山东省一中2011-2012学年高二上学期期末考试（数学理）
考试时间：120分钟 满分：150分
一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.命题“若3a b +≠，则12a b ≠≠或”的逆否命题为（ ）
A. 若3a b +=，则12a b ==且
B. 若12a b ==或，则3a b +=
C. 若12a b ≠≠或，则3a b +≠
D. 若12a b ==且，则3a b += 2.抛物线y =42
x 的焦点坐标是（ ） A. （1,0） B. (0,1) C. (0,
161) D. ()0,16
1
3.已知)5,2,3(-=a ，)1,,1(-=x b ，2=?，则x 的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
4.“13-<<-m ”是方程
11
22
2=+++m y m x 表示双曲线的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5. 以下四个命题中正确的是 ( )
A ．若1123OP OA O
B =+
,则P 、A 、B 三点共线;
B ．若{,,}a b c 为空间的一个基底，则{,,}a b b c c a +++
构成空间的另一个基底;
C ．|()|||||||a b c a b c ?=??
; D ．ABC ?为直角三角形的充要条件是0AB AC ?= ．
6. 在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，M 和N 分别为11B A 和1BB 的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是
（ ） A ．
1010
B ． 52-
C ．
53 D ．5
2
7.设双曲线)0,0(12222>>=-b a b
y a x 的一条渐近线与抛物线12
+=x y 有公共点，则双曲线
的离心率e 的取值范围是（ ）
A. [)
+∞,5 B. [)+∞,5 C. ???
????+∞,25 D. ???
???+∞,45
8.若椭圆或双曲线上存在点P ，使得点P 到两个焦点的距离之比为2:1，则称此椭圆或双曲
线为“倍分曲线”，则下列曲线中是“倍分曲线”的是（ ）
A.
1151622=+y x B. 124
252
2=+y x
C. 115
2
2
=-y x D. 122=-y x 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9.抛物线x y 82=上与焦点的距离等于6的点的坐标是 . 10.已知向量),2
15
,
,3(),5,3,2(λ=-=且∥，则λ= . 11.点)1,4(P 平分双曲线4422=-y x 的一条弦，则这条弦所在的直线方程是
12.过椭圆22
154
x y +=的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为______________
13.已知=a (3c o s ,3s i n α
α，(2cos ,2sin ,1)b ββ=
，则b a - 的取值范围
是 .
14.给出下列命题：①椭圆12322=+y x 的离心率35=e ，长轴长为32；②抛物线22y x =的准线方程为;81-=x ③双曲线
125
492
2-=-x y 的渐近线方程为x y 75±=；④方程02522=+-x x 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率.
其中所有正确命题的序号是 .
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。 15. (本小题满分12分）在平行六面体1111D C B A ABCD -中，N 是1AD 的中点，
MB AM 2=.
(1)化简：12
1
21AA AD BN --; (2) 设
a AB =，
b AD =，
c AA =1，若
c z b y a x MN ++=,求z y x ++.
16. (本小题满分12分）如图，设圆C ：1)1(22=+-y x ，过原点O 作圆的任意弦OM ，求所作弦OM 的中点P 的轨迹方程.
17．（本小题满分14分）
如图，正方体
1111D C B A ABCD -的棱长为a ，
E 为1DD 的中点.
（1）求证：1BD //平面EAC ； （2）求点1D 到平面EAC 的距离．
18．(本小题满分14分）设椭圆方程12522
2=+b
y x （05>>b ），F 为椭圆右焦点，P 为椭圆在短轴上的一个顶点，POF ?的面积为6,（O 为坐标原点）； （1）求椭圆方程；
（2）在椭圆上是否存在一点Q ，使QF 的中垂线过点O ？若存在，求出Q 点坐标；若不存在，说明理由.
19.（本题满分14分）
如图，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是矩形，1PA AB ==，PD 与平面ABCD 所成角是30
，点F 是PB 的中点，点E 在矩形ABCD 的边BC 上移动．
（1）证明：无论点E 在边BC 的何处，都有PE AF ⊥； （2）当CE 等于何值时，二面角P DE A --的大小为45
．
20．（本题满分14分）已知椭圆12
82
2=+y x 经过点)1,2(M ，O 为坐标原点，平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为m )0(≠m .
（1）当3=m 时，判断直线l 与椭圆的位置关系（写出结论，不需证明）； （2）当3=m 时，P 为椭圆上的动点，求点P 到直线 l 距离的最小值；
（3）如图，当l 交椭圆于A 、B 两个不同点时，求证：直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个
等腰三角形.
湛江一中2011——2012学年度第一学期期末考试 高二级（理科）数学科试卷（参考）答案
一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
二、填空题 本大题共6小题，每小题5分，共30分。） 9． )24,4(或)24,4(- 10. 2
9
- 11. 03=--y x 12.
