八垂线与平行线分析
“垂直”或“平行”是同一平面内两条直线的特殊位置关系，是认识常见平面图形不可缺少的基础知识。认识平行四边形和梯形的特征，建立平行四边形、三角形、梯形的高的概念，都离不开垂直和平行的知识。从这一点来说，本单元是直观认识几何形体向形成线、角、形、体等几何概念的重要转折点。全单元编排10道例题，内容的具体安排如下表：
例1射线、直线的概念，两点之间的距离
例2角的概念，表示角的方法
例3用量角器测量角的大小
例4锐角、直角、钝角、平角、周角的概念
例5用量角器或三角尺画角
例6两条直线相互垂直
例7点到直线的距离
例8用三角尺画垂线
例9两条直线相互平行
例10画已知直线的平行线
单元整理与练习
从表格里可以看到，全单元内容分成两大部分。第一部分是线与角的知识，编排五道例题和两个练习教学，这些知识为认识垂直和平行作准备。如，认识两条直线的相互位置关系，需要先建立直线的概念；认识两条直线相互垂直，需要先认识直角和会画直角……学生在第一学段仅直观认识了线段和角，经过本单元前五道例题的学习，将获得比较系统的“线”与“角”的知识，形成相应的数学概念。第二部分是垂直和平行的知识，编排五道例题和一个练习教学。不仅教学两条直线相互垂直、相互平行的概念，还教学使用工具画已知直线的垂线和平行线的方法。
垂线和平行线这两个知识的教学安排，有些教科书里先讲平行线、再讲垂线，有些教科书里先讲垂线、再讲平行线。本单元把垂线放在平行线的前面先教，是因为学生在生活中接触垂直现象的机会稍多些，积累的关于垂直的感性认识比平行线多。而且，学生认识了垂直关系，学会了画垂线，有助于他们体会两条直线的“不相交”，会适当降低建立平行线概念的难度。
（一）从生活中的直观现象引出射线和直线，以线段为生长点揭示射线和直线的概念
学生在第一学段已经认识了线段，知道线段是有两个端点的直线，其长度是有限的，可以用尺度量。本单元教材以线段概念为生长点，继续教学射线和直线。射线和直线可以看成是线段“无限延长”得到的几何图形，小学生理解“无限延长”往往会有些困难。但是，如果不能理解“把线段无限延长”，就难以形成射线和直线的表象。为此，教材在教学射线和直线时，作了如下的安排。
1. 从生活中的直观现象引出射线，体会“无限延长”。
例1呈现一幅美丽的城市夜景图，其中有许多灯光。这些灯光各自从一点出发，向
天空射去，射得很远很远。“茄子”卡通告诉学生“这些灯射出的光线可以看作射线”。图画显示和语言描述相结合，引出了“射线”，让学生形象地感受射线的特点——向一端无限延长的直线。
2. 凸显射线和直线的几何图形，初步建立射线和直线的概念。
在学生形象感知射线以后，教材继续引导他们观察数学现象，从数学的角度认识射线：把线段的一端无限延长，就得到一条射线。配合这句话，画出一条线段，把线段的两个端点涂上红色；其中一个端点保持不动，另一个端点随着线段无限延长。学生就这样形成了射线的表象。
在学生初步认识射线以后，采用类似的方法，把线段的两个端点都无限延长，引出了直线，指出了直线的本质特征。
以线段概念为生长点教学射线和直线，从有限到无限，符合学生的认识规律。苏教版小学数学教科书的这种安排，得到了教材审查专家的充分肯定。
3. 及时组织射线、直线和线段的相互比较，进一步认识这些线。
射线、直线、线段是三个不同的概念，它们是三种不同的几何图形。以线段为基础教学射线和直线以后，及时比较三者之间有什么相同、有什么不同，能促进学生更好地理解这三个概念的本质特征。
“辣椒”和“蘑菇”卡通的交流，说出了线段与射线、直线之间的不同，这些应该是所有学生的共同体验。学生能够看到：线段有两个端点，射线只有一个端点，直线没有端点。这是他们识别线段、射线和直线的主要着眼点。学生能够想到：线段的长度是有限的，射线和直线是无限长的。这是他们对线段、射线和直线的本质认识。
“练一练”第1题给出了七条线，其中有直的线、有曲的线；有线段、有射线和直线。要求学生指出哪些是线段、哪些是射线、哪些是直线。让他们在具体对象面前，重温线段、射线和直线的特征，再次体会线段、射线、直线虽然都是直的线，却是三种不同的几何图形。练习十三第1题，在一条给定的直线上画出4厘米长的线段。不仅用要直尺在直线上量出4厘米长的一段，还要表示出线段的两个端点，这就感受了线段的特点——有确定的长度，应该画出两个端点，也体验了线段与直线的联系与区别。
4. 教学两点之间的距离，进一步体验线段的特征。
例1的最后是A、B两点之间有一条线段、一条折线和一条曲线，比较这三条线的长度。学生联系生活经验，会知道线段的长度最短，从而感受了“两点之间所有连线中线段最短”。教材及时指出“连接两点的线段的长度叫作这两点之间的距离”，突出两点之间的距离指的是一条线段的长度。这些认识在以后的学习中将多次用到，如，量三角形的高就是量三角形的顶点到它对边的垂直线段的长度，即测量顶点到垂足之间的距离。
这段内容还可以从两点来体验线段的特征：一是连接A、B两点的线段是以A、B两点为端点的直线。二是A、B两点之间可以画出许许多多线，包括许多折线、许多曲线，但只能画出一条线段。
（二）通过画角，初步建立角的概念，教学相应的符号标记
学生在二年级下册教科书里直观认识了角，初步知道了角的顶点和两条边。本单元在教学射线以后，继续建立有关角的概念。
角作为一种平面图形，是两条有公共端点的射线所组成的图形。例2以一点为端点画两条射线，示范了像这样画角的方法，指出“从一点引出两条射线所组成的图形叫作角”。学生可以画一画、看一看，理解对角的这种描述。指出角的顶点和两条边，在回忆旧知识的同时，体会画的这个角的两条边是两条射线，顶点是两条边的公共端点。
在角的图形里有一段红颜色的弧线，清楚地指出角是由两条射线组成的图形，是两条射线所夹的平面部分，从而使角的概念更加明确。例题还教学表示角的符号“∠”以及使用符号表示的方法。如∠1，方便了表达和交流。
“练一练”第3题给出三条射线，要求以每一条射线为一边，分别画出一个角。学生画角，要找到已知射线的端点，从这出发点再画出一条射线，与原来的射线组成一个角。这就加强了角的表象，体会了角是由一个顶点引出的两条射线所组成的图形。第4题数数一块三角尺上有几个角，指指每个角的顶点和边，能体会到三角尺的每一条边既是某个角的一条边，也是另一个角的一条边。指出每个角的顶点和边，角的初步概念就形成了。
练习十三第2题，三条射线有同一个端点。在这样的图形里识别角，看出每两条射线都组成一个角，能加强对角的体验。有些学生只看到2个角，有些学生会看出3个角。要组织他们交流每个角的顶点和两条边，用手指示意弧线表示两边所夹的部分，还可以用符号∠1、∠2、∠3来表示各个角，感受图中两个较小的角合成一个较大的角。
（三）简要介绍量角器的构造和量角原理，示范用量角器量角的方法，帮助学生克服使用工具的困难
例3给出一个角，要求学生用三角尺上的角去度量这个角的大小。用三角尺上的哪一个角去量，可以自由选择。由于三角尺上角的大小不同，所以测量的结果与表达各不相同。如果用三角尺上较大的锐角去量，那个角正好等于较大锐角；如果用三角尺上较小的锐角去量，那个角正好等于较小锐角的2倍；如果用三角尺的直角去量，那个角比直角小。教材安排这些测量活动的目的有两点：一是让学生明白，测量角的大小就是寻找一个大小已知的，并且与被测量角大小相等的角；二是让学生体会，准确测量角的大小，要有统一的度量工具和计量单位，这与测量长度需要统一的长度单位，测量面积需要统一的面积单位，测量容量需要统一的容量单位是一致的。
量角器是常用的度量角的大小的工具，例3着力教学量角器的构造和计量角的单位。先观察量角器的图画，说说量角器上有些什么，了解量角器的结构。然后指出计量角的单位是“度”，并在量角器上表示出1度角有多大。
量角器的构造比较复杂，学生观察量角器会看到它是半圆形，上面有许多刻度线，所有刻度线都相交于量角器的中心点；以中心点为顶点，任意两条刻度线为边，都能组成一个角；量角器上像这样的角有许许多多，而且形成的角的大小不同。还会看到量角器上的两圈数，都是0、10、20……90、100……180；两圈数的排列分别从左到右、从右到左，方向刚好相反。就大多数学生而言，都能看到量角器的形状以及它上面的刻度线、数字，但想不到中心点与两条刻度线组成一个角。想到这一点十分重要，关系到量角器量角方法的原理，应该引起教学的注意。
1度的角比较小，教材在量角器上表示出1度的角。让学生清楚地看到，量角器上
每相邻的两条刻度线都组成一个1度的角。2个1度的角连起来就是2度的角，几个1度的角连起来就是几度的角。
量角器上，把半圆平均分成180份，有内外两圈刻度。内圈刻度从右往左依次是10°、20°、30°……180°，外圈刻度从左往右依次是10°、20°、30°……180°。教材要求学生“从右边起，依次找出0°、20°、90°、135°、180°的刻度线”“从左边起，依次找出这些度数的刻度线”。教学不仅要完成这些活动，还要体会0°刻度线和20°刻度线组成20°角，0°刻度线和90°刻度线组成90°角，0°刻度线和135°刻度线组成135°角，0°刻度线和180°刻度线组成180°角，从而进一步体会量角器上有许许多多个大大小小的角，而且每个角的度数都能看出来或算出来。
