19：反比例函数的应用
一、选择题
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5 【答案】B 。
【考点】反比例函数综合题。
【分析】过A 、B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，如图，
∵双曲线x
k =
经过点A （2，2），
∴k ＝2×2＝4，而点B （4，m ）在4y x
=上，
∴4?m＝4，解得m=1，即B 点坐标为（4，1）， ∴S △AOB ＝S △AOC ＋S 梯形ABDC －S △BOD ＝ 12
×2×2＋
12
×（2＋1）×（4－2）－
12
×4×1＝3。
故选B 。
2. （江苏泰州3分）某公司计划新建一个容积V(m 3
)一定的长方体污水处理池，池的底面积S(m 2)与其深度h （m ）之间的函数关系式为)0(≠=
h h
V S ，这个函数的图象大致是
【答案】C 。
【考点】反比例函数的图像和性质。
【分析】因为池的底面积S(m 2)与其深度h （m ）之间的函数关系为反比例函数的一部分，所以根据反比例函数的图像特征，直接得出结果。故选C 。
3.（江苏徐州2分）平面直角坐标系中，已知点O(0，0)、A(0，2)、B(1，0)，点P 是反比例函数1y x
=-
图象上的一个动点，过点P 作PQ⊥x 轴，垂足为点Q 。
若以点O 、P 、Q 为顶点的三角形与?OAB 相似，则相应的点P 共有
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
D
A
B
C
【答案】D。
【考点】相似三角形的判定，反比例函数的图象。
【分析】Rt?OAB两直角边的比是1
2
，故只要Rt?OPQ两直角边的比也是
1
2
即可。由
1
y
x
=-知
x y
与异号，从而有
11
1221
x x
x x
==
和
::::
，解之，得
2
x x
=±=，所以相应的点P
为
22
??
--
????
，
，
22
???
-
?
? ?
????
，，。
4．（河北省3分）根据图1所示的程序，得到
了y与x的函数图象，如图2．若点M是y轴正
半轴上任意一点，过点M作PQ∥x轴交图象于
点P，Q，连接OP，OQ．则以下结论：
①x＜0 时，
2
y
x
=②△OPQ的面积
为定值．③x＞0时，y随x的增大而增大．
④MQ=2PM．⑤∠POQ可以等于90°．其
中正确结论是
A、①②④
B、②④⑤
C、③④⑤
D、②③⑤
【答案】B。
【考点】反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积。【分析】由图1知，该函数为
()
()
2
4
x<
x
y
x>
x
?
-
??
=?
?
??
，据此分析：
①、x＜0，y=
2
x
-，∴①错误；
②、当x＜0时，y=
2
x
-，当x＞0时，y=
4
x
，设P（a，b），Q（c，d），则ab=﹣2，cd=4，∴△OPQ的面积是()
11
3
22
a b cd
-+=d=3，∴②正确；
③、x＞0时，y随x的增大而减小，∴③错误；
④、∵ab=﹣2，cd=4，∴④正确；
⑤、因为∠POQ=90°也行，∴⑤正确，正确的有②④⑤。故选B。
5.（陕西省3分）如图，过y轴正半轴上的任意一点P，作x
轴的平行
线，分别与反比例函数
4
x
y=-和
2
x
y=的图象交于点A和点B，若点C是x轴上任意一点，
连接AC、BC、则△ABC的面积为
A、3
B、4
C、5
D、6
【答案】A。
【考点】反比例函数综合题。
【分析】设P（0，b）（b＞0），
∵直线APB∥x轴，∴A，B两点的纵坐标都为b，
∵点A在反比例函数
4
x
y=-的图象上，点B在反比例函数
2
x
y=的图象上，
∴A点坐标为（
4
b
-，b），B点坐标为（
2
b
，b）。
∴AB＝2
b
－（
4
b
-）＝
6
b
。∴S
△ABC
＝
1
2
?AB?OP＝
1
2
·
6
b
?b＝3。故选A。
6.（甘肃兰州4分）如图，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标
轴，点C在反比例函数
2
k2k1
y
x
++
=的图象上．若点A的坐标为（﹣2，﹣2），
则k的值为
A、1
B、﹣3
C、4
D、1或﹣3
【答案】A。
【考点】矩形的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】设C（x，y）．
∵四边形ABCD是矩形，点A的坐标为（﹣2，﹣2），
∴B（﹣2，y）、D（x，﹣2）。
∵矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，
∴由B、C两点所在直线的斜率得
y2
2x
-
=
-
，即xy=4①。
又∵点C在反比例函数
2
k2k1
y
x
++
=的图象上，∴xy=k2+2k+1②。
由①②，得k2+2k﹣3=0，即（k﹣1）（k+3）=0，∴k=1或k=﹣3 ∵k＞0，∴k=1。故选A。
7.（福建漳州3分）如图，P (x，y)是反比例函数y＝3
x
的图象在第一象限分支上的
一个动点，PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，随着自变量x的增大，矩形OAPB的
面积
A ．不变
B ．增大
C ．减小
D ．无法确定
【答案】A 。
【考点】反比例函数系数k 的几何意义。
【分析】因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S 是个定值，即S= 12
|k|，所以随着x 的逐渐增大，矩形OAPB 的面积将不变。
故选A 。 二、填空题
1.（浙江衢州4分）在直角坐标系中，有如图所示的Rt△ABO，AB⊥x 轴于点B ，斜边
AO=10，sin∠AOB=
35
，反比例函数()0k y k >x
=
的图象经过AO 的中点C ，且与AB 交
于点D ，则点D 的坐标为 ▲ ． 【答案】（8，
32
）。
【考点】反比例函数综合题，锐角三角函数的定义，勾股定理，曲线上点的坐标与方程的关系。
【分析】由斜边AO=10，sin∠AOB=
35
，根据锐角三角函数的定义可得到AB=6，再由勾股定
理得到OB=8，即得到A 点坐标为（8，6），从而得到AO 的中点C 的坐标（4，3），代入反比例函数解析式确定4312k =?=，从而得反比例函数的解析式12y x
=。令x =8，得32
y =
，
即可得到D 点的坐标（8，
32
）。
2.（浙江宁波3分）如图，正方形A
1B 1P 1P 2的顶点P 1、P 2在反比例函数
2(0)y x x
=
>的图象上，顶点A 1、B 1分别在x 轴、y 轴的正半轴上，再在
其右侧作正方形P 2P 3A 2B 2，顶点P 3在反比例函数2(0)y x x
=
>的图象上，
顶点A 2在x 轴的正半轴上，则点P 3的坐标为 ▲ ．
【答案】1+11-）。
【考点】反比例函数综合题，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，曲线上点的坐标与方程的关系。
【分析】作P 1⊥y 轴于C ，P 2⊥x 轴于D ，P 3⊥x 轴于E ，P 3⊥P 2D 于F ，设P 1（a ，
2a
），则
CP 1=a ，OC=
2a
，
∵四边形A 1B 1P 1P 2为正方形，∴Rt△P 1B 1C≌Rt△B 1A 1O≌Rt△A 1P 2D ， ∴OB 1=P 1C=A 1D=a 。∴OA 1=B 1C=P 2D= 2a
－a 。
∴OD=a ＋
2a
－a =
2a
。∴P 2的坐标为（
2a
，
2a
－a ）。
把P 2的坐标代入反比例函数2(0)y x x
=>，
得到a 的方程，（
2a
－a ）·
2a
=2，
解得a =－1（舍）或a =1。∴P 2（2，1）。 设P 3的坐标为（b ，
2b
），
又∵四边形P 2P 3A 2B 2为正方形，∴Rt△P 2P 3F≌Rt△A 2P 3E 。∴P 3E=P 3F=DE=2b
。
∴OE=OD＋DE=2＋2b
。∴2＋
2b
=b ，解得b =1（舍），b =1+
∴
2
b
=
1。∴点P 3的坐标为 1+11）。
3.（广西桂林3分）双曲线y 1、y 2在第一象限的图象如图，14y x
=
，过y 1上的任意一点A ，
作x 轴的平行线交y 2于B ，交y 轴于C ，若S △AOB =1，则y 2的解析式是 ▲ ．
【答案】26y x
=
。
【考点】反比例函数系数k 的几何意义。 【分析】根据14y x
=
，过y 1上的任意一点A ，得出△CAO 的面积为2，由S △AOB =1，
得出S △CBO =3，即132
xy =，从而得出y 2的解析式：26y x
=
。
4.（湖南张家界3分）如图，点P 是反比例函数x
y 6=图像上的一点，
则矩形PEOF 的面积是 ▲ . 【答案】6。
【考点】反比例函数系数k 的几何意义。 【分析】∵点P 是反比例函数 x
y 6=
图象上的一点，∴S=|k|=6。
5.（山东济南3分）如图，矩形ABCD 的边AB 与y 轴平行，顶点A 的坐标 为(1，2)，点B 、D 在反比例函数()60y x >x
=
的图象上，则点C 的坐标为 ▲ ．
【答案】(3，6)。
【考点】点的坐标与方程的关系，矩形的性质。
【分析】∵顶点A 的坐标为(1，2)，点B 、D 在反比例函数()60y x >x
=
的图象上，
∴点B 、D 的坐标分别为(3，2)，(1，6)。∴点C 的坐标为(3，6)。
6.（湖北武汉3分）如图， ABCD 的顶点A ，B 的坐标分别是A （－1，0），B （0，－2），顶点C ，D 在双曲线k y x
=
上，
边AD 交y 轴于点E ，且四边形BCD E 的面积是△A BE 面积的5倍，则k = ▲ . 【答案】12。
【考点】反比例函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，解二元一次方程组，反比例函数的性质。
【分析】如图，过C 、D 两点作x 轴的垂线，垂足为F 、G ，D G 交
BC 于M 点，过C 点作CH ⊥DG ，垂足为H ，
∵CD ∥A B，CD=AB ，∴△C DH ≌△ABO （H L ）。 ∴CH =AO =1，DH =OB =2。 设C （m +1，n ），D （m ，n +2），
则（m+1）n =m （n+2）=k ，解得n =2m 。
设直线AD 解析式为y ax b =+，将A 、D 两点坐标代入得
0m 2m 2a b a b -+=??+=+?，解得1
1a b =??
