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Rel`evement galoisien des rev^etements de courbes nodales

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X i

t h /

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t h

G ]

REL `EVEMENT GALOISIEN DES REV ?ETEMENTS DE COURBES NODALES YANNICK HENRIO R ′e sum ′e .Let R be a complete discrete valuation ring of mixed characteristics,with algebraically closed residue ?eld k .We study the existence problem of equivariant liftings to R of Galois covers of nodal curves over k .Using formal geometry,we show that this problem is actually a local one.We apply this local-to-global principle to obtain new results concerning the existence of such liftings.On ?xe un corps alg′e briquement clos k de caract′e ristique p >0,et R un anneau de valuation discr`e te complet de corps r′e siduel k .On note K le corps des fractions de R ,de caract′e ristique nulle.Soit Y 0une courbe alg′e brique projective sur k nodale (c’est-`a -dire connexe,r′e duite,avec pour uniques singularit′e s des points doubles ordinaires),nous appellerons mod`e le de Y 0sur R un couple (Y,ψ),o`u Y est un sch′e ma normal,propre et plat sur R ,de ?bre g′e n′e rique lisse et g′e om′e triquement connexe sur K ,et ψ:Y ×R k →Y 0est un isomorphisme de k -sch′e mas.Dans ce travail,nous ′e tudions la question suivante :Si G est un groupe ?ni de k -automorphismes de Y 0,agissant librement sur un ouvert dense,existe-t’il un triplet (Y,ψ,ρ),o`u :–(Y,ψ)est un mod`e le de Y 0sur R .–ρ:G →Aut R Y est un homomorphisme injectif qui fait commuter le dia-gramme :G ρAut k Y 0(o`u la ?`e che verticale associe `a un automorphisme σde Aut R Y l’automor-phisme ψ?σ|Y ×R k ?ψ?1.)Soit (Y,ψ,ρ)un tel rel`e vement,le quotient X :=Y/G est une courbe propre sur

R ,de ?bre g′e n′e rique lisse sur K ,et de ?bre sp′e ciale nodale X 0:=Y 0/G .Ainsi le morphisme quotient f :Y →X est un rel`e vement G -galoisien du rev?e tement f 0:Y 0→X 0.

Si le morphisme quotient f 0:Y 0→X 0est ′e tale,et si (X,φ)est un mod`e le de X 0sur R ,il r′e sulte de la th′e orie du groupe fondamental de Grothendieck qu’il existe un unique rev?e tement ′e tale G -galoisien Y →X de ?bre sp′e ciale f 0.Les obstructions au rel`e vement sont donc li′e s `a la rami?cation du morphisme f 0.En fait,si Y 0(et donc X 0)est une courbe lisse,le r′e sultat pr′e c′e dant s’′e tend au cas o`u f 0est mod′e r′e ment rami?′e .Toutefois,la rami?cation mod′e r′e e impose des obstructions au rel`e vement local des points doubles :On doit supposer l’action de G kumm′e rienne (voir [16],th′e or`e me 5.7).

2YANNICK HENRIO1

Si f0est sauvagement rami?′e,il est n′e cessaire de faire des hypoth`e ses sur les sous-groupes d’inertie pour obtenir des′e nonc′e s de rel`e vement.Par exemple,B.Green et M.Matignon ont montr′e que si la courbe Y0est lisse,si(X,φ)est un mod`e le de X0sur R,et si les groupes d’inertie sont tous cycliques de p-exposant inf′e rieur ou ′e gal`a2,il existe un rev?e tement f:Y→X galoisien de groupe G qui rel`e ve f0.En revanche,il n’y a plus unicit′e du rel`e vement lorsque X est?x′e.Par ailleurs,une conjecture due`a Oort([12],[13])dit que si la courbe Y0est lisse et si les groupes d’inertie sont tous cycliques,il existe un rel`e vement sur un R convenable.Dans ce travail,nous montrons le r′e sultat suivant:

Th′e or`e me Supposons l’action de G kumm′e rienne et que pour un point ferm′e y de Y0:

1.Si y est un point lisse,le groupe d’inertie I y de y est cyclique d’ordre n(y)p r(y), avec(n(y),p)=1et0≤r(y)≤

2.Si y est un point double,on a alors(i)ou bien(ii):

–(i)Le groupe d’inertie I y de y est cyclique d’ordre n(y)p r(y)et l’action de I y sur les branches est triviale.

