第七章谓词逻辑初步
一、填空题
1．关系词项“包庇”在直接关系推理中表现为（非对称）性，在间接关系推理中表现为（非传递）性。
2．如果关系R是反传递性的，则由aRb和bRc为前提，可推出（﹁(aRc)）。
3．在概念外延间的全异、真包含、交叉关系中，属于传递性关系的是（真包含关系），属于反对称性关系的是（真包含关系）。
4．在概念外延间的全同、真包含于、交叉、矛盾关系中，属于反对称关系的是（真包含于关系），属于反传递关系的是（真包含于关系、矛盾关系）。
5．已知关系R是反对称的、传递的，由aRb真可得知（bRa假）；由aRb真且bRc真可得知（aRc真）。
二、单项选择题
1．B
2．A
3．B
4．C
5．C
6．C
7．A
解析：由题意可知，甲+乙=丙+丁，甲+丁＞乙+丙，甲+丙＜乙。经过运算可得，丁＞乙＞甲＞丙。
8．C
三、双项选择题
1．“人事变动不等于政策变动，所以政策变动不等于人事变动。”该推理是（BE ）A．有效的反对称性关系推理B．有效的对称性关系推理
C．无效的反对称关系推理D．无效的对称性关系推理
E．有效的纯关系推理
2．“甲了解乙，乙了解丙，所以甲了解丙。”这个推理是（CE ）
A．有效的传统关系推理B．有效的反传统关系推理
C．误把非传统关系当作传递关系D．无效的反传统关系推理
E．无效的纯关系推理
3．下列既是反对称性又是传递性的关系是（CD ）
A．援助B．矛盾
C．在……左边D．真包含于
E．交叉
4．“柏拉图和亚里士多德是古希腊哲学家”这个命题是（CE ）
A．关系命题B．直言命题
C．复合命题D．全称命题
E．联言命题
注意，直言命题通常被分析到词项，因此直言命题通常是指简单命题。
5．在概念外延间的关系中，不具有传递性的是（CD ）
A．同一关系B．真包含关系
C．交叉关系D．全异关系
E．真包含于关系
四、应用分析题
（一）指出下列语词或语句中哪些是个体词、谓词、量词和命题？
1．数8。
答：“8”是个体词，“数”是谓词。
2．x是深红色的。
答：x是个体词，“是深红色的”是谓词。
注意，（1）这里的x其实是个体变项。下同。
（2）命题都有真假，而“x是深红色的”没有真假，因为这里的x实际上是一个空位，即该语句其实是“（）是深红色的”，它是一个开语句，不能表达
通常所谓的命题。下同。
3．x+y=z
答：x、y和z是个体词，+和=是谓词。
4．所有的x。
答：“所有”是量词，x是个体词。
5．将要出任校长的人。
答：“将要出任校长的人”是谓词。因为通常说，例如，“张三是将要出任校长的人”。6．小黄不爱小李，但也不讨厌小李。
答：“小黄”和“小李”为个体词，“爱”和“讨厌”是谓词，“小黄不爱小李”、“（小黄）不讨厌小李”和“小黄不爱小李，但也不讨厌小李”都是命题。
7．至少有数x。
答：x是个体词，“至少有”是量词，“数”是谓词。
8．几乎所有的人。
答：“几乎所有”是量词，“人”是个体词。
（二）把下列命题表达为谓词公式
1．有的粉笔是红色的。（F：是粉笔；G：是红色的）
解：?x(Fx∧Gx)
2．所有的学生都没有缺席。（F：是学生；G：缺席）
解：?x(Fx→﹁Gx)
3．有的学生既不是上海人也不是江西人。（F：是学生；G：是上海人；H：是江西人）解：?x(Fx∧﹁Gx∧﹁Hx)
4．小陈不接受任何意见。（a：小陈；F：是意见；R(x, y)：x接受y）
解：?x(Fx→﹁R(a, x))
5．有的服务员认识每一位来自北京的客人。（F：是服务员；G：来自北京；H：是客人；
R(x, y)：x认识y）
解：?x(Fx∧?y((Gy∧Hy)→R(x, y))
6．并非所有的儿童都喜欢喝某种饮料。（F：是儿童；G：是饮料；R(x, y)：x喜欢y）解：﹁?x(Fx→?y(Gy∧R(x, y)))
7．凡是小陈喜欢的书我都喜欢。（a：小陈；b：我；F：是书；R(x, y)：x喜欢y）解：?x((Fx∧R(a, x))→R(b, x))
（三）指出下列公式中哪些是约束变项，哪些是自由变项，并指出量词的辖域。
1．?x(Px∧Qx)→?xPx∧Qx
解：第一个x是约束变项，辖域为(Px∧Qx)。第二个x也是约束变项，辖域为Px。第三个x是自由变项。
2．?x(Px∧?xQx)∨?x(Rx→Qx)
解：第一个x是约束变项，辖域为(Px∧?xQx)。第二个x也是约束变项，辖域为Qx。
第三个x也是约束的，辖域为(Rx→Qx)。
3．?x(Px?Qx∧?xRx)∧?xRx∧Sx
解：第一个x是约束变项，辖域为(Px?Qx∧?xRx)。第二个x是约束变项，辖域为Rx。
第三个x为自由变项。
4．?x(Px→?yR(x, y))
解：x为约束变项，辖域为(Px→?yR(x, y))。y为约束变项，辖域为R(x, y)。
5．?x?y(R(x, y)→﹁Gx)∧?zR(x, z)
解：x为约束变项，辖域为(R(x, y)→﹁Gx)。y为约束变项，辖域为(R(x, y)→﹁Gx)。z 为约束变项，辖域为R(x, z)。
6．?x?y(P(x, y)∧Q(y, z))∧?xP(x, y)
解：第一个x为约束变项，辖域为P(x, y)∧Q(y, z)。第一个y约束变项，辖域为P(x, y)∧Q(y, z)。第二个x为约束变项，辖域为P(x, y)。第二个y为自由变项。
（四）把下列推理形式表达为谓词逻辑的蕴涵式
1．有的S是P，所以有的P不是S。
解：?x(Sx∧Px)→?x(Px∧﹁Sx)
2．所有M不是P，所有S是M，所以有的S不是P。
解：(?x(Mx→﹁Px)∧?x(Sx→Mx))→?x(Sx∧﹁Px)
3．没有P是M，凡S是M，所以凡S不是P。
解：(?x(Px→﹁Mx)∧?x(Sx→Mx))→?x(Sx→﹁Px)
4．所有M是P，所有M是S，所以有S是P。
解：?x(Mx→Px)∧?x(Mx→Sx)→?x(Sx∧Px)
（五）分析下列命题，指出哪些是直言命题，哪些是关系命题。
1．人民利益高于一切。
2．事实胜于雄辩。
3．普及工作和提高工作是紧密相连的。
4．普及工作和提高工作都是要进行的。
5．命题甲和命题乙是矛盾的。
6．命题甲和命题乙都是全称肯定命题。
答：第4和第6是直言命题，第1、2、3和第5是关系命题。
（六）下列各混合关系三段论的形式是否有效？为什么？
1．所有固体都能为有的液体溶解，有的金属是固体，所以有的金属能为有的液体溶解。
答：有效。
2．一切负数都不比一切正整数大，零不是负数，所以零不比一切正整数大。
答：无效。因为它的直言命题不是肯定命题。
3．每人都同意有些建议，有些建议是十分宝贵的，所以每人都同意有些十分宝贵的建议。
答：无效。因为它违反媒介向必须至少周延一次的规则。
4．有些甲班同学没有参加书法小组，小吴参加书法小组，所以小吴不是甲班同学。
答：无效。因为它违反前提中不周延的项在结论中也不得周延的规则。
（七）把下列关系命题表达为谓词公式
1．珠穆朗玛峰比所有山都高。
解：设M表示山，a表示珠穆朗玛峰，H(x, y)表示x比y高，则
?x(Mx→H(a, x))
2．有些甲班同学的外语成绩比所有乙班同学的外语成绩差。
解：令J表示甲班同学，Y表示乙班同学，L(x, y)表示x的外语成绩比y的差，则?x(Jx∧?y(Yy→L(x, y))
第八章模态逻辑及其推理
一、单项选择题
1．与“这次试验必然不能成功”为矛盾关系的命题是（C ）
A．这次实验必然能成功。B．这次实验不必然能成功。
C．这次实验可能成功。D．这次实验不能成功有可能。
2．在下列各组命题中，具有差等关系的是（A ）
A．“必然p”与“可能p”B．“必然非p”与“可能p”
C．“可能p”与“可能非p”D．“可能非p”与“必然p”
3．?□p与?◇?p之间为（A ）
A．矛盾关系B．反对关系
C．差等关系D．下反对关系
4．以?□SEP为前提进行对当关系模态推理，其结论是（C ）
A．□SAP B．□SEP
C．◇SIP D．□?SIP
解析：这里需要经过两步推理，即?□SEP├◇?SEP├◇SIP。这两步推理分别用到如图两种不同类型的对当方阵。
5．以“有些昆虫可能是害虫”为前提进行对当关系推理，其结论用符号表示只能是（A ）A．?□SEP B．□SAP
C．◇SOP D．?◇SIP
解析：这里需要经过两步推理，即◇SIP├◇?SEP├?□SEP。这两步推理分别用到如图两种不同类型的对当方阵。
6．前提含有模态词“可能”的模态三段论，无论另一前提是哪种模态词，其结论的模态词应是（C ）
A．必然B．实然
C．可能D．以上三种都可以
7．“并非可能p”与“并非可能非p”之间为（A ）
A．反对关系B．矛盾关系
C．差等关系D．下反对关系
解析：“并非可能p”等值于“必然不p”，“并非可能非p”等值于“必然p”，所以“并非可能p”与“并非可能非p”是反对关系。
8．与“必然有S是P”的负命题相等值的命题是（B ）
A．可能有S是P B．可能凡S不是P
C．可能有S不是P D．不可能有S是P
9．以“不可能（p并且q）”为前提进行等值推理，其结论为（C ）
A．可能（非p或非q）B．必然（p且非q）
C．必然（非p或非q）D．必然（如果p则q）
10．以“不必然（非p或q）”为前提进行等值推理，其结论为（A ）
A．可能（p且非q）B．可能（非p且q）
C．可能（非p或q）D．必然（p且非q）
二、指出下列各模态命题的种类
1．这场斗争是必然要来的。
答：主观模态命题，但也可以说是客观模态命题。从物模态命题，狭义模态命题，非逻辑模态命题。
2．共产主义运动不可能是一帆风顺的。
答：从物模态命题，狭义模态命题，非逻辑模态命题。主观模态命题，但也可以说是客观模态命题。
3．火星上可能不会有生命存在。
答：客观模态命题，但也可以说是主观模态命题。狭义模态命题，非逻辑模态命题，从物模态命题。
4．攀登科技高峰可能要付出一个人的毕生精力。
答：主观模态命题，但也可以说是客观模态命题。狭义模态命题，非逻辑模态命题，从物模态命题。
5．社会发展规律不以人的意志为转移是必然的。
答：从言模态命题，狭义模态命题，非逻辑模态命题，（这里主要是指）主观模态命题。
三、根据模态命题间的对当关系，指出与下列命题同素材的其他三个模态命题的真假。1．第一次登台表演可能是紧张的。（真）
答：由“第一次登台表演可能是紧张的”为真，根据对当关系可知，“第一次登台表演必然不紧张”为假。“第一次登台表演可能不紧张”和“第一次登台表演必然紧张”
◇SOP ◇?SOP □SOP □?SOP