3
5
13. []5,1 14. ②④ 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤，
16. (本小题满分12分） 解
：
设
)
,(y x P ，
--------------------------------------------------------------------------------2分 ∵
点
P
是弦
OM
的中点，∴
)2,2(y x M
---------------------------------------------------4分 ∵点M 在圆C ：1)1(2
2
=+-y x 上， ∴
1
)2()12(22=+-y x ，
----------------------------------------------------------------------8分 即
4
1)21(22=
+-y x ，
----------------------------------------------------------------------10分
由圆的范围知，10≤ 点 M 的轨迹方程为 4 1)21(22= +-y x （ 1 0≤ -------------------------------12分 （此题其它解法可酌情给分） 17．(本小题满分14分） 解法一：（1）证明：连接BD 交 AC 于 F ，连 EF . -------------------------------------2分 因为F 为正方形ABCD 对角线的交点， （2）解：设1D 到平面EAC 的距离为d . 在EAC ?中，AC EF ⊥，且a AC 2= ，a EF 2 3 = ， 所以 24 621a AC EF S EAC =?= ?， ----------------------------------------------------9分 于 是 d a dS V EAC EAC D 2 12 6311==?-. ----------------------------------------------------10分 因为312 1 2121313111a a a a S AD V C ED C ED A =???=?=?-. --------------------------12分 又 C ED A EAC D V V 11--=，即 3212 1 126a d a =， --------------------------------------------13分 解得a d 6 6 = ， 故点 1 D 到平面 EAC 的距离为 a 6 6. ----------------------------------------------------14分 即?? ???=-=-0 202z a ay z a ax ，令2=z ，则1==y x ∴)2,1,1(= -----------------------------4分 ∵0)2,1,1(),,(1=?--=?a a a BD ，∴BD ⊥1， ------------------------6分 又∵1BD ?平面EAC ，所以1BD //平面EAC . ----------------------------7分 （ 2 ） ) 2 ,0,0(1a ED =， ---------------------------------------------------------------9分 )2,1,1(=是平面EAC 的一个法向量. ∴ 点 1 D 到平面 EAC 的距 离 a d 6 6 = = .--------------------------------------14分 18. (本小题满分14分） 解：（1）设)0,(c F ∵P 为椭圆在短轴上的一个顶点，且POF ?的面积为6, ∴ 62 1 =bc . ----------------------------------------------------------- 1分 又 ∵ 2522=+c b ----------------------------------------------------------2分 ∴ ?? ?==4 3c b 或 ?? ?==3 4 c b ---------------------------------------------------------4分 ∴椭圆方程为 192522=+y x 或116 252 2=+y x ---------------------------------------6分 （2）假设存在点Q ，使QF 的中垂线过点O . 若椭圆方程为 116 2522=+y x ，则)0,3(F ，由题意，3==OF OQ ∴Q 点的轨迹是以O 为圆心，以3为半径的圆. 设 ) ,(y x Q ，则其轨迹方程为 922=+y x -------------------------------------------8分 显然与椭圆 116 252 2=+y x 无交点. 即 假 设 不 成 立 ， 点 Q 不存在. -----------------------------------------------9分 若椭圆方程为 19 252 2=+y x ， 则)0,4(F ，4==OF OQ ∴Q 点的轨迹是以O 为圆心，以4为半径的圆. 则 其 轨 迹 方 程 为 1622=+y x -----------------------------------------1 1分 则 ?????=+=+19 251622 22y x y x ，∴ 4 7 5± =x ， 4 9 ± =y -------------------------------------------- 13分 故满足题意的Q 点坐标分别为)49,475( ，)49,475(-，)49,475(--，)4 9 ,475(- ---------------------------------------------------------- 14分 （2）过A 作AG DE ⊥于G ，连PG ，又∵PA DE ⊥， 则⊥DE 平面PAG , 则PGA ∠是二面角P DE A --的平面角， ∴ 45=∠PGA -------------------------------------------------------------------------- 9分 ∵PD 与平面ABCD 所成角是 30，∴ 30=∠PDA ，-------------------------------- 10分 ∴AD ，1PA AB ==. ∴1AG = ，DG -------------------------- 11分 设BE x =，则GE x = ，CE x =， 在Rt DCE ? 中， )) 2 2 21x x = +， 得BE x ==. 故CE =。 法二:（1）建立如图所示空间直角坐标系，则()0,0,1P ， ∵PD 与平面ABCD 所成角是 30，∴ 30=∠PDA ， ∴AD ， ()0,1,0B ，110,, 22F ? ? ??? ，) D . -------------------------------- 3分 设BE x =，则(),1,0E x )2 1 ,21,0()1,1,(=?-=?x AF PE ∴⊥. --------------------------------6分 而 平 面 A 的法向量为 )1,0,0(=,---------------------------------------------- 9分 ∵二面角P DE A --的大小是 45, 所以 45cos = 22= = ， ------------------- 11分 得BE x == 或 23+==x BE （舍）. ∴BE =， 故CE =。 --------------------------------- 14分 20. 解：（1）当3=m 时，直线l 与椭圆相离. ……2分 （2）可知直线l 的斜率为 21 设直线a 与直线l 平行，且直线a 与椭圆相切， 设直线a 的方程为b x y += 2 1 --------------------------------- 3分 联立???????=++=128 212 2y x b x y ，得04222 2=-++b bx x --------------------------------- 4分 0)42(4)2(22=--=?∴b b ，解得2±=b --------------------------------- 5 分 ∴直线a 的方程为22 1 ±= x y . 所求点P 到直线l 的最小距离等于直线l 到直线22 1 += x y 的距离 5 5 2)2 1(1232 2= +-= d . ------------------------------ 7分 而)2)(2() 2)(1()2)(1(2121211221221121----+--= --+--= +x x x y x y x y x y k k ----------- 10分)2)(2() 2)(121 ()2)(121(211221----++--+=x x x m x x m x ) 2)(2() 1(4))(2(212121----+-+= x x m x x m x x ----------- 12分 ) 2)(2() 1(4)2)(2(42212------+-= x x m m m m 0) 2)(2(4442422122=--+-+--=x x m m m m ∴1k +02=k 直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形 ---------------------------------------14分 2015-2016上海市高二数学期末试卷 （共150分，时间120分钟） 一、选择题（每小题5 分，共12小题，满分60分） 1.对抛物线24y x =，下列描述正确的是（ ） A 开口向上，焦点为(0,1) B 开口向上，焦点为1(0, )16 C 开口向右，焦点为(1,0) D 开口向右，焦点为1 (0,)16 2.已知A 和B 是两个命题，如果A 是B 的充分条件，那么A ?是B ?的 （ ） A 充分条件 B 必要条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 3.椭圆2255x ky +=的一个焦点是(0,2)，那么实数k 的值为（ ） A 25- B 25 C 1- D 1 4.在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若11A B a =, b D A =11， c A A =1，则下列向量中与M B 1相等的向量是（ ） A c b a ++-2121 B c b a ++2121 C c b a +-2121 D c b a +--2 1 21 5.空间直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A （3，1，0），B （-1，3，0）， 若点C 满足OC =αOA +βOB ，其中α，β∈R ，α+β=1，则点C 的轨迹为（ ） A 平面 B 直线 C 圆 D 线段 6.给出下列等式：命题甲：2 2,2,)2 1 (1x x x -成等比数列，命题乙：)3lg(),1lg(,lg ++x x x 成等差数列，则甲是乙的（ ） A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件 D 既非充分又非必要条件 7.已知a =(1,2,3),b =（3，0，-1），c =?? ? ??--53,1,5 1给出下列等式： ①∣c b a ++∣=∣c b a --∣ ②c b a ?+)( =)(c b a +? ③2)(c b a ++=2 22c b a ++ 建平中学2019学年度第二学期期末考试 高二数学试卷 2020.06.30 说明：（1）本场考试时间为120分钟，总分150分； （2）请认真答卷，并用规范文字书写． 一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分） 1．半径为1的球的表面积为______________． 【答案】4π 2．二项式()10 1x +的展开式中5 x 的系数为_____________． 【答案】252 3．圆锥的底面半径为1，一条母线长为3，则此圆锥的高为_______________． 【答案】4．若2 666n n C -=，则正整数n 的值为_______________． 【答案】37 5．已知0 01x y x y ≥?? ≥??+≤? ，则2x y -的最小值为_____________． 【答案】1- 6．数据110,119,120,121的方差为_____________． 【答案】19.25 7．已知关于,,x y z 的实系数三元一次线性方程组111122223333a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d ++=??++=??++=?有唯一解415 x y z =?? =??=-? ，设 1 112 223 3 3d b c A d b c d b c =，11122233 3 a d c B a d c a d c =，111 2 2233 3 a b d C a b d a b d =，则A B C ++=_____________． 【答案】0 8．已知{ }* ,2020,N a b x x x ∈≤∈，满足a b <的有序实数对(),a b 的个数为_________． 【答案】2039190 9．已知关于,x y 的实系数二元一次线性方程组的增广矩阵为22126a A -?? = ??? ，小明同学为了求解 此方程组，将矩阵A 进行初等变换得到矩阵21715B b -?? = ??? ，则a b +=_____． 【答案】2 10． 111111111110!10!1!9!2!8!3!7!4!6!5!5!6!4!7!3!8!2!9!1!10!0! ++++++++++=_______． 【答案】 4 14175 11．已知等边ABC △的边长为2，设BC 边上的高为AD ，将ADC △沿AD 翻折使得点B 与点C A BCD -的外接球的体积为_____________． 【答案】 6 12． ()()()() 2 3 4 6 54326 54321031111x x x a x a x a x a x a x a x a x ---=++++++-对任意()0,1x ∈恒成立， 则3a =______________． 【答案】6 二、选择题（每题5分，满分20分） 高二下学期期末考试数学试题 （考试时间：120分钟 满分：150分 ） 一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1.过点)2,1(、)6,3(的直线的斜率为______________． 2.若i 是虚数单位，复数z 满足5)43(=-z i ,则z 的虚部为_________． 