中考数学创新题
-------折叠剪切问题
折叠剪切问题是考察学生的动手操作问题，学生应充分理解操作要求方可解答出此类问题.
一．折叠后求度数
【1】将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC 、BD 为折痕，则∠CBD 的度数为（ ）
A ．600
B ．750
C ．900
D ．950
答案：C
【2】如图,把一个长方形纸片沿EF 折叠后,点D 、C 分别落在D ′、C ′的位置，若∠EFB ＝
65°，则∠AED ′等于（ ）
A ．50°
B ．55°
C ．60°
D ．65° 答案：A
【3】 用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，如图（1）所示，然后轻轻拉紧、压平就
可以得到如图（2）所示的正五边形ＡＢＣＤＥ，其中∠ＢＡＣ＝ 度.
答案：36° 二．折叠后求面积
【4】如图,有一矩形纸片ABCD,AB=10,AD=6,将纸片折叠，使AD 边落在AB 边上，折痕为AE ，
再将△AED 以DE 为折痕向右折叠，AE 与BC 交于点F ，则△CEF 的面积为（ ）
A ．4
B ．6
C ．8
D ．10
图（1）
第3题图
C
D
E
B
A 图 （2）
答案：C
【5】如图，正方形硬纸片ABCD 的边长是4，点E 、F 分别是AB 、BC 的中点，若沿左图中的
虚线剪开，拼成如下右图的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是
A ．2
B ．4
C ．8
D ．
10
答案：B
三．折叠后求长度
【6】如图，已知边长为5的等边三角形ABC 纸片，点E 在AC 边上，点F 在AB 边上，沿着EF 折叠，使点A 落在BC 边上的点D 的位置，且ED BC ⊥，则CE 的长是（ ） （A ）10315- （B ）1053- （C ）535- （D ）20103-
答案：D
四．折叠后得图形
【7】将一张矩形纸对折再对折（如图），然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分，将①展开后得到的平面图形是（ ） A ．矩形 B ．三角形 C ．梯形 D ．菱形
答案：D
A
B C
D
E
F
第7题图
【8】在下列图形中，沿着虚线将长方形剪成两部分，那么由这两部分既能拼成平行四边形又能拼成三角形和梯形的是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
【9】小强拿了张正方形的纸如图（1），沿虚线对折一次如图（2），再对折一次得图（3），然后用剪刀沿图（3）中的虚线（虚线与底边平行）剪去一个角，再打开后的形状应是( )
答案：D
【10】如图，把矩形ABCD 对折，折痕为MN （图甲），再把B 点叠在折痕MN 上的B '处。得到Rt AB E ?'（图乙），再延长E B '交AD 于F ，所得到的?EAF 是（ ）
A. 等腰三角形
B. 等边三角形
C. 等腰直角三角形
D. 直角三角形 答案：B
【11】将一圆形纸片对折后再对折，得到图1
，然后沿着图中的虚线剪开，得到两部分，其
第8题图
第9题图
第10题图
中一部分展开后的平面图形是（ ）
答案：C
【12】如图1所示，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，则所得的图形是（ ）
答案：C
【13】 如图，已知BC 为等腰三角形纸片ABC 的底边，AD ⊥BC ，AD=BC. 将此三角形纸片沿AD 剪开，得到两个三角形，若把这两个三角形拼成一个平面四边形，则能拼出互不全等的四边形的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
答案：D
五．折叠后得结论
【14】亲爱的同学们，在我们的生活中处处有数学的身影.请看图，折叠一张三角形纸片，把三角形的三个角拼在一起，就得到一个著名的几何定理，请你写出这一定理的结论：“三角形的三个内角和等于_______°.”
答案：180
【15】如图，把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 内部时，则∠A 与∠+∠12
第14题图
第15题图
A
B
C
D
图3图1 第12题图
（1）
第17题图
（2）
之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ） A. ∠=∠+∠A 12
B. 212∠=∠+∠A
C. 3212∠=∠+∠A
D. )21(23∠+∠=∠A
答案：B
【16】从边长为a 的正方形内去掉一个边长为b 的小正方形(如图1)，然后将剩余部分剪拼成一个矩形(如图2)，上述操作所能验证的等式是（ ）
A.a 2
– b 2
=(a +b)(a -b) Ｂ.(a – b)2
= a 2
–2ab+ b 2
Ｃ.(a + b)2 = a 2 +2ab+ b 2 Ｄ.a 2
+ ab = a (a +b) 答案：A
【17】如图，一张矩形报纸ABCD 的长AB ＝a cm ，宽BC ＝b cm ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，将这张报纸沿着直线EF 对折后，矩形AEFD 的长与宽之比等于矩形ABCD 的长与宽之比，则a ∶b 等于（ ）．
A ．1:2
B ．2:1
C ．1:3
D ．3:1
答案：A
六．折叠和剪切的应用
【18】将正方形ABCD 折叠，使顶点A 与CD 边上的点M 重合，折痕交AD 于E ，交BC 于F ，边AB 折叠后与BC 边交于点G （如图）.
（1）如果M 为CD 边的中点，求证：DE ∶DM ∶EM=3∶4∶5；
（2）如果M 为CD 边上的任意一点，设AB=2a ，问△CMG 的周长是否与点M 的位置有关？若有关，请把△CMG 的周长用含DM 的长x 的代数式表示；若无关，请说明理由. 答案：（1）先求出DE=AD 83
，AD DM 2
1=
，AD EM 8
5=
后证之.
（2）注意到△DEM ∽△CMG ，求出△CMG 的周长等于4a ，从而它与点M 在CD 边上的
位置无关.
【19】同学们肯定天天阅读报纸吧?我国的报纸一般都有一个共同的特征:每次对折后,所得的长方形和原长方形相似,问这些报纸的长和宽的比值是多少? 答案：2∶1.
【20】用剪刀将形状如图1所示的矩形纸片ABCD 沿着直线CM 剪成两部分,其中M 为AD 的中点.用这两部分纸片可以拼成一些新图形,例如图2中的Rt △BCE 就是拼成的一个图形.
A
B
C
D
E
F
M
G 第19题图 E
B
A C
B
A
M
C
D
M
图3
图4
图1
图2
(1)用这两部分纸片除了可以拼成图2中的Rt △BCE 外,还可以拼成一些四边形.请你试一试,把拼好的四边形分别画在图3、图4的虚框内. (2)若利用这两部分纸片拼成的Rt △BCE 是等腰直角三角形,设原矩形纸片中的边AB 和BC 的长分别为a 厘米、b 厘米,且a 、b 恰好是关于x 的方程01)1(2=++--m x m x 的两个实数根,试求出原矩形纸片的面积.
答案：（1
）如图
（2）由题可知AB ＝CD ＝AE ，又BC ＝BE ＝AB ＋AE
∴BC ＝2AB ， 即a b 2=
由题意知 a
a 2,是方程01)1(2=++--m x m x 的两根 ∴??
?+=?-=+1
212m a a m a a
消去a ，得 071322=--m m 解得
7
=m 或2
1-
=m
经检验：由于当2
1-
=m ，02
32<-
=+a a ，知2
1-
=m 不符合题意，舍去.
