108 第七章 玻耳兹曼统计
7.1 试根据公式l l
l
p a V
ε?=-?∑证明，对于非相对论粒子
()2
2
2
22
1222x
y z
p
n
n n m m L πε??
==++ ?
??
, (),,0,1,2,,
x
y z n
n n =±±
有
2.3U p V
=
上述结论对于玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立. 解: 处在边长为L 的立方体中，非相对论粒子的能量本征值为
()2
222
122x
y z
n n
n x
y z n
n n m L πε??=++ ???
, (),,0,1,2,,x y z n n n =±± （1）
为书写简便起见，我们将上式简记为
23
,l aV
ε-
= （2）
其中3
V
L
=是系统的体积，常量()
()2
222
22x
y z
a n
n n m
π=
++ ，并以单一指标l 代表
,,x y z n n n 三个量子数.
由式（2）可得
5113
22.3
3aV
V
V
εε-
?=-
=-
? （3）
代入压强公式，有
22,33l l
l l l
l
U p a a V
V
V
εε?=-=
=
?∑∑
（4）
式中l l
l
U
a ε=
∑是系统的内能.
上述证明示涉及分布{}l a 的具体表达式，因此式（4）对玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立.
前面我们利用粒子能量本征值对体积V 的依赖关系直接求得了系统的压强与内能的关系. 式（4）也可以用其他方法证明. 例如，按照统计物理的一般程序，在求得玻耳兹曼系统的配分函数或玻色（费米）系统的巨配分函数
109
后，根据热力学量的统计表达式可以求得系统的压强和内能，比较二者也可证明式（4）.见式（7.2.5）和式（7.5.5）及王竹溪《统计物理学导论》§6.2式（8）和§6.5式（8）. 将位力定理用于理想气体也可直接证明式（4），见第九章补充题2式（6）.
需要强调，式（4）只适用于粒子仅有平衡运动的情形. 如果粒子还有其他的自由度，式（4）中的U 仅指平动内能.
7.2 试根据公式l l
l
p a V
ε?=-?∑证明，对于相对论粒子
()1
2
222
2x
y z
cp c
n
n n
L
πε==++ , (),,0,1,2,,x
y z n
n n =±±
有
1.3U p V
=
上述结论对于玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立.
解: 处在边长为L 的立方体中，极端相对论粒子的能量本征值为
()1
2222
2x y z
n
n n x
y z
c
n
n n
L
πε=++ (),,0,1,2,,x
y z n
n n =±± （1）
用指标l 表示量子数,,,x
y z n n n V
表示系统的体积，3
V
L
=，可将上式简记为
13
,l aV
ε-= （2）
其中
()1
2222
2.x
y
z
a c n n n
π=++
由此可得
43
11.3
3l l aV
V
V
εε-
?=-
=-
? （3）
代入压强公式，得
1.33l l
l l l
l
U p a a V
V
V
εε?=-=
=
?∑∑
（4）
本题与7.1题结果的差异来自能量本征值与体积V 函数关系的不同. 式（4）对玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都适用.
110 7.3 当选择不同的能量零点时，粒子第l 个能级的能量可以取为l ε或*.
l
ε以?表示二者之差，*.l
l ε
ε?=-试证明相应配分函数存在以下关系*
11Z e
Z β-?
=，
并讨论由配分函数1Z 和*1
Z 求得的热力学函数有何差别.
解: 当选择不同的能量零点时，粒子能级的能量可以取为l ε或*
.l
l ε
ε=+?显
然能级的简并度不受能量零点选择的影响. 相应的配分函数分别为
1,l
l l
Z e βε
ω-=∑ （1）
*
*
1l
l
l l l
l
Z e
e
e
βεβεβωω
---?
=
=∑∑
1,e
Z β-?
= （2）
故
*
11ln ln .Z Z β=-? （3）
根据内能、压强和熵的统计表达式（7.1.4），（7.1.7）和（7.1.13），容易证明
*
,U U N =+? （4）
*
,p p = （5）
*
,S S = （6）
式中N 是系统的粒子数. 能量零点相差为?时，内能相差N ?是显然的. 式（5）和式（6）表明，压强和熵不因能量零点的选择而异. 其他热力学函数请读者自行考虑.
值得注意的是，由式（7.1.3）知
*
,ααβ=-?
所以
l
l l a e
αβεω--=
与
*
*
*
l
l l a e
αβεω--=
是相同的. 粒子数的最概然分布不因能量零点的选择而异. 在分析实际问题时可以视方便选择能量的零点.
7.4 试证明，对于遵从玻耳兹曼分布的定域系统，熵函数可以表示为
ln ,s s s
S Nk P P =-∑
式中s P 是粒子处在量子态s 的概率，
111
1
,s
s
s e
e
P N
Z αβεβε---=
=
s
∑是对粒子的所有量子态求和.
对于满足经典极限条件的非定域系统，熵的表达式有何不同？ 解: 根据式（6.6.9），处在能量为s ε的量子态s 上的平均粒子数为
.s
s f e
αβε--= （1）
以N 表示系统的粒子数，粒子处在量子态s 上的概率为
1
.s
s
s e
e
P N
Z αβεβε---=
=
（2）
显然，s P 满足归一化条件
1,s
s
P
=∑ （3）
式中s
∑是对粒子的所有可能的量子态求和. 粒子的平均能量可以表示为
.s
s
s
E P ε=
∑ （4）
根据式（7.1.13），定域系统的熵为
()
()
1111ln ln ln ln s s s
S N k Z Z N k Z N k P Z βββε
βε???
=- ?
???=+=+∑
ln .s s s
Nk P P =-∑ （5）
最后一步用了式（2），即
1ln ln .s s P Z βε=-- （6）
式（5）的熵表达式是颇具启发性的. 熵是广延量，具有相加性. 式（5）意味着一个粒子的熵等于ln .s s s
k P P -∑ 它取决于粒子处在各个可能状态的概率
s P . 如果粒子肯定处在某个状态r ，即s sr P δ=，粒子的熵等于零. 反之，当粒
子可能处在多个微观状态时，粒子的熵大于零. 这与熵是无序度的量度的理解自然是一致的. 如果换一个角度考虑，粒子的状态完全确定意味着我们对它有完全的信息，粒子以一定的概率处在各个可能的微观状态意味着我们对它缺乏完全的信息. 所以，也可以将熵理解为信息缺乏的量度. 第九章补充
112 题5还将证明，在正则系综理论中熵也有类似的表达式. 沙农（Shannon ）在更普遍的意义上引进了信息熵的概念，成为通信理论的出发点. 甄尼斯（Jaynes ）提出将熵当作统计力学的基本假设，请参看第九章补充题5. 对于满足经典极限条件的非定域系统，式（7.1.13′）给出
11ln ln ln !,S N k Z Z k N ββ???
=-- ????
上式可表为
0ln ,s s s
S Nk P P S =-+∑ （7）
其中
()0ln !ln 1.S k N Nk N =-=--
因为
,s s f N P =
将式（7）用s f 表出，并注意
,s s
f N =∑
可得
ln .s s s
S k f f Nk =-+∑ （8）
这是满足玻耳兹曼分布的非定域系统的熵的一个表达式. 请与习题8.2的结果比较.
7.5 因体含有A ，B 两种原子. 试证明由于原子在晶体格点的随机分布引起的混合熵为
()()()()!
ln
!1!
ln 1ln 1,
N S k N x N x N k x x x x =-????=-+--????
其中N 是总原子数，
x 是A 原子的百分比，1x -是B 原子的百分比. 注意1x <，上式给出的熵为正值.
解: 玻耳兹曼关系给出物质系统某个宏观状态的熵与相应微观状态数Ω的关系：
ln .S k Ω= （1）
对于单一化学成分的固体（含某种元素或严格配比的化合物），Ω来自晶格振
113
动导致的各种微观状态. 对于含有A ，B 两种原子的固体，则还存在由于两种原子在晶体格点上的随机分布所导致的Ω。如果近似认为原子在格点的随机分布与晶格振动没有相互影响，则
,ΩΩΩ=?振动混合
于是
ln ln S k Ωk Ω=+振动混合
.S S =+振动混合 （2）
本题要计算.S 混合
以N 表示固体所含的总原子数（等于晶体的格点数），x 表示A 原子的百分比，1x -表示B 原子的百分比，则A ，B 的原子数分别为N x 和()1N x -. 由于A ，B 原子在格点上的随机分布引起的微观状态数为
()()!
,!1!
N ΩN x N x =
-????混合 （3）
则
()()ln !
ln
.
!1!
S k ΩN k N x N x ==-????混合混合
利用斯特令公式，可将上式简化为
()()ln 1ln 1.S Nk x x x x =-+--????混合 （4）
由于1x <，上式给出的混合熵是正的.
7.6 晶体含有N 个原子. 原子在晶体中的正常位置如图中的“O ”所示. 当原子离开正常位置而占据图中的“?”位置时，晶体中就出现缺位和填隙原子. 晶体的这种缺陷称为弗伦克尔（Frenkel
）缺陷.
（a ）假设正常位置和填隙位置都是N ，试证明，由于在晶体中形成n 个缺
114 位和填隙原子而具有的熵等于
()!2In
.!!
