第一章集合
课题:§0 高中入学第一课（学法指导）
教学目标：了解高中阶段数学学习目标和基本能力要求，了解新课程标准的基本思路，了解高考意向，掌握高中数学学习基本方法，激发学生学习数学兴趣，强调布置有关数学学习要求和安排。
教学过程：
一、欢迎词：
1、祝贺同学们通过自己的努力，进入高一级学校深造。希望同学们能够以新的行
动，圆满完成高中三年的学习任务，并祝愿同学们取得优异成绩，实现宏伟目标。
2、同学们军训辛苦了，收获应是：吃苦耐劳、严肃认真、严格要求
3、我将和同学们共同学习高中数学，暂定一年，…
4、本节课和同学们谈谈几个问题：为什么要学数学？如何学数学？高中数学知识
结构？新课程标准的基本思路？本期数学教学、活动安排？作业要求？
二、几个问题：
1.为什么要学数学：数学是各科之研究工具，渗透到各个领域；活脑，训练思维；计算机等高科技应用的需要；生活实践应用的需要。
2.如何学数学：
请几个同学发表自己的看法→共同完善归纳为四点：抓好自学和预习；带着问题认真听课；独立完成作业；及时复习。注重自学能力的培养，在学习中有的放矢，形成学习能力。
高中数学由于高考要求，学习时与初中有所不同，精通书本知识外，还要适当加大难度，即能够思考完成一些课后练习册，教材上每章复习参考题一定要题题会做。适当阅读一些课外资料，如订阅一份数学报刊，购买一本同步辅导资料.
3.高中数学知识结构：
书本：高一上期（必修①、②），高一下期（必修③、④），高二上期（必修⑤、选修系列），高二下期（选修系列），高三年级：复习资料。
知识：密切联系，必修（五个模块）＋选修系列（4个系列，分别有2、3、6、10个模块）
能力：运算能力、逻辑思维能力、空间想像能力、分析和解决实际问题的能力、应用能力。
4.新课程标准的基本理念：
①构建共同基础，提供发展平台；②提供多样课程，适应个性选择；③倡导积极主动、勇于探索的学习方式；④注重提高学生的数学思维能力；⑤发展学生的数学应用意识；⑥与时俱进地认识“双基”；⑦强调本质，注意适度形式化；⑧体现数学的文化价值；⑨注
重信息技术与数学课程的整合；⑩建立合理、科学的评价体系。
5.本期数学教学、活动安排：
本期学习内容：高一必修①、②，共72课时，必修①第一章13课时(4+4+3+1+1)＋第二章14课时(6+6+1+1)＋第三章9课时(3+4+1+1)；必修②第一章8课时（2+2+2+1+1）＋第二章10课时（3+3+3+1）＋第三章9课时（2+3+3+1）＋第四章9课时（2+4+2+1）.
上课方式：每周新授5节，问题集中1节。
学习方式：预习后做节后练习；补充知识写在书的边缘；
主要活动：学校、全国每年的数学竞赛；数学课外活动（每期两次）。
6.作业要求：（期末进行作业评比）
①课堂作业设置两本；②提倡用钢笔书写，一律用铅笔、尺规作图，书写规范；③墨迹、错误用橡皮擦擦干净，作业本整洁；④批阅用“？”号代表错误，一般点在错误开始处；⑤更正自觉完成；⑥练习册同步完成，按进度交阅，自觉订正；⑦当天布置，当天第二节晚自习之前交（若无晚自习，则第二天早读之前交）。⑧每次作业按A、B、C、D四个等级评定，分别得分5、4、3、1，每本作业本完成后自行统计得分并上交科代表审核、教师评定等级，得分90％～98％为优良等级，98％及以上为优秀等级；
三、了解情况：初中数学开课情况；暑假自学情况；作图工具准备情况。
课题: §1.1集合的含义与表示（一）
一. 教学目标：
l.知识与技能
(1)通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；
(2)知道常用数集及其专用记号；
(3)了解集合中元素的确定性.互异性.无序性；
(4)会用集合语言表示有关数学对象；
(5)培养学生抽象概括的能力.
2. 过程与方法
(1)让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程，感知集合的含义.
(2)让学生归纳整理本节所学知识.
3. 情感.态度与价值观
使学生感受到学习集合的必要性，增强学习的积极性.
二. 教学重点.难点
重点：集合的含义与表示方法.
难点：表示法的恰当选择.