7
=m 符合题意.
∴81=+==m ab S 矩形
答：原矩形纸片的面积为8cm 2
.
【21】电脑CPU 蕊片由一种叫“单晶硅”的材料制成，未切割前的单晶硅材料是一种薄型圆片，叫“晶圆片”。现为了生产某种CPU 蕊片，需要长、宽都是1cm 的正方形小硅片若干。如果晶圆片的直径为10.05cm 。问一张这种晶圆片能否切割出所需尺寸的小硅片66张？请说明你的方法和理由。（不计切割损耗）
B
A C
B
A M
C
E M 图3
图4
E 第21题答案图
答案：可以切割出66个小正方形。 方法一：
（1）我们把10个小正方形排成一排，看成一个长条形的矩形，这个矩形刚好能放入直径为10.05cm 的圆内，如图中矩形ABCD 。
∵AB ＝1 BC ＝10
∴对角线2
AC ＝100＋1＝101＜2
05.10 （2）我们在矩形ABCD 的上方和下方可以分别放入9个小正方形。
G
F
H E D C B A
∵新加入的两排小正方形连同ABCD 的一部分可看成矩形EFGH ，矩形EFGH 的长为9，高为3，对角线90981392
2
2
=+=+=EG ＜2
05.10。但是新加入的这两排小正方形不能是每排10个，因为：
1099100310
22
=+=+＞2
05.10
（3）同理：892564582
2
=+=+＜2
05.10
1062581592
2
=+=+＞2
05.10
∴可以在矩形EFGH 的上面和下面分别再排下8个小正方形，那么现在小正方形已有了5层。
（4）再在原来的基础上，上下再加一层，共7层，新矩形的高可以看成是7，那么新加入的这两排，每排都可以是7个但不能是8个。
∵984949772
2
=+=+＜2
05.10
11349647
82
2
=+=+＞2
05.10
（5）在7层的基础上，上下再加入一层，新矩形的高可以看成是9，这两层，每排可以是4个但不能是5个。
∵978116942
2
=+=+＜2
05.10
1068125952
2
=+=+＞2
05.10
现在总共排了9层，高度达到了9，上下各剩下约0.5cm 的空间，因为矩形ABCD 的位置不能调整，故再也放不下一个小正方形了。
∴10＋2×9＋2×8＋2×7＋2×4＝66（个） 方法二：
学生也可能按下面的方法排列，只要说理清楚，评分标准参考方法一。 可以按9个正方形排成一排，叠4层，先放入圆内，然后： （1）上下再加一层，每层8个，现在共有6层。
（2）在前面的基础上，上下各加6个，现在共有8层。 （3）最后上下还可加一层，但每层只能是一个，共10层。 这样共有：4×9＋2×8＋2×6＋2×1＝66（个）
【22】在一张长12cm 、宽5cm 的矩形纸片内，要折出一个菱形.李颖同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH （见方案一），张丰同学沿矩形的对角线AC 折出∠CAE=∠DAC ，∠ACF=∠
ACB 的方法得到菱形AECF （见方案二），请你通过计算，比较李颖同学和张丰同学的折法中，哪种菱形面积较大？ 答案：（方案一）
415125462
2
AEH
S S S =-=?-?
??
矩形菱形 2
30(cm )= （方案二）
设BE=x ，则CE=12-x 2
2
2
25AE BE AB x ∴=
+=
+
由AECF 是菱形，则AE 2=CE 2
2
2
25(12)x x ∴+=-
11924
x ∴=
2A B E S S S - 矩形菱形= 111912525224
=?-?
??
35.21(m )≈
比较可知，方案二张丰同学所折的菱形面积较大.
【23】正方形提供剪切可以拼成三角形。方法如下：
仿上面图示的方法，及韦达下列问题： 操作设计：
（1）如图（2），对直角三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形等面积的矩形。
A
D E
H
F
B
C G
（方案一）
A
D
E
F
B
C
（方案二）
第23
题图
第24题图（1）
第24题图（2） 第24题图（3）
（2）如图（3）对于任意三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个原三角形等面积的矩形。 答案：（1）
（2）略。 【24】如图，⊙O 表示一圆形纸板，根据要求，需通过多次剪裁，把它剪成若干个扇形面，操作过程如下：第1次剪裁，将圆形纸板等分为4个扇形；第2次剪裁，将上次得到的扇形面中的一个再等分成4个扇形；以后按第2次剪裁的作法进行下去.
(1)请你在⊙O 中，用尺规作出第2次剪裁后得到的7个扇形(保留痕迹，不写作法).
(2)请你通过操作和猜想，将第3、第4和第n 次裁剪后所得扇形的总个数(S)填入下表.
等分圆及扇形面的次数(n) 1 2 3 4 … n 所得扇形的总个数(S)
4
7
…
(3)请你推断，能不能按上述操作过程，将原来的圆形纸板剪成33个扇形？为什么？ 答案：(1)由图知六边形各内角相等.
(2) 七边形是正七边形.
(3)猜想：当边数是奇数时(或当边数是3，5，7，9，…时)，各内角相等的圆内接多边形是正多边形. 【26】如图，若把边长为1的正方形ABCD 的四个角(阴影部分)剪掉，得一四边形A 1B 1C 1D 1.试问怎样剪，才能使剩下的图形仍为正方形，且剩下图形的面积为原正方形面积的
9
5，请说明理由(写出证明及计算过程).
答案：剪法是：当AA 1=BB 1=CC 1=DD 1=
3
1或
3
2时，
四边形
A 1
B 1
C 1
D 1为正方形，且S=9
5.
在正方形ABCD 中， AB=BC=CD=DA=1， ∠A=∠B=∠C=∠D=90°. ∵AA 1=BB 1=CC 1=DD 1， ∴A 1B=B 1C=C 1D=D 1A.
方法一： 方法二：
第24题答案图（1） 第24题答案图（2）
第25题图
O
∴△D 1AA 1≌△A 1BB 1≌△B 1CC 1≌△C 1DD 1. ∴D 1A 1=A 1B 1=B 1C 1=C 1D 1，
∴∠AD 1A 1=∠BA 1B 1=∠CB 1C 1=∠DC 1D 1. ∴∠AA 1D+∠BA 1B 1=90°，即∠D 1A 1B 1=90°. ∴四边形A 1B 1C 1D 1为正方形.设AA 1=x ， 则AD 1=1－x.
∵正方形A 1B 1C 1D 1的面积=9
5，
∴S △AA1D1=9
1 即
2
1x(1－x)=
9
1，
整理得9x 2
－9x+2=0. 解得x 1=31，x 2=
3
2.
当AA 1=31时，AD 1=32， 当AA 1=
3
2时，AD 1=
3
1.
∴当AA 1=BB 1=CC 1=DD 1=
3
1或
3
2时，
四边形A 1B 1C 1D 1仍为正方形且面积是原面积的9
5.
