第一章常用逻辑用语
1.1命题
[学习目标]
1.命题的概念.
2.判断命题的真假，能够把命题化为“若p，则q”的形式.
知识点一命题的定义
(1)用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.
(2)判断为真的语句叫做真命题.
(3)判断为假的语句叫做假命题.
思考(1)“x>5”是命题吗？
(2)陈述句一定是命题吗？
答案(1)“x>5”不是命题，因为它不能判断真假.
(2)陈述句不一定是命题，因为不知真假.只有可以判断真假的陈述句才叫做命题.
知识点二命题的结构
从构成来看，所有的命题都由条件和结论两部分构成.在数学中，命题常写成“若p，则q”的形式.通常，我们把这种形式的命题中的p叫做命题的条件，q叫做命题的结论.
题型一命题的判断
例1(1)下列语句为命题的是()
A.x－1＝0
B.2＋3＝8
C.你会说英语吗？
D.这是一棵大树
(2)下列语句为命题的有________.
①一个数不是正数就是负数；
②梯形是不是平面图形呢？
③22 015是一个很大的数；
④4是集合{2,3,4}的元素；
⑤作△ABC≌△A′B′C′.
答案(1)B(2)①④
解析(1)A中x不确定，x－1＝0的真假无法判断；B中2＋3＝8是命题，且是假命题；C 不是陈述句，故不是命题；D中“大”的标准不确定，无法判断真假.
(2)①是陈述句，且能判断真假；②不是陈述句；③不能断定真假；④是陈述句且能判断真假；⑤不是陈述句.
反思与感悟并不是所有的语句都是命题，只有能判断真假的陈述句才是命题.命题首先是“陈述句”，其他语句如疑问句、祈使句、感叹句等一般都不是命题；其次是“能判断真假”，不能判断真假的陈述句不是命题，如“x≥2”、“小高的个子很高”等都不能判断真假，故都不是命题.因此，判断一个语句是否为命题，关键有两点：①是否为陈述句；②能否判断真假.
跟踪训练1判断下列语句是不是命题.
(1)求证3是无理数；
(2)x2＋2x＋1≥0；
(3)你是高二学生吗？
(4)并非所有的人都喜欢苹果；
(5)一个正整数不是质数就是合数；
(6)若x∈R，则x2＋4x＋7＞0；
(7)x＋3>0.
解(1)(3)(7)不是命题，(2)(4)(5)(6)是命题.
题型二命题真假的判断
例2判断下列命题的真假：
(1)已知a，b，c，d∈R，若a≠c，b≠d，则a＋b≠c＋d；
(2)若x∈N，则x3>x2成立；
(3)若m>1，则方程x2－2x＋m＝0无实数根；
(4)存在一个三角形没有外接圆.
解(1)假命题.反例：1≠4,5≠2，而1＋5＝4＋2.
(2)假命题.反例：当x＝0时，x3>x2不成立.
(3)真命题.∵m>1?Δ＝4－4m<0，
∴方程x2－2x＋m＝0无实数根.
(4)假命题.因为不共线的三点确定一个圆，即任何三角形都有外接圆.
反思与感悟要判断一个命题是真命题，一般需要经过严格的推理论证，在判断时，要有理有据，有时应综合各种情况作出正确的判断.而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可.
跟踪训练2下列命题：
①若xy＝1，则x、y互为倒数；
②四条边相等的四边形是正方形；
③平行四边形是梯形；
④若ac2>bc2，则a>b.
其中真命题的序号是________.
答案①④
解析①④是真命题，②四条边相等的四边形是菱形，但不一定是正方形，③平行四边形不是梯形.
题型三命题的构成形式
例3(1)已知命题：弦的垂直平分线经过圆心并且平分弦所对的弧，若把上述命题改为“若p，则q”的形式，则p是_____________，q是_____________________.
答案一条直线是弦的垂直平分线这条直线经过圆心且平分弦所对的弧
(2)把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假.
①已知x，y为正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2；
②当abc＝0时，a＝0且b＝0且c＝0.
解①已知x，y为正整数，若y＝x＋1，则y＝3，x＝2，假命题.
②若abc＝0，则a＝0且b＝0且c＝0，假命题.
