是公理3及推论和公理1.先证某两线确定平面α，然后证其它直线也在α内.

证明：图①中，l1∩l2＝P，

∴ l1,l2确定平面α.

又 l1∩l3＝A,l2∩l3＝C, ∴ C,A∈α.

故 l3?α.

同理 l4?α.

∴ l1,l2,l3,l4共面.

图②中，l1,l2,l3,l4的位置关系，同理可证l1,l2,l3,l4共面.

所以结论成立.

413.证明推论3成立.（如图）

已知：a∥b，求证：经过a,b的平面有且只有一个.

证明：(存在性)∵a∥b，由平行线的定义知：a、b共面，所以经过a、b的平面有一个.

(唯一性)，在a上取两点A、B，在b上取一点C.

∵a∥b,∴A、B、C三点不共线，由公理3知过A、B、C三点的平面只有一个，从而过a,b两直线的平面也是惟一的.

414.一条直线过平面内一点与平面外一点，它和这个平面有几个公共点?为什么?

解析：只有一个，假设有两个公共点，由公理1知该直线上所有点都在这个平面内，这和直线过平面外一点矛盾.

415.过已知直线外一点与这条直线上的三点分别画三条直线，证明：这三条直线在同一平面内.

解答：已知：A a，如图，B、C、D∈a，证明：AB、AC、AD共面.

证明：∵A a，∴A，a确定平面α，∵B、C、D∈a，a?α.

∴B、C、D∈α

又A∈α.

∴AB、AC、AD?α.

即AB、AC、AD共面.

416.空间可以确定一个平面的条件是( )

A.两条直线

B.一点和一直线

C.一个三角形

D.三个点

解析：由推论2和推论3知两条相交直线或者两条平行直线才确定一个平面，两条直线还有位置关系异面.故排除A，由推论1知点必在线外才合适，排除B.由公理3知不共线三点可确定一个平面，D中三个点不一定不共线，排除D.公理3结合公理1，知选C.

417.下列命题正确的是( )

A.经过两条直线有且只有一个平面

B.经过一条直线和一个点有且只有一个平面

C.如果平面α与β有三个公共点，则两个平面一定是重合平面

D.两个平面α、β有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线

解析：根据公理2、公理3知选D.

418.已知四点，无三点共线，则可以确定( )

A.1个平面

B.4个平面

C.1个或4个平面

D.无法确定

解析：因为无三点共线，所以任意三个点都可以确定平面α，若第四个点也在α内，四个点确定一个平面，当第四个点在α外，由公理3知可确定4个平面.故选C.

419.已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧且相距是1，那么这个球的半径是( ) A.4 B.3 C.2 D.5

解析：如图，设球的半径是r，则πBD2＝5π，πAC2＝8π，

∴BD2＝5，AC2＝8.又AB＝1，设OA＝x.

∴x2+8＝r2,(x+1)2+5＝r2.

解之，得r＝3

故选B.

420.在桌面上有三个球两两相切，且半径都为1，在桌面与三球间放置一个小球，使它与三个球相切.求此小球半径. 解析：如图，球O为放置在桌面上与已知三球相切的半径为r的小球，过O作O1O2O3平面的垂线，垂足为H，它一定

高中数学立体几何教学研究

高中数学“立体几何”教学研究一 . “立体几何”的知识能力结构高中的立体几何是按照从局部到整体的方式呈现的，在必修2中，先从对空间几何体的整体认识入手，主通过直观感知、操作确认，获得空间几何体的性质，此后，在空间几何体的点、直线和平面的学习中，充分利用对模型的观察，发现几何体的几何性质并通过简单的“推理”得到一些直线和平面平行、垂直的几何性质，从微观上为进一步深入研究空间几何体做了必要的准备.在选修2-1中，首先引入空间向量，在必修2的基础上完善了几何论证的理论基础，在此基础上对空间几何体进行了深入的研究. 首先安排的是对空间几何体的整体认识，要求发展学生的空间想像能力，几何直观能力，而没有对演绎推理做出要求. 在“空间点、直线、平面之间的位置关系”的研究中，以长方体为模型，通过说理（归纳出判定定理，不证明）或简单推理进行论证（归纳并论证明性质定理），在“空间向量与立体几何”的学习中，又以几何直观、逻辑推理与向量运算相结合，完善了空间几何推理论证的理论基础，并对空间几何中较难的问题进行证明. 可见在立体几何这三部分中，把空间想像能力，逻辑推理能力，适当分开，有所侧重地、分阶段地进行培养，这一编排有助于发展学生的空间观念、培养学生的空间想象能力、几何直观能力，同时降低学习立体几何的门槛，同时体现了让不同的学生在数学上得到不同的发展的课标理念. 二. “立体几何”教学内容的重点、难点 1.重点：空间几何体的结构特征：柱、锥、台、球的结构特征的概括；空间几何体的三视图与直观图：几何体的三视图和直观图的画法；空间几何体的表面积与体积：了解柱、锥、台、球的表面积与体积的计算公式；空间点、直线、平面的位置关系：空间直线、平面的位置关系；直线、平面平行的判定及其性质：判定定理和性质定理的归纳；直线、平面垂直的判定及其性质：判定定理和性质定理的归纳. 2.难点：空间几何体结构特征的概括：柱、锥、台球的结构特征的概括；空间几何体的三视图与直观图：识别三视图所表示的几何体；空间点、直线、平面的位置关系：三种语言的转化；直线、平面平行的判定及其性质：性质定理的证明；直线、平面垂直的判定及其性质：性质定理的证明.