□SI P □?SI P ◇SI P ◇?SI P 均真假不定。
2．我国东北3至8月的气温一天比一天上升是必然的。（假）
答：由“我国东北3至8月的气温一天比一天上升是必然的”为假，根据对当关系可知，
“我国东北3至8月的气温一天不比一天上升是可能的”为真，“我国东北3至8月的气温一天不比一天上升是必然的”和“我国东北3至8月的气温一天比一天上升是可能的”均真假不定。
3．我国北方不可能在一年内种两茬麦子。（真）
答：“我国北方不可能在一年内种两茬麦子”就是“我国北方必然不在一年内种两茬麦
子”，由它为真，根据对当关系可知，“我国北方可能在一年内种两茬麦子”为假，“我国北方必然在一年内种两茬麦子”为假，“我国北方可能不在一年内种两茬麦子”为真。
4．中学生必然要考大学。（假）
答：由“中学生必然要考大学”为假，根据对当关系可知，“中学生可能不要考大学”
为真，“中学生必然不要考大学”和“中学生可能要考大学”均真假不定。
5．有的同学可能不好相处。（真）
答：“有的同学可能不好相处”中的否定通常被理解为内部否定。这有两种情况。
首先，如果把它理解为◇SOP ，那么根据如下对当方阵（左），由“有的同学可能不好相处”为真可知，“有的同学必然是好相处的”为假，“有的同学必然不是好相处的”和“有的同学可能是好相处的”真假不定。
其次，“有的同学可能不好相处”还可以理解为◇SI P ，那么根据如下对当方阵（右），由“有的同学可能不好相处”为真可知，“有的同学必然是不好相处的”为假，“有的同学必然是不好相处的”和“有的同学可能是好相处的”真假不定。
四、按命题间的对当关系，用适当的命题驳斥下列命题 1．在事业上有成就的人必然管理不好家庭。
反驳：在事业上有成就的人可能管理好家庭。 2．仅仅计较的人可能有宽阔的胸怀。
反驳：仅仅计较的人必然没有宽阔的胸怀。 3．年轻人不可能有见识。
反驳：年轻人可能有见识。
4．没读大学的孩子必然是没有出息的孩子。
反驳：没读大学的孩子可能是有出息的孩子。
5．不抓精神文明建设会影响物质文明建设不是必然的。
反驳：不抓精神文明建设必然会影响物质文明建设。
五、下列各组模态命题是否等值？如果不等值，请写出第一个命题的等值命题。 1．“不必然p ”与“可能不p ”。
答：等值。
2．“可能p”与“必然不p”。
答：它们之间是矛盾关系，不等值。第一个命题的等值命题是：并非必然不p。3．“东东一定有出息”与“东东一定没出息”。
答：它们之间是反对关系，不等值。第一个命题的等值命题是：并非东东一定没有出息。4．“有的教师可能离开学校”与“有的教师不离开学校是可能的”。
答：它们之间是下反对关系，不等值。第一个命题的等值命题是：所有教师必然没离开学校。
六、指出下列各模态推理的类型，并说明其是否有效，为什么？
1．没有马克思主义指导的工人运动必然不能顺利发展，所以没有马克思主义指导的工人运动不可能顺利发展。
答：该推理有效。这是根据对当关系中的矛盾关系进行的推理。
2．科学理论必然有指导作用，科学社会主义理论是科学理论，所以，科学社会主义理论必然有指导作用。
答：该推理是有效的模态三段论推理。因为如果前提之一引入必然模态，另一前提为实然模态，如无否定前提，则结论可以是必然模态。
3．物质世界不可能是静止的，自然界是物质世界，所以，自然界不可能是静止的。
答：这是有效的模态三段论推理。因为如果前提之一引入了可能模态，另一前提无论是可能模态、必然模态还是实然模态，结论只能是可能模态。
4．前提虚假可能不是正确的推理，所以，前提虚假必然不是正确的推理。
答：该推理无效。根据对当关系的差等关系，由“前提虚假可能不是正确的推理”为真不能必然推出“前提虚假必然不是正确的推理”为真。
5．历史小说可能百看不厌，《三国演义》是历史小说，所以《三国演义》必然是百看不厌的。
答：该推理无效。因为如果前提之一引入了可能模态，另一前提无论是可能模态、必然模态还是实然模态，结论只能是可能模态。
七、指出下列各规范命题的种类，并写出其逻辑形式。
1．允许干部经商。
答：该命题为允许肯定命题，形式为Pp。
2．并非允许干部经商。
答：该命题为允许肯定命题的否定命题，形式为﹁Pp。
3．并非订立经济合同允许违反国家法律。
答：该命题是允许肯定命题的否定命题，形式为﹁Pp。
4．并非不禁止校园内大声喧哗。
答：改命题为禁止肯定命题的否定命题，形式为﹁Fp。
5．每个共产党员都必须全心全意为人民服务。
答：该命题为必须肯定命题，形式为Op。
6．允许待业人员自谋职业。
答：该命题为允许肯定命题，形式为Pp。
八、如果已知“禁止干部经商”是正确的，请根据规范命题间的逻辑关系指出下列同素材的其他命题是否正确。
1．允许干部经商。
答：根据对当关系的矛盾关系，“允许干部经商”不正确。
2．并非允许干部经商。
答：根据对当关系的矛盾关系，“并非允许干部经商”正确。
3．干部必须经商。
答：根据对当关系的反对关系，“干部必须经商”错误。
4．干部不经商是禁止的。
答：按照对当关系的反对关系，“干部不经商是禁止的”错误。
5．不禁止干部经商。
答：按照矛盾关系，“不禁止干部经商”不正确。
九、指出下列各规范推理的类型，写出推理形式，并说明其是否正确。
1．禁止领导干部以权谋私，所以不允许领导干部以权谋私。
答：这是依据规范命题对当关系进行的推理，其形式是Fp├﹁Pp，是正确的，其根据是对当关系中的矛盾关系。
2．允许在工作中犯错误，所以在工作中必须不犯错误。
答：这是依据规范命题对当关系进行的推理，其形式是Pp├O﹁p。这是错误的，因为在对当方阵中，这两个命题是矛盾关系。
3．在外事工作中，禁止违反外事纪律，所以在外事工作中允许不违反外事纪律。
答：这是依据规范命题对当关系进行的推理，其形式是Fp├P﹁p。这是正确的，因为它们在对当关系中是差等关系。
4．共青团员必须起模范带头作用，张某不是共青团员，所以张某不必起模范带头作用。
答：这是规范三段论推理，其形式是OMAP∧SEM├﹁OSAP。这是错误推理。因为根据是规范命题对当关系，﹁OSAP├P﹁SAP├PSEP。PSEP的意思是：允许张某不
起带头作用。也就是说，OMAP∧SEM├PSEP，它犯有大项扩张的错误。
5．民航飞机禁止没有有效证件的人乘坐，波音747是民航飞机，所以波音747不允许没有有效证件的人乘坐。
答：这是规范三段论推理，其形式是“M禁止P，S是M，所以S不允许P”，是正确的。因为规范命题对当关系，“S不允许P”等值于“S禁止P”。
注：实际上，如果把这里的推理视为关系三段论，更符合直观，也更容易理解些。
第九章逻辑基本规律
一、填空题
1．违反三段论规则的“四词项”的错误，从逻辑规律的角度看，是一种违反（同一律）要求的逻辑错误。
2．根据形式逻辑基本规律中的（排中律），已知SIP为假，则SEP为真。
3．根据形式逻辑基本规律中的（矛盾律），若“如果认真学习，就能考得好成绩”为真，则“即使认真学习也不能考得好成绩”为假。
注意，“‘如果认真学习，就能考得好成绩’为真”等值于“‘即使认真学习也不能
考得好成绩’为假”。
4．根据形式逻辑基本规律中的（排中律），若“老王是党员而不是干部”为假，则充分条件命题“如果老王是党员，那么他是干部”为真。
注意，“‘老王是党员而不是干部’为假”等值于“‘如果老王是党员，那么他是干部’为真”。
5．根据形式逻辑基本规律中的（排中律），由“不严厉打击刑事犯罪，社会秩序也能安定”
为假，可知必要条件命题（只有严厉打击刑事犯罪，社会秩序才能安定）为真。
注意，“‘不严厉打击刑事犯罪，社会秩序也能安定’为假”等值于“‘只有严厉打击刑事犯罪，社会秩序才能安定’为真”。
6．根据形式逻辑基本规律中的（矛盾律），若p∧﹁q为真，则﹁p∨q为（假）。
二、单项选择题
1．如果否定p∧q而肯定p∨q，则（D ）
A．违反同一律B．违反矛盾律
C．违反排中律D．不违反逻辑规律
2．在以下断定中，违反逻辑基本规律要求的是（B ）
A．SAP真且SOP假B．SEP真且SOP假
C．SIP真且SAP假D．SOP真且SIP假
3．在下列断定中，违反逻辑基本规律的是（B ）
A．某关系不是对称的，也不是非对称的
B．某关系既是非对称的，又是反对称的
C．某关系不是对称的，也不是反对称的
D．某关系不是对称的，而是反对称的
4．对“如果灯亮，那么有电”和“如果灯不亮，那么无电”这两个命题同时肯定，则（D ）A．只违反矛盾律B．违反矛盾律
C．既违反矛盾律又违反排中律D．不违反矛盾律也不违反排中律
5．如果同时否定“必然p”和“必然非p”，则（C ）
A．违反同一律B．违反矛盾律
C．违反排中律D．不违反逻辑规律
6．既否定“◇p”，又否定“◇﹁p”，则（D ）
A．违反同一律B．违反矛盾律
C．违反排中律D．不违反逻辑规律
7．既断定“p←q”为真，又断定“p∧﹁q”为假，则（D ）
A．违反同一律B．违反矛盾律
C．违反排中律D．不违反逻辑规律
8．下列陈述违反排中律要求的是（D ）
A．﹁SIP∧﹁SAP B．既肯定SOP又否定﹁SIP
C．□p∧◇﹁p D．既否定﹁p∨q又肯定﹁(p∧﹁q)
9．“如果所有贪污犯都有作案动机，那么有些贪污犯有作案动机”和“有些贪污犯没有作案动机，或者有些贪污犯有作案动机，是不对的”，若断定这两个复合命题都真，则所犯的逻辑错误是（A ）
A．自相矛盾B．模棱两可
C．偷换论题D．偷换概念
10．在某次税务检查后，4位工商管理人员有如下结论：
甲：所有个体户都没纳税。
乙：服装个体户陈老板没纳税。
丙：个体户不都没纳税。
丁：有的个体户没纳税。
如果4人只有一人断定属实，则以下哪项是真的（B ）
A．甲的断定属实，陈老板没有纳税B．丙的断定属实，陈老板纳了税C．丙的断定属实，但陈老板没纳税D．丁的断定属实，陈老板没纳税E．丁的断定属实，但陈老板纳了税
解析：甲与丙的断定相矛盾，不能都真，必有一假。丙与丁的断定处于下反对关系，不能都假，必有一真。所以，丙的断定属实。再由题意可知，甲乙丁
的断定都不属实。所以，陈老板纳了税。
三、双向选择题
1．“能否理顺工资、价格的关系是改革成功的关键”，这句话（CE ）
A．没有违反逻辑规律B．犯“模棱两可”的错误
C．违反矛盾律D．违反排中律
E．犯“自相矛盾”的错误
2．下列复合命题违反排中律的有（AE ）
A．﹁SIP∧﹁SEP B．﹁SEP∧﹁SAP
C．﹁□p∧﹁◇p D．◇﹁p∧□p
E．﹁(﹁p∧q)∧﹁(p∨﹁q)
解析：SIP与SEP之间是矛盾关系，同时否定它们，便违反排中律。这对于﹁p∧q与p∨﹁q也是同样的道理。