认识量角器以后，就能使用量角器测量角的大小。设计的教学活动线索是“图示方法——模仿操作——交流体会”。先图画演示怎样把量角器正确地放到要量的那个角上，看出这个角是多少度；再照样子用量角器在教材上量一量，经历量角器量角的操作过程，初步学会使用量角器；然后交流用量角器量角的体会。一要体会量角器的中心点和角的顶点重合，0°刻度线和角的一条边重合，就能在量角器上找到一个与要度量的角大小相等的角。量角器上的角有多少度，被测量的那个角就是多少度，从而明白量角器量角的原理。二要联系上面的操作，说说使用量角器的方法与要领，掌握正确使用量角器的技能。三要体会有了量角器以及统一的计量单位“度”，就能准确测量角的大小。
用量角器量角的练习由易到难地编排。“练一练”里的量角，都使用量角器的外圈刻度线。第1题已经把量角器放在角的上面，只要看量角器上的刻度，就能说出各个角的度数。第2题要把量角器放到角的上面，量出各个角的度数。由于只使用量角器的外圈刻度线，把量角器放到角上不是很难。练习十三第9、10两题里的量角稍难些，一是把量角器正确放到角上比较难，二是选择量角器的内圈刻度还是外圈刻度比较难。为此，第9题的图画里已经把量角器放到角上，只要根据与角的一条边重合的0°刻度线，选择量角器的外圈或内圈刻度，就能得出被测量的角的大小。第10题的图画里，也示范了量角器放到角上的方法，减少学生测量中的困难。
需要注意的是，教材没有用文字语言讲述使用量角器量角的操作步骤，希望学生通过观察教材里的测量，联系自己进行的量角活动，交流体会并总结使用量角器的方法。练习十三第8题，给出四幅用量角器量角的图画，其中三幅使用量角器的方法都不对，或是量角器的中心点没有和角的顶点重合，或是没有把量角器的0°刻度线与角的一条边重合，或是没有把量角器放在角的上面。教材问“（这些）用量角器量角的方法是否正确”，引导学生在辨析正误和改正错误的过程中，学会正确使用量角器量角的方法。
估计角的大小是比较难的。“练一练”第3题给出了两个角，要求学生判断“两个角的大小一样吗？先估计，再用量角器量”。题目不要求说出每个角的大小，它们的度数仍然可以用量角器量得。这道题要让学生明白：角的大小与画出的边的长短无关，与其两条边叉开的程度有关。因为角是同一顶点的两条射线组成的图形，射线只有一个端点，是无限长的。尽管画出的两个角的边长短不同，以射线的观点看待角的边，就能理解这两个角同样大。练习十三第13题估计少先队队旗中三个角的度数，可以利用第6题量得的三角尺的各个角的度数进行估计。如队旗上的∠1和三角尺上最大的角差不多，
应该是90°；∠2比三角尺上的45°角大些，∠3比三角尺上最大的角大些，这两个角的度数也能有所估计。培养估计角的大小的能力，可以让学生反复观察三角尺上的各个角，记住每个角的度数，作为估计角的大小的参照。
（四）在角的运动变化中教学锐角、直角、钝角、平角和周角，充实角的知识，加强角的概念
二年级下册教科书里，学生直观认识了锐角、直角和钝角，并知道锐角比直角小、钝角比直角大。那时的认识，处在直观、初步的层面上。本单元继续认识锐角、直角、钝角，但概念要建立在这些角的度数（即量化刻画）的层面上。而平角与周角，则是本单元教学的新知识。
教材选择的教具是活动角。“一条射线绕着它的端点在平面内旋转，所形成的图形叫作角”是对角的动态描述。活动角不仅能够引出各种角，还能帮助学生发展对角的认识，加深对角的理解。
例4的教学分五步进行，依次是：认识直角；认识平角；整理锐角、钝角与直角、平角的关系；认识周角；整理直角、平角与周角的关系。
认识直角主要教学“直角是90°的角”。学生在第一学段已经直观认识了直角，也认识了表示直角的常用符号。现在继续教学直角，应该知道直角是多大的角，并进一步熟悉和应用表示直角的符号。例4给出一个直角，问学生“你知道直角是多少度吗？”要求他们量一量。学生通过测量，能够得出“直角等于90°”，这就是他们对直角的新认识。
认识平角主要教学怎样的角是平角，以及平角有多少度。先用两根硬纸条做出一个直角；再旋转直角的一条边，使角的两条边在一条直线上，指出这也是一个角，并通过推理和测量，得出这个角的度数；最后指出，这样的角是平角，平角等于180°。学生初步接触平角不容易接受它，把有公共顶点，且两条射线在一条直线上的图形看成一个角，会不习惯。教学要引导他们按角的概念来认识这样的图形，理解这也是一个角。至于平角有多少度，一方面可以从“平角里包含两个直角”推理出来，另一方面还可以通过量角器的测量得出。
锐角与钝角已经在第一学段初步教学，学生已能直观辨认锐角与钝角。所以，例4整理锐角、钝角与直角、平角的关系，进一步明晰锐角与钝角的概念。要求学生做出几个大小不同的锐角和几个大小不同的钝角，深刻体会锐角是小于90°的角，钝角是大于90°、小于180°的角。
认识周角主要教学什么样的角是周角，周角有多少度。教材旋转平角的一条边，直到与另一条边重合，指出这样的图形也是一个角，是周角。让学生体会，这个角包含了2个平角，是360°的角。
整理直角、平角与周角的关系，应该得出如下的内容：一个平角相当于2个直角；一个周角相当于2个平角、4个直角。这些内容有助于学生更好地体验平角和周角。
“练一练”联系折扇的打开感受平角与周角：当折扇的两条边在一条直线上时，折扇形成一个平角；当折扇的两条边重合时，折扇形成一个周角。练习十四第5题，把一张正方形纸对折再对折，折成一个小正方形，打开这张纸，在中心部分找到一个直角、
一个平角（2个直角）、一个周角（4个直角或2个平角）。在同一个情境里体验直角、平角、周角及其相互关系，能够加强有关的概念。第8题，钟面的分针，从指向12起，旋转到指向1，形成的角是锐角；从指向12起，旋转到指向3，形成的角是直角；从指向12起，旋转到指向4或5，形成的角是钝角；从指向12起，旋转到指向6，形成的角是平角；从指向12起，旋转一周（仍然指向12）形成的角是周角。这些有趣的现象能够帮助学生体验直角、平角和周角，再次整理各种角之间的关系。
（五）根据角的度数，选用适当的工具画角
小学生画指定度数的角，一般有两种工具可以使用，一是量角器，二是三角尺。用量角器能够画出任何度数的角，而三角尺只能画出某些度数的角。
例5要求画一个50°的角，通常使用量角器来画。学生有用量角器量角的经验，学习用量角器画角不会有很大困难。教材通过一组连续的图画，表示画50°角的主要步骤：先画一条射线，作为角的一条边；再把量角器放到射线上面，使中心点和射线端点重合，0°刻度线和射线重合；然后找到量角器的50°刻度线，做出记号，并画出角的另一条边。教材要求学生看懂图画表示的画角方法，照样子画一画，并说说画角时要注意些什么，总结使用量角器画角的方法。
“练一练”要求画30°、45°、90°的角。由于三角尺上有这些度数的角，所以这些角可以用三角尺为工具，直接画出来。
一般说，度数是15或15的倍数的锐角和钝角，都可以用三角尺画出来。
练习十四后面的“动手做”，把一副（两块）三角尺的两个角拼起来，说出拼成的角的度数。一方面使学生更加熟悉三角尺的各个角的度数，另一方面也给学生利用三角尺画某些度数角的方法启示。
一副三角尺上有30°、45°、60°、90°的角，把两块三角尺上的角拼起来有75°（45°+30°）、105°（45°+60°）、120°（30°+90°）、135°（45°+90°）、150°（60°+90°）等角。这些角可以利用一副三角尺画出来。
一个较大的角减去一个角，能够得到一个较小的角。像这样，利用两块三角尺的角还能够画出15°（45°-30°或60°-45°）的角。
如果把一副三角尺能画出来的角排一排，依次应是15°、30°、45°、60°、75°、90°、105°、120°、135°、150°。不难看出，这些角的度数都是15的倍数。这就是说，度数是15的倍数的角，都能用一副三角尺画出来。
（六）联系生活情境，教学两条直线互相垂直、互相平行
在认识直线以后，本单元例6～例10教学直线与直线的位置关系。在同一平面内，两条直线可能相交，也可能不相交。相交成直角的两条直线互相垂直，垂直是特殊位置的相交。不相交的两条直线互相平行，也是直线之间的特殊位置关系。教材先教学两条直线互相垂直，再教学两条直线互相平行，以理解这两种位置关系，建立垂直与平行的概念为教学重点（如下图）。在理解的基础上，用多种办法画出互相垂直、互相平行的直线。
同一平面内的两条直线
相交
相交成直角…………互相垂直
相交不成直角
不相交…………互相平行
1. 在现实的生活情境中凸显数学内容。
日常生活中有许多垂直或平行的现象，这些都是教学例6和例9的现实背景和有意义的素材。