常见分割的几种类型
分割问题通常是先给出一个图形（这个图形可能是规则的，也有可能不规则），然后让你用直线、线段等把该图形分割成面积相同、形状相同的几部分。解决这类问题的时候可以借助对称的性质、面积公式等进行分割。
一． 运用对称的性质分割
例1：今有一块土地，要在其上修筑两条笔直的道路，使道路将这块土地分成形状相同且面积相等的四部分，若道路的宽度可以忽略不计，请你设计三种不同的筑路方案。若修筑三条道路你能再设计出三种方案吗？
图（1）图（2）图（3）
图（4）图（5）图（6）
分析：若用两条直线，由于正方形既是一个轴对称图形又是中心对称图形，若从轴对称的角度考虑：我们可以连结两条对角线，或者连结对边中点；若从中心对称的角度考虑：我们还可以过对称中心（对角线的交点）作两条互相垂直的直线。
若用三条直线分割，答案就丰富多彩了，但无论怎么变，由于分割形成的形状相同，面积相同，因此一般都是从对称的角度来考虑（比如图（3）、图（4）、图（5））。
二． 运用面积公式分割
例2：某班研究性学习小组再研究用一条直线等分几何图形的面积是，发现如下事实：
图（1）
图（2）
A
B
C D A
B
C D
M N O
（一）如图（1），对于三角形ABC ，取BC 边中点D ，过A 、D 两点画一条直线即可。理由：∵△ABD 与△ADC 等底等高，∴S △ABD ＝S △ADC 。
（二）如图（2），对于平行四边形ABCD ，连接两对角线AC 、BD 交于点O 过O 点任作一直线MN 即可。（不妨设与AD 、BC 分别交于点M 、N ）。 理由：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AO ＝CO ，AD ∥BC ，∴∠MAO ＝∠NCO 。
问题：请你研究一下，对于梯形ABCD ，怎样画出等分其面积的直线，找出三种不同的分法，写出你的画法并说明理由。（相同的理由的分法只能算一种）
A
B C D
画法：
理由：A
B C D 画法：
理由：A
B C
D
画法：
理由：
分析：
思路一：第一个图，由于所给的梯形是一个一般梯形，由等分三角形和平行四边形的面积方法得出启示用梯形的面积公式来分割，取上下底的中点，这样所截得的两个小梯形的面积的上下底均为原来梯形上下底的一半，从而将梯形面积一分为二。
思路二：第三个图，梯形还有一个面积公式是在；中位线×高，我们只需找出中位线的中点，将中位线一分为二，过中位线的中点作一条直线截上下底就行了。
思路三：第二个图，将梯形转化成等积的平行四边形，然后运用平行四边形分割法分割。方法是过AB 的中点作CD 的平行线。
思路四：第四个图，将梯形转化成等积的三角形，然后运用三角形分割法分割。方法是先取CD 的中点O ，连结AO 并延长交BC 的延长线于点F ，经过A 与BF 的中点的直线就是所求的直线。
A
B
C D
A
B
C D A
B
C
D A
B
C D
M
N
M
N M M
O
E F F
O
O
三、借助计算分割
例3：龙栖山自然风景区有一块长12米，宽8米的矩形花圃，喷水嘴安装在举行对角线的交点P 上（如图1），现计划从点P 引三条射线把花圃分成面积相等的三个部分，分别种不同的花（不考虑各部分之间的空隙）。请你通过计算，形成多个设计方案，并
根据你的方案设计图答出三条与矩形有关边交点位置。
分析：这道题所涉及的知识并不难，但是它不同于常规题，它为我们展示了一个很广阔 的思维空间，符合条件要求的答案是丰富多彩的。
思路一：连接矩形两条对角线，交点就是P ，有“等底等高的两个三角形面积相等”可知，△ABP 、△BCP 、△CDP 、△DAP 这四个三角形面积相等；再将每条矩形的边三等分，各分点与点P 连结，构成12个小三角形，可知这些小三角形的面积都相等，每相邻的四个小三角形面积之和均为矩形面积的
3
1，这样可获知如图的四种方案。
P
A B C
D
图（1）
A B
C D （a）
A B C D （b）
A B
C D （c）
A B
C D
（d）
计算略。
思路二：如下图，∵S 矩形ABCD ＝12×8＝96，∴S ＝32。 连结PA ，作PG ⊥DC 于G ，则S 梯形APGD ＝
2
1(12+6)×4＝36>32。
可在AD 取点E ，在BC 上取点F ，设ED ＝FC ＝x 米，要使S 梯形EPGD ＝S 梯形FPGC ＝32平方米，必须满足
2
1(x+6)×4＝32 ，解得x ＝10，即ED ＝FC ＝10米。得如图（a ）。同理可作后三个图形。
A
B
C D （a）A B
C D （b）A
B
C D （c）
A B
C D （d）
P
E
F E
F E
F E F
P
P
P G G G
G
解略.
例4：如图（1），O 是矩形ABCD 的对角线的交点，过点O 作一直线分别交BC 、AD 与点M 、N 。
（1）求证：S 四边形ABMN ＝S 四边形CDMN
（2）现有如图（2）所示的方角铁皮，工人师傅想用一条直线将其分割成面积相等的两部分，请你帮助工人师傅设计三种不同的分割方案。
（在图（2）、图（3）、图（4）中分别画出一条直线，不写作法，保留作图痕迹）
A
B
C
D
O
图（1）图（2）N
M
A
B
C D
E F 4
42
2图（3）
A B
C D
E F 4
4
2
2图（4）
A B
C
D E F 4
4
2
2
分析：
思路1：由轴对称的性质不难作出第一个图，即连结BE 。
思路2：通过计算可以得知整个图形的面积为12，我们只需截出一个面积为6的图形就可以把图形面积一分为二。如果截出的是矩形，如图（3），只需AM ＝1.5中作中垂线的方法找到M 这个四等分点，过点M 作MN ⊥BC 与N ，则MN 就是所求的分割线。如果截出的是三角形，如图（4），则只需BM ＝3即可，作法同上。
图（2）
A B
C
D E F 442
2图（3）
A B
C
D E F 4
42
2图（4）
A B
C
D E F 4
42
2M
N
M
动点专题 一、应用勾股定理建立函数解析式 例1(2000年2上海)如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上,有一个动点P,PH ⊥OA,垂足为H,△OPH 的重心为G. (1)当点P 在弧AB 上运动时,线段GO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度. (2)设PH x =,GP y =,求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x 的取值范围). (3)如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段PH 的长. 二、应用比例式建立函数解析式 例2（2006年2山东）如图2,在△ABC 中,AB=AC=1,点D,E 在直线BC 上运动.设BD=,x CE=y . (1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定y 与x 之间的函数解析式； (2)如果∠BAC 的度数为α,∠DAE 的度数为β,当α,β满足怎样的关系式时,(1)中y 与x 之间的函数解析式还成立?试说明理由. A E D C B 图2 H M N G P O A B 图1 x y
C 三、应用求图形面积的方法建立函数关系式 例4（2004年2上海）如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=22,⊙A 的半径为1.若点O 在BC 边上运动(与点B 、C 不重合),设BO=x ,△AOC 的面积为y . (1)求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域. (2)以点O 为圆心,BO 长为半径作圆O,求当⊙O 与⊙A 相切时, △AOC 的面积. 一、以动态几何为主线的压轴题 （一）点动问题． 1．（09年徐汇区）如图，ABC ?中，10==AC AB ，12=BC ，点D 在边BC 上，且4=BD ，以点D 为顶点作B EDF ∠=∠，分别交边AB 于点E ，交射线CA 于点F ． （1）当6=AE 时，求AF 的长； （2）当以点C 为圆心CF 长为半径的⊙C 和以点A 为圆心AE 长为半径的⊙A 相切时， 求BE 的长； （3）当以边AC 为直径的⊙O 与线段DE 相切时，求BE 的长． A B C O 图8 H
