《MATLAB 程序设计实践》课程考核 实践一、编程实现以下科学计算法，并举一例应用之。（参考书籍《精通MATLAB 科学计算》，王正林等著，电子工业出版社，2009年） “最速下降法无约束最优化” 最速下降法： 解： 算法说明：最速下降法是一种沿着N 维目标函数的负梯度方向搜索最小值的方法。 原理：由高等数学知识知道任一点的负梯度方向是函数值在该点下降最快的方向，那么利用负梯度作为极值搜索方向，达到搜寻区间最速下降的目的。而极值点导数性质，知道该点的梯度=0，故而其终止条件也就是梯度逼近于0，也就是当搜寻区间非常逼近极值点时，即：当▽f(a ）→0推出f(a ）→极值）（x f ，f(a ）即为所求。该方法是一种局部极值搜寻方法。 函数的负梯度表示如下： -g(x ）=-▽f(x)=-?????1 )(x x f 2)(x x f ?? … T N x x f ?????)( 搜索步长可调整，通常记为αk （第k 次迭代中的步长）。该算法利用一维的线性搜索方法，如二次逼近法，沿着负梯度方向不断搜索函数的较小值，从而找到最优解。 方法特点（1）初始值可任选，每次迭代计算量小，存储量少，程序简短。即使从一个不好的初始点出发，开始的几步迭代，目标函数值下降很快，然后慢慢逼近局部极小点。（2）任意相邻两点的搜索方向是正交的，它的迭代路径胃绕道逼近极小点。当迭代点接近极小点时，步长变得很小，越走越慢。（3）全局收敛，线性收敛，易产生扭摆现象而造成早停。 算法步骤：最速下降法的基本求解流程如下： 第一步 迭代次数初始化为k=0，求出初始点0x 的函数值f 0=f （0x ）。 第二步 迭代次数加1，即k=k+1，用一维线性搜索方法确定沿负梯度方向-1-k g 的步长1k -α，其中1k -α=ArgMinaf （111k /----k k g g x α）。 第三步 沿着负梯度方向寻找下一个接近最小值的点，其中步长为1k -α，得到下一点的坐标为：1111/-----=k k k k k g g x x α。
最优化方法及其应用 作者：郭科 出版社：高等教育出版社 类别：不限 出版日期：20070701 最优化方法及其应用 的图书简介 系统地介绍了最优化的理论和计算方法,由浅入深,突出方法的原则,对最优化技术的理论作丁适当深度的讨论,着重强调方法与应用的有机结合,包括最优化问题总论,线性规划及其对偶问题,常用无约束最优化方法,动态规划,现代优化算法简介,其中前八章为传统优化算法,最后一章还给出了部分优化问题的设计实例,也可供一般工科研究生以及数学建模竞赛参赛人员和工程技术人员参考, 最优化方法及其应用 的pdf电子书下载 最优化方法及其应用 的电子版预览 第一章 最优化问题总论1.1 最优化问题数学模型1.2 最优化问题的算法1.3 最优化算法分类1.4
组合优化问題简卉习题一第二章 最优化问题的数学基础2.1 二次型与正定矩阵2.2 方向导数与梯度2.3 Hesse矩阵及泰勒展式2.4 极小点的判定条件2.5 锥、凸集、凸锥2.6 凸函数2.7 约束问题的最优性条件习题二第三章 线性规划及其对偶问题3.1线性规划数学模型基本原理3.2 线性规划迭代算法3.3 对偶问题的基本原理3.4 线性规划问题的灵敏度习题三第四章 一维搜索法4.1 搜索区间及其确定方法4.2 对分法4.3 Newton切线法4.4 黄金分割法4.5 抛物线插值法习题四第五章 常用无约束最优化方法5.1 最速下降法5.2 Newton法5.3 修正Newton法5.4 共轭方向法5.5 共轭梯度法5.6 变尺度法5.7 坐标轮换法5.8 单纯形法习題五第六章 常用约束最优化方法6.1外点罚函数法6.2 內点罚函数法6.3 混合罚函数法6.4 约束坐标轮换法6.5 复合形法习题六第七章 动态规划7.1 动态规划基本原理7.2 动态规划迭代算法7.3 动态规划有关说明习题七第八章 多目标优化8.1 多目标最优化问题的基本原理8.2 评价函数法8.3 分层求解法8.4目标规划法习题八第九章 现代优化算法简介9.1 模拟退火算法9.2遗传算法9.3 禁忌搜索算法9.4 人工神经网络第十章 最优化问题程序设计方法10.1 最优化问题建模的一般步骤10.2 常用最优化方法的特点及选用标准10.3 最优化问题编程的一般过程10.4 优化问题设计实例参考文献 更多 最优化方法及其应用 相关pdf电子书下载
最速下降法Matlab实现 实验目的： 1.掌握迭代法求解无约束最优化问题的基本思想 2.通过实验掌握最速下降法的Matlab算法的基本步骤 实验内容： 1.迭代法求解无约束最优化问题的基本思想 给定一个初始点x(0), 按照某一迭代规则产生一个迭代序列{x(k)}. 使得若该序列是有限的, 则最后一个点就是原问题的极小点; 否则, 若序列{x(k)} 是无穷点列时, 它有极限点且这个极限点即为原问题的极小点. 设x(k) 为第k 次迭代点, d(k) 为第k 次搜索方向, a(k)为第k 次步长因子, 则第k 次迭代完成后可得到新一轮(第k + 1 次) 的迭代点 x(k+1) = x(k) + a(k) d(k). 2.无约束优化问题迭代算法的一般框架 步0 给定初始化参数及初始迭代点x(0). 置k := 0. 步1 若x(k) 满足某种终止准则, 停止迭代, 以x(k) 作为近似极小点. 