高中数学立体几何证明定理及性质总结

一．直线和平面的三种位置关系： 1. 线面平行 2. 线面相交 l 符号表示：符号表示： 3. 线在面内符号表示：二．平行关系： 1.线线平行：方法一：用线面平行实现。方法二：用面面平行实现。 m l m l l // // ? ? ? ? ? ? = ? ? β α β α m l m l// // ? ? ? ? ? ? = ? = ? β γ α γ β α 方法三：用线面垂直实现。若α α⊥ ⊥m l,，则m l//。 2.线面平行：方法一：用线线平行实现。 α α α// // l l m m l ? ? ? ? ? ? ? ? 方法二：用面面平行实现。 α β β α // // l l ? ? ? ? ? 3.面面平行：方法一：用线线平行实现。方法二：用线面平行实现 β α α β // ' ,' , ' // ' // ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 且相交且相交 m l m l m m l l 。β α β α α // , // // ? ? ? ? ? ? ?且相交 m l m l 三．垂直关系： l

1. 线面垂直：方法一：用线线垂直实现。方法二：用面面垂直实现。 α α⊥??? ????? ?=?⊥⊥l AB AC A AB AC AB l AC l , αββαβα⊥???? ???⊥=?⊥l l m l m , 2. 面面垂直：方法一：用线面垂直实现。方法二：计算所成二面角为直角。 βαβα⊥?? ?? ?⊥l l 3. 线线垂直：方法一：用线面垂直实现。 m l m l ⊥?? ?? ?⊥αα 方法二：三垂线定理及其逆定理。 PO l OA l PA l αα⊥? ? ⊥?⊥????

高中数学立体几何知识点归纳总结

高中数学立体几何知识点归纳总结一、立体几何知识点归纳第一章空间几何体（一）空间几何体的结构特征（1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体. 围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做顶点。旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其中，这条定直线称为旋转体的轴。（2）柱，锥，台，球的结构特征 1.棱柱 1.1棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 E'D' F' C'侧面 A'B' l 1.2相关棱柱几何体系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的底面侧棱关系：斜棱柱 ED FC ① 底面是正多形棱柱正棱柱棱垂直于底面直棱柱其他棱柱 AB ②四棱柱底面为平行四边形平行六面体侧棱垂直于底面直平行六面体底面为矩形长方体底面为正方形正四棱柱侧棱与底面边长相等正方体 1.3棱柱的性质： ①侧棱都相等，侧面是平行四边形； ②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； ③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形； ④直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。 1.4长方体的性质： ①长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的 D1 C1 平方和；【如图】 2222 ACABADAA 11 A1 D B1 ②（了解）长方体的一条对角线 AC 与过顶点A 的三条 1 C AB 棱所成的角分别是，，，那么

第1页

222 coscoscos1， 222 sinsinsin2； ③（了解）长方体的一条对角线A C与过顶点A的相邻三个面所成的角分别是，，， 1 则 222 coscoscos2， 222 sinsinsin1. 2.侧面展开图：正n棱柱的侧面展开图是由n个全等矩形组成的以底面周长和侧棱长为邻边的矩形. 3.面积、体积公式：S ch 直棱柱侧直棱柱全底，V棱柱底 Sch2SSh （其中c为底面周长，h 为棱柱的高）1.5圆柱 2.1圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱. 母线A' B' O' C' 轴轴截面 2.2圆柱的性质：上、下底及平行于底面的截面都是等圆；过轴的截面（轴截面）是全等的矩形. 2.3侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和AOC 侧面B 母线长为邻边的矩形. 底面2.4面积、体积公式： S圆柱侧=2rh；S 圆柱全= 2 2rh2r，V 圆柱=S底h= 2 rh（其中r为底面半径，h为圆柱高） 1.6棱锥 3.1棱锥——有一个面是多边形，其余各 S 顶点侧面面是有一个公共顶点的三角形，由这些高面所围成的几何体叫做棱锥。侧棱正棱锥——如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。 3.2棱锥的性质：底面斜高DC ①平行于底面的截面是与底面相似的正 O AB H 多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比； ②正棱锥各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形； ③正棱锥中六个元素，即侧棱、高、斜高、侧棱在底面内的射影、斜高在底面的射影、底面边长一半，构成四个直角三角形。）（如上图：SOB,SOH,SBH,OBH为直角三角形） 3.3侧面展开图：正n棱锥的侧面展开图是有n个全等的等腰三角形组成的。

高中数学立体几何测试题及答案一)

