专题限时检测二
时间：60分钟 满分：100分
一、选择题(本大题共8小题，每小题6分，共48分；在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(文)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P (x,2)是角θ终边上一点，且cos θ＝31313
，则x 的值为( )
A ．±3
B ．－3
C ．3
D ．±13
[答案] C
[解析] P 到原点的距离|PO |＝x 2＋4，由三角函数的定义及题设条件得，?????
x x 2＋4＝31313，x >0，
解之得x ＝3. (理)(2013·重庆一中月考)已知倾斜角为α的直线l 与直线x －2y ＋2＝0平行，则tan2α的值为( )
A.4
5 B.3
4 C.4
3 D.23
[答案] C
[解析] ∵tan α＝12，∴tan2α＝2tan α1－tan 2α＝4
3
. 2．(文)(2013·榆林一中模拟)下列函数中，周期为π，且在区间[π4，3π4]上单调递增的函数
是( )
A ．y ＝sin2x
B ．y ＝cos2x
C ．y ＝－sin2x
D ．y ＝－cos2x [答案] C
(理)已知f (x )＝a sin2x ＋b cos2x ，其中a 、b ∈R ，ab ≠0，若f (x )≤|f (π
6)|对一切x ∈R 恒成
立，且f (π
2
)＞0，则f (x )的单调递增区间是( )
A ．[k π－π3，k π＋π
6
](k ∈Z )
B ．[k π＋π6，k π＋2π
3](k ∈Z )
C ．[k π，k π＋π
2](k ∈Z )
D ．[k π－π
2，k π](k ∈Z )
[答案] B
[解析] 用淘汰法求解．由条件f (x )≤|f (π6)|知x ＝π6时f (x )取得最大值或最小值，故k π＋
π
6为单调区间的一个端点，排除C 、D ，又当单调区间为A 时，应有f (π
2
)<0，排除A ，∴选B.
3．(文)(2013·海淀区期中)若向量a 、b 满足|a |＝|b |＝|a ＋b |＝1，则a ·b 的值为( ) A ．－12
B.1
2 C ．－1 D ．1
[答案] A
[解析] ∵|a |＝|b |＝|a ＋b |，∴〈a ，b 〉＝120°， ∴a ·b ＝1×1×cos120°＝－12
.
(理)函数y ＝tan(π4x －π
2)(0 l 与函数的图象交于B 、C 两点，则(OB →＋OC →)·OA → 等于( ) A ．－8 B ．－4 C ．4 D ．8 [答案] D [解析] A 点坐标为(2,0)，即OA → ＝(2,0)， 由y ＝tan(π4x －π 2)的图象的对称性知A 是BC 的中点． ∴OB →＋OC →＝2OA →， ∴(OB →＋OC →)·OA →＝2OA →·OA → ＝2×|OA → |2＝8.故选D. 4．(文)(2013·天津六校联考)若把函数y ＝sin ωx 的图象向左平移π 3个单位，则与函数y ＝ cos ωx 的图象重合，则ω的值可能是( ) A.13 B.3 2 C.2 3 D.12 [答案] B [答案] 由条件知，T 4＝π3，∴T ＝4π 3， 又T ＝2πω，∴ω＝3 2 . (理)(2013·苍南求知中学月考)函数y ＝cos 2(2x －π3)的图象向左平移π6个单位，所得的图象 对应的函数是( ) A ．值域为[0,2]的奇函数 B ．值域为[0,1]的奇函数 C ．值域为[0,2]的偶函数 D ．值域为[0,1]的偶函数 [答案] D [解析] y ＝cos 2(2x －π3)＝1＋cos (4x －2π 3) 2，左移π6个单位后为y ＝12＋1 2cos4x 为偶函数，值 域为[0,1]，故选D. 5．(文)(2014·衡水中学5月模拟)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π<φ<π)图象的一部分(如图所示)，则ω与φ 的值分别为( ) A.1110，－5π6 B ．1，－2π 3 C.710，－π6 D.45，－π3 [答案] B [解析] 由图象知，T > 5π3，3T 4<5π3，∴5π3 ，排除C 、D ；又f (0)＝2sin φ<－1，∴sin φ<－12，但sin(－5π6)＝－12，∴φ≠－5π 6 ，排除A ，故选B. (理)已知y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|≤π 2)在区间[0,1]上是单调函数，其图象过点P 1(－1,0)， P 2(0,1)，则此函数的最小正周期T 及φ的值分别是( ) A ．T ＝4，φ＝π 2 B ．T ＝4，φ＝1 C ．T ＝4π，φ＝π 2 D ．