步2 通过求解x(k) 处的某个子问题确定下降方向d(k). 步3 通过某种搜索方式确定步长因子a(k), 使得f(x(k) + a(k) d(k)) < f(x(k)). 步4 令x(k+1) := x(k) + a(k) d(k), k := k + 1, 转步1. 3. 最速下降法的基本步骤 步0 选取初始点x(0) ∈R^n, 容许误差0 ≤e ?1. 令k := 1. 步1 计算g(k) = ?f(x(k)). 若‖g(k)‖≤e, 停算, 输出x(k)作为近似最优解. 步2 取方向d(k)= ?g(k). 步3 由线搜索技术确定步长因子a(k),即 min f(a(k))=f(x(k)+a(k)d(k)). 步4 令x(k+1) := x(k) + a(k)d(k)), k := k + 1, 转步1.
机器学习中常见的几种优化方法 阅读目录 1. 梯度下降法（Gradient Descent） 2. 牛顿法和拟牛顿法（Newton's method & Quasi-Newton Methods） 3. 共轭梯度法（Conjugate Gradient） 4. 启发式优化方法 5. 解决约束优化问题——拉格朗日乘数法 我们每个人都会在我们的生活或者工作中遇到各种各样的最优化问题，比如每个企业和个人都要考虑的一个问题“在一定成本下，如何使利润最大化”等。最优化方法是一种数学方法，它是研究在给定约束之下如何寻求某些因素(的量)，以使某一(或某些)指标达到最优的一些学科的总称。随着学习的深入，博主越来越发现最优化方法的重要性，学习和工作中遇到的大多问题都可以建模成一种最优化模型进行求解，比如我们现在学习的机器学习算法，大部分的机器学习算法的本质都是建立优化模型，通过最优化方法对目标函数（或损失函数）进行优化，从而训练出最好的模型。常见的最优化方法有梯度下降法、牛顿法和拟牛顿法、共轭梯
度法等等。 回到顶部 1. 梯度下降法（Gradient Descent） 梯度下降法是最早最简单，也是最为常用的最优化方法。梯度下降法实现简单，当目标函数是凸函数时，梯度下降法的解是全局解。一般情况下，其解不保证是全局最优解，梯度下降法的速度也未必是最快的。梯度下降法的优化思想是用当前位置负梯度方向作为搜索方向，因为该方向为当前位置的最快下降方向，所以也被称为是”最速下降法“。最速下 降法越接近目标值，步长越小，前进越慢。梯度下降法的搜索迭代示意图如下图所示： 牛顿法的缺点： （1）靠近极小值时收敛速度减慢，如下图所示； （2）直线搜索时可能会产生一些问题； （3）可能会“之字形”地下降。 从上图可以看出，梯度下降法在接近最优解的区域收敛速度明显变慢，利用梯度下降法求解需要很多次的迭代。 在机器学习中，基于基本的梯度下降法发展了两种梯度下降方法，分别为随机梯度下降法和批量梯度下降法。
陆吾生教授是加拿大维多利亚大学电气与计算机工程系 (Dept. of Elect. and Comp. Eng. University of Victoria) 的正教授, 且为我校兼职教授，曾多次来我校数学系电子系讲学。陆吾生教授的研究方向是：最优化理论和小波理论及其在1维和2维的数字信号处理、数字图像处理、控制系统优化方面的应用。 现陆吾生教授计划在 2007 年 10－11 月来校开设一门为期一个月的短期课程“最优化理论及其应用”（每周两次，每次两节课），对象是数学系、计算机系、电子系的教师、高年级本科生及研究生，以他在2006年出版的最优化理论的专著作为教材。欢迎数学系、计算机系、电子系的研究生及高年级本科生选修该短期课程，修毕的研究生及本科生可给学分。 上课地点及时间：每周二及周四下午2:00开始，在闵行新校区第三教学楼326教室。（自10月11日至11月8日） 下面是此课程的内容介绍。 ----------------------------------- 最优化方法及应用 I. 函数的最优化及应用 1.1 无约束和有约束的函数优化问题 1.2 有约束优化问题的Karush-Kuhn-Tucker条件 1.3 凸集、凸函数和凸规划 1.4 Wolfe对偶 1.5 线性规划与二次规划 1.6 半正定规划 1.7 二次凸锥规划 1.8 多项式规划 1.9解最优化问题的计算机软件 II 泛函的最优化及应用 2.1 有界变差函数 2.2 泛函的变分与泛函的极值问题 2.3 Euler-Lagrange方程 2.4 二维图像的Osher模型 2.5 泛函最优化方法在图像处理中的应用 2.5.1 噪声的消减 2.5.2 De-Blurring 2.5.3 Segmentation ----------------------------------------------- 注：这是一门约二十学时左右的短期课程，旨在介绍函数及泛函的最优化理论和方法，及其在信息处理中的应用。只要学过一元及多元微积分和线性代数的学生就能修读并听懂本课程。课程中涉及到的算法实现和应用举例都使用数学软件MATLAB 华东师大数学系