例6首先呈现篱笆、窗户和地砖铺的地面等照片。如果把篱笆上的竹片、窗户上的棂、地砖的缝都看成直线，就能抽象出三组相交的直线。发现每组的两条直线都相交于一点，两条直线相交成4个角，有时4个角都不是直角，有时4个角都是直角。这就为教学两条直线互相垂直找到了原型。
例9首先呈现双杠的两根杠、一段铁轨、一座铁塔等照片，在照片中抽象出三组直线。让学生辨别哪组的两条直线不相交，哪组的两条直线相交，为教学两条直线互相平行找到了原型。
结合生活情境教学两条直线的相互位置关系，有利于学生凭借生活常识和经验形成数学概念，有助于学生体会数学与生活的密切联系，有益于学生从数学的视角观察客观世界。在例题的影响下，学生能从自己身边看到和想到更多的垂直和平行现象，为认识两条直线的互相垂直和互相平行积累丰富的感性认识。
2. 在已有知识经验的基础上形成数学概念。
学生有两条直线相交和不相交的经验，还有角的知识，这就具备了学习垂直和平行的条件。教学只要激活潜在的知识经验，加强对概念内涵的体验，就能形成数学概念。
例6教学“垂直”概念，建立在两条直线相交成直角的体验上。比较三组相交的直线，逐渐挖掘“垂直”的数学特征。“辣椒”“蘑菇”“番茄”三个卡通的交流，表示学生对两条直线相交现象有逐渐深刻、逐步涉及本质的认识过程。他们先看到每组的两条直线都有一个交点，每组的两条直线都相交成4个角，这是三组相交直线的共同特点。然后看到中间和右边两组直线相交成直角，左边一组直线的相交不成直角，“相交成直角”是垂直概念的本质特征。
例9教学“平行”概念，体会同组的两条直线不会相交是难点。把双杠的两条杠看成两条直线，它们永远不会相交；把一段直的铁轨的两根钢轨看成两条直线，它们永远不会相交；把铁塔的两根铁柱看成两条直线，它们是会相交的。教材让学生辨别同组两条直线的位置关系，体会两条直线可能相交，也可能不相交，“不相交”是平行的本质特征。
教材对两条直线互相垂直和两条直线互相平行都有语言描述，这些描述应该是学生的体验，是对具体情境的数学化思考，也是对数学概念内涵的重要点拨。学生可以从教材的描述中更好地理解垂直与平行的数学含义，但不是机械接受的数学定义。关于垂直与平行的教学，还有两点需要注意：一是学生往往把生活中的竖直概念误认为数学的垂直概念，正如配合例6和例7的“练一练”第1题里，学生能理解左边图中的两条直线互相垂直，不理解右边图中的两条直线也互相垂直。教材编排这道题，就是要帮助学生
克服认识的局限性和概念的片面性，进一步突出“垂直”是两条直线的互相位置关系，只要两条直线相交成直角，它们就互相垂直。二是同一平面内两条不相交的直线才互相平行，两条异面直线虽然不相交，却也不平行。从这点上说，“同一平面内”是两条直线互相平行的必要前提。但是，小学生受年龄与知识的限制，目前还不能理解异面直线，在讲述平行的概念时，过多强调“同一平面内”并没有多少实际意义。为此，教材完全避免了异面直线的现象，给学生观察的都是同一平面内的两条直线，也没有在关于互相平行的介绍中写出“同一平面内”这个前提，而是采用“像这样”的表达，隐含了“同一平面内”的限定。
3. 列举生活中的垂直现象和平行现象。
例6在揭示“垂直”概念以后，要求学生说出一些互相垂直的例子。例9在讲述“平行”概念以后，要求学生说出一些互相平行的例子。这时，学生要凭自己头脑里的垂直概念和平行概念，来观察身边的事物与现象。通过列举实际事例，可以进一步体验两条直线互相垂直、互相平行的含义。在列举互相垂直的事例时，不仅要举出竖直线和水平线互相垂直，还要举一些其他走向的直线互相垂直的例子。同样，列举互相平行的事例时，不仅要举出两条水平线互相平行、两条竖直线互相平行，也要寻找其他走向的直线互相平行的例子。
练习十五第1题在长方形、正方形、直角三角形和直角梯形里找出互相垂直的线段；第6题在长方形、等腰梯形、平行四边形和正六边形里找出互相平行的线段；第10题在长方形、平行四边形、等边三角形和直角梯形里找出互相垂直的线段和互相平行的线段。这些寻找活动能促进对垂线、平行线的深入理解与把握。教学要注意的是，两条线段平行不是指这两条线段不相交，而是这两条线段所在的直线不相交。同样，两条线段互相垂直是指这两条线段所在的直线互相垂直。
（七）指导学生使用适当的工具与方法画垂线和平行线
例8和例10分别教学画垂线和画平行线，都按两个层次组织。第一个层次是学生想办法，自己画出互相垂直的两条直线和互相平行的两条直线。这个层次把学生头脑里关于垂线和平行线的认识，通过画图反馈出来。教学要启发学生寻找并利用身边的垂直现象与平行现象，选择适当的工具和画法。在画垂线时，联系“两条直线相交成直角”的认识，想到方格纸上的横线与竖线互相垂直，可以用来画垂线；想到利用量角器画出直角，就能得到互相垂直的两条直线……于是产生在方格纸上画、用量角器画等办法。在画平行线时，从“两条直线不相交”的认识出发，想到方格纸上的横线不会相交、竖线也不会相交，想到直尺的两条对边不会相交……于是想到在方格纸上画、沿着直尺的对边画等方法。第二个层次是使用三角尺与直尺画垂线和平行线，这些画法以后还能用来画平面图形的高，以及画长方形、正方形、平行四边形或梯形等图形。用三角尺与直尺画垂线和平行线，学生一般不会独立想到，需要教会他们画法。教材通过连续的图画示范画垂线的步骤与要领，学生可以通过看图和模仿操作来学会画法。要注意的是，不能机械地教学画法，应该抓住画图的主要步骤让学生理解为什么这样画，体会使用工具的必要性和合理性。画互相垂直的两条直线不是很难，通常先用直尺或三角尺画出一条直线，然后用三角尺上的直角画出另一条直线。像这样画成的两条直线相交成直角，是
互相垂直的。
画已知直线的垂线，通常有两种要求。一种在任意位置上画，只要画出的直线与已知直线垂直就行，另一种在规定位置上画，包括过已知直线上的一点或过已知直线外的一点画已知直线的垂线。例8图示的画垂线，是过已知直线上的A点画已知直线的垂线，紧接着安排过已知直线外的A点画已知直线的垂线，画垂线的两种情况都出现了。
应明白的是，数学课程标准把使用三角尺和直尺画已知直线的垂线与平行线安排在第三学段里。本单元例8教学用三角尺和直尺画已知直线的垂线，是因为以后画三角形、平行四边形、梯形的高，需要这样的画垂线技能，小学生应该会画已知直线的垂线。后面认识平行四边形和梯形，不一定需要三角尺和直尺画已知直线的平行线，所以例10不教学这个画法，学生能够用自己的办法画出已知直线的平行线就可以了。例10的“练一练”第3题就是这样编排的。
练习十五第7题，在给出的两条平行线之间画几条与平行线垂直的线段，并且量一量这些线段的长度。这道题一方面练习画垂线的方法，培养有关技能，另一方面通过画出的垂直线段长度相等，从不同角度体验平行线“不相交”的特点。
第9题在给出的四组直线中，识别哪些互相平行，哪些相交？相交的直线中哪组互相垂直？前一个问题对同一平面内的两条直线的位置关系进行分类，即相交与不相交（平行）；后一个问题凸显两条直线的特殊相交（垂直）。
第10题在长方形、平行四边形、三角形、梯形里寻找互相垂直的线段和互相平行的线段。找到长方形里的对边互相平行、邻边互相垂直，加强了对长方形特征的体验。找到平行四边形里的对边互相平行，梯形里的一组对边互相平行，也渗透了这些图形的特点，能为五年级认识这些图形积累感性认识。
第11题两条互相平行的直线与另一条直线相交，能够形成许多个角。选择其中两个角，猜一猜“相等吗”，量一量是不是相等。主要练习量角的技能，也渗透“同位角”相等。《整理与练习》第4题，画出正方形里的一条对角线和长方形里的一条对角线，每个图形里都形成四个锐角。测量并比较这些锐角的度数，能够发现有些角大小相等。也渗透了中学数学里的知识。
第6题经过直线外的A点，画已知直线的垂线，不画已知直线的平行线。和前面例题的教学相一致，也符合课程标准的要求。
（八）关注平行、垂直在日常生活中的应用
人们身边有许多垂直或平行的现象，日常生活中经常应用垂直或平行的知识。教材不仅联系现实引出垂直和平行，找到认识垂直和平行的具体素材，而且多次呈现应用垂直和平行的实例，让学生利用垂直和平行解决实际问题，体验垂直和平行有广泛的应用空间。
教学例6，在初步形成垂直概念以后，要求“说出一些互相垂直的例子”。如，长方形画框的长边与短边互相垂直、砖墙上的横线和竖线互相垂直、三角尺的两条直角边互相垂直……教学例9，在初步建立平行概念以后，要求“说出一些互相平行的例子”。如，黑板的上下（或左右）两条边互相平行、秋千架的两根立柱互相平行、五线谱横线互相平行……上述的举例，一方面丰富了对垂直、平行现象的体验，另一方面也培养了以数
学眼光看现象的习惯与能力。
例7的“练一练”第3题，用照片呈现测量跳远成绩的情境，要求回答“为什么这样测量”。照片里，拉直的卷尺与踏板互相垂直，把点（沙坑里的脚印后跟）到直线（踏板）的垂直距离作为跳远成绩比较合理。
练习十五第5题，在人行横道线上穿过马路，走怎样的路线最短，画出最短的路线，并作出为什么最短的解释。实际应用了直线外的一点到直线的垂直线段的知识。