N S k n N n =-
（b ）设原子在填隙位置和正常位置的能量差为u . 试由自由能F nu T S
=-为极小证明，温度为T 时，缺位和填隙原子数为
2u kT
n N e
-
≈ （设n N
<<
）.
解: 固体中原子的相互作用使固体形成规则的晶格结构. 晶格的格点是原子的平衡位置. 当所有原子都处在其平衡位置时，固体的能量最低. 绝对零度下物质将尽可能处在其能量最低的状态. 由于量子效应，绝对零度下原子并非静止在格点上而是围绕格点作零点振动. 温度升高时，一方面晶格振动会随温度升高而变得剧烈；另一方面有的原子会离开其正常的格点位置占据填隙位置，有的原子离开正常的格点位置占据晶体表面的格点位置而形成新的一层，使固体出现缺陷，前者称为弗伦克尔缺陷，后者称为肖脱基（Shottky ）缺陷. 本题讨论弗伦克尔缺陷，肖脱基缺陷将在7.7题讨论.
（a ）设晶体含有N 个原子，晶格中正常的格点位置亦为N . 当1N
>>时可
以认为填隙位置与正常位置数目相同. 当固体的N 个正常位置出现n 个缺位 时，由于缺位位置的不同，可以有()!!!
N n N n -个微观状态. 同样，由于填隙位
置的不同，也可以有
()!!!
N n N n -个微观状态. 因此当固体中出现n 个缺位和n 个
填隙原子时，可能的微观状态数为
()()!
!
,!!!!
N N Ωn N n n N n =
?
-- （1）
形成弗伦克尔缺陷导致的熵为
()ln !2ln
.
!!
S k Ω
N k n N n ==- （2）
（b ）以u 表示原子处在填隙位置与正常位置的能量差. 形成n 个缺位和填隙原子后，固体内能的增加为
.U nu = （3）
115
自由能的改变为
()()()!2ln
!!
2ln ln ln .
F nu TS
N nu kT n N n nu kT N N n n N n N n =-=--=-----???? （4）
假设形成缺陷后固体的体积不变，温度为T 时平衡态的自由能为极小要求
0.F n
?=?
由式（4）得
2ln
0,F N n u kT n
n
?-=-=?
即
ln ,2N n u n
kT
-=
由于n N
<<
，上式可以近似为
2e
.u kT
n N -
≈ （5）
实际固体中u 的典型值约为1eV ，在300K 时，有
20
8.7
e
10
.n N
--≈=
高温下比值会增大.
上述讨论中假设形成缺隐时固体的体积不变. 在这假设下应用了自由能判据，u 也成为与温度无关的常量.讨论中也忽略了形成缺陷与晶格振动的相互影响. 这些假设都是近似成立的.
7.7 如果原子脱离晶体内部的正常位置而占据表面上的正常位置，构成新的一层，晶体将出现如图所示的缺陷，称为肖脱基缺陷. 以N 表示晶体中的原子数，n 表示晶体中的缺陷数. 如果忽略晶体体积的变化，试用自由能为极小的条件证明，温度为T 时，有
e
W kT
n N -≈ （设n N
<<
）
其中W
为原子在表面位置与正常位置的能量差.
116 解: 当n 个原子由内部的正常位置转移到表面的正常位置后，在原有的N 个正常位置中就有n 个缺位. 由于缺位位置的不同，可以有
()!!!
N Ωn N n =
- （1）
个微观状态. 所以形成n 个肖脱基缺陷后固体的熵增为
()ln !ln
!!
S k ΩN k n N n ==-
()()ln ln ln .k N N n n N n N n =----???? （2）
原子处在内部较之处在表面受到更多近邻原子的作用，因而具有较低的能量. 以W 表示原子在表面位置与正常位置的能量差. 当形成n 个肖脱基缺位后内能的增加为
.U nW = （3）
自由能的改变为
()()()!ln
!!
ln ln ln .
F nW TS N nW kT n N n nu kT N N n n N n N n =-=--=-----???? （4）
忽略固体体积的变化，温度为T 时平衡态自由能最小要求
0.F n
?=?
由式（4）得
ln
0,F N n W kT n
n
?-=-=?
即
ln ,2N n W n
kT
-=
由于n N
<<
，上式可以近似为
2e
.W kT
n N -
≈ （5）
W
的典型值约为1eV ，在T=300K 时，有
40
17
e
10
.n N
--≈=
n 的数值随温度升高而增大.
讨论中得到式（4）时所作的近似与7.6题的近似相仿.
117
7.8 稀薄气体由某种原子组成. 原子两个能级能量之差为
210.εεω-=
当原子从高能级2ε跃迁到低能级1ε时将伴随着光的发射. 由于气体中原子的速度分布和多普勒（Doppler ）效应，光谱仪观察到的不是单一频率0ω的谱线，而是频率的一个分布，称为谱线的多普勒增宽. 试求温度为T 时谱线多普勒增宽的表达式.
解：我们首先根据在原子跃迁发射光子过程中动量和能量的守恒关系导出多普勒效应.
为明确起见，假设光谱仪接受沿z 轴传播的光，原子的誓师为m ，初态处在能级2ε，速度为2υ，发射能量为ω ，动量为k （平行于z 轴）的光子后跃迁到能级1ε，速度变为1v 动量守恒和能量守恒要求
12,m n += υk υ （1）
2
2
112211.2
2
m υm υεωε+
+=+
（2）
将式（1）平方并除以2m ，得
22
22
1
1211,222
k m υm υm
+
+?=
υk
代入式（2），注意210.εεω-= 即有
2
2
01,2k m
ωω=-?-
υk
或
2102
.2z υc
mc
ωω
ωω=-
- （3）
式（3）右方后两项的大小估计如下：考虑
26
2
-1
115-1
10
kg,
310m s ,
10s ,
z m υω-??
即有
118 6
19
2
10,
10.
2z υc
m c
ω--
因此右方第三项完全可以忽略，且ω与0ω的差别很小. 将式（3）改写为
11011.z z
υc
υc ωωω=
-
?
?≈+ ??
?
（4）
式（4）给出多普勒频移. 多普勒频移通常表达为：当原子以速度v 面对观察者运动时，观察者看到的光频是
01,υc ωω?
?=+
???
其中0ω是静止原子发出的光的频率.
根据式（7.3.7），温度为T 时，气体中原子速度的z 分量z υ到z z υd υ+之间的概率与下式成正比：
2
2e
d .z
m υkT
z υ- （5）
将式（4）代入上式可以得到光的频率分布
()
2
2
02
20
e
d .c m kT
c
ωωωωω-- （6）
这是以0ω为中心的高斯（Gaussian ）型分布. 可以将式（6）表示为高斯型分布的标准形式：
()()
()
2
02
,
212
2
1
e
2F ωωδ
ωπδ--=
（7）
其中1
2
02.kT m c δω??= ???
函数()F ω满足归一化条件
()d 1.F ωω=? （8）
式（7）可以从实验加以验证. 这是实验上验证麦氏速度分布的方法之一.
7.9 气体以恒定速度沿z 方向作整体运动. 试证明：在平衡状态下分子
119
动量的最概然分布为
()232
023
d d d e
.x y z p p p p x y Z
m V p p p h
βα??
--
++-???
?
解: 气体是非定域系统，由于满足经典极限条件而遵从玻耳兹曼分布. 与分布{}l a 相应的气体的微观状态数为
,!
l a l
l
l
l
Ωa
ω
=
∏∏ （1）
其对数为
ln ln ln !l
l l l
l
Ωa
a ω=
-∑∑
()1ln ln 1.l
l l l
l
a
a a ω=
--∑∑ （2）
在气体沿z 方向作整体运动的情形下，分布必须满足下述条件：
,
,
l
l l
l
l
a
N a E ε
==∑∑
,l
lz z l
a
p p =∑ （3）
其中z p 是气体在z 方向的总动量，lz p 是处在能级l 的分子所具有的z 方向动量. 气体分子的最概然分布是在限制条件（3）下，使ln Ω为极大的分布. 令各l a 有l a δ的变化，ln Ω将因而有变化
ln ln
,l
l l
l
a Ωa ωδ=-δ∑
限制条件（3）要求
0,
0,
0.
l
l
l l
l
z lz l l
N a
E a p p a εδ=δ=δ=δ=δ=
δ=∑∑∑
用拉氏乘子1,
αβ
和γ乘这三个式子并从ln Ωδ中减去，得
120 1ln ln 0.
z
l l lz l
l l ΩN E p a
p a αβγαβεγωδ-δ-δ-δ??=-+++δ ???=∑
根据拉氏乘子法原理，每个l a δ的系数都等于零，所以有
1ln
0,l
l lz l
a p αβεγω+++=
或
1e
.l lz
p l l a αβεγω---= （4）
可以将式（4）必定为动量的连续分布：在体积V 内，在动量x p 到d ,x
x y
p
p p +到d ,y
y z
p
p p +到d z z p p +内的分子数为
(
)
222
123
d d d e
,
x y z z
p p p p x y z
m
V p p p h
β
αγ--
++- （5）
或
()222
1023
d d d e
,
x y z p p p p x y z
m V p p p h
βα??