最优化方法及其Matlab程序设计 1.最优化方法概述 在生活和工作中，人们对于同一个问题往往会提出多个解决方案，并通过各方面的论证，从中提取最佳方案。最优化方法就是专门研究如何从多个方案中科学合理地提取出最佳方案的科学。最优化是每个人，每个单位所希望实现的事情。对于产品设计者来说，是考虑如何用最少的材料，最大的性能价格比，设计出满足市场需要的产品。对于企业的管理者来说，则是如何合理、充分使用现有的设备，减少库存，降低能耗，降低成本，以实现企业的最大利润。 由于优化问题无所不在，目前最优化方法的应用和研究已经深入到了生产和科研的各个领域，如土木工程、机械工程、化学工程、运输调度、生产控制、经济规划、经济管理等，并取得了显著的经济效益和社会效益。 用最优化方法解决最优化问题的技术称为最优化技术，它包含两个方面的内容： 1）建立数学模型。 即用数学语言来描述最优化问题。模型中的数学关系式反映了最优化问题所要达到的目标和各种约束条件。 2）数学求解。 数学模型建好以后，选择合理的最优化算法进行求解。 最优化方法的发展很快，现在已经包含有多个分支，如线性规划、整数规划、非线性规划、动态规划、多目标规划等。 2.最优化方法（算法）浅析 最优化方法求解很大程度上依赖于最优化算法的选择。这里，对最优化算法做一个简单的分类，并对一些比较常用的典型算法进行解析，旨在加深对一些最优化算法的理解。 最优化算法的分类方法很多，根据不同的分类依据可以得到不同的结果，这里根据优化算法对计算机技术的依赖程度，可以将最优化算法进行一个系统分类：线性规划与整数规划；非线性规划；智能优化方法；变分法与动态规划。 2.1 线性规划与整数规划 线性规划在工业、农业、商业、交通运输、军事和科研的各个研究领域有广泛应用。例如，在资源有限的情况下，如何合理使用人力、物力和资金等资源，以获取最大效益；如何组织生产、合理安排工艺流程或调制产品成分等，使所消耗的资源（人力、设备台时、资金、原始材料等）为最少等。 线性规划方法有单纯形方法、大M法、两阶段法等。 整数规划有割平面法、分枝定界法等。 2.2 非线性规划 20世纪中期，随着计算机技术的发展，出现了许多有效的算法——如一些非线性规划算法。非线性规划广泛用于机械设计、工程管理、经济生产、科学研究和军事等方面。
第五题： 解：选择类型为： 2/13()x t y t x e x =+ 其中123,,x x x 是待求参数。根据最小二乘原理，参数123,,x x x 是下面优化问题的解。 []2 8 1231 m in (,,)()i i i f x x x y t y == -? 用最速下降法求解这一无约束的最优化问题。 zuiyouhua.m function sh=zuiyouhua(x0) % x0为初始猜测值 syms x y z a al; %====================================== t=[0.2,1,2,3,5,7,11,16]; r1=[5.05,8.88,11.63,12.93,14.15,14.73,15.30,15.60]; minf=0; for i=1:8 r(i)=x*exp(y/t(i))+z-r1(i); %构造最小二乘最优化的目标函数 minf=r(i)^2+minf; end %====================================== f1=diff(minf,x); f2=diff(minf,y); f3=diff(minf,z); %求目标函数的梯度 F=[f1,f2,f3]; %====================================== Fx1= -subs(F,{x,y,z},x0); Fx=Fx1/norm(Fx1); k=0; %====================================== %最速下降法核心迭代程序 while 1 x1=x0+a*Fx; P=subs(minf,{x,y,z},x1); xx1=xianxing(P); %调用线性搜索函数 al=huangjing(P,xx1); %调用黄金分割法函数； x0=x0+al*Fx; Fx1= -subs(F,{x,y,z},x0); Fx=Fx1/norm(Fx1); if norm(Fx1)<5e-4 sh=x0; return; end end %====================================== function xx=xianxing(Pa) %一维搜索法线性搜索函数 aa=findsym(Pa); a1=1; h=0.5; k=0; t1=2; while 1 a2=a1+h; Pa1=subs(Pa,aa,a1); Pa2=subs(Pa,aa,a2); if Pa2< Pa1 h=t1*h; a0=a1; a1=a2; k=k+1; if k>1000 disp('迭代步数太多，可能不收敛！'); end else if k==0 h=-h; a0=a2; else c1=min(a0,a2); d1=max(a0,a2); xx=[c1,d1]; return; end end end %====================================== function al1=huangjing(Pb,xx2)
