第四节 基本不等式
时间：45分钟 分值：75分
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1．设a ，b ∈R ，已知命题p ：a 2＋b 2≤2ab ；命题q ：? ??
??a ＋b 22≤a 2＋b 2
2，则p 是q 成立的( )
A ．必要不充分条件
B ．充分不必要条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析 命题p ：(a －b )2≤0?a ＝b ；命题q ：(a －b )2≥0.显然，由p 可得q 成立，但由q 不能推出p 成立，故p 是q 的充分不必要条件．
答案 B
2．已知f (x )＝x ＋1
x －2(x <0)，则f (x )有( ) A ．最大值为0 B ．最小值为0 C ．最大值为－4 D ．最小值为－4
解析 ∵x <0，∴－x >0.
∴x ＋1
x －2＝－? ??
??－x ＋1－x －2≤－2
(－x )·1
－x
－2＝－4，
当且仅当－x ＝1
－x ，即x ＝－1时，等号成立．
答案 C
3．下列不等式：①a 2
＋1>2a ；②a ＋b ab
≤2；③x 2
＋1x 2＋1≥1，其
中正确的个数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
解析 ①②不正确，③正确，x 2
＋1x 2＋1＝(x 2
＋1)＋1x 2＋1－1≥2
－1＝1.
答案 B
4．(2014·云南师大附中模拟)已知a ＋b ＝t (a >0，b >0)，t 为常数，且ab 的最大值为2，则t 的值为( )
A ．2
B ．4
C ．2 2
D ．2 5
解析 当a >0，b >0时，有ab ≤(a ＋b )24＝t 24，当且仅当a ＝b ＝t
2时取等号．∵ab 的最大值为2，∴t 2
4＝2，t 2＝8，∴t ＝8＝2 2.
答案 C
5．(2014·山东师大附中模拟)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( )
A.245
B.285 C ．5
D ．6
解析 由x ＋3y ＝5xy ，可得x xy ＋3y xy ＝5，即1y ＋3x ＝5，∴15y ＋3
5x ＝1，∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )? ????15y ＋35x ＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋23x 5y ×12y
5x ＝
135＋12
5＝5.
答案 C
6．(2014·湖北八校联考)若x ，y ∈(0,2]且xy ＝2，使不等式a (2x ＋y )≥(2－x )(4－y )恒成立，则实数a 的取值范围为( )
A ．a ≤1
2 B ．a ≤2 C ．a ≥2
D ．a ≥1
2
解析 由x ，y ∈(0,2]且xy ＝2，
得a ≥(2－x )(4－y )2x ＋y ＝10－2(2x ＋y )2x ＋y ＝102x ＋y －2.
又由2x ＋y ≥22xy ＝4，∴a ≥1
2. 答案 D
二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)
7．(2013·四川卷)已知函数f (x )＝4x ＋a
x (x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________.
解析 由于x >0，a >0，f (x )＝4x ＋a
x ≥4a . 此时当4x ＝a
x 时，f (x )取得最小值4a ，即a ＝4x 2. ∴a ＝4×32＝36. 答案 36
8．(2013·陕西卷)已知a ，b ，m ，n 均为正数，且a ＋b ＝1，mn ＝2，则(am ＋bn )(bm ＋an )的最小值为________．
解析 (am ＋bn )(bm ＋an )＝ab (m 2＋n 2)＋mn (a 2＋b 2)≥2abmn ＋2(a 2＋b 2)＝2(a ＋b )2＝2，当且仅当m ＝n ＝2时取等号．
答案 2
9．(2014·沈阳第二学段考试)在等式4x ＋9y ＝m 中，x >0，y >0，若x ＋y 的最小值为5
6，则m 的值为________．
解析 x ＋y ＝(x ＋y )(4x ＋9y )·1
m ＝(4＋9x y ＋4y x ＋9)1m ≥(13＋12)1m ， ∴25m ＝5
6，m ＝30. 答案 30
三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分) 10．(1)求函数y ＝x (a －2x )(x >0，a 为大于2x 的常数)的最大值； (2)已知x >0，y >0，lg x ＋lg y ＝1，求z ＝2x ＋5
y 的最小值． 解 (1)∵x >0，a >2x ， ∴y ＝x (a －2x )＝1
2×2x (a －2x ) ≤12×??
??
??2x ＋(a －2x )22＝a 2
8， 当且仅当x ＝a 4时取等号，故函数的最大值为a 2
8. (2)由已知条件lg x ＋lg y ＝1，可得xy ＝10. 则2x ＋5y ＝2y ＋5x 10≥210xy 10＝2.
∴?
??
??
2x ＋5y min ＝2. 当且仅当2y ＝5x ，即x ＝2，y ＝5时等号成立． 11．已知x ＞0，y ＞0，z ＞0，且x ＋y ＋z ＝1. 求证：1x ＋4y ＋9
z ≥36.
证明 ∵x ＞0，y ＞0，z ＞0，且x ＋y ＋z ＝1，
∴1x ＋4y ＋9
z ＝(x ＋y ＋z )? ????1x ＋4y ＋9z ＝14＋? ????y x ＋4x y ＋? ??
??z x ＋9x z ＋
? ????
4z y ＋9y z ≥14＋2
y x ·4x
y ＋2 z x ·9x z ＋2·4z y ·9y
z ＝14＋4＋6＋12＝
36.
当且仅当x 2＝14y 2＝1
9z 2，
即x ＝16，y ＝13，z ＝1
2时等号成立． ∴1x ＋4y ＋9
z ≥36.
12．(2014·南通调研)为了稳定房价，某地政府决定建造一批保障房供给社会．计划用1 600万元购得一块土地，在该土地上建造10幢楼房的住宅小区，每幢楼的楼层数相同，且每层建筑面积均为1 000平方米，每平方米的建筑费用与楼层有关，第x 层楼房每平方米的建筑费用为(kx ＋800)元(其中k 为常数)．经测算，若每幢楼为5层，则该小区每平方米的平均综合费用为1 270元．
? ??
??每平方米平均综合费用＝购地费用＋所有建筑费用所有建筑面积
(1)求k 的值；
(2)问要使该小区楼房每平方米的平均综合费用最低，应将这10幢楼房建成多少层？此时每平方米的平均综合费用为多少元？
解 (1)如果每幢楼为5层，那么总的建筑面积为(10×1 000×5)平方米，所有建筑费用为[(k ＋800)＋(2k ＋800)＋(3k ＋800)＋(4k ＋800)＋(5k ＋800)]×1 000×10，
1 270＝{16 000 000＋[(k ＋800)＋(2k ＋800)＋(3k ＋800)＋(4k ＋800)＋(5k ＋800)]×1 000×10}÷(10×1 000×5)，解得k ＝50.
(2)设小区楼房每幢为n (n ∈N *)层时，每平方米平均综合费用为f (n )，由题设可知
f (n )＝{16 000 000＋[(50＋800)＋(100＋800)＋…＋(50n ＋
800)]×1 000×10}÷(10×1 000×n )＝1 600
n ＋25n ＋825≥2 1 600×25＋825＝1 225(元)．
当且仅当1 600
n ＝25n ，即n ＝8时等号成立．
故该小区楼房每幢建8层时，每平方米的平均综合费用最低，此时每平方米的平均综合费用1 225元．