3．下列复合命题违反逻辑基本规律的有（CE ）
A．火灾必然有原因，并且不可能没有原因
B．可能火灾有原因，并且火灾必然有原因
C．火灾有原因是必然的，火灾没有原因也是可能的
D．并非火灾必然没有原因并且火灾可能有原因
E．不可能火灾有原因，并且不必然火灾没有原因
4．下列情况不违反形式逻辑基本规律的有（AC ）
A．在不同时间、不同方面，对同一对象做出两个互相矛盾的判断，并断定为同假。
B．在同一时间、同一方面，对同一对象做出两个相互矛盾或反对的判断，并断定为同真。
C．在同一时间、同一方面，对同一对象做出两个相互矛盾或反对的判断，并断定为不能同真。
D．在同一时间、同一方面，对同一对象做出两个相互矛盾的判断，并断定为同假。
E．在同一时间、同一方面，对某一个别对象做出肯定和否定的判断，并断定为同假。
解析：选项A的语言表达不准确。既然是在不同时间和不同方面，何来的相互矛盾的判断？反过来，假如是相互矛盾的判断，又怎么可能是在不同时间和
不同方面的判断呢？
不同时刻的对象通常被视为同一对象。更准确地讲，例如，选项A可以表达为：在不同时间、不同方面，对某一个别对象做出肯定和否定的判
断，并断定为同假。
5．如果命题A与命题B有矛盾关系，则下列断定中违反逻辑基本规律的有（DE ）
A．A∧﹁B B．﹁A∧B
C．A B D．A∧B
E．﹁A∧﹁B
四、多项选择题
1．下列复合命题违反矛盾律的有（BCDE ）
A．□p∧﹁◇p B．□﹁p∧﹁□﹁p
C．﹁◇﹁p∧□﹁p D．□﹁p∧◇p
E．□﹁p∧□p
2．下列各组直言命题，若为同一思维过程中的陈述，则违反排中律的是（ABD ）A．某法官并不是如果受礼就秉公断案
某法官并不是受礼而没有秉公断案
B．某法官并不是只有受礼才秉公断案
某法官并不是没受礼却秉公断案
C．某法官并不是受礼或者秉公断案
某法官并不是受礼并且秉公断案
D．某法官并不是或者受礼或者秉公断案
某法官并不是既没受礼也没秉公断案
E．某法官并不是或者不受礼或者不秉公断案
某法官并不是不受礼而秉公断案
3．下列断定违反形式逻辑基本规律的有（ADE ）
A．既肯定SAP又肯定SI P B．既否定SE P，又否定P OS
C．并非□﹁p∧◇﹁p D．并非□p，并且并非◇﹁p
E．既肯定﹁p∨q，又肯定p∧﹁q
4．下列违反逻辑基本规律的断定是（DE ）
A．SAP假而SI P真B．S AP与S EP不能都真
C．□SAP与◇SOP都假D．SA P真S E P也真
E．PA S真但P IS假
解析：﹁◇SOP├□﹁SOP├□SIP。所以□SAP与◇SOP都假，不违反排中律。
PA S├ PES├ SEP，P IS├ SI P├ SOP。按照对当关系中的差等关系，如果SEP真那么SOP也真。所以，PA S真但P IS假，违反逻辑基本规律。
注意，选项D的“H E P”应当首先改为“S E P”。
5．甲乙丙丁四个孩子在院子里踢足球，把一户人家的玻璃打碎了。当房主问他们是谁踢球把玻璃打碎的时，他们都不承认是自己打的。
甲说：“是丙打的。”
丙说：“甲说的不符合事实。”
乙说：“不是我打的。”
丁说：“是甲打的。”
后查知四个孩子只有一个不说假话。由上述条可知（ABDE ）
A．说真话的是丙B．打碎玻璃的是乙
C．打碎玻璃的是甲D．打碎玻璃的不是甲
E．丁说假话，但打碎玻璃的不是丁
五、表解题
1．如果肯定A而否定B，是否违反逻辑基本规律的要求呢？为什么？
A：甲上场而乙不上场。
B：只有甲不上场，乙才上场。
解：设p表示甲上场，p表示乙上场，则
A：p∧﹁q
B：﹁p←q
做它们的真值表如下：
p q ﹁p ﹁q p∧﹁q ﹁p←q
1 1 0 0 0 0
1 0 0 1 1 1
0 1 1 0 0 1
0 0 1 1 0 1
有由上面的真值表可以看出，当肯定A时，必须肯定B。所以，肯定A而否定B 违反逻辑基本规律的要求。
2．下面丙说的话是否违反逻辑基本规律的要求？为什么？
甲对乙说：“并不是说或者你不正确或者我不正确。”
乙对甲说：“并不是说如果我不正确则你就正确。”
丙对二人说：“你们两人说的都对。”
解：设p表示甲正确，p表示乙正确，则丙的话可以符号化为
丙：﹁(﹁q∨﹁p)∧﹁(﹁q→﹁p)
做它的真值表如下：
p q ﹁p ﹁q ﹁q∨﹁p ﹁(﹁q∨﹁p) ﹁q→﹁p ﹁(﹁q→﹁p) 丙1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0
显然，丙的话是永假的，违反矛盾律的要求。
3．警察逮捕三个人，只知道他们其中一人是“说谎者俱乐部”的成员，另外两人是嫌疑犯。
请根据以下供词判定谁是说谎者俱乐部的成员。
审判员问：“你们谁是说谎者俱乐部的成员？”
A答：“……”审判员没留神，未听清，要求A再说一遍，A未说。
B说：“A刚才说，他是说谎者俱乐部的成员。我呢，当然就不是了。”
C说：“A刚才说他不是说谎者俱乐部成员，可我也不是。”
解：设p表示A是说谎者俱乐部的成员，p表示B是说谎者俱乐部的成员，r表示C是说谎者俱乐部的成员，则B和C的话可以分别符号化为
p∧﹁q
﹁p∧﹁r
根据题意可知，p q r
做它们的真值表如下：
p q r ﹁p ﹁q ﹁r p∧﹁q ﹁p∧﹁r p q r
1 1 1 0 0 0 0 0 0
1 1 0 0 0 1 0 0 0
1 0 1 0 1 0 1 0 0
1 0 0 0 1 1 1 0 1
0 1 1 1 0 0 0 0 0
0 1 0 1 0 1 0 1 1
0 0 1 1 1 0 0 0 1
0 0 0 1 1 1 0 1 0
B与C的话之间是反对关系，所以不能同真，必有一假。也就是说，B要么C是说谎者俱乐部成员。由题意知，A不是说谎者俱乐部成员，即p为假。
由真值表可见，同时满足p假、p∧﹁q与﹁p∧﹁r不同真、p q r为真等三个条件的只有q为真、r为假，即B是说谎者俱乐部成员。
六、分析题
（一）下列各题有无错误？如有错误，指出它违反哪条逻辑基本规律的要求。
1．他在20世纪里活100多岁。
答：错误。它既肯定在20世纪里又肯定活100多岁，违反矛盾律。
2．我基本上完全同意他的意见。
答：错误。既肯定基本上又肯定完全，违反矛盾律。
3．价值规律是永恒的历史范畴。
答：错误。既肯定是永恒的又肯定是历史的，违反矛盾律。
4．南极海岸地带，鸟的种类虽然少，鸟却很多。
答：正确。
5．我是不赞同背诵的，但也不赞成不背诵，我认为适当地背诵也是必要的。
答：错误。同时否定背诵和不背诵，违反排中律。
6．若是仇杀案的凶手，则罪犯与死者必然有仇。他是仇杀案的凶手，但与死者无仇。
答：错误。这两个命题是相互否定的，同时肯定它们就违反矛盾律。
7．如果大家都动手大搞卫生，那么我们的健康和疾病就有保障了。
答：错误。健康与疾病是相反对的，这里同时肯定它们，违反矛盾律。
8．鲁迅的小说不是一天能读完的，《祝福》是鲁迅的小说，所以《祝福》不是一天能读完的。答：错误。在“鲁迅的小说”中，“小说”是集合概念。在“《祝福》是鲁迅的小说”中，“小说”是非集合概念，它们不能作为中项组成一个三段论推理。这里违反同一律。
9．当有人说欧谛德谟说谎时，他狡辩说：“谁说谎，谁就是说不存在的东西；不存在的东西是无法说的，因此没有人说谎。”
答：错误。不存在的东西不等于无法说，这里违反同一律。
10．火星上或者有人类存在或者没有人类存在，但我不能断定火星上有人类存在是真的还是火星上没有人类存在是真的。
答：没有错误。火星上或者有人类存在，或者没有人类存在。这不等于能断定火星上有人类存在是真的还是火星上没有人类存在是真的，至少目前还没有人能够断定。
11．甲说：“这种陶瓷产品如果不是景德镇产的，就是唐山产的。”乙说：“不！它既不是景德镇产的，也不是唐山产的。”
答：没有错误。因为也有可能是其他地方产的。
12．说他既会雕刻又会游泳是不对的。不过，说他不会雕刻或不会游泳也不对。
答：错误。“他既会雕刻又会游泳”与“他不会雕刻或不会游泳”之间是矛盾关系，这里同时否定它们，违反排中律。
（二）下列议论是否符合逻辑基本规律的要求？如不符合，请指出错误所在。
1．下面是甲乙两人的一段对话。
甲：“照你这样说，就没有信念之类的东西了？”
乙：“没有，根本没有。”
甲：“你是这样确信的？”
乙：“对。”
答：不符合。乙既说没有信念之类的东西，但又说自己能确信这一点，犯有自相矛盾的错误。2．下面是金朝人王若虚的一段话。
或问文章有体乎？
曰：无。
又问无体乎？
曰：有。
然则果如何？
曰：定体则无，大体则有。
答：不违反逻辑基本规律。因为所谓无是指无定体，所谓有是指有大体。无与有不是从相同方面来讲的。
3．几个人就“飞碟”这种不明飞行物是否存在展开讨论。
赵说：可能存在飞碟。
钱说：根本不存在什么飞碟。
孙说：你们没看杂志介绍吗？一定有飞碟。
李说：我同意钱和孙的看法。
周说：我不同意钱和孙的看法。
王说：我不同意钱和赵的看法。
答：显然，赵、钱和孙的话都不违反逻辑规律。钱与孙的话具有反对关系，不能同真但可同假。因此，李的话违反矛盾律，周的话不违反逻辑规律。赵与钱的话具有矛盾关系，既不同真又不同假。王同时否定赵与钱的看法，因此违反排中律。
4．小孙说：“人必然没有特异功能。”
小李说：“不对。”
小孙说：“那么，你的意思是说人必然有特异功能。”
小李说：“我不是这个意思。”
小孙说：“你说话怎么出尔反尔呢？”
小李说：“你的话才不合逻辑呢。”
问：究竟谁不合逻辑？为什么？
答：小孙的话不合逻辑。因为由“人必然没有特异功能”，对其进行否定，只能推出“人可能有特异功能”，而推不出“人必然有特异功能”。
七、综合题
1．在侦破一件盗窃案的过程中，五名侦察员议论作案人究竟是谁。
甲说：或者A，或者B。
乙说：是C。
丙说：不是A，也不是B。
丁说：如果不是D，就是C。
戊说：肯定不是E。
查明结果后，发现只有一人说对了。请问，作案人是谁？
解：甲与丙的话具有矛盾关系，因此其中必有一真。也就是说，乙丁戊三人的话都是错的。所以，作案者是E。
2．某高校要从甲乙丙丁四人中选出一人出国深造。有ABCD四人猜测究竟谁能选中。
A说：甲选不中。
B说：丁能选中。
C说：丙能选中。
D说：丁选不中。
结果，只有一人没有猜对。请问，被选中出国者是谁？
解：BD两者的话是矛盾的，其中必有一人没有猜对。按照题意，A和C的分析都是正确的。所以，丙被选中出国。
3．某校在讨论出国进修人选时，有两种不同意见。
（1）如果甲去，那么乙不去。
（2）甲和乙都去。