1 2 ( ( 最优化方法部分课后习题解答 1.一直优化问题的数学模型为： 习题一 min f (x ) = (x ? 3)2 + (x ? 4)2 ? g (x ) = x ? x ? 5 ≥ ? 1 1 2 2 ? 试用图解法求出： s .t . ?g 2 (x ) = ?x 1 ? x 2 + 5 ≥ 0 ?g (x ) = x ≥ 0 ? 3 1 ??g 4 (x ) = x 2 ≥ 0 （1） 无约束最优点，并求出最优值。 （2） 约束最优点，并求出其最优值。 （3） 如果加一个等式约束 h (x ) = x 1 ? x 2 = 0 ，其约束最优解是什么？ * 解 ：（1）在无约束条件下， f (x ) 的可行域在整个 x 1 0x 2 平面上，不难看出，当 x =（3，4） 时， f (x ) 取最小值，即，最优点为 x * =（3，4）：且最优值为： f (x * ) =0 （2）在约束条件下， f (x ) 的可行域为图中阴影部分所示，此时，求该问题的最优点就是 在约束集合即可行域中找一点 (x 1 , x 2 ) ，使其落在半径最小的同心圆上，显然，从图示中可 以看出，当 x * = 15 , 5 ) 时， f (x ) 所在的圆的半径最小。 4 4 ?g (x ) = x ? x ? 5 = 0 ? 15 ?x 1 = 其中：点为 g 1 (x ) 和 g 2 (x ) 的交点，令 ? 1 1 2 ? 2 求解得到： ? 4 5 即最优点为 x * = ? ?g 2 (x ) = ?x 1 ? x 2 + 5 = 0 15 , 5 ) ：最优值为： f (x * ) = 65 ?x = ?? 2 4 4 4 8 （3）.若增加一个等式约束，则由图可知，可行域为空集，即此时最优解不存在。 2.一个矩形无盖油箱的外部总面积限定为 S ，怎样设计可使油箱的容量最大？试列出这个优 化问题的数学模型，并回答这属于几维的优化问题. 解：列出这个优化问题的数学模型为： max f (x ) = x 1x 2 x 3 ?x 1x 2 + 2x 2 x 3 + 2x 1x 3 ≤ S
梯度下降法 梯度下降法是一种最优化算法，常用来优化参数，通常也称为最速下降法。 梯度下降法是一般分为如下两步： 1）首先对参数θ赋值，这个值可以是随机的，也可以让θ是一个全零的向量； 2）改变θ的值，使得J(θ)按梯度下降的方向进行减少。 以一个线性回归问题为例，应用libsvm 包里的数据heart_scale.mat 数据做测试。假设要学习这么一个函数： +++==22110)()(x x x h x h θθθθ 那么损失函数可以定义成： 2||||2 1)(Y X J -=θθ （1） 其中X 看以看成一行一行的样本向量，那么Θ就是一列一列的了。目标很简单，就是求损失J 最小值时候的解Θ： 先直接求导，对于求导过程，详解如下： 首先定义损失变量： ∑=-=n j i j ij i y X r 1θ 那么损失函数就可以表示成： ∑==m i i r J 1 221 一步一步的求导： ∑=???=??m i j i i j r r J 1)(θθ 再求： ij j i X r =??θ 那么把分步骤合起来就是： ∑∑==-=??m i ij n k i k ik j X y X J 11 )(θθ 令导数为0，求此时的Θ，整理一下，有： ∑∑∑====m i m i j ij n k k ik ij y X X X 111^θ 用矩阵符号将上面的细节运算抽象一下： 0=-=??Y X X X J T T θθ
让导数为0，那么求得的解为： Y X X X T T 1)(-=θ 求解矩阵的逆复杂度有点儿高，可以用梯度下降来求解： ][)()(1111Y X X X J J T i T i i i i --=??-=?-=----θγθθ θγθθγθθ （2） 其中γ就是下降的速度，一般是一个小的数值，可以从0.01开始尝试，越大下降越快，收敛越快。 迭代终止的条件取： εθθ<--||||1i i 部分代码如下： w_old=zeros(size(X,2),1);%%初始化参数w k=1; while 1 minJ_w(k) = 1/2 * (norm(X*w_old - Y))^2; %%损失函数 公式(1) %%norm 默认为L2标准化 w_new = w_old - gamma*(X'*X*w_old - X'*Y);%%梯度下降公式 %%公式（2） if norm(w_new-w_old) < epsilon %%终止条件 W_best = w_new; break ; end w_old = w_new; k=k+1; end 实验结果：