3.正四面体ABC S -的所有棱长都为2，则它的体积为________． 4.以)2,1(-为圆心且过原点的圆的方程为_____________． 5.从一副52张扑克牌中第一张抽到“Q ”，重新放回，第二张抽到一张有人头的牌，则这两个事件都发生的概率为________． 6.已知圆锥的高与底面半径相等，则它的侧面积与底面积的比为________． 7.正方体1111D C B A ABCD -中，二面角111C D A B --的大小为__________． 8.双曲线14 22 =-y x 的顶点到其渐近线的距离等于_________． 9.某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为9,11,10,,y x .已知这组数据的平均数为10，方差为2，则=-||y x __________． 10.在长方体1111D C B A ABCD -中，已知36,91==BC AA ， N 为BC 的中点，则直线11C D 与平面N B A 11的距离是___________． 11.棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -的8个顶点都在球面O 的表面上，E 、F 分别是棱1AA 、1DD 的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为________． 12.从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组,则骨科、脑外 科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是___________．(用数字作答) 13.在棱长为1的正方体盒子里有一只苍蝇，苍蝇为了缓解它的无聊，决定要考察这个盒子的每一个角，它从一个角出发并回到原处，并且每个角恰好经过一次，为了从一个角到另一个角，它或直线飞行，或者直线爬行，苍蝇的路径最长是____________．（苍蝇的体积不计） 14.设焦点是)5,0(1-F 、)5,0(2F 的双曲线C 在第一象限内的部分记为曲线T ，若点ΛΛ),,(),,2(),,1(2211n n y n P y P y P 都在曲线T 上，记点),(n n y n P 到直线02:=+-k y x l 的距离为),2,1(Λ=n d n ,又已知5lim =∞ →n n d ，则常数=k ___________． 二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15.一个圆柱形的罐子半径是4米，高是9米，将其平放，并在其中注入深2米的水，截面如图所示，水的体积是（ ）平方米. A ．32424-π B ．33636-π C ．32436-π D ．33648-π 第15题图 高二第一学期数学期末考试 一、填空题（每题3分，共39分） 1、已知数列的通项公式1 2+= n n a n ，求这个数列第6项____________ 2、在等差数列{}n a 中，1615210S d a ，则，且=-==_____________ 3、若等差数列{}n a 共有十项，其中奇数项的和是12.5，偶数项的和是15，则公差d =________ 4、已知等差数列{}{}n n b a 、满足5 32+= n n b a n n ，它们的前n 项之和分别记为n n T S 和，求 11 11T S 的值_______________ 5、设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a +=，则 52 S S =____________ 6、已知数列{a n }为等比数列，Sn 是它的前n 项和。若a 2· a 3=2a 1,且a4与2a 7等差中项为54 ， 则S 5＝__________ 7、已知向量a 与b 都是单位向量，它们的夹角为120?，且3= +b a k ，则实数k 的 值是 8、若向量a =)(,2x x ，b =)(3,2x -，且a ，b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是 . 9、设向量a 与b 的夹角为θ，)3,3(=a ，)1,1(2-=-a b ，则cos θ= ． 10、已知向量(4,0),(2,2),AB AC == 则BC AC 与的夹角的大小为 . 11、P 为ΔABC 所在平面上的点，且满足AP =AB +12 A C ，则ΔABP 与ΔABC 的面积之比是 _______． 12、对于n 个向量， 12n a ,a ,,a ,若存在n 个不全为零的实数12,,,n k k k 使得 120n k k k +++= 12n a a a 成立，则称向量 12n a ,a ,,a ,是线性相关的.按此规定，能使向 量(1,0),(1,1),(2,2)==-=123a a a 是线性相关的实数123,,k k k 的值依次为 13、若==k k 则,01 2 131 12 _____________。 二、选择题（每题3分，共12分） 曹杨二中高二期末数学试卷 2020.01 一. 填空题 1. 三个平面最多把空间分成 个部分 2. 若线性方程组的增广矩阵是121234c c ?? ?? ?，解为02x y =??=?，则12c c += 3. 若行列式312 27314k --中元素1-的代数余子式的值为5，则k = 4. 已知圆锥的轴截面是等边三角形，侧面积为6π，则圆锥的体积为 5. 已知四面体ABCD 的外接球球心在棱CD 上，且2CD =，3AB =，则外接球面上 两点A 、B 间的球面距离是 6. 在正方体1111ABCD A B C D -中，二面角1A BD A --的大小为 7. 若正四棱锥的地面边长为3，高为2，则这个正四棱锥的全面积为 8. 已知ABCD 是棱长为a 的正四面体，则异面直线AB 与CD 间的距离为 9. 若数列{}n a 满足112a =，212323n n a a a na n a +++???+=，*n ∈N ，则20a = 10. 某几何体的一条棱在主视图、左视图和俯视图中的长分别为1、2、3，则这条棱的长为 11. 对于实数x ，用{}x 表示其小数部分，例如{1}0=，{3.14}0.14=，若12{}33n n n a =?， *n ∈N ，则数列{}n a 的各项和为 12. 如图是一座山的示意图，山呈圆锥形，圆锥的底面半径为 10公里，侧棱长为40公里，B 是SA 上一点，且10AB =公 里，为了发展旅游业，要建设一条最短的从A 绕山一周到B 的观光铁路，这条铁路从A 出发后首先上坡，随后下坡，则 下坡段铁路的长度为 公里 二. 选择题 13. 在学习等差数列时，我们由110a a d =+，211a a d =+，312a a d =+，???，得到等差 数列{}n a 的通项公式是1(1)n a a n d =+-，像这样由特殊到一般的推理方法叫做（ ） A. 不完全归纳法 B. 完全归纳法 C. 数学归纳法 D. 分析法 2017-2018学年上海市松江二中高二下学期期末考试 数学试题 2018.06 一. 填空题 1. 若31010 r C C =，则r = 2. 函数21y x =-(0)x <的反函数是 3. 已知,{3,2,1,1,2,3}a b ∈---且a b ≠，则复数z a bi =+对应点在第二象限的概率 为 （用最简分数表示） 4. n a 是(3)n x -(2,)n n ≥∈N 展开式中x 的一次项系数，则2323333lim()n n n a a a →∞++???