=?
∴直线AD 解析式为1y x =+，E （0，2），BE =4。 ∴S △A B E =12
×BE ×AO =2。 ∵S
四边形B C D E
=5S △A B E ，∴S △A B E +S
四边形B E D M
=10，即2+4×m=10，解得m =2。
∴n=2m=4，
∴k =（m+1）n=3×4=12。
7.（湖北十堰3分）如图，平行四边形AOBC 中，对角线交于点E ，双曲线k y x
=
(k >0)经过A 、E 两点，若平行四边形AOBC 的面积为18，则k= ▲ . 【答案】6。
x
y
B
A
C D O
【考点】反比例函数综合题，反比例函数的性质，三角形中位线定理，平行四边形的性质。
【分析】过A 作AD⊥OB 于D ，过E 作EF⊥OB 于F ，设A （x ，k x
），B （a ，0）。由三角形的中位线定理得：EF=
12
AD=
2k x
，DF=
12
（a x -），OF=
2
a x +。∴E（
2
a x +，
2k x
）。
∵E 在双曲线上，∴
2
2a x k k x
+?
=。∴3a x =。 ∵平行四边形的面积是18，∴18k a x
?
=，即318k x x
?
=，∴6k =。
8.（湖北孝感3分）如图，点A 在双曲线1y x
=上，点B 在双曲线3y y
=上，
且AB∥x 轴，C 、D 在x 轴上，若四边形ABCD 为矩形，则它的面积为 ▲ . 【答案】2。
【考点】反比例函数系数k 的几何意义，矩形的性质。
【分析】根据双曲线的图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的矩形的面积S 的关系S=|k|即可判断：过A 点作AE⊥y 轴，垂足为E ，
∵点A 在双曲线1y x
=
上，∴四边形AEOD 的面积为1。
∵点B 在双曲线 3y y
=上，且AB∥x 轴，∴四边形BEOC 的面积为3。
∴四边形ABCD 为矩形，则它的面积为3－1=2。 9.（湖北随州4分）如图：点A 在双曲线k y x
=上，AB 丄x 轴于B ，且△AOB 的面
积S △AOB =2，则k = ▲ ． 【答案】﹣4。
【考点】反比例函数系数k 的几何意义。
【分析】根据反比例函数图象所在的象限判断出k 的符号，再根据S △AOB =2求出k 的值即可：
∵反比例函数的图象在二、四象限，∴k ＜0， ∵S △AOB =2，∴|k |=4，∴k =﹣4。
10.（四川南充3分）过反比例函数k y x
=
（k≠0）图象上一点A ，分别作x 轴，y 轴的垂线，
垂足分别为B ，C ，如果△ABC 的面积为3．则k 的值为 ▲ ．
【答案】6或﹣6。
【考点】反比例函数系数k 的几何意义。
【分析】∵△ABC 的面积为反比例函数比例系数的绝对值的一半，∴12
|k|=3，解得k=6或
﹣6。
11.（安徽芜湖5分）如图，在平面直角坐标系中有一正方形AOBC,反比例函数k y x
=
经过正方形AOBC 对角线的交点，半径为(4-的圆内切于△ABC，则k 的值为 ▲ 。 【答案】4。
【考点】相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的内切圆性质，点的坐标与方
程的关系。
【分析】设圆心为D ，反比例函数与正方形AOBC 对角线的交点为P （p ，p ），作 DN ，PM 垂直于X 轴于N ，M 。易知△OPM∽△ODN。∴O M O P O N
O D
=
。由勾股定理可以求出，
OM= p ， ON=p 4p 22
+
=+－。一方面OB=2OM=2p ，另
一方面OB=ON ＋NB=p 24p 2++-+。∴2p= p ＋2，即p=2。又∵P 在反比例函数k y x
=
上，∴=4k 。
12（云南玉溪3分）如图，点A 在反比例函数k y x
=的图象上，点B 、C 分别
在x 、y 轴上，若S 矩形ABOC = 4，则 ▲ ． 【答案】k = 4。
【考点】反比例函数系数的几何意义。
【分析】设点A 的坐标为（x ，y ），由S 矩形ABOC = 4得x y =4。由点A 在反比例函数k y
x
=
的图象上，得k = 4。
13.（贵州遵义4分）如图，已知双曲线()011>=x
x
y ，()042>=
x x
y ，点P
为双曲线x
y 42=
上的一点，且PA⊥x 轴于点A ，PB⊥y 轴于点B ，PA 、PB
分别交双曲线x
y 11=
于D 、C 两点，则△PCD 的面积为 ▲ ．
【答案】
98
。
【考点】反比例函数系数k 的几何意义。 【分析】由已知，双曲线 ()011>=
x
x
y ，()042>=
x x
y ，且PA⊥x 轴于点A ，PB⊥y 轴于
点B ，PA 、PB 分别交双曲线 x
y 11=
于D 、C 两点，
∵BC·BO=1，BP·BO=4，∴4BC= BP，CP=3BC 。 ∵AO·AD=1，AO·AP=4，∴4AD= AP，DP=34
AP 。
∴△PCD 的面积为
11399C P D P=
3BC AP=
BC AP=
2
24
8
8
????
??。
14.（贵州黔南5分）如图，⊙A 和⊙B 都与x 轴和y 轴相切，圆心A 和圆心B 都在反比例函数1y
x
=
的图象上，则图中阴影部分的面积等于 ▲ （结果保留π）．
【答案】π。
【考点】反比例函数图象的对称性，圆的对称性。
【分析】根据两函数的对称性和圆的对称性，由题意得，图中阴影部分的面积即为一个圆的面积。
∵⊙A 和x 轴和y 轴相切，∴A 到两轴的距离相等，即横纵坐标相等。 设A 的坐标是（a ，a ）()0a >， ∵点A 在函数1y x
=的图象上，0a >，
∴1a a
=
，即1a =。
∴阴影部分的面积等于221a πππ=?=。
三、解答题
1.（广西河池8分）如图，李老师设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一个自制类似天平的仪器的左边固定托盘A 中放置一个重物，在右边活动托盘B(可左右移动)中放置一定质量的砝码，使得仪器左右平衡．改变活动托盘B 与点O 的距离x (cm)，观察活动托盘B 中砝码的质量y (g)的变化情况．实验数据记录如下表：
(1)把上表中(x ，y )的各组对应值作为点的坐标，在坐标系中描出相应的点，用平滑的曲线连接这些点；
(2)观察所画的图象，猜测y 与x 之间的函数关系，求出函数关系式并加以验证； (3)当砝码的质量为24g 时，活动托盘B 与点O 的距离是多少？ (4)将活动托盘B 往左移动时，应往活动托盘B 中添加还是减少砝码？ 【答案】解：(1) 描点作图如右：
（2）y 与x 之间的函数关系是反比例函数关系。
设y 与x 之间的函数关系式为k y x
=
，
把10 , 30x y ==代入，得300k =。 ∴y 与x 之间的函数关系式为()3000y x >x
=。
验证；1520253030030030030020 , 15 , 12 , 1015
20
25
30
y y y y =
==
==
==
=。
（3）由30024x =
，解得，12.5x =。
∴当砝码的质量为24g 时，活动托盘B 与点O 的距离是12.5 cm 。
（4）将活动托盘B 往左移动时，应往活动托盘B 中添加砝码。
【考点】描点作图，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，反比例函数的性质。 【分析】(1) 描点作图即可。
（2）根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，用待定系数法可求y 与x 之间的函数关系式。并分别将x 值代入验证。 （3）只要把24y =代入300y x
=
，即可求活动托盘B 与点O 的距离。
（4）根据反比例函数的性质，活动托盘B 往左移动时，即y 值减小，则x 值增大，即应往活动托盘B 中添加砝码。
2.（广西钦州7分）如图，在平面直角坐标系中，点O 为原点，反 比例函数k y x
=
的图象经过点(1，4)，菱形OABC 的顶点A 在函数的
图象上，对角线OB 在x 轴上． （1）求反比例函数的关系式； （2）直接写出菱形OABC 的面积．
【答案】解：（1）∵k y x
=
的图象经过点(1，4)， ∴41
k =
，即k ＝4 。
∴所求反比例函数的关系式为4y x
=。
（2）S 菱形OABC ＝8
。
【考点】点的坐标与方程的关系，菱形的性质。
【分析】（1）根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将点A 的坐标(1，4)代入k y x
=即可求出k ，从而求出反比例函数的关系式。 （2）根据菱形的性质，可得S 菱形OABC ＝4×
12
×1×4＝8。
3.（湖南郴州8分）用洗衣粉洗衣物时，漂洗的次数与衣物中洗衣粉的残留量近似地满足反比例函数关系．寄宿生小红、小敏晚饭后用同一种洗衣粉各自洗一件同样的衣服，漂洗时，小红每次用一盆水（约10升），小敏每次用半盆水（约5升），如果她们都用了5克洗衣粉，第一次漂洗后，小红的衣服中残留的洗衣粉还有1.5克，小敏的衣服中残留的洗衣粉还有2克．
（1）请帮助小红、小敏求出各自衣服中洗衣粉的残留量y 与漂洗次数x 的函数关系式； （2）当洗衣粉的残留量降至0.5克时，便视为衣服漂洗干净，从节约用水的角度来看，你认为谁的漂洗方法值得提倡，为什么？
【答案】解：（1）设小红、小敏衣服中洗衣粉的残留量与漂洗次数的函数关系式分别为：
11k y x
=
，22k y x
=
将1111.5
x y =??