–(ii)Le groupe d’inertie I y de y est di′e dral d’ordre2n(y)p r(y),avec(n(y),p)=1 et0≤r(y)≤2,de pr′e sentation

I y= σ,τ|σn(y)p r(y)=1,τ2=1,τστ=σ?1 .

Les branches du point double y sont permut′e es parτetσinduit un automor-phisme d’ordre n(y)p r(y)de chacune des deux branches.

Alors,quitte`a faire une extension?nie de K,il existe un rel`e vement de(Y0,G).

Green et Matignon ont′e tudi′e le cas des courbes lisses`a l’aide des m′e thodes de la g′e om′e trie rigide.Nous utilisons ici la g′e om′e trie formelle,qui est sans doute mieux adapt′e e aux questions concernant les mod`e les entiers(on pourra consulter[15]pour la comparaison des deux th′e ories).Plus pr′e cis′e ment,nous nous sommes amplement inspir′e du recollement formel(formal patching)`a la Harbater(voir[7]et[8]).On en d′e duit un principe local-global formel,qui montre que le probl`e me de rel`e vement galoisien est essentiellement de nature locale.On est ainsi ramen′e`a construire des actions de groupes sur les disques et les couronnes formels.

La premi`e re partie consiste en quelques rappels sur la g′e om′e trie des disques et des couronnes https://www.doczj.com/doc/da6635005.html, seconde pr′e sente les m′e thodes de recollement formel.En application,on d′e duit l’existence d’un mod`e le`a′e paisseurs?x′e es sur R pour toute courbe nodale projective.Nous montrons ensuite le principe local-global formel. Dans une troisi`e me partie,nous construisons des rel`e vements locaux pour cer-taines actions de groupe sur un point https://www.doczj.com/doc/da6635005.html, quatri`e me partie est consacr′e e `a la d′e monstration du th′e or`e me de rel`e vement′e nonc′e plus haut.

Ce travail constitue une partie des r′e sultats de ma th`e se([9]),dont certains ont ′e t′e annonc′e s dans([10]).Dans un article ult′e rieur,nous′e tudierons la structure des automorphismes d’ordre p du disque formel sur R(`a la suite de[4])et nous montrerons comment la g′e om′e trie formelle permet′e galement de construire des au-tomorphismes de disques ou de couronnes formels.

REL`EVEMENT GALOISIEN (3)

Nous utiliserons constamment les notations suivantes:

–πd′e signe une uniformisante de R.

–Si M est un R-module,on note

.Ceci nous conduit`a poser les d′e?nitions suivantes:

(Z1Z2?πe)

D′e?nition1.2.On appelle disque formel sur R le R-sch′e ma D:=Spec R[[Z]]

R[[Z1,Z2]] et couronne formelle d’′e paisseur e∈N>0le R-sch′e ma C e:=Spec

4YANNICK HENRIO1

Fig.1.Le disque formel D sur R 1.3.G′e om′e trie de la couronne formelle d’′e paisseur e.

L’anneau A e:=

R[[Z1,Z2]]

Z appartienne`a A e et,pour tout f dans

A e,il existe une unique famille(aν)ν∈Z telle que

f:=a0+ ν>0(aνZν+a?ν(πe

Z ,on a A e=

R[[Z,Z′]]

Z )de A e est un bord de C e.On dira que p Z est le bord corre-

spondant`a Z.

Siηest un bord,l’anneau local O C

e,ηest un anneau de valuation discr`e te,

d’uniformisanteπ.On notera vηla valuation correspondante du corps des fractions K e de A e qui prolonge v K.Le corps r′e siduel de(K e,vη)est un corps de s′e ries de Laurent en une variable sur k,qu’on notera k((η)).Si Z est une coordonn′e e de Lau-rent avecη=p Z,on notera′e galement v Z=vη;on a alors k((η))=k((z)),o`u z=Z modπ.On v′e ri?e que si f appartient`a A e,f=a0+ ν>0(aνZν+a?ν(πe

REL`EVEMENT GALOISIEN (5)

Le corps r′e siduel k((η))de(K e,vη)est muni d’une valuation discr`e te ordη,nor-malis′e e de fa?c on`a ce qu’une uniformisante de k((η))ait pour valuation1.Si f est

non nul dans K e,f s’′e crit de mani`e re unique f=πvη(f)f0,avec f0dans O C

e,η.