牛顿法 迭代公式：(1)2()1()[()]()k k k k x x f x f x +-=-?? Matlab 代码： function [x1,k] =newton(x1,eps) hs=inline('(x-1)^4+y^2'); 写入函数 ezcontour(hs,[-10 10 -10 10]); 建立坐标系 hold on; 显示图像 syms x y 定义变量 f=(x-1)^4+y^2; 定义函数 grad1=jacobian(f,[x,y]); 求f 的一阶梯度 grad2=jacobian(grad1,[x,y]); 求f 的二阶梯度 k=0; 迭代初始值 while 1 循环 grad1z=subs(subs(grad1,x,x1(1)),y,x1(2)); 给f 一阶梯度赋初值 grad2z=subs(subs(grad2,x,x1(1)),y,x1(2)); 给f 二阶梯度赋初值 x2=x1-inv(grad2z)*(grad1z)'; 核心迭代公式 if norm(x1-x2) end end end 优点：在极小点附近收敛快 缺点：但是要计算目标函数的hesse 矩阵 最速下降法 1. ：选取初始点xo ，给定误差 2. 计算一阶梯度。若一阶梯度小于误差，停止迭代，输出 3. 取()()()k k p f x =? 4. 10 t ()(), 1.min k k k k k k k k k k t f x t p f x tp x x t p k k +≥+=+=+=+进行一维搜索，求，使得令转第二步 例题： 求min (x-2)^4+(x-2*y)^2.初始值（0,3）误差为0.1 (1)编写一个目标函数，存为f.m function z = f( x,y ) z=(x-2.0)^4+(x-2.0*y)^2; end (2)分别关于x 和y 求出一阶梯度，分别存为fx.m 和fy.m function z = fx( x,y ) z=2.0*x-4.0*y+4.0*(x-2.0)^3; end 和 function z = fy( x,y ) 《最优化方法》复习题 第一章 概述(包括凸规划) 一、 判断与填空题 1 )].([arg )(arg min max x f x f n n R x R x -=∈∈ √ 2 {}{}.:)(min :)(max n n R D x x f R D x x f ?∈-=? ∈ ? 3 设.:R R D f n →? 若n R x ∈*，对于一切n R x ∈恒有)()(x f x f ≤*，则称*x 为 最优化问题)(min x f D x ∈的全局最优解. ? 4 设.:R R D f n →? 若D x ∈*，存在*x 的某邻域)(* x N ε，使得对一切 )(*∈x N x ε恒有)()(x f x f <*，则称* x 为最优化问题)(min x f D x ∈的严格局部最 优解. ? 5 给定一个最优化问题，那么它的最优值是一个定值. √ 6 非空集合n R D ?为凸集当且仅当D 中任意两点连线段上任一点属于D . √ 7 非空集合n R D ?为凸集当且仅当D 中任意有限个点的凸组合仍属于D . √ 8 任意两个凸集的并集为凸集. ? 9 函数R R D f n →?:为凸集D 上的凸函数当且仅当f -为D 上的凹函数. √ 10 设R R D f n →?:为凸集D 上的可微凸函数，D x ∈* . 则对D x ∈?，有 ).()()()(* **-?≤-x x x f x f x f T ? 11 若)(x c 是凹函数，则}0)( {≥∈=x c R x D n 是凸集。 √ 12 设{}k x 为由求解)(min x f D x ∈的算法A 产生的迭代序列，假设算法A 为下降算法， 则对{} ,2,1,0∈?k ，恒有 )()(1k k x f x f ≤+ . 动态规划方法在计算机专业的应用 科目：最优化方法 姓名：*** 专业：计算机科学与技术 学号：201320405 指导老师：*** 日期：2014/1/9 动态规划方法在计算机专业的应用 摘要：最优化方法是一门很有用的学科，本文结合计算机专业，讨论了用动态规划方法解决计算最长公共子序列、最大字段和、背包问题的过程，并对比其它算法以说明动态规划方法的高效、实用。 关键词：动态规划，最优化，算法分析 Abstract: The optimization method is a useful discipline, this paper, a computer professional, discusses the process used to calculate the dynamic programming method to solve the longest common subsequence, the maximum field and, knapsack problem, and compared to other algorithms to illustrate the dynamic programming method efficient and practical. Keywords: dynamic programming, optimization, algorithm analysis 动态规划（dynamic programming）是通过结合子问题的解而解决整个问题的。（此处“programming”是指一种规划，而不是指写计算机代码。）动态规划适用于子问题不是独立的情况，也就是各子问题包含公共的子子问题。在这种情况下，若用分治法则会做很多不必要的工作，即重复地求解公共的子子问题。动态规划算法对每个公共的子子问题只求解一次，将其结果保存在一张表中，从而避免了每次遇到各个子问题时重新计算答案。 一、算法设计与优化 动态规划通常应用于最优化问题。此类问题可能有很多可行解。 大学《最优化方法》复习题（含答案） 第一章 概述(包括凸规划) 一、 判断与填空题 1 )].