=?和2212
x y =??
=?分别代入两个关系式得：
11.51
k =，221
k =
解得：
132
k =，
22k =。
∴小红的函数关系式是：132y x
=
，小敏的函数关系式是：22y x
=
。
（2）把y =0.5分别代入两个函数得：
1
30.52x =，
2
20.5x =。
解得：x 1=3，x 2=4，
10×3=30（升），5×4=20（升）。
答：小红共用30升水，小敏共用20升水，小敏的方法更值得提倡。
【考点】反比例函数的应用。
【分析】（1）设小红、小敏衣服中洗衣粉的残留量与漂洗次数的函数关系式分别为：11k y x
=
，
22k y x
=
，后根据题意代入求出1k 和2k 即可。
（2）当y =0.5时，求出此时小红和小敏所用的水量，后进行比较即可。
4.（广东广州12分）已知Rt△ABC 的斜边AB 在平面直角坐标系的x 轴上，点C （1，3）在反比例函数k y x
=
的图象上，且sin∠BAC＝．
（1）求k 的值和边AC 的长； （2）求点B 的坐标．
【答案】解：（1）∵点C （1，3）在反比例函数k y
x
=的图
象上，
∴把C （1，3）代入得，31
k =
，即k ＝3。
∵sin∠BAC ＝35
， ∴sin∠BAC ＝33A C
5
＝。
∴AC＝5。
（2）∵△ABC 是直角三角形，∴∠DAC=∠DCB。 又∵sin∠BAC＝
35，∴tan∠DAC＝
34
。∴
BD 3C D
4
＝
。
又∵CD＝3，∴BD＝94
。∴AB＝1＋9
134
4
＝
。∴B 点的坐标为（134
，0）。
【考点】待定系数法求反比例函数解析式，解直角三角形。 【分析】（1）先根据C 点的坐标在反比例函数k y x
=的图象上，从而得出k 的值，再根据且
sin∠BAC=
35
，得出AC 的长。
（2）先根据已知条件，得出∠DAC=∠DCB，从而得出CD 的长，根据点B 的位置即可
求出正确答案。
5.（湖北潜江仙桃天门江汉油田8分）如图，已知直线AB 与x 轴交
于点C ，与双曲线x
k y =
交于A （3，
3
20）、B （-5，a ）两点.AD⊥x 轴
于点D ，BE∥x 轴且与y 轴交于点E.
（1）求点B 的坐标及直线AB 的解析式； （2）判断四边形CBED 的形状，并说明理由.
【答案】解：（1）∵双曲线x
k y =
过A （3，
3
20），
∴k =20。把B （－5，a ）代入x
y 20=
，得4-=a 。 ∴点B 的坐标是（－5，
－4）。
设直线AB 的解析式为n mx y +=，
将 A （3，
3
20）、B （－5，－4）代入得，
?????+-=-+=n
m n
m 5433
20
， 解得：38,34==n m 。∴直线AB 的解析式为：3834+=x y 。 （2）四边形CBED 是菱形。理由如下：
点D 的坐标是（3，0），点C 的坐标是（2，0）， ∵ BE∥x 轴，∴点E 的坐标是（0，－4）。
而CD =5， BE=5， 且BE∥CD， ∴四边形CBED 是平行四边形.。
在Rt△OED 中，ED 2
＝OE 2
＋OD 2
， ∴ ED＝2
243+＝5。∴ED＝CD 。 ∴ CBED 是菱形。
【考点】反比例函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，菱形的判定。
【分析】（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征，将点A 代入双曲线方程求得k 值，从而求得双曲线方程；然后将B 点代入其中，求得a 值；利用待定系数法可求直线AB 的解析式。
（2）由点C 、D 的坐标、已知条件“BE∥x 轴”及两点间的距离公式求得，CD=5，
BE=5，且BE∥CD，从而可以证明四边形CBED 是平行四边形；然后在Rt△OED 中根据勾股定理求得ED=5，所以ED=CD ，从而证明四边形CBED 是菱形。
6.（内蒙古巴彦淖尔、赤峰10分）如图，点D 双曲线上，AD 垂直x 轴，垂足为A ，点C 在AD 上，CB 平行于x 轴交曲线于点B ，直线AB 与y 轴交于点F ，已知AC ：AD=1：3，点C 的坐标为（2，2）． （1）求该双曲线的解析式； （2）求△OFA 的面积．
【答案】解：（1）∵点C 的坐标为（2，2），AD 垂直x 轴，
∴AC=2。
又∵AC：AD=1：3，∴AD=6。
∴D 点坐标为（2，6）。 设双曲线的解析式为k y x
=，
把D （2，6）代入k y x =得，k =2×6=12。 ∴双曲线解析式为12y x
=
。
（2）设直线AB 的解析式为y kx b =+，得
把A （2，0）和B （6，2）代入y kx b =+得，2062k b k b +=??+=?，解得121
k b ?
=
???=-?
。
∴直线AB 的解析式为112
y x =
-。
令x =0，得y =﹣1，∴F 点的坐标为（0，﹣1）。 ∴S △OFC =
12
×OA×OF=
12
×2×1=1。
【考点】反比例函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系。
【分析】（1）由点C 的坐标为（2，2）得AC=2，而AC ：AD=1：3，得到AD=6，则D 点坐标为（2，6），然后利用待定系数法确定双曲线的解析式。
（2）已知A （2，0）和B （6，2），利用待定系数法确定直线AB 的解析式，得到F
点的坐标，然后利用三角形的面积公式计算即可。
7.（宁夏自治区8分）在Rt△ABC 中，∠C＝90o，∠A＝30o，BC ＝2．若将此三角形的一条直角边BC 或AC 与x 轴重合，并且点A 或点B 刚好在反比例函数y ＝ 6
x (x ＞0)的图象上(如
图所示)，D 是斜边与y 轴的交点，设此时△ABC 在第一象限部分的面积分别记作S 1、S 2，通过计算比较S 1、S 2的大小．
【答案】解：如图1：∵∠C=90°，∠A=30°，BC=2
∵点A 在y ＝ 6
x
上，∴A（
），即
∴OB=2－－3。
∴S 1=
12
（OD ＋AC ）?OC，=
12
（3＋，=62
。
如图2：BC=2，3，2）3，OD=2
∴S 2=
12
（OD ＋BC ）?OC=
12
（22）×3，=62
。
∴S 1=S 2。
【考点】反比例函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数，特殊角的三角函数值。
【分析】根据反比例函数的性质，可以得到点A 和点B 的坐标，分别计算出S 1，S 2的值，然后比较它们的大小．
8.（甘肃天水7分）如图在等腰Rt△OBA 和Rt△BCD 中，∠OBA=∠BCD=90°，
点A 和点C 都在双曲线4y x
=
（x ＞0）上，求点D 的坐标．
【答案】解：过C 点作CE⊥BD 于E ，如图，
∵三角形OBA 为等腰Rt△，∠OBA=90°，∴OB=OA， 设A （a ，a ），∴a?a=4，∴a=2，或a=﹣2 ∵x ＞0，∴A（2，2）。即OB=2。 又∵△CBD 为等腰三角形，∠BCD=90°，
∴CE=BE=DE，
设CE=b ，则OE=b+2，OD=2+2b ， ∴C 点坐标为（b+2，b ），
∴（b+2）?b=4，解得1，或b=1。
∵x ＞01
∴点D 的坐标为（0）。
【考点】反比例函数综合题，等腰直角三角形的性质，曲线上点的坐标与方程的关系。 【分析】过C 点作CE⊥BD 于E ，根据等腰直角三角形的性质得到OB=OA ，即可求出A （2，2），得OB=2，又三角形CBD 为等腰Rt ，∠BCD=90°，得到CE=BE=DE ，设CE=b ，则OE=b+2，OD=2+2b ，则C 点坐标为（b+2，b ），把它代入双曲线4y x
=（x ＞0）求出b ，即可得到OD ，从而得点
D 的坐标。
9.（江苏常州、镇江10分）在平面直角坐标系XOY 中，直线1l 过点()0,1A 且与y 轴平行，直线2l 过点()2,0B 且与x 轴平行，直线1l 与直线
2l 相交于点P 。点E 为直线2l 上一点，反比例函
数x
k y =
（k ＞0）的图像过点E 与直线1l 相交
于点F 。
⑴若点E 与点P 重合，求k 的值；
⑵连接OE 、OF 、EF 。若k ＞2，且△OEF 的面积为△PEF 的面积的2倍，求E 点的坐标；
⑶是否存在点E 及y 轴上的点M ，使得以点M 、E 、F 为顶点的三角形与△PEF 全等？若存在，求E 点坐标；若不存在，请说明理由。
【答案】解：（1）∵直线1l 过点A （1，0）且与y 轴平行，直线2l 过点B （0。2）且与x 轴平行，直线1l 与直线2l 相交于点P ，∴点P （1，2）。 若点E 与点P 重合，则k ＝1×2＝2。
（2）当k ＞2时，如图1，点E 、F 分别在P 点的右侧和上方，过E 作x 轴的垂线EC ，垂足为C ，过F 作y 轴的垂线FD ，垂足为D ，EC 和FD 相交于点G ，则四边形OCGD 为矩形 ∵PE⊥PF，
∴()E ,2F 1,G ,2
2
k
k
k k ??