On note alors ordη(f):=ordη(ˉf0),o`uˉf0est l’image r′e siduelle de f0dans k((η)). Si Z est une coordonn′e e de Laurent correspondant au bordη,on v′e ri?e que pour f=a0+ ν>0(aνZν+a?ν(πe

Z ,et f∈A e,

non inversible,avec v Z′(f)=0,(en particulier,ord Z′(f)>0);il existe alors un polyn?o me distingu′e P`a coe?cients dans R et un inversible U de A e,tels que:

Z ord Z′(f)f=πv Z(f)P(Z)U.

De plus,le degr′e de P est alors ord Z(f)+ord Z′(f).

Nous donnons une preuve de ce r′e sultat,par manque de r′e f′e rence ad′e quate dans la litt′e rature.

D′e monstration.Posonsν0:=ord Z′(f),on d′e?nit les endomorphismes de A e R-lin′e airesω,?,pr>0,pr≤0par:

–ω( ν≥0bνZν+ ν>0b?νZ′ν):= ν≥0b?(ν+ν0)Z′ν

–?( ν≥0bνZν+ ν>0b?νZ′ν):= ν≥0bνZν+ 0<ν<ν0b?νZ′ν

–pr>0( ν≥0bνZν+ ν>0b?νZ′ν):= ν>0bνZν

–pr≤0:=id A

?pr>0

Remarquons que,pour tout g∈A e,g=?(g)+Z′ν0ω(g).Montrons qu’il existe q∈A e tel queω(qf)=1.Pour f dans A e,ω(qf)=ω(q?(f))+ω(Z′ν0qω(f)).Or, si h∈A e,ω(Z′ν0h)=pr≤0(h).Il suit:

?q∈A eω(qf)=qω(f)+ω(q?(f))?pr>0(qω(f)).

Soitθ:A e→A e l’op′e rateurω??(f)

ω(f)

A e?(π,Z).Posonsδ:=ω??(f)

ω(f)

:=πf1+Zf2,ω(Zf2)est divisible par πe dans A e.Doncδ(1)∈πA e.Par r′e currence sur n∈N,θn(1)=δn(1)∈πn A e. Posons alors W:= h≥0(?1)hθ?h(1).On a(id A e+θ)(W)=1.Soit q:=Wω(f)?1. On a alorsω(qf)=1.En regardant le coe?cient de Z′ν0dans qf,on en d′e duit ais′e ment que q est inversible.Donc,f=q?1h,o`u les coe?cients de Z′νpourν>ν0 dans h sont tous nuls,i.e.Zν0h∈R[[Z]].Le th′e or`e me de pr′e paration de Weierstrass dans R[[Z]]permet donc d’′e crire Zν0h=πr P u1,avec r∈N,u1inversible et P un polyn?o me distingu′e.Si U:=q?1u1,on a Zν0f=πr P https://www.doczj.com/doc/da6635005.html,me P est unitaire en Z,on a v Z(P)=0.Donc v Z(f)=r.De plus,le degr′e de P vaut:

deg(P)=ord Z(P)=ord Z(f)+ν0=ord Z(f)+ord Z′(f).

6YANNICK HENRIO1

Notons C e:={z∈K a|0

sur C e permet de d′e?nir une applicationΦC

e de C e dans la?bre g′e n′e rique de C e

parΦC

(z):={f∈A e|f(z)=0}.

Corollaire1.7.L’anneau A e?R K est principal.De plus,l’applicationΦC

e induit

une bijection de C e/G K dans la?bre g′e n′e rique de C e

https://www.doczj.com/doc/da6635005.html, couronne formelle C e sur R

2.Techniques de recollement formel

Consid′e rons une R-courbe formelle nodale X,si x est un point ferm′e de la?bre sp′e ciale X k:=X×R k,X peut alors?e tre vue comme recollement de la?bre formelle de x et de l’ouvert X\{x}.Les donn′e es du recollement sont inscrites dans une suite exacte de R-modules(2.2).Cette remarque est le point de d′e part d’une technique de construction de rel`e vements sur R de rev?e tements de courbes nodales sur k(2.8).

2.1.Un lemme d’alg`e bre topologique.Le lemme suivant,de preuve imm′e diate, sera utilis′e constamment dans la suite.On?xe une uniformisanteπde R.Par un R-module M complet pour la topologieπ-adique,nous sous-entendrons ici un module s′e par′e et complet.Pour tout R-module M,on d′e signe par

M1M2est surjectif,alorsφest surjectif.

