江西师范大学数学与信息科学学院
学士学位论文
中学数学中的数形结合思想Several of the middle school Mathematics form combining ideas
姓名：黄平
学号： 0807010040
学院：数学与信息科学学院
专业：数学与应用数学
指导老师：刘锡光（副教授）
完成时间：2012年4月5日
中学数学中的数形结合思想
黄平
【摘要】在中学数学中有很多数学方法，其中数形结合思想是中学数学中一种重要方法，它将代数与几何相结合，利用数形之间相互转换，有利于分析题中的数量之间关系，丰富想象，化繁为简，化难为易，一方面,借助于图形的性质可以将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化,给人以直觉的启示．另一方面,将图形问题转化为代数问题,以获得精确的结论．提高分析和解题的能力从而达到简易的解题方法，最终方便我们的解题．我将从以下几个方面来探讨数形结合思想在中学数学中的应用：（1）在集合中的应用；（2）在解方程中的应用；（3）在解不等式中的应用；（4）在解析几何上的应用；（5）在解决最值、值域问题上的应用．通过分析、比较和归纳充分展现数形结合思想在解题中的特点和优越性，从而在实际教学中要将数形结合思想融汇到课堂中，培养学生加强数形结合思想的意识．
【关键词】中学数学数形结合应用思想方法
Several of the middle school Mathematics form combining
ideas
Huang Ping
【Abstract】In the middle school mathematics has lots of mathematical methods, including several form combining ideas middle school mathematics is one of the most important methods, it will algebra and geometry, and the combination of using several shape transformation between, be helpful for analysis problem of the relation between the quantity, rich imagination, change numerous hard things simple, easy, on the one hand, graphic nature of many of the abstract will math concepts and visual and quantitative relationship between simplified, give a person with intuitive enlightenment. On the other hand, will graphics problem into the algebra problem, in order to obtain the accurate conclusions. Improve the analysis and problem solving ability so as to achieve simple problem solving method, the final convenient our problem solving. I will from the following several aspects to discuss several form combining ideas middle school mathematics in the application: (1) the application of the set; (2) in the process of the application of the solution; (3)the application of inequality in solution; (4)in the application of analytic geometry; (5)to solve the most value, domain in its application. Through the analysis, comparison and induction show several form combining ideas of problem in the characteristic and advantages,
which in actual teaching will form together with several ideas to the classroom, training students' strengthen the consciousness of combining ideas number form. 【Key words】Middle school mathematics Several form combined with An application example Thought method
目录
1 引言 (3)
2 数形结合思想的概念 (2)
3 数形结合思想在中学数学中的应用 (3)
3.1 (3)
3.1.1 利用韦恩图法解决集合之间的关系问题 (3)
3.1.2 利用数轴解决集合的有关运算 (4)
3.2 数形结合思想在解方程中的应用 (4)
3.3 数形结合思想在解不等式中的应用 (5)
3.4 数形结合思想解决最值、值域问题 (7)
3.5 数形结合思想在解析几何中的应用 (8)
4 培养学生数形结合思想的一些教学措施 (9)
结束语 (10)
参考文献 (11)
1 引言
在数学思想中，有一类思想是体现基础数学中的具有奠基性和总结性的思维成果，这些思想可以称之为基本数学思想．中学阶段的基本数学思想包括：分类讨论的思想、数形结合的思想、变换与转化的思想、整体思想、函数与方程的思想、抽样统计思想、极限思想等等．中学数学中处处渗透着基本数学思想，如
果能使它落实到学生学习和运用数学的思维活动上，它就能在发展学生的数学能力方面发挥出一种方法论的功能．在这些数学思想方法中数形结合思想是一种很重要的方法，它贯穿于整个中学数学的课程．
一直以来数与形就是两个不可分割的对象，他们在一定程度上可以相互转换，我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非”，即数形结合在一起好处很多，而独立分开却会带来很多麻烦，从这可以看出数与形的基本性质，数与形是不可分割的，数形结合在实际问题中是紧密结合在一起的．而数形结合主要是指数与形之间的一一对应关系．例如函数图象与函数表达式之间的关系．