??
? ???
??
，，
∴S △PEF ＝()21
11PF PE 1212
224k k k k ??
?=
--=-+ ???
∴四边形PFGE 是矩形， ∴S △PEF ＝S △GFE ，
∴S △OEF ＝S 矩形OCGD －S △DOF －S △GFE －S △OCE
＝
21
1111222422
k k
k k k k ???-
??--+-?? ??? 2
1=
14
k -
∵S △OEF ＝2S △PEF ， ∴22
11
1=214
4k k k ??--+
???
，解得k ＝6或k ＝2， ∵k＝2时，E 、F 重合，舍去。 ∴k＝6， ∴E点坐标为：（3，2）。
（3）存在点E 及y 轴上的点M ，使得△MEF≌△PEF
①当k ＜2时，如图2，只可能是△MEF≌△PEF，作FH⊥y轴于H ∵△FHM∽△MBE， ∴
BM EM ,FH FM
=
∵FH＝1，EM ＝PE ＝1－
2
k ，FM ＝PF ＝2－k ，
∴
1BM 12, BM 122
k
k -=
∴=-。
在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM 2＝EB 2＋MB 2， ∴（1－
2
k ）2＝（
2
k ）2＋（
12
）2
解得k ＝34
，此时E 点坐标为（3
8
，2）。
②当k ＞2时，如图3，只可能是△MFE≌△PEF，作FQ⊥y轴于Q ，
△FQM∽△MBE得，
B M E M FQ
FM
= 。
∵FQ＝1，EM ＝PF ＝k －2，FM ＝PE ＝2
k －1，
∴
BM 2BM 1
1
2k k -=- =2， ＝ ，BM ＝2
在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM 2＝EB 2＋MB 2 ∴（k －2）2＝（
2
k ）2＋22，解得k ＝
163
或0，但k ＝0不符合题意， ∴k＝
163
．
此时E 点坐标为（ 8
3
，2）
∴符合条件的E 点坐标为（ 38
，2）（8
3
，2）．
【考点】反比例函数的应用，矩形的性质，解一元二次方程，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理。
【分析】（1）易由直线1l ，1l 求交点P 坐标。若点E 与点P 重合，则点P 在k y x
=图象上，
坐标满足函数关系式，求出k 。
（2）要求E 点的坐标，只要先利用相似三角形对应边的比，用k
表示相关各点的坐
标并表示相关线段的长，再利用相似三角形OEF 面积是PEF面积2倍的关系求出k。
（3）要求E点的坐标，只要先由全等得到相似三角形，利用相似三角形对应边的比，用出k表示相关各点的坐标并表示相关线段的长，再利用勾股定理求出出k。要注意应根据点P、E、F三点位置分出k＜2和出k＞2两种情况讨论。
综合性问题 一、选择题 1．（2018·湖北省孝感·3分）如图，△ABC是等边三角形，△ABD是等腰直角三角形，∠BAD=90°，AE⊥BD于点E，连CD分别交AE，AB于点F，G，过点A作AH⊥CD交BD于点H．则下列结论：①∠ADC=15°；②AF=AG；③AH=DF；④△AFG∽△CBG；⑤AF=（﹣1）EF．其中正确结论的个数为（） A．5 B．4 C．3 D．2 【分析】①由等边三角形与等腰直角三角形知△CAD是等腰三角形且顶角∠CAD=150°，据此可判断；②求出∠AFP和∠FAG度数，从而得出∠AGF度数，据此可判断；③证△ADF≌△BAH即可判断；④由∠AFG=∠CBG=60°、∠AGF=∠CGB 即可得证；⑤设PF=x，则AF=2x、AP==x，设EF=a，由△ADF≌△BAH知BH=AF=2x，根据△ABE是等腰直角三角形之BE=AE=a+2x，据此得出EH=a，证△PAF∽△EAH得=，从而得出a与x的关系即可判断． 【解答】解：∵△ABC为等边三角形，△ABD为等腰直角三角形， ∴∠BAC=60°、∠BAD=90°、AC=AB=AD，∠ADB=∠ABD=45°， ∴△CAD是等腰三角形，且顶角∠CAD=150°， ∴∠ADC=15°，故①正确； ∵AE⊥BD，即∠AED=90°， ∴∠DAE=45°， ∴∠AFG=∠ADC+∠DAE=60°，∠FAG=45°， ∴∠AGF=75°， 由∠AFG≠∠AGF知AF≠AG，故②错误； 记AH与CD的交点为P，
由AH⊥CD且∠AFG=60°知∠FAP=30°， 则∠BAH=∠ADC=15°， 在△ADF和△BAH中， ∵， ∴△ADF≌△BAH（ASA）， ∴DF=AH，故③正确； ∵∠AFG=∠CBG=60°，∠AGF=∠CGB， ∴△AFG∽△CBG，故④正确； 在Rt△APF中，设PF=x，则AF=2x、AP==x， 设EF=a， ∵△ADF≌△BAH， ∴BH=AF=2x， △ABE中，∵∠AEB=90°、∠ABE=45°， ∴BE=AE=AF+EF=a+2x， ∴EH=BE﹣BH=a+2x﹣2x=a， ∵∠APF=∠AEH=90°，∠FAP=∠HAE， ∴△PAF∽△EAH， ∴=，即=， 整理，得：2x2=（﹣1）ax， 由x≠0得2x=（﹣1）a，即AF=（﹣1）EF，故⑤正确； 故选：B． 【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握等腰三角形与等边三角形的性质、全等三角形与相似三角形的判定与性质等知识点． 2．（2018·山东潍坊·3分）如图，菱形ABCD的边长是4厘米，∠B=60°，动点P以1厘米秒的速度自A点出发
2015 年全国中考数学试题分类汇编————压轴题 1. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线的解析式是y = 1 x2 +1，点 C 的坐标为 (–4， 0)，平行4 四边形 OABC 的顶点 A，B 在抛物线上， AB 与 y 轴交于点M，已知点 Q(x，y)在抛物线上，点 P(t ，0)在 x 轴上 . (1)写出点 M 的坐标； (2)当四边形 CMQP 是以 MQ ， PC 为腰的梯形时 . ①求 t 关于 x 的函数解析式和自变量x 的取值范围； ②当梯形 CMQP 的两底的长度之比为1： 2 时，求t 的值 . 11 x210 1 4 (1)M(0,2)(2)1AC:y= 2 x+1.PQ // MC.x t= 2 2.如图，已知在矩形 ABCD 中， AB＝ 2， BC＝ 3， P 是线段 AD 边上的任意一点（不含端点 A、 D ），连结 PC，过点 P 作 PE⊥ PC 交 AB 于 E （1）在线段 AD 上是否存在不同于 P 的点 Q，使得 QC⊥ QE？若存在，求线段 AP 与AQ 之间的数量关系；若不存在，请说明理由； （ 2）当点 P 在 AD 上运动时，对应的点 E 也随之在AB 上运动，求BE 的取值范围． A P D E B C （3 ）存在，理由如下： 如图 2 ，假设存在这样的点Q，使得 QC ⊥ QE. 由（ 1）得：△ PAE ∽ △ CDP ， ∴ ， ∴ ，
∵QC ⊥ QE ，∠ D＝ 90°， ∴∠ AQE ＋∠ DQC ＝ 90 °,∠ DQC ＋∠ DCQ ＝ 90 °， ∴∠ AQE= ∠DCQ. 又∵∠ A=∠ D=90°， ∴△ QAE ∽ △ CDQ ， ∴ ， ∴ ∴ ， 即， ∴ ， ∴ ， ∴. ∵AP≠ AQ，∴ AP ＋ AQ ＝ 3.又∵AP≠ AQ，∴AP≠，即 P 不能是 AD 的中点，∴当P是 AD 的中点时，满足条件的Q点不存在， 综上所述，的取值范围7 ≤＜ 2；8 3.如图，已知抛物线y＝－1 x2＋ x＋ 4 交x 轴的正半轴于点 A ，交y 轴于点 B ．2 （ 1）求 A 、B 两点的坐标，并求直线（ 2）设 P（ x，y）（ x＞ 0）是直线为对角线作正方形 PEQF，若正方形（ 3）在（ 2）的条件下，记正方形 AB 的解析式； y＝ x 上的一点， Q 是 OP 的中点（ O 是原点），以PQ PEQF 与直线AB 有公共点，求x 的取值范围； PEQF 与△ OAB 公共部分的面积为S，求 S 关于 x 的函 数解析式，并探究S 的最大值． (1) 令 x=0, 得 y=4 即点 B 的坐标为 (0,4) 令y=0, 得(-1/2)x2+x+4=0 则x2-2x-8=0 ∴x=-2 或 x=4 ∴点 A 的坐标为 (4,0) 直线 AB 的解析式为 (y-0)/(x-4)=(4-0)/(0-4) ∴y=-x+4 (2) 由(1),知直线AB的解析式为y=-x+4
第一篇基础知识梳理 第一章数与式 §1.1实数 A组2015年全国中考题组 一、选择题 1．(2015·浙江湖州，1，3分)－5的绝对值是() A．－5 B．5 C．－1 5 D. 1 5 解析∵|－5|＝5，∴－5的绝对值是5，故选B. 答案 B 2．(2015·浙江嘉兴，1，4分)计算2－3的结果为() A．－1 B．－2 C．1 D．2 解析2－3＝－1，故选A. 答案 A 3．(2015·浙江绍兴，1，4分)计算(－1)×3的结果是() A．－3 B．－2 C．2 D．3 解析(－1)×3＝－3，故选A. 答案 A 4．(2015·浙江湖州，3，3分)4的算术平方根是() A．±2 B．2 C．－2 D. 2 解析∵4的算术平方根是2，故选B. 答案 B 5．(2015·浙江宁波，3，4分)2015年中国高端装备制造业收入将超过6万亿元，其中6万亿元用科学记数法可表示为()