反思与感悟把一个命题改写成“若p，则q”的形式，首先要确定命题的条件和结论，若条件和结论比较隐含，要补充完整，有时一个条件有多个结论，有时一个结论需多个条件，还要注意有的命题改写形式也不惟一.
跟踪训练3指出下列命题中的条件p和结论q，并判断各命题的真假.
(1)若四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分；
(2)若a>0，b>0，则a＋b>0；
(3)面积相等的三角形是全等三角形.
解(1)条件p：四边形是平行四边形，结论q：四边形的对角线互相平分.真命题.
(2)条件p：a>0，b>0，结论q：a＋b>0.真命题.
(3)条件p：两个三角形面积相等，结论q：它们是全等三角形.假命题.
1.下列语句不是命题的个数为( )
①2<1；②x <1；③若x <2，则x <1；④函数f (x )＝x 2是R 上的偶函数. A.0 B.1 C.2 D.3
答案 C
解析 ①④可以判断真假，是命题；②③不能判断真假，所以不是命题. 2.下列命题为真命题的是( ) A.互余的两个角不相等 B.相等的两个角是同位角 C.若a 2＝b 2，则|a |＝|b |
D.三角形的一个外角等于和它不相邻的一个内角 答案 C
解析 由平面几何知识可知A 、B 、D 三项都是错误的. 3.下列命题是真命题的是( ) A.若a 2＝4，则a ＝2 B.若a ＝b ，则a ＝b C.若1a ＝1
b ，则a ＝b
D.若a
答案 C
解析 判断是假命题，只需举反例，用排除法，得到正确选项. 由a 2＝4得a ＝±2，排除A ； 取a ＝b ＝－1，排除B ；
－2<1，但(－2)2>12，排除D.故选C. 4.给出下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一条直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中，为真命题的是( ) A.①② B.②③ C.③④ D.②④
答案 D
解析 当两个平面相交时，一个平面内的两条直线可以平行于另一个平面，故①错；由平
面与平面垂直的判定定理可知②正确；空间中垂直于同一条直线的两条直线可以平行、相交也可以异面，故③错；若两个平面垂直，在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故④正确.
5.下列命题：
①若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；②若a>b，则ac2>bc2；③矩形的对角线互相垂直.
其中假命题的个数是________.
答案 3
解析①当x，y中一个为零，另一个不为零时，|x|＋|y|≠0；②当c＝0时不成立；③菱形的对角线互相垂直.矩形的对角线不一定垂直.
1.根据命题的定义，可以判断真假的陈述句是命题.命题的条件与结论之间属于因果关系，真命题需要给出证明，假命题只需举出一个反例即可.
2.任何命题都是由条件和结论构成的，可以写成“若p，则q”的形式.含有大前提的命题写成“若p，则q”的形式时，大前提应保持不变，且不写在条件p中.
一、选择题
1.下列语句是命题的是()
A.2 015是一个大数
B.若两直线平行，则这两条直线没有公共点
C.对数函数是增函数吗？
D.a≤15
答案 B
解析A、D不能判断真假，不是命题；B能够判断真假而且是陈述句，是命题；C是疑问句，不是命题.
2.下列命题是真命题的是()
A.{?}是空集
B.{x∈N||x－1|<3}是无限集
C.π是有理数
D.x2－5x＝0的根是自然数
答案 D
解析x2－5x＝0的根为x1＝0，x2＝5，均为自然数.
3.已知α、β、γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γ?β⊥γ”是正确的.如果把α、β、γ中的任意两个换成直线，在所得的命题中，真命题有()
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
答案 C
解析把α、β换成直线a、b时，则该命题可改写为“a∥b，且a⊥γ?b⊥γ”，由直线与平面垂直的判定定理可知，该命题是正确的；把α、γ换成直线a、b时，则该命题可改写为“a∥β，且a⊥b?b⊥β”，它是判断直线与平面的位臵关系的，显然是错误的；把β、γ换成直线a、b，则该命题改为“a∥α，b⊥α?a⊥b”，显然成立.
4.下列命题是真命题的是()
A.若ab＝0，则a2＋b2＝0
B.若a>b，则ac>bc
C.若M∩N＝M，则N?M
D.若M?N，则M∩N＝M
答案 D
解析A中，a＝0，b≠0时，a2＋b2＝0不成立；B中，c≤0时不成立；C中，M∩N＝M 说明M?N.故A、B、C均错误.