高中数学必修2立体几何测试题及答案（一）一，选择（共80分，每小题4分） 1，三个平面可将空间分成n个部分，n的取值为（） A，4；B，4，6；C，4，6，7 ；D，4，6，7，8。 2，两条不相交的空间直线a、b，必存在平面α，使得（） A，a?α、b?α；B，a?α、b∥α；C，a⊥α、b⊥α；D，a?α、b⊥α。 3，若p是两条异面直线a、b外的任意一点，则（） A，过点p有且只有一条直线与a、b都平行；B，过点p有且只有一条直线与a、b都垂直；C，过点p有且只有一条直线与a、b都相交；D，过点p有且只有一条直线与a、b都异面。 4，与空间不共面四点距离相等的平面有（）个 A，3 ；B，5 ；C，7；D，4。 5，有空间四点共面但不共线，那么这四点中（） A，必有三点共线；B，至少有三点共线；C，必有三点不共线；D，不可能有三点共线。 6，过直线外两点，作与该直线平行的平面，这样的平面可有（）个 A，0；B，1；C，无数；D，涵盖上三种情况。 7，用一个平面去截一个立方体得到的截面为n边形，则（） A，3≤n≤6 ；B，2≤n≤5 ；C，n=4；D，上三种情况都不对。 8，a、b为异面直线，那么（） A，必然存在唯一的一个平面同时平行于a、b；B，过直线b 存在唯一的一个平面与a平行；C，必然存在唯一的一个平面同时垂直于a、b；D，过直线b 存在唯一的一个平面与a垂直。 9，a、b为异面直线，p为空间不在a、b上的一点，下列命题正确的个数是（） ①过点p总可以作一条直线与a、b都垂直；②过点p总可以作一条直线与a、b都相交；③

过点p 总可以作一条直线与a 、b 都平行；④过点p 总可以作一条直线与一条平行与另一条垂直；⑤过点p 总可以作一个平面与一条平行与另一条垂直。 A ，1； B ，2； C ，3； D ，4。 10，异面直线a 、b 所成的角为80°，p 为空间中的一定点，过点p 作与a 、b 所成角为40° 的直线有（）条 A ，2； B ，3； C ，4； D ，6。 11，P 是△ABC 外的一点，PA 、PB 、PC 两两互相垂直，PA=1、PB=2、PC=3，则△ABC 的面积为（）平方单位 A ，25； B ，611； C ，27； D ，2 9。 12，空间四个排名两两相交，以其交线的个数为元素构成的集合是（） A ，{2，3，4}； B ，{1，2，3，}； C ，{1，3，5}； D ，{1，4，6}。 13，空间四边形ABCD 的各边与对角线的长都是1，点P 在AB 上移动，点Q 在CD 上移动，点P 到点Q 的最短距离是（） A ，21； B ，22； C ，23； D ，4 3。 14，在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，PA ⊥平面ABC ，PA=8，则P 到BC 的距离是（） A ，45； B ，43； C ，25； D ，23。 15，已知m ，n 是两条直线，α，β是两个平面，下列命题正确的是（） ①若m 垂直于α内的无数条直线，则m ⊥α；②若m 垂直于梯形的两腰，则m 垂直于梯形所在的平面；③若n ∥α，m ?α，则n ∥m ；④若α∥β，m ?α，n ⊥β，则n ⊥m 。 A ，①②③； B ，②③④； C ，②④； D ，①③。 16，有一棱长为1的立方体，按任意方向正投影，其投影最大面积为（）

立体几何-2009-2017全国高中数学联赛分类汇编

2009-2017全国高中数学联赛分类汇编第09讲：立体几何 1、（2010一试7）正三棱柱111C B A ABC -的9条棱长都相等，P 是1CC 的中点，二面角α=--11B P A B ,则=αsin 【答案】4 【解析】 O E P 1B 1 A 1 C B A 设分别与平面P BA 1、平面P A B 11垂直的向量是),,(111z y x m =、),,(222z y x n =，则 ???? ?=++-=?=+-=?,03, 022111111z y x z x BA ???? ?=-+-=?=-=?, 03, 022221211z y x B x A B n 由此可设)3,1,0(),1,0,1(==，所以cos m n m n α?=? ，即 2cos cos αα=?= .所以4 10sin =α. 解法二：如图，PB PA PC PC ==11, . 设B A 1与1AB 交于点,O 则1111,,OA OB OA OB A B AB ==⊥ . 11,,PA PB PO AB =⊥因为所以从而⊥1AB 平面B PA 1 . 过O 在平面B PA 1上作P A OE 1⊥,垂足为E .

连结E B 1,则EO B 1∠为二面角11B P A B --的平面角.设21=AA ,则易求得 3,2,5111== ===PO O B O A PA PB . 在直角O PA 1?中，OE P A PO O A ?=?11,即5 6,532= ∴?= ?OE OE . 11B O B E =∴===又.4 10 5 542sin sin 111= ==∠=E B O B EO B α. 2、（2011一试6）在四面体ABCD 中，已知?=∠=∠=∠60CDA BDC ADB ，3==BD AD ，2=CD ，则四面体ABCD 的外接球的半径为【解析】因为?=∠=∠=∠60ADB CDB CDA ，设CD 与平面ABD 所成角为θ，可求得3 2sin ,3 1cos = = θθ．在△DMN 中，332 33232,121=??=?=== DP DN CD DM ．学科*网由余弦定理得231312)3(1222=? ??-+=MN ，故2=MN ．四边形DMON 的外接圆的直径 33 22sin === θ MN OD ．故球O 的半径3=R ． 3、（2012一试5）设同底的两个正三棱锥P ABC -和Q ABC -内接于同一个球．若正三棱锥P ABC -的