对中学数学中数形结合思想的研究有助于我们更好的掌握中学数学知识，增强解题能力，特别是在一些题目中如选这题、填空题，在小题目中经常考察数形结合思想，如果熟练掌握了数形结合思想并加以巧妙利用，那么我们将取得事半功倍的效果，能帮助我们在高考中能取得时间和效率的优势，最终让你取得优异成绩．那么接下来我们将要研究数形结合思想在我们中学中到底有哪些用处，我们解什么样问题时需要用到数形结合思想？那么我们平时又该如何培养自己的数形结合思想呢？
2 数形结合思想的概念
数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化．中学数学研究的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合．作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”．“以数解形”就是有些图形太过于简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形赋值，如边长、角度等．数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷．
数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域、最值问题中，在求复数和三角函数解题中，运用数形结思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化
了解题过程．这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想
意识，要争取胸中有图见数想图，以开拓自己的思维视野．
数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，
关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何
问题代数化．在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一
要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目
中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合
理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定
参数的取值范围．
纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数
学问题，可起到事半功倍的效果．
3 数形结合思想在中学数学中的应用
3.1 数形结合思想在集合中的应用
3.1.1 利用韦恩图法解决集合之间的关系问题
一般情况我们用圆来表示集合，两个圆相交则表示两个集合有公共的元素，
两个圆相离就表示两个集合没有公共的元素．利用韦恩图法能直观地解答有关集
合之间的关系的问题．
例1．某校先后举行数理化三科竞赛，学生中至少参加一科的：数学807人，
物理739人，化学437人；至少参加两科的：数理593人，数化371人，理化
267人；三科都参加的213人，试计算参加竞赛总人数．（选自《王后雄高考标
准诠释》）
解：我们用圆A 、B 、C 分别表示参加数理化竞赛的人数，那么三个圆的公
共部分正好表示同时参加数理化小组的人数．用n 表示集合的元素，则有：
()()()()()()()n A n B n C n A B n A C n B C n A B C ++-?-?-?+??=
807739437593371267213965++---+= 即：参加竞赛总人数为965人. B(理) A （数）
C(化)
3.1.2 利用数轴解决集合的有关运算
例2．已知集合{}13A x x =-<<,{}3B x a x a =<<
⑴若A B ?，求a 的范围．
⑵若B A ?，求a 的范围．
分析：先在数轴上表示出集合A 的范围，要使A B ?，由包含于的关系可知
集合B 应该覆盖集合A ，从而有： ???≥-≤3
31a a ，这时a 的值不可能存在．要使B A ?， 当0a >时集合A 应该覆盖集合B ，应有??
???>≤-≥0331a a a 成立，即01a <≤．
当0a ≤时，B =?，显然B A ?成立．故B A ?时的取值范围为：1a ≤
在集合问题中，有一些常用的方法如韦恩图法，数轴法取交并集，在例题一
中通过画韦恩图表示出各集合，可以直观形象的表现出各部分数量间的关系 ，
本题主要强化学生数形结合能力，解此类题目的技巧与方法是画出图形，形象的
表示出各数量关系间的联系，从而求解．在解例题二这一类题目时要先化简集合，
确定各集合之间的包含关系，进一步在数轴上表示出来，通过数轴简便求解．
3.2 数形结合思想在解方程中的应用
在很多情况下我们对于一些比较复杂的方程不能使用常规的方法去解，也不
能使用求根公式，以至于无法求解，那么我们采用数形结合思想，将方程的跟转
化为求函数的交点，通过作图可以很好的解答出来．
例3．设方程211x k -=+，试讨论k 取不同范围的值时其不同解的个数的情
况．
解：我们可把这个问题转化为确定函数21211y x y k =-=+与图像交点个数
的情况，因函数1y k =+始终表示平行于轴的所有直线（无论k 取何值），函
a -1 3 3a
a -1 3
3a
数211y x =-可以先转换成从函数211y x =-，然后根据二次函数图象性质画出
211y x =-图像，进一步画出211y x =-的图象，从而可以直观看出：
（1）当1k <-时，1y 与2y 没有交点，这时原方程无解；
（2）当1k =-时，1y 与2y 有两个交点，原方程有两个不同的解，分别是11x x =-=与；
（3）当10k -<<时，12y y 与有四个不同交点，原方程不同解的个数有四个；
（4）当0k =时，12y y 与有三个交点，原方程不同解的个数有三个；
（5）当0k >时，12y y 与有两个交点，原方程不同解的个数有三个．
通过图像我们可以清楚的看出k 在什么范围内两个函数它们交点的个数，从
而大大的简化了我们做题，提高了做题的效率．在方程意义下去研究二次方程且
带有字母代数的，往往非常棘手，但如果先把它转化成二次函数，并画出二次函
数图象，在运用图象的性质去研究，问题就迎刃而解了，本题就是很好的佐证，
将二次函数图象与一次函数图象相结合，再根据k 的范围就能很快得出交点个
数，即方程解的个数．所以在今后解类似题目时可以将复杂的代数转化成函数，
再画出图像．
3.3 数形结合思想在解不等式中的应用
解不等式,就是要对不等式进行同解变形,使之变为与原不等式同解的最简
不等式.不等式灵活变换的特点和广泛应用的价值对培养学生能力，发展学生思
维提出了教高的教学要求.结合图形研究,可以避免复杂的讨论,化繁为简.