A．0.6×1013元B．60×1011元 C．6×1012元D．6×1013元 解析6万亿＝60 000×100 000 000＝6×104×108＝6×1012，故选C.答案 C 6．(2015·江苏南京，5，2分)估计5－1 2介于() A．0.4与0.5之间B．0.5与0.6之间C．0.6与0.7之间D．0.7与0.8之间解析∵5≈2.236，∴5－1≈1.236， ∴5－1 2≈0.618，∴ 5－1 2介于0.6与0.7之间． 答案 C 7．(2015·浙江杭州，2，3分)下列计算正确的是() A．23＋26＝29B．23－26＝2－3 C．26×23＝29D．26÷23＝22 解析只有“同底数的幂相乘，底数不变，指数相加”，“同底数幂相除，底数不变，指数相减”，故选C. 答案 C 8．★(2015·浙江杭州，6，3分)若k＜90＜k＋1(k是整数)，则k＝() A．6 B．7 C．8 D．9 解析∵81＜90＜100，∴9＜90＜100.∴k＝9. 答案 D 9．(2015·浙江金华，6，3分)如图，数轴上的A，B，C，D四点中，与表示数－3的点最接近的是 () A．点A B．点B C．点C D．点D
A B C D P E 2015年全国中考数学试题分类汇编————压轴题 1. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线的解析式是y = 2 4 1x +1，点C 的坐标为(–4，0)，平行四边形OABC 的顶点A ，B 在抛物线上，AB 与y 轴交于点M ，已知点Q (x ，y )在抛物线上，点P (t ，0)在x 轴上. (1) 写出点M 的坐标； (2) 当四边形CMQP 是以MQ ，PC 为腰的梯形时. ① 求t 关于x 的函数解析式和自变量x 的取值范围； ② 当梯形CMQP 的两底的长度之比为1：2时，求t 的值. (1)M(0,2)(2)1AC:y= 21x+1.PQ // MC.t x x --+0 14 12 =21 2. 如图，已知在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，P 是线段AD 边上的任意一点（不含端点 A 、D ），连结PC ， 过点P 作PE ⊥PC 交A B 于E （1）在线段AD 上是否存在不同于P 的点Q ，使得QC ⊥QE ？若存在，求线段AP 与AQ 之间的数量关系；若不存在，请说明理由； （2）当点P 在AD 上运动时，对应的点E 也随之在AB 上运动，求BE 的取值范围． （3）存在，理由如下： 如图2，假设存在这样的点Q ，使得QC ⊥QE. 由（1）得：△PAE ∽△CDP ， ∴ ， ∴ ，
∵QC ⊥QE ，∠D ＝90 ° ， ∴∠AQE ＋∠DQC ＝90 ° ,∠DQC ＋∠DCQ ＝90°， ∴∠AQE=∠DCQ. 又∵∠A=∠D=90°， ∴△QAE ∽△CDQ ， ∴ ， ∴ ∴ ， 即 ， ∴ ， ∴ ， ∴ . ∵AP≠AQ ，∴AP ＋AQ ＝3.又∵AP≠AQ ，∴AP≠ ，即P 不能是AD 的中点， ∴当P 是AD 的中点时，满足条件的Q 点不存在， 综上所述， 的取值范围8 7 ≤ ＜2； 3.如图，已知抛物线y ＝－1 2 x 2＋x ＋4交x 轴的正半轴于点A ，交y 轴于点B ． （1）求A 、B 两点的坐标，并求直线AB 的解析式； （2）设P （x ，y ）（x ＞0）是直线y ＝x 上的一点，Q 是OP 的中点（O 是原点），以PQ 为对角线作正方形PEQF ，若正方形PEQF 与直线AB 有公共点，求x 的取值范围； （3）在（2）的条件下，记正方形PEQF 与△OAB 公共部分的面积为S ，求S 关于x 的函数解析式，并探究S 的最大值． (1)令x=0,得y=4 即点B 的坐标为(0,4) 令y=0,得(-1/2)x2+x+4=0 则x2-2x-8=0 ∴x=-2或x=4 ∴点A 的坐标为(4,0) 直线AB 的解析式为 (y-0)/(x-4)=(4-0)/(0-4) ∴y=-x+4 (2)由(1),知直线AB 的解析式为y=-x+4
2020年广东各地区中考数学试题分类汇编——函数 1、（佛山）15．如图，若正方形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在 函数（）的图象上，则点E的坐标是（，）. 2、（肇庆）9．在直角坐标系中，将点P（3，6）向左平移4个单位长度， 再向下平移8个单位长度后，得到的点位于（） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限D．第四象限 3、（茂名）9．已知反比例函数=(≠0)的图象，在每一象限内，的值随值的增 大而减少，则一次函数=-+的图象不经过（） Ａ．第一象限Ｂ．第二象限Ｃ．第三象限Ｄ．第四象限 4、（梅州）5．一列货运火车从梅州站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了 一段时间，火车到达下一个车站停下，装完货以后，火车又匀加速行驶，一段时间后再次开始匀速行驶，那么可以近似地刻画出火车在这段时间内的速度变化情况的是 （） 5、（湛江）8．函数的自变量的取值范围是（） A． B． C． D． 6、（湛江）11．已知三角形的面积一定，则它底边上的高与底边之间的函数关系 的图象大致是（） 1 y x =0 x> y x a a y x y a x a 1 2 y x = - x 2 x=2 x≠2 x≠-2 x> a h a O A B C E F D x y 第15题图 h h h h
A ． B ． C ． D ． 7、（湛江）12． 如图2所示，已知等边三角形ABC 的边长为，按图中所示的规律，用个这样的三角形镶嵌而成的四边形的周长是（ ） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 8、（梅州）10． 函数的自变量的取值范围是_____． 9、（梅州）12． 已知直线与双曲线的一个交点A 的坐标为（-1，-2）．则=_____；=____；它们的另一个交点坐标是______． 10、（东莞）7．经过点A （1，2）的反比例函数解析式是_____ _____； 11、（佛山）22．某地为四川省汶川大地震灾区进行募捐，共收到粮食100吨，副食品54 吨. 现计划租用甲、乙两种货车共8辆将这批货物全部运往汶川，已知一辆甲种货车同时可装粮食20吨、副食品6吨，一辆乙种货车同时可装粮食8吨、副食品8吨. (1) 将这些货物一次性运到目的地，有几种租用货车的方案？ (2) 若甲种货车每辆付运输费1300元，乙种货车每辆付运输费1000元，要使运输总 费用最少，应选择哪种方案？ 12008 20082009 201020111 1-=x y x mx y =x k y = m k 图2 C A B ┅┅
中考数学试题分类 荟萃之基本 图形 1?如图1,已知△ ABC的周长为m，分别连接的中点 A, B" Ci得厶ABiCi，再连接AiB，B1C1, GA,的中点 A2，B2, C2 得厶A Q B2C2，再连接A2B2, B2C2, C2A2 的中点 A B3，C3得厶A3B3C3L L，这样延续下去，最后得△ A n B n C n. 设^ A1B1C1的周长为11, △ A Q B2C2的周长为12 , △ A3 B3C3的周长为l3 L l n , B
X 则I n _____________________ . (06广东梅州) 2.如图 2，已知直线 AB // CD , / ABE 60o , / CDE 20o , 度.(06广东湛江) ②OB = OC ;③/ ABE = Z ACD ; @ BE = CD 。 (1) 请你选出两个条件作为题设，余下的两个作为结论，写出一个正确 . 命题的条件是 —和—，命题的结论是 —和—(均填序号)。 (2) 证明你写出的命题。 已知： 求证： 证明： (06广东佛山) B 9. 已知：Rt A OAB 在直角坐标系中的位置如图所示， P(3， 4)为OB 的中点，点C 为折线OAB 上的动点，线段 PC 把Rt A OAB 分割成两部分。 问：点C 在什么位置时，分割得到的三角形与 Rt A OAB 相似？(注：在图 3.如图，若△ OAD^A OBC 且/ 0=65。，/ C=20°， 则/ OAD= . (06 珠海) 4.如图 4，已知 AD AE , AB AC . (1)求证：/ B / C ; (2)若/ A 50°，问△ ADC 经过怎样的变换能与 (06广东肇庆) 5.在△ ABC 中， 1 CF -BC . 2 (1) 求证： (2) 求证： AB AC ，点D ，E 分别是 DE BE AB, AC 的中点 F 是BC 延长线上的一点，且 图5 CF ; EF . (06广东肇庆) AB// CD,若/ 2=135 °，则么/ l 的度数是() (B)45 ° (C)60 ° (D)75 ° 6. 如图1， (A)30 ° 7. 已知四组线段的长分别如下，以各组线段为边，能组成三角形的是 (A)l ，2，3 (B)2 ，5，8 (C)3 ，4，5 (D)4 ，5，10 .(06 广州) .(06广州) 8..如图，D 、E 分别为△ ABC 的边AB 、AC 上的点, BE 与CD 相交于O 点。现有四个条件：① AB = AC ;