高中数学立体几何专项练习

立体几何简答题练习 1、正方形ABCD 与正方形ABEF 所在平面相交于AB,在AE 、BD 上各有一点P 、Q,且AP=DQ 。求证:PQ ∥平面BCE.（用两种方法证明） 2、如图所示,P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点,E 、F 分别在PA 、BD 上,且PE:EA=BF:FD,求证:EF ∥平面PBC. 3、如图，E ，F ，G ，H 分别是正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱BC ，CC 1，C 1D 1，AA 1的中点。求证：（1）EG ∥平面BB 1D 1D ；（2）平面BDF ∥平面B 1D 1H ．

4、如图所示，已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别为AB 、PC 的中点，平面PAD ∩平面PBC ＝l. (1)求证：l ∥BC ； (2)MN 与平面PAD 是否平行？试证明你的结论。 5、如图，在四棱锥S-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，SA ⊥底面ABCD ，SA=SB ，点M 是SD 的中点，AN ⊥SC ，且交SC 于点N 。（1）求证：SB ∥平面ACM ；（2）求证：平面SAC ⊥平面AMN ；（3）求二面角D-AC-M 的余弦值。 6、如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 是边长为2的正方形,侧面PAD ⊥底面ABCD,且PA=PD= 2 2 AD,E 、F 分别为PC 、BD 的中点. 求证:(1) 求证:EF ∥平面PAD; (2) 求证:平面PAB ⊥平面PDC; (3) 在线段AB 上是否存在点G,使得二面角C-PD-G 的余弦值为3 1 ?说明理由.

高中数学立体几何知识点总结(详细)

高中数学立体几何知识点总结一、空间几何体（一）空间几何体的类型 1 多面体：由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 2 旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。其中，这条直线称为旋转体的轴。（二）几种空间几何体的结构特征 1 、棱柱的结构特征 1.1 棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。棱柱的分类棱柱四棱柱平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体性质： Ⅰ、侧面都是平行四边形，且各侧棱互相平行且相等； Ⅱ、两底面是全等多边形且互相平行； Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等；棱长都相等底面是正方形底面是矩形侧棱垂直于底面底面是平行四边形底面是四边形

1.3 棱柱的面积和体积公式 ch S =直棱柱侧（c 是底周长，h 是高） S 直棱柱表面 = c ·h+ 2S 底 V 棱柱 = S 底 ·h 2 、棱锥的结构特征 2.1 棱锥的定义（1）棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。（2）正棱锥：如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的投影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。 2.2 正棱锥的结构特征 Ⅰ、平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比；截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的立方比； Ⅱ、正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形；正棱锥侧面积： 1 '2 S ch = 正棱椎（c 为底周长，'h 为斜高）体积：1 3 V Sh = 棱椎（S 为底面积，h 为高）正四面体：对于棱长为a 正四面体的问题可将它补成一个边长为 a 2 2 的正方体问题。 A B C D P O H

高中数学必修二立体几何入门试题精选

高中数学必修二立体几何入门试题精选内容：空间几何体与异面直线时间：90分钟分值：100分一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分?在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列说法不正确的是（） A. 圆柱的侧面展开图是一个矩形 B. 圆锥过轴的截面是一个等腰三角形 C. 平行于圆台底面的平面截圆台截面是圆面 D .直角三角形绕它的一边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥 2. 下列四个几何体中，每个几何体的三视图有且仅有两个视图相同的是（） 3. 如右图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 1的正三角形，俯视图是一个圆，那么几何体的侧面积为（ B. ①正方体 A .①② B .①③ C .①④ D .②④ C. _2 D. 4 A i B i C i D i 中，既与 AB 共面也与CC i 共面的棱的条数为（ 4.平面六面体ABCD

5. 一个几何体的三视图如右图所示，其中正视图中厶 ABC 是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的 9. 在平面上，若两个正三角形的边长的比为 1 : 2，则它们的面积比为 1 : 4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为 1 : 2,则它们的体积比为 _」 10. 过圆锥高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥侧面分成的三部分的面积之比为 11.直三棱柱ABC A1B 1C 1的各顶点都在同一球面上，若AB AC AAA 2 , BAC 120，则此球的表面积等于 _______________________ 侧视图的面积为（ )? A. 12 B . 2 3 C . 3 2 D . 6 6 ?—个骰子由1~6六个数字组成 ,请你根据图中三种状态所显示的数字，推出 “？ ”处的数字是（ : ) A. 6 B 3 C 1 D 7. 如右图所示的直观图，其平面图形的面积为（ ) 3”2 A. 3 B . 2 C . 6 D . . 3 2 则该几何体的表面积为（） ?（不考虑接触点） A. 6+ .3 B. 18+ .3 4 C. 32 D. 18+ 2.3 亠「3 丿、填空题（本大题共5小题，每小题 4分，满分20分?把答案填在题中横线上正迄要 8.如右图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示, 俯视侧视

高中数学必修2立体几何专题资料

专题一浅析中心投影与平行投影中心投影与平行投影是画空间几何体的三视图和直观图的基础，弄清楚中心投影与平行投影能使我们更好地掌握三视图和直观图，平行投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与这个平面图形的形状和大小完全相同；而中心投影则不同．下表简单归纳了中心投影与平行投影，结合实例让我们进一步了解平行投影和中心投影．例1如何才能使如图所示的两棵树在同一时刻的影长分别与它们的原长相等？解析：方法一：可在同一方向上画出与原长相等的影长，分别连结它们影子顶点与树的顶点，此时为平行投影. 方法二：可在两树外侧不同方向上画出与原长相等的影子，连结影子顶点与树的顶点相交于P，此时为中心投影，P为光源位置. 点评：这是一道平行投影和中心投影相结合的题目，答案不唯一.连结物体顶点与其影子顶点，如果得到的是平行线，即为平行投影；如果得到的是相交线，则为中心投影，这是判断平行投影与中心投影的方法，也是确定中心投影光源位置的基本作法，还应注意，若中心投影光源在两树同侧时，图中的两棵树的影子不可能与原长相等. 例2 如图所示，点O为正方体ABCD-A′B′C′D′的中心，点E为面B′BCC′的中心，点F为B′C′的中点，则空间四边形D′OEF在该正方体的面上的正投影可能是________(填出所有可能的序号)．