当问王校长的意见时，王说：“这两种意见都不对，我主张乙去，甲不去。”
请问，王校长的意见是否违反逻辑基本规律的要求？为什么？
解：“如果甲去，那么乙不去”等值于“甲不去，或者乙不去”，它与“甲和乙都去”具有矛盾关系。王校长同时否定这两种具有矛盾关系的意见，违反排中律。
4．同时肯定下列ABC三个命题，是否违反逻辑基本规律的要求？为什么？
A：ME P B：SAM C：SI P
解：这三个命题之间具有密切联系，因为它们具备三段论的基本要素。但是，由ME P 和SAM为前提推不出SI P，因为这样组成的三段论的前提之一ME P是否定命题，该三段论的结论也应当为否定命题，而SI P为肯定命题。因此，同时肯定这三个
命题，就会违反矛盾律。
5．甲乙丙丁四人争夺围棋赛前四名。赵钱孙李对此进行预测。
赵：丁是第一名。
钱：甲不是第一名，并且乙不是第二名。
孙：如果乙是第二名，那么丙不是第三名。
李：如果甲不是第一名，那么乙是第二名。
结果表明，上述四人中仅一人预测正确。请问，甲乙丙丁各获第几名？请写出推导过程。
解：钱与李的观点具有矛盾关系，因此其中必有一个人的预测为真。所以，赵和孙的预测都是错误的。由赵的预测错误可得，丁不是第一名。由孙的预测错误可得，乙是
第二名，丙是第三名。由丁不是第一名，按照排除法可得，丁是第四名。所以，甲
是第一名。
第十章归纳逻辑
一、填空题
1．根据前提是否考察一类对象的全部个别对象，归纳推理分为（完全归纳推理）和（不完
全归纳推理）两大类。
2．求同法的主要特点是（异中求同，除异求同）。运用求同法要求在各个场合的先行情况中，只有一个先行情况是（相同的）。
3．求异法的主要特点是（同中求异，除同求异），运用求异法要求在正反两个场合中，只有一个先行情况是（不同的）。
4．从类比推理结论的性质上分析，它属于（或然性）推理。一般说来，如果把某对象的特有属于或偶有属于类推到其他对象，那就犯有（机械类比）的错误。
5．从假说的定义可以看出，假说是（科学）性和（假定）性的统一。
二、单项选择题
1．类比推理与简单枚举归纳推理的相同点之一在于（B ）
A．思维进程从一般到个别B．前提不蕴涵结论
C．思维进程从个别到一般D．结论是模态命题
2．在假说的形成阶段提出初步假定时运用的推理大多是（B ）
A．演绎推理和归纳推理B．归纳推理和类比推理
C．类比推理和演绎推理D．模态推理和归纳推理
3．契合差异并用法的特点是（D ）
A．同中求异B．异中求同
C．求同求异相续运用D．两次求同一次求异
4．动物学家用一种苍蝇（猩猩蝇）做实验。如果在猩猩蝇生长期内给予全日光照，猩猩蝇经过208小时成熟。如果给予半日光照，则猩猩蝇需要212小时才能生长成熟。如果在生长期内无光照，则要219小时内才能成熟。可见，光照时间长短是猩猩蝇成熟期长短的原因。该实验运用的寻求因果联系的方法是（C ）
A．求同法B．求异法
C．共变法D．剩余法
5．法国里昂大学的科学家对一百名男子调查，得出结论：“留大胡子者易秃顶。”他们认为，由于浓密的长胡子妨碍皮肤散热，许多男子秃顶是机体为了保护大脑免于过热而脱发。
他们使用的推理是（C ）
A．完全归纳推理B．简单枚举归纳推理
C．科学归纳推理D．概率归纳推理
6．据对一批企业的调查显示，这些企业总经理的平均年龄是57岁，而在20年前，这些企业的总经理的平均年龄大约是49岁。这说明，目前企业中总经理的年龄呈老化趋势。以下哪项对于题干的论证提出的质疑最为有力？（B ）
A．题干中没有说明，20年前这些企业关于总经理人选是否有年龄限制。
B．题干中没有说明，这些总经理任职的平均年数。
C．题干中的信息，仅仅基于有20年以上历史的企业。
D．20年前这些企业的总经理的平均年龄，仅是个近似数字。
E．题干中没有说明被调查企业的规模。
7．前年引进美国大片《廊桥遗梦》，仅仅在滨州市放映一周时间，各影剧院的总票房收入就达到800万元。这一次滨州市又引进《泰坦尼克号》，准备连续放映10天，1000万元的票房收入应该能够突破。根据这些信息，分析上述推断最可能隐含以下哪项假设？（ C ）A．滨州市很多人因为映期时间短都没有看《廊桥遗梦》，这一次可以得到补偿。
B．各影剧院普遍更新设备，这一次的音响效果比以前有很大改善。
C．这两部片子都是艺术精品，预计每天的上座率、票价等非常类似。
D．连续放映10天是以往比较少见的映期安排，可以吸引更多的观众。
E．灾难片加爱情片，《泰坦尼克号》的影响力和票房号召力是巨大的
8．光线的照射，有助于缓解冬季抑郁症。研究人员曾对9名患者进行研究，他们均因冬季白天变短而患上冬季抑郁症。研究人员让患者在清早和傍晚各受3个小时伴有花香的强光照射。一周之内，7名患者完全摆脱抑郁，另外两人也表现出显著好转。由于光照会诱使身体误以为夏季已经来临，这样便治好冬季抑郁症。（E ）
A．研究人员在强光照射时有意使用花香伴随，对于改善患上冬季抑郁症的患者的适应性有不小的作用。
B．9名患者中最先痊愈的3位均为女性，但对男性的治疗效果较为迟缓。
C．该实验均在北半球的温带气候中进行，无法区分南北两半球的实验差异，但也无法预先排除。
D．强光照射对于皮肤的损害义尽得到专门研究的证实，其中夏季比起冬季的危害性更大。
E．每天6小时的非工作状态，改变了患者原来的生活环境，改善了他们的心态。这是对抑郁症患者的一种主要影响。
三、下列结论能否借助于完全归纳推理得出？
1．天下乌鸦一般黑。
答：不能。由于人们事实上不能对全部乌鸦做出考察，所以无法借助完全归纳推理得出结论。
2．在阶级社会中，生产关系也就是阶级关系。
答：能。因为人们可以对历史上三种不同的阶级社会的各种生产关系做出考察。
注意，这里有一个预设，即人类社会有且仅有三种不同形态的阶级社会，即通常所谓的奴隶社会、封建社会、资本主义社会。但是，这个预设本身就是有问题的。试问，任何两种社会形态之间，尤其是相邻的两种社会形态之间，存在精确的分界线吗？
既然如此，为何不能把阶级社会区分为四种、五种，以至无穷呢？
3．础润而雨，月晕而风。
答：不能。因为该谚语仅仅是对过去的部分时间内某种自然现象的归纳总结，不是对所有时间的该种现象的总结。
4．24和28之间没有质数。（质数是仅能被自身和1整除的正整数）
答：能。因为24与28之间的质数是有限的。
5．春夏秋冬，周而复始。
答：不能。这句话仅仅是对以往时间的季节更替规律的归纳，而不是对所有时间的季节更替规律的归纳，因为人们无法归纳未来事件。
四、分析下列各段论述，从中可推出什么结论？需要运用哪种归纳推理？
1．用锯锯物，锯会发热。用锉锉物，锉会发热。在石头上磨刀，刀会发热。用枪射击，枪膛也会发热。
答：可以推出结论“摩擦生热”，需要运用简单枚举归纳推理。
2．硝酸钠能溶解于水，硝酸钾能溶解于水，硝酸铵能溶解于水，硝酸钙能溶解于水，硝酸钠、硝酸钾、硝酸铵是硝石的全部类属。
答：可以推出结论“硝石都能溶于水”。需要运用完全归纳推理。
3．敲锣发声时，如果用手指触摸锣面，会感到锣面在振动。用琴弓拉琴弦发声时，如果用纸条同发声的弦接触，纸条会被弦推动得跳动起来。人说话时，如果用手去摸咽喉，也
会觉得它在振动。
答：可以推出结论“发声物体会振动”，这里运用的是简单枚举归纳推理。
五、下列结论是根据何种探求因果联系的方法得出的？
1．萨克斯在1862年发现，植物淀粉是由叶绿素受光合作用吸收二氧化碳，将之分解，再与其他养料合成的。因为他发现，在其他条件相同时，如果遮挡日光，则植物不能产生淀粉；但只要以日光照射，植物便又立刻产生淀粉。
答：求异法。
2．1827年，英国植物学家布朗在用显微镜研究植物的花粉粒子浸在水中的形状时，发现这些粒子都在做不规则的运动。后来，他又发现植物叶子的微粒在水上也会运动，甚至如玻璃、烟灰、泥土等无生命物体的微粒也会在水上做不规则运动。经过三个月的反复和细致的观察后，布朗得出结论：凡是能漂浮在水上的微粒都会做不规则运动。
答：求同法
3．从前有两位化学家，他们从各种化合物中观察到氮重2.299微克，但在空气中氮则重2.301微克。于是，他们设想，空气中的氮的多余重量，必定是一个同氮相结合的未知元素的重量。后来，化学家们根据多次试验发现一种新的化学元素——氩。
答：剩余法
注意，题干中的“2.299克”和“2.301克”似乎应当分别改为“2.299微克”和“2.301微克”。
4．天文学家们通过对1959年以来观察到的现象证明，大约在太阳活动加强，磁场产生扰动时，在两星期内大气环流便发生改变。通常，当太阳活动加强时，大气环流的经向度加大，维持的时间增长，因此，冷空气的活动就显得频繁。反之，太阳活动减弱时，纬向环流加强，冷空气就不十分活跃。由此便可得出结论，太阳活动强弱是地球上气温升降的原因之一。
答：共变法。
5．达尔文在研究动物和环境的关系时发现，不同类的动物如果生活在相同的环境里，常常呈现出相同的形状。鲨鱼于是鱼类，鱼龙属于爬行类，海豚属于哺乳类，种类不同，但由于长期生活在相同的环境中，外貌很相似，身体都是棱形，都有胸鳍、背鳍和尾鳍。
反之，同类的动物，如果生活在不同的环境里，就有不同的形态。例如，狼、鲸、蝙蝠都是哺乳类，由于生活条件不同，形态就不同。狼适于奔跑，蝙蝠适于飞翔，鲸适于游泳。由此可知，生物的形态构造与其生活条件和环境有因果联系。
答：求同求异并用法
六、下列推理是什么推理？是否正确？如果不正确，指出其错误。
1．太阳是上帝创造用以照亮地球的。我们总是移动火把去照亮房子，决不会为了照亮房子而移动房子去就火把。因此，太阳围绕地球转，不是地球围绕太阳转。
答：类比推理。不正确。因为“太阳是上帝创造用以照亮地球的”作为前提至少是可疑的，不能视为事实，无法与另一种事实相类比。
2．在施旺和施莱登分别发现了动物和植物的机体都是由细胞组成之后，施莱登又在植物细胞中发现细胞核，而且研究了细胞核与细胞其他部分的关系。施莱登把自己的结果告诉施旺。施旺想起，如果动物和植物的机体的相似不是表面的，而是实质的，那么动物的细胞一定也会有细胞核。后来，施旺用显微镜观察，果然在动物的细胞中发现细胞核。
答：类比推理。正确。
3．我们学校的运动会是一个学校的运动会。如果一个学校的运动会要一个学校的全体人员
参加开幕式，那么奥运会是全世界的运动会，岂不是要全世界所有的人都参加开幕式吗？
答：类比推理。不正确，因为这里仅仅根据对象间表面相似性，犯有机械类比错误。4．这个学生又迟到了，他的这个毛病，就像出窑的砖，已经定型，改不掉了。
答：不完全归纳推理、类比推理。不正确，轻率概括或以偏概全、机械类比。
第十一章论证
一、填空题