教学过程：
一、新课引入：
集合是近代数学最基本的内容之一，许多重要的数学分支都建立在集合理论
的基础上，它还渗透到自然科学的许多领域，其术语的科技文章和科普读物中比
比皆是，学习它可为参阅一般科技读物和以后学习数学知识准备必要的条件。
二、讲授新课：
1.集合有关概念的教学：
考察几组对象：① 1～20以内所有的质数；②到定点的距离等于定长的所有点；③所有的锐角三角形；④x2, 3x+2, 5y3-x, x2+y2；⑤东升高中高一级全体学生；⑥方程230
+=的所有实数根；⑦隆成日用品厂2005年8月生产的所有童车；⑧2005年1月, x x
广东所有出生婴儿。
A.提问：各组对象分别是一些什么？有多少个对象？（数、点、形、式、体、解、物、人）
B.概念：一般地，我们把研究对象统称为元素（element）,把一些元素组成的总体叫作集合（set）（简称集）。
C.讨论集合中的元素的特征：
分析“好心的人”与“1,2,1”是否构成集合？→结论：对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，是互异的，是无序的。即集合元素三特征。
确定性：某一个具体对象，它或者是一个给定的集合的元素，或者不是该集合的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。
互异性：同一集合中不应重复出现同一元素。
无序性：集合中的元素没有顺序。
D.分析下列对象，能否构成集合，并指出元素：不等式x-3>0的解；3的倍数；方程x2－2x＋1＝0的解； a,b,e,x,y,z；最小的整数；周长为10cm的三角形；中国古代四大发明；全班每个学生的年龄；地球上的四大洋；地球的小河流
E. 集合相等：构成两个集合的元素是一样的.
2.集合的字母表示：
①集合通常用大写的拉丁字母表示，集合的元素用小写的拉丁字母表示。
②如果a是集合A的元素，就说a属于(belong to)集合A，记作：a∈A；
如果a不是集合A的元素，就说a不属于(not belong to)集合A，记作：a?A。
③练习：设B＝{1,2,3,4,5}，则5 B，0.5 B， 3 B， -1 B。
3.最常见的数集：
①分别写出全体自然数、全体整数、全体有理数、全体实数的集合。
②这些数集是最重要的，也是最常见的，我们用符号表示：N、Z、Q、R。
③正整数集的表示，在N右上角加上“*”号或右下角加上“+”号。
④练习：填∈或?：0 N，0 R，3.7 N，3.7 Z，
三.小结：①概念：集合与元素；属于与不属于；②集合中元素三特征；③常见数集。
四、巩固练习： 1.口答：P5 思考；P6 1题。
2.思考：x ∈R ，则{3,x,x 2－2x}中元素x 所应满足的条件？(变：－2是该集合元素)
3.探究：A={1,2}，B={{1},{2},{1,2}}，则A 与B 有何关系？试试举同样的例子
课 题:§1.2 集合的含义与表示（二）
教学要求：更进一步理解集合、元素等概念，掌握集合的表示方法，会用适当的方法表示集合。
教学重点：会用适当的方法表示集合。
教学难点：选择恰当的表示方法。
教学过程：
一、复习准备：
1.提问：集合概念？什么叫元素？集合中元素有什么特征？集合与元素有何关系？
2.集合A={x 2
＋2x ＋1}的元素是 ，若1∈A ，则x= 。
3.集合{1,2}、{(1,2)}、{(2,1)}、{2,1}的元素分别是什么？有何关系？
二、讲授新课：
1. 列举法的教学：
① 比较：{方程210x -=的根}、{1,1}-、2{|10}x R x ∈-=
② 列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来。→P4 例1
③ 练习：分别表示方程x(x 2－1)=0的解的集合、15以内质数的集合。
注意：不必考虑顺序,“,”隔开；a 与{a}不同。
2. 描述法的教学：
① 描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，一般形式为{|}x A P ∈，其中x 代表元素，p 是确定条件。 →P5 例2
② 练习： A.“不等式x-3>0的解”与“抛物线y ＝x 2-1上的点的坐标”用描述法表示
B. 用描述法表示方程x(x 2－1)=0的解的集合、方程组???=+=+2732223y x y x 解集。
C.用描述法表示：所有等边三角形的集合、方程x 2+1=0的解集。
③ 简写原则：从上下文关系来看，x R ∈、x Z ∈明确时可省略，如{|32,}x x k k Z =+∈,{|0}x x >
强调：描述法表示集合应注意集合的代表元素，如{(x,y)|y= x 2+3x+2}与 {y|y= x 2
+3x+2}不同，只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如：{整数}，即代表整数集Z 。
辨析：这里的{ }已包含“所有”的意思，所以不必写{全体整数}。下列写法{实数集}，
{R}也是错误的。
说明：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一
般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。