单元《整理与练习》第8题，在城市平面图上寻找互相平行的道路、互相垂直的道路，体会城市建设也要用到平行、垂直的知识。为污水处理厂设计一条排水管道，确定排水口的位置，应用了过直线外一点，画直线的垂线的知识。
易达彼思教育学科教师辅导讲义 知识回顾 写出下图中所有的同位角、内错角、同旁内角
用该符号语言表示：如图， 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.
两直线平行的判定方法3： 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行. 简单地说: 同旁内角互补 ,两直线平行. 例4. 如图所示，回答下列问题，并说明理由． （1）由∠C＝∠2，可判定哪两条直线平行？ （2）由∠2＝∠3，可判定哪两条直线平行？ （3）由∠C＋∠D＝180°，可判定哪两条直线平行？ 注：（1）要掌握直线平行的判定方法，首先要掌握同位角、内错角、同旁内角的定义； （2）判定方法是从角的关系得到两直线平行的。 知识点4：平行线的判定方法的推论 （一）两条平行线间的距离 1、定义：同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线的距离。 如图所示，a//b，A是直线上任意一点，，垂足为B，则线段AB的长即是两平行线、间的距离。若在直线上任找一点，过作，垂足为D，则线段CD的长也是两平行线、间的距离。由此可见： 2、平行线间的距离处处相等。 例4.如图，AB⊥EF于点B，CD⊥EF于点D，∠1=∠2. （1）请说明AB∥CD的理由 （2）试问BM与DN是否平行？为什么？ 二、平行线的性质 知识点1：平行线的性质1 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.
简单说成：两直线平行，同位角相等. 如图所示，AB∥CD，有∠1=∠2. 格式：∵AB∥CD（已知）.∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等） 例1.如图，已知a∥b,∠1=65°,则∠2的度数为（） A.65° B.125° C.115° D.25° 知识点2：平行线的性质2 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等. 简单说成：两直线平行，内错角相等. 格式：如图所示，AB∥CD，有∠2=∠3（两直线平行，内错角相等）. 说明：∵AB∥CD（已知）.∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等） ∵∠1=∠3，∴∠2=∠3 例2.如图，点B是△ADC的边AD的延长线上一点，DE∥AC，若∠C=50°， ∠BDE=60°，则∠CDB的度数等于（） A.70° B.100° C.110° D.120° 知识点3：平行线的性质3 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补. 简单说成：两直线平行，同旁内角互补. 格式：如图所示，∵AB∥CD（已知）. ∴∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补） 例3.如图，若AB∥DE，BC∥FE，则∠E+∠B= . 注：同位角相等、同旁内角互补；内错角相等，都是平行线特有的性质，且不可忽略前提条件“两直线平行”，不要看到同位角或内错角，就认为是相等的。 三、平行线的性质和判定方法的综合应用 平行线的判定和性质的区别和联系：
平行线的性质及平移（提高）巩固练习 撰稿：孙景艳责编：赵炜 【巩固练习】 一、选择题 1. 若∠1和∠2是同旁内角，若∠1＝45°，则∠2的度数是() A．45°B．135°C．45°或135°D．不能确定 2．（山东日照）如图，已知直线AB∥CD，∠C=125°，∠A=45°，那么∠E的大小为（） A．70°B．80°C．90°D．100° 3．(湖北襄樊)如图所示，已知直线AB∥CD，BE平分∠ABC，交CD于D，∠CDE＝150°，则∠C的度数为() A．150°B．130°C．120°D．100° 4．如图，OP∥QR∥ST，则下列等式中正确的是() A．∠1+∠2-∠3＝90° B．∠2+∠3-∠1＝180° C．∠1-∠2+∠3＝180° D．∠1+∠2+∠3＝180° 5. 如图，AB∥CD∥EF，BC∥AD，AC平分∠BAD，且交EF于点O，则与∠AOE相等的 角有() A．5个B．4个C．3个D．2个 6．（湖北潜江）如图，AB∥EF∥CD，∠ABC＝46°，∠CEF＝154°，则∠BCE等于（）
A ．23° B ．16° C ．20° D ．26° 7. 如图所示，在一个由4×4个小正方形组成的正方形网格中，把线段EF 向右平移3个单位，向下平移1个单位得到线段GH ，则阴影部分面积与正方形ABCD 的面积比是( ) A ．3:4 B ．5:8 C ．9:16 D ．1:2 8. 有下列语句中，真命题的个数是( ) ①画直线AB 垂直于CD ；②若|x |＝|y |，则x 2＝y 2． ③两直线平行，同旁内角相等；④直线a 、b 相交于点O ；⑤等角的余角相等． A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 二、填空题 9．（四川广安）如图所示，直线a ∥b ．直线c 与直线a ，b 分别相交于点A 、 点B ，AM b ⊥，垂足为点M ，若158∠=?，则2∠＝ _____，直线a b 与之间的距离_____． 10.如图所示，AB ∥CD ，若∠ABE ＝120°，∠DCE ＝35°，则有∠BEC ＝________． 11.（四川攀枝花）如图，直线l 1∥l 2，∠1=55°，∠2=65°，则∠3= ． 12.一个人从点A 出发向北偏东60°方向走了4m 到点B ，再向南偏西80°方向走了3m 到点C ，那么∠ABC 的度数是________．
四年级数学上册《垂线与平行线》测试 四年级______班姓名________ 一、填空题。 1．把序号填在括号里。 ( )是直线，( )是射线，( )是线段。 2．角是从______点引出_____条射线所组成的图形；测量角的大小所 用的工具是________。 3．经过一点可以画_______条直线，经过两点可以画______条直线。 4．在同一平面内，不相交的两条直线____________，其中一条直线 是另一条直线的________。 5．两条直线相交成_______时，这两条直线互相垂直，其中一条直线 是另一条直线的______，这两条直线的交点叫_________。 6．两条平行线之间的距离处处____________。 7．填出下面每组两条直线之间的关系。(填上相关的文字) ( ) ( ) ( ) ( )
8．______时整或_____时整，时针和分针形成直角；5时整，时针和分针组成的是______°的角。3:30，时针和分针组成的角是______角。 9．一个15°的角在一个10倍的放大镜下是________°。 二、判断题。 1．大于90°的角是钝角。……………………………………………( ) 2．过直线外一点只能画一条直线与已知直线垂直。………………( ) 3．平角就是一条直线。……………………………………………( ) 4．同一平面内的两条直线不是平行就是垂直。……………………( ) 5．一个长方形内有两组平行线和四组垂线。……………………( ) 三、选择题。 1．两条直线相交时，如果有一个角是90°，那么它相邻的角是( )。 A．100 B．90° C．120° 2．下面各角中，( )的角无法用一副三角尺画出来。 A．120° B．135° C．25° 3．广场上进行放风筝比赛，规定用35米 长的线，如果把每根风筝线的一端固定在
第八单元垂线与平行线 教学内容： 教科书第77-99页的例题、练一练、练习十三、练习十四、练习十五、整理与练习。 教材分析： 本单元主要教学角的认识、度量和分类，垂线和平行线的认识。角、垂线和平行线等概念是图形与几何部分最基础的知识之一。这对学生以后正确建立有关的几何概念有着十分重要的作用。本单元的教学重点是：了解角的特征，会用量角器量角和画角，知道角的分类方法；了解垂线和平行线的特征，会画已知直线的垂线和平行线；知道点到直线的距离，会确定和测量点到直线的距离。教学难点是：理解射线和直线的特征，初步建立无限的概念；会用量角器量角，能画出指定度数的角；会确定和测量点到直线的距离。 教学目标： 1、使学生通过观察、操作和交流，认识射线、直线，了解线段、射线、直线之间的联系和区别；认识两点间的距离，知道两点间所有的连线中线段最短；进一步认识角的特征，会用量角器量角，会画指定度数的角，了解角的分类方法，掌握锐角、直角和钝角的特征，知道平角和周角，了解各类角之间的大小关系；认识垂线和平行线，会用直尺、三角尺等工具画垂线和平行线；知道点到直线的距离，会确定和测量点到直线的距离。 2、使学生经历由具体实例抽象出有关的平面图形，探索射线、直线、角的特征，探索平面内两条直线之间位置关系的过程，进一步积累图形与几何的学习经验，感悟一些基本的数学思想方法，培养借助直观进行简单推理的能力，发展空间观念和几何直观。 3、使学生积极参与学习活动，培养学生认真观察、积极思考、规范操作的良好习惯；感受图形与现实世界的密切联系，产生对数学的亲切感；激发对数学学习的兴趣，提高学好数学的自信心。