二次函数的动点问题 1.如图①，正方形ABCD 的顶点A B ，的坐标分别为()()01084，，，，顶点C D ，在第一象限．点P 从点A 出发，沿正方形按逆时针方向匀速运动，同时，点Q 从点()40E ，出发，沿x 轴正方向以相同速度运动．当点P 到达点C 时，P Q ，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒． （1）求正方形ABCD 的边长． （2）当点P 在AB 边上运动时，OPQ △的面积S （平方单位）与时间t （秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图②所示），求P Q ，两点的运动速度． （3）求（2）中面积S （平方单位）与时间t （秒）的函数关系式及面积S 取最大值时点P 的坐标． （4）若点P Q ，保持（2）中的速度不变，则点P 沿着AB 边运动时，OPQ ∠的大小随着时间t 的增大而增大；沿着BC 边运动时，OPQ ∠的大小随着时间t 的增大而减小．当点P 沿着这两边运动时，使90OPQ =o ∠的点P 有 个． （抛物线()2 0y ax bx c a =++≠的顶点坐标是2424b ac b a a ?? -- ??? ，．
[解] （1）作BF y ⊥轴于F ． ()()01084A B Q ，，，， 86FB FA ∴==，． 10AB ∴=． （2）由图②可知，点P 从点A 运动到点B 用了10秒． 又1010101AB =÷=Q ，． P Q ∴，两点的运动速度均为每秒1个单位． （3）方法一：作PG y ⊥轴于G ，则PG BF ∥． GA AP FA AB ∴ =，即610 GA t =． 35GA t ∴=． 3 105OG t ∴=-． 4OQ t =+Q ， ()113410225S OQ OG t t ? ?∴= ??=+- ?? ?．
圆的动点问题 25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分） 已知：在Rt ABC △中，∠ACB =90°，BC =6，AC =8，过点A 作直线MN ⊥AC ，点E 是直线 MN 上的一个动点， （1）如图1，如果点E 是射线AM 上的一个动点(不与点A 重合)，联结CE 交AB 于点P ．若 AE 为x ，AP 为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域； (2) 在射线AM 上是否存在一点E ，使以点E 、A 、P 组成的三角形与△ABC 相似，若存在求 AE 的长，若不存在，请说明理由； （3）如图2，过点B 作BD ⊥MN ，垂足为D ，以点C 为圆心，若以AC 为半径的⊙C 与以ED 为半径的⊙E 相切，求⊙E 的半径． 25．（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题2分，第（3）小题6分） 在半径为4的⊙O 中，点C 是以AB 为直径的半圆的中点，OD ⊥AC ，垂足为D ，点E 是射线AB 上的任意一点，DF //AB ，DF 与CE 相交于点F ，设EF =x ，DF =y ． （1） 如图1，当点E 在射线OB 上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数定义域； （2） 如图2，当点F 在⊙O 上时，求线段DF 的长； （3） 如果以点E 为圆心、EF 为半径的圆与⊙O 相切，求线段DF 的长． 25．如图，在 半径为5的⊙O 中，点 A 、 B 在⊙O 上，∠AOB=90°，点 C 是弧AB 上的一个动点，AC 与OB 的延长线相交于点 D ，设AC=x ，BD=y ． （1）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域； （2）如果⊙O 1与⊙O 相交于点A 、C ，且⊙O 1与⊙O 的圆心距为2，当BD=OB 时，求⊙O 1的半径； （3）是否存在点C ，使得△DCB ∽△DOC ？如果存在，请证明；如果不存在，请简要说明理由． A B E F C D O A B E F C D O A B C P E M 第25题图1 D A B C M 第25题图2 N
七年级“动点问题”专项练习 1、已知点 A 在数轴上对应的数为 a，点 B 对应的数为 b，且 |2b﹣6|+（a+1）2=0，A、B 之间的距离记作 AB，定义：AB=|a﹣b|． （1）求线段 AB 的长． （2）设点 P 在数轴上对应的数 x，当 PA﹣PB=2 时，求 x 的值． （3）M、N 分别是 PA、PB 的中点，当 P 移动时，指出当下列结论分别成立时，x 的取值范围，并说明理由：①PM PN 的值不变，②|PM﹣PN|的值不变．
2、如图 1，已知数轴上两点 A、B 对应的数分别为-1、3，点 P 为数轴上的 一动点，其对应的数为 x． （1）PA=______________；PB=_____________（用含 x 的式子表示）. （2）在数轴上是否存在点 P，使 PA+PB=5？若存在，请求出 x 的值；若不存在，请说明理由． （3）如图 2，点 P 以每秒 1 个单位的速度从点 D 向右运动，同时点 A 以每秒 5 个单位的速度向左运动，点 B 以每秒 20 个单位的速度向右运动，在运动过程中，M、N 分别是 AP、OB 的中点，问：的值是否发生变化？请说明理由．
3、如图，已知 A（﹣4，3）、B（﹣1，3）、C（﹣2，1），△ABC 中任意一 P（x0，y0）点平移后对应的点为 P1（x0+2，y0﹣1），将△ABC 作同样的平移得到△A1B1C1． （1）画出△A 1B 1 C 1 ． （2）直接写出 A 1、B 1 、C 1 的坐标． （3）在坐标轴上是否存在点 P，使△PB1C1的面积等于△ABC 的面积？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
动态问题 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静. 数学思想：分类思想数形结合思想转化思想 1、如图1，梯形ABCD中，AD∥ BC，∠B=90°，AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点P从A开始 沿AD边以1cm/秒的速度移动，点Q从C开始沿CB向点B以2 cm/秒的速度移动，如果P， Q分别从A，C同时出发，设移动时间为t秒。 当 t= 时，四边形是平行四边形；6 当t= 时，四边形是等腰梯形. 8 2、如图2，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，且DM=1，N为对角线AC上任意一点， 则DN+MN的最小值为 5 3、如图，在Rt ABC △中，9060 ACB B ∠=∠= °，°，2 BC=．点O是AC的中点，过 点O的直线l从与AC重合的位置开始，绕点O作逆时针旋转，交AB边于点D．过点C作CE AB ∥交直线l于点E，设直线l的旋转角为α． （1）①当α=度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为； ②当α=度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为； （2）当90 α=°时，判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由． 解：（1）①30，1；②60，； （2）当∠α=900时，四边形EDBC是菱形. ∵∠α=∠ACB=900，∴BC∵CE∴AB=4,AC=23. ∴AO= 1 2 AC = 3 .在Rt△AOD 中，∠A=300，∴AD=2. O E C D A α l O C A （备用图）
