第2章_向量与矩阵习题解1

习题2

2-1．设T )6,3,1(=α，T )5,1,2(=β，T )3,3,4(-=γ，求： （1）732αβγ--； （2）23αβγ-+．

解（1） 7327(1,3,6)3(2,1,5)2(4,3,3)(7,24,21)T T T T αβγ--=---=-. 解（2） 232(1,3,6)3(2,1,5)(4,3,3)(0,0,0)T T T T αβγ-+=-+-=. 2-2．设(1,1,1,1)T α=--，(1,2,2,1)T β=, （1）将βα,化为单位向量； （2）向量βα,是否正交.

解（1）

T

)1,1,1,1(2

11

--=αα

,

T

)1,2,2,1(10

11

=

ββ

.

解（2） 由于(,)0αβ=,所以向量βα,正交. 2-3．计算： （1）???

?

??-????

??39

20106

23

1

7423； （2）????

? ?

?-----+?????

?

?10

1012

111532

1212

113

2. 解（1） 2476102002131

3

20

9

33

3??????-=

? ? ???????

. 解（2） 31111117322

12521063412

31013411---??????

? ? ?+--=-- ? ? ? ? ? ?--

?

?????.

2-4．计算下列乘积： （1）????

? ??????? ??--127075321

134. 解 4317351

2328570149?????? ? ? ?--=- ? ? ? ? ? ???????

. （2）?????

??--????? ??10111211132

1212

113. 解 3111116212

1221161112

310

18

14--??????

? ? ?-= ? ?

? ? ? ?-??????. （3）111

121221222120

00

000n n

m m m m n d a a a d a a a d a a a ????

? ?

? ? ? ?

? ????? . 解 111

12122122212

000000

n n

m m m m n d a a a d a a a d a a a ????

? ? ? ? ? ?

? ? ? ?????

11111211221222221

2

n n

m m m m m m n d a d a d a d a d a d a d a d a d a ??

? ?=

?

? ??? . （4）111211

21

22221

2

000

00

n n m m m n n a a a d a a a d a a a d ???? ? ?

? ? ? ? ? ?????

.

解 111211

2122221

2

000

00

n n m m m n n a a a d a a a d a a a d ????

? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????

1111221211222211

22

n n n n

m m m n n a d a d a d a d a d a d a d a d a d ??

? ?=

?

? ???

. （5）1112131

12312

222321323333(,,)a a a x x x x a a a x

a a a x ????

? ? ? ? ? ?????

. 解 111213112312

2223213

23

333

(,,)a a a x x x x a a a x

a a a x ????

? ? ? ? ? ?????

2

2

2

111222333121213132323222a x a x a x a x x a x x a x x =+++++

2-5．已知

)2,0,1,1(=A ，(4,1,2,1)T

B =-,

求AB 和T T B A ．

解 )5(=AB .

??????

?

?

?---=24

2

8000012141214T

T B

A .

2-6．如果)(2

1E B A +=

，证明A A =2当且仅当E B =2时成立．

证 必要性. 已知)(2

1E B A +=

,且A A =2,有

2

11()()22B E B E ??

+=+????

, 即

()2

1

12()4

2

B B E B E ++=

+,

化简得 2B E =.

充分性. 由)(2

1E B A +=

得

2B A E =-,

又 E B =2,代入得

2

(2)A E E -=,

化简得 2A A =.

证毕.

2-7．设2T A E αα=-，其中E 是n 阶单位矩阵，α是n 维单位列向量．证明对任意一个n 维列向量β，都有ββ=A ．

证 因2T A E αα=-,故对任意一个n 维列向量β有,2T A ββααβ=-, 从而有

()()2

,2,2T

T

A A A β

βββααββααβ==--

()()22T

T

T

βααβ

βαα

β=--

()()

2

224444,

T

T

T T

T T T T T T

T T

T

T

T

T

β

βαα

βαα

β

βββααββααααββββααββααββββ

=--=-+=-+==

故有ββ=A ，证毕.

2-8．对于任意的方阵A ，证明：

（1）T

A A +是对称矩阵，T

A A -是反对称矩阵；

（2）A 可表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵的和． 证（1） 由()()

T

T

T

T

T

T T A A A A

A A A A +=+=+=+,所以T

A A +是对称

矩阵；

()

()

()T

T

T

T

T

T

T

A A A A

A A A A

-=-=-=--,所以T

A A

-是反对称矩阵.

证（2） ()()11

2

2

T

T

A A A A A =

++

-. 2-9．证明：如果B A ,都是n 阶对称矩阵，则AB 是对称矩阵的充分必要条件是

A 与

B 是可交换的．

证 必要性. 因,T T A A B B ==，且()T

AB AB =,有

()

T

T T

AB B A BA AB ===,

所以A 与B 是可交换的.

充分性. 由,T T A A B B ==，及AB BA =，得

()

T

T T

AB B A BA AB ===，

所以AB 是对称矩阵.

2-10．设A 是一个n 阶对称矩阵，B 是一个反对称矩阵，证明BA AB +是一个反对称矩阵．

证 由,T

T

A A

B B ==-，得

()

()()T

T T

T

T

T

T

AB BA AB BA B A A B +=+=+

()()()B A A B BA AB =-+-=-+，

所以BA AB +是一个反对称矩阵．

2-11．设n αα,,1 是n 个线性无关的向量，n n n k k k αααα+++=+ 22111，其中12,,,n k k k 全不为零．证明121,,,+n ααα 中任意n 个向量线性无关．

证 从向量组121,,,+n ααα 中任取n 个向量12111,,,,,,i i n ααααα-++ ，设有一组常数,1,,1,1,,1j l j i i n =-++ 使得

11111111i i i i n n l l l l O αααα--+++++++++= （*）

当1i n =+时，n αα,,1 线性无关，结论成立；

当1i n ≠+时，将n n n k k k αααα+++=+ 22111代入（*）式得

()11111111122,i i i i n n n l l l l k k k O αααααα--+++++++++++=

整理得

1111111111111()()()n i n i i n i i i n i i l l k l l k l k l l k αααα+-+--+++++++++++++

1()n n n n l l k O α+++=,

由于n αα,,1 是n 个线性无关的向量，所以

1111111111111111111111000000n n i n i i n i n i n i i n i i n i n n n n n n

l l k l l k l l k l l k l k l k l l k l l k l l k l l k ++-+--+-+++++++++++==-????????+==-??=?=????+==-??????+==-?? ， 由于12,,,n k k k 全不为零，所以0,1,,1,1,,1j l j i i n ==-++

，则向量组

12111

,,,,,,i i n ααααα-++ 线性无关，故121,,,+n ααα 中任意n 个向量线性无关． 2-12．设向量组321,,ααα线性相关，向量组432,,ααα线性无关， （1）1α能否由32,αα线性表示？证明你的结论或举出反例． （2）4α能否由321,,ααα线性表示？证明你的结论或举出反例．

解（1） 1α能由32,αα线性表示. 因321,,ααα线性相关，必有一组不全为零的常数123,,k k k ，使得112233k k k O ααα++=，下面只要证明10k ≠即可.

若10k =，则23,k k 不全为0，于是有2233k k O αα+=，即23,αα线性相关；又由432,,ααα线性无关，所以其部分组32,αα必线性无关，得出矛盾，从而各

10k ≠，即1α能由32,αα线性表示.

解（2） 4α不能由321,,ααα线性表示. 如，1(1,0,0)T α=2,(1,0,0)T α=， 3(0,1,0)T

α=，4(0,0,1)T

α=，显然，321,,ααα线性相关，432,,ααα线性无关，

但是4α不能由321,,ααα线性表示.

2-13．求下列矩阵的秩： （1）????

??

?

??-----79

31181332111511. 解 21

3141311511

15111230

27431810274139704

14

8r r r r r r -------????

? ?--

?

????→ ?

?-- ? ? ? ?--???

?