5.已知a、b为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，则下列命题中的假命题是()
A.若a∥b，则α∥β
B.若α⊥β，则a⊥b
C.若a、b相交，则α、β相交
D.若α、β相交，则a、b相交
答案 D
解析D中如果α、β相交，a和b可以相交，也可以异面.
6.给定下列命题：
①若k>0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根；
②若a>b>0，c>d>0，则ac>bd；
③对角线相等的四边形是矩形；
④若xy＝0，则x、y中至少有一个为0.
其中真命题的序号是()
A.①②③
B.①②④
C.①③④
D.②③④
答案 B
解析①中Δ＝4－4(－k)＝4＋4k>0，故为真命题；②由不等式的性质知，显然是真命题；
③如等腰梯形对角线相等，不是矩形，故为假命题；④为真命题.
7.设f(x)，g(x)都是单调函数，有如下四个命题：
①若f(x)单调递增，g(x)单调递增，则f(x)－g(x)单调递增；
②若f(x)单调递增，g(x)单调递减，则f(x)－g(x)单调递增；
③若f(x)单调递减，g(x)单调递增，则f(x)－g(x)单调递减；
④若f(x)单调递减，g(x)单调递减，则f(x)－g(x)单调递减.
其中为真命题的是()
A.①②
B.①④
C.②③
D.②④
答案 C
解析对于①，举反例：令f(x)＝x，g(x)＝2x，
则f(x)－g(x)＝－x，为减函数，故排除①.
对于②③可利用单调函数的定义证得，故②③为真命题.
对于④，举反例，令f(x)＝－x，g(x)＝－2x，
则f(x)－g(x)＝x为增函数，故排除④.
综上可知，正确的命题为②③.
8.已知命题“直线l与平面α有公共点”是真命题，那么下列命题：
①直线l上的点都在平面α内；
②直线l上有些点不在平面α内；
③平面α内任意一条直线都不与直线l平行.
其中真命题的个数是()
A.3
B.2
C.1
D.0
答案 D
解析直线l与平面α有公共点，则直线l与平面α相交或直线l在平面α内，因此可判断
①②③都是假命题，故选D.
二、填空题
9.命题“偶函数的图象关于y轴对称”写成“若p，则q”的形式为_____________.
答案若一个函数是偶函数，则这个函数的图象关于y轴对称
10.在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点(x，y)为整点.下列命题中正确的是________(写出所有正确命题的序号).
①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点；
②如果k与b都是无理数，则直线y＝kx＋b不经过任何整点；
③直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点；
④直线y＝kx＋b经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数；
⑤存在恰经过一个整点的直线.
答案①③⑤
解析 ①直线y ＝x ＋1
2既不与坐标轴平行又不经过任何整点，故①正确.②直线y ＝2x ＋2
经过整点(－1,0)，故②错.③若直线l 经过无穷多个整点，当然经过两个不同整点.反之，设直线l 经过两个不同整点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则直线l 的方程为(x 2－x 1)(y －y 1)＝(y 2－y 1)(x －x 1).令x ＝x 1＋k (x 2－x 1)，y ＝y 1＋k (y 2－y 1)，且k ∈Z ，则x ，y ∈Z ，易知点P (x ，y )满足上述直线l 的方程.从而可知l 经过无穷多个整点，故③正确.④k ，b 都是有理数，但直线y ＝kx ＋b 不一定过整点，如直线y ＝1
2，故④错.⑤直线y ＝2x 恰好经过一个整点(0,0)，故
⑤正确.综上所述，①③⑤正确. 11.下列语句：
①三角形的内角和为π； ②0是最小的偶数吗？ ③2不等于3；
④若两直线不平行，则它们相交.