+= 5. 已知x 是1、2、3、x 、5、6、7这七个数据的中位数，且1、3、2x 、y -这四个数据的 平均数为1，则1y x -的最小值为 6. 如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直 径为1的圆，那么这个几何体的全面积为 7. 一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余 部分体积的比值为 8. 从1、2、3、4、5、6、7、8中任取三个数，能组成等差数列的概率是 9. 我校家长会学校邀请了6位同学的父母共12人，请这12位家长中的4位介绍对子女的 教育情况，则这4位中恰有一对是夫妻的概率是 （结果用分数表示） 10. 设集合{72,94,120,137,146}M =，甲、乙、丙三位同学在某次数学测验中的成绩分别 为a 、b 、c ，且a 、b 、c M ∈，a b c <≤，则这三位同学的考试成绩的所有可能的情况种 数为 11. 设集合12312{(,,,,)|{1,0,1},1,2,3,,12}i A x x x x x i =???∈-=???，则集合A 中满足条件 “123121||||||||9x x x x ≤+++???+≤”的元素个数为 12. 甲、乙、丙3位大学生同时应聘某个用人单位，3人能被选中的概率分别为25、34、13， 上海市普陀区高二（下）期末数学试卷 I 卷：一、填空题（共12小题，每小题3分，满分36分） 1．设集合A={﹣1，1}，B={a }，若A ∪B={﹣1，0，1}，则实数a=________． 2．直线y=x +1与直线x=1的夹角大小为________． 3．函数y=的定义域是________． 4．三阶行列式中，元素4的代数余子式的值为________． 5．设函数f （x ）=的反函数为f ﹣1（x ），若f ﹣1（2）=1，则实数m=________． 6．在△ABC 中，若AB=5，B=60°，BC=8，则AC=________． 7．设复数z=（a 2﹣1）+（a ﹣1）i （i 是虚数单位，a ∈R ），若z 是纯虚数，则实数a=________． 8．从5件产品中任取2件，则不同取法的种数为________（结果用数值表示） 9．无穷等比数列{a n }的公比为，各项和为3，则数列{a n }的首项为________． 10．复数z 2=4+3i （i 为虚数单位），则复数z 的模为________． 11．若抛物线y 2=2px （p ＞0）的准线经过点（﹣1，1），则抛物线焦点坐标为________． 12．某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储存温度x （单位：℃）满足函数关系y=e kx+b （e 为自然对数的底数，k 、b 为实常数），若该食品在0℃的保鲜时间为120小时，在22℃的保鲜时间是30小时，则该食品在33℃的保鲜时间是________小时． 二、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分） 13．顶点在直角坐标系xOy 的原点，始边与x 轴的正半轴重合，且大小为2016弧度的角属于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 14．底面的半径为1且母线长为的圆锥的体积为（ ） A ． B ． C ．π D ．π 15．设{a n }是等差数列，下列结论中正确的是（ ） A ．若a 1+a 2＞0，则a 2+a 3＞0 B ．若a 1+a 3＜0，则a 1+a 2＜0 C ．若0＜a 1＜a 2，则a 2 D ．若a 1＜0，则（a 2﹣a 1）（a 2﹣a 3）＞0 16．已知点A （0，1），B （3，2），向量=（﹣4，﹣3），则向量 =（ ） A ．（﹣7，﹣4） B ．（7，4） C ．（﹣1，4） D ．（1，4） 17．已知椭圆+=1（m ＞0 ）的左焦点为F 1（﹣4，0），则m=（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．9 18．若直线 l 1和l 2 是异面直线，l 1在平面 α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（ ） 201６学年度第一学期高二年级数学学科期末考试卷 (考试时间:1２0分钟 满分:150分 ） 一.填空题（１--6每小题4分,7--12每小题5分,共５4分） 1.已知复数i i z += 2(i 为虚数单位），则=||z ． ２．若)1,2(=d 是直线l 的一个方向向量,则l 的倾斜角的大小为 (结果用反三角函数值表示). ３.抛物线2 4y x =的焦点坐标为 . 4.6 2x ? - ? 的展开式中的常数项的值是 . ５.已知实数x 、y 满足不等式组5 2600 x y x y x y +≤??+≤? ?≥??≥?,则34z x y =+的最大值是 ． ６．已知虚数ααsin cos i z += 是方程0232 =+-a x x 的一个根,则实数 =a . 7.已知21,F F 为双曲线C:12 2 =-y x 的左右焦点,点P 在双曲线Ｃ上,1260F PF ∠=?,则 =?||||21PF PF ． 8.某校高二年级共有六个班,现从外地转入4名学生,要安排到该年级的两个班级且每班安排2 名，则不同的安排方案种数为 . 9. 设曲线C 的参数方程为23cos 13sin x y θ θ =+??=-+?（θ为参数),直线l 的方程为320x y -+=,则曲 线C 上到直线l 距离为 10 的点的个数为______＿＿____. 10.已知抛物线y x 32=上的两点Ａ、B 的横坐标恰是关于x 的方程02 =++q px x （,p q 是 常数)的两个实根,则直线AB 的方程是 . 11．在ABC ?中, AB 边上的中线2CO =，若动点 P 满足221 sin cos 2 AP AB AC θθ=?+?() R θ∈, 则 ()PA PB PC +?的 最 小 值 是 . 12．已知椭圆C:)0(1 22 22>>=+b a b y a x 的左右焦点分别为21,F F ,P 为椭圆Ｃ上任一点，M ＝||||||||2121PF PF PF PF ?+-。Ｍ的最大值为 ． 上海市闵行区高二（下）期末数学试卷 一、填空题 1．在空间中，若直线a与b无公共点，则直线a、b的位置关系是______． 2．若点H（﹣2，4）在抛物线y2=2px的准线上，则实数p的值为______． 3．若椭圆上一点P到其焦点F1的距离为6，则P到另一焦点F2的距离为______． 4．若经过圆柱的轴的截面面积为2，则圆柱的侧面积为______． 5．经过点（﹣2，2）且与双曲线﹣y2=1有公共渐近线的双曲线方程为______． 6．已知实数x、y满足约束条件则z=2x+4y的最大值为______． 7．一个圆锥的侧面积展开图是一个半径为2的半圆，则此圆锥的体积为______． 8．在平面直角坐标系x0y中，直线（t为参数）与圆（θ为参数）相切，切点在第 一象限，则实数a的值为______． 9．在北纬45°的线圈上有A、B两地，它们的经度差为90°，若地球半径为R，则A、B两地的球面距离为______． 10．设α与β是关于x的方程x2+2x+m=0的两个虚数根，若α、β、0在复平面上对应的点构成直角三角形，那么实数m=______． 11．