解析：在下底面ABCD上的投影为③，在右侧面B′BCC′上的投影为②，在后侧面D′DCC′上的投影为①. 答案：①②③ 点评：画出一个图形在一个平面上的投影的关键是确定该图形的关键点，如顶点、端点等，方法是先画出这些关键点的投影，再依次连接各投影点即可得此图形在该平面上的投影．专题二不规则几何体体积的求法当所给几何体形状不规则时，无法直接利用体积公式求解，可尝试用以下几种常用的方法求出原几何体的体积，下面逐一介绍，供同学们参考．一、等积转换法当所给几何体的体积不能直接套用公式或套用公式时某一量（底面积或高）不易求出时，可以转换一下几何体中有关元素的相对位置进行计算求解，该方法尤其适用于求三棱锥的体积．例1在边长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N，P 分别是棱A1B1，A1D1，A1A上的点，且满足A1M = 1 2A1B1， A1N=2ND1，A1P= 3 4A1A（如图1），试求三棱锥A1—MNP的体积．分析：若用公式V= 1 3Sh直接计算三棱锥A1—MNP的体积，则需要求出△MNP的面积和该三棱锥的高，这两者显然都不易求出，但若将三棱锥A1—MNP的顶点和底面转换一下，变为求三棱锥P—A1MN的体积，便能很容易的求出其高和底面△A1MN的面积，从而代入公式求解．解：V A 1-MNP =V A1—MNP = 1 3·S△A1MN ·h = 1 3× 1 2·A1M1·A1N·A1P= 1 3× 1 2× 1 2a· 2 3a· 3 4a= 1 24a 3．

高中数学立体几何知识点总结

高中数学之立体几何平面的基本性质公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线. 公理3 经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面. 根据上面的公理，可得以下推论. 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面. 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面. 空间线面的位置关系共面平行—没有公共点 (1)直线与直线相交—有且只有一个公共点异面(既不平行，又不相交) 直线在平面内—有无数个公共点 (2)直线和平面直线不在平面内平行—没有公共点 (直线在平面外) 相交—有且只有一公共点 (3)平面与平面相交—有一条公共直线(无数个公共点) 平行—没有公共点异面直线的判定证明两条直线是异面直线通常采用反证法. 有时也可用定理“平面内一点与平面外一点的连线，与平面内不经过该点的直线是异面直线”. 线面平行与垂直的判定 (1)两直线平行的判定 ①定义：在同一个平面内，且没有公共点的两条直线平行. ②如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，即若a∥α,aβ，α∩β=b,则a∥b. ③平行于同一直线的两直线平行，即若a∥b,b∥c,则a∥c. ④垂直于同一平面的两直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b ⑤两平行平面与同一个平面相交，那么两条交线平行，即若α∥β,α∩γ,β∩γ=b,则a∥b ⑥如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线与这两个平面的交线平行，即若α∩β=b,a∥α,a∥β，则a∥b. (2)两直线垂直的判定

高中数学立体几何专题证明题训练

A P B C F E D 立体几何专题训练 1．在四棱锥P －ABCD 中，PA ＝PB ．底面ABCD 是菱形，且∠ ABC ＝60°．E 在棱PD 上，满足DE ＝2PE ，M 是AB 的中点．（1）求证：平面PAB ⊥平面PMC ；（2）求证：直线PB ∥平面EMC ． 2．如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的各棱长都相等， D 、 E 分别是CC 1和AB 1的中点，点 F 在BC 上且满足BF ∶FC =1∶3. (1)若M 为AB 中点，求证：BB 1∥平面EFM ； (2)求证：EF ⊥BC 。 3.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，,E P 分别是 11,BC A D 的中点，M 、N 分别是1,AE CD 的中点，1,2AD AA a AB a === （1）求证：//MN 面11ADD A （2）求三棱锥P DEN -的体积 4如图1，等腰梯形ABCD 中，AD ∠ο 60⊥⊥⊥ 4a 2a （1）求证：平面PCF ⊥平面PDE ；（2）求四面体PCEF 的体积. 6如图，等腰梯形ABEF 中，//AB EF ，AB =2， 1AD AF ==，AF BF ⊥，O 为AB 的中点，矩形ABCD 所在的平面和平面ABEF 互相垂直. （Ⅰ）求证：AF ⊥平面CBF ；（Ⅱ）设FC 的中点为M ，求证：//OM 平面DAF ；（Ⅲ）求三棱锥C BEF -的体积. 7在直三棱柱111C B A ABC -中，,900=∠ABC E 、F 分别为 11A C 、11B C 的中点,D 为棱1CC 上任一点. （Ⅰ）求证：直线EF ∥平面ABD ；（Ⅱ）求证：平面ABD ⊥平面11BCC B 8已知正六棱柱111111ABCDEF A B C D E F -的所有棱长均为2，G 为 AF 的中点。（1）求证：1F G ∥平面11BB E E ；（2）求证：平面1F AE ⊥平面11DEE D ； D A B C P E M A B D C E A B C D E P F A B C D E F M O C 1 A B C D E F A 1 B 1