④练习：试用适当的方法表示方程x 3-8x=0的解集。
三、巩固练习：
1. P5 3,4题。
2.用适当的方法表示集合：大于0的所有奇数
3.集合A ＝{x|43
x -∈Z ，x ∈N}，则它的元素是 。 4.已知集合A ＝{x|-3 是 。 5.已知集合A ＝{x|x ＝2n ，且n ∈N}，B ＝{x|x 2 －6x ＋5=0}，用∈或?填空： 4 A ，4 B ，5 A ，5 B 6.设A ＝{x|x ＝2n ，n ∈N ，且n<10}，B ＝{3的倍数}，求属A 且属B 的元素集合。 7.若集合{1,3}A =-，集合2{|0}B x x ax b =++=，且A B =，则a= ， b= 。 四.小结：集合的两种表示方法，关键是会用适当的方法表示集合。 课 题:§2 集合间的基本关系 一. 教学目标: 1．知识与技能 (1)了解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。 (2)理解子集.真子集的概念。 (3)能使用venn 图表达集合间的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用. 2. 过程与方法 让学生通过观察身边的实例，发现集合间的基本关系，体验其现实意义. 3.情感.态度与价值观 (1)树立数形结合的思想 ． (2)体会类比对发现新结论的作用. 二.教学重点.难点 重点：集合间的包含与相等关系，子集与其子集的概念. 难点：难点是属于关系与包含关系的区别． 三.学法 1.学法：让学生通过观察.类比.思考.交流.讨论，发现集合间的基本关系. 教学过程： 一、复习准备： 1.提问：集合的两种表示方法？ 如何用适当的方法表示下列集合？ （1）10以内3的倍数； （2）1000以内3的倍数 2.用适当的符号填空： 0 N ； Q ； -1.5 R 。 3.导入：类比实数的大小关系，如5<7，2≤2，试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？ 二、讲授新课： 1. 子集、空集等概念的教学： ①比较下面几个例子，试发现两个集合之间的关系： {3,6,9}A =与*{|3,333}B x x k k N k ==∈≤且； {}西乡一中学生=C 与{}西乡一中高一学生=D ； {|(1)(2)0}E x x x x =--=与{0,1,2}F = ②定义：如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集（subset ）。记作：()A B B A ??或 读作：A 包含于（is contained in ）B ，或B 包含（contains ）A 当集合A 不包含于集合B 时，记作A B ? ③用Venn 图表示两个集合间的“包含”关系： A ④集合相等定义：A B B A ??且，则A B =中的元素是一样的，因此A B =. ⑤真子集定义：若集合A B ?，存在元素x B x A ∈?且，则称集合A 是集合B 的真子集（proper subset ）。记作：A B （或B A ）。 读作：A 真包含于B （或B 真包含A ）。 ⑥练习：举例子集、真子集、集合相等；探讨2{|30}x x +=。 ⑦空集定义：不含有任何元素的集合称为空集（empty set ），记作：?。并规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 ⑧填空：1 N ，{1} N 。 → 比较：a A ∈与{}a A ?。 ⑨讨论：A 与A 有和关系？ A B B C ??,，则由什么结论？ 2.教学例题：（1）写出集合{,,}a b c 的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集。 （2）已知集合{|32}A x x =->, {|5}B x x =≥，并表示A 、B 的关系。 出示例题 → 师生共练 → 推广：n 个元素的子集个数 3. 练习：已知集合A ＝{x|x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{1,2}，C ＝{x|x<8,x ∈N},用适当符号填空： A B ，A C ，{2} C,2 C 三、巩固练习： 1. 练习： 书P9 1，2，3，4，5题。 2. 探究：已知集合{|5}A x a x =<<，{|2}B x x =≥，且满足A B ?，求实数a 的取值范围。 四.小结： 子集、真子集、空集、相等的概念及符号；Venn 图图示；一些结论。注意包含与属于 课 题:§3.1 集合的基本运算（一） 交集、并集 一. 教学目标： 1. 知识与技能 (1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的交集与并集. (2)能使用Venn 图表达集合的运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用. 2. 过程与方法 学生通过观察和类比，借助Venn 图理解集合的基本运算. 3.情感.态度与价值观 (1)进一步树立数形结合的思想. (2)进一步体会类比的作用. (3)感受集合作为一种语言，在表示数学内容时的简洁和准确. 二.教学重点.