教学重点： 1、认识角的特征和角的计量单位，掌握角的分类以及锐角、直角、钝角、平角和周角的大小关系。 2、会用量角器量指定角的度数，会画指定度数的角。 3、认识平行线和直线，并能按要求画出平行线和垂线。 教学难点： 1、用三角尺画30o、45o、60o和90o的角。 2、综合应用有关角的度量、统计和计算等知识解决问题。 3、掌握两条直线在同一平面内的位置关系。 4、自主探究、发现点到直线的所有线段中，垂线最短。 教学准备：教学光盘、全套尺 课时安排：共10课时 1、认识射线、直线和角 1课时 2、角的度量 2课时 3、角的分类和画法 2课时 4、认识垂线、认识点到直线的距离 1课时 5、画垂线 1课时 6、认识平行线、画平行线 1课时 7、练习十五 1课时 8、整理与练习 1课时
平行线的判定和性质经典题 一．选择题（共18小题） 1．如图所示，同位角共有（） 3．下列说法中正确的个数为（） ①不相交的两条直线叫做平行线 ②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 ③平行于同一条直线的两条直线互相平行 4．在同一平面内，有8条互不重合的直线，l1，l2，l3…l8，若l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，l4∥l5… 6．如图所示，AC⊥BC，DE⊥BC，CD⊥AB，∠ACD=40°，则∠BDE等于（）
8．下列所示的四个图形中，∠1和∠2是同位角的是（） 11．如图所示，BE∥DF，DE∥BC，图中相等的角共有（） 13．如图所示，DE∥BC，DC∥FG，则图中相等的同位角共有（） 14．如图所示，AD∥EF∥BC，AC平分∠BCD，图中和α相等的角有（） 15．如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角
16．把直线a 沿水平方向平移4cm ，平移后的像为直线b ，则直线a 与直线b 之间的距离为 17． （2009?宁德）在下列四个汽车标志图案中，能用平移变换来分析其形成过程的图案是 18．（2004?烟台） 4根火柴棒摆成如图所示的象形“口”字，平移火柴棒后，原图形变成的象形文字是（ ） 二．填空题（共12小题） 19．已知∠α和∠β的两边互相平行，且∠α=60°，则∠β= _________ ． 20．（2004?西宁）如图，AD∥EG∥BC，AC∥EF，则图中与∠1相等的角（不含∠1）有 _________ 个；若∠1=50°，则∠AHG= _________ 度． 第20题 第21题 第22题 21．（2009?永州）如图，直线a 、b 分别被直线c 、b 所截，如果∠1=∠2，那么∠3+∠4= _________ 度．直线a 、b 分别被直线c 、b 所截． 22．（2010?抚顺）如图所示，已知a∥b，∠1=28°，∠2=25°，则∠3= _________ 度． 23．如图，已知BO 平分∠CBA，CO 平分∠ACB，MN∥BC，且过点O ，若AB=12，AC=14，则△AMN 的周长是 _________ ．
第2讲 平行线的性质及其应用 考点·方法·破译 【例１】如图，四边形ABCD 中，AB ∥CD ， BC ∥AD ，∠A 【解法指导】 两条直线平行，同位角相等； 两条直线平行，错角相等； 两条直线平行，同旁角互补. 【变式题组】 01．如图，已知AD ∥BC ，点E 在BD 的延长线上，若∠ADE ＝155°，则∠DBC 的度数 为（ ） A ．155° B ．50° C ．45° D ．25° 02．（）如图，直线l 1 ∥ l 2,∠1＝55°，∠2＝65°，则∠3为（ ） A ． 50° B ． 55° C ． 60° D ．65° 03．如图，已知FC ∥AB ∥DE ，∠α：∠D ：∠B ＝2: 3: 4, 试求∠α、∠D 、∠B 的度数. 【例２】如图，已知AB ∥CD ∥EF ，GC ⊥CF ，∠B ＝60°，∠ EFC ＝45°，求∠BCG 的度数. 【解法指导】平行线的性质与对顶角、邻补角、垂直和角平 分线相结合，可求各种位置的角的度数，但注意看清角的位置. 【变式题组】 01．如图，已知AF ∥BC , 且AF 平分∠EAB ，∠B ＝48°，则∠C 的的度数＝_______________ 02.如图,已知∠ABC ＋∠ACB ＝120°，BO 、CO 分别∠ABC 、∠ACB ，DE 过点O 与BC 平行，则∠BOC ＝___________ 03．如图，已知AB ∥ MP ∥CD , MN 平分∠AMD ，∠A ＝40°，∠D ＝50°，求∠NMP 的度数. A B C D O E F A E B C （第1题图） （第2题图） E A F G D C B B A M C D N P （第3题图）
垂线与平行线检测 一、填空 1、一个正方形有（）组互相垂直的线段，（）组互相平行的线段。 2、明明在一张纸上给一条直线画了两条垂线的位置关系是（） 3、过直线外一点可以画（）条已知直线的平行线。 4、写出5个含有互相垂直笔画的汉字：（）；写出5个含有互相平行笔画的英文字母：（）。 5、下图中，线段（）的长度是点A到直线BE的距离。 6、如下图，直线abcd相交于O点，其中，a与b互相垂直，c与d互相垂直，∠1=35°，∠2=（）°，∠3=（）°，∠4=（）°。 二、判断 1、同一平面内，两条直线不相交就是平行。（） 2、明明在纸上画了一条平行线。（） 3、给已知直线画垂线，可以画无数条。（） 4、角的两条边是互相平行的。（） 5、同一平面内，如果直线a与直线b互相垂直，直线b与直线c互相垂直，那么直线a与直线c互相垂直。（） 三、选一选 1、下面图形中，只有一组互相平行的线段的图形是（）
2、两条直线相交，如果其中一个角是直角，那么其他三个角是（） A 锐角 B 直角 C 钝角 3、如下图，点C到线段AB的距离是（）cm。A 6 B 8 C 10 4、把一张圆形纸片对折再对折，打开两条折痕（） A 互相垂直 B 互相平行 C 可能互相平行，也可能互相垂直 四、画一画 1、点A到直线a、b的距离各是多少？先画一画，再分别量出长度。 2、已知∠1=50°，量一量，你还能找出几个和它相等的角？ 五、动手实践 用一张正方形纸照样子折一折，再打开看一看，那些折痕互相平行？那些折痕互相垂直？请用不同颜色的水笔标注。
六、灵活运用，我会做 1、下面是某城市部分街区道路平面图。 （1）图中那些道路互相平行？那些道路互相垂直？ （2）为了方便居民出行，拟新建一条道路经过宝山新村，与中山路垂直，请画出示意图。 2、周末，小明计划乘公交车去少年宫，临近街道上A、B、C三个站均有到少年宫的车（如下图），他选择哪个站乘车比较近？为什么？
1.认识射线、直线和角。 2.角的分类及用量角器量角和画角。 3.垂线的认识和画法及点到直线的距离。 4.平行线的认识和画法。 1.建立射线的概念,掌握直线、线段和射线三个概念之间的联系与区别,以及建立角的概念。 2.使学生会根据角的度数区分锐角、直角、钝角、平角和周角,并知道各种角之间的关系。 3.使学生认识量角器,能够用量角器量角,培养学生动手的能力,使学生能够按要求画角。 4.通过操作与合作交流,能用直尺、三角尺和量角器等工具画平行线和垂线,能确定和测量点到直线的距离。 5.经历联系实际的感知和观察、操作、画图等活动过程,深刻感受直线之间的位置关系,发展空间观念。 6.感受生活里的平行与垂直现象,了解平行与垂直在现实生活里的应用;能主动参与观察、操作等学习活动,对图形产生兴趣,感受数学学习的趣味性。 1.恰当把握教学目标。 要求教师树立整体意识和目标意识,从整体上着眼把握目标,明确每一阶段的具体要求,把单元教学目标分解为课时教学目标,确定每一课时教学的重点和难点,然后由浅入深地教授学生。 2.注意数学与生活的联系。 引导学生利用生活经验促进数学学习,但数学源于生活又高于生活,数学毕竟是抽象的,如直线的定义就比较抽象,要引导学生想象,注意数学学科本身的特点,适时和适度地联系学生的生活经验。 3.加强动手操作,提供自主探索的空间。 安排“量一量”“画一画”“折一折”“拼一拼”等操作活动,让学生在这些活动中进一步加深对角的认识,并形成画角和量角的技能,初步培养学生的作图能力,同时让学生经历和体验知识的形成过程。在加强操作活动的同时,尽可能给学生提供自主探索的时间和空间。 4.结合具体生活情境充分感知直线的位置关系,形成同一平面内两条直线平行与相交(包括垂直)的概念。引导学生从现实生活中找出实例,支撑和丰富相应的表象,加深对直线的平行和垂直关系的认识。 5.在操作活动中加深对所学知识的体验。激发学生的参与热情,使学生进一步获得体验