--
++-???
?
（6）
其中
02
1,
2m p m γ
β
γααβ
=-
=-
2
01.2p m
βα=-
（7）
式中的参量0,,
p αβ由式（3）确定. 由式（3）第一式得
()222
023
d d e
x y z p p p p x y z
m V p p p N h
βα??
--
++-+∞???
?
-∞
=
???
121
3
232e
,V m h παβ??-
???
= （8）
代入式（6）消去1
e α-，可将气体分子的动量分布表达为
()2
2
2
03
22e d d d .2x y z p p p p m x y z N p p p m β
βπ??-++-????
?? ???
（9） 利用式（9）求z p 的平均值，得
()222
03
2
20e
d d d .2x y x p p p p m z z x y z p p p p p p m ββπ??
-
++-+∞???
?
-∞
??== ?
??
???
所以0p 是z p 的平均值. 0p 与z p 的关系为
0.z p N p =
在气体具有恒定的整体速度的情形下,气体的平衡状态不受破坏（参看§11.6），其物态方程仍由pV
NkT
=描述. 据此容易证明
1.kT
β=
7.10 气体以恒定速度0υ沿z 方向作整体运动，求分子的平均平动能量. 解: 根据7.9题式（9），以恒定速度0υ沿z 方向作整体运动的气体，其分子的速度分布为
()2
22
03
22e d d d .2x y z m
υυυυkT x y z m N υυυkT π??-++-????
?? ???
（1） 分子平动量的平均值为
()()()222
02
22
03
2
22221
22222221e
d d d 22
111e d e d e d .2222x y z x y z m υυυυkT x
y z
x y z
m
m
m
υυυυkT kT kT
x x y y z z
m m υυυ
υυυkT m m υυm υυm υυkT εππ??
-
++-+∞?
???-∞
----+∞+∞+∞-∞-∞-∞??=++ ?
??
??
??=++ ? ?????
???
???
上式头两项积分后分别等于
12
kT
，第三项的积分等于
()()()()222z 0001
22222200z 02
2
001e d 2e d e d 2211.
2
2
z z m m m υυυυυυkT kT kT
z z z z m m υυυυυυυυkT kT m υm υπ------+∞+∞+∞-∞-∞-∞
?????-+- ? ?????
=
+-
???
因此，
122
2
031.2
2
kT m υε=
+
（2）
式（2）表明，气体分子的平动能量等于无规热运动的平均能量32
kT 及整体运
动能量2012
m υ之和.
7.11 表面活性物质的分子在液面上作二维自由运动，可以看作二维气体. 试写出二维气体中分子的速度分布和速率分布，并求平均速率υ，最概然速率m υ和方均根速率s .υ
解: 参照式（7.3.7）—（7.3.9），可以直接写出在液面上作二维运动的表面活性物质分子的速度分布和速率分布. 速度分布为
()
2
2
2e
d d .2x
y
m υ
υkT
x y m υυkT
π-
+ （1）
速率分布为
2
22e
d .2m υ
kT
m υυkT
π
π- （2）
平均速率为
2
2
20
e
d m υ
kT
m υυυkT -
+∞=
?
.2kT m
π=
（3）
速率平方的平均值为
2
2
3
20
e
d 2.
m υ
kT
m υυυ
kT kT
m
-
+∞==
?
因此方均根速率为
2
2.s kT υυm
=
=
（4）
最概然速率m υ条件
2
2d e
0d m υ
kT υυ-??
= ?
???
123
确定. 由此可得
.m kT υm
=
（5）
值得注意，上述,
,s m υυυ三种速率均小于三维气体相应的速率，这是由于二维
和三维气体中速率在υ到d υυ+中的分子数分别与速度空间的体积元2d υυπ和
2
4d υυπ成正比，因而二维气体中大速率分子的相对比例低于三维气体的缘故.
7.12 根据麦克斯韦速度分布律导出两分子的相对速度21r =-υυυ和相对
速率r
r
υ=υ的概率分布，并求相对速率的平均值.r υ
解: 根据麦克斯韦速度分布，分子1和分子2各自处在速度间隔1d υ和2d υ的概率为
12d d d W W W =?
2
2
1
2
1
3
2
2
2212e d e
d .22m υm υkT
kT
m m kT kT ππ-
-
??
??=? ? ???
??
υυ （1）
上述两个分子的运动也可以用它们的质心运动和相对运动来描述. 以c υ表示质心速度、r υ表示相对速度，则
1122
12
,c m m m m +=
+υυυ
21.r =-υυυ （2）
在12
m m m
==的情形下，上式简化为
()12211,
2
.
c r =
+=-υυυυυυ
容易验明，两种描述给出的动能K 相同，即
2
2
2
2
11221111.22
2
2
c r K m υm υM υυμ=
+
=
+
（3）
式中
121212
,
,
M m m m m m m μ=+=
+
分别是质心的质量和相对运动的约化质量. 在12m m m
==的情形下，有
124 2,
.
2
M m m μ==
根据积分变换公式
12d d d d ,c r J =υυυυ （4）
可以证明1J
=，所以式（1）也可表达为
2
2
3
3
2
2
v 22d e
d e
d 22c
r
r
m υυd kT
kT
c r
M W kT kT μμππ-
-
????
=? ? ???
??
υυ
d d ,c r W W = （5）
其中相对速度r υ的概率分布为
2
3
2
2d e
d .2r
υkT
r r W kT μμπ-
??
= ???
υ （6）
相对速率的分布为
2
3
2
2
2r 4e
d .2r
υkT
r υυkT μμππ-
??
???
（7）
相对速率r υ的平均值为
2
3
2
3
20
4e
d 28r
υkT
r r r
υυυkT kT
μμπππμ
-
+∞??
= ?
??=
?
2,υ=
（8）
式中8hT
υm
π=是气体分子的平均速率.
7.13 试证明，单位时间内碰到单位面积器壁上，速率介于υ与d υυ+之间的分子数为
()2
3
23
2d e
d .2m
υkT m Γυn υυkT π-??=π ???
解: 参照式（7.3.16），单位时间内碰到法线方向沿z 轴的单位面积器壁上，速度在d d d x
y z υ
υυ范围内的子数为
d d d d .z x y z Γf υυυυ= （1）
125
用速度空间的球坐标，可以将式（1）表为
2
d cos sin d d d .Γf υυυθθθ?= （2）
对d θ和d ?积分，θ从0到π,
2
?
从0到2π,有
π
2π200
sin cos d d π.θθθ
?=?
?
因此得单位时间内碰到单位面积器壁上，速率介于υ与d υυ+之间的分子数为
()2
3
23
2d πe
d .2m
υkT m Γυn υυkT π-??= ???
（3）
7.14 分子从器壁的小孔射出，求在射出的分子束中，分子的平均速率、方均根速率和平均能量.
解: 7.13题式（3）已求得了单位时间内，碰到单位面积器壁上，速率在υ至υd υ+范围的分子数为
()2
3
2
3
2d πe
d .2πm υ
kT
m Γυn υυkT -
??
= ???
（1）
如果器壁有小孔，分子可以通过小孔逸出. 当小孔足够小，对容器内分子的平衡分布影响可以忽略时，单位时间内逸出的分子数就等于碰到小孔面积上的分子数. 因此在射出的分子束中，分子的平均速率为
()()
2
2
4
20
03
20
d e d d e
d m υ
kT m υ
kT
υΓυυυυΓυυυ
-+∞+∞+∞-
+∞=
=
?
?
?
?
9π.8kT m
=
（2）
速率平方的平均值为
2
2
5
22
03
20
e d e
d m υ
kT m υ
kT
υυυυυ
-
+∞-
+∞=
??
4kT m
=
（3）
即速率的方均根值为
2
4.s kT υυm
=
=
（4）
126 平均动能为
2
12.2
m υkT = （5）
上述结果表明，分子束中分子的平均速率和平均动能均大于容器内气体分子的相应平均值. 原因在于，大速率分子有较大的概率从小孔逸出，使式（1）含有因子3υ，而平衡态分子速率分布（7.3.9）含因子2υ的缘故.
7.15 承前5.2题.
（a ）证明在温度均匀的情形下，由压强差引起的能量流与物质流之比
2.u un n
nn
J L RT J L ==
（b ）证明在没有净物质流通过小孔，即0n J =时，两边的压强差p
?与温
度差T ?满足：
1.2p p T
T
?=?
或
121
2
.p p T T =
解:（a ）为明确起见，我们考虑单原子气体. 7.14题式（5）已给出通过小孔逸出的分子平均能量为2.kT 在本题讨论的情形下，隔板两侧的气体分子可能从一侧逸出进入另侧. 在两侧温度桢时，逸出分子所携带的平均能量是桢的，均为2.kT 但两侧存在压强差时，单位时间内将有更多 的分子从压强高的一侧进入另侧. 以u J 和n J 分别表示净能量流和净物质流（单位时间通过小孔的净能量和净物质的量），则有
22.u A n
J N kT RT J == （1）
（b ）将式（1）代入5.2题式（6），并注意对于单原子分子理想气体，有
5,2m m H U R T R T =+=
则有
127
1
12.2m R T
p
p
T V T T
?==? （2） 将式（2）改写为
1,2dp dT p
T
=
积分，即有
121
2
.p p T T =
（3）
这意味着，在两侧的压强和温度满足式（3）的情形下，两侧之间不存在净物质流，但存在能量流. 解释是，压强差和温度差都会引导起物质的流动，在满足式（3）时，双向的物质流彼此抵消使净物质流为零. 但两侧存在温度差时双向物质流中分子平均能量不同，因而存在净能量流.