高中数学立体几何专题

高中课程复习专题——数学立体几何一空间几何体㈠空间几何体的类型 1 多面体：由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 2 旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。其中，这条直线称为旋转体的轴。㈡几种空间几何体的结构特征 1 棱柱的结构特征棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 % 棱柱的分类棱柱的性质， ⑴侧棱都相等，侧面是平行四边形； ⑵两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； ⑶过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形； ⑷直棱柱的侧棱长与高相等，侧面的对角面是矩形。长方体的性质 ⑴长方体的一条对角线的长的平方等于一个顶点上三条棱的平方和：AC12 = AB2 + AC2 + AA12 ⑵长方体的一条对角线AC1与过定点A的三条棱所成 ` 的角分别是α、β、γ，那么： cos2α + cos2β + co s2γ = 1 sin2α + sin2β + sin2γ = 2 ⑶长方体的一条对角线AC1与过定点A的相邻三个面所组成的角分别为α、β、γ，则： cos2α + cos2β + cos2γ = 2 sin2α + sin2β + sin2γ = 1 图1-1 棱柱图1-2 长方体图1-1 棱柱

棱柱的侧面展开图：正n 棱柱的侧面展开图是由n 个全等矩形组成的以底面周长和侧棱为邻边的矩形。棱柱的面积和体积公式 S 直棱柱侧面 = c ·h (c 为底面周长，h 为棱柱的高) S 直棱柱全 = c ·h+ 2S 底【 V 棱柱 = S 底 ·h 2 圆柱的结构特征 2-1 圆柱的定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱。 2-2 圆柱的性质 ⑴ 上、下底及平行于底面的截面都是等圆； ⑵ 过轴的截面(轴截面)是全等的矩形。 2-3 圆柱的侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形。 - 2-4 圆柱的面积和体积公式 S 圆柱侧面 = 2π·r ·h (r 为底面半径，h 为圆柱的高) S 圆柱全 = 2π r h + 2π r 2 V 圆柱 = S 底h = πr 2h 3 棱锥的结构特征 3-1 棱锥的定义 ⑴ 棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 ⑵ 正棱锥：如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的投影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。 3-2 正棱锥的结构特征 ⑴ 平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比； ⑵ 正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形； ⑶ 正棱锥中的六个元素，即侧棱(SB)、高(SO)、斜高(SH)、侧棱在底面上的射影(OB)、斜高在底面上的射影(OH)、底面边长的一半(BH)，构成四个直角三角形(三角形SOB 、SOH 、SBH 、OBH 均为直角三角形)。 3-3 正棱锥的侧面展开图：正n 棱锥的侧面展开图是由n 个全等的等腰三角形组成。 3-4 正棱锥的面积和体积公式图1-3 圆柱 )

高中数学立体几何重要知识点(经典)

立体几何知识点 1、柱、锥、台、球的结构特征（1）棱柱：几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。（2）棱锥几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。（3）棱台：几何特征：①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点（4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。（5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。（6）圆台：定义：以直角梯形的垂直与底边的腰为旋转轴,旋转一周所成几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。（7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 4、柱体、锥体、台体的表面积与体积（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。（2）特殊几何体表面积公式（c 为底面周长，h 为高，' h 为斜高，l 为母线） ch S =直棱柱侧面积 rh S π2=圆柱侧 '2 1ch S =正棱锥侧面积 rl S π=圆锥侧面积 ')(2 121h c c S +=正棱台侧面积 l R r S π)(+=圆台侧面积 ()l r r S +=π2圆柱表 ()l r r S +=π圆锥表 () 22R Rl rl r S +++=π圆台表（3）柱体、锥体、台体的体积公式 V Sh =柱 2V S h r h π==圆柱 13V S h =锥 h r V 23 1π=圆锥 '1()3 V S S h =台 '2211()()33V S S h r rR R h π=+=++圆台（4）球体的表面积和体积公式：V 球=343 R π ； S 球面=24R π

高中数学-立体几何位置关系-平行与垂直证明方法汇总

高中数学-立体几何位置关系-平行与垂直证明方法汇总（一）立体几何中平行问题证明直线和平面平行的方法有： ①利用定义采用反证法； ②平行判定定理； ③利用面面平行，证线面平行。主要方法是②、③两法在使用判定定理时关键是确定出面内的与面外直线平行的直线. 常用具体方法：中位线和相似例1、P是平行四边形ABCD所在平面外一点,Q是PA的中点. 求证：PC∥面BDQ. 证明：如图，连结AC交BD于点O. ∵ABCD是平行四边形， ∴A O=O C.连结O Q，则O Q在平面BDQ内，且O Q是△APC的中位线， ∴PC∥O Q. ∵PC在平面BDQ外， ∴PC∥平面BDQ. 例2、在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，设M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、C1D1、B1C1的中点.求证： (1)E、F、B、D四点共面；（2）面AMN∥面EFBD.