32

42

211510274

00000000r r r r ----?? ?- ????→ ? ? ??

?，所以矩阵的轶为2. （2）????

???

??------11

011111100222021110 解 140111************

222001*********

1

0110

1

1

1

2r r ?--????

? ?----

?

????→ ?

?---- ? ?--????

232421

21101101110002010

2

2r r r r r +--?? ?-- ????→ ?

- ???43110110

1110

002010

3r r +-??

?-- ????→

?- ???

， 所以矩阵的轶为4.

2-14．判断下列向量组是否线性相关；如果线性相关，求出向量组的一个极大线性无关组，并将其余向量用这个极大线性无关组表示出来：

（1）T T T )6,3,1(,)3,2,1(,)1,1,1(321===ααα； 解 用所给的3个向量作为列构造矩阵

()

123111,,12313

6A ααα?? ?== ? ??

?

， 对矩阵A 施行行初等变换：

()

312

211231

11111,,12301213

600

2r r r r r A B ααα---????

? ?

==???→= ? ? ? ??

??

?

， 矩阵B 的秩3，所以向量组线性无关.

（2）T

T T )14,7,0,3(,)2,1,3,0(,)4,2,1,1(321==-=ααα

解 用所给的3个向量作为列构造矩阵

()

123103130

,,2174

2

14A ααα?? ?- ?== ? ???

， 对矩阵A 施行行初等变换：

()

43

2131221231031

03130033,,21701142

1400

0r r r r r r A ααα-+-????

? ?- ?

?==???→ ?

? ? ? ? ??

??

?

23

23

3103011

00000

0r r r r B -??? ? ????→= ? ? ??

?

， 矩阵B 的秩2，所以向量组线性相关，其中12,αα是其极大无关组，3123ααα=+.

2-15．利用初等变换求下列矩阵的逆矩阵： （1）????

??

?

?

?------11

1

1111111111111

. 解 ()1

11110001

1110100111100101111000

1A E ??

?--

?= ?-- ? ?--??

213141

1111

1

0000

0221100020210100220100

1r r r r r r ---?? ?---

????→ ?--- ? ?---?

?

432343

1

111

1

0000

2021010002211

00000

411

11r r r r r r -?-?? ?---

????→ ?--- ? ?--?

?433

1412121

11110000101120120001112120000

0114

14

14

14r r r --??

?- ?

???→ ?- ? ?--?

?

342414

1110341414140

1001414141400101414141400

114

14

14

14r r r r r r ---?-?

?--

?

???→ ?

-- ? ?--?

?

123100014141414010014141414001014141414000

11414

14

14r r r --??

?-- ?

???→ ?

-- ? ?--?

?

, 因此 1

11

1

11111

11111

41111A -??

?

-- ?=

?-- ?

--??

.

（2）??????

?

?

?21

0121001120021

解 ()120010002

11001000121001000

1

200

01A E ??

?

?= ? ? ???

212120010000310210001210010001

200

1r r -?? ?-- ????→ ? ? ???

233234

3120010000

12100100012000100

732

13

0r r r r r r ?+???

?

????→ ? ? ?-?

? 43

4

7(111)1

2001000012100100012

00100

1211

111

311

711r r r --??

?

?

????→ ? ? ?--?

?

34

24212001000

0120211111141171100104112116113110001211111311711r r r r --?? ?-- ?

???→ ?

-- ? ?--??

23

12

2212001116114112110100611311211111001041121161131100

1211

111311

711r r r r --?--?

?--

?

???→ ?

-- ? ?--?

?

,

因此 1

1

6426321142631121

3

7A ---?? ?-- ?=

?-- ?--??

. 2-16．求解矩阵方程： （1）???

?

?

?=????

??6335

43

21X 解 记矩阵方程为A X B =,其中125

3,3

43

6A B ????

==

? ?????

, 由于12203

4

A =

=-≠，所以A 可逆，故1X A B -=.

构造()2112

23(12)

1

25310703

43

60

16

32r r r r r A B -+?-???-?=????→

? ?????

, 所以 1

7

06

32X A B --??==

?-??

. （2）????

?

??--=?????

?

?--52

1

234

31111

1012

112X . 解 记矩阵方程为X A B =,其中2

111

132

10,43211

112

5A B --????

? ?== ? ? ? ?--?

??

?

,

由于30A =≠，所以A 可逆，故1X BA -=.

()1213

3(1)2111001

11001|2

100102

1001011

10

100

11

1

0r r r r r A E -?-?-??-?

? ?=???→ ? ? ? ?--?

??

?

1321212

2(13)1

001010

102312300

11

1

0r r r r r r r --?+??

????→-- ? ?-?

?

, 因此 1

13

1323123110A

-??

?

=-- ?

?-?

?，从而有

1

1131012

21

4322312383

5212

51

1

0103

3

53X BA

---??????

?

?

?==--=-- ? ?

? ? ? ?---?

?????.

2-17．已知

????? ?

?---=01

2423

321

A ，????

?

?

?-=87

107210

031

B , 试用初等行变换求B A 1-．

解 依据()()1

A B E A B -????→ 初等行变换可得

()211

231301

231303

24102720195721

010

7

821

010

7

8r r A B -?--?

?--?

? ?=-???→- ? ? ? ?--?

??

?

321312

1212232322(1)2(1)(1)1

228871006452

0195720195701112

101112

11

006451

006450

11121010212,00

13

3

300

13

3

3r r r r

r r r r r r r r

r r r -+-----?-?-----?

??

? ????→-???→- ? ? ? ?--?

?

?

?

??

??

? ????→-???→ ? ? ? ??

?

?

?

所以 ????

? ?

?=-33

3212

5461

B A . 2-18．用分块法求A B ： （1）1

00010320

1001201,121010*********

0A B ???? ? ?-

?

?== ?

?- ? ? ? ?-????

. 解 1000103210320

10012011201

=121010412411110111

011

3

3AB ??????

? ? ?--

? ?= ? ? ?-- ? ? ?-??????

； （2）2

3001012102000

1322

,.105114000110202

00

03

0A B -??-??

?- ? ?-

? ?==- ?- ? ? ? ??

? ???

解 23001012151230200

13225091105114000250011020

2

004

00

3

0AB -??

--????

?- ? ? ?-

? ? ?==- ? ?--- ? ?

? ?-????

???

. 2-19．用分块法求下列矩阵的逆矩阵： （1）????

???

?

?140

0520000120013

. 解 1

231003

1002

1002100

002500250

4

10

4

1A O A O A ???? ? ?

??

? ?=== ? ? ???

? ?????

,

因1

1

1

1

12311125151,,212

34

14218A A ------??????

??

====-

? ? ? ?--??

????

??

则 1

1100

2300

00118518002919A

--?? ?- ?= ?

- ?-??. （2）????????

??-1000

1000100

000cos sin 000sin cos a b a θθθθ

. 解 cos sin 000cos sin 000sin cos 000sin cos 0000

010*******

00100

10

1A a b a b a a θθθθθθθθ????

? ?--

? ? ? ?== ? ? ? ? ? ??

???

12A O O A ??= ???

, 因 1

1

1

cos sin cos sin sin cos sin cos A θθθθθ

θθ

θ---??

??

==

?

?-??

??

， 1

2

1

2

11010100

100

1a b a a b A a a --??

--?? ?

?==- ? ? ? ??

?

??

，所以 1

2

cos sin 000

sin cos 000

001000100

1A

a a

b a θ

θθθ--??

? ? ?=-- ?- ? ??

?

.

2-20．把下列向量组正交化：

（1）1(1,1,1)T α=，2(1,2,3)T α=，3(1,4,9)T

α=.

解 用施密特正交化方法得 11111βα?? ?

== ? ???

，

2122111111(,)6210(,)3311αββαβββ-??????

? ? ?

=-=-= ? ? ? ? ? ???????

，

3132331211221111(,)(,)14814102(,)(,)3239111αβαββαββββββ-????????

? ? ? ?