7.16 已知粒子遵从经典玻耳兹曼分布，其能量表达式为
()22
2
2
1
,2x
y z p p p ax bx m
ε=
++++
其中,a b 是常量，求粒子的平均能量.
解: 应用能量均分定理求粒子的平均能量时，需要注意所难能量表达式ε中2ax 和bx 两面三刀项都是x 的函数，不能直接将能量均分定理用于2ax 项而得 出2
12
ax
kT
=
的结论. 要通过配方将ε表达为
()2
2
2
221
.224x
y
z
b b p p p a x m a a ε?
?=++++- ?
?
? （1） 在式（1）中，仅第四项是x 的函数，又是平方项. 由能量均分定理知
()2
2
2
221
24x
y
z
b b p p p a x m a a ε?
?=++++- ??
?
2
2.4b
kT a
=-
（2）
7.17 气柱的高度为H ，处在重力场中. 试证明此气柱的内能和热容量为
第五章 一、单项选择题 1．抽样推断的目的在于（） A．对样本进行全面调查 B．了解样本的基本情况 C．了解总体的基本情况 D．推断总体指标 2．在重复抽样条件下纯随机抽样的平均误差取决于（） A．样本单位数 B．总体方差 C．抽样比例 D．样本单位数和总体方差 3．根据重复抽样的资料，一年级优秀生比重为10%，二年级为20%，若抽样人数相等时，优秀生比重的抽样误差（） A．一年级较大 B．二年级较大 C．误差相同 D．无法判断 4．用重复抽样的抽样平均误差公式计算不重复抽样的抽样平均误差结果将（）A．高估误差 B．低估误差 C．恰好相等 D．高估或低估 5．在其他条件不变的情况下，如果允许误差缩小为原来的1/2，则样本容量（）A．扩大到原来的2倍 B．扩大到原来的4倍 C．缩小到原来的1/4 D．缩小到原来的1/2 6．当总体单位不很多且差异较小时宜采用（） A．整群抽样 B．纯随机抽样 C．分层抽样 D．等距抽样 7．在分层抽样中影响抽样平均误差的方差是（） A．层间方差 B．层内方差 C．总方差 D．允许误差 二、多项选择题 1．抽样推断的特点有（） A．建立在随机抽样原则基础上 B．深入研究复杂的专门问题 C．用样本指标来推断总体指标 D．抽样误差可以事先计算 E．抽样误差可以事先控制 2．影响抽样误差的因素有（） A．样本容量的大小 B．是有限总体还是无限总体 C．总体单位的标志变动度 D．抽样方法 E．抽样组织方式 3．抽样方法根据取样的方式不同分为（） A．重复抽样 B．等距抽样 C．整群抽样 D．分层抽样 E．不重复抽样 4．抽样推断的优良标准是（） A．无偏性 B．同质性 C．一致性 D．随机性 E．有效性 5．影响必要样本容量的主要因素有（） A．总体方差的大小 B．抽样方法
六年级（上册）数学第七章：扇形统计图测试卷 学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________ 一、选择题（本题共计 10 小题，每题 2 分，共计20分，） 1. 某校男生，女生人数表示在图中的扇形区（如图），则男生占全校人数的 百分比为（） A.98% B.52% C.48% 2. 在一幅扇形统计图中，有一个扇形的面积占整个圆面积的1 ，这个扇形的圆心角是 6 （） A.45° B.60° C.90° 3. 小明统计学校五、六年级的男生和女生人数，制成了下面扇形统计图。请你根据图中反映的男生女生人数的关系判断，下面说法可能正确的（） A.五年级250人，六年级200人 B.五年级200人，六年级225人 C.五年级200人，六年级160人 D.五年级160人，六年级200人 4. 大数据显示，自2019年7月1日至10月6日，全网与“新中国成立70周年”主题相关的信息约2.5亿条。其中来自各渠道的信息量统计如下图，信息量最多的是（） A.微信平台 B.微博平台 C.新闻网站平台 D.论坛博客平台
5. 王爷爷养了200只鸡，150只鸭，50只鹅，如果制成扇形统计图，表示鸡的只数，扇形圆心角是（）度。 A.180° B.120° C.90° D.150° 6. 某公司有员工700人，元旦要举行活动，如图是分别参加活动的人数的百分比，规 定每人只允许参加一项且每人均参加，则不下围棋的人共有（） A.259人 B.441人 C.350人 D.490人 7. 如两个扇形统计图，其中说法不正确的是（） A.甲班的女生占全班人数的2 5 B.乙班的男生占全班人数的7 10 C.乙班的男生一定比甲班的男生多 8. 画统计图时，要根据信息的特点来画。在下面的信息中，适合用扇形统计图的是（） A.六年级一班女同学的身高 B.芳芳6?12岁的身高变化 C.大豆的营养成分 9. 六(1)班选举班长。全班50个同学，每人都投了一票。其中25票投了王强，15票投 了李芳，其余的票投了刘宏。如果把选举结果用扇形统计图表示出来，下面（）图表 示了这一选举结果。 A. B. C.
第3章 多元正态总体的假设检验与方差分析 从本章开始，我们开始转入多元统计方法和统计模型的学习。统计学分析处理的对象是带有随机性的数据。按照随机排列、重复、局部控制、正交等原则设计一个试验，通过试验结果形成样本信息（通常以数据的形式），再根据样本进行统计推断，是自然科学和工程技术领域常用的一种研究方法。由于试验指标常为多个数量指标，故常设试验结果所形成的总体为多元正态总体，这是本章理论方法研究的出发点。 所谓统计推断就是根据从总体中观测到的部分数据对总体中我们感兴趣的未知部分作出推测，这种推测必然伴有某种程度的不确定性，需要用概率来表明其可靠程度。统计推断的任务是“观察现象，提取信息，建立模型，作出推断”。 统计推断有参数估计和假设检验两大类问题，其统计推断目的不同。参数估计问题回答诸如“未知参数θ的值有多大?”之类的问题,而假设检验回答诸如“未知参数θ的值是0θ吗?”之类的问题。本章主要讨论多元正态总体的假设检验方法及其实际应用，我们将对一元正态总体情形作一简单回顾，然后将介绍单个总体均值的推断， 两个总体均值的比较推断，多个总体均值的比较检验和协方差阵的推断等。 3.1一元正态总体情形的回顾 一、 假设检验 在假设检验问题中通常有两个统计假设（简称假设）,一个作为原假设（或称零假设），另一个作为备择假设（或称对立假设），分别记为0H 和1H 。 1、显著性检验 为便于表述，假定考虑假设检验问题：设1X ，2X ，…,n X 来自总体),(2 σμN 的样本，我们要检验假设 100:,:μμμμ≠=H H （3.1） 原假设0H 与备择假设1H 应相互排斥，两者有且只有一个正确。备择假设的意思是，一旦否定原假设0H ，我们就选择已准备的假设1H 。 当2 σ已知时，用统计量n X z σ μ -=
统计学基础第五章动态数列分析 【教学目的】 1.区分不同种类的动态数列 2.熟练掌握计算平均发展水平的各种方法 3.掌握发展速度、增长速度的种类，运用它们之间的数量关系进行动态指标的相互推算 4.理解趋势的意义，运用长期趋势测定方法对长期趋势进行测定 5.计算季节比率，并且深刻理解季节比率的经济含义 【教学重点】 1.总量指标动态数列的种类和特点 2.动态比较指标和动态平均指标的计算 3.动态数列的分析方法 【教学难点】 1.绝对数时间数列中的时点数列平均指标的计算 2.相对数、平均数时间数列动态平均指标的计算 3.动态数列分析方法中的季节变动分析方法 【教学时数】 教学学时为12课时 【教学容参考】 第一节动态数列的意义和种类 一、动态数列的概念 将某一个统计指标在不同时间上的各个数值，按时间先后顺序排列，就形成了一个动态数列，也叫做时间数列。动态数列一般由两个基本要素构成：一是被研究现象所属的时间；二是反映该现象的统计指标数值。 通过编制和分析动态数列，首先可以从现象的量变过程中反映其发展变化的方向、程度和趋势，研究其质量变化的规律性。 其次，通过对动态数列资料的研究，可以对某些社会经济现象进行预测。 第三，利用动态数列，可以在不同地区或国家之间进行对比分析。 编制和分析动态数列具有非常重要的作用，这种方法已成为对社会经济现象进行统计分析的一种重要方法。 【案例】 下面图表列举了我国2004～2007年若干经济指标的动态数列。 表5-1 我国2004-2007年若干经济指标 二、动态数列的种类 按照构成动态数列的基本要素———统计指标的表现形式不同，动态数列可分为绝对数动态数列、相对数动态数列和平均数动态数列三种类型。其中绝对数动态数列是基本的数列，相对数和平均数动态数列是派生数列。