如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱的长度都为4，则异面直线AB1与BC1所成的角是______（结果用反三角函数值表示）． 12．已知复数z满足|z|=3，则|z+4|+|z﹣4|的取值范围是______． 13．已知x、y、u、v∈R，且x+3y﹣2=0，u+3v+8=0，T=x2+y2+u2+v2﹣2ux﹣2vy，则T的最小值为______．14．已知曲线C的方程为F（x，y）=0，集合T={（x，y）|F（x，y）=0}，若对于任意的（x1，y1）∈T， 都存在（x2，y2）∈T，使得x1x2+y1y2=0成立，则称曲线C为曲线，下列方程所表示的曲线中，是曲线的有______（写出所有曲线的序号） ①2x2+y2=1；②x2﹣y2=1；③y2=2x；④|x|﹣|y|=1；⑤（2x﹣y+1）（|x﹣1|+|y﹣2|）=0． 上海中学高二期末数学试卷 2021.01 一. 填空题 1. 若复数 3i 12i a ++（a ∈R ，i 是虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为 2. 函数()i i n n f x -=?（n ∈N ，i 是虚数单位）的值域可用集合表示为 3. 已知方程22 3212x y λλ +=---+表示焦点在y 轴上的椭圆，则λ的取值范围是 4. 已知双曲线22 221x y a b -=（0a >，0b >）的一条渐近线方程为y =，它的一个焦点 在抛物线224y x =的准线上，则双曲线的方程为 5. 若点(3,1)是抛物线2y px =（0p >）的一条弦的中点，且弦的斜率为2，则p = 6. 把参数方程sin cos sin cos x y θθ θθ=-??=+? （θ为参数，θ∈R ）化成普通方程是 7. 已知F 是抛物线2y x =的焦点，A 、B 是该抛物线上的两点，||||3AF BF +=，则AB 的中点到y 轴的距离是 8. 已知复数z 满足条件||1z =，那么|i |z +的最大值为 9. 若曲线2||1y x =+与直线y kx b =+没有公共点，则实数k 、b 分别应满足的条件是 10. 已知1F 、2F 为双曲线22:1C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，1260F PF ∠=?， 则12||||PF PF ?= 11. 已知双曲线22 22:1x y C a b -=（0a >，0b >）的右焦点为F ，过点F 向双曲线的一条 渐近线引垂线，垂足为M ，交另一条渐近线于点N ，若73FM FN =，则双曲线的渐近 线方程为 12. 直线l 与抛物线24y x =交于A 、B 两点，O 为坐标原点，直线OA 、OB 的斜率之积 为1-，以线段AB l 交于P 、Q 两点，(6,0)M ， 则22||||MP MQ +的最小值为 二. 选择题 1. 已知椭圆2222122x y a b +=（0a b >>）与双曲线22 221x y a b -=有相同的焦点，则椭圆的离 心率为（ ） A. B. 1 2 C. D. 2019年上海市高二数学上期末试题附答案 一、选择题 1．在如图所示的算法框图中，若()3 21a x dx = -? ，程序运行的结果S 为二项式()5 2x +的展开式中3x 的系数的9倍，那么判断框中应填入的关于k 的判断条件是（ ） A ．3K < B ．3K > C ．2K < D ．2K > 2．把五个标号为1到5的小球全部放入标号为1到4的四个盒子中，并且不许有空盒，那么任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中的概率是（ ） A ． 3 20 B ． 720 C ． 316 D ． 25 3．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”.利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”.小华同学利用刘徽的“割圆术”思想在半径为1的圆内作正n 边形求其面积，如图是其设计的一个程序框图，则框图中应填入、输出n 的值分别为（ ） （参考数据：0 20sin 200.3420,sin()0.11613 ≈≈） A ．0 1180sin ,242S n n =?? B ．0 1180sin ,182S n n =?? C． 1360 sin,54 2 S n n =??D． 1360 sin,18 2 S n n =?? 4．如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于 A．1 4 B． 1 3 C．1 2 D． 2 3 5．2018年12月12日，某地食品公司对某副食品店某半月内每天的顾客人数进行统计得到样本数据的茎叶图如图所示，则该样本的中位数是（） A．45B．47C．48D．63 6．袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中随机摸出2个球，则与事件“至少有1个白球”互斥但不对立的事件是（） A．没有白球B．2个白球 C．红、黑球各1个D．至少有1个红球 7．《九章算术》是我国古代的数学名著，体现了古代劳动人民的数学智慧，其中第六章“均输”中，有一竹节容量问题，某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图，若输出m的值为67，则输入a的值为() 高二第一学期期末考试试卷 数学试题 注意：1．答卷前，将姓名、班级、层次、学号填写清楚．答题时，书写规范、表达准确． 2．本试卷共有21道试题，满分100分．考试时间90分钟． 一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求将最终结果直接填写在答题纸相应的横线上，每个空格填对得3分，否则一律零分． 1．若矩阵110A ?? ? =- ? ??? ，()121B =，则AB =__________． 2．求行列式的值：111 111124 -=__________． 3．经过点()2,1P -且与直线0l ：20x y -=平行的直线l 的点法向式方程为__________． 4．椭圆2 2 14y x +=的焦距为__________． 5．双曲线22 1916 y x -=的渐近线方程是__________． 6．平面上的动点P 到定点1F 、2F 距离之和等于12F F ，则点P 的轨迹是__________． 7．已知圆()2 24x a y -+=被直线1x y += 截得的弦长为a 的值为_________． 8．将参数方程22 2sin sin x y θ θ ?=+?=?（θ为参数）化为普通方程为__________． 9．若,x y 满足条件3 2x y y x +≤??≤?，则34z x y =+的最大值为__________． 10．设P 是抛物线22y x =上的一点，(),0A a （01a <<），则PA 的最小值是__________． 11．过直线y x =上的一点作圆()()2 2 512x y -+-=的两条切线1l ，2l ，当1l 与2l 关于直线y x =对称时，它们之间的夹角为__________． 12．已知点(),P x y 是线段220x y +-=（,0x y ≥）上的点，则 1 x y x ++的取值范围是______． 二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应的正确代号用2B 铅笔涂黑，选对得3分，不选、选错或者选出的代号超过一个，一律零分． 