=--=--=- ? ? ? ? ? ? ? ?????????

，

则321,,βββ是正交向量组．

（2）()11,0,1,1T

α=-，()21,1,0,1T

α=-，()31,1,1,0T

α=-． 解 用施密特正交化方法得 1110

11βα??

? ?== ?- ???

，

2122111111103(,)21

012(,)

33111αββαβββ??????

? ? ?-- ? ? ?=-=-= ? ? ?- ? ? ???????

，

31323312112211111033(,)(,)2211123(,)(,)

31550114αβαββαββββββ--????????

? ? ? ?- ? ? ? ?=--=++

= ? ? ? ?- ? ? ? ?????????

， 则321,,βββ是正交向量组．

2-21．已知()()

121,0,1,0,0,1,1,1T

T

αα==--，()

31,1,1,1T

α=，

()40,1,0,1T

α=-，（1）求1α与2α的夹角；（2）求123423αααα-+-；（3）求

一个与1234,,,αααα等价的标准正交向量组．

解 （1

）因为α=

=

，

β==

(,)100(1)110(1)1αβ=?+?-+?+?-=，

所以

(,)

arccos

arccos

arccos

6

αβθαβ

===.

（2）因123423αααα-+-

()()()()()21,0,1,00,1,1,11,1,1,130,1,0,13,1,2,5T

T

T

T

T

=---+--=-，

所以

12342339

αααα-+-. （3）先将向量组1234,,,αααα正交化 1110

10βα?? ? ?== ? ???

，

2122111011102(,)11111(,)

22102αββαβββ-?????? ? ? ?-- ? ? ?=-=-= ? ? ? ? ? ? ? ? ?--??????

， 31323312112211121021(,)(,)2211112(,)(,)

2551021αβαββαββββββ--????????

? ? ? ?- ? ?

? ?=--=-+= ? ? ? ? ? ? ? ?-????????

， 43414244123112233(,)(,)(,)(,)

(,)

(,)

αβαβαββαβββββββββ=-

-

-

，

01120102110000112010211--?????????? ? ? ? ? ?- ? ? ? ? ?=---= ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?---??????????

， 则1234,,,ββββ是正交向量组.

再将1234,,,ββββ单位化

111101110γββ??

?

?

==

????

，

222

121

112γββ-?? ?-?

=

=

??-??，

333

211

121γββ-?? ??

=

=

????

，

444

011

101γββ?? ??

=

=

??-??

， 则1234,,,γγγγ即为所求．

2-22*．判别以下集合对于所指的运算是否构成实数域上的线性空间？ (1)次数等于(1)n n ≥的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数乘运算； (2)n 阶实对称矩阵的全体，对于矩阵的加法和数乘运算；

(3)平面上不平行于某一向量的全体向量，对于向量的加法和数乘运算；

(4)主对角线上各元素之和为零的n 阶方阵的全体，对于矩阵的加法和数乘运算．

解 （1）否,加法与数乘运算都不满足封闭性.

（2）是.

（3）否，加法与数乘运算都不满足封闭性. （4）否，加法运算不满足封闭性.

2-23*．在n 维线性空间n R 中，分量满足下列条件的全体向量????

??

? ??=n x x x 21α能否构

成n R 的子空间？

(1)120n x x x +++=L ；(2)121n x x x +++=L ． 解（1） 设112

2,,,n n

n x y x y

R x y αβαβ???? ? ?

? ?==∈ ? ? ? ?????

，且满足120,n

x x x +++=L

120n y y y +++=L ；又111122

22n n

n n

x y x y

x y x y x y x y

αβ+??????

? ? ?+ ?

? ?+=+= ? ? ? ? ?

?+??????

，满足()()1122x y x y ++++L ， ()

0n n x y ++=，而

12,,n

kx kx k R k kx α?? ?

??∈= ? ???

M 满足120,n

kx kx kx +++=L 故此条件下

能构成n R 的子空间.

解（2） 设112

2,,,n n

n x y x y

R x y αβαβ???? ? ?

? ?==∈ ? ? ? ?????

，且满足121,n

x x x +++=L

121n y y y +++=L ，而

111122

22n n n

n x y x y x y x y x y x y αβ+????

?? ? ? ?+ ? ? ?+=+= ? ? ? ? ? ?+????

?? ，有()()1122x y x y ++++L ，

()21n n x y ++=≠，故此条件下不能构成n R 的子空间.

2-24*．假设,,αβγ是线性空间V 中的向量，试证明它们的线性组合的全体构成V 的子空间．这个子空间叫做由,,αβγ生成的子空间，记做(),,L αβγ．

证 设有两组系数123123,,,,k k k l l l 与构成,,αβγ的两个线性组合，分别为

1123k k k δαβγ=++，2123l l l δαβγ=++，且12,L δδ∈,其中L 是线性空间V 的非空子集；（i ）()()()12112233k l k l k l L δδαβγ+=+++++∈；（ii ）k 是任意数，有1k L δ∈，故L 构成V 的子空间.

2-25*．设12,,,s αααL 和12,,,t βββL 是线性空间n V 的两组向量，证明生成子空间12(,,,)s L αααL 和12(,,,)t L βββL 相等的充分必要条件是12,,,s αααL 和12,,,t βββL 等价．

证 必要性.已知12(,,,)s L ααα=L 12(,,,)t L βββL ，则必有

12(,,,)s L αααL 是12(,,,)t L βββL 的子空间，12,,,s αααL 可由12,,,t βββL 线性

表示，同时12(,,,)t L βββL 是12(,,,)s L αααL 的子空间，从而12,,,t βββL 可由12,,,s αααL 线性表示，故12,,,s αααL 和12,,,t βββL 等价.

充分性.已知12,,,s αααL 和12,,,t βββL 等价，则12,,,s αααL 可由

12,,,t βββL 线性表示，有12(,,,)s L αααL 是12(,,,)t L βββL 的子空间，同时12,,,t βββL 可由12,,,s αααL 线性表示，从而12(,,,)t L βββL 是12(,,,)s L αααL 的子空间， 故12(,,,)s L αααL 和12(,,,)t L βββL 相等.

2-26*．试证在4R 中，由(1,1,0,0)T

，

(1,0,1,1)T

生成的子空间与由(2,1,3,3)T

-，

(0,1,1,1)T

--生成的子空间相等．

证 记1(1,1,0,0)T α=，2(1,0,1,1)T α=，1(2,1,3,3)T β=-，2(0,1,1,1)T

β=--

的两个生成子空间12(,)L αα和12(,)L ββ,由于1122123,βααβαα=-+=-且()()1122

12113,2

2

αββαββ=

+=

+，所以向量组12,αα和12,ββ等价，故生成子空

间12(,)L αα和12(,)L ββ相等.

2-27*．在3R 中，求向量(3,7,1)T α=在基

123(1,3,5),(6,3,2),(3,1,0)T

T

T

ααα===

下的坐标．

解 构造矩阵 ()31221231

6331633,,,3

317331752

102

1

10r r r αααα+-????

? ?=????→ ? ? ? ?-???

?

13

21333100331

00333

317010*********

1

10r r r r r ---????

? ????→????→- ? ? ? ?--????

32

2100330

108200

1

154r r -?? ????→- ? ??

?