∴BD =2. ∴BD =BC . 又∵四边形EDBC 是平行四边形， ∴四边形EDBC 是菱形 4、在△ABC 中，∠ACB =90°，AC=BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E. (1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：①△ADC ≌△CEB ；②DE=AD ＋BE ； (2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE ； (3)当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系请写出这个等量关系，并加以证明. 解：（1）① ∵∠ACD=∠ACB=90° ∴∠CAD+∠ACD=90° ∴∠BCE+∠ACD=90° ∴∠CAD=∠BCE ∵AC=BC ∴△ADC ≌△CEB ② ∵△ADC ≌△CEB ∴CE=AD ，CD=BE ∴DE=CE+CD=AD+BE (2) ∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90° ∴∠ACD=∠CBE 又∵AC=BC ∴△ACD ≌△CBE ∴CE=AD ，CD=BE ∴DE=CE-CD=AD-BE (3) 当MN 旋转到图3的位置时，DE=BE-AD(或AD=BE-DE ，BE=AD+DE 等) ∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90° ∴∠ACD=∠CBE ， 又∵AC=BC ， ∴△ACD ≌△CBE ， ∴AD=CE ，CD=BE ， ∴DE=CD-CE=BE-AD. 5、数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点．90AEF ∠=o ，且EF 交正方形外角DCG ∠的平行线CF 于点F ，求证：AE =EF ． 经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点M ，连接ME ，则AM =EC ，易证 AME ECF △≌△，所以AE EF =． 在此基础上，同学们作了进一步的研究： （1）小颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE =EF ”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗如果正确，写出证明过 C B A E D 图1 N M A B C D E M N 图2 A C B E D N M 图3
圆中动点问题 一、选择题 【题1】如图，点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点，在以下判断中，不正确 ．．．的是（ C ） A、当弦PB最长时，ΔAPC是等腰三角形。 B、当ΔAPC是等腰三角形时，PO⊥AC。 C、当PO⊥AC时，∠ACP=300. D、当∠ACP=300，ΔPBC是直角三角形 【答案】 【题2】如图，以M（－5,0）为圆心、4为半径的圆与x轴交于A、B两点，P是⊙M上异于A、B的一动点，直线PA、PB分别交y轴于C、D，以CD为直径的⊙N与x轴交于E、F两点，则EF的长（ C ）
A.等于42 B.等于43 C.等于6 D.随P点位置的变化而变化 【答案】分析：连接NE，设圆N半径为r，ON=x，则OD=r﹣x，OC=r+x，证△OBD∽△OCA，推出OC：OB=OD：OA，即（r+x）：1=9：（r﹣x），求出r2﹣x2=9，根据垂径定理和勾股定理可求出答案． 解答：解：连接NE，设圆N半径为r，ON=x，则OD=r﹣x，OC=r+x， ∵以M（﹣5，0）为圆心、4为半径的圆与x轴交于A．B两点，∴OA=4+5=9，0B=5﹣4=1， ∵AB是直径，∴∠APB=90°，∵∠BOD=90°，∴∠PAB+∠PBA=90°，∠ODB+∠OBD=90°， ∵∠PBA=∠OBD，∴∠PAB=∠ODB，∵∠APB=∠BOD=90°，∴△OBD∽△OCA， ∴OC OD OB OA =，即 9 1 r x r x + = - 解得：r2﹣x2=9， 由垂径定理得：OE=OF，OE2=EN2﹣ON2=r2﹣x2=9， 即OE=OF=3，∴EF=2OE=6，故选C． 【题3】如图，已知⊙O1的半径为1cm，⊙O2的半径为2cm，将⊙O1，⊙O2放置在直线l上，如果⊙O1在直线l上任意滚动，那么圆心距O1O2的长不可能是0.5cm 【答案】解：∵⊙O1的半径为1cm，⊙O2的半径为2cm，∴当两圆内切时，圆心距为1，∵⊙O1在直线l上任意滚动，∴两圆不可能内含，∴圆心距不能小于1，故选D． 【题4】如图，⊙O的半径为4cm，直线l与⊙O相交于A、B两点，AB=4cm，P为直线l上一动点，以1cm为半径的⊙P与⊙O没有公共点．设PO=dcm，则d的范围是d＞5cm或2cm≤d＜3cm．
初中数学动点问题练习题 1、（宁夏回族自治区）已知：等边三角形ABC 的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN 在 ABC △的边AB 上沿AB 方向以1厘米/秒的速度向B 点运动（运动开始时，点M 与点A 重合，点N 到达点B 时运动终止），过点M N 、分别作AB 边的垂线，与ABC △的其它边交于P Q 、两点，线段MN 运动的时间为t 秒． 1、线段MN 在运动的过程中，t 为何值时，四边形MNQP 恰为矩形？并求出该矩形的面积； （2）线段MN 在运动的过程中，四边形MNQP 的面积为S ，运动的时间为t ．求四边形 MNQP 的面积S 随运动时间t 变化的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围． 2、如图，在梯形ABCD 中，3545AD BC AD DC AB B ====?∥，，，．动点 M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点 出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒． （1）求BC 的长． （2）当MN AB ∥时，求t 的值． （3）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形． 3、如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是梯形，OA ∥BC ，点A 的坐标为(6，0)，点B 的坐标为(4，3)，点C 在y 轴的正半轴上．动点M 在OA 上运动，从O 点出发到A 点；动点N 在AB 上运动，从A 点出发到B 点．两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t (秒)． (1)求线段AB 的长；当t 为何值时，MN ∥OC ？ (2)设△CMN 的面积为S ，求S 与t 之间的函数解析式， 并指出自变量t 的取值范围；S 是否有最小值？ C P Q B A M N C B
中考动点问题专项训练（含详细解析） 一、解答题 1. 如图，在矩形中，，，点从点出发沿向点匀速运动，速度是；同时， 点从点出发沿方向，在射线上匀速运动，速度是，过点作交于点，连接，，交于点．设运动时间为，解答下列问题： （1）当为何值时，四边形是平行四边形； （2）设的面积为，求与之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻，使得的面积为矩形面积的； （4）是否存在某一时刻，使得点在线段的垂直平分线上． 2. 已知：如图，在中，，，，点从点出发，沿向点匀速运动，速 度为；过点作，交于点，同时，点从点出发，沿向点匀速运动，速度为；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动，连接．设运动时间为，解答下列问题： （1）当为何值时，四边形为平行四边形? （2）设四边形的面积为，试确定与的函数关系式； ?若存在，请说明理由，若存在，求出的（3）在运动过程中，是否存在某一时刻，使 四边形 值，并求出此时的距离． 3. 已知：和矩形如图①摆放（点与点重合），点，，在同一条直线上， ，，．如图②，从图①的位置出发，沿方向匀速运动，速度为； 与交于点．同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．过作，垂足为，交于，连接，，当点停止运动时，也停止运动．设运动时间为，解答下列问题： （1）当为何值时，? （2）设五边形的面积为，求与之间的函数关系式；