证明:(1)分别连结B 1D 1、ED 、FB ，如图，则由正方体性质得 B 1D 1∥BD. ∵E 、F 分别是D 1C 1和B 1C 1的中点， ∴EF ∥ 21B 1D 1.∴EF ∥2 1 BD. ∴E 、F 、B 、D 对共面. （2）连结A 1C 1交MN 于P 点，交EF 于点Q ，连结AC 交BD 于点O ，分别连结PA 、Q O . ∵M 、N 为A 1B 1、A 1D 1的中点， ∴MN ∥EF ，EF ?面EFBD. ∴MN ∥面EFBD. ∵PQ ∥A O , ∴四边形PA O Q 为平行四边形. ∴PA ∥O Q. 而O Q ?平面EFBD ， ∴PA ∥面EFBD.且PA ∩MN=P ，PA 、MN ?面AMN ， ∴平面AMN ∥平面EFBD. 例3如图（1），在直角梯形P 1DCB 中，P 1D//BC ，CD ⊥P 1D ，且P 1D=8，BC=4，DC=4 6， A 是P 1D 的中点，沿A B 把平面P 1AB 折起到平面PAB 的位置（如图（2）），使二面角P —CD —B 成45°，设E 、F 分别是线段AB 、PD 的中点. 求证：AF//平面PE C ；证明：如图，设PC 中点为G ，连结FG ，

高中数学立体几何知识点总结(详细)

高中数学立体几何知识点总结一、空间几何体（一）空间几何体的类型 1多面体：由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 2旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。其中，这条直线称为旋转体的轴。（二）几种空间几何体的结构特征 1、棱柱的结构特征 1.1棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。棱柱的分类「斜機柱 ①校*L曲査十底雨＞直棱柱］一IF 皱ft 他械柱… 底面是四边形底面是平行四边形棱柱四棱柱平行六面体侧棱垂直于底面底面是矩形直平行六面体'长方体底面是正方形棱长都相等正四棱柱正方体性质： I、侧面都是平行四边形，且各侧棱互相平行且相等； n、两底面是全等多边形且互相平行；川、平行于底面的截面和底面全等；

2 1.3棱柱的面积和体积公式 S 直棱柱侧ch （ c 是底周长，h 是咼） S 直棱柱表面=c ? h+ 2S 底 V 棱柱=S 底? h 2、棱锥的结构特征 2.1棱锥的定义（1）棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。（2）正棱锥：如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的投影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。 2.2正棱锥的结构特征 I 、平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比；截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的立方比； n ＞正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形；正棱锥侧面积： 1 S 正棱椎（c 为底周长，h'为斜高） 2 1 体积：V 棱椎-Sh （ S 为底面积，h 为高） 3 正四面体：对于棱长为a 正四面体的问题可将它补成一个边长为 2 -a 的正方体问题。 P O H C

高中数学立体几何知识点及练习题

点、直线、平面之间的关系㈠平面的基本性质公理一：如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内。公理二：不共线的三点确定一个平面。推论一：直线与直线外一点确定一个平面。推论二：两条相交直线确定一个平面。推论三：两条平行直线确定一个平面。公理三：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，这些公共点的集合是一条直线(两个平面的交线)。㈡空间图形的位置关系 1 直线与直线的位置关系(相交、平行、异面) 1.1 平行线的传递公理：平行于同一直线的两条直线相互平行。即：a∥b，b∥c a∥c 1.2 异面直线定义：不在任何一个平面内的两条直线称为异面直线。 1.3 异面直线所成的角 ⑴异面直线成角的范围：(0°，90°]. ⑵作异面直线成角的方法：平移法。注意：找异面直线所成角时，经常把一条异面直线平移到另一条异面直线的特殊点(如中点、端点等)，形成异面直线所成的角。 2 直线与平面的位置关系(直线在平面内、相交、平行) 3 平面与平面的位置关系(平行、斜交、垂直) ㈢平行关系(包括线面平行和面面平行) 1 线面平行 1.1 线面平行的定义：平面外的直线与平面无公共点，则称为直线和平面平行。 1.2 判定定理： 1.3 性质定理：

2 线面角： 2.1 直线与平面所成的角(简称线面角)：若直线与平面斜交，则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角θ。 2.2 线面角的范围：θ∈[0°，90°] 3 面面平行 3.1 面面平行的定义：空间两个平面没有公共点，则称为两平面平行。 3.2 面面平行的判定定理： ⑴ 判定定理1：如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，那么两个平面相互平行。即：推论：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的两条线段，那么这两个平面平行。即： ⑵ 判定定理2：垂直于同一条直线的两平面互相平行。即： 3.3 面面平行的性质定理 ⑴ (面面平行线面平行) ⑵ ⑶ 夹在两个平行平面间的平行线段相等。㈣垂直关系(包括线面垂直和面面垂直) 1 线面垂直 1.1 线面垂直的定义：若一条直线垂直于平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于平面。 1.2 线面垂直的判定定理：图2-3 线面角图2-5 判定1推论图2-6 判定2

(完整word版)高中数学立体几何专项练习

立体几何简答题练习 1、正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB,在AE、BD上各有一点P、Q,且AP=DQ。求证:PQ∥平面BCE.（用两种方法证明） 2、如图所示,P是平行四边形ABCD所在平面外一点,E、F分别在PA、BD上,且PE:EA=BF:FD,求证:EF∥平面PBC. 3、如图，E，F，G，H分别是正方体ABCD-A 1B 1 C 1 D 1 的棱BC，CC 1 ，C 1 D 1 ，AA 1 的中点。求证：（1）EG∥平面BB 1D 1 D；（2）平面BDF∥平面B 1D 1 H．