(ii)Sous les m?e mes hypoth`e ses,si de plus M2est plat sur R et

M1M2M3?→0 est exacte,il en est de m?e me de la suite de R-modules

0?→M1u?→M2v?→M3?→0.

2.2.Une suite exacte de recollement.Pour X un R-sch′e ma formel,on notera Irr(X)l’ensemble des points g′e n′e riques des composantes irr′e ductibles de X.Pour simpli?er,si A est une R-alg`e bre compl`e te pour la topologieπ-adique,on notera Irr(A):=Irr(Spf A).Soit X un R-sch′e ma formel,de dimension1,localement

REL `EVEMENT GALOISIEN (7)

noeth′e rien,plat sur R .Soient x 1,...,x r des points ferm′e s de X ,et U =X \{x 1,...,x r }.Le diagramme de O X -modules ci-dessous est commutatif :

O U l ′1>>>>>>>>>>>>O X ρl 1 ξ∈Irr X ?O

X ,ξl 3

(T 1T 2?πe )

,et x :=(π,T 1,T 2),on obtient la suite exacte

0→R {T 1,T 2}(T 1T 2?πe )θ→

i =1,2R [[T i ]]{T ?1i }→0

o`u θ(f 1,f 2,g )=(f 1?g,f 2?g )(avec les identi?cations ′e videntes en termes de s′e rie de Laurent).

2.3.Construction d’un mod`e le avec ′e paisseurs ?x′e es.Soit X 0une courbe nodale projective sur k ,on appelle mod`e le de X 0sur R un couple (X,φ),o`u X est un R -sch′e ma propre et plat,et φ:X ×R k →X 0est un isomorphisme de k -sch′e mas.Proposition 2.6.Soit X 0une courbe nodale projective sur k ,S l’ensemble des points ferm′e s singuliers de X 0,et (e x )x ∈S une famille d’entiers strictement positifs.Il existe alors un mod`e le (X,φ)de X 0sur R tel que l’′e paisseur de x dans X soit e x ,pour tout point x de S .

8YANNICK HENRIO1

D′e monstration.Lorsque X0est lisse sur k,la proposition r′e sulte du corollaire7.4 de[6],expos′e III.Supposons`a pr′e sent X0irr′e ductible.Soit?X0la normalis′e e de X0,elle poss`e de un mod`e le(?X,?φ)sur R.Notons,pour x dans S,x1et x2les points de?X0au-dessus de x,et U0l’ouvert X0\S de X0,qui s’identi?e`a un ouvert de ?X

.Notons U le sous-sch′e ma formel ouvert de?X(compl′e t′e de?X le long de la?bre sp′e ciale)qui correspond`a U0.Si R[[a x,b x]]

(a x b x?πe x)

→ x∈S((O?X,x1)∧(π)×(O?X,x2)∧(π))

obtenu en identi?ant(O?

X,x1)∧

(π)

(resp.(O?

X,x2

)∧

(π)

)`a R[[a x]]{a?1x}(resp.R[[b x]]{b?1x}).

Le lemme2.1montre queθest surjectif.Son noyau,not′e O X est un faisceau de R-alg`e bres sur l’espace topologique X0,et on voit que l’espace localement annel′e (X0,O X)est un R-sch′e ma formel propre et plat,de?bre sp′e ciale projective.C’est donc le compl′e t′e d’un R-sch′e ma propre et plat le long de la?bre sp′e ciale,qui four-nit un mod`e le pour X0.Si maintenant on ne suppose plus X0irr′e ductible,soit S′le sous-ensemble de S form′e des x qui appartiennent`a deux composantes irr′e ductibles distinctes et U′0l’ouvert X0\S′,on choisit un mod`e le?X i pour chaque composante irr′e ductible X0,i de https://www.doczj.com/doc/da6635005.html,me ci-dessus,on construit un homomorphisme surjectif de faisceaux de R-modules sur X0

i O?

X i

× x∈S R[[a x,b x]]

f:Y?→X un morphisme s′e parable?ni entres courbes alg′e briques sur k,connexes, a?nes,r′e duites.Soient x un point ferm′e de X et X′l’ouvert compl′e mentaire du point x.On suppose X′lisse sur k,

P(z))

o`u

(t1t2)et?O Y,y=

k[[z1,z2]]

(Q(z2),z1z2)

o`u Q)est un polyn?o me d’Eisenstein s′e parable de k[[t1]](resp.k[[t2]]).