T ＝4π，φ＝－1 [答案] A [解析] ∵f (x )的图象过P 1(－1,0)和P 2(0,1)，若f (x )在[0,1]上单调递增，则周期T ≥4[1－(－1)]＝8，与选项不符，∴f (x )在[0,1]上单调递减，∴T ＝4，ω＝π2，∴f (x )＝sin(π 2x ＋φ)， 又f (－1)＝0，f (0)＝1，|φ|≤π2，∴φ＝π2，∴f (x )＝sin(π2x ＋π2)＝cos π 2 x ，符合题意，故选A. 6．(文)已知P 是边长为2的正三角形ABC 的边BC 上的动点，则AP →·(AB →＋AC → )( ) A ．最大值为8 B ．是定值6 C ．最小值为2 D ．与P 的位置有关 [答案] B [解析] 如图，∵AB →＋AC →＝AD →＝2AO → ，△ABC 为正三角形， ∴四边形ABDC 为菱形，BC ⊥AO ，∴AP →在向量AD → 上的投影为AO →，又|AO →|＝3，∴AP →·(AB →＋AC →)＝|AO →|·|AD →|＝6，故选B. (理)(2013·榆林一中模拟)如图，已知△ABC 中，点M 在线段AC 上，点P 在线段BM 上且满足AM MC ＝MP PB ＝2，若|AB →|＝2，|AC →|＝3，∠BAC ＝120°，则AP →·BC →的值为( ) A ．－2 B ．2 C.23 D ．－11 3 [答案] A [解析] 由条件知AM →＝23AC →，BP →＝13 BM →，AB →·AC → ＝2×3cos120°＝－3， ∴AP →·BC →＝(AB →＋BP →)·BC →＝(AB →＋13BM →)·BC → ＝(AB →＋13AM →－13AB →)·BC → ＝(23AB →＋13·23AC →)·BC → ＝(23AB →＋29AC →)·(AC →－AB →) ＝49AB →·AC →－23|AB →|2＋29 |AC →|2＝－2. 7．(2013·新课标Ⅰ文，10)已知锐角△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2A ＋cos2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( ) A ．10 B ．9 C ．8 D ．5 [答案] D [解析] 本题考查了倍角公式、余弦定理．由倍角公式得23cos 2A ＋cos2A ＝25 cos 2A －1＝0，cos 2A ＝125，△ABC 为锐角三角形cos A ＝1 5，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得b 2 －12 5 b －13＝0，即5b 2－12b －65＝0，解方程得b ＝5. 8．(文)设F 1、F 2是椭圆x 24＋y 2 ＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，当△F 1PF 2的面积为1 时，PF 1→·PF 2→的值为( ) A ．0 B ．1 C.1 2 D ．2 [答案] A [解析] 设P (x ，y )，F 1(－3，0)，F 2(3，0)， 则PF 1→·PF 2→＝(－3－x ，－y )·(3－x ，－y )＝x 2＋y 2－3. ∵△F 1PF 2的面积S ＝12|F 1F 2→||y |＝12·23·|y |＝3|y |＝1， ∴y 2＝1 3.由于点P 在椭圆上， ∴x 24＋y 2＝1.∴x 2＝83 . ∴PF 1→·PF 2→＝x 2＋y 2－3＝83＋13 －3＝0.故选A. (理)(2013·内江市模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)，F (c,0)是右焦点，经过坐标原点O 的 直线l 与椭圆交于点A 、B ，且F A →·FB →＝0，|OA →－OB →|＝2|OA →－OF → |，则该椭圆的离心率为( ) A.2 2 B.32 C.2－1 D.3－1 [答案] D [解析] ∵|OA →－OB →|＝|AB →|，|OA →－OF →|＝|AF →|，且|OA →－OB →|＝2|OA →－OF → |， ∴AB ＝2AF ，∵F A →·FB → ＝0，∴F A ⊥FB ， ∴OF ＝OA ＝AF ，∴A (c 2，－3 2c )在椭圆上， ∴c 24a 2＋3c 2 4b 2＝1， ∴c 24a 2＋3c 24a 2－4c 2＝1，∴14e 2＋34 e 2－4＝1， ∵0 二、填空题(本大题共2小题，每小题6分，共12分，将答案填写在题中横线上．) 9．(文)(2013·北京西城一模)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，且 cos A cos B ＝b a ＝3 4 .