幂函数图像与性质浅析
辉县市第二高级中学 数学组
郝美华156********
【摘要】：在基本初等函数的图像中,唯有幂函数的图像最复杂
.许多同学学习了书中幂函数的图像后,即使把书中的六个基本图像记得很熟,然而对课本之外的一些幂函数图像,依然是束手无策.我根据自己这几年的教学经验把幂函数进行了如下总结希望对广大高一学生有所帮组. 【关键词】： 幂函数， 图像发展方向，特殊点， 第一象限 抛物线 特点.增函数，减函数。 幂函数的定义
形如y=x α（a ∈R ）的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数(注：幂函数与指数函数有本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置。)的图像形状变化复杂,难以掌握.我根据自己这几年的教学经验把幂函数进行了如下总结.首先在第一象限有以下几种情形:
图像如下：
由上图可总结规律如下：
幂函数的分母为偶数时，图像只在第一象限。
幂函数的分子为偶数时，图像在第一；二象限及关于y轴对称，此时该函数为偶函数。
幂函数的分子，分母都为奇数时，图像在第一；三象限，关于原点对称，此时该函数为奇函数。
下面画出y=x3，y=x2，y=x，
1
2
y x
，y=x-1的图像“
由上图可知：幂函数的性质：（1）图像都过（1.1）点。
（2）任何幂函数都不过第四象限。
（3）当α〉0幂函数在[0，+∞）是增函数。当α<0幂函数在[0，+∞）是减函数。
可列表如下：
下面通过几个小题验证上面的结论：
例1．已知幂函数2
23
m m y x --=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点，且
关于原点对称，求m 的值． 解：∵幂函数223
m m y x
--=（m Z ∈）的图象与x 轴、y 轴都无交点，
∴2
230m m --≤，∴13m -≤≤；
∵m Z ∈，∴2(23)m m Z --∈，又函数图象关于原点对称， ∴2
23m m --是奇数，∴0m =或2m =．
例 2.
已知点在幂函数()f x 的图象上，点124?
?- ??
?，，在幂函数()g x 的图
象上．问当x 为何值时有：（１）()()f x g x >；（２）()()f x g x =；（３）()()f x g x <． 变式：已知幂函数f(x)=x 322
--m m （m ∈Z ）为偶函数，且在区间（0，+∞）
上是单调减函数.（1）求函数f(x);（2）讨论F （x ）=a ）
（）（x xf b
x f -
的奇偶性
.
例3、右图为幂函数y x α=在第一象限的图像，则,,,a b c d 的大小关系是
（ ）
()A a b c d >>>
()B b a d c >>>()C a b d c >>> ()D a d c b >>>
解：取12
x =，
由图像可知：11112222c
d
b
a
????????
>>> ? ? ? ?????????
，
a b d c ?>>>，应选()C
例4：若四个幂函数y ＝a
x ，y ＝b x ，y ＝c x ，y ＝d
x 在
同一坐标系中的图象如右图，则a 、b 、c 、d 的大小关系是：
A 、d ＞c ＞b ＞a
b
c
B 、a ＞b ＞c ＞d
C 、d ＞c ＞a ＞b
D 、a ＞b ＞d ＞c
7下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系：
.
6543212
1
323
23
12
3---======x y x y x y x y x y x y ）；（）；（）（；）；（）；（）（
A ） （
B ） （
C ） （
D ） （
E ） （
F ）
其实，很多问题初一看很难，杂乱无章，千头万绪。但只要我们仔细研究理清思路，摸索规律还是很容易掌握的，希望通过这篇文章能让同学们尽快的掌握幂函数的特征，同时提高同学们学习函数的积极性，乃至学习数学的积极性。