统计学复习笔记 第七章参数估计 一、思考题 1．解释估计量和估计值 在参数估计中，用来估计总体参数的统计量称为估计量。估计量也是随机变量。如样本均值，样本比例、样本方差等。 根据一个具体的样本计算出来的估计量的数值称为估计值。 2．简述评价估计量好坏的标准 （1）无偏性：是指估计量抽样分布的期望值等于被估计的总体参数。 （2）有效性：是指估计量的方差尽可能小。对同一总体参数的两个无偏估计量，有更小方差的估计量更有效。 （3）一致性：是指随着样本量的增大，点估计量的值越来越接近被估总体的参数。 3．怎样理解置信区间 在区间估计中，由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间。置信区间的论述是由区间和置信度两部分组成。有些新闻媒体报道一些调查结果只给出百分比和误差（即置信区间），并不说明置信度，也不给出被调查的人数，这是不负责的表现。因为降低置信度可以使置信区间变窄（显得“精确”），有误导读者之嫌。在公布调查结果时给出被调查人数是负责任的表现。这样则可以由此推算出置信度（由后面给出的公式），反之亦然。 4．解释95%的置信区间的含义是什么 置信区间95%仅仅描述用来构造该区间上下界的统计量（是随机的）覆盖总体参数的概率。也就是说，无穷次重复抽样所得到的所有区间中有95%（的区间）包含参数。 不要认为由某一样本数据得到总体参数的某一个95%置信区间，就以为该区间以的概率覆盖总体参数。 5．简述样本量与置信水平、总体方差、估计误差的关系。 1. 估计总体均值时样本量n 为 （z 2 ）2 2其中： E z n n E22 其中： E z 2 n 2. 样本量n 与置信水平1- α、总体方差、估计误差E之间的关系为与置信水平 成正比，在其他条件不变的情况下，置信水平越大，所
Abbo无私奉献，只收1个金币，BS收5个金币的… 何老师考简单点啊……
第七章 因子分析 7.1 试述因子分析与主成分分析的联系与区别。 答：因子分析与主成分分析的联系是：①两种分析方法都是一种降维、简化数据的技术。②两种分析的求解过程是类似的，都是从一个协方差阵出发，利用特征值、特征向量求解。因子分析可以说是主成分分析的姐妹篇，将主成分分析向前推进一步便导致因子分析。因子分析也可以说成是主成分分析的逆问题。如果说主成分分析是将原指标综合、归纳，那么因子分析可以说是将原指标给予分解、演绎。 因子分析与主成分分析的主要区别是：主成分分析本质上是一种线性变换，将原始坐标变换到变异程度大的方向上为止，突出数据变异的方向，归纳重要信息。而因子分析是从显在变量去提炼潜在因子的过程。此外，主成分分析不需要构造分析模型而因子分析要构造因子模型。 7.2 因子分析主要可应用于哪些方面？ 答：因子分析是一种通过显在变量测评潜在变量，通过具体指标测评抽象因子的统计分析方法。目前因子分析在心理学、社会学、经济学等学科中都有重要的应用。具体来说，①因子分析可以用于分类。如用考试分数将学生的学习状况予以分类；用空气中各种成分的比例对空气的优劣予以分类等等②因子分析可以用于探索潜在因素。即是探索未能观察的或不能观测的的潜在因素是什么，起的作用如何等。对我们进一步研究与探讨指示方向。在社会调查分析中十分常用。③因子分析的另一个作用是用于时空分解。如研究几个不同地点的不同日期的气象状况，就用因子分析将时间因素引起的变化和空间因素引起的变化分离开来从而判断各自的影响和变化规律。 7.3 简述因子模型中载荷矩阵A 的统计意义。 答：对于因子模型 1122i i i ij j im m i X a F a F a F a F ε=++++++ 1,2,,i p = 因子载荷阵为1112 121 2221212 (,,,)m m m p p pm a a a a a a A A A a a a ????? ?==?? ?? ?? ? ? A i X 与j F 的协方差为： 1Cov(,)Cov(,)m i j ik k i j k X F a F F ε==+∑ =1 Cov( ,)Cov(,)m ik k j i j k a F F F ε=+∑ =ij a 若对i X 作标准化处理，=ij a ,因此 ij a 一方面表示i X 对j F 的依赖程度；另一方面也反映了
新人教版数学五年级下册第七章7.1折线统计图课时练习D卷 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 亲爱的小朋友，经过一段时间的学习，你们掌握了多少知识呢？今天就让我们来检测一下吧！一定要仔细哦！ 一、选择题（共15小题） (共15题；共30分) 1. （2分） (2019六上·东源期末) 记录发热病人的体温变化情况，最适合的统计图是（）。 A . 条形统计图 B . 折线统计图 C . 扇形统计图 2. （2分）(2020·平凉) 要表示某天温度变化的情况，应选择（）。 A . 条形统计图 B . 折线统计图 C . 扇形统计图 3. （2分）(2018·东莞) 要统计东莞近五年降水量的变化情况，选用（）统计图比较合适。 A . 条形 B . 折线 C . 扇形 D . 不确定 4. （2分）(2019·京山) 关于选用统计图，下面说法合适的是（） A . “二孩”政策后，为统计本区每个月新生儿出生变化情况，选用条形统计图。 B . 要统计一袋牛奶里的营养成分所占百分比情况，选用扇形统计图。
C . 要了解超市每月销售额和利润额数据，选用折线统计图。 D . 以上都合适。 5. （2分） (2019五下·东海期中) 要反映一个病人的体温变化情况，用（）比较合适。 A . 条形统计图 B . 折线统计图 C . 统计表 D . 以上三种都可以 6. （2分）下面情形适合用折线统计图表示的是（）。 A . 商场内空调、风扇、吹风机的销售情况 B . 班级中喜欢吃香蕉、苹果、桔子、荔枝的人数 C . 一天的气温情况 D . 班级里小明、小红、小亮、小林四位同学的考试成绩 7. （2分）要反映一位病人24小时内心跳次数和变化情况，护士需要把病人心跳数据制成（）统计图。 A . 条形 B . 折线 C . 扇形 8. （2分）星期天晚饭后，小红从家里出去散步，如图描述了她散步过程中离家的距离s(米)与散步所用时间t(分)之间的关系图，依据图象，下面的描述符合小红散步情景的是（）
第七章统计指数 一、判断题 1.分析复杂现象总体的数量变动，只能采用综合指数的方法。（） 2.在特定的权数条件下，综合指数与平均指数有变形关系。（） 3.算术平均数指数是通过数量指标个体指数，以基期的价值量指标为权数，进行 加权平均得到的。（） 4.在简单现象总量指标的因素分析中，相对量分析一定要用同度量因素，绝对量 分析可以不用同度量因素。（） 5.设p表示单位成本，q表示产量，则∑p1q1－∑p0q1表示由于产品单位成本 的变动对总产量的影响。（） 6.设p表示价格，q表示销售量，则∑p0q1－∑p0q0表示由于商品价格的变动对 商品总销售额的影响。（） 7.从指数化指标的性质来看，单位成本指数是数量指标指数。（） 8.如果各种商品价格平均上涨5%，销售量平均下降5%，则销售额指数不变。（） 1、× 2、√ 3、√ 4、× 5、× 6、× 7、× 8、×。 二、单项选择题 1.广义上的指数是指（）。 A.价格变动的相对数 B.物量变动的相对数 C.社会经济现象数量变动的相对数 D.简单现象总体数量变动的相对数 2.编制总指数的两种形式是（）。 A.数量指标指数和质量指标指数 B.综合指数和平均数指数 C.算术平均数指数和调和平均数指数 D.定基指数和环比指数 3.综合指数是（）。 A.用非全面资料编制的指数 B.平均数指数的变形应用 C.总指数的基本形式 D.编制总指数的唯一方法 4.当数量指标的加权算术平均数指数采用特定权数时，计算结果与综合指数相同， 其特定权数是（）。 A.q1p1 B.q0p1 C.q1p0 D.q0p0 5.当质量指标的加权调和平均数指数采用特定权数时，计算结果与综合指数相同， 其特定权数是（）。 A.q1p1 B.q0p1 C.q1p0 D.q0p0 6.在由三个指数所组成的指数体系中，两个因素指数的同度量因素通常（）。 A.都固定在基期 B.都固定在报告期 C.一个固定在基期，一个固定在报告期 D.采用基期和报告期交叉 7.某市1995年社会商业零售额为12000万元，1999年增至15600万元，这四年物 价上涨了4%，则商业零售量指数为（）。 A.130% B.104% C.80% D.125% 8.某造纸厂1999年的产量比98年增长了13.6%，总成本增长了12.9%，则该厂1999 年产品单位成本（）。 A.减少0.62% B.减少5.15% C.增加12.9% D. 增加1.75% 9.已知某工厂生产三种产品，在掌握其基期、报告期生产费用和个体产量指数时， 编制三种产品的产量总指数应采用（）。