若c ＝10，则△ABC 的面积是________． [答案] 24 [解析] 由cos A cos B ＝b a 得a cos A ＝ b cos B ， 由正弦定理得sin2A ＝sin2B ， 由 cos A cos B ＝3 4 知A ≠B ，∴2A ＝π－2B ， ∴A ＋B ＝π2，∴C ＝π 2 ， 又b a ＝34，c ＝10，∴b ＝6，a ＝8，S ＝1 2 ab ＝24. (理)(2013·江西八校联考)已知函数f (x )＝cos x sin x ，给出下列四个结论： ①若f (x 1)＝－f (x 2)，则x 1＝－x 2； ②f (x )的最小正周期是2π； ③f (x )在区间[－π4，π 4]上是增函数； ④f (x )的图象关于直线x ＝3π 4对称． 其中正确的结论是________． [答案] ③④ [解析] f (x )＝12sin2x 最小正周期T ＝π，对称轴x ＝k π2＋π4，k ∈Z ，令k ＝1得x ＝3π 4；由 2k π－π2≤2x ≤2k π＋π2得，k π－π4≤x ≤k π＋π4，取k ＝0知，f (x )在区间[－π4，π 4]上为增函数，f (x ) 为奇函数，当x 1＝－x 2时，有f (x 1)＝f (－x 2)＝－f (x 2)，但f (x 1)＝－f (x 2)时，由周期性知不一定有x 1＝－x 2，故正确选项为③④. 10．(文)关于平面向量a 、b 、c ，有下列四个命题： ①若a ∥b ，a ≠0，则?λ∈R ，使b ＝λa ； ②若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0； ③存在不全为零的实数λ，μ，使得c ＝λa ＋μb ； ④若a ·b ＝a ·c ，则a ⊥(b －c )． 其中正确的命题序号是________． [答案] ①④ [解析] 逐个判断．由向量共线定理知①正确；若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0或a ⊥b ，所以②错误；在a ，b 能够作为基底时，对平面上任意向量，存在实数λ，μ使得c ＝λa ＋μb ，所以③错误；若a ·b ＝a ·c ，则a ·(b －c )＝0，所以a ⊥(b －c )，所以④正确．故正确命题序号是①④. (理)(2013·重庆一中月考)在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 在AM 上且满足AP →＝2PM →，则P A →·(PB →＋PC →)等于________． [答案] －4 9 [解析] AM ＝1，AP →＝2PM →，∴|P A →|＝23，|PM →|＝1 3， ∴P A →·(PB →＋PC →)＝P A →·(2PM → )＝－2×23×13＝－49 . 三、解答题(本大题共3小题，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 11．(本小题满分13分)(文)(2013·天津六校联考)△ABC 中，已知A ＝45°，cos B ＝4 5. (1)求sin C 的值； (2)若BC ＝10，D 为AB 的中点，求AB 、CD 的长． [解析] (1)∵三角形中，cos B ＝4 5，所以B 为锐角， ∴sin B ＝3 5 所以sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝72 10 . (2)三角形ABC 中，由正弦定理得AB sin C ＝BC sin A ， ∴AB ＝14， 又D 为AB 中点，所以BD ＝7， 在三角形BCD 中，由余弦定理得CD 2＝BC 2＋BD 2－2BC ·BD ·cos B ＝37，∴CD ＝37. (理)(2014·海南六校联盟二模)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c .已知b (cos A －2cos C )＝(2c －a )cos B . (1)求c a 的值； (2)若cos B ＝1 4，△ABC 的周长为5，求b . [解析] (1)在△ABC 中，有 a sin A ＝ b sin B ＝ c sin C ＝2R ， 又b (cos A －2cos C )＝(2c －a )cos B ，则 sin B (cos A －2cos C )＝2(sin C －sin A )cos B ， 即sin B cos A －2sin B cos C ＝2sin C cos B －sin A cos B ， ∴sin(A ＋B )＝2sin(B ＋C )?sin C ＝2sin A ?c a ＝2.(也可用余弦定理求解) (2)由(1)c a ＝2?c ＝2a ，又a ＋ b ＋ c ＝5，∴b ＝5－3a . 由余弦定理得：b 2＝c 2＋a 2－2ac cos B ， ∴(5－3a )2＝(2a )2＋a 2－4a 2×1 4?a ＝1，或a ＝5， 当a ＝1?b ＝2，当a ＝5与a ＋b ＋c ＝5矛盾．故b ＝2. 12．