，

故1233382154,αααα=-+向量α在基123,,ααα下的坐标为()33,82,154T

-．

2-28*．设W 是线性空间n V 的子空间，证明，若W 的维数等于n V 的维数n ，则

W =n V ．

证明 由W 是线性空间n V 的子空间且W 的维数等于n ，则存在n 个线性无关的向量12,,,n W ααα∈L 是W 的一组基，故12(,,,)n W L ααα=L ；又由W 是线性

用向量方法解立体几何题(老师用)

用向量方法求空间角和距离 在高考的立体几何试题中,求角与距离是常考查的问题,其传统的“三步曲”解法:“作图、证明、解三角形”,作辅助线多、技巧性强,是教学和学习的难点．向量进入高中教材,为立体几何增添了活力,新思想、新方法与时俱进,本专题将运用向量方法简捷地解决这些问题． 1 求空间角问题 空间的角主要有：异面直线所成的角；直线和平面所成的角；二面角． （１）求异面直线所成的角 设a 、b 分别为异面直线a 、b 的方向向量, 则两异面直线所成的角α=arccos |||||| a b a b （２）求线面角 设l 是斜线 l 的方向向量，n 是平面α的法向量， 则斜线l 与平面α所成的角α=arcsin |||||| l n l n （３）求二面角 法一、在α内a l ⊥，在β内b l ⊥，其方向如图，则二面角l αβ--的平面角α=arccos |||| a b a b

法二、设12,,n n 是二面角l αβ --的两个半平面的法向量， 其方向一个指向内侧，另一个指向外侧，则二面角l α β --的平面角α=12 12arccos |||| n n n n 2 求空间距离问题 构成空间的点、线、面之间有七种距离，这里着重介绍点面距离的求法，象异面直线间的距离、线面距离；面面距离都可化为点面距离来求． （１）求点面距离 法一、设n 是平面α的法向量，在α内取一点B, 则 A 到α的距离|| |||cos ||| AB n d AB n θ== 法二、设A O α ⊥于O,利用A O α ⊥和点O 在α内 的向量表示，可确定点O 的位置，从而求出||A O ． （２）求异面直线的距离 法一、找平面β使b β?且a β ，则异面直线a 、b 的距离就转化为直线a 到平面β的距离，又转化为点A 到平面β的距离． 法二、在a 上取一点A, 在b 上取一点B, 设a 、b 分别 为异面直线a 、b 的方向向量,求n （n a ⊥ ，n b ⊥ ），则 异面直线a 、b 的距离|| |||cos ||| AB n d AB n θ== （此方法移植 于点面距离的求法）．

2012矩阵论复习题

2012矩阵论复习题 1. 设+=R V 是正实数集,对于任意的V y x ∈,,定义x 与y 的和为 y x y x ?=⊕ 对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为 k x x k =? 问:对于上述定义加法和数乘运算的集合V ,是否构成线性空间,并说明理由. 2.对任意的2,R y x ∈,),(21x x x =,),(21y y y =定义x 与y 的和为 ),(112211y x y x y x y x +++=⊕ 对于任意的数R k ∈,定义k 与x 的数乘为 )2 )1(,(2121x k k kx kx x k -+=? 问:对于上述定义加法和数乘运算的集合2R ,是否构成线性空间,并说明理由. 3．设},022|),,{(321321R x x x x x x x S i ∈=++=，试证明S 是3R 的子空间，并求S 的一组基和S dim . 4.设)(R P n 表示次数不超过n 的全体多项式构成的线性空间, )}()(,0)0(|)({R P x f f x f S n ∈='= 证明S 是)(R P n 的子空间,并写出S 的一组基和计算S dim . 5. 设T 是2R 上的线性变换,对于基向量i 和j 有 j i i T +=)( j i j T -=2)( 1)确定T 在基},{j i 下的矩阵; 2)若j i e -=1 j i e +=32,确定T 在基},{21e e 下的矩阵. 6. 设T 是3R 上的线性变换,对于基},,{k j i 有 k j k j i T -=++)( i k j T =+)( k j i k T 532)(++=

MATLAB中的矩阵与向量运算

4.1 数组运算和矩阵运算 从外观形状和数据结构来看,二维数组和数学中的矩阵没有区别.但是,矩阵作为一种变换或映射算符的体现,矩阵运算有着明确而严格的数学规则.而数组运算是MATLAB软件所定义的规则,其目的是为了数据管理方面,操作简单,指令形式自然和执行计算有效.所以,在使用MATLAB时,特别要明确搞清数组运算和矩阵运算的区别.表 4.1.1 数组运算和矩阵运算指令形式和实质内涵 数组运算矩阵运算 指令含义指令含义 A.'非共轭转置A'共轭转置 A=s把标量s赋给数组A的每个元素 s+B把标量s分别与数组B的每个元素相加s-B, B-s标量s分别与数组B的元素之差 s.*A标量s分别与数组A的元素之积s*A标量s分别与矩阵A的元素之积 s./B, B.\s标量s分别被数组B的元素除s*inv(B)矩阵B的逆乘标量s A.^n数组A的每个元素的n次方A^n A为方阵时,矩阵A的n次方 A+B数组对应元素的相加A+B矩阵相加 A-B数组对应元素的相减A-B矩阵相减 A.*B数组对应元素的相乘A*B内维相同矩阵的乘积 A./B A的元素被B的对应元素除A/B A右除B B.\A一定与上相同B\A A左除B(一般与右除不同) exp(A)以e为底,分别以A的元素为指数,求幂expm(A) A的矩阵指数函数 log(A) 对A的各元素求对数logm(A) A的矩阵对数函数 sqrt(A) 对A的积各元素求平方根sqrtm(A) A的矩阵平方函数 从上面可以看到,数组运算的运算如:乘,除,乘方,转置,要加"点".所以,我们要特别注意在求"乘,除,乘方,三角和指数函数"时,两种运算有着根本的区别.另外,在执行数组与数组运算时,参与运算的数组必须同维,运算所得的结果数组也是总与原数组同维. 4.2 数组的基本运算 在MATLAB中,数组运算是针对多个数执行同样的计算而运用的.MATLAB以一种非常直观的方式来处理数组. 4.2.1 点转置和共轭转置 . ' ——点转置.非共轭转置,相当于conj(A'). >> a=1:5; >> b=a. ' b = 1 2 3 4 5 >> c=b. ' c = 1 2 3 4 5 这表明对行向量的两次转置运算便得到原来的行向量. ' ——共轭转置.对向量进行转置运算并对每个元素取其共轭.如: >> d=a+i*a

2016矩阵论试题

第 1 页 共 6 页 （A 卷） 学院 系 专业班级 姓名 学号 (密封线外不要写姓名、学号、班级、密封线内不准答题，违者按零分计) …………………………………………密…………………………封……………………………………线………………………………… 考试方式：闭卷 太原理工大学 矩阵分析 试卷（A ） 适用专业：2016级硕士研究生 考试日期：2017.1.09 时间：120 分钟 共 8页 一、填空选择题（每小题3分，共30分） 1-5题为填空题： 1. 已知??? ? ? ??--=304021101A ，则1||||A =。 2. 设线性变换1T ，2T 在基n ααα ,,21下的矩阵分别为A ，B ，则线性变换212T T +在基n ααα ,,21下的矩阵为_____________. 3．在3R 中，基T )2,1,3(1--=α，T )1,1,1(2-=α，T )1,3,2(3-=α到基T )1,1,1(1=β， T )3,2,1(2=β，T )1,0,2(3=β的过度矩阵为A = 4. 设矩阵??? ? ? ??--=304021101A ，则 5432333A A A A A -++-= . 5．??? ? ? ? ?-=λλλλλ0010 01)(2A 的Smith 标准形为 6-10题为单项选择题： 6．设A 是正规矩阵，则下列说法不正确的是 （ ）. (A) A 一定可以对角化； （B ）?=H A A A 的特征值全为实数； (C) 若E AA H =，则 1=A ； （D ）?-=H A A A 的特征值全为零或纯虚数。 7．设矩阵A 的谱半径1)(