其中，不是命题的序号为________，真命题的序号为________. 答案 ② ①③
解析 ②是疑问句，不是命题，其余都是命题.①③是真命题.若两直线不平行，则它们相交或为异面直线，④是假命题. 三、解答题
12.命题：3mx 2＋mx ＋1>0恒成立是真命题，求实数m 的取值范围. 解 “3mx 2＋mx ＋1>0恒成立”是真命题，需对m 进行分类讨论. 当m ＝0时，1>0恒成立，所以m ＝0满足题意； 当m >0，且Δ＝m 2－12m <0，
即0 13.已知A ：5x －1>a ，B ：x >1，请选择适当的实数a ，使得由A ，B 构造的命题“若p ，则q ”为真命题. 解 若A ，则B ，即“若x >1＋a 5，则x >1”，由命题为真命题可知1＋a 5≥1，解得a ≥4； 若B ，则A ，即“若x >1，则x >1＋a 5”，由命题为真命题可知1＋a 5≤1，解得a ≤4. 综上所述，当a ≥4时，“若A ，则B ”为真命题； 当a ≤4时，“若B ，则A ”为真命题. 1.1.2四种命题 1.1.3四种命题间的相互关系 [学习目标] 1.理解四种命题的概念，能写出某命题的逆命题、否命题和逆否命题.2.知道四种命题之间的相互关系以及真假性之间的联系.3.会利用逆否命题的等价性解决问题. 知识点一四种命题的概念 (1)互逆命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题.其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题. (2)互否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这两个命题叫做互否命题.其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的否命题. (3)互为逆否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这两个命题叫做互为逆否命题.其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆否命题. 知识点二四种命题的真假性的判断 原命题为真，它的逆命题不一定为真；它的否命题也不一定为真.原命题为真，它的逆否命题一定为真. 题型一四种命题的概念 例1写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假. (1)若m·n<0，则方程mx2－x＋n＝0有实数根； (2)弦的垂直平分线经过圆心，且平分弦所对的弧； (3)若m≤0或n≤0，则m＋n≤0； (4)在△ABC中，若a>b，则∠A>∠B. 解(1)逆命题：若方程mx2－x＋n＝0有实数根，则m·n<0，假命题. 否命题：若m·n≥0，则方程mx2－x＋n＝0没有实数根，假命题. 逆否命题：若方程mx2－x＋n＝0没有实数根，则m·n≥0，真命题. (2)逆命题：若一条直线经过圆心，且平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线，真命题. 否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不过圆心或不平分弦所对的弧，真命题. 逆否命题：若一条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线，真命题. (3)逆命题：若m＋n≤0，则m≤0或n≤0，真命题. 否命题：若m>0且n>0，则m＋n>0，真命题. 逆否命题：若m＋n>0，则m>0且n>0，假命题. (4)逆命题：在△ABC中，若∠A>∠B，则a>b，真命题. 否命题：在△ABC中，若a≤b，则∠A≤∠B，真命题. 逆否命题：在△ABC中，若∠A≤∠B，则a≤b，真命题. 反思与感悟(1)写命题的四种形式时，首先要找出命题的条件和结论，然后写出命题的条件的否定和结论的否定，再根据四种命题的结构写出所求命题. (2)在写命题时，为了使句子更通顺，可以适当地添加一些词语，但不能改变条件和结论. 跟踪训练1判断下列命题的真假，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假. (1)若x2＋y2＝0，则x，y全为零； (2)若在二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，b2－4ac<0，则该函数图象与x轴有交点. 解(1)该命题为真命题. 逆命题：若x，y全为零，则x2＋y2＝0，真命题. 否命题：若x2＋y2≠0，则x，y不全为零，真命题. 逆否命题：若x，y不全为零，则x2＋y2≠0，真命题. (2)该命题为假命题. 逆命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴有交点，则b2－4ac<0，假命题. 否命题：若在二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，b2－4ac≥0，则该函数图象与x轴无交点，假命题. 