第五章 一、填空题： 1、时间序列的构成要素包括 和 。 2、绝对数时间序列可以分为 和 两种，序列中不同时间数值相加有实际的意义的是 。 3、设i=1,2,…n ， i a 为第i 期发展水平，则1a 称为 ，n a 称为 ，/i a 1 i a 是 ， /i a 1a 是 。 4、计算间断时点序列平均发展水平，一般有两个假设条件：假设上期末水平 本期初水平，其二是假设现象在间断期内数量 变化。 5、时间序列的波动可以分解为 、 、循环变动和不规则变动。 6、报告期粮食总产量增加12%，粮食播种面积增加9%，则粮食每亩产量提高 。 二、单项选择题 1、时间序列与变量数列（ ）。 A 、都是根据时间顺序排列的 B 、都是根据变量值大小排列的 C 、前者根据时间顺序排列的，后者根据变量值大小排列的 D 、前者根据变量值大小排列的，后者根据时间顺序排列的 2、时间序列中，数值大小与时间长短有直接关系的是( )。 A 、时点序列 B 、时期序列 C 、平均数时间序列 D 、相对数序列 3．对时间数列进行动态比较分析和动态平均分析的基础指标是（ ）。 A 、发展水平 B 、发展速度 C 、平均发展水平 D 、平均发展速度 4、发展速度属于（ ）。 A 、比例相对数 B 、动态相对数 C 、比较相对数 D 、强度相对数 5、一个动态数列的多个环比增长速度分别为4%、6%、9%，该数列的定基增长速度为（ ）。 A 、4%×6%×9% B 、 104%×106%×109% C 、（4%×6%×9%）-1 D 、（104%×106%×109%）-1 6、 若各年环比增长速度保持不变，则各年的增长量（ ）。 A 、逐年增加 B 、逐年减少 C 、保持不变 D 、无法判断
第七章 练习题参考答案 7.1 （1）已知σ=5，n=40，x =25，α=0.05， z 05.0=1.96 样本均值的抽样标准差 σ x =n σ= 79.040 5 = （2）估计误差（也称为边际误差）E= z 2 α n σ =1.96*0.79=1.55 7.2（1）已知σ=15，n=49，x =120，α=0.05， z 05.0=1.96 （2）样本均值的抽样标准差 σ x =n σ= =4915 2.14 估计误差E= z 2 α n σ=1.96* =4915 4.2 （3）由于总体标准差已知，所以总体均值μ的95%的置信区间为： n x z σ α ± =120±1.96*2.14=120±4.2，即（115.8,124.2） 7.3（1）已知σ=85414，n=100，x =104560，α=0.05， z 05.0=1.96 由于总体标准差已知，所以总体均值μ的95%的置信区间为： n x z σ α ± =104560±1.96* =100 85414104560±16741.144即（87818.856,121301.144） 7.4（1）已知n=100，x =81，s=12， α=0.1， z 2 1.0=1.645 由于n=100为大样本，所以总体均值μ的90%的置信区间为： n s x z 2 α±=81±1.645* =100 1281±1.974，即（79.026,82.974） （2）已知α=0.05， z 2 05.0=1.96 由于n=100为大样本，所以总体均值μ的95%的置信区间为： n s x z 2 α±=81±1.96* =100 1281±2.352，即（78.648,83.352） （3）已知α=0.01， z 2 01.0=2.58 由于n=100为大样本，所以总体均值μ的99%的置信区间为：
新人教版数学五年级下册第七章 7.1 折线统计图课时练习（I ）卷 姓名: ________ 班级: ________________ 成绩: _______________ 同学们，经过一段时间的学习，你一定长进不少，让我们好好检验一下自己吧! 一、选择题（共15小题）（共15题；共30分） 1.（2分）单式折线统计图和复式折线统计图的区别是（） A .单式折线统计图表示出数量的多少，复式折线统计图能反映出数据的变化情况。 B .单式折线统计图比较简单，复式折线统计图不容易看懂。 C .单式折线统计图只能表示出一组数据的增减变化情况，复式折线统计图能表示两组或两组以上的数据的增减变化情况。 2.（2分）下面一组折线统计图中，哪个折线统计图更合理？（） 3.（2分）某天散步时，爷爷先走了一会儿，到了公园休息了一下，然后继续往前走了一段路就转身走回家了。下面各图中，正确表示爷爷出去散步时的情景的是（）。 A .
4.（2分）绘制条形统计图与析线统计图的方法（）。 A .完全相同 B .不相同 C .基本相同 5.（2分）要统计小红身高的变化情况应选用（）统计图。 A .折线 B .扇形 C .条形 ￡ 6. （2分）在常见的折线统计图上，$ ?■ >表示（) A .不变 B .缓慢上升 C .缓慢下降 D .大幅上升 7.（2分）小明和小英一起上学。小明觉得要迟到了，就跑步上学，跑累了，便走着到学校；小英开始走着, 后来也跑了起来，至U校门口赶上了小明。下列四幅图中，（）描述了小英的行为。
B . * C .吊"1 1 存41n tl 时対 D . 8.（2分）要反映当天气温变化情况，应选用（） A .条形统计图 B .折线统计图 C .扇形统计图 9.（2分）城镇人口占总人口比例的大小表示城镇化水平的高低，由图可知，我国城镇化水平提高最快的时期是（） A . 1953-1964 B . 1964-1982 C . 1982-1990 D . 1990-2002
第三章 多元正态分布 多元正态分布是一元正态分布在多元情形下的直接推广，一元正态分布在统计学理论和应用方面有着十分重要的地位，同样，多元正态分布在多元统计学中也占有相当重要的地位。多元分析中的许多理论都是建立在多元正态分布基础上的，要学好多元统计分析，首先要熟悉多元正态分布及其性质。 第一节 一元统计分析中的有关概念 多元统计分析涉及到的都是随机向量或多个随机向量放在一起组成的随机矩阵，学习多元统计分析，首先要对随机向量和随机矩阵有所把握，为了学习的方便，先对一元统计分析中的有关概念和性质加以复习，并在此基础上推广给出多元统计分析中相应的概念和性质。 一、随机变量及概率分布函数 （一）随机变量 随机变量是随机事件的数量表现，可用X 、Y 等表示。随机变量X 有两个特点：一是取值的随机性，即事先不能够确定X 取哪个数值；二是取值的统计规律性，即完全可以确定X 取某个值或X 在某个区间取值的概率。 (二)随机变量的概率分布函数 随机变量X 的概率分布函数，简称为分布函数，其定义为： )()(x X P x F ≤= 随机变量有离散型随机变量和连续型随机变量，相对应的概率分布就有离散型概率分布和连续型概率分布。 1、离散型随机变量的概率分布 若随机变量X 在有限个或可列个值上取值，则称X 为离散型随机变量。 设X 为离散型随机变量，可能取值为1x ，2x ，…，取这些值的概率分别为1p ，2p ，…， 记为 k k p x X P ==)(（Λ,2,1=k ） 称k k p x X P ==)(（Λ,2,1=k ）为离散型随机变量X 的概率分布。 离散型随机变量的概率分布具有两个性质： （1） 0≥k p ，Λ,2,1=k （2）11 =∑ ∞ =k k p 2、连续型随机变量的概率分布 若随机变量X 的分布函数可以表示为 dt t f x F x ?∞-=)()( 对一切R x ∈都成立，则称X 为连续型随机变量，称 )(x f 为X 的概率分布密度函数，简
一、单项选择题（共10道小题，共100.0分） 1.在下列调查中．调查单位与填报单位一致的是( )。 A. 公司设备调查 B. 农村耕地调查 C. 学生学习情况调查 D. 汽车养护情况调查 2. 3.在统计调查中，调查标志的承担者是( )。 A. 调查对象 B. 调查单位 C. 填报单位 D. 调查表 4. 5.填报单位( )。 A. 是调查标志的承担者 B. 是负责向上报告调查内容的单位 C. 是构成调查对象的每一单位 D. 即是总体单位 6. 7.变量数列中各组频率之和是( )。 A. 不等于l B. 大于1 C. 小于1 D. 等于l
8. 9. 统计表的结构，从其外形看，是由( )。 A. 标题和数字资料两部分构成 B. 标题、横行、纵栏标目三部分构成 C. 横行和纵栏数字资料构成 D. 标题、横纵、纵栏、数字资料等部分构成 10. 11.有20个工人看管机器台数资料如下：2、5、4、4、3、4、3、4、4、2、2、 4、3、4、6、3、4、 5、2、4，按以上资料编制分配数列，应采用( )。 A. 单项式分组 B. 等距分组 C. 不等距分组 D. 以上几种分组均可 12. 13.某厂劳动生产率计划在去年的基础上提高8%，执行结果仅比去年提高4%， 则劳动生产率的计划完成相对数算式为( )。 A. 4%÷8% B. 8%÷4% C. (100%+4%)÷(100%+8%) D. (1+8%÷1+4%) 14. 15. (错误) 下面属于结构相对指标的是( )。
A. 招生录取率 B. 人均钢产量 C. 轻重工业比例 D. 人均国民收入 16.对全市科技人员进行调查，每位科技人员是总体单位，科技人员的职称是 ( )。 A. 品质标志 B. 变量 C. 变量值 D. 标志值 17. 18.某学生某门课成绩为80分，则该成绩是( )。 A. 品质标志 B. 数量标志 C. 变量 D. 指标 1.设2000~2004年各年的环比增长速度为6％、7％、8%、9％和10％，则平均增长速度为 ( )。 A. B. C.