例4解不等式12
5292
<+--x x x 解:移项得 0125292<-+--x x x ， 通分得02
52762<++--x x x -1 -1 0 1 x
1
即
0)3)(25)(9(02
5)9)(3(>-++?>++-x x x x x x 由序轴标根法可知:原不等式的解为：
295
x -<<-或3x > 注:我们把不标注原点和没有长度单
位,只反映任意两个实数的大小顺序的数
轴称为序轴,用序轴标根法解不等式的步骤是:将()0f x =的n 个根在序轴上标
注出来，这n 个根将序轴分成1n +个区间，则最右一个区间的值使()0f x >，然
后自右向左()f x 的符号依次“+”“-”相间.当()f x 中有重因式时,可把奇次重
因式改为一次单因式,把偶次重因式弃掉,并且去掉使偶次重因式为零的实数.
对一些不等式问题，我们可以借助所给图形，仔细观察研究图形，揭示出图
形中所蕴含的数量关系，从而运用所学知识加以解决．
例5．解关于x 的不等式|log (1)||log (1)|(01)a a x x a +>-<<． 解：设()log (1)a f x x =+，()log (1)a g x x =-.
令()()f x g x =, 解之得2x =．
分别在同一坐标系中作出()f x 和()g x 在01a <<时的函数图象；如下图所
示：
我们通过观察图象可知：
当2x =时，()f x 和()g x 的函数值相等；
当2x >时，()f x >()g x ；
当2x <时，()f x <()g x ；
从而可知原不等式的解为2x >．
x
y -1 O 1 2 1 2
x y
A B C D O 通过以上两个例子,大体说明了数形结合在不等式教学中的应用. 在数学教
学中,应抓住数形结合的解题契机:(1)在审题时与解题前,运用数形结合的思想
方法勾画题目大意,完善认识结构,确定解题思路.(2)在解题过程中,通过适当转
换变形后,运用数形结合的思想方法调整解题背景,从而简捷流畅地得到解题结
果.其实,数形结合渗透在中学数学的每一个部分,教学中,要做好这种“数”和
“形”关系的揭示与转化，以形数相结合的原则进行教学,这就要求我们切实掌
握形数相结合的思想与方法,以形数相结合的观点钻研教材,理解数学中的有关
概念、公式与法则,掌握形数相结合进行分析问题与解决问题的方法,从而提高运
算能力、逻辑思维能力、空间想象能力和解题能力.
3.4 数形结合思想解决最值、值域问题
利用数形结合思想有时可以解决一些比较复杂的最值和值域问题，特别是一
些三角函数的题目和我们通常见到的线性规划问题．
例6.已知函数cos 3sin 1y θθ-=+，求函数的最小值． 解：由cos 3sin 1
θθ-+的结构形式，我们可以联 想到几何当中直线的斜率公式， 即cos 3sin 1θθ-+可以看成过点(sin ,cos )A θθ与点(1,3)B -的直线的斜率．
A 是动点且在圆221x y +=
上，B 为定点，作出图象，由图可知：2,1BO AO DO ===，
则30DBO OBA ∠=∠= ，所以圆O 的切线BC 的倾斜角为150 ，故
min 3tan1503
y ο==-． 例7．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式0222x y x y
?≤≤?≤??≤?给定，若()
,M x y 为D 上的动点，点A 的坐标为(2,1)，则Z OM OA =? 的最大值为（ B ）
（2011年普通高校招生全国统一考试（广东卷）数学（文科））
A ．3
B ．4
C ．32
D ．42
解：本题是一个线性规划题目，几乎每一年高考中都有所考察，主要是要将给定的不等式能够转换到具体的线性规划图，要求Z OM OA =? ，即求(,).(2,1)z x y = 解之得2z x y =+，即求函数2y x z =-+与y 轴的交点．
观察图形可知当直线2y x z =-+平移到(2,2)时，直线与y 轴交点值最大，即22214z =?+?=
所以z 最大值为4．
许多代数极值问题，存在着图形背景，借助形的直观性解题是寻求解题思路的一种重要方法，通过图形给问题以几何直观描述，从数形结合中找出问题的逻辑关系，启发思维，难题巧解．在平时要牢记一些几何意义的概念，如复数的模、直线的斜率、导数、圆锥曲线的概念等，这样在解题时才能得心应手． 3.5 数形结合思想在解析几何中的应用
代数与几何结合是解析几何的特点，利用数形结合方法是解解析几何问题的基本方法，借助直线、圆与圆锥曲线在直角坐标系中图象的特点，可以从图形中寻求解题思路．
例8.已知某个几何体的三视图如图,根据图中标出的尺寸(单位：cm )，可得这个几何体的体积是（ ）
A 34000
3cm
B 380003
cm C 32000cm D 34000cm
解:选B ，实物图如图所示，底面为正方形，侧面SAB ⊥底面ABCD ,且AB =20cm ，
x
y 2 2 A 0
高20SO cm =，所以1860040033
V =??3cm 例9.求证：12
DH CE =,已知正方形DEFG ,正方形ABCD ,直角三角形DCE 解：延长AD 交EF 于J ，过点G 作GI AJ ⊥,垂足为I .如图6所示，因为四边形DEFG ,四边形ABCD 为正方形． 90,CDE EDJ ∠+∠=?90GDI JDE ∠+∠=?