逆否命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴无交点，则b2－4ac≥0，假命题. 题型二四种命题的关系 例2下列命题： ①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题； ②“四条边相等的四边形是正方形”的否命题； ③“梯形不是平行四边形”的逆否命题； ④“若ac2>bc2，则a>b”的逆命题. 其中是真命题的是________. 答案①②③ 解析①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题是“若x，y互为倒数，则xy＝1”，是真命题；②“四条边相等的四边形是正方形”的否命题是“四条边不都相等的四边形不是正方形”，是真命题；③“梯形不是平行四边形”本身是真命题，所以其逆否命题也是真命题；④“若ac2>bc2，则a>b”的逆命题是“若a>b，则ac2>bc2”，是假命题.所以真命题是①②③. 反思与感悟要判断四种命题的真假：首先，要熟练掌握四种命题的相互关系，注意它们之间的相互性；其次，利用其他知识判断真假时，一定要对有关知识熟练掌握. 跟踪训练2下列命题为真命题的是() ①“正三角形都相似”的逆命题； ②“若m>0，则x2＋2x－m＝0有实根”的逆否命题； ③“若x－2是有理数，则x是无理数”的逆否命题. A.①②③ B.②③ C.①② D.①③ 答案 B 解析①原命题的逆命题为“若两个三角形相似，则这两个三角形是正三角形”，故为假命题.②原命题的逆否命题为“若x2＋2x－m＝0无实根，则m≤0”.∵方程无实根，∴判别式Δ＝4＋4m<0，∴m<－1，即m≤0成立，故为真命题.③原命题的逆否命题为“若x不是无理数，则x－2不是有理数”.∵x不是无理数，∴x是有理数.又2是无理数，∴x－2是无理数，不是有理数，故为真命题.正确的命题为②③，故选B. 题型三等价命题的应用 例3判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集是空集，则a<2”的逆否命题的真假. 解原命题的逆否命题为“已知a，x为实数，若a≥2，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集”. 判断真假如下： 函数y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的图象开口向上，判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7， 因为a≥2，所以4a－7>0，即抛物线与x轴有交点， 所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，故原命题的逆否命题为真. 反思与感悟因为原命题与它的逆否命题的真假性相同，所以我们可以利用这一点，通过证明原命题的逆否命题的真假性来肯定原命题的真假性.这种证明方法叫做逆否证法，它也是一种间接的证明方法. 跟踪训练3判断命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题的真假. 解∵m>0， ∴方程x2＋2x－3m＝0的判别式Δ＝12m＋4>0. ∴原命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”为真. 又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题也为真. 化归思想的应用 例4判断命题“若x2－y2≠0，则x－y，x＋y中至少有一个不等于0”的真假. 分析原命题的真假性不容易判断，可以找出其逆否命题，若其逆否命题的真假性容易判断，则根据互为逆否的两个命题的真假性之间的关系，就可以解决原命题的真假性问题了. 解 原命题的逆否命题：若x －y ，x ＋y 都等于0， 则x 2－y 2＝0. 由x －y ＝0，x ＋y ＝0，得x 2－y 2＝(x ＋y )(x －y )＝0. 因此，原命题的逆否命题是真命题. 所以原命题是真命题. 解后反思 条件与结论都含有否定词的命题在判断其真假时，会有一定的困难，这时最好转化为判断其逆否命题的真假，这种化归的思想是解题的重要思想方法. 根据已知集合求参数范围 例5 已知p ：M ＝{x |x 2－2x －80≤0}，q ：N ＝{x |x 2－2x ＋1－m 2≤0，m ＞0}.如果“若p ，则q ”为真，且“若q ，则p ”为假，求实数m 的取值范围. 分析 先求不等式的解集，再根据条件建立不等式组求解即可. 解 p ：M ＝{x |x 2－2x －80≤0}＝{x |－8≤x ≤10}， q ：N ＝{x |x 2－2x ＋1－m 2≤0，m ＞0} ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m ＞0}. 因为“若p ，则q ”为真，且“若q ，则p ”为假，所以M N ， 所以???? ? m ＞0，1－m ≤－8， 1＋m ＞10 或???? ? m ＞0，1－m ＜－8，1＋m ≥10， 即????? m ＞0，m ≥9，m ＞9或???? ? m ＞0，m ＞9，m ≥9， 解得m ＞9， 即实数m 的取值范围是{}m |m ＞9. 