13．直线3450x y ++=的倾斜角是 （ ） （A ）3arctan 4 - （B ）3arctan 4 π+ （C ）3arctan 4π?? +- ??? （D ）3arctan 24π+ 范文 上海市2020年高二数学第二学期期末模拟考试卷 1/ 5 (一) 上海市高二第二学期期末模拟考试卷（一）一、填空题 1．在空间中，若直线 a 与 b 无公共点，则直线 a、b 的位置关系是______． 2．若点 H（﹣2，4）在抛物线 y2=2px 的准线上，则实数p 的值为______． 3．若椭圆上一点 P 到其焦点 F1 的距离为 6，则 P 到另一焦点 F2 的距离为 ______． 4．若经过圆柱的轴的截面面积为 2，则圆柱的侧面积为______． 5．经过点（﹣2，2）且与双曲线﹣y2=1 有公共渐近线的双曲线方程为______． 6．已知实数 x、y 满足约束条件则 z=2x+4y 的最大值为______． 7．一个圆锥的侧面积展开图是一个半径为 2 的半圆，则此圆锥的体积为______． 8．在平面直角坐标系 x0y 中，直线（t 为参数）与圆（θ 为参数）相切，切点在第一象限，则实数 a 的值为______． 9．在北纬45°的线圈上有 A、B 两地，它们的经度差为90°，若地球半径为 R，则 A、B 两地的球面距离为______． 10．设α 与β 是关于 x 的方程 x2+2x+m=0 的两个虚数根，若α、β、0 在复平面上对应的点构成直角三角形，那么实数m=______． 11．如图，正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的所有棱的长度都为4，则异面直线 AB1 与 BC1 所成的角是______（结果用反三角函数值表示）． 12．已知复数 z 满足|z|=3，则|z+4|+|z﹣4|的取值范围是______． 13．已知 x、y、u、v∈R，且 x+3y﹣2=0，u+3v+8=0，T=x2+y2+u2+v2﹣2ux﹣2vy，则 T 的最小值为______． 2018-2019学年上海市复旦附中高二（上）期末数学试卷 、填空题（本大题共 12题，每题3分，共36分） 1. ______________________________________ （ 3分）抛物线x 2= 4y 的准线方程为 ? 2 2 2. _______________________________________________________________ （ 3分）若方程--,-表示椭圆，则实教 m 的取值范围是 ____________________________________ . r-m nrl 3. （ 3分）若直线11： ax+2y - 10 = 0与直线12： 2x+ （a+3） y+5 = 0平行，则11与12之间的 距离为 _______ . 4. （3 分）过点（3, 3）作圆（x - 2） 2+ （y+1） 2= 1的切线，则切线所在直线的方程为 _________________________________________________________________ 5. （ 3分）若一条双曲线与 先-一化 1有共同渐近线，且与椭圆 8 则此双曲线的方程为 ________ . 6. （ 3分）已知三角形 ABC 的顶点A （- 3, 0） , B （3, 0）,若顶点C 在抛物线y 2= 6x 上移 动， 则三角形ABC 的重心的轨迹方程为 ______________ . 为参数，0段）上的点，贝U ||PQ|的取值范围是 ________ . & （ 3分）已知直线1: 4x - 3y+8 = 0，若P 是抛物线y 2= 4x 上的动点，则点P 到直线l 和它 到y 铀 的距离之和的最小值为 ______________ 那么V ? 的最大值为 ___________ 10. （3分）若关于x 的方程71^2= I K -a I -a 有两个不相等的实数根，则实数 a 的取值范 围是 _______ . n v 2 n 一一 11. （3分）已知直线I : ax+by = 0与椭圆 寸+士-二L 交于A, B 两点，若C （ 5,5），则口^（^ 的取值范围是 _______ . 7. （3分）设P , Q 分别为直线 （t 为参数，t CR ）和曲线:（0 9. （3分）如果M 为椭圆 c r 2 2 :二一上的动点, 2 2 N 为圆上的动点, 上海市某重点高中２0１1-2０12学年度第一学期 高二数学期终答案 (满分100分,９0分钟完成，允许使用计算器，答案一律写在答题纸上） 一、填空题:本大题共１2题，满分36分。请在横线上方填写最终的、最准确的、最完整的结果。每题填写 正确得3分，否则一律得0分。 1、 过点(23)A ，，且垂直于ＯA 的直线方程为___＿__________＿。 解：一个法向量(23)n =，,所以方程为2(2)3(3)0x y -+-=,即23130x y +-=。▋ 2、 直线l 的一个法向量(cos 1)n θ=， （θ∈R )，则直线l 倾角α的取值范围是_______。 解:tan cos [11]αθ=∈-，,所以倾角α的取值范围是3[0][)44 ππ π，，。▋ 3、 已知直线1l ：(3)(4)10k x k y -+-+=与2l ：2(3)230k x y --+=平行,则k 的值是＿_＿ __＿____＿_。 解: 342(3)(5)02(3)2 k k k k k --=--=--,所以3k =或5k =。 当3k =时，二直线分别为1l ：10y +=，2l :230y -=，平行； 当5k =时，二直线分别为1l :210x y -+=,2l ：4230x y -+=,平行。▋ 4、 直线l 的一个方向向量(1 2)d =，,则l 与0x y -=的夹角大小为_＿＿___＿___。(用反三角函数表示) 解： 1(1 1)d =，,所以夹角θ满足cos θ= ,所以夹角为。▋ 5、 已知圆C 与直线0x y -=及40x y --=都相切,圆心在直线0x y +=上，则圆Ｃ的方程 为＿＿＿__＿_＿__＿________＿____。 解:22(1)(1)2x y -++=。▋ 上海市青浦区2017学年第二学期高二年级期终学业质量调研 数学试卷 （满分150，时间120分钟） 考生注意： 1.答卷前,考生务必在答题纸上将学校、班级、考试号、姓名等填写清楚. 2.请按照题号在答题纸各题答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题 卷上答题无效. 3. 本试卷共有21道试题,可以使用规定型号计算器. 一、填空题(本大题满分54分)本大题共有12题,1-6每题4分,7-12每题5分.考生应在答 题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得分,否则一律得零分 1. 复数i z 43-=（i 是虚数单位）的虚部是 【答案】4- 2. 平面直角坐标系中点）（2,1到直线012=++y x 的距离为 【答案】5 3. 62)1 2(x x +的展开式中的常数项是 【答案】60 4. 已知正六棱柱的底面边长为2，侧棱为3，则该正六棱柱的体积为 【答案】18 5. 已知球的半径为R ，B A 、为球面上两点，若B A 、之间的球面距离是3 R π，则这两点间的距离等于 【答案】R 6. 