利用法向量解立体几何题

利用法向量解立体几何题 一、运用法向量求空间角 向量法求空间两条异面直线a, b 所成角θ，只要在两条异面直线a, b 上各任取一个向量 ''AA BB 和，则角<','AA BB >=θ或π-θ，因为θ是锐角，所以cos θ= '''' AA BB AA BB ??, 不需 要用法向量。 1、运用法向量求直线和平面所成角 设平面α的法向量为n =（x, y, 1)，则直线AB 和平面α所成的角θ的正弦值为 sin θ= cos( 2 π -θ) = |cos| = AB AB n n ?? 2、运用法向量求二面角 设二面角的两个面的法向量为12,n n ，则<12,n n >或π-<12,n n >是所求角。这时要借助图形来判断所求角为锐角还是钝角，来决定<12,n n >是所求，还是π-<12,n n >是所求角。 二、运用法向量求空间距离 1、求两条异面直线间的距离 设异面直线a 、b 的公共法向量为(,,)n x y z =，在a 、b 上任取一点A 、B ，则异面直线a 、b 的距离 d =AB ·cos ∠BAA ＇ = || || AB n n ? 略证：如图，EF 为a 、b 的公垂线段，a ＇为过F 与a 平行的直线， 在a 、b 上任取一点A 、B ，过A 作AA ＇// EF ，交a ＇于A ＇ ， A

则?ˉ //AA n ，所以∠BAA ＇ =<,BA n >（或其补角） ∴异面直线a 、b 的距离d =AB ·cos ∠BAA ＇ = || || AB n n ? * 其中，n 的坐标可利用a 、b 上的任一向量,a b （或图中的,AE BF ），及n 的定义得 0n a n a n b n b ??⊥?=?????⊥?=??? ? ① 解方程组可得n 。 2、求点到面的距离 求A 点到平面α的距离，设平面α的法向量法为(,,1)n x y =，在α内任取一点B ，则A 点到平面α的距离为 d = || || AB n n ?，n 的坐标由n 与平面α内的两个不共线向量的垂直关系，得到方程组（类似于前面所述, 若方程组无解，则法向量与XOY 平面平行，此时可改设 (1,,0)n y =，下同）。 3、求直线到与直线平行的平面的距离 求直线a 到平面α的距离，设平面α的法向量法为(,,1)n x y =，在直线a 上任取一点A ， 在平面α内任取一点B ，则直线a 到平面α的距离 d = || || AB n n ? 4、求两平行平面的距离 设两个平行设平面α、β的公共法向量法为(,,1)n x y =，在平面α、β内各任取一点A 、 B ，则平面α到平面β的距离 d = || || AB n n ? 三、证明线面、面面的平行、垂直关系 设平面外的直线a 和平面α、β，两个面α、β的法向量为12,n n ，则 1a//a n α?⊥ 1a a//n α⊥? 12////n n αβ? 12n n αβ⊥?⊥

三角法与向量法解平面几何题(正)

第27讲 三角法与向量法解平面几何题 相关知识 在ABC ?中,R 为外接圆半径,r 为内切圆半径,2 a b c p ++=,则 1,正弦定理: 2sin sin sin a b c R A B C ===, 2,余弦定理:2 2 2 2cos a b c bc A =+-,2 2 2 2cos b a c ac B =+-,2 2 2 2cos c a b ab C =+-. 3,射影定理:cos cos a b C c B =+,cos cos b a C c A =+,cos cos c a B b A =+. 4,面积:211sin 2sin sin sin 224a abc S ah ab C rp R A B C R = ==== = (sin sin sin )rR A B C ++ 2 221(cot cot cot )4 a A b B c C = ++. A 类例题 例1．在ΔABC 中，已知b =asinC ,c =asin (900 -B )，试判断ΔABC 的形状。 分析 条件中有边、角关系, 应利用正、余弦定理, 把条件统一转化为边或者是角的关系, 从而判定三角形的形状。 解 由条件c = asin (900 - B ) = acosB = c b c a ac b c a a 222 22222-+=-+ 2 2222c b c a =-+? 是直角A b c a ?+=?2 22 1sin sin sin =?=A A C c A a 是直角?? ?C a c C c a sin sin =?=?. Q C a b sin =?=? c b ΔABC 是等腰直角三角形。 例2．（1）在△ABC 中，已知cosA =13 5，sinB =53 ，则cosC 的值为（ ） A ．6516 B ．6556 C ．65566516或 D ． 65 16- 解 ∵C = π - (A + B ),∴cosC = - cos (A + B ),又∵A ∈(0, π),∴sinA = 13 12,而sinB =53 显然sinA > sinB ,∴A > B , ∵A 为锐角, ∴B 必为锐角, ∴ cosB = 5 4 ∴cosC = - cos (A + B ) = sinAsinB - cosAcosB =65 1654135531312=?-?.选A . 说明 △ABC 中,sinA > sinB ?A > B . 根据这一充要条件可判定B 必为锐角。 （2）在Rt △ABC 中，C ＝90°，A ＝θ，外接圆半径为R ，内切圆半径为r ，

矩阵与向量的运算及操作

%MATLAB支持教学中的矩阵类型P18 A=[123;456]%变量名=[第一行元素；第二行元素；……；第m行元素] A=ones(2,3)%ones(m,n)创建m*n阶全1矩阵 A=ones(3)%ones(n)创建n*n阶全1(方)矩阵 A=zeros(3,4)%zeros(m,n)创建m*n阶全0矩阵 A=zeros(4)%zeros(m,n)创建m*n阶全0方阵 A=eye(1)%eye(n)创建n阶单位矩阵 B=eye(2)%eye(n)创建n阶单位矩阵 C=eye(4)%eye(n)创建n阶单位矩阵 A=rand(2,3)%rand(m,n)创建m*n阶随机矩阵元素是（0,1）区间上均匀分布的伪随机实数 A=rand(1,1)%rand(m,n)创建m*n阶随机矩阵元素是（0,1）区间上均匀分布的伪随机实数 A=rand(1,3)%rand(m,n)创建m*n阶随机矩阵元素是（0,1）区间上均匀分布的伪随机实数 A=rand(1)%rand(m,n)创建n*n阶随机方阵元素是（0,1）区间上均匀分布的伪随机实数 A=rand(2)%rand(m,n)创建n*n阶随机方阵元素是（0,1）区间上均匀分布的伪随机实数 A=rand(3)%rand(m,n)创建n*n阶随机方阵元素是（0,1）区间上均匀分布的伪随机实数 %MATLAB矩阵的运算及操作P16 clc A=[123;456]; B=[222;333]; C=[1423;2501;3612]; A1=1:49 y=reshape(A1,7,7)' %取矩阵A中的行下标=i，列下标=j的元素A(行下标i,列下标j) A(1,1) A(2,3) %取矩阵A中的第i行元素返回值为行向量A(行下标i;:) A(1,:) A(2,:) %取矩阵A中的第j列元素返回值为列向量A(:;列下标j)

南航矩阵论2013研究生试卷及答案

南京航空航天大学2012级硕士研究生

二、(20分)设三阶矩阵，，. ????? ??--=201034011A ????? ??=300130013B ???? ? ??=3003003a a C (1) 求的行列式因子、不变因子、初等因子及Jordan 标准形； A (2) 利用矩阵的知识，判断矩阵和是否相似，并说明理由. λB C 解答: (1)的行列式因子为;…(3分)A 2121)1)(2()(,1)()(--===λλλλλD D D 不变因子为; …………………(3分)2121)1)(2()(,1)()(--===λλλλλd d d 初等因子为;……………………(2分) 2)1(,2--λλJordan 标准形为. ……………………(2分) 200011001J ?? ?= ? ??? (2) 不相似,理由是2阶行列式因子不同; …………………(5分) 0,a = 相似,理由是各阶行列式因子相同. …………………(5分) 0,a ≠共 6 页 第 4 页

三、(20分)已知线性方程组不相容. ?? ???=+=+++=++1,12,1434321421x x x x x x x x x (1) 求系数矩阵的满秩分解； A (2) 求广义逆矩阵； +A (3) 求该线性方程组的极小最小二乘解. 解答:(1) 矩阵,的满秩分解为 ???? ? ??=110021111011A A . …………………(5分)10110111001101A ??????=?????????? (2) . ……………………(10分)51-451-41-52715033A +?? ? ?= ? ??? (3) 方程组的极小最小二乘解为. …………(5分)2214156x ?? ? ?= ? ??? 共 6 页 第 5 页