平行线的判定与性质 4.已知两个角的两边分别平行,其中一个角为40°，那么另一角是 度． 9.如图，已知∠l+∠2=１８0°，∠3＝∠B,试判断∠AED 与∠ＡCB 的大小关系，并对结论进行证明． 1３．如图，已知21//l l ，AB ⊥1l ，∠ABC=1３0°，则∠α= ． 14.如图,直线AB ∥CD ，∠E ＦＡ=30°，∠ＦＧH=90°,∠HM Ｎ＝３0°,∠CNP ＝ ５0°，则∠G ＨM 的大小是 ． 1６．如图,若AB ∥ＣD ，则( ). A ．∠１＝∠2+∠3 Ｂ.∠1=∠３一∠2 Ｃ．∠1+∠２+∠3=１8０° ∠l 一∠2十∠3=18０° １7．如图，AB ∥ＣＤ∥EF,ＥＨ⊥CD 于Ｈ,则∠BA Ｃ＋∠ACE ＋∠ＣEH 等于( )． A ．１80° B ．270° C ． 360° Ｄ． 45０ 例２ 如图,某人从A 点出发,每前进１0米,就向右转18°，再前进10米,又向右转１8°,这样下去,他第一次回到 出发地Ａ点时，一共走了________米． 变式训练： １. 如图,一条公路修到湖边时,需拐弯绕湖而过， 如果第一次拐的角∠A 是1２0°,第二次拐的角∠B 是１50°, 第三次拐的角是∠C ，这时恰好和第一次拐弯之前的道路 A C A A 1 A 2 18o 18o
平行，则∠C= . 2２．如图，已知射线CB∥OA，∠Ｃ=∠ＯAB=100°，E、Ｆ在CB上，且满足∠FOB=∠ＡOB,OE平分∠COF． （1）求∠EＯB的度数. (2)若平行移动AB，那么∠ＯBC：∠OFC的值是否随之发生变化？若变化,找出变 化规律；若不变,求出这个比值. （３)在平行移动AB的过程中,是否存在某种情况,使∠OEC=∠OＢＡ?若存在，求出其度数;若不存在,说明理由． 2．一学员在广场上练习驾驶汽车,两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同， 这两次拐弯的角度可能是( ). (A）第一次向左拐30°,第二次向右拐3０° (B)第一次向右拐50°,第二次向左拐1３0° （C)第一次向右拐５0°，第二次向右拐１３0° (Ｄ）第一次向左拐50°，第二次向左拐130° 例3 如图，将纸片△ＡBC沿ＤE折叠，点A落在点A′处，已知∠1+∠2=１0０°， 求∠Ａ的度数． 变式训练:1.如图, 已知:∠1=∠2,∠3＝∠4,∠5＝∠6. 求证: ＡD∥ＢC． 2．已知CD⊥ＡＢ于Ｄ，EF⊥AB于Ｆ, ∠DGC=１05°,∠ＢCG＝７５°,求∠1+∠2的度数. A D B C 1 2 A E A B C D E F 2 3 1 4 5 6 B C A E G 2 1
第二讲平行线的性质及平移 教学目标:1.根据平行线的性质判断角度关系（重点） 2.平行线中添加辅助线和动点问题 3.平行线的性质和实际运用 教学过程： 请同学们回顾下平行的判定方法！ 判定方法:(1) 同角相等,两直线平行; (2)内错角相等,两直线平行; (3)同旁内角互补,两直线平行; (4)在同一平面内,垂直于同一直线的两直线平行. 性质: (1)两直线平行,同位角相等; (2)两直线平行,内错角相等; (3)两直线平行,同旁内角互补. 1.将直角三角板和直尺如图放置．若∠1＝20°，则∠2的度数为( ) A．60° B．50° C．40° D．30° 第1题图第2题图2．如图，AB∥EF∥DC，AD∥BC，AC是∠BAD的平分线，则与∠1相等的角(∠1除外)有( ) A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 3．如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐弯的角∠A＝120°，第二次拐弯的角∠B＝150°，第三次拐弯的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯前的道路平行，则∠C的度数为( ) A．120° B．130° C．140° D．150° 填空题 4．如图，要使AD∥BC，需添加一个条件，这个条件可以是 ________．(只需写出一种情况)
第4题图第5题图 5.如图，直线AB，CD被直线AE所截．若AB∥CD，∠A＝110°，则∠1＝________°. 6．用两个相同的三角板按照如图所示方式作平行线，理由是________________________． 第6题图第7题图 7.如图，已知l1∥l2，直线l与l1，l2分别相交于C，D两点，把一块含30°角的三角尺按如图位置摆放．若∠1＝130°，则∠2＝________°. 8.如图是一台起重机的工作简图，前后两次吊杆位置OP1，OP2与绳线的夹角分别是30°和70°，则夹角∠P1OP2＝________°. 第8题图第9题图 9.如图是一小区大门的栏杆示意图，当栏杆抬起时，BA垂直于地面AE于A，CD平行于地面AE，则∠ABC＋∠BCD＝________度． 1.C 2．C 解析：∠DCA，∠ACB，∠EAO，∠EOA，∠BAO都和∠1相等． 3．D 解析：过点B作直线MN∥AE即可． 4．∠1＝∠4(答案不唯一) 5.70 6．内错角相等，两直线平行7.20 8．40 解析：如图，过O作OA∥P2C，则∠AOP2＝∠P2＝70°.由题意，得P1B∥P2C，∴OA∥P1B，∴∠AOP1＝∠P1＝30°，∴∠P1OP2＝∠AOP2－∠AOP1＝70°－30°＝40°. 9．270
垂线和平行线练习题 一、判断题。 1、相交的两条直线一定互相垂直。(） 2、过直线外一点画已知直线的垂线，只能画出一条。（） 3、如果一条直线与两条平行线中的一条垂直,它就一定与另一条 垂直。() 4、长方形相对的两条边是一组平行线。（） 5、两条平行线之间可以作无数条垂线,这些垂线的长度都相等。 ( ） 6、过直线外一点可以作无数条与这条直线垂直的直线。（) 7、同一平面内,两条直线不相交,就一定互相平行。（) 8、两条直线相交成四个角，如果其中一个角是直角，那么另外三 个角也一定都是直角。（） 9、9时30分,分针和时针成直角。( ) 10、平行线间的距离处处相等。（) 二、填空题。 １、两条直线相交成( ）时，这两条直线（）,其中一条直线是另一条直线的（),这两条直线的交点叫做（)。 ２、从直线外一点到这条直线所画的()的长度，叫做这点到直线的（)。 3、在（）内，不相交的两条直线( )，其中
一条直线是另一条直线的()。 4、课桌面相邻的两条边互相（)，相对的两条边互相（)。 5、平行线间的距离处处（）。 6、从直线外一点向已知直线画线段,( )最短。 三、选择题。 １、判断两条直线是否垂直可以使用（）。 A、三角板 B、量角器 C、直尺 2、两条直线互相垂直,这两条直线的交点叫做（)。 A、交点 B、垂足 C、端点 3、过直线外一点画已知直线的垂线,可以画（）。 Ａ、1条B、2条Ｃ、无数条 4、两条直线相交，如果其中一个角是９0°,那么其他三个角是( ）。Ａ、锐角 B、直角C、钝角 四、操作题。 1、过直线上一点画这条直线的垂线。
2、过直线外一点画这条直线的垂线。 ３、过直线外一点画这条直线的平行线。 4、用画平行线的方法，在下图的基础上画出一个长方形。 · · ·
平行线的判定和性质的综合应用 2. 如图，AD ⊥BC 于点D ，EF ⊥BC 于点F ，EF 交AB 于点G ，交CA 的延长线于点E ，且∠1=∠2．AD 平分∠BAC 吗？说说你的理由． C E 1 2 A B C D F G E
3. 如图，若AB ∥CD ，∠1=∠2，则∠E =∠F ，为什么？ 4、如图，将纸片△ABC 沿DE 折叠，点A 落在点A ′处，已知∠1+∠2=100°， 求 ∠A 的度数． 5、如图，直线AC ∥BD ，连结AB ，直线AC ，BD 及线段AB 把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分，当动点P 落在某个部分时，连结P A ，PB ，构成∠P AC ，∠APB ，∠PBD 三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是0°．） （1）当动点P 落在第①部分时，试说明：∠APB =∠P AC +∠PBD ． （2）当动点P 落在第②部分时，∠APB =∠P AC +∠PBD 是否成立？ （3）当动点P 落在第③部分时，请全面探究∠P AC ，∠APB ， ∠PBD 之间的关系，并写出动点P 的具体位置和相应的结论， 选择其中一种结论加以说明． 1 2 A B C D E F A D B C 1 2 A E