难点 重点：交集与并集的概念. 难点：理解交集概念.符号之间的区别与联系． 三.学法 1.学法：学生借助Venn 图，通过观察.类比.思考.交流和讨论等，理解集合的基本运算.教学过程： 一、复习准备： 1.已知A={1,2,3}, S={1,2,3,4,5},则A S ， {x|x ∈S 且x ?A}= 。 2.用适当符号填空：0 {0} 0 Φ Φ {x|x 2＋1＝0,X ∈R} {0} {x|x<3且x>5} {x|x>6} {x|x<－2或x>5} {x|x>－3} {x>2} 二、讲授新课： 1.教学交集、并集概念及性质： ① 探讨：设{4,5,6,8}A =，{3,5,7,8}B =，试用Venn 图表示集合A 、B 后，指出它们的公共部分（交）、合并部分（并）. ② 讨论：如何用文字语言、符号语言分别表示两个集合的交、并？ ③ 定义交集：一般地，由所有属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫作A 、B 的交集（intersection set ），记作A ∩B ，读“A 交B ”，即：A ∩B ＝{x|x ∈A 且x ∈B}。 ④ 讨论：A ∩B 与A 、 B 、B ∩A 的关系？ → A ∩A ＝ A ∩Φ＝ ⑤ 图示五种交集的情况：… A ⑥练习（口答）： A＝{x|x>2}，B＝{x|x<8}，则A∩B＝； A＝{等腰三角形}，B＝{直角三角形}，则A∩B＝。 ⑦定义并集：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集（union set）。记作：A∪B，读作：A并B。用描述法表示是：… ⑧分析：与交集比较，注意“所有”与“或”条件；“x∈A或x∈B”的三种情况。 ⑨讨论：A∪B与集合A、B的关系？→ A∪A＝ A∪Ф＝ A∪B与B∪A ⑩练习（口答）： A＝{3,5,6,8}，B＝{4,5,7,8}，则A∪B＝ ; 设A＝{锐角三角形}，B＝{钝角三角形}，则A∪B＝ ; A＝{x|x>3}，B＝{x|x<6}，则A∪B＝，A∩B＝。 2.教学例题： 1.出示例1：设A＝{x|-1 格式→结果分析→数轴分析→比较：解方程组→变：A＝{x|-5≤x≤8} 2. 指导看书P11 例1、P12 例2。 3.练习：设A＝{(x,y)|4x＋y＝6}，B＝{(x,y)|3x＋2y＝7}，求A∩B。 格式→几何意义→注意结果→变题：B：4x＋y＝3 或 B:8x＋2y＝12 三、巩固练习： 1.若{-2，2x,1} {0,x2,1}＝{1,4}，则x的值。 2.已知x∈R，集合A={-3,x2,x＋1}，B={x－3，2x－1,x2＋1}，如果A∩B={-3}，求A∪B。（解法：先由A∩B={-3}确定x） 3.已知集合A＝{x|a-1 4.若A＝{(x,y)|y＝6 x }，B＝{(x,y)|y＝x＋1}，则A B＝； 四.小结：交集与并集的概念、符号、图示、性质；熟练求交集、并集（数轴、图示）。 课题: §3.2集合的基本运算（二）全集与补集 一. 教学目标： 1. 知识与技能 (1)会求两个简单集合的交集与并集. (2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集. (3)能使用Venn图表达集合的运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用. 2. 过程与方法 学生通过观察和类比，借助Venn图理解集合的基本运算. 3.情感.态度与价值观 (1)进一步树立数形结合的思想. (2)进一步体会类比的作用. (3)感受集合作为一种语言，在表示数学内容时的简洁和准确. 二.教学重点.难点 重点：交集与并集，全集与补集的概念. 难点：理解交集与并集的概念.符号之间的区别与联系． 三.学法与教学用具 1.学法：学生借助Venn 图，通过观察.类比.思考.交流和讨论等，理解集合的基本运算.教学过程： 一、复习准备： 1. 提问：.什么叫子集、真子集、集合相等？符号分别是怎样的？ 2. 提问：什么叫交集、并集？符号语言如何表示？ 3. 讨论：已知A ＝{x|x ＋3>0}，B ＝{x|x ≤－3}，则A 、B 、R 有何关系？ 二、讲授新课： 1.教学全集、补集概念及性质： ① 预备题：U={全班同学}、A={全班参加足球队的同学}、B={全班没有参加足球队的同学}，则U 、A 、B 有何关系？ ②结论：集合B 是集合U 中除去集合A 之后余下来的集合。 → 画图分析 ③定义全集（universe set ）：含有我们所研究问题中所涉及的所有元素构成的集合，记作U ，是相对于所研究问题而言的一个相对概念。 ④定义补集（complementary set ）：已知集合U, 集合A ?U ，由U 中所有不属 于A 的元素组成的集合，叫作A 相对于U 的补集，记作：U C A ，读作：“A 在U 中补集”，即{|,}U C A x x U x A =∈?且。补集的Venn 图表示如右： （说明：补集的概念必须要有全集的限制） 练：U={2,3,4}，A={4,3}，B=φ，则U C A = ，U C B = ； → 图形分析 ⑤ 讨论：A.在解不等式时，把什么作为全集？在研究图形集合时，把什么作为全集？ B. Q 的补集如何表示？意为什么？ ⑥ 练习（口答）： 设U ＝{x|x<8，且x ∈N}，A ＝{x|(x-2)(x-4)(x-5)＝0}，则U C A ＝ ； 设U ＝{三角形}，A ＝{锐角三角形}，则U C A ＝ 。 2.教学例题： 课本P13例3 例4 补充例题：U ＝{x|x<13，且x ∈N}，A ＝{8的正约数}，B ＝{12的正约数}，求U C A 、U C B 。 出示 → 学生试逐个求 → 再试用图示求 3.练习： 设U=R ，A ＝{x|－1 独立练习 → 方法小结：如何数轴分析 4.探究：结合图示分析，下面的一些集合运算基本结论。 A ∩ B ＝B ∩A, A ∩B ?A, A ∩B ?B, A ∩φ=φ; A ∪B= B ∪A, A ∪B ?A, A ∪B ?B, A ∪φ=A; A ∩C U A=φ, A ∪C U A=S, C U (C U A)=A 5.小结： 补集、全集的概念；补集、全集的符号；图示分析（数轴、Venn 图）。 三、巩固练习： 1.已知U={x ∈N|x ≦10}，A={小于10的正奇数}，B={小于11的质数}，则C U A= 、C U B= 。 2.已知集合A={0,2,4,6}, C U A={-1,-3,1,3}，C U B={-1,0,2}，则B= 。（ 解法：Venn 图法 3.定义A —B={x|x ∈A ，且x ?B}，若M={1,2,3,4,5},N={2,4,8}，则N —M= 。 四.小结:全集与补集 §4.1-2高中数学第一章测试题 班级 姓名 学号 1、集合{|22},{|13}A x x B x x =-<<=-<≤，那么A B = （ ） A 、{|23}x x -<< B 、{|12}x x <≤ C 、{|21}x x -<≤ D 、{|23}x x << 2、集合{|12},{|13}A x x B x x =-<<=<<，那么A B = （ ） A 、? B 、{|11}x x -<< C 、{|12}x x << D 、{|23}x x << 3、若集合{1,0,1,2},{|(1)0}M N x x x =-=-=，则M N = （ ） A 、{1,0,1,2}- B 、{0,1,2} C 、{1,0,1}- D 、{0,1} 4、 满足条件{1}{1,2,3}M =的集合M 的个数是 （ ） A 、4 B 、3 C 、2 D 、1 5、设全集{,,,,}I a b c d e =，集合{,,},{,,}M a b c N b d e ==，那么I I M N 痧是（ ） A 、? B 、{}d C 、{,}a c D 、{,}b e 6、设集合{|101},{|5}A x Z x B x Z x =∈--=∈≤≤≤，则A B 中元素的个数是 （ ） A 、11 B 、10 C 、16 D 、15 7、已知全集{1,2,3,4,5,6,7},{3,4,5},{1,3,6}U M N ===，则集合{2,7}等于（ ） A 、M N B 、U U M N 痧 C 、U U M N 痧 D 、M N 8、如果集合{}1->=x x P ，那么 （ ） A 、P ?0 B 、{}P ∈0 C 、P ∈? D 、{}P ?0 9、设全集{,,,}U a b c d =，集合{,,},{,}M a c d N b d ==，则()U M N =e（ ） A 、{ b } B 、{ d } C 、{ a, c } D 、{b, d } 10、设全集{ }6,5,4,3,2,1=U ，集合{}{}5,4,2,,3,2,1==B A ，则()U A B 等于e（ ） A 、{}2 B 、{}6 C 、{ }6543,1，，， D 、{}5,431，， 11、设全集{1,2,3,4,5,6,7}S =，集合{1,3,5,7}A =，集合{3,5}B =，则 ( ) A 、 B A S = B 、()S S A B =e C 、()S S A B =e D 、()()S S S A B =痧 12、已知集合{1,2,3,4}A =，那么A 的真子集的个数是（ ） A 、15 B 、16 C 、3 D 、4 13、已知集合{(,)|2},{(,)|4}M x y x y N x y x y =+==-=，那么集合M N 为（ ） A 、3,1x y ==- B 、(3,1)- C 、{3,1}- D 、{(3,1)}- 14、设集合{1,2,3,4,5},{1,2,3},{2,5}U A B ===，则()U A B =e （ ） A 、{2} B 、{2,3} C 、{3} D 、{1,3} 15、若{1,2,3,4},{1,2},{2,3}U M N ===，则()U M N =e（ ） A 、{1,2,3} B 、{2} C 、{1,3,4} D 、{4} 16、设集合{1,2,3,4,5,6},{|26}P Q x R x ==∈≤≤，那么下列结论正确的是（ ） A 、P Q P = B 、P Q Q Y C 、P Q Q = D 、P Q P ü 17、设全集是实数集R ，{|22}M x x =-≤≤，N x x =<{|}1，则R M N e等于（ ） A 、{|}x x <-2 B 、{|}x x -<<21 C 、{|}x x <1 D 、{|}x x -≤<21 18、已知集合{|0},{|10}M x x a N x ax =-==-=，若M N N =，则实数a 等于（ ） A 、1 B 、1- C 、1或1- D 、1或1-或0 19、已知集合{|2,},{|},A x x x R B x x a =∈=≤≤且,A B ?