Th′e or`e me2.8.(Principe local-global formel)Soit X un sch′e ma formel a?ne normal,plat et topologiquement de type?ni sur R,de?bre sp′e ciale X.On note X′l’ouvert de X correspondant`a X′.La restriction de

REL`EVEMENT GALOISIEN (9)

On se donne une?O X,x-alg`e bre A?nie,normale,R-plate et un diagramme com-mutatif`a lignes exactes:

0A0

f tel que Y est normal, f|X′=f′et f induit l’extension?O X,x?→A.

(ii)Si de plus

F r(?O Y,y)=k((z))

(?O X,x)∧

(π)

modπF r(?O

X,x

)=k((t))

P∈k((t))[X].L’anneau local A??

O X,x

(?O X,x)∧

(π)

′e tant hens′e lien,la racine z de

(P(X))

?→A??

O X,x

(?O X,x)∧(π)

qui envoie X sur Z est un isomorphisme:Il nous su?t d’appliquer le lemme2.1(ii), car c’est vrai au niveau r′e siduel par hypoth`e se.

L’anneau O(Y′)?O(X′)(?O X,x)∧

(π)est?ni sur(?O X,x)∧

(π)

,donc semi-local complet.

O(Y′)?O(X′)(?O X,x)∧

(π)O(Y′)?

O(X′)

(?O X,x)∧(π)

O(X′)

(P(X))

?→O(Y′)?O(X′)(?O X,x)∧(π)

qui envoie X sur Z′,o`u Z′est une racine de P dans O(Y′)?O(X′)(?O X,x)∧

(π)relevant

10YANNICK HENRIO1

Soitμ:=u?w?1.C’est un isomorphisme de(?O X,x)∧

(π)

-alg`e bres:

O(Y′)?O(X′)(?O X,x)∧(π)μ?A??

O X,x

(?O X,x)∧(π).

Notonsθl’homomorphisme de O(X)-modules d′e?ni ci-dessous:

O(Y′)×Aθ?→A??

O X,x

(?O X,x)∧(π)

(h′,g)→μ(h′?1)?g?1

Remarquons queθest surjectif d’apr`e s le lemme2.1(i).On voit ais′e ment que son noyau A est une sous-O(X)-alg`e bre de O(Y′)×https://www.doczj.com/doc/da6635005.html,me

O(X)=O(X),le lemme(i)dit que A est?ni sur O(X).En particulier,A est topologiquement de type?ni sur R.En vertu du lemme2.1(iii),les homomorphismes canoniques ci-dessous sont des isomorphismes.

A?O(X)O(X′)?O(Y′)et A?O(X)?O X,x?A

Le rev?e tement f:Y:=Spf A?→X convient.

(ii)Pour le cas galoisien,remarquons tout d’abord que X′est muni canonique-ment d’une action de G relevant l’action sur X′.On en d′e duit une action de G sur

O(Y′)?O(X′)(?O X,x)∧

(π).Il su?t de voir que l’isomorphismeμdonn′e ci-dessus est

′e https://www.doczj.com/doc/da6635005.html,me

k((z i))

(?O X,x)∧η

k((t i))

(z1z2)

etσ(z1)=z2.

REL`EVEMENT GALOISIEN (11)

Soit X un sch′e ma formel a?ne normal,plat et topologiquement de type?ni sur R, de?bre sp′e ciale X.Il existe alors un rev?e tement2-cyclique Y de X prolongeant Y→X.

D′e monstration.Remarquons tout d’abord que l’on dispose d’un rel`e vement local ′e quivariant′e vident(avec e un entier strictement positif)

R[[Z1,Z2]]k[[z1,z2]]

modπ

f au-dessus de X′s’′e tend de mani`e re unique(`a isomorphisme pr`e s)en un rev?e tement′e tale f′:Y′?→X′,galoisien de groupe σ .

L’anneau O(Y′)?O(X′)(?O X,x)∧

(π)est?ni sur(?O X,x)∧

(π)

,donc semi-local com-

https://www.doczj.com/doc/da6635005.html,me de plus

(Z1Z2?πe)

?→R[[Z1]]{Z?11}×R[[Z2]]{Z?12}

d′e?ni parθ(g,h)=μ(g?1)?(φ1(h),φ2(h)),o`uφi d′e signe l’injection canonique R[[Z1,Z2]]

(0)=ζl(r).