一、能力提升 1. 如图，已知∠ABC +∠ACB =110°，BO 、CO 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线，EF 过O 与BC 平行，则∠BOC = ． 2. 如图，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D ，C 分别落在D ′，C ′的位置．若∠EFB ＝65°， 则∠AED ′的度数为 ． 3. 如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，130250∠=∠=°，°，则3∠= ． 4.如图,已知∠1+∠2=180°,∠A=∠C,AD 平分∠BDF.求证:BC 平分∠DBE. B 1 2 F D E C A 5、如图，已知∠ABD 和∠BDC 的平分线交于E ，BE 交CD 于点F ，∠1 +∠2 = 90°． 求证：（1）AB ∥CD ； （2）∠2 +∠3 = 90°． 6、如图，已知AB ∥CD ，∠BAE =30°，∠DCE =60°，EF 、EG 三等分∠AEC ． （1）求∠AEF 的度数； （2）求证：EF ∥AB ． E G D C F A B 1 2 3 E D B C′ F C D ′ A 第1题图 第2题图 第3题图 C 1 2 3 A B D F E
海豚教育个性化简案 学生姓名：丁露娜年级：七年级科目：数学授课日期：月日上课时间：时分------ 时分合计：小时 教学目标1.探索平行线的性质 2.运用平行线的性质及判定方法解决问题 3.知道平移的概念及平移的不变性 重难点导航 1、运用平行线的性质及判定方法解决问题 2、平移的不变性 教学简案： 1、认识平行线的性质 2、运用平行线的性质及判定方法解决问题 3知道平移的概念及平移的不变性 4 能够根据题目要求做出已知图形的平移后图形 授课教师评价：□准时上课：无迟到和早退现象 （今日学生课堂表□今天所学知识点全部掌握：教师任意抽查一知识点，学生能完全掌握现符合共项）□上课态度认真：上课期间认真听讲，无任何不配合老师的情况 （大写）□海豚作业完成达标：全部按时按量完成所布置的作业，无少做漏做现象学生签字：教师签字： 备注：请交至行政前台处登记、存档保留，隔日无效（可另附教案内页）大写：壹贰叁肆签章：
H F E D C B A 海豚教育个性化教案（真题演练） 真题演练: 【1】（2010山东）1．填空并完成以下推理： 已知，如图，∠1＝∠ACB ，∠2＝∠3，FH ⊥AB 于H ，求证：CD ⊥AB ． 解：∵∠1＝∠ACB （已知）∴DE ∥BC （ ） ∴∠2＝ （ ） ∵∠2＝∠3（已知） ∴∠3＝ ∴CD ∥FH （ ） ∴∠BDC ＝∠BHF （ ） 又∵FH ⊥AB （已知） ∴ 【2】10．两个直角三角形重叠在一起,将其中一个三角形沿着点B 到点C 的方向平移到△DEF 的位置,AB=10,DH=4,平移距离为6,求阴影部分的面积. C A B D E F H 1 2 3
第五章相交线与平行线 邻补角：有一个公共的顶点，有一条公共的边，另外一边互为反向延长线，这样的两个角叫做邻补角。两条直线相交有4对邻补角。 对顶角：有公共的顶点，角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角。两条直线相交，有2对对顶角。对顶角相等。 垂线：两条直线相交，所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。 注意：⑴垂线是一条直线。 ⑵具有垂直关系的两条直线所成的4个角都是90。 ⑶垂直是相交的特殊情况 ⑷垂直的记法：a⊥b，AB⊥CD。 画已知直线的垂线有无数条。 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简单说成：垂线段最短。 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 平行线：在同一平面，两条直线没有交点，则这两条直线互相平行，记作：a∥b。 在同一平面两条直线的关系只有两种：相交或平行。 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 同位角：两条直线被第三条直线所截，在两条被截线的同一方，截线的同一旁，这样的两个角叫做同位角。错角：两条直线被第三条直线所截，在两条被截线之间，截线的两侧，这样的两个角叫做错角。 同旁角：两条直线被第三条直线所截，在两条被截线之间，截线的同一旁，这样的两个角叫做同旁角。 判定两条直线平行的方法： 方法1 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。简单说成：同位角相等，两
直线平行。 方法2 两条直线被第三条直线所截，如果错角相等，那么这两条直线平行。简单说成：错角相等，两直线平行。 方法3 两条直线被第三条直线所截，如果同旁角互补，那么这两条直线平行。简单说成：同旁角互补，两直线平行。 平行线的性质： 性质1 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。简单说成：两直线平行，同位角相等。 性质2 两条平行线被第三条直线所截，错角相等。简单说成：两直线平行，错角相等。 性质3 两条平行线被第三条直线所截，同旁角互补。简单说成：两直线平行，同旁角互补。 同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做着两条平行线的距离。 命题：判断一件事情的语句叫做命题。 平移：⑴把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同。⑵新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点，连接各组对应点的线段平行且相等。图形的这种移动，叫做平移变换，简称平移。 相交线与平行线测试题 一、填空题 1.如图所示，若AB ∥DC ，∠1=39°，∠C 和∠D 互余，则∠D= ，∠B= 。 2.如图所示，直线a 、b 与直线c 相交，给出下列条件：①∠1=∠2； ② ∠3=∠6； ③∠4+∠7=180°；④∠5+∠3=180°，其中能判断a ∥b 的是 （填序号） 3.把命题“等角的余角相等”改写成“如果……那么……”的形式是 。 4.如图所示，△ABC 是△DEF 经过平移得到的，若AD=4㎝，则BE= ㎝，CF= ㎝；若点M 为AB 的中点，点N 为DE 中点，则MN= ㎝；若∠B=73°，则∠E= 。 1题图 2题图 4题图 5.如图所示，已知AB ∥CD ∥EF ，则∠x 、∠y 、∠z 三者之间的关系是 . 5题图 7题图 6．对于同一平面的三条直线 、、，给出下列五个论断：①∥；②∥；③⊥；④∥；⑤⊥.以其中两个论断为条件，一个论断为结论，组成一个你认为正确的命题：__________________. 7.如图，AD ∥BC ，AC 与BD 相交于O ，则图中相等的角有_____对。 二、选择题 8.如图所示，已知直线AB ∥CD ，当点E 在直线AB 与CD 之间时，有∠BED=∠ABE+∠CDE 成立；而当点E 在a b c a b b c a b a c a c
苏教版数学四年级上册 第八单元《垂线与平行线》 单元测评卷 第I卷（选择题） 一、选择题 1．从一点到已知直线的所有连线中，与已知直线垂直的线段有( )条？ A．1条B．2条C．无数条 2．想使物体从斜面上向下滚动时尽可能地快，下面选项中木板与地面夹角是（）度时最符合要求． A．10 B．15 C．20 D．5 3．用一副三角板可以画出的角是()。 A．80°B．135°C．175° 4．从学校修一条通往公路的水泥路，按照下列哪条线修最合适？（） A．1B．2C．3D．4 5．如图中，小刚从A过马路，最短的路线是（）。 A．B．C． 第II卷（非选择题） 二、填空题 6．看量角器的度数，写出各个角的度数。