([arg )(arg min max x f x f n n R x R x -=∈∈ √ 2 {}{} .:)(m in :)(m ax n n R D x x f R D x x f ?∈-=?∈ ? 3 设.:R R D f n →? 若n R x ∈*，对于一切n R x ∈恒有)()(x f x f ≤*，则称*x 为最优化问题 )(min x f D x ∈的全局最优解. ? 4 设.:R R D f n →? 若D x ∈*，存在*x 的某邻域)(*x N ε，使得对一切 )(*∈x N x ε恒有)()(x f x f <*，则称*x 为最优化问题)(min x f D x ∈的严格局部最 优解. ? 5 给定一个最优化问题，那么它的最优值是一个定值. √ 6 非空集合n R D ?为凸集当且仅当D 中任意两点连线段上任一点属于D . √ 7 非空集合n R D ?为凸集当且仅当D 中任意有限个点的凸组合仍属于D . √ 8 任意两个凸集的并集为凸集. ? 9 函数R R D f n →?:为凸集D 上的凸函数当且仅当f -为D 上的凹函数. √ 10 设R R D f n →?:为凸集D 上的可微凸函数，D x ∈*. 则对D x ∈?，有).()()()(***-?≤-x x x f x f x f T ? 11 若)(x c 是凹函数，则}0)( {≥∈=x c R x D n 是凸集。 √ 12 设{}k x 为由求解)(min x f D x ∈的算法A 产生的迭代序列，假设算法A 为下降算法， 则对{} ,2,1,0∈?k ，恒有 )()(1k k x f x f ≤+ . 天津大学《最优化方法》复习题（含答案） 第一章 概述(包括凸规划) 一、 判断与填空题 1 )].([arg )(arg min max x f x f n n R x R x -=∈∈ √ 2 {}{} .:)(m in :)(m ax n n R D x x f R D x x f ?∈-=?∈ ? 3 设.:R R D f n →? 若n R x ∈*，对于一切n R x ∈恒有)()(x f x f ≤*，则称*x 为最优化问题 )(min x f D x ∈的全局最优解. ? 4 设.:R R D f n →? 若D x ∈*，存在*x 的某邻域)(*x N ε，使得对一切 )(*∈x N x ε恒有)()(x f x f <*，则称*x 为最优化问题)(min x f D x ∈的严格局部最 优解. ? 5 给定一个最优化问题，那么它的最优值是一个定值. √ 6 非空集合n R D ?为凸集当且仅当D 中任意两点连线段上任一点属于D . √ 7 非空集合n R D ?为凸集当且仅当D 中任意有限个点的凸组合仍属于D . √ 8 任意两个凸集的并集为凸集. ? 9 函数R R D f n →?:为凸集D 上的凸函数当且仅当f -为D 上的凹函数. √ 10 设R R D f n →?:为凸集D 上的可微凸函数，D x ∈*. 则对D x ∈?，有).()()()(***-?≤-x x x f x f x f T ? 11 若)(x c 是凹函数，则}0)( {≥∈=x c R x D n 是凸集。 √ 12 设{}k x 为由求解)(min x f D x ∈的算法A 产生的迭代序列，假设算法A 为下降算法， 则对{} ,2,1,0∈?k ，恒有 )()(1k k x f x f ≤+ . 最优化方法及其Matlab程序设计习题作业暨实验报告 学院：数学与信息科学学院 班级：12级信计一班 姓名：李明 学号：1201214049 第四章 共轭梯度法 一、上机问题与求解过程 1、用共轭梯度法求2212 22112444)(x x x x x x f --+=取初始点为 T x )1,5.0(0-=。 解： 仿照书上编写共轭梯度法程序如下： function [x,val,k]=frcg(fun,gfun,x0) %功能：用FR 共轭梯度法求解无约束化问题：min f(x) %输入：x0是初始点，fun,gfun 分别是目标函数和梯度 %输出：x,val 分别是近似最优点和最优值，k 迭代次数 maxk=5000;%最大迭代次数 rho=0.6;sigma=0.4; k=0;epsilon=1e-4; n=length(x0); while (k 《最优化方法》 课程设计 题目：共轭梯度法算法分析与实现 院系：数学与计算科学学院 专业：数学与应用数学 姓名：梁婷艳 学号：0800730103 指导教师：李丰兵 日期：2015 年12 月30 日 在各种优化算法中，共轭梯度法是非常重要的一种。本文主要介绍的共轭梯度法是介于最速下降法与牛顿法之间的一种无约束优化算法，它具有超线性收敛速度, 而且算法结构简单, 容易编程实现。 在本次实验中,我们首先分析共轭方向法、对该算法进行分析，运用基于共轭方向的一种算法—共轭梯度法进行无约束优化问题的求解。无约束最优化方法的核心问题是选择搜索方向。共轭梯度法的基本思想是把共轭性与最速下降方法相结合，利用已知点处的梯度构造一组共轭方向，并沿这组方向进行搜索，求出目标函数的极小点。根据共轭方向的基本性质，这种方法具有二次终止性。