则实数a 的取值范围是 20、设集合{5,(1)}A a =+，集合{,}B a b =。若{2}A B =，则A B = 21、设集合{|12},{|}M x x N x x a =-<=≤≤，若M N ≠?，则a 的取值范围是 22、增城市数、理、化竞赛时，高一某班有24名学生参加数学竞赛，28名学生参加物理竞赛，19名学生参加化学竞赛，其中参加数、理、化三科竞赛的有7名，只参加数、物两科的有5名，只参加物、化两科的有3名，只参加数、化两科的有4名。若该班学生共有48名，问没有参加任何一科竞赛的学生有多少名？ 第二章函数 §2.1函数的概念 教材分析：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之 间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型 化的思想． 教学目的：（1）在上一小节学习的基础上理解用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关 系在刻画函数概念中的作用； （2）了解构成函数的要素； （3）会求一些简单函数的定义域和值域； （4）能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域； 教学重点：理解函数的模型化思想，用合与对应的语言来刻画函数； 教学难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示； 教学过程： 一．引入课题 复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想。 思考: (1) y=1(x ∈R)是函数吗？ (2) y=x 与y= 是同一函数吗？ 几百年来，随着数学的发展，对函数概念的理解不断深入，对函数概念的描述越来越清 晰。现在，我们从集合的观点出发，还可以给出以下的函数定义。 （先认识几个对应） 二．新课教学 （一）函数的有关概念 1．函数的概念： 2x x 设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个 数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数． 记作： y=f(x)，x ∈A ． 其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做 函数值，函数值的集合{f(x)| x ∈A }叫做函数的值域． 注意： ○1 “y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”； ○ 2 函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x 对应的函数值，是一个数，而不是f 乘以x ． ③ 两个函数相同必须是它们的定义域和对应关系分别完全相同. ④有时给出的函数没有明确说明定义域,这时它的定义域就是自变量的允许取值范围. 2． 构成函数的三要素： 定义域、对应关系和值域 3．区间的概念 （1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间； 说明：① 对于[]b ,a ，()b ,a ，[)b a ，，(]b ,a 都称数a 和数b 为区间的端点，其中a 为左 端点，b 为右端点，称b-a 为区间长度； ② 引入区间概念后，以实数为元素的集合就有三种表示方法： 不等式表示法：3 ③ 在数轴上，这些区间都可以用一条以a 和b 为端点的线段来表示，在图中，用实 心点表示包括在区间内的端点，用空心点表示不包括在区间内的端点； ④ 实数集R 也可以用区间表示为（-∞，+∞），“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负 无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”，还可以把满足x ≥a, x>a, x ≤b, x 数x 的集合分别表示为[a,+∞]、（a,+∞）、(-∞,b)、(-∞,b)。（见演示） （二）例题讲解 1. 一次函数y=ax+b(a ≠0)定义域是R,值域是R.。 二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)的定义域是R ，值域是 当a ＞0时,为: 当a ＜0时,为 : 2. 某山海拔7500m, 海平面温度为25°C,气温是高度的函数, 而且高度每升高100m, 气温下降0.6°C.请你用解析表达式表示出气温T 随高度x 变化的函数,并指出其定义域和值域. 3. 已知 f (x)=3x 2－5x+2, 求f (3),f ( ), f (a), f (a+1) , f [f (a)]. 244{}ac b a y y -≥2 44{} ac b a y y -≤ 4.下列函数中与函数y=x 相同的是 ( B ). A ．