（_____）（_____）（_____） 7．我会写。(时针和分针各组成了什么角？) 8．如图，过A点作直线m的垂线，过B点作直线m的垂线，这两条垂线________ 9．量一量，在括号里写出角的度数。 （____）（____）（____）（____） 10．数一数． 11．在9:00时，钟面上时针和分针组成了（_______）角。 12．已知OC是∠AOB的角平分线，如果∠AOB=50°，那么∠BOC的度数是．13．（2007?淮安模拟）一个等腰三角形中，一个底角的度数是一个顶角的，一个底角是度． 14．线段、射线和直线的相同点是它们都是( )的；不同点是线段有( )个端点，射线有( )个端点，直线( )端点。 15．一张试卷的两条对边互相（________）,相邻的两条边互相（________）． 16．在同一平面内画一条直线的平行线，可以画（_____）条，过直线外一点画这条直线的垂线，可以画（_____）条． 17．钟面上3时整，时钟和分针所夹的角是（_____）度，这样的角是（____）角。18．把一条线段的两端无限延长，就得到一条________，________和________都是直线
学习资料 仅供学习与参考 平行线的判定和性质拔高训练题 1．如图1，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D ，C 分别落在'D ，' C 的位置．若 ∠EFB =65°，则'AED 等于__________． 2. 如图2，AD ∥EF ，EF ∥BC ，且EG ∥AC ．那么图中与∠1相等的角(不包括∠1)的个 数是__________． 3. 如图3，AB ∥CD ，直线AB ，CD 与直线l 相交于点E ，F ，EG 平分∠AEF ，FH 平分 ∠EFD ，则GE 与FH 的位置关系为__________． （1） （2） （3） 4．如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，且其中一个角比另一个角的4倍少30°， 那么这两个角分别是( ) A ．30°和150° B ．42°和138° C ．都等于10° D ．42°和138°或都等于10° 5．如图4，点E 在CA 延长线上，DE 、AB 交于点F ，且∠BDE =∠AEF ，∠B =∠C ， ∠EFA 比∠FDC 的余角小10°，P 为线段DC 上一动点，Q 为PC 上一点，且满足∠FQP = ∠QFP ，FM 为∠EFP 的平分线．则下列结论：①AB ∥CD ，②FQ 平分∠AFP ，③∠B ＋∠E =140°，④∠QFM 的角度为定值．其中正确的结论有( )个数 A ．1 B ．2 C ．3 D ． 4 （4） （5） 6．如图5，AB ∥EF ，EF ∥CD ，EG 平分∠BEF ，∠B ＋∠BED ＋∠D =192°， ∠B －∠D =24°，求∠GEF. 7. 已知：如图6，AD ⊥BC 于点D ，EG ⊥BC 于点G ，∠E ＝∠3． 求证：AD 平分∠BAC ． （6)
第三节平行线的综合及平移初步 一、课标导航 二、核心纲要 1．平移变换(简称：平移) （1）平移的定义：在平面内，将一个图形沿某一方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移. （2）三角形内角和定理的应用 ①经过平移后，对应线段平行(或在同一直线上)且相等，对应角相等. ②经过平移后,对应点所连的线段平行(或在同一直线上)且相等. 注:平移中一变是位置的变化;两不变是形状和大小不变. 2．两条平行线间的距离 在平面内，同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度叫做这两条平行线间的距离.平行线间的距离处处相等. 3．命题 命题:判断一件事情的语句，叫做命题.正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题.
定理:从公理或其他真命题出发,判断是正确的命题，并且可以进一步作为判断其他命题真假的 依据，这样的真命题叫做定理. 命题的组成:每个命题由题设、结论两部分组成.命题通常可以写成“如果……，那么……”的形 式.具有这种形式的命题中，用“如果”开始的部分是题设，用“那么”开始的部分是结论. 4．基本几何模型 转折角处巧添平行线(拐点+平行线). 利用平移解决与线段有关的问题(包括线段长、周长、面积及最短路径等问题). 5．思想方法：转化思想 本节重点讲解：一个性质(平移的性质)，一个思想，两大模型，四个概念(平移、两平行线间的距离、命题和定理)。 三、全能突破 基础演练 1．有以下现象：①温度计中液柱的上升或下降；②打气筒打气时，活塞的运动；③钟摆的摆动；④传送带上瓶装饮料的移动，其中属于平移的是( )． A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．②④ 2．如图5-3-1所示，将△ABC 平移到△A ′B ′C ′． B 在上述平移过程中，连接各组对应点的线段即AA ′、BB 、CC 之间的数量关系是________；位置关系是________________。 A B E D C C D A B E A B D C
四年级数学-垂线和平行线测试题 一、判断题。（20分） 1、相交的两条直线一定互相垂直。（） 2、过直线外一和已知直线的垂线，只能作一条。（） 3、如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，它就一定与另一条垂直。（） 4、长方形相对两条边是一组平行线。（） 5、两条平行线之间可以作无数条垂线，这些垂线的长度都相等。（） 6、过直线外一点可以作无数条与这条垂直的直线。（） 7、两条直线不相交，这两条直线一定互相平行。（） 8、两条直线相交成四个角，如果其中一个角是直角，那么另外三个角也一定都是直角。（） 9、9时30分，分针和时针成直角。（） 10、平行线间的距离处处相等。（） 二、填空题。（第6题8分，其余每空2分，计24分） 1、两条直线相交成（）时，这两条直线叫做（）。 2、从直线外一点到这条直线所画（）的长度，叫做这点到直线的（）。 3、在（）内，不相交的两条直线叫做（）。 4、课桌面相邻的两条边是互相（）的。 5、从直线外一点向已知直线画线段，（）最短。 6、下面各是什么角？把它们按从小到大的顺序排列起来。 （）（）（）（）（）
三、选择题。（18分） 1、判断两条直线是否垂直可以使用（）。 A、三角板 B、量角器 C、直尺 2、两条直线互相垂直，这两条直线的交点叫做（）。 A、交点 B、垂足 C、端点 3、过直线外一点画已知直线的垂线，可以画（）。 A、1条 B、2条 C、无数条 4、图形＝是由两条（）组成的，∠是由两条（）组成的。 A、线段 B、射线 C、直线 5、两条直线相交，如果其中一个角是90°,那么其他三个角是（）。 A、锐角 B、直角 C、钝角 6、已知直线a与直线c互相平行，直线b与直线c互相平行。那么，直线a与直线 b ( )。 A．互相平行 B．互相垂直 C．无法确定 四、操作题。（25分） 1、过直线上A点画所在直线的垂线。过直线外B点画直线的垂线和平行线。（9） A· B· 2、用画平行线的方法，在下图的基础上画出一个长方形。（6）
1 D F C B A 2 E 平行线的判定与性质的综合运用 专题 一、推理填空题 1．已知：如图，DE ∥BC ，∠ADE ＝∠EFC ，将说明∠1＝∠2成立的理由填写完整. 解：∵ DE ∥BC （ ） ∴∠ADE ＝_______（ ） ∵∠ADE ＝∠EFC （ ） ∴_______＝_______ （ ） ∴DB ∥EF （ ） ∴∠1＝∠2（ ） 2.已知：如图所示，∠1＝∠2，∠A ＝∠ 3.求证：AC ∥DE 证明：∵∠1＝∠2（ ） ∴AB ∥＿＿＿＿( ) ∴∠A ＝∠4( ) 又∵∠A ＝∠3（ ） ∴∠3=＿＿＿＿（ ） ∴AC ∥DE （ ） 3.已知：如图，∠ABC ＝∠ADC ，BF 、DE 分别平分∠ABC 与∠ADC ．且∠1＝∠3．求证：AB ∥DC ． 证明：∵∠ABC ＝∠ADC ， .2 1 21ADC ABC ∠=∠∴( ) 又∵BF 、DE 分别平分∠ABC 与∠ADC ， .2 1 2,211ADC ABC ∠=∠∠= ∠∴ ( ) ∴∠______＝∠______．( ) ∵∠1＝∠3，( ) ∴∠2＝∠______．(等量代换) 43 21 A B C E
∴______∥______．( ) 二、证明题 4.如图，AB ∥CD ，AE 交CD 于点C ，DE ⊥AE ，垂足为E ，∠A =37o，求∠D 的度数． 5.如图，已知AB ∥CD ，∠1=100°，∠2=120°，求∠α的度数。 6．如图，CD AB //，AE 平分BAD ∠，CD 与AE 相交于F ,E CFE ∠=∠。求证：BC AD //。 7.如图，CD ∥AB ，∠DCB=70°，∠CBF=20°，∠EFB=130°，问直线EF 与AB 有怎 样的位置关系，为什么 A B C D E α21 F E D C B A 2 1 F E D C B A F E D C B A