1．论题论据前提结论
2．收敛结构
3．真实性相关性要求充足性要求
4．在论证过程中，如果以（真实性尚未确认）的命题作为论据，就会犯“预期理由”的逻辑错误。
5．循环论证
6．排中律矛盾律
二、单项选择题
1．D
2．D
3．C
4．D
5．C
6．B
7．A
8．B
9．D
10．E
三、多项选择题
1．BCE
2．ACD
四、分析题
（一）分析下列论证的结构，指出其论题、论据（包括省略论据）、论证方式和论证方法。1．论题：人的正确思想，只能从社会实践中来，只能从社会的生产斗争、阶级斗争和科学实验这三项实践中来。
论据：人的正确思想不是从天上掉下来的，不是自己头脑里固有的。
论证方式：间接论证。
论证方法：选言证法。
2．论题：喜马拉雅山在过去的地质年代里，曾经被海洋淹没过。
I
⑤
I ① ② ③ ④ 论据：地质学研究一再证明，凡是有水生化石的地层，都是地质史上的古海洋地区。喜马拉雅山系的地层遍布珊瑚、苔藓、海藻、鱼龙、海百合等海洋生物的化石。
论证方式：直接论证。
论证方法：演绎论证（三段论论证）。
3．在中华民族的发展史上，有素称发达的农业和手工业，有许多伟大的思想家、科学家、政治家、军事家、文学家和艺术家，有丰富的文字典籍。在很早的时候，中国就有了指南针的发明。早在一千八百年前就已经发明了造纸法，在一千三百年前已经发明了雕版印刷，后来还发明了活字印刷。火药的应用也在欧洲人之前。所以，中国是世界文明发达最早的国家之一。
答：这里的论题是：中国是世界文明发达最早的国家之一。
论据：在中华民族的发展史上，有素称发达的农业和手工业，有许多伟大的思想家、科学家、政治家、军事家、文学家和艺术家，有丰富的文字典籍。在很早的时候，中国就有了指南针的发明。早在一千八百年前就已经发明了造纸法，在一千三百年前已经发明了雕版印刷，后来还发明了活字印刷。火药的应用也在欧洲人之前。
论证方式：直接论证。 论证方法：归纳论证。
（二）图解下列论证的结构，并对论证进行评估。
1．①扎布的父母都是藏族人，因此②扎布是藏族人。由于③藏族考生的高考成绩享受加分待遇，所以④扎布被录取的分数不是他参加高考的卷面分数。
解：该论证的结构如图所示。其中D 表示演绎，D 则表示对该论证的前提对论题的支
持度为演绎性的。
2．①张华的学习成绩在同年级中名列前茅，②他是我校最好的篮球运动员。③去年秋天，他成功组织了全校的篮球比赛。④张华性格开朗，人缘很好。我想⑤他这次竞选学生会的体育部长会取得成功。
解：该论证的结构如图所示。其中I 表示演绎，I 则表示对该论证的前提对论题的支持
度为归纳性的。
3．①书店以低于市场价格而获利的唯一途径是从出版商那里得到低于正常价格的书；②除非书店的销量大，否则不能从出版商那里得到低于正常价格的书；③要想有大的销量，书店就必须广泛满足读者的兴趣，或者拥有专业书市的独家销售权。④大夏书店虽然不能广泛满足读者的兴趣，却能以低于市场价格而获利，⑤因此它肯定拥有专业书市的独家销售权。
解：该论证的结构如图所示。其中D 表示演绎，D 则表示对该论证的前提对论题的支
命题逻辑和谓词逻辑习题课的题目及参考 答案 说明：红色标注题目可以暂且不做 命题逻辑和谓词逻辑习题课的题目 一、填空 1、若P，Q，为二命题，Q P→真值为0 当且仅当。2、命题“对于任意给定的正实数，都存 在比它大的实数”令F(x)：x为实数，:) , (则命题的逻辑谓词公式y L> x x y 为 。
3、谓词合式公式)( xP? ?的前束范式 x → ) (x xQ 为。 4、将量词辖域中出现的 和指导变元交换为另一变元符号，公式 其余的部分不变，这种方法称为换名规 则。 5、设x是谓词合式公式A的一个客体变 元，A的论域为D，A(x)关于y是自由的，则 被称为存在量词消去规则，记为ES。 6．设P，Q 的真值为0，R，S的真值为1，则 → ∨ Q P? ∨ ?的真值 → ∧ ? (S ))) ( R ( ) P R ( = 。 7．公式P ∧) ( ) (的主合取范式为 ∨ R S R P? ∨ ∧
。 8．若解释I的论域D仅包含一个元素，则)( xP? → ?在I下真值为 xP ) (x x 。 9. P：你努力，Q：你失败。“除非你努力，否则你将失败”的翻译为 ；“虽然你努力了，但还是失败了”的翻译为 。 10. 论域D={1，2}，指定谓词P 则公式),(x y ?真值 x? yP 为。 11.P，Q真值为0 ；R，S真值为1。则
∧ wff∧ R ∨ → )) ∧的真值∨ S P )) P ) ( ( (( Q R (S 为 。 12. R ?) ) ((的主合取范式 ∧ R Q ∨ P wff→ 为 。 13.设 P（x）：x是素数， E(x)：x 是偶数，O(x)：x是奇数 N (x,y)：x可以整数y。则谓词))) x y O P y ?的自然语言是 → ? wff∧ x ( ) ( N ( , y ( (x ) 。 14.谓词)),,( x y z P x z ?的前束 ? P ? ∧ → wff? y ) , ( , )) y ( z ( uQ x (u 范式为 。
逻辑学复习知识点 前言：逻辑学：传统逻辑、现代逻辑；它是基础性，工具性的学科（更直接，更系统） 第一章（绪论）： 第一节什么是逻辑学 1.“逻辑”的含义：源于古希腊，原意：思想，言辞，理性，规律。 逻辑是一门学科，即逻辑学（思维科学）。 2.逻辑学的研究对象：研究思维的形式结构及其规律的科学。 逻辑学的研究目的：总结出人们正确运用各种思维形式的逻辑规律。 思维：感性认识（感觉，知觉，表象）和理性认识（概念，命题（判断），推理） 思维的形式结构（思维的逻辑形式）：包括逻辑常项和变项 逻辑常项：不随思维具体内容变化而变化，是判定一种逻辑形式具体类型的唯一依据。 传统逻辑：自然语言（日常用语）现代逻辑：人工语言（符号语言：表意符号，公式，公式序列） 思维形式结构的规律：逻辑规则：仅适用于某种思维形式。逻辑思维的基本规律：普遍适用于各种类型的思维形式。（传统逻辑定义） 逻辑思维的基本规律包括：同一律，矛盾律，排中律，充足理由律。表现方式： 现代逻辑的基础部分：经典命题逻辑,经典谓词逻辑（表现方式：重言式（重言蕴涵式，重言等值式））第二节逻辑学的性质和作用 1.逻辑学的性质：工具性，全人类性（没有民族性，阶级性） 2.逻辑学的作用： 联合国教科文组织1974年规定的七大基础学科：逻辑学、数学、天文学和天体物理学、地球科学和空间科学、物理学、化学、生命科学
三方面作用：促成逻辑思维由自发向自觉转变；培养和提高人们认识事物、从事科学研究的能力；帮助识别、驳斥谬误和诡辩。 3.第三节逻辑简史 逻辑学的历史：两千多年逻辑学的三大源头：古中国、古印度、古希腊。 西方逻辑：以古希腊逻辑为先河，在发展的历程中完整地经历了传统和现代两个形态。（以此为例） 传统逻辑的诞生与发展： 传统逻辑：由亚里士多德开始直至莱布尼兹之前的整个逻辑类型。特点：借助自然语言，主要范围是常见日常思维类型。 亚里士多德：（公元前384-公元前322）:古希腊著名学者，第一次全面、系统研究逻辑学主要问题，首创逻辑学这门科学。被称作“西方逻辑之父”，主要逻辑著作《范畴篇》、《解释篇》、《前分析篇》、《后分析篇》、《论辩篇》、《辩谬篇》，分别论述概念、命题（判断）、推理、论证、论辩的方法和如何驳斥诡辩的问题。哲学著作《形而上学》系统论述了矛盾律、排中律，涉及同一律。奠定了西方逻辑学发展的坚实基础。古希腊斯多葛学派及欧洲中世纪的逻辑学家：研究了假言命题、选言命题、联言命题和推理形式，提出相应推理规则。 弗兰西斯.培根（1561-1626）：英国哲学家、逻辑学家。17世纪，实验自然科学兴起和发展，研究了科学归纳法问题。《新工具》一书中提出科学归纳的“三表法”：“存在和具有表”、“差异表”、“程度表”，奠定归纳逻辑的基础。 穆勒（1806-1873）：19世纪英国哲学家、逻辑学家。在《逻辑体系》（我国近代学者严复译为《逻辑名学》）把科学归纳法发展为五种：求同法、求异法、求同求异并用法、共变法、剩余法。至此，传统逻辑的基本框架大致形成。 现代逻辑的兴起与发展： 现代逻辑（“数理逻辑”或“符号逻辑”）:由莱布尼兹奠定基本思想,目前仍在不断发展中的逻辑类型。特点：借助人工语言（符号语言），建立形式系统，对研究对象整体把握。 莱布尼兹（1646-1716）：德国著名数学家、哲学家。17世纪末期，提出用数学演算的方法处理演绎逻辑；
谓词演算的 推理理论
在谓词逻辑中，除了命题逻辑中的推理规则继续有效外，还有以下四条规则。设前提Г= {A 1,A 2,…,A k }. 1. 全称指定规则（全称量词消去规则）US ： 例1 取个体域为实数域，F(x, y): x>y, P(x)=(?y) F(x,y), 则(?x)P(x) ?P(z)=(?y) F(z,y). 而不能(?x) P(x) ?P(y)=(?y) F(y,y). 其中x,y 是个体变项符号，c 为任意的个体常量. 或 (?x ) P (x ) ∴ P (y ) (?x) P (x ) ∴ P (c )
2 . 全称推广规则（全称量词引入规则） UG： P(x) ∴ (?x)P(x) 其中x是个体变项符号，且不在前提的任何公式中 自由出现. 3. 存在指定规则（存在量词消去规则） ES： (?x)P(x) ∴ P(c) 1)c是使P(x)为真的特定的个体常量，不是任意的. 2)c不在前提中或者先前推导公式中出现或自由出现， 换句话说，此c是在该推导之前从未使用过的.
4. 存在推广规则（存在量词引入规则) EG： P(c) ∴ ( x)P(x) 其中x是个体变项符号, c是个体常项符号.
谓词逻辑的推理理论由下列要素构成. 1. 等价公式 2. 蕴含式 3. 推理规则： (1) 前提引入规则 (2) 结论引入规则 (3) CP推理规则 (4)归谬论 (5) US规则 (6) UG规则 (7) ES规则 (8) EG规则
1)在推导的过程中，可以引用命题演算中的规则P、规则T、 规则CP . 2)为了在推导过程中消去量词，可以引用规则US和规则ES来 消去量词. 3)当所要求的结论可能被定量时，此时可引用规则UG和规则 EG将其量词加入. 4)证明时可采用如命题演算中的直接证明方法和间接证明方法. 5)在推导过程中，对消去量词的公式或公式中没含量词的子公 式，完全可以引用命题演算中的基本等价公式和基本蕴涵公式. 6)在推导过程中，对含有量词的公式可以引用谓词中的基本等 价公式和基本蕴涵公式.