(本小题满分13分)(文)(2013·德阳市二诊)函数f (x )＝sin ωx cos φ－cos ωx sin φ(ω>0,0<φ<π)的图象过点(π6，0)，且相邻两条对称轴间的距离为π2 . (1)求f (x )的表达式； (2)试求函数y ＝f 2(12x )＋1 2的单调增区间． [解析] (1)由题意y ＝sin(ωx －φ)， ∵相邻两条对称轴间的距离为π 2， ∴T ＝π＝2π ω，∴ω＝2， 故f (x )＝sin(2x －φ)， 又y ＝f (x )的图象过点(π 6，0)， ∴2×π 6－φ＝k π，k ∈Z ， ∴φ＝π 3－k π，k ∈Z ， 又0<φ<π，∴φ＝π 3， f (x )＝sin(2x －π 3 )． (2)y ＝f 2(12x )＋12＝sin 2(x －π3)＋1 2 ＝1－cos (2x －2π3) 2＋12＝1－12cos(2x －2π 3)， 由2k π≤2x －2π 3≤2k π＋π， 解之得k π＋π3≤x ≤k π＋5π 6 ， ∴y ＝f 2(12x )＋12的增区间为[k π＋π3，k π＋5π 6 ]，(k ∈Z )． (理)(2013·西城二模)已知函数f (x )＝sin x ＋a cos x 的一个零点是3π 4. (1)求实数a 的值； (2)设g (x )＝[f (x )]2－2sin 2x ，求g (x )的单调递增区间． [解析] (1)依题意，得f (3π 4)＝0， ∴sin 3π4＋a cos 3π4＝22－2a 2 ＝0， ∴a ＝1. (2)由(1)得f (x )＝sin x ＋cos x ， ∴g (x )＝[f (x )]2－2sin 2x ＝(sin x ＋cos x )2－2sin 2x ＝sin2x ＋cos2x ＝2sin(2x ＋π4)． 由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π 2 得， k π－3π8≤x ≤k π＋π 8 ，k ∈Z ∴g (x )的单调递增区间为[k π－3π8，k π＋π 8 ](k ∈Z )． 13．(本小题满分14分)(文)(2013·江西八校联考)如图，D 是直角△ABC 斜边BC 上一点，AB ＝AD ，记∠CAD ＝α，∠ABC ＝β. (1)证明：sin α＋cos2β＝0； (2)若AC ＝3DC ，求β. [解析] (1)证明：∵AB ＝AD ，∠ABC ＝β，∠CAD ＝α， ∴2β＝π 2 ＋α， ∴sin α＋cos2β＝sin α＋cos(π 2＋α)＝sin α－sin α＝0. (2)在△ABC 中， ∵AC ＝3DC ，∴sin β＝3sin α， ∴sin β＝3sin α＝－3cos2β＝23sin 2β－ 3. ∵β∈(0，π2)，∴sin β＝3 2， ∴β＝π 3 . (理)(2013·江西八校联考)已知向量a ＝(sin ωx ,2cos ωx )，b ＝(cos ωx ，－23 3cos ωx )(ω>0)， 函数f (x )＝a·(3b ＋a )－1，且函数f (x )的最小正周期为π 2 . (1)求ω的值； (2)设△ABC 的三边a 、b 、c 满足：b 2＝ac ，且边b 所对的角为x ，若方程f (x )＝k 有两个不同的实数解，求实数k 的取值范围． [解析] (1)∵f (x )＝a ·(3b ＋a )－1 ＝(sin ωx ,2cos ωx )·(sin ωx ＋3cos ωx ,0)－1 ＝ 32sin2ωx －12cos2ωx －1 2 ＝sin(2ωx －π6)－1 2. ∵T ＝2π2ω＝π 2 ，∴ω＝2. (2)由(1)知，f (x )＝sin(4x －π6)－1 2 ， ∵在△ABC 中，cos x ＝a 2＋c 2－b 22ac ≥2ac －ac 2ac ＝1 2， ∴0 6 . ∴f (x )＝sin(4x －π6)－12＝k 有两个不同的实数解时，k 的取值范围是(－1，1 2 )． 一、选择题 1．(文)(2013·天津十二区县联考)将函数y ＝cos(x －5π 6)的图象上所有点的横坐标伸长到 原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移π 3个单位，则所得函数图象对应的解析式 是( ) A ．y ＝cos(x 2－π 4) B ．y ＝cos(2x －π 6) C ．y ＝sin2x D ．y ＝cos(x 2－2π 3 ) [答案] D [解析] y ＝cos(x －5π6)――→各点横坐标伸长到原来的2倍y ＝cos(12x －5π6)――→向左平移π3个单位y ＝cos(x 2－2π 3 )． (理)(2013·眉山市二诊)将函数y ＝cos(x ＋π 3)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵 坐标不变)，再向左平移π 6 个单位，所得函数的最小正周期为( ) A ．π B ．2π C ．4π D ．