再结合该算法编写matlab程序，求解无约束优化问题，再结合牛顿算法的理论知识，编写matlab程序，求解相同的无约束优化问题，进行比较分析，得出共轭梯度法和牛顿法的不同之处以及共轭梯度法的优缺点。 共轭梯度法仅需利用一阶导数信息，避免了牛顿法需要存储和计算Hesse矩阵并求逆的缺点，共轭梯度法不仅是解决大型线性方程组最有用的方法之一，也是解大型非线性最优化最有效的算法之一。共轭梯度法是一个典型的共轭方向法，它的每一个搜索方向是互相共轭的，而这些搜索方向仅仅是负梯度方向与上一次迭代的搜索方向的组合，因此，存储量少，计算方便。 关键词：共轭梯度法；超线性收敛；牛顿法；无约束优化 In a variety of optimization algorithms, conjugate gradient method is a very important one.In this paper, the conjugate gradient method is between the steepest descent method and Newton method for unconstrained optimization between a method, it has superlinear convergence rate, and the algorithm is simple and easy programming. In this experiment, we first analyze the conjugate direction method, the algorithm analysis, the use of a conjugate direction-based algorithm - conjugate gradient method for unconstrained optimization problems. Unconstrained optimization method is to select the core issue of the search direction.Conjugate gradient method is the basic idea of the conjugate descent method with the most combined points in the gradient using the known structure of a set of conjugate directions, and search along the direction of this group, find the minimum point of objective function. According to the basic nature of the conjugate direction, this method has the quadratic termination. Combined with the preparation of this algorithm matlab program for solving unconstrained optimization problems, combined with Newton’s theory of knowledge, writing matlab program to solve the same problem of unconstrained optimization, comparison analysis, the conjugate gradient method and Newton method different Office and the advantages and disadvantages of the conjugate gradient method. Conjugate gradient method using only first derivative information, to avoid the Newton method requires storage and computing the inverse Hesse matrix and shortcomings, is not only the conjugate gradient method to solve large linear systems one of the most useful, but also large-scale solution nonlinear optimization algorithm is one of the most effective. Conjugate gradient method is a typical conjugate direction method, each of its search direction is conjugate to each other, and the search direction d is just the negative gradient direction with the last iteration of the search direction of the portfolio, therefore, storage less computational complexity. Key words: Conjugate gradient method; Superlinear convergence; Newton method Unconstrained optimization 最优化方法及其应用 第一章 最优化问题总论 无论做任何一件事，人们总希望以最少的代价取得最大的效益，也就是力求最好，这就是优化问题．