?若存在，求出的值；若不存在，请（3）在运动过程中，是否存在某一时刻，使 五边形矩形 说明理由； （4）在运动过程中，是否存在某一时刻，使点在的垂直平分线上?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 4. 如图，在中，，，点从点出发，在线段上以每秒的速度向点 匀速运动．与此同时，点从点出发，在线段上以每秒的速度向点匀速运动．过点作，交于点，连接，．当点到达中点时，点与同时停止运动．设运动时间为秒（）． （1）当为何值时，． （2）设的面积为，求出与之间的函数关系式． （3）是否存在某一时刻，使?若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 5. 如图，在矩形中，，，点从点出发沿向点匀速运动，速度是，过点 作交于点，同时，点从点出发沿方向，在射线上匀速运动，速度是，连接，，与交于点，设运动时间为． （1）当为何值时，四边形是平行四边形； （2）设的面积为，求与之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻，使得的面积为矩形面积的； （4）是否存在某一时刻，使得点在线段的垂直平分线上． 6. 已知：如图①，在中，，，，点由出发沿方向向点匀速运动， 速度为；点由出发沿方向向点匀速运动，速度为；连接．若设运动的时间为（），解答下列问题： （1）当为何值时，? （2）设的面积为，求与之间的函数关系式；
动态问题 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点 ，它们在线段、射线或弧线上运动的一类 6 c N t4 o o AD 的长为 度时 AD 的长为 ②当 .度时 o C B C B A （备用图） E N E A B B B A A E 时 时 M C ” 图1 l E EDBC 是否为菱形，并说明理由 C ,且 （1）① 当 四边形EDBC 是直角梯形，此时 开放性题目 关键： 数学思想 1、如图1 C 开始沿向点 秒 当 当 CE // AB 交直线I 于点E ，设直线I 的旋转角为 2、如图2,正方形的边长为 4,点M 为 5 90 ° ,直线经过点 3、如图，在只也ABC 中，ACB 四边形是平行四边形； 四边形是等腰梯形?8 90° B 60°, BC 2 .点O 是AC 的中点，过 四边形EDBC 是等腰梯形，此时 （2 ）当 90「时，判断四边形 解：（1 ［① 30, 1 :② 60, 1.5 ； （2）当/% =900时，四边形是菱形? ???/a =Z 90°,.?..???，???四边形是平行四边形 在△中，/ 900,/ 6002, ???/ 30°. 在边上，且1 , N 为对角线上任意一点，则的最小值 .解决这类问题的关键是动中求静 ，灵活运用有关数学知识解决问题 . 动中求静? 分类思想 数形结合思想转化思想 梯形中，// ，/ 90°, 141821,点P 从A 开始沿边以1秒的速度移动，点 Q 从 B 以2秒的速度移动，如果 P , Q 分别从A , C 同时出发，设移动时间为 t D ，丄于 E M C 点o 的直线l 从与AC 重合的位置开始，绕点0作逆时针旋转，交AB 边于点D ?过点C 作 ? 2. ???. 又??四边形是平行四边形 ?四边形是菱形 4、在△中 M D C A D 1 42 . 3. ? 2AC 3 .在△中，/ 3。0, (2) 图2 N
七年级数学上册 数轴上的动点问题专题训练1．在数轴上依次有A,B,C 三点，其中点 A,C 表示的数分别为-2,5，且BC=6AB ．（1）在数轴上表示出A,B,C 三点； （2）若甲、乙、丙三个动点分别从 A 、 B 、 C 三点同时出发，沿数轴负方向运动，它们的速度分别是2,2 1,41（单位长度/秒），当丙追上甲时，甲乙相距多少个单位长度？（3）在数轴上是否存在点 P ，使P 到A 、B 、C 的距离和等于10？若存在，求点P 对应的 数；若不存在，请说明理由. 2．已知多项式x 3－3xy 2－4的常数项是a ，次数是b (1) 直接写出a ，b ，并将这两个数在数轴上所对应的点A 、B 表示出来 (2) 数轴上A 、B 之间的距离记作 |AB|，定义：|AB|＝|a －b|，设点P 在数轴上对应的数为 x ，当|PA|＋|PB|＝13时，直接写出x 的值_____________ (3) 若点A 、点B 同时沿数轴向正方向运动， 点A 的速度是点B 的2倍，且3秒后，23AO ＝OB ， 求点B 的速度3．（本题12分）已知A 、B 两个动点同时在数轴上匀速运动，且保持运动的方向不变．若 A 、 B 两点的起始位置分别用有理数 a 、 b 表示， c 是最大的负整数，且|a －19c 2|＋|b －8c 3|＝0 (1) 求a 、b 、c 的值 (2) 根据题意及表格中的已知数据，填写完表格： 运动时间（秒） 0 5 7 t A 点位置 a －1 B 点位置 b 17 27 (3) 若A 、B 两点同时到达点 M 的位置，且点M 用有理数m 表示，求m 的值(4) A 、B 两点能否相距18个单位长度？如果能，求出此时运动了多少秒及此时A 、B 两点表示5510 643210-1-2-3-4
初中几何的动点问题专题练习(答案) 1、如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点． （1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动． ①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由； ②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？ （2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？ 1.解：（1）①∵1t =秒， ∴313BP CQ ==?=厘米， ∵10AB =厘米，点D 为AB 的中点， ∴5BD =厘米． 又∵8PC BC BP BC =-=，厘米， ∴835PC =-=厘米， ∴PC BD =． 又∵AB AC = ， ∴B C ∠=∠， ∴BPD CQP △≌△． ··························· （4分） ②∵P Q v v ≠， ∴BP CQ ≠， 又∵BPD CQP △≌△，B C ∠=∠，则45BP PC CQ BD ====，， ∴点P ，点Q 运动的时间4 33 BP t = =秒， ∴515 443 Q CQ v t = ==厘米/秒． ······················· （7分） （2）设经过x 秒后点P 与点Q 第一次相遇， 由题意，得 15 32104x x =+?， 解得80 3 x =秒． ∴点P 共运动了80 3803 ?=厘米． ∵8022824=?+， ∴点P 、点Q 在AB 边上相遇，