2y = B. y C . y = 三．课堂练习 P31. 练习1， 2 （解答见课件）. 四．小结 在初中函数定义的基础上进一步用集合与对应的语言描述了函数的定义及其相关概念，介绍了求函数定义域和判断同一函数的典型题目，引入了区间的概念来表示集合。 五．作业 1. P38.习题2-2 A 组 1， 2. 2. 若f (x) = ax 2 , 且 求 a. §2.2 函数的表示法 教学目标： 1.使学生掌握函数的常用的三种表示法； 2.使学生能根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，了解函数不同表示法的优缺点； 3.使学生理解分段函数及其表示法，会处理某些简单的分段函数问题； 4.培养学生数形结合与分类讨论的数学思想方法，激发学生的学习热情。 教学重点： 函数的三种表示法及其相互转化，分段函数及其表示法 教学难点： 根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，分段函数及其表示法。 教学过程： 一、新课引入 复习提问：函数的定义及其三要素是什么？ 函数的本质就是建立在自变量ｘ的集合Ａ上对应关系，在研究函数的过程中，我们常 用不同的方法表示函数，可以从不同的角度帮助我们理解函数的性质，是研究函数的重要手段。 请同学们回忆一下函数有哪些常用的表示法？ 答：列表法是、图像法、解析法 二、新课讲解 请同学们阅读课本P28-P29例2以上部分内容，思考下列问题： 1. 列表法是、图像法、解析法的分别是怎样定义的？ 2. 这三种表示法各有什么优、缺点？ 在学生回答的基础上师生共同总结:(多媒体课件显示) 函数的三种表示法并不是相互独立的，它们可以相互转化，是有机的一个整体，像我们f f ??=?? 非常熟悉的一次函数、二次函数，我们都可以用列表法是、图像法、解析法来表示和研究它们。 下面我们再通过几个具体实例来研究函数的列表法是、图像法、解析法的相互转化和应用。 例1、 请画出下列函数的图像。 ,0,0x x y x x x ≥?==?-≤? 解：图像为第一和第二象限的角平分线， 如图2-5所示 图2-5 本题体现的是由数到形的变化，是数形结合的数学思想方法。 问1.如何作出函数1y x =-的图像？ 2.如何作出函数1y x =-的图像？ 3. 如何作出函数23y x =+-的图像？ 4.思考：如何由函数y x =的图像得到函数y x a b =++的图像？ 5.试求函数y x =与函数y=1的图像围成的图形的面积。 例2、 国内跨省市之间邮寄信函，每封信函的质量和对应的邮资如表2-5: (多媒体课件显示) 表2-5 画出图像，并写出函数的解析式。 分析：要让学生明白当信函质量020m <≤时邮资M=1.20是信函质量m 的函数，是一种典型的多对一的函数，可以通过多媒体动画演示让学生体会。 解：邮资M 是信函质量m 的函数，函数图像如图2-6所示 图2-6 函数解析式为： 1.20,020 2.40,2040 3.60,4060 4.80,60806.00,80100 m m M m m m <≤??<≤??=<≤??<≤?<≤?? 注：像这样在定义域内的不同区间上对应着不同的解析式的函数叫分段函数 1. 分段函数是一个函数，而不是几个函数； 2. 分段函数的定义域是所有区间的并集，值域是各段函数值域的并集； 3. 分段函数的求解策略：分段函数分段解。 例3、 某质点在30s 内运动速度v 是时间t 的函数，它的图像如图2-7。用解析法表示这个函数，并求出9s 时质点的速度。(多媒体课件显示) 解：速度是时间的函数，且在不同的区间上对应这不同的解析式，因此速度是时间的分段函数，我们应当分段处理。 1.当05t ≤≤时，可设 (0)v kt b k =+≠，将（0，10）和（5，15）代入，得 10155b k b =??=+? 10v t ∴=+ 请同学们拿出笔和纸算出 510t ≤≤，1020t ≤≤，2030t ≤≤时所对应的解析式。 ∴ 10,053,510()30,1020 390,2030 t t t t v t t t t +≤ (9)3927(/)v cm s =?= 问1.如何求质点在t=19s 、20s 、0.2s 时的速度呢？ 2.求((9))v v 的值； 3.当()27(/)v t cm s =时，对应的时间t 是多少？ 3解法1：（分段函数分段解） ①当05t ≤<时， ()1027v t t =+= 解得17t =（舍） ②当510t ≤<时， ()327v t t == 解得9t = ③当1020t ≤<时， ()3027v t =≠ 无解 ④当2030t ≤≤时， ()39027v t t =-+= 解得21t = 综上可知9t =或21 解法2：（数形结合）由v 与t 图像可知只有510t ≤<和2030t ≤≤时，()27(/)v t cm s =才可能成立，故()39027v t t =-+=或 ()327v t t == 解得9t =或21 三、思考交流 第1、2题。 四、课堂练习 第1、2、3题。 五、课堂小结 师生共同归纳本节主要内容 1. 函数的三种表示法和各自的优缺点； 2.分段函数及其解法； 3.函数解析式的求法。 六、布置作业 P34习题2-2 A组第1、2题。 §2.23函数解析式的求法 教学目标：让学生了解函数解析式的求法。 