用向量方法解立体几何的的题目

用向量方法求空间角和距离 前言： 在高考的立体几何试题中,求角与距离是常考查的问题,其传统的“三步曲”解法:“作图、证明、解三角形”,作辅助线多、技巧性强,是教学和学习的难点．向量进入高中教材,为立体几何增添了活力,新思想、新方法与时俱进,本专题将运用向量方法简捷地解决这些问题． 1.求空间角问题 空间的角主要有：异面直线所成的角；直线和平面所成的角；（平面和平面所成的角）二面角． （１）求异面直线所成的角 设a 、b 分别为异面直线a 、b 的方向向量, 则两异面直线所成的角α=arccos |||||| a b a b （２）求线面角 设l 是斜线l 的方向向量，n 是平面α的法向量， 则斜线l 与平面α所成的角α=arcsin | ||||| l n l n （３）求二面角 a l ⊥，在β内 b l ⊥，其方向如图，则二 方法一：在α内

面角l αβ--的平面角α=arccos |||| a b a b 方法二：设12,,n n 是二面角l αβ--的两个半平面的法向量，其方向一个指向内侧，另一个指向外侧，则二面角l αβ--的平面角 α=12 12arccos |||| n n n n 2.求空间距离问题 构成空间的点、线、面之间有七种距离，这里着重介绍点面距离的求法，像异面直线间的 距离、线面距离、面面距离都可化为点面距离来求． （１）求点面距离 方法一：设n 是平面α的法向量，在α内取一点B, 则 A 到 α的距离|| |||cos ||| AB n d AB n θ== 方法二：设AO α⊥于O,利用AO α⊥和点O 在α内 的向量表示，可确定点O 的位置，从而求出||AO ． （２）求异面直线的距离 方法一：找平面β使b β?且a β，则异面直线a 、b 的距离就转化为直线a 到平面β的距离，又转化为点A 到平面β的距离． a 、 b 分别为异面直线a 、b 的方向 法二：在a 上取一点A, 在b 上取一点B, 设 向量,求n （n a ⊥，n b ⊥），则 异面直线a 、b 的距离

向量与矩阵运算

向量与矩阵运算 （摘自：华东师范大学数学系） §2.1向量及矩阵的生成 §2.1.1 通过语句和函数产生 §2.1.2 通过后缀为.m的命令文件产生 §2.2 矩阵操作 Matlab能处理数、向量和矩阵．但一个数事实上是一个1×1的矩阵，1个n 维向量也不过是一个1×n或n×1的矩阵．从这个角度上来讲，Matlab处理的所有的数据都是矩阵．Matlab的矩阵处理能力是非常灵活、强大的．以下我们将从矩阵的产生、基本运算、矩阵函数等几个方面来说明． §2.1向量及矩阵的生成 除了我们在上节介绍的直接列出矩阵元素的输入方法，矩阵还可以通过几种不同的方式输入到Matlab中． §2.1.1 通过语句和函数产生 1. 向量的产生 除了直接列出向量元素（即所谓的“穷举法”）外，最常用的用来产生相同增量的向量的方法是利用“:”算符（即所谓的“描述法”）．在Matlab中，它是一个很重要的字符．如： z=1:5 z = 1 2 3 4 5

即产生一个1~5的单位增量是1的行向量，此为默认情况. 用“:”号也可以产生单位增量不等于1的行向量，语法是把增量放在起始量和结尾量的中间．如： x=0:pi/4:pi 即产生一个由0~pi的行向量，单位增量是pi/4=3.1416/4=0.7854． x = 0 0.7854 1.5708 2.3562 3 .1416 也可以产生单位增量为负数的行向量．如： y=6:-1:1 y = 6 5 4 3 2 1 2. 矩阵的产生 Matlab提供了一批产生矩阵的函数： 例如： ones(3) ans = 1 1 1 1 1 1 1 1 1

研究生矩阵论课后习题答案(全)习题二

习题二 1．化下列矩阵为Smith 标准型： （1）222211λλλλ λλλλλ?? -?? -????+-?? ; （2）2222 00 000 00(1)00000λλλλλλ ?? ?? -? ? ??-?? -?? ; （3）2222 232321234353234421λλλλλλλλλλλλλλ?? +--+-??+--+-????+---?? ; (4)23014360220620101003312200λλλλλλλλλλλλλλ????++??????--????---?? . 解：（1）对矩阵作初等变换 23221311(1)100 10 000000(1)00(1)c c c c c c r λλλλλλλλλ+--?-???????????→-???→? ??? ????-++???? ， 则该矩阵为Smith 标准型为 ???? ? ?????+)1(1λλλ； （2）矩阵的各阶行列式因子为 44224321()(1),()(1),()(1),()1D D D D λλλλλλλλλλ=-=-=-=, 从而不变因子为 22 2341234123()()() ()1,()(1),()(1),()(1)()()() D D D d d d d D D D λλλλλλλλλλλλλλλλ== =-==-==-故该矩阵的Smith 标准型为

2210000(1)0000(1)00 00(1)λλλλλλ?? ??-????-?? -??； （3）对矩阵作初等变换 故该矩阵的Smith 标准型为 ?? ?? ??????+--)1()1(112 λλλ; (4)对矩阵作初等变换 在最后的形式中，可求得行列式因子 3254321()(1),()(1),()()()1D D D D D λλλλλλλλλ=-=-===, 于是不变因子为 2541234534()() ()()()1,()(1),()(1)()() D D d d d d d D D λλλλλλλλλλλλλ==== =-==-故该矩阵的Smith 标准形为 2 1 0000 010 0000100000(1)00 00 0(1)λλλλ?????????? -?? ??-?? . 2.求下列λ-矩阵的不变因子： （1） 21 0021002λλλ--????--????-??； （2）100 1000 λαββλα λαββ λα+????-+? ???+??-+?? ；

研究生矩阵论课后习题答案全习题三

习题三 1．证明下列问题： （1）若矩阵序列{}m A 收敛于A ，则{}T m A 收敛于T A ，{} m A 收敛于A ； （2）若方阵级数∑∞ =0m m m A c 收敛，则∑∑∞ =∞==?? ? ??00)(m m T m T m m m A c A c . 证明：（1）设矩阵 ,,2,1,)() ( ==?m a A n n m ij m 则 ,)()(n n m ji T m a A ?=,)()(n n m ij m a A ?=,,2,1 =m 设 ,)(n n ij a A ?= 则 n n ji T a A ?=)(，,)(n n ij a A ?= 若矩阵序列{}m A 收敛于A ，即对任意的n j i ,,2,1, =，有 ij m ij m a a =∞ →) (lim ， 则 ji m ji m a a =∞ →)(lim ，ij m ij m a a =∞ →)(lim ，n j i ,,2,1, =， 故{} T m A 收敛于T A ，{} m A 收敛于A . (2)设方阵级数 ∑∞ =0 m m m A c 的部分和序列为 ,,,,21m S S S ， 其中m m m A c A c c S +++= 10.