动点问题 灵活运用有关数学知识解决问题 转化思想 6 c 1 8 4 0 0 II ②当 0 C B C AB=4,AC=2 B A (备用图) D C E N D E A B B B A A E (1)①当 点M 在边 5 图1 l E - 2 .点°是AC 的中点，过 BE 丄MN 于E 60° BC 且AD 丄MN 于 度时，四边形EDBC 是直角梯形，此时 AD 的长为 DC 上，且 CE // AB 交直线l 于点E ,设直线I 的旋转角为 交AB 边于点D .过点C 作 度时，四边形EDBC 是等腰梯形，此时AD 的长为 放性题目?解决这类问题的关键是动中求静 关键：动中求静. 数学思想：分类思想 数形结合思想 1、如图 1，梯形 ABCD 中，AD // BC , A 开始沿AD 边以1cm/秒的速度移动，点 如果P , Q 分别从A , C 同时出发，设移动时间为 当t= 时，四 边形是平行四边形 当t= 时，四边形是等腰梯形 2、如图2，正方形 ABCD 的边长为 意一点，贝U DN+MN 的最小值为 / B=90 ° , AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点 P 从 -Q 从C 开始沿CB 向点B 以2 cm/秒的速度移动， t 秒。 3、如图，在 Rt △ ABC 中，ACB 90° B 解：(1)① 30, 1;② 60, 1.5; (2)当/a =900 时，四边形EDBC 是菱形. ???/a = / ACB=90°,「. BC//ED. ?/ CE//AB,二四边形 EDBC 是平行四边形 在 Rt △ ABC 中，/ ACB=900,/ B=600,BC=2, /./ A=30°. (2)当 90°时，判断四边形 EDBC 是否为菱形，并说明理由 点O 的直线l 从与AC 重合的位置开始，绕点O 作逆时针旋转 M D C ??? BD=2. ??? BD=BC. 又??四边形 EDBC 是平行四边形， ???四边形EDBC 是菱形 4、在厶ABC 中，/ ACB=90° , AC=BC ，直线 MN 经过点C M C 1 AC AO= 2 = ■ 3 .在 Rt △ AOD 中，/ A=30°,二 AD=2 A D 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点 ,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开 N 图2 A ____________ …n 1 DM=1 , N 为对角线AC 上任
2.如图7，梯形中，，，, ，，点 为线段上一动点（不与点重合），关于的轴对称图 形为，连接，设，的面积为， 的面积为． 1）当点落在梯形的中位线上时，求的值；（全等） 2）试用表示，并写出的取值范围；（相似） 3）当的外接圆与相切时，求的值．（垂径定理+中线+等面积+ 相似） 答案】解：（1）如图1，为梯形的中位线，则，过点作 于点，则有： 在中，有 在中， 解得： 2）如图2，交于点，与关于对称， 则有：， 又与关于对称， 3）如图3，当的外接圆与相切时，则为切点. 的圆心落在的中点，设为
则有，过点作， 连接，得 解得：（舍去） 3.已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，以P（1，1）为圆心的⊙P与x轴，y轴分别相切于点M和点N，点F从点M出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，连接PF，过点PE⊥PF交y轴于点E，设点F运动的时间是t秒（t>0） （1）若点E在y轴的负半轴上（如图所示），求证：PE=PF；（全等） （2）在点F运动过程中，设OE=a，OF=b，试用含a的代数式表示b；（全等+分类讨论）（3）作点F关于点M的对称点F′，经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q，连接QE．在点F运动过程中，是否存在某一时刻，使得以点Q、O、E为顶点的三角形与
【分析】：（1）连接PM，PN，运用△PMF≌△PNE证明， （2）分两种情况①当t>1 时，点E在y轴的负半轴上，0 ２５、（１２分）如图，在直角梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，∠Ｂ＝９０°，ＡＤ＝１８ ｃｍ，ＢＣ＝２４ｃｍ，动点Ｐ从Ａ开始沿ＡＤ向Ｄ以１ｃｍ／ｓ的速度运动；动点Ｑ从点 Ｃ开始向Ｂ以２ｃｍ／ｓ的速度运动。Ｐ、Ｑ分别从点Ａ、Ｃ同时出发，当其中一点到达端 点时，另外一点也随之停止运动，设运动时间为ｔｓ． （１）当ｔ为何值时，四边形ＰＱＣＤ是平行四边形； （２）当ｔ为何值时，四边形ＰＱＣＤ是直角梯形； （３）当ｔ为何值时，四边形ＰＱＣＤ是等腰梯形 24、（10分）如图1，△ABD和△BDC都是边长为1的等边三角形．（1）四边形ABCD 是菱形吗？为什么？（2）如图2，将△BDC沿射线BD方向平移到△B1D1C1的位置，则四边形ABC1D1是平行四边形吗？为什么？ （3）在△BDC移动过程中，四边形ABC1D1有可能是矩形吗？如果是，请求出点B移动的距离（写出过程）；如果不是，请说明理由（图3供操作时使用）. 28. 如图，直线y＝x+1 (k≠0)与x轴交于点B，与双曲线y＝(m+5)x2m+1交于点A、C， 其中点A在第一象限，点C在第三象限. （1）求双曲线的解析式； （2）求A点的坐标； （3）若S△AOB＝2，在x轴上是否存在点P，使△AOP是等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由. 22、（12分）如图，已知：梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，E、F、G、H分别是AD、BC、BE、CE的中点. （1）求证：△ABE≌△DCE （2）四边形EGFH是什么特殊四边形？并证明你的结论． （3）连接EF,当四边形EGFH是正方形时，线段EF与BC有什么关系？请说明理由 ．（满分10分）如下图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AD=24，BC=26，∠B=90°，动点P从A 开始沿AD边向D以1的速度运动，动点Q从点C开始沿CB以3的速度向点B运动．P、Q 同时出发，当其中一点到达顶点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为，问为何值时，（1）四边形PQCD是平行四边形．（2）当为何值时，四边形PQCD为等腰梯形． 中考动点型问题专题 一、中考专题诠释 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. “动点型问题”题型繁多、题意创新，考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等，是近几年中考题的热点和难点。 二、解题策略和解法精讲 解决动点问题的关键是“动中求静”. 从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。在动点的运动过程中观察图形的变化情况，理解图形在不同位置的情况，做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。 三、中考考点精讲 考点一：建立动点问题的函数解析式（或函数图像） 函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系. 例1 （2015?兰州）如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回，点P在运动过程中速度不变，则以点B为圆心，线段BP长为半径的圆的面积S与点P的运动时间t的函数图象大致为（） A．B．C．D． 思路分析：分析动点P的运动过程，采用定量分析手段，求出S与t的函数关系式，根据关系式可以得出结论． 解：不妨设线段AB长度为1个单位，点P的运动速度为1个单位，则： （1）当点P在A→B段运动时，PB=1-t，S=π（1-t）2（0≤t＜1）； （2）当点P在B→A段运动时，PB=t-1，S=π（t-1）2（1≤t≤2）． 综上，整个运动过程中，S与t的函数关系式为：S=π（t-1）2（0≤t≤2）， 这是一个二次函数，其图象为开口向上的一段抛物线．结合题中各选项，只有B符合要求． 故选B． 点评：本题结合动点问题考查了二次函数的图象．解题过程中求出了函数关系式，这是定量的分析方法，适用于本题，如果仅仅用定性分析方法则难以作出正确选择． 对应训练 1．（2015?白银）如图，⊙O的圆心在定角∠α（0°＜α＜180°）的角平分线上运动，且⊙O与∠α的两边相切，图中阴影部分的面积S关于⊙O的半径r（r＞0）变化的函数图象大致是（） A．B．C．D． 1．C 考点二：动态几何型题目 动点问题专题训练 1、如图，在直角梯形ABCD 中AB ∥CD, AD⊥CD, AB=8, CD=12, AD=3,动点P 从点C 出发，以每秒2个单位的速度匀速向点D 运动，动点Q 从点A 出发，以每秒1个单位的速度匀速向点B 运动.