12YANNICK HENRIO1

D′e monstration.Le groupe de Galois Gal(K alg/K0)agit sur l’ensemble des auto-morphismesσd’ordre p r de R[[Z]]?xant0par l’action sur les coe?cients de la s′e rie σ(Z).De plus,siτ∈Gal(K alg/K0),on aˉστ=ˉσ.Comme Gal(K alg/K0)permute transitivement les racines primitives p r-i`e mes de l’unit′e,on en d′e duit le r′e sultat annonc′e.

Par ailleurs,nous aurons besoin du lemme ci-dessous,qui′e tablit la lin′e arisabilit′e locale de l’action d’un automorphisme d’ordre une puissance de p au voisinage d’un point?xe.

Lemme3.2.Soitσun R-automorphisme d’ordre p r de R[[Z]],?xant0.Il existeρdans K,avec v K(ρ)>0,une racine primitive p r-i`e me de l’unit′eζl

(r)

et un param`e tre Z′de R{

ρ)centr′e en0,on aura R{Z0}σ=R{T0}pour un T0convenable(par exemple

la norme de Z0).Si la valuation deρest su?samment grande,0est le seul point de rami?cation,on peut alors supposer que u s’′e crit u=T h0(1+ ν>0aνTν0),avec v K(aν)>0pour toutν>0et(h,p)=1.En utilisant Bezout,on peut supposer

h=1,et?nalement,quitte`a changer le param`e tre T0,que u=T0.Mais R{T0}[Y]

(Y p r?T0) et Z′:=Y est un param`e tre de R{Z0}qui convient.

https://www.doczj.com/doc/da6635005.html, preuve ci-dessus montre que si r=1et siσposs`e de un unique point?xe,l’automorphismeσest lin′e arisable sur R[[Z]],on retrouve ainsi la propo-sition6.2.1de[4].C’est une question ouverte de savoir si,pour r>1,le r′e sultat est encore vrai:La remarque6.2.2de[4]semble erron′e e.Toutefois,siσp r?1poss`e de un unique point?xe,alorsσest encore lin′e arisable sur R[[Z]].

3.2.Rel`e vement local cyclique pour les points doubles.

Proposition3.4.(i)Pour tout entier r≥1,quitte`a faire une extension?nie de K,il existe un entier e≥1et un automorphisme d’ordre p r de C e qui induit un automorphisme d’ordre p r de chaque branche de C e,k.

(ii)Siˉσest un automorphisme de Spec

k[[z1,z2]]

(z1z2)

D′e monstration.Soit r≥1,on?xe une racine primitive p r-i`e me de l’unit′eζ(r)dans K alg.On consid`e re deux R-automorphismesσ1etσ2d’ordre p r de D?xant0,on

supposera les points de Fσ

1(resp.Fσ

)rationnels sur K.Pour i=1,2,il existe

un unique h i inversible dans(Z/p r Z)tel que

dσi

REL`EVEMENT GALOISIEN (13)

Fig.3.Construction d’un automorphisme de couronnes par recollement Soit e0un entier positif ou nul,notonsσ0l’automorphisme de

R{W1,W2}

(Z i X i?πe i)→R{X i,X?1

}=R{W i,W?1

}(o`u X i

s’′e

crit X i=W?1

(1+πg i)dans

R{X i,X?1i}).On munit,pour i=1,2,R[[Z i]]{X i}

(W1W2?πe0)

),d’une

structure de R[Z/p r Z]-module par l.f i:=σl i f i(resp.l.f0:=σl i f0)pour l∈Z/p r Z. On d′e?nit alors un morphisme

θ:R[[Z1]]{X1}

(Z2X2?πe2)

R{W1,W2}

(Z′1Z′2?πe0+e1+e2).(En e?et,on v′e ri?e ais′e ment que kerˉθest′e gal`a

k[[z1,z2]]

(z1z2)

,ne permutant pas les branches,

induisant un automorphisme d’ordre p a n de chaque branche.On suppose de plus que

14YANNICK HENRIO1

ˉσp a agit de mani`e re kumm′e rienne,c’est`a dire que quitte`a changer de param`e tres (z1,z2),ˉσp a(z1)=ˉθz1etˉσp a(z2)=ˉθ?1z2,o`uˉθest une racine primitive n-i`e me de l’unit′e dans k.Alors,quitte`a faire une extension?nie de K,ˉσse rel`e ve en un automorphisme d’ordre p a n de C e,pour un entier e≥1convenable.