重点：对f的了解，用多种方法来求函数的解析式 难点：待定系数法、配凑法、换元法、解方程组法等方法的运用。 教学过程 例1.求函数的解析式 (1) f9[（x+1)= , 求f (x); 答案：f (x)=x2－x＋1（x≠1） 练习1：已知f( +1)= x+2 ,求f(x) 答案：f (x)=x2－1(x≥1) (2) f (x) = 3x2+1, g (x) = 2x －1 , 求f[g(x)];答案：f[g(x)]＝12x2－12x＋4 练习2：已知：g(x)=x+1,f[g (x)]=2x2+1,求f(x-1) 答案：f(x-1)=2x2-8x+9 (3)如果函数f (x)满足af (x)+f()=ax,x∈R且x≠0,a为常数，且a≠±1,求f (x)的表达式。答案：f (x)= (x∈R且x≠0) 练习3：2f (x) － f (－x) = lg (x+1), 求 f (x). 答案：f(x)= lg(x+1)+lg(1－x) (－1 例2.已知f (x)是一次函数，并且满足3f (x+1) - 2f (x-1)＝2x+17,求f (x). 答案：f (x)=2x+7. 练习4：已知f (x)是二次函数，满足f(0)=1且f (x+1) - f (x)＝2x,求f (x) 答案：f (x) = x2- x+1 例3.设f(x)是R上的函数,且满足f(0)=1，并且对任意实数x,y 有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)，求f(x) 答案：f (x) =x2+x+1 练习5：函数f(x)对任何x∈R恒有f(xx)=f(x1)+f(x2),已知f(8)=3, 则f()= 例4.已知函数y=f(x)的图像如图所示，求f(x) 练习6：已知函数f(x)的图像是由两条射线和开口向下的抛物线组成， 求f(x)解析式 例5.已知定义在R上的函数y=f(x)关于直线x=2对称并且x∈[0,2]上的解析式为y=2x-1,则f (x)在x∈[2,4]上的解析式为y=7-2x 练习7：设函数y=f(x)关于直线x=1对称，若当x≤1时，y=x2+1, 则当x>1 时，f(x)= x2-4x+5 课堂小结：求函数的解析式的方法较多，应根椐题意灵活选择，但不论是哪种方法都应注意自变量的取值范围，对于实际问题材，同样需注意这一点，应保证各种有关量均有意义。布置作业： 1、若g(x)=1-2x , f[g(x)] = (x≠0),求f()的值。 2、已知f(x - )=x + , 求f(x-1)的表达式. 3、已知f(x)=9x+1,g(x)=x,则满足f[g(x)]= g[f(x)] 的x的值为多少？ 4、已知f(x)为一次函数且f[f(x)] = 9x+4,求f(x). 教后反思： 2.3 映射 教学目标：1.使学生了解映射的概念、表示方法； 2.使学生了解象、原象的概念； 3.使学生通过简单的对应图示了解一一映射的概念； 4.使学生认识到事物间是有联系的，对应、映射是一种联系方式。 教学重点：映射、一一映射的概念 教学难点：映射、一一映射的概念 教学方法：讲授法 教学过程： （I）复习回顾 在初中学过一些对应的例子（投影）； 一．实例分析 １. 集合Ａ＝｛全班同学｝，集合Ｂ＝（全班同学的姓｝，对应关系是：集合Ａ中的每一个同学在集合Ｂ中都有一个属于自己的姓. ２. 集合Ａ＝｛中国，美国，英国，日本｝，Ｂ＝{北京，东京，华盛顿，伦敦｝，对应关系是：对于集合Ａ中的每一个国家，在集合Ｂ中都有一个首都与它对应. ３. 设集合Ａ＝｛１,－３,２,３,－１,－２｝，集合Ｂ＝｛９，０，４，１，５｝,对应关系是：集合Ａ中的每一个数，在集合Ｂ中都有一个其对应的平方数. 三个对应的共同特点： （１）第一个集合中的每一个元素在第二个集合中都有对应元素； （２）对于第一个集合中的每一个元素在第二个集合中的对应元素是唯一的. 二．抽象概括 1.映射的概念 两个集合Ａ与Ｂ间存在着对应关系，而且对于Ａ中的每一个元素x，Ｂ中总有唯一的一个元素y与它对应，就称这种对应为从Ａ到Ｂ的射映，Ａ中的元素x称为原像，Ｂ中的对应元素y称为x的像，记作f:x y . 注意：（1）映射有三个要素：两个集合，一种对应法则，缺一不可； （2）A，B可以是数集，也可以是点集或其它集合。这两个集合具有先后顺序：符号“f：A→B”表示A到B的映射，符号“f：B→A”表示B到A的映射，两者是不 同的； （3）集合A中的元素一定有象，并且象是唯一的，但两个（或两个以上）元素可以允许有相同的象；例：“A={0,1,2},B={0,1,1/2},f:取倒数”就不可以构成映射，因为A中元素0在B中无象 （4）集合B中的元素在A中可以没有原象，即使有也可以不唯一； （5）A={原象}，B {象}。 2.思考交流 （1）Ｐ３７练习１ （2）函数与映射有什么区别和联系？ 结论： 1. 函数是一种特殊的映射;(数集到数集的映射) ２. 映射是函数的推广。 3. 一一映射（一种特殊映射） （1）A中每一个元素在B中都有唯一的像与之对应； （2）A中的不同元素的像也不同； （3）B中的每一个元素都有原像。 三．知识应用 1. 已知集合A＝{x│x≠0，x∈R}，B＝R，对应法则是“取负倒数”
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