解后反思 由“若p ，则q ”为真，“若q ，则p ”为假，得M ?N ，但N M ，故M N ，即“1－m 与－8”和“1＋m 与10”不能同时取等号.事实上，当m ＝9时，两个集合相等. 1.命题“若a ?A ，则b ∈B ”的否命题是( ) A.若a ?A ，则b ?B B.若a ∈A ，则b ?B C.若b ∈B ，则a ?A D.若b ?B ，则a ?A 答案 B 解析 命题“若p ，则q ”的否命题是“若綈p ，则綈q ”，“∈”与“?”互为否定形式. 2.命题“若A ∩B ＝A ，则A ∪B ＝B ”的逆否命题是( ) A.若A ∪B ＝B ，则A ∩B ＝A B.若A ∩B ≠A ，则A ∪B ≠B C.若A ∪B ≠B ，则A ∩B ≠A D.若A ∪B ≠B ，则A ∩B ＝A 答案 C 解析 注意“A ∩B ＝A ”的否定是“A ∩B ≠A ”. 3.命题“若平面向量a ，b 共线，则a ，b 方向相同”的逆否命题是_______，它是______命题(填“真”或“假”). 答案 若平面向量a ，b 的方向不相同，则a ，b 不共线 假 4.给出以下命题： ①“若a ，b 都是偶数，则a ＋b 是偶数”的否命题； ②“正多边形都相似”的逆命题； ③“若m >0，则x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题. 其中为真命题的是________. 答案 ③ 解析 ①否命题是“若a ，b 不都是偶数，则a ＋b 不是偶数”.假命题. ②逆命题是“若两个多边形相似，则这两个多边形为正多边形”.假命题. ③∵Δ＝1＋4m ，m >0时，Δ>0， ∴x 2＋x －m ＝0有实根，即原命题为真. ∴逆否命题为真. 5.“若sin α＝12，则α＝π 6”的逆否命题是“__________________”，逆否命题是________ 命题(填“真”或“假”). 答案 若α≠π6，则sin α≠1 2 假 解析 逆否命题是“若α≠π 6， 则sin α≠1 2 ”是假命题. 1.写四种命题时，可以按下列步骤进行： (1)找出命题的条件p和结论q； (2)写出条件p的否定綈p和结论q的否定綈q； (3)按照四种命题的结构写出所求命题. 2.每一个命题都由条件和结论组成，要分清条件和结论. 3.判断命题的真假可以根据互为逆否的命题真假性相同来判断，这也是反证法的理论基础. 一、选择题 1.若“x>y，则x2>y2”的逆否命题是() A.若x≤y，则x2≤y2 B.若x>y，则x2 C.若x2≤y2，则x≤y D.若x 答案 C 解析由互为逆否命题的定义可知，把原命题的条件的否定作为结论，原命题的结论的否定作为条件即可得逆否命题. 2.命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是() A.若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数 B.若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数 C.若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数 D.若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数 答案 B 解析否命题是既否定条件又否定结论. 因此否命题应为“若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数”. 3.已知命题“若x＝5，则x2－8x＋15＝0”，那么它的逆命题、否命题与逆否命题这三个命题中，真命题有() A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 答案 B 解析原命题：“若x＝5，则x2－8x＋15＝0”为真命题. 当x2－8x＋15＝0时，x＝3或x＝5. 故其逆命题：“若x2－8x＋15＝0，则x＝5”为假命题. 又由四种命题之间的关系知该命题的逆否命题为真命题，否命题为假命题. 4.与命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”等价的命题是() A.能被3整除的整数，一定能被6整除 B.不能被3整除的整数，一定不能被6整除 C.不能被6整除的整数，一定不能被3整除 D.不能被6整除的整数，不一定能被3整除 答案 B 解析互为逆否命题的两个命题是等价的. 5.有下列命题： ①mx2＋2x－1＝0是一元二次方程；②函数y＝ax2＋2x－1的图象与x轴至少有一个交点； ③互相包含的两个集合相等；④空集是任何非空集合的真子集.真命题的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 答案 B 解析①当m＝0时，方程是一元一次方程；②方程ax2＋2x－1＝0(a≠0)的判别式Δ＝4＋4a，其值不一定大于或等于0，所以与x轴至少有一个交点不能确定；③④正确. 6.已知α，β，γ是不同的平面，l，m，n是不同的直线，则下列命题是真命题的是() A.