7、如图,在四棱柱ABCD-A 1B 1 C 1 D 1 中,底面ABCD是等腰梯形,∠ DAB=60°,AB=2CD=2,M是线段AB的中点。 (1)求证:C 1M∥平面A 1 ADD 1 ; (2)若CD 1垂直于平面ABCD且CD 1 =3,求平面C 1 D 1 M和平面ABCD所成的角(锐角) 的余弦值。 8、如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，E是PC的中点．（1）证明：PA∥平面EDB；（2）证明：BC⊥DE．

高中立体几何证明方法及例题

由判定定理和性质定理构成一套完整的定理体系，在应用中：低一级位置关系判定高一级位置关系；高一级位置关系推出低一级位置关系，前者是判定定理，后者是性质定理。 1. 线线、线面、面面平行关系的转化： αβ αγβγ //,// ==???? a b a b 面面平行性质 ??? ? ? 面面平行性质 αγβγαβ //////?? ?? 2. 线线、线面、面面垂直关系的转化： a a OA a PO a PO a AO ?⊥?⊥⊥?⊥αα 在内射影则面面垂直判定线面垂直定义 l a l a ⊥??⊥? ??α α 面面垂直性质，推论2 αβ αββα⊥=?⊥?⊥??? ? ? b a a b a , αγβγαβ γ⊥⊥=?⊥? ?? ? ? a a 面面垂直定义 αβαβαβ =--?⊥? ?? l l ，且二面角成直二面角

面面∥面面平行判定2 线面垂直性质2a b a b //⊥?⊥??? α α a b a b ⊥ ⊥???? αα// a a ⊥⊥?? ?? αβα β // αβα β//a a ⊥⊥? ?? a 4. 应用以上“转化”的基本思路——“由求证想判定，由已知想性质。” 5. 唯一性结论： 1. 三类角的定义：（1）异面直线所成的角θ：0°＜θ≤90 ° （2）直线与平面所成的角：0°≤θ≤90° （3）二面角：二面角的平面角θ，0°＜θ≤180° 2. 三类角的求法：转化为平面角“一找、二作、三算” 即：（1）找出或作出有关的角；（2）证明其符合定义；（3）指出所求作的角；（4）计算大小。

高二数学立体几何试题及答案(完整资料).doc

【最新整理，下载后即可编辑】【模拟试题】一. 选择题（每小题5分，共60分） 1. 给出四个命题： ①各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱； ②各对角面是全等矩形的平行六面体一定是长方体； ③有两个侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱； ④长方体一定是正四棱柱。其中正确命题的个数是（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 下列四个命题： ①各侧面是全等的等腰三角形的四棱锥是正四棱锥； ②底面是正多边形的棱锥是正棱锥； ③棱锥的所有面可能都是直角三角形； ④四棱锥中侧面最多有四个直角三角形。正确的命题有________个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 长方体的一个顶点处的三条棱长之比为1：2：3，它的表面积为88，则它的对角线长为（） A. 12 B. 24 C. 214 D. 414 4. 湖面上漂着一个球，湖结冰后将球取出，冰面上留下一个面直径为24cm，深为8cm的空穴，则该球的半径是（） A. 8cm B. 12cm C. 13cm D. 82cm 5. 一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积为侧面积的比是（） A. 12 2 +π π B. 14 4 +π π C. 12 +π π D. 14 2 +π π 6. 已知直线l m ⊥? 平面，直线平面 αβ，有下面四个命题： ①αβ//?⊥l m；②αβ⊥?l m //；③l m //?⊥ αβ；④l m⊥?αβ//。其中正确的两个命题是（） A. ①② B. ③④ C. ②④ D. ①③

7. 若干毫升水倒入底面半径为2cm 的圆柱形器皿中，量得水面的高度为6cm ，若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是（） A. 63cm B. 6cm C. 2182 D. 3123 8. 设正方体的全面积为242cm ，一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是（） A. 63πcm B. 32 3 3 πcm C. 8 3 3 πcm D. 4 3 3 πcm 9. 对于直线m 、n 和平面αβ、能得出αβ⊥的一个条件是（） A. m n m n ⊥，，////αβ B. m n m n ⊥=?，，αβα C. m n n m //，，⊥?βα D. m n m n //，，⊥⊥αβ 10. 如果直线l 、m 与平面αβγ、、满足： l l m m =?⊥βγααγ ，，，//，那么必有（） A. αγ⊥⊥和l m B. αγβ////，和m C. m l m //β，且⊥ D. αγαβ⊥⊥且 11. 已知正方体的八个顶点中，有四个点恰好为正四面体的顶点，则该正四面体的体积与正方体的体积之比为（） A. 13： B. 12： C. 2：3 D. 1：3 12. 向高为H 的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V 与水深h 的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是（）二. 填空题（每小题4分，共16分） 13. 正方体的全面积是a 2，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是__________。 14. 正四棱台的斜高与上、下底面边长之比为5：2：8，体积为143cm ，则棱台的高为____________。 15. 正三棱柱的底面边长为a ，过它的一条侧棱上相距为b 的