2010年中考数学试题分类汇编专题——因式分解(填空题) 姓名: 1．（2010江苏苏州）分解因式a 2－a= ． 2．（2010安徽芜湖）因式分解：9x 2－y 2－4y －4＝__________． 3．（2010广东广州，15，3分）因式分解：3ab 2＋a 2b ＝_______． 4．（2010江苏南通）分解因式：2ax ax -＝ ． 5．（2010江苏盐城）因式分解：=-a a 422 ． 6．（2010浙江杭州）分解因式 m 3 – 4m = . 7．（2010浙江嘉兴）因式分解：=+-m mx mx 2422 ． 8．（2010浙江绍兴）因式分解：y y x 92-=_______________. 9．（2010 浙江省温州）分解因式：m 2—2m= ． 10．（2010 浙江台州市）因式分解：162-x = ． 11．（2010山东聊城）分解因式：4x 2－25＝_____________． 12．（2010 福建德化）分解因式：442++a a ＝_______________ 13．（2010 福建晋江）分解因式：26_________.x x += 14．（2010江苏宿迁）因式分解：12-a = ． 15．（2010浙江金华）分解因式=-92x . 16．（2010 山东济南）分解因式2x 2-8=_____ ． 17．（2010 浙江衢州） 分解因式：x 2-9= ． 全品中考网 18．（2010福建福州）因式分解：x 2－1＝_______． 19．（2010江苏无锡）分解因式：241a -= ． 20．（2010年上海）分解因式：a 2 ─ a b = ______________. 21．（2010四川宜宾）分解因式：2a 2– 4a + 2＝ 22．（2010 黄冈）分解因式：x 2－x ＝__________. 23．（2010 山东莱芜）分解因式：=-+-x x x 232 ． 24．（2010 广东珠海）分解因式22ay ax -=________________. 25．（2010福建宁德）分解因式：ax 2＋2axy ＋ay 2＝______________________. 26．2010江西）因式分解：=-822a ． 27．（2010四川 巴中） 把多项式2336x x +-分解因式的结果是 28．（2010江苏常州）分解因式：22 4a b -= 。
河北 周建杰 分类 （2008年南京市）27．（8分）如图，已知O 的半径为6cm ，射线PM 经过点O ，10cm OP =， 射线PN 与 O 相切于点Q ．A B ，两点同时从点P 出发， 点A 以5cm/s 的速度沿射线PM 方向运动，点B 以4cm/s 的速度沿射线PN 方向运动．设运动时间为t s ． （1）求PQ 的长； （2）当t 为何值时，直线AB 与O 相切？ 以下是河南省高建国分类： （2008年巴中市）已知：如图14，抛物线2 334 y x =- +与x 轴交于点A ，点B ，与直线34y x b =-+相交于点B ，点C ，直线3 4y x b =-+与y 轴交于点E ． （1）写出直线BC 的解析式． （2）求ABC △的面积． （3）若点M 在线段AB 上以每秒1个单位长度的速度从A 向B 运动（不与A B ，重合），同时，点N 在射线BC 上以每秒2个单位长度的速度从B 向C 运动．设运动时间为t 秒，请写出MNB △的面积S 与t 的函数关系式，并求出点M 运动多少时间时，MNB △的面积 最大，最大面积是多少？ 答 以下是湖北孔小朋分类： 21．（2008福建福州）（本题满分13分） 如图，已知△ABC 是边长为6cm 的等边三角形，动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB 、BC 匀速运动，其中点P 运动的速度是1cm/s ，点Q 运动的速度是2cm/s ，当点Q 到达 A B Q O P N M
点C 时，P 、Q 两点都停止运动，设运动时间为t （s ），解答下列问题： （1）当t ＝2时，判断△BPQ 的形状，并说明理由； （2）设△BPQ 的面积为S （cm 2），求S 与t 的函数关系式； （3）作QR //BA 交AC 于点R ，连结PR ，当t 为何值时，△APR ∽△PRQ ？ （2008年贵阳市）15．如图4，在126 的网格图中（每个小正方形的边长均为1个单位），A 的半径为1，B 的半径为2，要使A 与静止的B 相切，那么A 由图示位置需向右平移个单位． 以下是江西康海芯的分类: 1.（2008年郴州市）如图10，平行四边形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝10，BC 边上的高AM =4， E 为 BC 边上的一个动点（不与B 、C 重合）．过E 作直线AB 的垂线，垂足为 F ．FE 与DC 的延长线相交于点 G ，连结DE ，DF ．． （1） 求证：ΔBEF ∽ΔCEG ． （2） 当点E 在线段BC 上运动时，△BEF 和△CEG 的周长之间有什么关系？并说明你的理由． （3）设BE ＝x ，△DEF 的面积为 y ，请你求出y 和x 之间的函数关系式，并求出当x 为何值时,y 有最大值，最大值是多少？ 10分 辽宁省 岳伟 分类 2008年桂林市 如图，平面直角坐标系中，⊙Ａ的圆心在Ｘ轴上，半径为１，直线Ｌ为y=2x-2，若⊙Ａ沿Ｘ轴向右运动，当⊙Ａ与Ｌ有公共点时，点Ａ移动的最大距离是（ ） A B （图4）
2011年全国各地中考数学试卷试题分类汇编网格专题 一、选择题 1．（2011年浙江省杭州市中考数学模拟22)如图，△ABC 的顶点都是正方形网格中的格点，则cos ∠ABC 等于（ ） A 、 55 B 、552 C 、5 D 、3 2 答案：B 2.（2011年北京四中模拟28）下列位于方格纸中的两个三角形，既不成轴对称又不成中心对称的是（ ） （Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ） 答案：A 3.(2011山西阳泉盂县月考)如图△ABC 的顶点都是正方形网格中的格点，则sin∠ABC 等于（ ） A 、5 B 、 552 C 、 55 D 、3 2 答案：C 4.(2011北京四中模拟)如图，点A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 、K 都是7×8方格纸中的格点，为使△DEM ∽△ABC ，则点M 应是F 、G 、H 、K 四点中的 ( ) A ．F B ．G C ．H D ． K （第1题）
答案：C 5．（2011年浙江省杭州市中考数学模拟22)如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则cos∠ABC等于（） A、 5 5 B、 5 5 2 C、5 D、 3 2 答案：B 6.（2011年北京四中模拟28）下列位于方格纸中的两个三角形，既不成轴对称又不成中心对称的是（） （Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ） 答案：A 7. （2011浙江慈吉模拟）如图所示网格中, 已知②号三角形是由①号三角形经旋转变化得到的, 其旋转中心是下列各点中的（） A. P B. Q C. R D. S 答案：C 8. （安徽芜湖2011模拟）如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，试在方格中 建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（－2，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（）A.（－1，2）B. （1，－1）C. （－1，1）D. （2，1）. 答案: C （第5题）
2019年中考数学真题分类汇编—几何题汇总 一、选择题 1．【2019连云港市】如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中∠C＝120°．若新建墙BC与CD总长为12m，则该梯形储料场ABCD的最大面积是 A．18m2B．m2C．2D2 （第1 题）（第2题）（第3题） 2．【2019宿迁】一副三角板如图摆放（直角顶点C重合），边AB与CE交于点F，DE∥BC，则∠BFC等于（ ） A．105°B．100°C．75°D．60° 3．【2019宿迁】一个圆锥的主视图如图所示，根据图中数据，计算这个圆锥的侧面积是（ ） A．20πB．15πC．12πD．9π 4、【2019常州】下图是某几何体的三视图,该几何体是()