若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ B.若m⊥α，β⊥α，则m∥β C.若l⊥m，l⊥n，则m∥n D.若l⊥α，m⊥α，则l∥m 答案 D 解析当α⊥β，β⊥γ时，α与γ可能平行，也可能相交，故A不正确； 当m⊥α，β⊥α时，m可能平行β，也可能在β内，故B不正确； 当l⊥m，l⊥n时，m与n的位臵关系是平行或异面或相交，故C不正确.故选D. 7.有下列四个命题： ①“若x＋y＝0，则x、y互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题； ③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆命题； ④“不等边三角形的三个内角相等”的逆否命题. 其中真命题的序号为() A.①② B.②③ C.①③ D.③④ 答案 C 解析命题①：“若x、y互为相反数，则x＋y＝0”是真命题；命题②：可考虑其逆命题“面积相等的三角形是全等三角形”，是假命题，因此命题②是假命题；命题③：“若x2＋2x＋q＝0有实根，则q≤1”是真命题；命题④是假命题. 二、填空题 8.“若x，y全为零，则xy＝0”的否命题为________________________. 答案若x，y不全为零，则xy≠0 解析由于“全为零”的否定为“不全为零”，所以“若x，y全为零，则xy＝0”的否命题为“若x，y不全为零，则xy≠0”. 9.下列命题中： ①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形； ②正方形的四条边相等； ③若一个四边形的四条边相等，则它是正方形. 其中互为逆命题的有______；互为否命题的有______；互为逆否命题的有______(填序号). 答案②和③①和③①和② 10.命题“当AB＝AC时，△ABC是等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题有________个. 答案 2 解析原命题为真命题，逆命题“当△ABC是等腰三角形时，AB＝AC”为假命题，否命题“当AB≠AC时，△ABC不是等腰三角形”为假命题，逆否命题“当△ABC不是等腰三角形时，AB≠AC”为真命题. 三、解答题 11.判断命题：“若b≤－1，则关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题的真假. 解方法一(利用原命题)因为原命题与逆否命题真假性一致，所以只需判断原命题真假即可. 方程判别式为Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b， 因为b≤－1，所以Δ≥4>0， 故此方程有两个不相等的实根，即原命题为真，故它的逆否命题也为真. 方法二(利用逆否命题)原命题的逆否命题为“若关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0无实根，则b>－1”. 方程判别式为Δ＝4b2－4(b2＋b)＝－4b， 因为方程无实根，所以Δ<0，即－4b<0，所以b>0，所以b>－1成立，即原命题的逆否命题为真. 12.写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题. (1)ac＞bc?a＞b； (2)已知x，y为正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2； (3)当m ＞1 4时，mx 2－x ＋1＝0无实数根. 解 (1)原命题：若ac ＞bc ，则a ＞b . 逆命题：若a ＞b ，则ac ＞bc . 否命题：若ac ≤bc ，则a ≤b . 逆否命题：若a ≤b ，则ac ≤bc . (2)原命题：已知x ，y 为正整数，若y ＝x ＋1，则y ＝3，且x ＝2. 逆命题：已知x ，y 为正整数，若y ＝3且x ＝2，则y ＝x ＋1. 否命题：已知x ，y 为正整数，若y ≠x ＋1，则y ≠3或x ≠2. 逆否命题：已知x ，y 为正整数，若y ≠3或x ≠2，则y ≠x ＋1. (3)原命题：若m ＞1 4，则mx 2－x ＋1＝0无实数根. 逆命题：若mx 2－x ＋1＝0无实数根，则m ＞1 4. 否命题：若m ≤1 4，则mx 2－x ＋1＝0有实数根. 逆否命题：若mx 2－x ＋1＝0有实数根，则m ≤1 4. 13.给出两个命题： 命题甲：关于x 的不等式x 2＋(a －1)x ＋a 2≤0的解集为?； 命题乙：函数y ＝(2a 2－a )x 为增函数. (1)甲、乙至少有一个是真命题； (2)甲、乙有且只有一个是真命题. 分别求出符合(1)(2)的实数a 的取值范围. 解 甲为真时，Δ＝(a －1)2－4a 2<0， 即A ＝{a |a >1 3 或a <－1}； 乙为真时，2a 2－a >1，即B ＝{a |a >1或a <－1 2 }. (1)甲、乙至少有一个是真命题时，解集为A ，B 的并集，这时实数a 的取值范围是{a |a >1 3或 a <－12 }. (2)甲、乙有且只有一个是真命题时，有两种情况： 当甲真乙假时，1