从命题逻辑到谓词逻辑 命题逻辑研究的基本元素是命题。命题是有真假意义的一句话，而对这句话的结构和成分是不考虑的。因此，用这样简单的手段，很多思维过程不能在命题逻辑中表达出来。 例如，逻辑学中著名的三段论： 凡人必死 张三是人 张三必死 在命题逻辑中就无法表示这种推理过程。 因为，如果用P代表“凡人必死”这个命题，Q代表“张三是人”这个命题，R代表“张三必死”这个命题，则按照三段论，R应该是P和Q的逻辑结果。但是，在命题逻辑中，R 却不是P和Q的逻辑结果，因为公式 P∧Q→R 显然不是恒真的，解释{P，Q，?R}就能弄假上面的公式。 发生这种情况的原因是：命题逻辑中描述出来的三段论，即PùQ?R，使R成为一个与P，Q 无关的独立命题。因此，取解释时，可将P，Q取真，R取假，从而弄假公式P∧Q→R。但是，实际上命题R是和命题P，Q有关系的，只是这种关系在命题逻辑中无法表示。因此，对命题的成分、结构和命题间的共同特性等需要做进一步的分析，这正是谓词逻辑所要研究的问题。为了表示出这三个命题的内在关系，我们需要引进谓词的概念。在谓词演算中，可将命题分解为谓词与个体两部分。例如，在前面的例子“张三是人”中的“是人”是谓语，称为谓词，“张三”是主语，称为个体。 定义3.1.1 可以独立存在的物体称为个体。（它可以是抽象的，也可以是具体的。） 如人、学生、桌子、自然数等都可以做个体。在谓词演算中，个体通常在一个命题里表示思维对象。 定义3.1.2 设D是非空个体名称集合，定义在Dn上取值于{1，0}上的n元函数，称为n 元命题函数或n元谓词。其中Dn表示集合D的n次笛卡尔乘积。 一般地，一元谓词描述个体的性质，二元或多元谓词描述两个或多个个体间的关系。0元谓词中无个体，理解为就是命题，这样，谓词逻辑包括命题逻辑。 下面我们举一个谓词的例子：
2.5 谓词演算的推理理论 1．推理定律 谓词演算中也存在一些基本的等价与蕴含关系，参见表2-2。我们以此作为推理的基础，即推理定律。 表2-2 序号 等价或蕴含关系 含义 E27 E28 ┐?xA(x)??x┐A(x) ┐?xA(x)??x┐A(x) 量词否定等值式 E29 E30?x(A(x)∧B(x))??xA(x)∧?xB(x) ?x(A(x)∨B(x))??xA(x)∨?xB(x) 量词分配等值式（量词分配律） E31 E32 E33 E34 E35 E36 E37 E38 E39 E40 E41 E42 E43?x(A(x)∨B)??xA(x)∨B ?x(A(x)∧B)??xA(x)∧B ?x(A(x)∨B)??xA(x)∨B ?x(A(x)∧B)??xA(x)∧B ?x(B∨A(x))? B∨?xA(x) ?x(B∧A(x))? B∧?xA(x) ?x(B∨A(x))? B∨?xA(x) ?x(B∧A(x))? B∧?xA(x) ?x(A(x)→B(x))??xA(x)→?xB(x) ?x(A(x)→B)??xA(x)→B ?xA(x)→B??x(A(x)→B) A→?xB(x)??x(A→B(x)) A→?xB(x)??x(A→B(x)) 量词作用域的扩张与收缩 I21 I22?xA(x)∨?xB(x)??x(A(x)∨B(x)) ?x(A(x)∧B(x))??xA(x)∧?xB(x) I23 ?xA(x)→?xB(x)??x(A(x)→B(x)) 表2-2中的I、E序号是接着表1-5和1-8排列的，表明它们都是谓词逻辑的推理定律。E31~E34与E35~E38只是A和B的顺序不同。 2．量词的消除与产生规则 谓词推理可以看作是对命题推理的扩充。除了原来的P规则（前提引入）、T规则（命题等价和蕴含）及反证法、CP规则外，为什么还需引入新的推理规则呢？ 命题逻辑中只有一种命题，但谓词逻辑中有2种，即量词量化的命题和谓词填式命题。如果仅由表2-2的推理定律就可推证，并不需要引入新的规则，但这种情况十分罕见，也失去了谓词逻辑本身的意义。为此，要引入如下4个规则完成量词量化命题与谓词填式之间的转换，其中的A(x)表示任意的谓词。 (1) 全称指定（消去）规则US（Ubiquity Specification，或记为?-）
谓词逻辑习题 1. 将下列命题用谓词符号化。 （1）小王学过英语和法语。 （2）2大于3仅当2大于4。 （3）3不是偶数。 （4）2或3是质数。 （5）除非李键是东北人，否则他一定怕冷。 解： (1) 令)(x P ：x 学过英语，Q(x)：x 学过法语，c ：小王，命题符号化为)()(c Q c P ∧ (2) 令),(y x P ：x 大于y, 命题符号化为)3,2()4,2(P P → (3) 令)(x P ：x 是偶数，命题符号化为)3(P ? (4) 令)(x P ：x 是质数，命题符号化为)3()2(P P ∨ (5) 令)(x P ：x 是北方人；)(x Q ：x 怕冷；c ：李键；命题符号化为)()(x P c Q ?→ 2. 设个体域}{c b a D ，， =，消去下列各式的量词。 （1）))()((y Q x P y x ∧?? （2）))()((y Q x P y x ∨?? （3）)()(y yQ x xP ?→? （4）))()((y yQ y x P x ?→?， 解： (1) 中))()(()(y Q x P y x A ∧?=，显然)(x A 对y 是自由的，故可使用UE 规则，得到 ))()(()(y Q y P y y A ∧?=，因此))()(())()((y Q y P y y Q x P y x ∧?∧?? ，再用ES 规则， )()())()((z Q z P y Q y P y ∧∧? ，D z ∈，所以)()())()((z Q z P y Q x P y x ∧∧?? （2）中))()(()(y Q x P y x A ∨?=，它对y 不是自由的，故不能用UI 规则，然而，对 )(x A 中约束变元y 改名z ，得到))()((z Q x P z ∨?，这时用UI 规则，可得： ))()((y Q x P y x ∨?? ))()((z Q x P z x ∨??? ))()((z Q x P z ∨? （3）略 （4）略 3. 设谓词)(y x P ，表示“x 等于y ”，个体变元x 和y 的个体域都是}321 {，，=D 。求下列各式的真值。 （1）)3(，x xP ? （2）)1(y yP ，? （3）)(y x yP x ，?? （4）)(y x yP x ，?? （5）)(y x yP x ， ?? （6）)(y x xP y ， ?? 解：
对现代逻辑中量词的逻辑哲学省察 量词是现代逻辑的关键性概念，对量词的解释既是现代逻辑、也是现代哲学的重要问题。首先，现代逻辑中的量词在本质上是一个二阶函数，量词的这种特点克服了传统逻辑量词的局限性，并使得现代逻辑的语言处理能力大为增强，但同时也使得对量词的语义解释涉及了很多概念和理论。其次，两种对量词的解释方案——指称量化和替换量化，它们的不同特点造成了不同的逻辑后果和哲学后果。最后，量词成为分析诸如真、指称以及本体论这些哲学概念的核心概念，逻辑也为哲学问题的解决提供了深刻的视角。 标签：量词—变元；对象量化；替换量化；本体论承诺 量词是逻辑学的一个基本概念，传统逻辑围绕着量词做了很多的工作并形成了一系列的理论，但直到现代逻辑产生后，量词在逻辑学中的核心地位和价值才得到彰显和重视。现代逻辑的两个基本研究路径——句法学和语义学都是围绕着量词概念而展开的，对量词的语义解释也与现代哲学中的真、指称、意义、同一、本体论等理论密切相关，量词由此成为现代逻辑的核心概念，对量词理论的关注也成为现代哲学的基本问题。 一、现代逻辑中量词的句法特点 量词是用来表示数量的概念。自然语言中的量词很多，如“所有的”“很多”“大多数”“一些”等，但逻辑作为一种追求真的普遍规律的科学，只选取了表示全部数量的全称量词（“所有的”）和表示部分数量的特称量词（“有些”）作为研究对象，后者也经常被称为存在量词，传统逻辑和现代逻辑的量词理论都是围绕着这两个量词而展开。一个有意思的现象是，虽然全称量词和特称量词也是传统逻辑的基本量词，但围绕着这两个量词，传统逻辑并没有形成对应于现代逻辑的量化理论，也没有围绕着量词形成太多的其他相关理论；而量词却成为现代逻辑的核心概念，现代谓词逻辑甚至被称为量词逻辑，现代逻辑的很多理论，如真、指称等理论都和量词密切相关，而这种现象的出现是和传统逻辑与现代逻辑中量词的不同特点密切相关的。 在传统逻辑中，量词是与句子中的主语密切相关的，量词被用在主语的前面，用来表达主项所断定的对象的范围和数量。传统逻辑中量词的这个特点是与日常语言表达方式密切相关的。从古希腊逻辑发轫之初，人们主要关注的是形如“所有人都是会死的”，即“S是P”这样的主谓式句子的推理，在这样的推理中，推理形式和日常语言的形式是紧密相关的甚至是一致的。“所有人都是会死的（Everyone is mortal）”在传统逻辑看来就是这样一个主谓式句子：“人”是这个句子的主语，“会死的”是这个句子的谓语，“所有人”这样的量词加诸句子的主语的前面，表达了主项的数量。亚里士多德的三段论理论也建立在对这样的主谓式的性质命题的关注之上。虽然三段论推理代表了传统逻辑的最高成就，但是推理形式过分依赖于日常语言形式还是使得传统逻辑的处理句子和推理的能力受到很大的局限。首先，三段论不能处理包含单称词的语句的推理问题，虽然亚里士多
例1 证明下面诸命题推得的结论是有效的: 如果今天是星期三, 那么我有一次离散数学或数字逻辑测验; 如果离散数学课老师有事, 那么没有离散数学测验; 今天是星期三且离散数学老师有事, 所以, 我有一次数字逻辑测验。 证明先将各命题形式化。 设A: 今天是星期三。B: 我有一次离散数学测验。 C: 我有一次数字逻辑测验。D: 离散数学课老师有事。 则本题要求证: A→B∨C , D→┐B , A∧D C。 (1) A∧D（前提） (2) A ((1),Ｉ1） (3) A→B∨C（前提） (4) B∨C ((2), (3), Ｉ11） (5) D ((1), Ｉ2） (6) D→┐B（前提） (7) ┐B（(5), (6), Ｉ11） (8) C（(4), (7),Ｉ10） 例2 证明三段论方法的正确性： 凡人要死。 苏格拉底是人。 苏格拉底要死。 令H(x): x是人。 M(x): x要死。 a: 苏格拉底。 则本题要证明：x(H (x)→M (x )) , H (a ) M (a ) 证明 (1) H (a ) （前提） (2) x (H (x )→M (x ))（前提） (3) H (a )→M (a ) （(2),US） (4) M ( a ) （(1), (3), Ｉ11 例3 用形式证明的方法证明“任何人如果他喜欢步行, 他就不喜欢乘汽车,每个人或者喜欢乘汽车或者喜欢骑自行车。有的人不爱跨自行车, 所以
有的人不爱步行。 ” 证明设个体域为全体人的集合。 P (x): x喜欢步行。 Q (x): x喜欢搭车。 R (x): x喜欢骑自行车。 则本题要证明: x (P (x)→┐Q (x )), x (Q (x )∨R (x )) , x┐R (x ) x┐P (x )本题证明树如图2―2。其证明过程如下: (1) x ┐R (x)（前提） (2) ┐R (c ) （(1), ES） (3) x (Q (x )∨R (x)) （前提） (4) Q (c )∨R (c ) （(3), US）