A. 圆柱 B. 正方体 C. 圆锥 D.球 5、【2019常州】如图，在线段PA、PB、PC、PD中，长度最小的是( ) A、线段PA B、线段PB C、线段PC D、线段PD 6．【2019镇江】一个物体如图所示，它的俯视图是（ ） A．B． C．D． 7、【2019淮安】下图是由4个相同的小正方体搭成的几何体，则该几何体的主视图是
（ ） 8．【2019泰州】如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A 、B 、C 、D 、E 、F 、 G 在小正方形的顶点上，则△ABC 的重心是（ ） A ．点D B ．点E C ．点F D ．点G 9、【2019扬州】 已知n 是正整数，若一个三角形的三边长分别是n+2,n+8,3n ，则满足 条件的n 的值有（ ）A.4个 B.5个 C.6个 D.7个 10．【2019连云港市】如图，在矩形ABCD 中，AD ＝AB ．将矩形ABCD 对折，得 到折痕MN ；沿着CM 折叠，点D 的对应点为E ，ME 与BC 的交点为F ；再沿着MP 折叠，使得AM 与EM 重合，折痕为MP ，此时点B 的对应点为G ．下列结论：① △CMP 是直角三角形；②点C 、E 、G 不在同一条直线上；③PC ＝ ；④BP ＝AB ；⑤点 F 是△CMP 外接圆的圆心．其中正确的个数为A B C E D F G ····
2020年全国中考数学试题分类汇编————压轴题 1.（2020年浙江杭州） 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线的解析式是y = 2 4 1x +1，点C 的坐标为(–4，0)，平行四边形OABC 的顶点A ，B 在抛物线上，AB 与y 轴交于点M ，已知点Q (x ，y )在抛物线上，点P (t ，0)在x 轴上. (1) 写出点M 的坐标； (2) 当四边形CMQP 是以MQ ，PC 为腰的梯形时. ① 求t 关于x 的函数解析式和自变量x 的取值范围； ② 当梯形CMQP 的两底的长度之比为1：2时，求t 的值. （第24题）
2.（2020年浙江湖州）如图，已知在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，P是线段AD边上的任意一点（不含端点A、 D），连结PC，过点P作PE⊥PC交AB于E （1）在线段AD上是否存在不同于P的点Q，使得QC⊥QE？若存在，求线段AP与AQ之间的数量关系；若不存在，请说明理由； （2）当点P在AD上运动时，对应的点E也随之在AB上运动，求BE的取值范围． B C 第25题
3.（2020年浙江嘉兴市）如图，已知抛物线y＝－1 2 x2＋x＋4交x轴的正半轴于点A，交y轴于点B． （1）求A、B两点的坐标，并求直线AB的解析式； （2）设P（x，y）（x＞0）是直线y＝x上的一点，Q是OP的中点（O是原点），以PQ为对角线作正方形PEQF，若正方形PEQF与直线AB有公共点，求x的取值范围； （3）在（2）的条件下，记正方形PEQF与△OAB公共部分的面积为S，求S关于x的函数解析式，并探究S的最大值．
4.（2020年浙江金华）如图，P为正方形ABCD的对称中心，A（0，3），B（1，0），直线OP交AB于N，DC于M，点H从原点O出发沿x轴的正半轴方向以1个单位每秒速度运动，同时，点R从O出发沿OM方向以2个单位每秒速度运动，运动时间为t。求：Array（1）C的坐标为▲； （2）当t为何值时，△ANO与△DMR相似？ （3）△HCR面积S与t的函数关系式； 并求以A、B、C、R为顶点的四边形是梯形 时t的值及S的最大值。
全国各地中考数学试题分类解析 第一篇 基础知识篇 第一单元 实数 考点1 实数分类 [考题精选]例1、（2000年哈尔滨市中考题）在实数80108.0,71,3, 13.,2..πo 中，无理数的个数为（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 例2、（2000年四川省中考题）在实数16,,14.3,4,5,2o --中，无理数共有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 考点2 倒数、相反数 [考题精选]例1、（2000年广西壮族自治区中考题）如果211,21-=+ =b a ，那么a 与b （ ） A 、互为倒数 B 、互为相反数 C 、互为有理化因式 D 、相等 例2、（2000年陕西省汉中市中考题）一个数的相反数的倒数是,2 12-则这个数是（ ） A 、-2/5 B 、5/2 C 、2/5 D 、-5/2 考点3 绝对值 [考题精选]例1、（2000年宿迁市中考题）若a ≤0，则a+|a|= 例2、（2000年河北省中考题）已知：|x|=3 , |y|=2 ,且xy<0，则x+y 的值等于 例3、（2000年潜江市中考题）已知|a+b|+|a-b|-2b=0，在数轴给出关于的四种位置 关系，则可能成立的有（ ） A 、1种 B 、2种 C 、3种 D 、4种 例4、（1999年十堰市中考题）对于负实数a ，下列各式成立的是（ ） A 、|a-(-a)|=2a B 、|a-(-a)|= -2a C 、|a-(-a)|=0 D 、|a-(-a)|= ±a 考点4 平方根与算术平方根 [考题精选]例1、（2000年荆门市中考题）(-6)2的算术平方根是 例2、（2000年孝感市中考题）16的平方根是（ ） A 、2 B 、±2 C 、4 D 、±4 考点5 近似数与不效数字 [考题精选]例1、（2000年河南省中考题）用四舍五入法，对200626取近似值，保留四个有效数字， 200626≈ 例2、（1997年四川省中考题）近似数0.03020的有效数字的个数的精确试分别是
年中考数学真题汇编:整式(31题) 一、选择题 1. (四川内江)下列计算正确的是（） A. B. C. D. 【答案】D 2.(2018广东深圳)下列运算正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 3.(2018浙江义乌)下面是一位同学做的四道题：①.② .③ .④ .其中做对的一道题的序号是（） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】C 4.下列运算正确的是（） A. B. C. D. 【答案】A 5.下列运算正确的是（）。 A. B. C. D. 【答案】C 6.下列运算：①a2?a3=a6，②（a3）2=a6，③a5÷a5=a，④（ab）3=a3b3，其中结果正确的个数为（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 7.下列运算正确的是（） A. B. C. D. 【答案】C 8.计算的结果是（） A. B. C. D.
【答案】B 9.下列运算正确的是（） A. B. C. D. 【答案】C 10.计算的结果是（） A. B. C. D. 【答案】C 11.下列计算正确的是（） A. B. C. D. 【答案】D 12.下列计算结果等于的是（） A. B. C. D. 【答案】D 13.下列运算正确的是（） A. B. C. D. 【答案】C 14.下列运算正确的是（） A. B. C. D. 【答案】D 15.下列计算正确的是（）。 A.(x+y)2=x2+y2 B.(－xy2）3=－x3y6 C.x6÷x3=x2 D.=2 【答案】D
16.下面是一位同学做的四道题①（a+b）2=a2+b2，②（2a2）2=-4a4，③a5÷a3=a2， ④a3·a4=a12。其中做对的一道题的序号是（） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】C 17.下列计算正确的是（） A.a3+a3=2a3 B.a3·a2=a6 C.a6÷a2=a3 D.（a3）2=a5 【答案】A 18.计算结果正确的是（） A. B. C. D. 【答案】B 19.下列计算正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 20.在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b（a>b）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2．当AD-AB=2时，S2-S1的值为（） A.2a B.2b C.2a-2b D.-2b 【答案】B 二、填空题（共6题；共6分） 21.计算：________.