如图，以长方体1111D C B A ABCD -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若1→ DB 的坐标为)2,3,4(，则1→ AC 的坐标为 【答案】)2,3,4(- 7. 过点)1,3(的直线l 与圆4)2()2(:22=-+-y x C 相交于B A 、两点，当弦AB 的长取最小值时，直线l 的倾斜角等于 【答案】 4 π 8. 抛物线x y 42=上一动点P 到点)2,0(A 的距离与P 到该抛物线准线距离之和的最小值为 【答案】5 9. 若双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的41 ，则该双 曲线的渐近线方程是 【答案】x y 3 3 ± = 10. 平面上两组平行线互相垂直，一组由6条平行线组成，一组由5条平行线组成，则它们能围成的矩形个数是 【答案】150 11. 设α和β是关于x 的方程022=++m x x 的两个虚数根，若O 、、βα在复平面对应的点构成直角三角形，那么实数=m 【答案】2 12. 已知曲线C 的方程为0),(=y x F ，集合}0),(|),{(==y x F y x T ，若对于任意的T y x ∈),(11，都存在 T y x ∈),(22，使得02121=+y y x x 成立，则称曲线C 为∑曲线.下列方程所表示的曲线中,是∑曲线的有（写出 所有∑曲线的序号） ①12 22 =+y x ；②122=-y x ；③x y 22=；④1||||+=x y 【答案】①③ 二. 选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题 纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分. 13. “直线l 垂直于平面α内的无数条直线”是“α⊥l ”的一个（） 【A 】充分不必要条件 【B 】必要不充分条件 【C 】充要条件 高二第一学期数学期末考试试卷 闭卷 满分：100分 完成时间：90分钟 一、填空题（每小题3分，满分36分） 1．过点)3,1(P ，与直线01y 5x 2=+-平行的直线的? ???点方向式方程是_________________ 2．平行于直线010y 3x 4=-+，且与其距离为2的直线方程是 ______________ 3．过点（1，1）的圆22 2=+y x 的切线方程为 ______________ 4．AB 是过椭圆12 422=+y x 的左焦点F 倾斜角为3π的弦，则AB 的长为 5．与椭圆4 x 2 + 9 y 2 = 36 有相同的焦点,且过点(－3，２)的椭圆方程为______________ 6．若直线01y x 3=--与0ay x =-的夹角是 6π，则实数a 的值为 ______________ 7．椭圆8822=+ky kx 的一个焦点坐标是（3，0），则=k ______________ 8．由动点P 向圆x 2+y 2=2引两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，∠APB=60°，则动点P 的轨迹 方程________________________ 9、过椭圆x y F 22 13625 1+=的焦点作直线交椭圆于A 、B 两点，F 2是此椭圆的另一焦点，则?ABF 2的周长 为 10．若直线a x y +=与曲线2x 4y -= 有并且仅有一个公共点，则实数a 的取值范围 11． 如图，把椭圆22 12516 x y +=的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于1234567,,,,,,P P P P P P P 七个点， F 是椭圆的一个焦点，则1234567PF P F P F P F P F P F P F ++++++= {}{},1)2at y ()t x ()y ,x (B ,1y )4x ()y ,x (A .122222=+-+-==+-=设集合 φ≠B A ,t 使得若存在实数，则实数a 的取值范围是 ______________ 徐汇区统考高二期末数学试卷 2018.1 一、填空题（本大题共有12题，满分40分，第1-8题每题3分，第9-12题每题4分） 1 ．直线310x +=的倾斜角的大小为 ． 2．若矩阵A 得1 55 132121A ???? += ? ?--????，则A = ． 3．抛物线22y x =的准线方程为 ． 4．双曲线22 1916 x y -=的左焦点到渐近线的距离为 ． 5．行列式631 25142 k --中元素3-的代数余子式的值为5，则k = ． 6．过点()0,1且以直线230x y +-=的一个法向量为一个方向向量的直线方程为 ． 7．设点(),x y 是曲线2cos sin x y θθ =-+??=?（θ为参数，且02θπ≤<）上的任意一点，则y x 的最大 值为 ． 8．若点()3,a 在两条平行直线2610x y -+=和340x y --=之间（不在两条直线上），则实数 a 的取值范围是 ． 9．在ABC ?中，已知4A B =，1A C = ，A BC S ?=A B A C ?的值为 ． 10．设不等式组0 41x y x y x -? 表示的平面区域为M ，若直线()2y k x =+上存在区域M 内的点， 则实数k 的取值范围是 ． 11．已知()()1,11,1A B -、，点P 在圆221x y +=上运动，若(),OP m OA nOB m R n R =+∈∈，则 mn 的最小值为 ． 12．以下是矩阵的一种运算：a b x ax by c d y cx dy +?????? ?= ? ? ?+?????? ，该运算的几何意义为平面上的点(),x y 在矩阵a b c d ?? ???的作用下变成点()ax by cx dy ++．若曲线22421x xy y ++=在矩阵11a b ?? ??? 的作用下变换成曲线2221x y -=，则a b +的值为 ． 二、选择题（本大题共有4题，满分16分，每题4分）每题有且只有一个正确答案． 13．设a R ∈，则“4a =”是“直线1:230l ax y +-=与2:20l x y a +-=平行”的（ ）． ()A 充分不必要条件 ()B 必要不充分条件 ()C 充要条件 ()D 既 不充分也不必要条件 14．已知a 、b 均为单位向量，且=2a b a b +-，则a 与b 的夹角的余弦值为（ ）． ()A 13- ()B 1 3 ()C 2 3- () D 23 15．已知椭圆的焦点1F 、2F ，P 是椭圆上的一个动点，如果延长1F P 到Q ，使得2PQ PF =，那么动点Q 的轨迹是（ ）． ()A 圆 ()B 椭圆 ()C 双曲线的一支 ()D 抛物线 16．已知曲线1:2C y x -=与曲线222:4C x y λ+=恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是（ ）． ()A (] [),10,1-∞- ()B (]1,1- ()C [)1,1- ()D []()1,01,-+∞ 三、解答题 17．若关于,x y 的方程组23 21 x y ax y -=??+=?有唯一解，求实数a 的取值范围并求出此方程组的解． 18．已知()()cos ,sin ,2sin ,2cos OP OQ θθθθ==+-，其中[)0,2θπ∈，求PQ 的最大值，并指出PQ 取得最大值时OP 与OQ 夹角的大小．上海高二数学期末考试试题
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