D′e https://www.doczj.com/doc/da6635005.html,meˉσp a agit de mani`e re kumm′e rienne,quitte`a changer de param`e tres,on peut supposerˉσp a(z1)=ˉθz1etˉσp a(z2)=ˉθ?1z2,o`uθest une racine primitive n-i`e me de l’unit′e dans R.Le sous-anneau de

k[[z1,z2]]

(x1x2)

,o`u x i=z n i.L’automorphismeˉσn induit un automorphismeˉτd’ordre p a de

k[[x1,x2]]

(X1X2?πen),pour un entier e convenable

(quitte`a faire une extension?nie de K).Ecrivons

τ(X1)=X1(1+πb+ ν>0(aνXν1+a?νX?ν2)). Consid′e rons la R-alg`e bre

R[[Z1,Z2]]

(X1X2?πen)est un sous-anneau de

R[[Z1,Z2]]

?τprolonge alorsτet est d’ordre p a.De plus?τcommute avec l’automorphismeμd’ordre n d′e?ni parμ(Z1)=θZ1.Par suite,le groupe engendr′e par?τetμest cyclique d’ordre p a n,et un g′e n′e rateur convenable rel`e veˉσ.

3.3.Rel`e vement local pour le groupe di′e dral.Soit D le groupe di′e dral d’ordre 2np r,o`u n est un entier premier`a p et r un entier inf′e rieur ou′e gal`a2.Le groupe D admet une pr′e sentation

D= σ,τ|σnp r=1,τ2=1,τστ=σ?1 .

Les m′e thodes formelles ci-dessus permettent encore de construire un rel`e vement d’une action de D sur un point double:

Proposition3.6.On consid`e re une action de D sur Spec

k[[z1,z2]]

(Z1Z2?π2e)→R[[X]]{

πe

}→R{X0,X?1

}→0

REL `EVEMENT GALOISIEN (15)

En fait,le morphisme surjectif est ′e quivariant sous l’action de D ,si on munit le R -module du milieu de l’action σ(g (X ),h (Y )):=(g (σ(X )),h (σ?1(Y ))et τ(X )=Y .On obtient ainsi une action de D sur le disque formel (d’′e paisseur 2e )

Spec R [[Z 1,Z 2]]

f :Y ?→X ,et Ram l’ensemble des points de rami?cation de

J J J J J J J J J Aut R A x (Z 1Z 2?πe x )pour x dans B 2∪B 3,o`u e x est un entier sup′e rieur ou ′e gal `a 1,qui est de plus pair

pour x dans B 2.

16YANNICK HENRIO1

Pour x un point de B,on note U x un voisinage a?ne de x dans X,inclus dans la r′e union des composantes irr′e ductibles de X qui contiennent x,et V x:=

f?1(U).

D’apr`e s2.6,il existe un R-sch′e ma X propre et plat,normal,de?bre g′e n′e rique lisse sur K,de?bre sp′e ciale X,dont l’′e paisseur au point double x de B2est pe x. On notera?X le R-sch′e ma formel compl′e t′e de X le long de sa?bre sp′e ciale,et U x l’ouvert de?X correspondant`a U x,pour x dans B.

Pour x dans B,il existe un morphisme′e tale U′x→U x(qu’on peut supposer sur-jectif,quitte`a restreindre U x)tel que le morphisme V′x→U′x obtenu par changement

de base`a partir de V x→U x soit d′e compos′e,ie V′x=Ind G I

y x W′x,o`u W′x est la com-

posante connexe de V′x contenant l’unique point au-dessus de y x.En utilisant les rel`e vements locaux choisis et le th′e or`e me2.8,on construit un rel`e vement W′x→U′x de

f|V′

x compatible avec l’ac-

tion de G.Un argument de descente′e tale(voir[2]lemme3.6)permet alors de construire un rel`e vement V x→U x,galoisien de groupe G,de V x→U x.L’unicit′e du rel`e vement du lieu′e tale nous permet de recoller ces rel`e vements en un rel`e vement ?Y?f→?X de