2020年中考数学试题分类汇编之十一 四边形 一、选择题 1．（2020广州）如图5，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，6AB =，8BC =，过点O 作OE ⊥AC ，交AD 于点E ，过点E 作EF ⊥BD ，垂足为F ，则OE EF +的值为（ * ）． （A ） 485 （B ）325 （C ）24 5 （D ） 12 5 【答案】C 2．（2020陕西）如图，在?ABCD 中，AB ＝5，BC ＝8．E 是边BC 的中点，F 是?ABCD 内一点，且∠BFC ＝90°．连接AF 并延长，交CD 于点G ．若EF ∥AB ，则DG 的长为（ ） A ． B ． C ．3 D ．2 【解答】解：∵E 是边BC 的中点，且∠BFC ＝90°， ∴Rt △BCF 中，EF ＝BC ＝4， ∵EF ∥AB ，AB ∥CG ，E 是边BC 的中点， ∴F 是AG 的中点， ∴EF 是梯形ABCG 的中位线， ∴CG ＝2EF ﹣AB ＝3， 又∵CD ＝AB ＝5， ∴DG ＝5﹣3＝2， 故选：D ． 图5 O F E D C B A
3.（2020乐山）如图，在菱形ABCD 中，4AB =，120BAD ∠=?，O 是对角线BD 的中点，过点O 作OE CD ⊥ 于点E ，连结OA ．则四边形AOED 的周长为（ ） A. 9+ B. 9+ C. 7+ D. 8 【答案】B 【详解】∵四边形ABCD 是菱形，O 是对角线BD 的中点， ∵AO∵BD ， AD=AB=4，AB∵DC ∵∵BAD=120o， ∵∵ABD=∵ADB=∵CDB=30o， ∵OE∵DC ， ∵在RtΔAOD 中，AD=4 ， AO=1 2 AD =2 ，= 在RtΔDEO 中，OE= 1 2 OD =，3=， ∵四边形AOED 的周长为 故选：B. 4.（2020贵阳）菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的周长是（ ） A. 5 B. 20 C. 24 D. 32 【答案】B 【详解】解：如图所示，根据题意得AO ＝1842 ?=，BO ＝1 632?=， ∵四边形ABCD 是菱形， ∵AB ＝BC ＝CD ＝DA ，AC∵BD ， ∵∵AOB 是直角三角形， ∵AB 5==， ∵此菱形的周长为：5×4＝20． 故选：B ．
2019年全国各地中考数学试卷试题分类汇编 第2章 实数 一、选择题 1. （2018，1，3分）如在实数0，－3，3 2 - ，｜－2｜中，最小的是（ ）. A ．3 2- B ． － 3 C ．0 D ．｜－2｜ 【答案】B 2. （2018市，1，3分）四个数－5，－0.1，１ ２，３中为 无理数的是( ). A. －5 B. －0.1 C. １ ２ D. ３ 【答案】D 3. （2018滨州，1，3分）在实数π、13 、 2、sin30°,无理 数的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 4. （2018，2，3分）(－2)2 的算术平方根是（ ）. A ． 2 B ． ±2 C ．－2 D ． 2 【答案】A
5. （2018，8,3分）已知实数m 、n 在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是 (A)0>m (B)0
【答案】D · 10. （20181，3）如计算：-1-2= A.-1 B.1 C.-3 D.3 【答案】C 11. （2018滨州，10，3分）在快速计算法中,法国的“小 九九”从“一一得一”到“五五二十五”和我国的“小九九”算法是完全一样的,而后面“六到九”的运算就改用手势了.如计算8×9时,左手伸出3根手指,右手伸出4根手指,两只手伸出手指数的和为7,未伸出手指数的积为2,则8×9=10×7+2=72.那么在计算6×7时,左、右手伸出 的 手 指 数 应 该 分 别 为 ( ) A.1,2 B.1,3 C.4,2 D.4,3 【答案】A 12. （2018，10，3分）计算()221222 -+---1 （-） =（ ） A ．2 B ．－2 C ．6 D ．10 【答案】A 13. （2018，6，3分）定义一种运算☆，其规则为a☆b=1a ＋ 1 b ，根据这个规则、计算2☆3的值是
中考数学方案设计试题分类汇编 一、图案设计 1、（xx 四川乐山）认真观察图（10.1）的4个图中阴影部分构成的图案，回答下列问题： （1）请写出这四个图案都具有的两个共同特征． 特征1：_________________________________________________； 特征2：_________________________________________________． （2）请在图（10.2）中设计出你心中最美丽的图案，使它也具备你所写出的上述特征 解：（ 1）特征1：都是轴对称图形；特征2：都是中心对称图形；特征3：这些图形的面积都等于4个单位面积；等 ··························································································· 6分 （2）满足条件的图形有很多，只要画正确一个，都可以得满分． ······················· 9分 2、（xx 福建福州）为创建绿色校园，学校决定对一块正方形的空地进行种植花草，现向学生征集设计图案．图案要求只能用圆弧在正方形内加以设计，使正方形和所画的图弧构成的图案，既是轴对称图形又是中心对称图形．种植花草部分用阴影表示．请你在图③、图④、图⑤中画出三种不同的的设计图案． 提示：在两个图案中，只有半径变化而圆心不变的图案属于同一种，例如：图①、图②只能算一种． 解：以下为不同情形下的部分正确画法，答案不唯一．（满分8分） 3、（xx 哈尔滨）现将三张形状、大小完全相同的平行四边形透明纸片，分别放在方格纸中，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，并且平行四边形纸片的每个顶点与小正方形的顶点重合（如图1、图2、 图（10.1） 图（10.2） ① ② ③ ④ ⑤
2019-2020年中考数学试题分类汇编 统计 一．选择题 1.（2015安徽）某校九年级(1)班全体学生2015年初中毕业体育考试的成绩统计如下表： 根据上表中的信息判断，下列结论中错误．．的是 A ．该班一共有40名同学 B ．该班学生这次考试成绩的众数是45分 C ．该班学生这次考试成绩的中位数是45分 D ．该班学生这次考试成绩的平均数是45分 2.（2015广东） 3. 一组数据2，6，5，2，4，则这组数据的中位数是 A.2 B.4 C.5 D.6 【答案】B. 【解析】由小到大排列，得：2，2，4，5，6，所以，中位数为4，选B 。 3.（孝感）今年，我省启动了“关爱留守儿童工程”．某村小为了了解各年级留守儿童的数量， 对一到六年级留守儿童数量进行了统计，得到每个年级的留守儿童人数分别为 20 18 17 10 15 10，，，，，．对于这组数据，下列说法错误．．的是 A ．平均数是15 B ．众数是10 C ．中位数是17 D ．方差是 3 44 4.（湖南常德）某村引进甲乙两种水稻良种，各选6块条件相同的实验田，同时播种并核定 亩产，结果甲、乙两种水稻的平均产量均为550kg/亩，方差分别为2 141.7S 甲＝ ，2 433.3S 乙＝，则产量稳定，适合推广的品种为： A 、甲、乙均可 B 、甲 C 、乙 D 、无法确定 【解答与分析】这是数据统计与分析中的方差意义的理解，平均数相同时，方差越小越稳定： 答案为B 5.（衡阳）在今年“全国助残日”捐款活动中，某班级第一小组7名同学积极捐出自己的零花钱，奉献自己的爱心．他们捐款的数额分别是（单位：元）50，20，50，30，25，50，55，这组数据的众数和中位数分别是（ C ）． A ．50元，30元 B ．50元，40元 C ．50元，50元 D ．55元，50元 6. ）（2015?益阳）某小组5名同学在一周内参加家务劳动的时间如下表所示，关于“劳动
2010届中考数学真题分类汇编专题--- 动态综合型问题 （二）填空题 1．（2010 浙江义乌）（1）将抛物线y 1＝2x 2向右平移2个单位，得到抛物线y 2的图象，则y 2= ▲ ； （2）如图，P 是抛物线y 2对称轴上的一个动点，直线x ＝t 平行于y 轴，分别与直线y ＝x 、抛物线y 2交于点A 、B ．若△ABP 是以点A 或点B 为直角顶点的等腰直角三角形，求满足条件的t 的值，则t ＝ ▲ ． 【答案】（1）2(x －2)2 或2288x x -+ （2）3、1、55-、55+ 2．（2010浙江金华）如图在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F ，O 分别是AB ，CD ，AD 的中点， 以O 为圆心，以OE 为半径画弧EF .P 是上的一个动点，连 结OP ，并延长OP 交线段BC 于点K ，过点P 作⊙O 的切线，分别交射线AB 于点M ，交直线BC 于点G . 若 3=BM BG ，则BK ﹦ ▲ . 【答案】31, 3 5 3．（2010江西）如图所示，半圆AB 平移到半圆CD 的位置时所扫过的面积为 ． A O D B F K E (第16题G M C P y x y x 2 y O ·
（14题） 【答案】6 4．（2010 四川成都）如图，在ABC ?中，90B ∠=，12mm AB =，24mm BC =，动点P 从点A 开始沿边AB 向B 以2mm/s 的速度移动（不与点B 重合），动点Q 从点B 开始沿边BC 向C 以4mm/s 的速度移动（不与点C 重合）．如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，那么 经过_____________秒，四边形APQC 的面积最小． 【答案】3 5．（2010 四川成都）如图，ABC ?内接于⊙O ，90,B AB BC ∠==，D 是⊙O 上与点B 关于圆心O 成中心对称的点，P 是BC 边上一点，连结AD DC AP 、、．已知8AB =，2CP =，Q 是线段AP 上一动点，连结BQ 并延长交四边形ABCD 的一边于点R ，且满足AP BR =，则 BQ QR 的值为_______________．