若 ∑∞ =0 m m m A c 收敛，设其和为S ，即 S A c m m m =∑∞ =0 ，或S S m m =∞ →lim ， 则 T T m m S S =∞ →lim . 而级数∑∞ =0 )(m m T m A c 的部分和即为T m S ，故级数∑∞ =0 )(m m T m A c 收敛，且其和为T S ， 即 ∑∑∞ =∞==?? ? ??00)(m m T m T m m m A c A c . 2.已知方阵序列{}m A 收敛于A ，且{} 1-m A ，1 -A 都存在，证明： （1）A A m m =∞ →lim ；（2）{}1 1 lim --∞ →=A A m m . 证明：设矩阵 ,,2,1,)() ( ==?m a A n n m ij m ,)(n n ij a A ?= 若矩阵序列{}m A 收敛于A ，即对任意的n j i ,,2,1, =，有 ij m ij m a a =∞ →) (lim . (1) 由于对任意的n j j j ,,,21 ，有 ,lim ) (k k kj m kj m a a =∞ → n k ,,2,1 =， 故 ∑-∞ →n n n j j j m nj m j m j j j j m a a a 2121)()(2)(1) ()1(lim τ ＝ ∑-n n n j j j nj j j j j j a a a 21212121) ()1(τ ， 而 ∑-= n n n j j j m nj m j m j j j j m a a a A 2121) ()(2)(1)()1(τ，

用空间向量解立体几何问题方法归纳

用空间向量解立体几何题型与方法 平行垂直问题基础知识 直线l 的方向向量为a ＝(a 1，b 1，c 1)．平面α，β的法向量u ＝(a 3，b 3，c 3)，v ＝(a 4，b 4，c 4) (1)线面平行：l ∥α?a ⊥u ?a ·u ＝0?a 1a 3＋b 1b 3＋c 1c 3＝0 (2)线面垂直：l ⊥α?a ∥u ?a ＝k u ?a 1＝ka 3，b 1＝kb 3，c 1＝kc 3 (3)面面平行：α∥β?u ∥v ?u ＝k v ?a 3＝ka 4，b 3＝kb 4，c 3＝kc 4 (4)面面垂直：α⊥β?u ⊥v ?u ·v ＝0?a 3a 4＋b 3b 4＋c 3c 4＝0 例1、如图所示，在底面是矩形的四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，E ，F 分别是PC ，PD 的中点，P A ＝AB ＝1，BC ＝2. (1)求证：EF ∥平面P AB ； (2)求证：平面P AD ⊥平面PDC . [证明] 以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空 间直角坐标系如图所示，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,2,0)，D (0,2,0)，P (0,0,1)，所以E ? ????1 2，1，12， F ? ????0，1，12，EF ＝? ?? ?? －12，0，0，PB ＝(1,0，－1)，PD ＝(0,2，－1)，AP ＝(0,0,1)，AD ＝(0,2,0)，DC ＝(1,0,0)，AB ＝(1,0,0)． (1)因为EF ＝－1 2AB ，所以EF ∥AB ，即EF ∥AB . 又AB ?平面P AB ，EF ?平面P AB ，所以EF ∥平面P AB . (2)因为AP ·DC ＝(0,0,1)·(1,0,0)＝0，AD ·DC ＝(0,2,0)·(1,0,0)＝0， 所以AP ⊥DC ，AD ⊥DC ，即AP ⊥DC ，AD ⊥DC . 又AP ∩AD ＝A ，AP ?平面P AD ，AD ?平面P AD ，所以DC ⊥平面P AD .因为DC ?平面PDC ， 所以平面P AD ⊥平面PDC . 使用空间向量方法证明线面平行时，既可以证明直线的方向向量和平面内一条直线的方向向量平行，然后根据线面平行的判定定理得到线面平行，也可以证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；证明面面垂直既可以证明线线垂直，然后使用判定定理进行判定，也可以证明两个平面的法向量垂直. 例2、在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，BC ＝2，CC 1＝4，点E 在线段BB 1上， 且EB 1＝1，D ，F ，G 分别为CC 1，C 1B 1，C 1A 1的中点． 求证：(1)B 1D ⊥平面ABD ； (2)平面EGF ∥平面ABD .

研究生矩阵论试题与答案

中国矿业大学 级硕士研究生课程考试试卷 考试科目矩阵论 考试时间年月 研究生姓名 所在院系 学号 任课教师

一（15分）计算 (1) 已知A 可逆，求 10 d At e t ? （用矩阵A 或其逆矩阵表示） ； （2）设1234(,,,)T a a a a =α是给定的常向量，42)(?=ij x X 是矩阵变量，求T d()d X αX ； （3）设3阶方阵A 的特征多项式为2(6)I A λλλ-=-，且A 可对角化，求k k A A ??? ? ??∞→)(lim ρ。

二（15分）设微分方程组 d d (0)x Ax t x x ?=???? ?=?，508316203A ?? ?= ? ?--??，0111x ?? ? = ? ??? （1）求A 的最小多项式)(λA m ； （3）求At e ； （3）求该方程组的解。

三（15分）对下面矛盾方程组b Ax = 312312 111x x x x x x =?? ++=??+=? （1）求A 的满秩分解FG A =； （2）由满秩分解计算+A ； （3）求该方程组的最小2－范数最小二乘解LS x 。

四（10分）设 11 13A ?=?? 求矩阵A 的QR 分解（要求R 的对角元全为正数，方法不限）。 五（10分） 设(0,,2)T n A R n αβαβ=≠∈≥ （1）证明A 的最小多项式是2 ()tr()m A λλλ=-； （2）求A 的Jordan 形（需要讨论）。

六（10分）设m n r A R ?∈， （1）证明rank()n I A A n r + -=-； （2）0Ax =的通解是(),n n x I A A y y R +=-?∈。 七（10分）证明矩阵 21212123 111222222243333 33644421(1)(1)n n n n n n n n n n ---? ? ? ? ? ? ?= ? ? ? ? ? ?+++? ? A （1）能与对角矩阵相似；（2）特征值全为实数。

经典超级实用的解题方法之平面向量与解析几何

第18讲 平面向量与解析几何 在高中数学新课程教材中，学生学习平面向量在前，学习解析几何在后，而且教材中二者知识整合的不多，很多学生在学习中就“平面向量”解平面向量题，不会应用平面向量去解决解析几何问题。用向量法解决解析几何问题思路清晰，过程简洁，有意想不到的神奇效果。著名教育家布鲁纳说过：学习的最好刺激是对所学材料的兴趣，简单的重复将会引起学生大脑疲劳，学习兴趣衰退。这充分揭示方法求变的重要性，如果我们能重视向量的教学，必然能引导学生拓展思路，减轻负担。 一、知识整合 平面向量是高中数学的新增内容，也是新高考的一个亮点。 向量知识、向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用，它具有代数形式和几何形式的“双重身份”，能融数形与一体，能与中学数学教学内容的的许多主干知识综合，形成知识交汇点。而在高中数学体系中，解析几何占有着很重要的地位，有些问题用常规方法去解决往往运算比较繁杂，不妨运用向量作形与数的转化，则会大大简化过程。 二、例题解析 例1、（2000年全国高考题）椭圆14 92 2=+y x 的焦点为F ,1F 2，点P 为其上的动点，当∠F 1P F 2为钝角时，点P 横坐标的取值范围是___。 解：F 1（－5,0）F 2（5,0）,设P （3cos θ,2sin θ） 21PF F ∠Θ为钝角 ∴ 123cos ,2sin )3cos ,2sin )PF PF θθθθ?= -?-u u u r u u u u r （ =9cos 2θ－5＋4sin 2θ=5 cos 2θ－1<0 解得：55cos 55<<-θ ∴点P 横坐标的取值范围是（5 53,553-） 点评：解决与角有关的一类问题，总可以从数量积入手。本题中把条件中的角为钝角转化为向量的数量积为负值，通过坐标运算列出不等式，简洁明了。 例2、已知定点A(-1,0)和B(1,0)，P 是圆(x-3)2+(y-4)2=4上的一动点，求22 PA PB +的最大值和最小值。 分析：因为O 为AB 的中点，所以2,PA PB PO +=u u u r u u u r u u u u r 故可利用向量把问题转化为求向量OP u u u r 的最值。 解：设已知圆的圆心为C ，由已知可得：{1,0},{1,0}OA OB =-=u u u r u u u r

矩阵论华中科技大学课后习题答案

习题一 1.判断下列集合对指定的运算是否构成R 上的线性空间 （1）11 {()| 0}n ij n n ii i V A a a ?====∑，对矩阵加法和数乘运算； （2）2{|,}n n T V A A R A A ?=∈=-，对矩阵加法和数乘运算； （3）33V R =；对3R 中向量加法和如下定义的数乘向量：3 ,,0R k R k αα?∈∈=； （4）4{()|()0}V f x f x =≥，通常的函数加法与数乘运算。 解： （1）、（2）为R 上线性空间 （3）不是，由线性空间定义，对0α?≠有1α=α，而题（3）中10α= （4）不是，若k<0，则()0kf x ≤，数乘不满足封闭性。 2.求线性空间{|}n n T V A R A A ?=∈=的维数和一组基。 解：一组基 100 010 10 101010000000100............ ......0010010?? ???? ?????? ???? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ? ? ? ?????? dim W =n ( n +1)/2 3.如果U 1和U 2都是线性空间V 的子空间，若dim U 1=dim U 2，而且12U U ?，证明：U 1=U 2。 证明：因为dim U 1=dim U 2，故设 {}12,,,r ααα为空间U 1的一组基，{}12,,,r βββ为空间U 2的一组基 2U γ?∈，有 ()12 r X γγβββ= 而 ()()12 12r r C αααβββ=，C 为过渡矩阵，且可逆 于是 ()()()112 12121r r r X C X Y U γγγγβββαααααα-===∈ 由此，得 21 U U ?