第五章谓词逻辑 习题5.1 1. a)每个自然数都有唯一的后继； 解：“每个”是全称的概念；“自然数”需引进一个特性谓词；“有”表示存在；“唯一”表示所有具有该性质的元素均相等（即若x具有该性质，y也具有该性质，则x等于y）；“后继”用谓词表示。于是，可令： N(x)：x是自然数； Q(x, y)：y是x的后继； E(x, y)：x等于y； 则上述命题可以符号化为： (? x) ( N ( x ) → (? y) (Q ( x, y ) ∧ (? z) (Q ( x, z ) → E ( y, z ) ) b) 没有以0为后继的自然数； 解：“没有”表示不存在；“自然数”用特性谓词表示；“后继”用谓词表示。于是，可令：N(x)：x是自然数； Q(x, y)：y是x的后继； 则上述命题可以符号化为： ? (? x)( N ( x ) ∧ Q ( x, 0 ) ) 注意：①对于引进的特性谓词，在全称量词约束下要用逻辑联结词“→”，在存在量词约束下要用逻辑联结词“∧”。 ②“唯一”概念的符号化。 2. a)存在唯一的偶素数； 解：“存在”是存在量词的概念；“唯一”可参照上题；“偶数”、“素数”用谓词表示。于是，可令： E(x)：x是偶数； S(x)：x是素数； R(x, y)：x等于y； 则上述命题可以符号化为： (? x) ( E ( x ) ∧ S ( x ) ∧ (? y) ( E ( y ) ∧ S ( y ) → R ( x, y ) ) b)没有既是奇数又是偶数的数； 解：“没有”表示不存在；“奇数”、“偶数”、“数”用谓词表示。于是，可令： O(x)：x是奇数； E(x)：x是偶数； Q(x)：x是数；
弗雷格的逻辑和数学思想的哲学基础 张庆熊复旦大学现代哲学研究所 【提要】弗雷格在《算术基础》中阐述了三条基本原理，这三条原理一方面说明他为什么要构造他的人工语言系统，另一方面说明算术何以能够建立在逻辑的基础之上，这是从哲学的高度出发论证他的逻辑和数学思想的基础。 弗雷格（Gottlob Friedrich Ludwig Frege，1848－1925）于1897年发表《概念文字：一种模仿算术语言构造的纯思维的形式语言》（Begriffsschrift，eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens）。这本薄薄的书可谓现代逻辑的开山之作。它奠定了数理逻辑中的命题逻辑和一阶谓词逻辑的基础。然而，对于这本逻辑史上划时代的专著，在当时却少有人问津。弗雷格反思其原因，认为除人们对那陌生的符号系统望而生畏外，还不理解他为什么要构造这一系统的理由。他在1884年发表了专著《算术基础》（Grundlagen der Arithmetik）。在这本书中，他没有使用数理逻辑的符号，而是哲学理论上论证他所构造的人工语言系统的基本原理，指出严格区分心理的东西和逻辑的东西、主观的东西和客观的东西的必要性；强调决不要忘记概念和客体之间的区别；对当时所流行的逻辑学和数学中的心理主义展开批判。他认为逻辑是数学的基础，数的概念可以被定义为逻辑的类的概念，而类则被看成概念的外延。可以说，《算术基础》一书是弗雷格在哲学的方面为他的数学基础研究中的逻辑主义的方案奠定基础。 弗雷格在《算术基础》中所提出的原理一共只有三条，下面我们就结合考察这三条原理来评述弗雷格的逻辑和数学思想的哲学基础。 一、逻辑规律的客观性 在弗雷格所处的时代，逻辑研究中的心理主义占支配地位。按照这种心理主义的观点，逻辑推理是一种思维的活动，思维的活动是一种心理的活动，所以逻辑的规律可以还原为心理的规律，逻辑的真理是一种主观的真理。弗雷格认为，这种心理的观点就如压在逻辑和数学成长之树上的巨石一样，为使逻辑和数学研究得以顺利展开，必须搬开这块巨石。为此，他在《算术哲学》导言中所列出的第一条原理就是： “严格区分心理的东西和逻辑的东西、主观的东西和客观的东西。”1 弗雷格认为，这种心理主义的观点混淆了逻辑本身和从事逻辑推理的心理活动。一个人在从事逻辑推理的时候，确实发生心理的活动。这种心理的活动是主 1G. Frege，Die Grundlage der Arithmetik. Eine Logisch-mathematische Untersuchung über den Begriff der
2015春课件作业 第一部分集合论 第一章集合的基本概念和运算 1-1 设集合 A ={{2，3,4}，5，1}，下面命题为真是 A （选择题） [ A ] A．1 ∈A； B．2 ∈ A； C．3 ∈A； D．{3，2,1} ? A。 1-2 A,B,C 为任意集合，则他们的共同子集是 D （选择题） [ D ] A．C； B．A； C．B； D．?。 1-3 设 S = {N，Z，Q，R}，判断下列命题是否正确（是非题） （1） N ? Q，Q ∈S，则 N ? S，否［错］（2）-1 ∈Z，Z ∈S，则 -1 ∈S 。否［错］ 1-4 设集合 B = {4，3} ∩?， C = {4，3} ∩{ ? }，D ={ 3，4，? }， E = {x│x ∈R 并且 x2 - 7x + 12 = 0}， F = { 4，?，3，3}， 试问：集合 B 与那个集合之间可用等号表示 A （选择题） [A ] A. C; B. D; C. E; D. F. 1-5 用列元法表示下列集合：A = { x│x ∈N 且 3－x 〈 3 }（选择题） [D ] A. N; B. Z; C. Q; D. Z+ 1-6 为何说集合的确定具有任意性 ? (简答题) 按照所研究的问题来确定集合的元素。而我们所要研究的问题当然是随意的。所以，集合的定义（就是集合成分的确定）就带有任意性。 第二章二元关系 2-1 给定 X =（3, 2，1），R 是 X 上的二元关系，其表达式如下： R = {〈x，y〉x，y ∈X 且 x > y } （综合题） 求：(1)domR =?; (2)ranR =?; (3)R 的性质。 所谓谓词表达法，即是将集合中所有元素的共同性质用一个谓词概括起来，如本题几例所示。有的书上称其为抽象原则。反过来，列元法则是遵照元素的性质和要求，逐一将他们列出来，以备下用,结果如下： R = {<1,1>,<2,2>,<3,3>}； (1)DomR={R中所有有序对的x}={3,2,1}; (2)RanR={R中所有有序对的y}={3,2,1}； (3)R 的性质:自反,对称,传递性质. 2-2 设 R 是正整数集合上的关系，由方程 x + 3y = 12 决定，即 R = {〈x，y〉│x，y ∈Z+ 且 x + 3y = 12}， 试给出 dom（R 。R）。（选择题） [ B ] A. 3； B. {3}； C. 〈3，3〉； D.{〈3，3〉}。 2-3 判断下列映射 f 是否是 A 到 B 的函数；以及函数的性质。最后指出 f：A→B 中的双射函数。（选择题） [ B ] （1）A = {1，2，3}，B = {4，5}， f = {〈1，4〉〈2，4〉〈3，5〉}。 （2）A = {1，2，3} = B， f = {〈1，1〉〈2，2〉〈3，3〉}。 （3）A = B = R， f = x 。
说明：红色标注题目可以暂且不做 命题逻辑和谓词逻辑习题课的题目 一、填空 1、若P，Q，为二命题，真值为0 当且仅 当。2、命题“对于任意给定的正实数，都存 在比它大的实数”令F(x)：x为实数，则命题的逻辑谓词公式为 。 3、谓词合式公式的前束范式 为。 4、将量词辖域中出现的
和指导变元交换为另一变元符号，公式 其余的部分不变，这种方法称为换名规 则。 5、设x是谓词合式公式A的一个客体变 元，A的论域为D，A(x)关于y是自由的，则 被称为存在量词消去规则，记为ES。 6．设P，Q 的真值为0，R，S的真值为1，则 的真值= 。 7．公式的主合取范式为 。 8．若解释I的论域D仅包含一个元素，则在I下真值为
。 9. P：你努力，Q：你失败。“除非你努力，否则你将失败”的翻译为 ；“虽然你努力了，但还是失败了”的翻译为 。 10. 论域D={1，2}，指定谓词P 则公式真值为。 11.P，Q真值为0 ；R，S真值为1。则的 真值为 。 12. 的主合取范式
为 。 13.设 P（x）：x是素数， E(x)：x 是偶数，O(x)：x是奇数 N (x,y)：x可以整数y。则谓词的自然语言是 。 14.谓词的前束范式为 。 二、选择 1、下列语句是命题的有（）。 A、明年中秋节的晚上是晴天；
B、； C、当且仅当x和y都大于0； D、我 正在说谎。 2、下列各命题中真值为真的命题有 （）。 A、2+2=4当且仅当3是奇数； B、 2+2=4当且仅当3不是奇数； C、2+2≠4当且仅当3是奇数； D、 2+2≠4当且仅当3不是奇数； 3、下列符号串是合式公式的有（） A、； B、； C、； D、。 4、下列等价式成立的有（）。 A、； B、； C、； D、。 5、若和B为wff，且则（）。 A、称为B的前件； B、称B为的有效结论
1、设)()()(),,(323221321x x x x x x x x x E ∧∨∧∨∧=是布尔代数],,},1,0[{-∧∨上的一个布尔表达式，试写出),,(321x x x E 的析取范式和合取范式。 答： 析取范式：)()() ()()(),,(321321321321321321x x x x x x x x x x x x x x x x x x E ∧∧∨∧∧∨∧∧∨∧∧∨∧∧= 合取范式：)()()(),,(321321321321x x x x x x x x x x x x E ∨∨∧∨∨∧∨∨∨= 2．设P(x)：x 是大象，Q(x)：x 是老鼠，R(x,y)：x 比y 重，则命题“大象比老鼠重”的符号化为 答： ?x ?y ( (P(x) ∧ Q(x)) → R(x,y)) 3．设L(x)：x 是演员，J(x)：x 是老师，A(x , y)：x 钦佩y ，命题“所有演员都钦佩某些老 师”符号化为（ B ）。 A 、)),()((y x A x L x →?； B 、))),()(()((y x A y J y x L x ∧?→? ； C 、)),()()((y x A y J x L y x ∧∧??； D 、)),()()((y x A y J x L y x →∧?? 。 4．下列各式中哪个不成立（ A ）。 A 、)()())()((x xQ x xP x Q x P x ?∨??∨? ； B 、)()())()((x xQ x xP x Q x P x ?∨??∨?； C 、)()())()((x xQ x xP x Q x P x ?∧??∧?； D 、Q x xP Q x P x ∧??∧?)())((。 5．用推理规则证明)()(a G a P ∧?是 ))()((,)(,))()((, )))()(()((x G x S x a S a R a Q x R x Q x P x ??∧?∧→?的有效 结论。 证明：（1） ))()(()(x P x Q x xP ∧→? P （2） ))()(()(a P a Q a P ∧→ US(1) (3) ))()((a R a Q ∧? P
一阶谓词逻辑部分——一阶语法： 1定义字母表的定义 一个一阶语言L的字母表由以下符号组成： 1）一组非逻辑符号，其中包含： i）一个（可能空的）个体常项集；{a1,a2,…} ii）对每个n ≥1, 一个（可能空的）n元谓词集； {F11,F12,…,F21,F22,…,F n1,F n2,…,…} iii）对每个n ≥1, 一个（可能空的）n元函数符号集{f11,f12,…,f21,f22,…,f n1,f n2,…,…} 2）一组固定的逻辑符号，其中包含： i）个体变项x0, x1, x2,…（可数无穷多）； ii）量词?，[?]； iii）联结词?，→，[∧，∨，?]； iv）等词[≡]； v）括号)，(。 注1：我们上面定义的，可以叫做带等词的一阶语言的字母表。形式语言对其字母集（及其每个子类）的大小做了限定，要求它（它们）是可数的。这是因为，对不可数集合，一般没有一个能行的方法来判定一个对象是否属于它。 注2：所有一阶语言有共同的逻辑符号，它们的字母表的差别完全由非逻辑符号决定，所以，在不引起误解的情况下，我们不妨把一个一阶语言就简单地看成它的非逻辑符号