8π [答案] C [解析] y ＝cos(x ＋π3)――→各点的横坐标伸长到原来的2倍y ＝cos(x 2＋π3)――→向左平移π6个单位y ＝cos(x 2＋5π 12)． ∴最小正周期为T ＝2π 12 ＝4π. 2．已知向量|a |＝2，|b |＝3，a 、b 的夹角为120°，那么|a －b |等于( ) A ．19 B.19 C ．7 D.7 [答案] B [解析] ∵|a |＝2，|b |＝3，〈a ，b 〉＝120°，∴a ·b ＝|a |·|b |·cos120°＝－3，∴|a －b |2＝|a |2 ＋|b |2－2·a ·b ＝4＋9－2×(－3)＝19，∴|a －b |＝19. 3．(文)在△ABC 中，已知cos A ＝513，sin B ＝3 5，则cos C 的值为( ) A.16 65 B.5665 C.1665或5665 D ．－1665或5665 [答案] A [解析] 由cos A ＝513>0得A 为锐角，且sin A ＝1213，sin B ＝3 5，sin A >sin B ，因此B 为锐角， 于是cos B ＝45，cos C ＝cos [π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝sin A sin B －cos A cos B ＝16 65 ，选A. (理)在△ABC 中，若2cos B ·sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是( ) A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形 [答案] C [解析] 解法1：∵C ＝π－(A ＋B )， ∴sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝2cos B sin A . ∴sin A cos B －cos A sin B ＝0，即sin(A －B )＝0. ∵－π 解法2：由正弦定理sin A ＝a 2R ，sin C ＝c 2R ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ， 代入条件式得2·a 2＋c 2－b 22ac ·a 2R ＝c 2R ， ∴a 2＝b 2.故a ＝b . 4．(2013·保定市一模)设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0，|φ|<π 2)的部分图象如右图所 示，则函数f (x )的表达式为( ) A ．f (x )＝sin(2x ＋π 4 ) B ．f (x )＝sin(2x －π 4) C ．f (x )＝sin(4x ＋3π 4) D ．f (x )＝sin(4x －π 4) [答案] A [解析] 周期T ＝4(3π8－π8)＝π，故ω＝2，又点(π8，1)在图象上，代入可得φ＝π 4，故选 A. 5．(2013·苍南求知中学月考)已知定义在R 上的函数f (x )是周期为3的奇函数，当x ∈(0，3 2 )时，f (x )＝sinπx ，则函数f (x )在区间[0,5]上的零点个数为( ) A ．9 B ．8 C ．7 D ．6 [答案] D [解析] 由条件知，当x ∈(－32，3 2)时，f (x )＝sinπx . ∴f (－1)＝f (0)＝f (1)＝0. 又f (x )的周期为3， ∴f (2)＝f (3)＝f (4)＝f (5)＝0. ∴f (x )在区间[0,5]上有6个零点． 6．(文)在△ABC 中，∠A ＝60°，最大边和最小边恰为方程x 2－7x ＋11＝0的两根，则第三边的长是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 [答案] B [解析] 设最大边为x 1，最小边为x 2，且x 1＋x 2＝7，x 1x 2＝11.而a 边不是最大边和最小 边，故a 2＝x 21＋x 2 2－2x 1x 2· cos A ＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2－2x 1x 2cos A ＝(x 1＋x 2)2－3x 1x 2＝72－3×11＝16，∴a ＝4. (理)(2013·江西八校联考)设f 1(x )＝cos x ，定义f n ＋1(x )为f n (x )的导数，即f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ＋，若△ABC 的内角A 满足f 1(A )＋f 2(A )＋…＋f 2013(A )＝0，则sin A 的值是( ) A ．1 B.32 C.2 2 D.12 [答案] A [解析] f 1(x )＝cos x ，f 2(x )＝f 1′(x )＝－sin x ，f 3(x )＝f 2′(x )＝－cos x ，f 4(x )＝f 3′(x )＝sin x ，f 5(x )＝f 4′(x )＝cos x ，…可见f n (x )关于n 呈周期出现，周期为4.