所以CDE GDI ∠=∠
又90C I ∠=∠=?
GD DE = 所以Rt GDI Rt DCE ???
故,CD DI CE GI ==
又因为CD AD = 所以由ADJ ?～AIG ?知
1122
DH GI CE == 在做几何题目时，很多题目都必须要把图形画出来，图形出来了问题自然就解决了，利用“数”与“形”的相互转化来解决几何问题，它具有直观性 、灵活性等特点．数形完美的结合，就能达到事半功倍的效果．
4 培养学生数形结合思想的一些教学措施
数形结合思想作为数学中一种重要思想，在中学数学中占有重要地位，查看近几年高考数学试卷，数形结合思想题目有很大比例，由此可见一斑．如此重要方法教师在平时上课时应当给予足够重视，讲解练习时要强化数形结合思想，老师应当提示学生多朝着这方面去想问题，通过引导再加以强化，这样下次学生再碰到就能独立的应用数形结合思想来解答问题．
那么教师在平时该怎样去引导学生学习数形结合思想方法呢？
第一，加强概念教学．数学中的概念是人类关于客观世界数量和空间的关系形式的认识结晶．数学概念是数学思想方法的载体，数学中的“数形结合”思想大部分来源于概念教学过程．加强对基本概念的教学，是掌握数形结合思想的基础．概念教学中，要有意识的赋抽象概念以直观的形．要揭示概念的不同的表达形式．是学生加深对概念的理解与掌握，为以后利用基本概念的不同形式解复杂的数学问题奠定基础，特别对于明显的几何意义概念如复数的模、直线的斜率、导数、圆锥曲线的概念等，给出概念的同时一定要结合图形讲几何意义． A B C D E
F G
H I J
第二，熟悉最基本图象．对常见的函数的图形要熟悉，如六种基本初等函数（常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数）以及二次函数、对勾函数的图形要非常熟悉，另外还要熟练掌握利用图象的变换法（平移、对称、翻转、伸缩）作图．
第三，培养学生的联想能力．联想是以观察为基础的，对研究对象的问题或对象的特点联系已有的知识和经验进行想象的思维方式．培养学生的联想能力有
较大的作用．如看到代数式sin2
cos2
x
x
-
-
我们可以联想到点()
cos,sin
x x与点()
2,2连
线的斜率．
第四，教师尽可能使用多媒体教学来展示数形结合，以此来激发学生的好奇心和求知欲．教学过程中黑板上的图形再直观、准确，也是一个“死图”，难以通过图形发现变量之间的变化规律．通过多媒体教学，例如《几何画板》，可以让“死图”变“活图”．能充分体现数与形之间的联系及变化规律，使学生理解更深刻，记忆更牢固．
第五，教师在新课中“数”、“形”并进，让学生见“数”想到“形”，见“形”不忘“数”．例如在上集合这一章节时除了在数集运算中借助于画数轴解决外，还要重视韦恩图的运用．韦恩图作为集合的第三种表示方法，往往容易被学生忽略，如果老师上课时多用用韦恩图来处理集合的交、并、补等运算，学生就会感受到问题一旦形象化了，运算会很方便．习题课中让“数”“形”之妙体现出来．在讲解有关可以用数形结合解题的题目时，调动学生的积极性，运用分组讨论等形式让学生感受到数形结合的便捷和乐趣．还有一类题目也许不能称之为严格意义上的“数形结合”，例如在一些求直线或圆方程的题目中，可以根据画图得出答案，也可以通过计算得到答案．对于这类题目，我认为在习题课上应该两种方法都要顾及，然后让学生自己感受两种方法的各自的优点和缺陷，以及如何选择哪种做法、怎样弥补自己解法中的缺陷和错误等等．
结束语
数形结合思想方法是一种非常有用的数学方法，它能使复杂问题简单化，抽象问题具体化．另外，它对于我们进行数学解题和数学研究是非常有帮助的．因此，我们应该在平时的学习和研究中注意培养这种思想意识，真正做到胸中有图，图中有数，不断拓展我们的思维．在教学中要注重数形结合思想方法的培养，在培养学生数形结合思想的过程中,要充分挖掘教材内容,将数形结合思想渗透于具体的问题中,在解决问题中让学生正确理解“数”与“形”的相对性,使之有
机地结合起来．让学生真正的将数形结合思想应用到解题当中去，真正的做到学以致用．
参考文献
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