最优化就是在一切可能的方案中选择一个最好的方案以达到最优目标的学科．例如，从甲地到乙地有公路、水路、铁路、航空四种走法，如果我们追求的目标是省钱，那么只要比较一下这四种走法的票价，从中选择最便宜的那一种走法就达到目标．这是最简单的最优化问题，实际优化问题一般都比较复杂． 概括地说，凡是追求最优目标的数学问题都属于最优化问题．作为最优化问题，一般要有三个要素：第一是目标；第二是方案；第三是限制条件．而且目标应是方案的“函数”．如果方案与时间无关，则该问题属于静态最优化问题；否则称为动态最优化问题． §1.1 最优化问题数学模型 最简单的最优化问题实际上在高等数学中已遇到，这就是所谓函数极值，我们习惯上又称之为经典极值问题． 例1.1 对边长为a 的正方形铁板，在四个角处剪去相等的正方形以制成方形无盖水槽，问如何剪法使水槽的容积最大？ 解 设剪去的正方形边长为x ，由题意易知，与此相应的水槽容积为 x x a x f 2 )2()(-=． 令 0)6)(2()2()2)(2(2)('2 =--=-+--=x a x a x a x x a x f ， 得两个驻点： a x a x 6 121== ，． 第一个驻点不合实际，这是因为剪去4个边长为2 a 的正方形相当于将铁板全部剪去．现在来判断第二个驻点是否为极大点． ∵ a x f 824)(''-=， 4)6 (''<-=a a f ， ∴ 6 a x = 是极大点． 因此，每个角剪去边长为6 a 的正方形可使所制成的水槽容积最大． 例 1.2 求侧面积为常数)0(62 >a a ，体积最大的长方体体积． 解 设长方体的长、宽、高分别为z y x ，， 体积为v ，则依题意知体积为 xyz z y x f v ==)(，，， 条件为 06)(2)(2 =-++=a xy xz yz z y x ，，?． 由拉格朗日乘数法，考虑函数 )6222()(2 a xy xz yz xyz z y x F -+++=λ，，， 2()02()02()0x y z F yz y z F xz z x F xy x y λλλ'=++='=++='=++=，， ， 由题意可知z y x ，， 应是正数，由此0≠λ，将上面三个等式分别乘以z y x ，， 并利用条件2 3a xy zx yz =++，得到 22 22(3)02(3)02(3)0xyz a yz xyz a zx xyz a xy λλλ?+-=?+-=??+-=? ，，． 比较以上三式可得 xy a zx a yz a -=-=-222333， 从而a z y x ===．又侧面积固定的长方体的最大体积客观存在，因此侧面积固定的长方体中以正方 《最优化方法》复习题 第一章 概述(包括凸规划) 一、 判断与填空题 1 )].([arg )(arg m in m ax x f x f n n R x R x -=∈∈ √ 2 {}{}.:)(min :)(max n n R D x x f R D x x f ?∈-=?∈ ? 3 设.:R R D f n →? 若n R x ∈*，对于一切n R x ∈恒有)()(x f x f ≤*，则称*x 为最优化问题 )(min x f D x ∈的全局最优解. ? 4 设.:R R D f n →? 若D x ∈*，存在*x 的某邻域)(*x N ε，使得对一切)(*∈x N x ε恒有)()(x f x f <*，则称*x 为最优化问题)(min x f D x ∈的严格局部最 优解. ? 5 给定一个最优化问题，那么它的最优值是一个定值. √ 6 非空集合n R D ?为凸集当且仅当D 中任意两点连线段上任一点属于D . √ 7 非空集合n R D ?为凸集当且仅当D 中任意有限个点的凸组合仍属于D . √ 8 任意两个凸集的并集为凸集. ? 9 函数R R D f n →?:为凸集D 上的凸函数当且仅当f -为D 上的凹函数. √ 10 设R R D f n →?:为凸集D 上的可微凸函数，D x ∈*. 则对D x ∈?，有).()()()(***-?≤-x x x f x f x f T ? 11 若)(x c 是凹函数，则}0)( {≥∈=x c R x D n 是凸集。 √ 12 设{}k x 为由求解)(min x f D x ∈的算法A 产生的迭代序列，假设算法A 为下降算法， 则对{} ,2,1,0∈?k ，恒有 )()(1k k x f x f ≤+ . 13 算法迭代时的终止准则（写出三种）：_____________________________________。天津大学最优化方法复习题
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