且f 1(x )＋f 2(x )＋f 3(x )＋f 4(x )＝0， ∴f 1(A )＋f 2(A )＋…＋f 2013(A )＝503×0＋f 2013(A )＝f 1(A )＝cos A ＝0， ∴sin A ＝1.故选A. 7．(文)函数y ＝sin x (3sin x ＋4cos x )(x ∈R )的最大值为M ，最小正周期为T ，则有序数对(M ，T )为( ) A ．(5，π) B ．(4，π) C ．(－1,2π) D ．(4,2π) [答案] B [解析] 依题意得y ＝3sin 2x ＋2sin2x ＝3(1－cos2x )2＋2sin2x ＝52sin(2x －θ)＋3 2(其中tan θ＝ 34)，所以M ＝4，T ＝2π 2 ＝π，结合各选项知，选B. (理)(2014·山西大学附中第二次月考)△ABC 的三内角A 、B 、C 所对边的长分别为a ，b ，c ，设向量p ＝(sin B ，a ＋c )，q ＝(sin C －sin A ，b －a )．若?λ∈R ，使p ＝λq ，则角C 的大小为( ) A.π 6 B.2π3 C.π3 D.π2 [答案] C [解析] 由题意知，sin B ＝λ(sin C －sin A )，a ＋c ＝λ(b －a )，∴b ＝λ(c －a )，∴λ＝ b c －a ，∴a ＋c ＝b c －a (b －a )，∴ c 2－a 2＝b 2－ab ，即a 2＋b 2－c 2 ＝ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∴C ＝π 3 . 8．(2014·百校联考)在△ABC 中，若AB 2→＝AB →·AC →＋BA →·BC →＋CA →·CB → ，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形 D ．直角三角形 [答案] D [解析] ∵AB →2＝AB →·AC →＋BA →·BC →＋CA →·CB →＝AB →·AC →－AB →·(AC →－AB →)－AC →·(AB →－AC →)＝AB →2 －AC →·AB →＋AC →2＝AB →2＋AC →·(AC →－AB →)＝AB →2＋AC →·BC →，∴AC →·BC →＝0，∴AC →⊥BC →. 二、填空题 9．(文)在正三角形ABC 中，D 是边BC 上的点，若AB ＝3，BD ＝1，则AB →·AD → ＝________. [答案] 152 [解析] AB →·AD →＝AB →(AB →＋BD →)＝AB →2＋AB →·BD → ＝32＋3×1×cos120°＝9－32＝152 . (理)已知a 、b 、c 分别是△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边，若c ＝2，b ＝3，A ＋C ＝3B ，则sin C ＝________. [答案] 63 [解析] 本题主要考查正弦定理及应用．由A ＋C ＝3B 得B ＝π 4，由正弦定理知，sin C ＝ c b sin B ＝63 . 10．(2014·河北衡水中学二调)在△ABC 中，边AC ＝1，AB ＝2，角A ＝2π 3，过A 作AP ⊥BC 于P ，且AP →＝λAB →＋μAC → ，则λμ＝________. [答案] 1049 [解析] 如图，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos 2π 3 ＝4＋1－2×2×1×(－1 2)＝7，∴BC ＝7， 设BP ＝x ，则CP ＝7－x ， ∵AB 2－BP 2＝AP 2＝AC 2－PC 2， ∴4－x 2＝1－(7－x )2，∴x ＝57 ， ∴PC ＝7－x ＝ 27 . ∴BP →＝57BC →，∴AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋57BC → ＝AB →＋57(AC →－AB →)＝27AB →＋57AC → ， ∴λ＝27，u ＝57，∴λu ＝10 49. 三、解答题 11．(文)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且b cos C ＝(3a －c )cos B . (1)求cos B 的值； (2)若BA →·BC →＝2，且b ＝22，求a 和c 的值． [解析] (1)由正弦定理得，sin B cos C ＝3sin A cos B －sin C cos B ， ∴sin(B ＋C )＝3sin A cos B ， 可得sin A ＝3sin A cos B . 又sin A ≠0，∴cos B ＝1 3 . (2)由BA →·BC →＝2，可得ac cos B ＝2. 