集。 注3：一个语言（的字母表）虽然可能是为了描述某个特殊的结构而设计的，但字母表一旦给定，这个语言也可以用来描述其他的结构，只要这些结构的组成与这些字母（的一部分）相匹配就行。 注4：在谈论一个一阶语言的时候，我们需要一些元语言的变项来代表这个（对象）语言字母表中的任意某类符号。我们约定，在元语言中用 x, y, z等代表一阶语言的个体变项； c, d, e等代表一阶语言的个体常项； P, Q, R等代表一阶语言的谓词； f, g, h等代表一阶语言的函数符号。 2 项的归纳定义 下一步我们要从字母表中构造一阶语言的词项（以下简称项）。项的作用是指称或表示结构中的个体，所以个体常项是一种项，个体变项是另一种项，而函数，如f(x) = x的母亲，其函数值也代表个体，所以函数表达式也是项。现在的问题是：到底哪些东西是项，或者，我们如何确切定义项的集合？ 设L为一阶语言。L-项定义为： 1）基始条件： i）L字母表中的每个个体常项是L-项。
第二章谓词逻辑 练习一 1、指出下列谓词公式中的量词及其辖域，指出各自由变元和约束变元，并回答它们是否是命题： （1）?x(P(x)∨Q(x))∧R （R为命题常元） （2）?x(P(x)∧Q(x))∧?xS(x)→T(x) （3）?x(P(x)→?y(B(x,y)∧Q(y))∨T(y)) （4）P(x)→(?y?x(P(x)∧B(x,y))→P(x)) 解（1）全称量词?，辖域P(x)∨Q(x)，其中x为约束变元，?x(P(x)∨Q(x))∧R是命题。 （2）全称量词?，辖域P(x)∨Q(x)，其中x为约束变元。 存在量词?，辖域S(x) ，其中x为约束变元。 T(x)中x为自由变元。?x(P(x)∧Q(x))∧?xS(x)→T(x)不是命题。 （3）全称量词?，辖域P(x)→?y(B(x,y)∧Q(y))∨T(y)，其中x为约束变元，T(y)中y为自由变元。存在量词?，辖域B(x,y)∧Q(y)，其中y为约束变元。?x(P(x)→?y(B(x,y)∧Q(y))∨T(y))是命题。 （4）全称量词?，辖域?x(P(x)∧B(x,y))，其中y为约束变元。 存在量词?，辖域P(x)∧B(x,y)，其中x为约束变元。 不在量词辖域中的P(x)中的x为自由变元。P(x)→(?y?x(P(x)∧B(x,y))→P(x)) 不是命题。 2、对个体域{0，1}判定下列公式的真值, E(x)表示“x是偶数”： （1）?x(E(x)→┐x=1) （2）?x(E(x)∧┐x=1) （3）?x(E(x)∧x=1) （4）?x(E(x)→x=1) 再将它们的量词消去,表示成合取或析取命题公式，鉴别你所确定的真值是否正确。
? 离散数学基础 2017-11-19?定义：谓词逻辑的推理结构 ?设有谓词公式 A、B，若在令 A 为真的任一解释下，B 亦为真，则说 B 是 A 的逻辑推论，或称推理结构 A├ B 是正确的（或者有效的），记为 A ? B。 ?例1：所有的整数都是有理数，所有的有理数都是实数，所以所有的整数都是实 数。 ?解：设 P(x)：x 是整数。 Q(x)：x 是有理数。 R(x)：x 是实数。 形式化： ① (?x)(P(x) →Q(x)) ②(?x)(Q(x) →R(x)) ③(?x)(P(x) →R(x)) 推理结构： ①, ② ├ ③ ?例2：人总是要死的，苏格拉底是人，所以苏格拉底也是要死的。 ?解：设 P(x)：x 总是要死的。 Q(x)：x 是人。 形式化： ① (?x)(Q(x) →P(x)) ②Q(苏格拉底) ③P(苏格拉底) 推理结构： ①, ② ├ ③ ?例3：有一个人又高又胖，所以必有一个高个子和一个胖子。 ?解：设论域为人的集合 P(x)：x 是高的。 Q(x)：x 是胖的。 推理结构： (?x)(P(x)∧Q(x)) ├ (?x)P(x)∧(?x)Q(x) ?定理：演绎定理 ?设谓词公式 A、B，如果从 A 应用推理规则得到 B，并且在推出过程中，A 中
的自由变量保持不变，则A→B 是普遍有效的。 ?由于普遍有效性的不可判定性，在谓词逻辑中应用推理规则更为重要。 ?推理定理 ?若干常用的正确的推理形式： (1)(?x)P(x)∨(?x)Q(x) ? (?x)(P(x)∨Q(x)) (2)(?x)(P(x)∧Q(x)) ? (?x)P(x)∧(?x)Q(x) (3)(?x)(P(x)→Q(x)) ? (?x)P(x)→(?x)Q(x) (4)(?x)(P(x)→Q(x)) ? (?x)P(x)→(?x)Q(x) (5)(?x)(?y)P(x, y) ? (?y)(?x)P(x, y) (6)(?x)(?y)P(x, y) ? (?y)(?x)P(x, y) (7)(?x)(?y)P(x, y) ? (?x)(?y)P(x, y) ?推理定理 ?(3) 证：(?x)(P(x)→Q(x)) ? (?x)P(x)→(?x)Q(x) ?设 (?x)(P(x)→Q(x))=T ?当 (?x)P(x)=T时，对任意 x0，有P(x0)=T。 ?对此 x0，由假设知，P(x0)→Q(x0)=T ?故此时只能 Q(x0)=T ?从 x0 的任意性得 (?x)Q(x)=T ?即 (?x)P(x)→(?x)Q(x)=T ?故上述推理形式是有效的。 ?推理定理 ?(5) 证： (?x)(?y)P(x, y) ? (?y)(?x)P(x, y) ?设 (?x)(?y)P(x, y)=T ?即任意的 x 与所有的 y 都有 P(x, y)=T ?则对任意的 x 与某一固定的 y0，都有 P(x, y0)=T ?即 (?x)P(x, y0)=T ?故 (?y)(?x)P(x, y)=T ?即上述推理形式是有效的。 ?推理规则 ?在谓词逻辑的推理中，可以直接引用命题逻辑的推理规则。我们还需要建立一些新的推理规则处理与个体和量词相关的推理过程。 ?(1) 全称量词消去 US ?① (?x)A(x) ? A(y) –假设 y 不在 A(x) 中约束出现 ?② (?x)A(x) ? A(c) –假设 c 是个体域中的任一常量 ?(2) 全称量词引入 UG
离散数学章节总结 第一章 [命题逻辑] 1.逻辑运算 1.否定:Negation? NOT 2.交:Conjunction AND 3.并:Disjunction OR 4.蕴含:Implication IMPLIES 5. Biconditional ? IFF XOR 2.逆/否/逆否 1.逆:converse 2.否:inverse 3.逆否:conytrapositive 3.问题的一致性 [逻辑等价] →q 等价于?p q 等价于? q→?p 2. p q 等价于?p→q p q 等价于?( p→?q) 3.(p→q)(p→r) 等价于p→(q r) (p→r)(q→r) 等价于(p q)→r (p→r)(q→r)等价于(p q) →r 4.证明等价: 真值表逻辑符号证明找反例 (假设左为假右必为假假设右为假左必为假) [ 谓词逻辑] 1.量词存在 任意 量词顺序不能随机改变 不全为真:(p1p2…p n) (p1p2…p n) x P(x ) x P(x ) 没有一个为真:(p1p2…p n) (p1p2…p n) x P(x ) x P(x ) [ 推理]
[ 证明] 1.证明方法:直接证明间接证明反证列举证明(列举所有情况) 构造证明(构造出满足结论的元素) 2.证明步骤:正向证明反向证明
第二章 [ 集合及运算] 1.特殊集合: R Q Z 无穷/有限集 2.集合表述方法: 列举法 描述法 图表法 3.集合运算: 交/并/补/差/取子集P(S)/元素数|S|/乘积P ×Q / B A B A B A B A ?=??=? n i i A 1 = X A A ∈ n i i A 1= X A A ∈ 容斥原理 A i i =1n = A i 1≤i ≤n ∑- A i ?A j 1≤i 第二章 谓词逻辑 学习指导 2 .1 谓词逻辑的基本概念 谓词 在原子命题中，所描述的对象称为个体，用以描述一个个体的性质或多个个体间关系的部分，称为谓词。一般用大写字母P ，Q ，R ，… 等来表示它们。另外这些大写字母还可以用来表示一个谓词所在的位置，而不表示具体的谓词，此时称之为谓词符号。如果一个谓词描述n 个个体的性质或关系，那么称此谓词为n 元谓词。表示一个n 元谓词所在位置的字母称为n 元谓词符号。约定0元谓词符号为命题变元。 个体常元和个体变元 表示具体的，特指的个体词，称为个体常元，常用小写字母 , … 或带下标的小写字母, … 来表示。同样这些小写字母也可以用来表示一个个体常元所在的位置，而不表示具体的个体常元，此时称之为个体常元符号。表示抽象的，泛指的或在一定范围内变化的个体词，称为个体变元，常用小写字母c b a ,,i i i c b a ,,z y x ,,, … 或 带下标的小写字母, … 来表示。 个体变元的取值范围称为个体域，常用大写字母表示。个体常元符号与个体变元是两个不同的概念，例如对个体变元可以加量词，但对个体常元符号却不能加。 i i i z y x ,,D n 元谓词函数 设P 为一个元谓词符号，为个个体变元，由它们组成的称为n 元谓词函数。本身不是一个命题， 但在用具体的谓词代替P ，用n 个个体常元分别代替个个体变元n n x x x ",,21n ),,(21n x x x P "),,(21n x x x P "n 12,,,n x x "x 之后，它就是一个命题了。 量词 （1） 符号“”称为全称量词符，用来表达个体域中所有个体，对应于自然语言中“对所有的”，“每一个”，“对任何一个”和“一切”等词语。?x ?称为全称量词，x 称为其指导变元。 （2）符号“”称为存在量词符，用来表达个体域中某个或某些个体，对应于自然语言中“存在一些”，“至少有一个”，“对于一些”和“有的”等词语。?x ?称为存在量词，x 称为其指导变元。 全总个体域 由宇宙间一切事物组成的个体域称为全总个体域。 一般地，命题中个体变元的个体域是被明确给出的，如果没有明确给出个体域，那么我们就认为个体域是全总个体域。 特性谓词 我们把为了确定个体变元的取值范围而引进的谓词称为特性谓词。一般地对全称量词的指导变元限制取值范围用特性谓词和条件式，对存在量词的指导变元限制取值范围用特性谓词和合取式。 2 .2. 谓词公式 上机实验报告 课程名称：人工智能年级：上机实验成绩：指导教师：姓名： 上机实践名称：谓词逻辑表示的基本应用学号：上机实验日期： 实验三：谓词逻辑表示的基本应用 一、实验目的 理解谓词逻辑表示方法的基本原理，能够运用本方法表示命题； 二、实验内容 设有如下语句，请用相应的谓词公式分别把他们表示出来： ⑴有的人喜欢梅花，有的人喜欢菊花，有的人既喜欢梅花有喜欢菊花。 ⑵有的人每天下午都去打篮球。 ⑶新型计算机速度又快，存储容量又大。 ⑷不是每个计算机系的学生都喜欢在计算机上编程序。 ⑸凡事喜欢编程序的人都喜欢计算机。 三、实验结果 ⑴解：定义谓词 P(x)：x是人 L（x,y）：x喜欢y 其中，y的个体域是{梅花，菊花} 将知识用谓词表示为： (?x)(P(x)→L(x,梅花)∨L(x，菊花) ∨L(x,梅花)∧L(x,菊花)) ⑵解：定义谓词 P(x)：x是人 B(x)：x打篮球 A(y)：y是下午 将知识用谓词表示为： (?x)(?y)(A(y)→B(x)∧P(x)) ⑶解：定义谓词 NC(x)：x是新型计算机 F(x)：x速度快 B(x)：x容量大 将知识用谓词表示为： (?x)(NC(x)→F(x)∧B(x)) ⑷解：定义谓词 S(x)：x是计算机系学生 L(x,programming)：x喜欢编程序 U(x,computer)：x使用计算机 将知识用谓词表示为： ?(?x)(S(x)→L(x,pragramming)∧U(x,computer)) ⑸解：定义谓词 P(x)：x是人 L(x,y)：x喜欢y 将知识用谓词表示为： (?x)(P(x)∧L(x,programming)→L(x,computer))谓词逻辑
谓词逻辑表示的基本应用
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