应用多元统计分析习题解答第七章
第七章 因子分析 7.1 试述因子分析与主成分分析的联系与区别。 答：因子分析与主成分分析的联系是：①两种分析方法都是一种降维、简化数据的技术。②两种分析的求解过程是类似的，都是从一个协方差阵出发，利用特征值、特征向量求解。因子分析可以说是主成分分析的姐妹篇，将主成分分析向前推进一步便导致因子分析。因子分析也可以说成是主成分分析的逆问题。如果说主成分分析是将原指标综合、归纳，那么因子分析可以说是将原指标给予分解、演绎。 因子分析与主成分分析的主要区别是：主成分分析本质上是一种线性变换，将原始坐标变换到变异程度大的方向上为止，突出数据变异的方向，归纳重要信息。而因子分析是从显在变量去提炼潜在因子的过程。此外，主成分分析不需要构造分析模型而因子分析要构造因子模型。 7.2 因子分析主要可应用于哪些方面？ 答：因子分析是一种通过显在变量测评潜在变量，通过具体指标测评抽象因子的统计分析方法。目前因子分析在心理学、社会学、经济学等学科中都有重要的应用。具体来说，①因子分析可以用于分类。如用考试分数将学生的学习状况予以分类；用空气中各种成分的比例对空气的优劣予以分类等等②因子分析可以用于探索潜在因素。即是探索未能观察的或不能观测的的潜在因素是什么，起的作用如何等。对我们进一步研究与探讨指示方向。在社会调查分析中十分常用。③因子分析的另一个作用是用于时空分解。如研究几个不同地点的不同日期的气象状况，就用因子分析将时间因素引起的变化和空间因素引起的变化分离开来从而判断各自的影响和变化规律。 7.3 简述因子模型中载荷矩阵A 的统计意义。 答：对于因子模型 1122i i i ij j im m i X a F a F a F a F ε=++++ ++ 1,2,,i p = 因子载荷阵为1112 12122 21212(,,,)m m m p p pm a a a a a a A A A a a a ??????==????????A i X 与j F 的协方差为： 1Cov(,)Cov(,)m i j ik k i j k X F a F F ε==+∑ =1Cov(,)Cov(,)m ik k j i j k a F F F ε=+∑ =ij a
人教版六年级数学上册扇形统计图单元测试题 一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分） 1．（2分）阳光小学校园里种了三种树其中有杨树20棵槐树20棵玉兰树20棵．下面统计图中能正确表示阳光小学所种树木占比情况的是（） A．B．C．D． 2．（2分）下图是五（1）班期末考试成绩统计图．下面说法正确的是（） A．良好占的百分比是40% B．五（1）及格人数最少 C．得优秀的人数比得良好的人数少10% 3．（2分）六（1）班一次数学测验的成绩统计如下表． 下面的哪幅图能表示六（1）班这次数学测验成绩的统计结果？（） A．B．C． 4．（2分）如图所示，初一（2）班的参加数学兴趣小组的有27人，那么参加美术小组的有人，如图所示．（）
A．18人B．50人C．15人D．8人 5．（2分）某校男生，女生人数表示在图中的扇形区（如图），则男生占全校人数的百分比为（） A．98%B．52%C．48% 6．（2分）小贩设计了一个转盘游戏，2元钱玩一次，学生自由转动转盘，指针停止后所指向的物品即为学生所获物品，那么学生获得什么物品的可能性最大？（） A．橡皮B．三角板C．圆珠笔D．文具盒 7．（2分）如图是六（1）班“我最喜欢的科目”统计图．六（1）班有50人，最喜欢数学的有（）人．
A．10B．12C．16D．9 8．（2分）如图是公园三种花卉数量统计图，下列四幅条形统计图中，能正确反映三种花卉数量之间关系的统计图是（） A．B． C．D． 9．（2分）在“阳光体育节”活动中，某校对六（1）班、（2）班同学各50人参加体育活动的情况进行了调查，结果如图所示．下列说法中（）是正确的． A．喜欢乒乓球的人数（1）班比（2）班多 B．喜欢足球的人数（1）班比（2）班多 C．喜欢羽毛球的人数（1）班比（2）班多
第7章统计指数 【教学内容】 统计指数是统计分析中广为采用的重要方法之一。本章阐述了统计指数的概念、作用和种类;个体指数和总指数;简单指数和加权指数;定基指数和环比指数;综合指数的编制原则与方法;平均指数的编制方法;指数体系和因素分析;总量指标的两因素分析和多因素分析;平均指标的因素分析。 【教学目标】 1、明确统计指数的概念、作用和种类: 2、掌握综合指数、平均指数的编制原则和方法: 3、掌握统计指数体系及因素分析方法和应用。 【教学重点、难点】 1、统计指数的编制方法: 2、指数的因素分析方法。 第一节统计指数概述 一、统计指数的概念和作用 （一）统计指数的概念 统计指数产生于18世纪后半期,起源于度量物价变动或评价货币购买力的需要。在社会实践中,商品价格是人们普遍关注的问题之一。一定时期内有的商品价格上升,有的商品价格下降,要综合反映该时期多种商品价格的总变动趋势,就需要寻求某种方法来解决这一问题,统计指数也就应运而生。 人们最先研究商品价格的总变动是从研究单种商品价格变动开始的,通常是在计算单种商品的价格变动指标(即个体指数)后,再对其进行简单的算术平均、几何平均或调和平均。后来发展至加权平均,以反映全部商品的价格总变动,这便是统计总指数的雏形。统计学理论中,统计指数主要指总指数。 迄今为止,统计界认为,统计指数(简称指数)的概念有广义和狭义两种。 （二）统计指数的作用 统计指数主要有如下几方面的作用: 1、综合反映社会经济现象总变动方向及变动幅度。 2、分析现象总变动中各因素变动的影响方向及影响程度。
3、反映同类现象变动趋势。 二、统计指数的分类 统计指数从不同角度可以进行如下分类: (一)按研究范围不同,可分为个体指数和总指数 (二)按编制指数是否加权,可分为简单指数和加权指数 (三)按指数性质不同,可分为数量指标指数和质量指标指数 (四)按反映的时态状况不同,可分为动态指数和静态指数 第二节综合指数 一、数量指标综合指数的编制 编制工业产品产量、商品销售量、农副产品收购量等数量指标总指数时,首先需要解决的是如何使不能直接加总的实物量变为能综合对比的问题。下面以产品产量指数为例说明其 编制方法。 [例7-1]某集团公司4个企业生产的4种产品的产量和出厂价格情况见表7-1。 要求:计算产品产量总指数,反映4种产品产量综合变动情况及产量变动对产值的影响。由于各种产品使用价值、计量单位不同,不能将它们的产量直接相加后进行综合对比。 从[公式7-1]可以看出,计算总指数时必须采用一种假定,即假定两个时期的价格相同 来测定产品产量的变动情况。将同度量因素固定在同一时期可以有不同的选择。选择不同时期(基期或报告期)的价格得到不同的结果,且有不同的经济内容。将同度量因素固定在报告 期的称为帕氏指数;将同度量因素固定在基期的称为拉氏指数。 第一,用报告期价格作为同度量因素,其公式和计算过程为: 第二,用基期价格作为同度量因素,其公式和计算过程为:
多元统计分析第三章假设检验与方差分析
第3章 多元正态总体的假设检验与方差分析 从本章开始，我们开始转入多元统计方法和统计模型的学习。统计学分析处理的对象是带有随机性的数据。按照随机排列、重复、局部控制、正交等原则设计一个试验，通过试验结果形成样本信息（通常以数据的形式），再根据样本进行统计推断，是自然科学和工程技术领域常用的一种研究方法。由于试验指标常为多个数量指标，故常设试验结果所形成的总体为多元正态总体，这是本章理论方法研究的出发点。 所谓统计推断就是根据从总体中观测到的部分数据对总体中我们感兴趣的未知部分作出推测，这种推测必然伴有某种程度的不确定性，需要用概率来表明其可靠程度。统计推断的任务是“观察现象，提取信息，建立模型，作出推断”。 统计推断有参数估计和假设检验两大类问题，其统计推断目的不同。参数估计问题回答诸如“未知参数θ的值有多大?”之类的问题,而假设检验回答诸如“未知参数θ的值是0θ吗?”之类的问题。本章主要讨论多元正态总体的假设检验方法及其实际应用，我们将对一元正态总体情形作一简单回顾，然后将介绍单个总体均值的推断， 两个总体均值的比较推断，多个总体均值的比较检验和协方差阵的推断等。 3.1一元正态总体情形的回顾 一、 假设检验 在假设检验问题中通常有两个统计假设（简称假设）,一个作为原假设（或称零假设），另一个作为备择假设（或称对立假设），分别记为0H 和1H 。 1、显著性检验 为便于表述，假定考虑假设检验问题：设1X ，2X ，…,n X 来自总体),(2 σμN 的样本，我们要检验假设 100:,:μμμμ≠=H H （3.1） 原假设0H 与备择假设1H 应相互排斥，两者有且只有一个正确。备择假设的意思是，一旦否定原假设0H ，我们就选择已准备的假设1H 。 当2 σ已知时，用统计量n X z σ μ -=