又cos B ＝1 3 ，∴ac ＝6. 由b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，及b ＝22， 可得a 2＋c 2＝12， ∴(a －c )2＝0，即a ＝c . ∴a ＝c ＝ 6. (理)已知在△ABC 中，cos A ＝6 3 ，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 所对的边． (1)求tan2A 的值； (2)若sin(π2＋B )＝22 3，c ＝22，求△ABC 的面积． [解析] (1)因为cos A ＝6 3 ，A ∈(0，π)， 所以sin A ＝ 33，则tan A ＝22 . 所以tan2A ＝2tan A 1－tan 2A ＝2 2. (2)由sin(π2＋B )＝223，得cos B ＝22 3， 又B ∈(0，π)，所以sin B ＝1 3 . 则sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝ 63 . 由正弦定理知a ＝c sin A sin C ＝2，所以△ABC 的面积为 S ＝12ac sin B ＝223 . 12．(文)在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若m ＝(2b －c ，cos C )，n ＝(a ，cos A )，且m ∥n . (1)求角A 的大小； (2)记B ＝x ，作出函数y ＝2sin 2x ＋cos ????π 3－2x 的图象． [解析] (1)由m ∥n 得，(2b －c )·cos A －a cos C ＝0， 由正弦定理得：2sin B cos A －sin C cos A －sin A cos C ＝0， ∴2sin B cos A －sin(A ＋C )＝0，∴2sin B cos A －sin B ＝0， ∵A 、B ∈(0，π)，∴sin B ≠0，cos A ＝12，∴A ＝π 3 . (2)y ＝2sin 2x ＋cos(π3－2x )＝2sin 2x ＋12cos2x ＋32sin2x ＝1－12cos2x ＋32sin2x ＝sin(2x －π 6) ＋1， ∵B ＝x ，∴由(1)知x ∈(0， 2π 3 )． 列表： 函数y ＝2sin 2x ＋cos(π 3 －2x )的图象如图所示． (理)已知向量m ＝1，sin ωx ＋π3，n ＝????2，2sin ????ωx －π6(其中ω为正常数)． (1)若ω＝1，x ∈???? π6，2π3，求m ∥n 时tan x 的值； (2)设f (x )＝m ·n －2，若函数f (x )的图象的相邻两个对称中心的距离为π2 ，求f (x )在区间 ??? ?0，π2上的最小值． [解析] (1)m ∥n 时，sin ????x －π6＝sin ????x ＋π3， sin x cos π6－cos x sin π6＝sin x cos π3＋cos x sin π 3， 则32sin x －12cos x ＝12sin x ＋3 2 cos x . ∴ 3－12sin x ＝3＋12cos x ，所以tan x ＝3＋1 3－1 ＝2＋ 3. (2)f (x )＝2sin ????ωx －π6sin ????ωx ＋π 3 ＝2sin ? ???ωx －π 6cos ??? ?????ωx ＋π3－π2 ＝2sin ????ωx －π6cos ????ωx －π6＝sin ????2ωx －π3. (或f (x )＝2sin ????ωx －π6sin ????ωx ＋π 3 ＝2????32sin ωx －12cos ωx ????12sin ωx ＋32cos ωx ＝2?? ??34sin 2ωx －34cos 2ωx ＋12sin ωx cos ωx ＝－ 32sin2ωx ＋1 2 sin2ωx ＝sin ????2ωx －π3.) ∵函数f (x )的图象的相邻两个对称中心的距离为π 2， ∴f (x )的最小正周期为π，又ω为正常数， ∴ 2π 2ω ＝π，解得ω＝1.故f (x )＝sin ????2x －π3. 因为x ∈????0，π2，所以－π3≤2x －π3≤2π 3. 故当x ＝－π3时，f (x )取最小值－3 2 . 13．(文)(2013·湖北理，17)在△ABC 中，角A 、B 、C 对应的边分别是a 、b 、c .已知cos2A －3cos(B ＋C )＝1. (1)求角A 的大小； (2)若△ABC 的面积S ＝53，b ＝5，求sin B sinC 的值． [解析] (1)由cos2A －3cos(B ＋C )＝1，得2cos 2A ＋3cos A －2＝0. 即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0，解得cos A ＝1 2或cos A ＝－2(舍去)