矩阵论考试试题(含答案)

矩阵论试题 、（10 分）设函数矩阵 sin t cost At cost sin t 求： A t dt 和( 0 t 0 A t dt )'。 解： A t dt = 0 tt sin t dt 00 t costdt cost dt t sin tdt = 1 cost sint sint 1 cost t2 ( A t dt )' 2 = A t 2 2t sint2 2t cost 2 cost cost2 sint2 、（15分）在R3中线性变换将基 1 0 1 1 1 ， 2 2 ，30 1 1 1 1 0 0 变为基 1 1 ， 2 1 ，33 0 1 2 (1 )求在基 1, 2, 3 下的矩阵表示A； (2 ) 求向量1,2,3 T及在基1, 2, 3下的坐标； (3 ) 求向量1,2,3 T及在基1, 2, 3下的坐标。解：（1）不难求得： 1 1 1 2

因此 在 1, 2, 3 下矩阵表示为 1 1 1 A 1 1 2 011 k 1 (2) 设 1 , 2 , 3 k 2 ，即 k 3 0 1 k 1 解之得： k 1 10, k 2 4, k 3 9 解：容易算得 在 1, 2 , 3下坐标可得 y 1 1 1 1 10 23 y 2 1 1 2 4 32 y 3 0 1 1 9 13 (3) 在基 1, 2 , 3下坐标为 10 10 1 10 1 A 1 4 11 14 15 9 11 09 6 在基 1, 2 , 3 下坐标为 23 10 1 23 10 A 1 32 11 1 32 4 13 11 0 13 9 0 02 三、（20 分）设 A 0 1 0 ，求 e At 。 1 03 2 , 3下坐标为 10, 4, 9 T 。 所以 在 1,

用向量方法解立体几何题

用向量方法求空间角和距离 前言: 在高考的立体几何试题中，求角与距离是常考查的问题，其传统的“三步曲”解法：“作图、 证明、解三角形”，作辅助线多、技巧性强，是教学和学习的难点?向量进入高中教材，为立体 几何增添了活力，新思想、新方法与时俱进，本专题将运用向量方法简捷地解决这些问题. 1. 求空间角问题 空间的角主要有：异面直线所成的角； 直线和平面所成的角；(平面和平面所成的角)二面 角. (1)求异面直线所成的角 设a 、b 分别为异面直线a 、b 的方向向量, r r 则两异面直线所成的角 =arccos| $啤| |a||b| =arccos 1?唏 |n i ||n 21 ，n 是平面的法向量, =arcsin | r 1 那 | 在内b l ，其方向如图，则二 agb =arccos |a||b 的两个半平面的法向量，其方向 ，则二面角 l 的平面角 平面角 a l ，

2. 求空间距离问题 构成空间的点、线、面之间有七种距离，这里着重介绍点面距离的求法，像异面直线间的 距离、线面距离、面面距离都可化为点面距离来求. (1)求点面距离 (II )求BC i 和面EFBD 所成的角; (III )求B 到面EFBD 的距离 解：(I)记异面直线DE 与F?所成的角为 ， uuu uuur 则等于向量DE 与FC 1的夹角或其补角, 方法一：设n 是平面 uur 的距离d |AB||cos 的法向量，在 uuu r | 冲| |n| 内取一点B,则A 到 和点0在 内 uuu 的向量表示，可确定点 0的位置，从而求出|A0| . 方法二：设AO 于O,利用AO 方法一：找平面 使b 且a P ，则异面直线a 、b 的距离就 转化为直线a 到平面 的距离，又转化为点A 到平面 的距离. 方法二：在a 上取一点A,在b 上 uuu r d | AB || cos | ft n a 取一点B,设a 、b 分别为异面直 n b )，则异面直线a 、b 的距离 例1.如图，在棱长为2的正方体 棱AD i ,AB ,的中点. 移植于点面距离的求法). (I)求异面直线DE 与FC i 所成的角; a 线a 、b 的方向向量,求n (n a , B ABCD A 1B 1C 1D 1 中，E 、F 分别是 D . C 二 B

向量法解立体几何习题

向量法解立体几何 1、四川19．（本小题共l2分）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC =90°，AB =AC =AA 1=1，延长A 1C 1至点P ，使C 1P ＝A 1C 1，连接AP 交棱CC 1于D ． （Ⅰ）求证：PB 1∥平面BDA 1； （Ⅱ）求二面角A －A 1D －B 的平面角的余弦值； 2. (全国大纲文)如图，四棱锥S ABCD -中，AB ∥CD,BC CD ⊥，侧面SAB 为等边三角形， 2,1AB BC CD SD ====． （I ）证明：SD ⊥平面SAB ； （II ）求AB 与平面SBC 所成的角的大小。 3、重庆文．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分） 如题（20）图，在四面体ABCD 中，平面ABC ⊥平面ACD ， ,2,1AB BC AC AD BC CD ⊥==== （Ⅰ）求四面体ABCD 的体积； （Ⅱ）求二面角C-AB-D 的平面角的正切值。 4、 . （湖北文）如图，已知正三棱柱A B C -111A B C 的底面边长为2，侧棱长为3， 点E 在侧棱1A A 上，点F 在侧棱 1B B 上，且A E =,BF = （I ） 求证：1C F C E ⊥；（II ） 求二面角1E C F C --的大小。 5、、（2006年高考题）如图1，1l 、2l 是互相垂直的异面直线，M N 是它们的公垂线，点A 、B 在1 l 上，C 在2l 上，MN MB AM ==。证明：NB AC ⊥。 6、如图，直三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中，D 、E 分别是BC 、A 1B 1的中点. （1）证明：BE//平面A 1DC 1； （2）若AB=BC=AA 1=1，∠ABC=90°求二面角B 1—BC 1—E 的正切值. 7、、如图，四棱锥ABCD P -的侧面PAD 垂直于底面ABCD ,090=∠=∠BCD ADC ,22====BC AD PD PA ,3=CD , M 在棱PC 上，N 是AD 的中点，二面角C BN M --为030。 （1）求 MC PM 的值；（2）求直线PB 与平面BMN 所成角的大小。 8、如图，在四棱锥S ABCD -中，底面 ABCD 为平行四边形， SA ⊥平面ABCD ，2,1,AB AD ==SB =,120,BAD E ∠=在棱SD 上，且3SE ED =． （I ）求证：SD ⊥平面;AEC （II ）求直线AD 与平面SCD 所成角的大小 9、如图所示，三棱柱'''C B A ABC -中，四边形''B BCC 为菱形，o BCC 60'=∠，ABC ?为等边三角形，面 ⊥ABC 面''B BCC ，F E 、分别为棱'CC AB 、的中点； （Ⅰ）求证：//EF 面BC A '＇；（Ⅱ）求二面角B AA C --'的大小。