第七章 相关和回归 一、单项选择题 1．相关关系中，用于判断两个变量之间相关关系类型的图形是( )。 (1)直方图 (2)散点图 (3)次数分布多边形图 (4)累计频率曲线图 2．两个相关变量呈反方向变化，则其相关系数r( )。 (1)小于0 (2)大于0 (3)等于0 (4)等于1 3．在正态分布条件下，以2yx S (提示：yx S 为估计标准误差)为距离作平行于回归直线的两条直线，在这两条平行直线中，包括的观察值的数目大约为全部观察值的( )。 (1)68.27％ (2)90.11％ (3)95.45％ (4)99.73％ 4．合理施肥量与农作物亩产量之间的关系是( )。 (1)函数关系 (2)单向因果关系 (3)互为因果关系 (4)严格的依存关系 5．相关关系是指变量之间( )。 (1)严格的关系 (2)不严格的关系 (3)任意两个变量之间关系 (4)有内在关系的但不严格的数量依存关系 6．已知变量X 与y 之间的关系，如下图所示： 其相关系数计算出来放在四个备选答案之中，它是( )。 (1)0.29 (2)-0.88 (3)1.03 (4)0.99 7．如果变量z 和变量Y 之间的相关系数为-1，这说明两个变量之间是( )。 (1)低度相关关系 (2)完全相关关系 (3)高度相关关系 (4)完全不相关 8．若已知 2()x x -∑是2()y y -∑的2倍，()()x x y y --∑是2 ()y y -∑的1．2倍， 则相关系数r=( )。 (1) 21.22 (3)0.92 (4)0.65 9．当两个相关变量之问只有配合一条回归直线的可能，那么这两个变量之间的关系是( )。 (1)明显因果关系 (2)自身相关关系 (3)完全相关关系 (4)不存在明显因果关系而存在相互联系 10．在计算相关系数之前，首先应对两个变量进行( )。 (1)定性分析 (2)定量分析 (3)回归分析 (4)因素分析 11．用来说明因变量估计值代表性高低的分析指标是( )。 (1)相关系数 (2)回归系数 (3)回归参数 (4)估计标准误差 12．确定回归方程时，对相关的两个变量要求( )。 (1)都是随机变量 (2)都不是随机变量
《应用多元统计分析》第七章因子分析实验报告 第七章因子分析实验报告实验项目 名称 因子分析的上机实现 实验 目的及要求 SPSS 软件中 factor analysis的计算机操作及结果分析，使 学生能熟练应用计算机软件进行因子分析与结果分析，培养 实际应用能力。 实验 内容 对企业经济效益体系的 8 项指标建立因子分析模型（附表数据）。这 8 项指标分别为： x1- 固定资产利税率， x2- 资金利税率， x3- 销售收入利税率， x4- 资金利润率， x5- 固定资产利润
率， x6- 资金周转天数， x7- 万元产值能耗， x8- 全员劳动生产率。 在分析过程中，提取因子的方法为“主成分”法，并以数据的“相关阵”为分析矩阵，并且提取 3 个因子，采用“最大方差旋转法”进行因子旋转。 （1）则这 3 个因子的累积方差贡献率为多少？ （2）请写出原始变量 x1 和 x2 的因子表达式； （3）所提取的 3 个公共因子分别在 8 个指标中的哪些指标上 有较大载荷？并据此说明所提取的公因子概括了企业的 何种能力？ （4）分别写出因子得分表达式，并计算“大同”企业的综合因子得分。 实验步骤 实验环境
Windows xp 、Windows vista、Windows 7等，软件SPSS 11.0 版本及以上。 实验结果与 分析 1 ．选择菜单项 Analyze → Data Reduction → Factor。， 2 ．打开 Factor Analysis 对话框，将原始变量“固定资产利税率”到“全员劳动生产率”移入Variables列表框中。如下图。 3、单击点击 Extraction 按钮，打开 Extraction 子对话框，如错误！未找到引用源。，设置有关因子提取的选项。如果选 择相关系数矩阵，则表示首先对原始数据进行标准化，然后 再进行因子分析；如果选择协方差矩阵，则表示直接对原始 数据进行因子分析。这里我们选择默认的相关系数矩阵。因 子碎石图其实就是样本协差阵的特征根按大小顺序排列 的折线图，可以用来帮助确定提取多少个因子。提取的 3 个公共因子，所以我们在Mumber of factors中输入3即可。 4．点击 Rotation 按钮，打开 Rotation 子对话框，如图 7-4 ，设置有关因子旋转的选项。
【精品】第七章《扇形统计图》六年级数学上册提优精选题汇编2 人教版一．选择题（共8小题） 1．某校男生，女生人数表示在图中的扇形区（如图），则男生占全校人数的 百分比为（） A．98% B．52% C．48% 2．某村共种蔬菜40公顷，其中种西红柿8公顷若制成扇形统计图，则表示西红柿的扇形占整个圆的（）A．8% B．20% C．40% 3．六（1）班现有40名学生，选举班长的得票数为：小何20票，小赵10票，小邓6票，小李4票．下列四幅图中，（）图准确的表示了这一结果． A．B．C．D． 4．江滩公园五种树木所占百分比情况如下表： 树种松树杨树柏树柳树樟树 百分比/%510182542 按照上表数据绘制扇形统计图，下面四幅图中正确的是（）图． A．B． C．D． 5．某商店销售四种水果（如图），销售数量恰占四种水果总量25%的水果是（）
A．苹果B．香蕉C．橘子D．梨 6．在扇形统计图上，李村的棉花种植面积占总面积的20%，表示棉花种植面积的扇形的圆心角是（）A．36°B．20°C．72°D．40° 7．如图是某小学六（1）班50名同学喜欢的体育运动统计图．下面说法不正确的是（） A．喜欢篮球的人数占全班人数的40%． B．喜欢打乒乓球的有40人 C．喜欢打乒乓球的人数是踢足球人数的2倍 8．在一个有40个学生的班级里选出一名同学担任班长．选举结果如下表，下面（）图表示了这一选举结果． 姓名票数 小李20票 小赵10票 小邓6票 小何4票 A．B．C．D． 二．填空题（共8小题） 9．某校六年级学生血型情况如图。已知六年级总人数200人，A型血有人，O型血有人。
第三章多元统计分析 §4 聚类分析 分类是人类认识世界的方式，也是管理世界的有效手段。在科学研究中非常重要，许多科学的研究都是从分类研究出发的。没有分类就没有效率；没有分类，这个世界就没有秩序。瑞典博物学家林奈（Carl von Linnaeus, 1707-1778）因为对植物的分类成就被后人誉为“分类学之父”，后人评价说“上帝创世，林奈分类”——能与上帝的名字并列的人不多，另一个著名的科学家是牛顿。由此可见分类成果的重要性。最初分类都是定性了，后来随着科学的发展产生了定量分类技术，包括基于统计学的聚类方法和基于模糊数学的聚类技巧。本节主要讲述统计学意义的数字分类方法思想和过程。 1 聚类的分类 分类研究的成果的重要性决定了方法的重大实践意义。在任何一门语言的语法学中，都要对词词汇进行分类，词汇分类可以根据词性：名词，动词，形容词……；英文还可以根据首字母分类：ABCD……；汉字则还可以根据笔划，如此等等。在生物学中，将生物划分为：界，门，纲，目，科，属，种。例如白菜（种）属于油菜属、十字花科、十字花目、双子叶植物纲、被子植物亚门、种子植物门、植物界；老虎（种）则属于猫属、猫科、食肉目、哺乳动物纲、脊椎动物亚门、脊索动物门、动物界。这样，整个世界的生物就可以建立一个等级谱系，根据这个谱系，我们可以比较容易地判断那些生物已经认识了，哪些生物尚未发现，哪些生物已经灭绝了。如果发现了新的生物，就可以方便地将其归类。在天文学中，天体可以根据视觉区域分类，也可以根据发光性质与光谱特征进行分类。在地理学中，城市既可以根据地域空间分类，也可以根据城市的职能进行分类。 表3-3-1 各种生物在分类学上的位置举例 位置白菜虎 界植物界动物界 门种子植物门脊索动物门 亚门被子植物亚门脊椎动物亚门 纲双子叶植物纲哺乳动物纲 目十字花目食肉目 科十字花科猫科 属油菜属猫属 种白菜虎 当我们走进一家图书馆，如果它们的图书没有分类编目，我们要找到一本图书与大海捞针没有什么区别。分类的方式也会影响工作的效率。书店的图书一般根据科学门类进行分类摆设，但有一段时间一家书店改为按照出版单位进行分类排列，结果读者很难找到所需图书，这家原本效益挺好的书店很快收到了消极影响。 早期的分类，一般根据事物的属性与特征进行划分，属于定性分类的范畴。随着人们认识的深入和研究对象复杂程度的增加，单纯的定性分类方法就不能满足要求了，于是产生了定量分类技术，即所谓数字分类。本节要讲述的就是根据多个指标进行数字分类的一种多元