设P 、Q 同时出发，运动时间为t ，请回答下列问题： （1） t 为何值时，四边形PQBC 为平行四边形 （2） t 为何值时，四边形PQBC 为等腰梯形 （3） t 为何值时，四边形PQBC 为菱形若不能，怎样改变Q 点的速度使四边形PQBC 为菱形. （4） 】 （5） t 为何值时，PQ 将梯形ABCD 的面积平分 （6） t 为何值时，PQ 将梯形ABCD 的周长平分 （7） PQ 能否将梯形ABCD 的面积、周长同时平分改变Q 点的速度后能否平分 （8） 连接DQ, t 为何值时△DPQ 是直角三角形 （9） t 为何值时△DPQ 是等腰三角形 （10） △DPQ 能否成为等边三角形 （11） 连接AC 交PQ 于M,点M 的位置是否随着PQ 的运动而改变位置 （12） 求出△AQM 的面积S 与t 的函数关系式. （13） t 为何值时PQ ⊥AC （14） t 为何值时DQ ⊥AC 2、如图，在等边△ABC 中，已知AB ＝BC ＝CA ＝4cm ，AD ⊥BC 于D ，点P 、Q 分别从B 、C 两点同时出发，其中点P 沿BC 向终点C 运动，速度为 1cm/s ；点P 沿CA 、AB 向终点B 运动，速度为2cm/s ， 设它们运动的时间为x(s)。 ⑴ x 为何值时，PQ ⊥AC ； \ ⑵ 设△PQD 的面积为y ，当0＜x ＜2时，求y 与 x 的函数关系式；最值 3） 当0＜x ＜2时，求证：AD 平分△PQD 的面积； 4） x 为何值时，ABDQ 是等腰梯形。 5） x 为何值时，PBQ 是正三角形 6） x 为何值时，PDQ 的面积是ABC 的一半。（或直角三角形） 7） x 为何值时，AC ∥PQ 8） 探索以PQ 为直径的圆与AC 的位置关系。请写出相应位置关系的x 的取值范围。 A C Q A 》 L F E H F G E C G 图2 F H 动态问题 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静. 数学思想：分类思想 数形结合思想 转化思想 一、单动点问题 小菜一碟：如图 2，正方形 ABCD 的边长为 4，点 M 在边 DC 上，且 DM=1，N 为对角线 AC 上任意一点，则 DN+MN 的最小值为 例 （10 年房ft 二模压轴）25. （1）如图 1，已知矩形 ABCD 中，点 E 是 BC 上的一动点，过点 E D A D A D B C B B C 图1 图3 作 EF ⊥BD 于点 F ，EG ⊥AC 于点 G ，CH ⊥BD 于点 H ，试证明 CH=EF+EG; (2) 若点 E 在ＢＣ的延长线上，如图 2，过点 E 作 EF ⊥BD 于点 F ，EG ⊥AC 的延长线于点 G ，CH ⊥BD 于点 H ， 则 EF 、EG 、ＣH 三者之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想； (3) 如图 3，BD 是正方形 ABCD 的对角线,L 在 BD 上，且 BL=BC, 连结 CL ，点 E 是 CL 上任一点, EF ⊥BD 于点 F ，EG ⊥BC 于点 G ，猜想 EF 、EG 、BD 之间具有怎样的数量关系，直接写出你的猜想； (4) 观察图 1、图 2、图 3 的特性，请你根据这一特性构造一个图形， 使它仍然具有 EF 、EG 、ＣH 这样的线段，并满足（1）或（2）的结论，写出相关题设的条件和结论. 2014 年中考数学专题复习：与圆有关的动点问题 1、如图，⊙O 的直径 AB=4，C 为圆周上一点，AC=2，过点 C 作⊙O 的切线 DC ，P 点为优弧 CBA 上一动点（不与 A ．C 重合）． （1） 求∠APC 与∠ACD 的度数； （2） 当点 P 移动到 CB 弧的中点时，求证：四边形 OBPC 是菱形． （3）P 点移动到什么位置时，△APC 与△ABC 全等，请说明理由． 2、如图，在⊙O 上位于直径 AB 的异侧有定点 C 和动点 P ， AC= 1 2 AB ，点 P 在半圆弧 AB 上运动（不与 A 、B 两点重合），过点 C 作直线 PB 的垂线 CD 交 PB 于 D 点． （1） 如图 1，求证：△PCD ∽△ABC ； （2） 当点 P 运动到什么位置时，△PCD ≌△ABC ？请在图 2 中画出△PCD 并说明理由； （3） 如图 3，当点 P 运动到 CP ⊥AB 时，求∠BCD 的度数． 3、如图，在半径为 2 的扇形 AOB 中，∠AOB=90°，点 C 是弧 AB 上的一个动点（不与点 A、B 重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为 D、E． （1）当BC=1 时，求线段 OD 的长； （2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在， 请说明理由； （3）设BD=x，△DOE的面积为 y，求y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域． 4、如图，菱形ABCD 的边长为2cm，∠DAB=60°．点P 从A 点出发，以cm/s 的速度，沿AC 向C 作匀速运动；与此同时，点 Q 也从A 点出发，以 1cm/s 的速度，沿射线 AB 作匀速运 动．当 P 运动到 C 点时，P、Q 都停止运动．设点 P 运动的时间为 ts． （1）当P 异于A．C 时，请说明PQ∥BC； （2）以P 为圆心、PQ 长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t 为怎样的值时，⊙P与 边BC 分别有 1 个公共点和 2 个公共点？ 动点问题专题训练 1、如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点． （1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动． ①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由； ②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等 （2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇 1.解：（1）①∵1t =秒， ∴313BP CQ ==?=厘米， ∵10AB =厘米，点D 为AB 的中点， ∴5BD =厘米． 又∵8PC BC BP BC =-=，厘米， ∴835PC =-=厘米， ∴PC BD =． 又∵AB AC =， ∴B C ∠=∠， ∴BPD CQP △≌△． ··················· （4分） P ②∵P Q v v ≠， ∴BP CQ ≠， 又∵BPD CQP △≌△，B C ∠=∠，则45BP PC CQ BD ====，， ∴点P ，点Q 运动的时间4 33 BP t ==秒， ∴515 443 Q CQ v t = ==厘米/秒． ··············· （7分） （2）设经过x 秒后点P 与点Q 第一次相遇， 由题意，得15 32104 x x =+?， 解得80 3 x = 秒． ∴点P 共运动了 80 3803 ?=厘米． ∵8022824=?+， ∴点P 、点Q 在AB 边上相遇， ∴经过 80 3 秒点P 与点Q 第一次在边AB 上相遇． ······· （12分） 2、直线3 64 y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O 点出 发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿路线O →B →A 运动． （1）直接写出A B 、两点的坐标； （2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求 出S 与t 之间的函数关系式； （3）当48 5 S = 时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标． 2.解（1）A （8，0）B （0，6） 1分 （2）86OA OB ==，中考数学动点问题专项训练
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