通化师范学院
本科生毕业论文
（2012 届）
题目: 高等几何中的对偶方法
系别：数学系
专业：数学与应用数学
班级：三班
作者姓名：马玉晶学号： 200806010325 指导教师：赵建红职称：副教授学历：研究生
论文成绩：
2011年12月
目录
摘要..............................................................................................................II Abstract...........................................................................................................II 1引言. (1)
2高等几何中的对偶方法 (1)
2.1对偶原理的相关概念 (1)
2.2对偶原理及其一般模式 (2)
2.3射影几何中的配极原则 (2)
2.4 射影几何中的对偶方法 (3)
2.5代数中对偶原理的应用 (4)
2.6其他数学领域中的对偶应用 (5)
3结束语 (5)
致谢语 (6)
参考文献 (6)
指导教师评语.................................................................................................... 评阅人评语........................................................................................................
高等几何中的对偶方法
数学系2008级3班马玉晶
摘要：这篇文章阐述了对偶原理及相关内容,如对偶图形、对偶元素、对偶命题和对偶运算等等，诠释了对偶方法，论述了对偶原理及对偶方法在高等几何、代数学和其他数学领域的作用以及广泛应用.
关键词：对偶原理；对偶运算；对偶方法；对偶原理；方法及应用
Dual method in the higher
Class3, 2008, Department of Mathematics Ma Yujing
Abstract：This article explains the princile of duality and related content ,such as dual graphics,dual element,dual proposition and dual operation etc.,interpretation of the dual method,discusses the principle of duality and dual method in higher geometry,algebra and other field effect and wide application.
Key words：The principle of duality; dual operation; dual method; dual theory; method and Application
1.引言
为了使几何学能够形成一个完整的公理化体系，古希腊学家欧几里得运用了亚里士多德的《分析篇》中公里方法，因而著有《几何原本》.由于这本著作有很多的不足，于是数学家们又开始了更深一层的研究.十九世纪末，大数学家希尔伯特（Hilbert）把“点、直线、面”作为基本对象，把“点结合线、点结合面、两点之间的一点”等作为基本关系，进而完善了《几何原本》中的公理化体系，又著成《几何基础》.
2.高等几何中的对偶方法
2.1对偶原理的相关概念
对偶原理是射影几何中具有的重要的原理和方法，在欧氏几何当中，我们总是在研究“点”和“直线”之间的关系.
定义1 （对偶命题）假设一个命题由点和直线构成，如果把命题中的各个元素换成它的对偶元素，各个运算换成它的对偶运算，这样形成了一个新的命题，这两个命题就叫做对偶命题.例如“两条直线相交于唯一点”与“两点能连接唯一直线”是一个对偶命题.
定义2 （对偶元素）在平面射影几何中，我们将“点”和“线”称为平面上的对偶元素.
定义3 （对偶运算）“过一个点作一条直线”与“在一条直线上取一个点”称作对偶运算.
定义4（对偶图形）假设有点和直线组成的一个图形，将此图的各个元素改为它的对偶元素，各个运算改为它的对偶运算，结果得到了另一个新的图形，我们把得到的这个图形就叫做对偶图形。例如点列和线束就是对偶图形.
定义5 （对偶概念）点列和线束，三线共点和三点共线，均为对偶关系，类似这样成对出现的概念叫做对偶概念.
2.2对偶原理及其一般模式
射影几何中的重要原理之一就是对偶原理，由于射影平面的结构不同于一般的平面，因此它具有特殊的结构.平面可以看成是点的集合，也可以看成是由直线构成的.所以射影平面上的这种结合关系所表达出的任意一个命题、对象，我们只要将直线和点的概念互相对换，就可以得到另一个对应的命题、对象.如果证明了一个命题成立之后那么它的对偶命题也自然成立了.在欧氏几何当中，塞瓦定理的证明通常利用梅涅劳斯定理作理论依据.
定理1 （梅涅劳斯（Menelaus）定理）假设一条直线与三角形ABC的三边AB、BC、CA或者与其延长线相交F、D、E于三点，则有
??=1
()()()
AF BF BD DC CE AE
定理2 （塞瓦（Ceva）定理）如果点0是三角形ABC中的任意点,对AO、BO、CO边分别交于D、E、F三点，那么
AF BF
?=1
BD DC CE AE
?()
()()
接下来我们对于梅涅劳斯定理作一个简单证明
证明：过A 点作//AG BC 和DF 的延长线交G ,则
AF FB AG BD =, ,BD DC CD CE AE CD AG ==
相乘 ()()()()()()1AF BF BD DC CE AE AG BD BD DC CD AG ??=??=
在两个互成对偶的命题中所对应的代数运算也是成对偶的，它的运算形式相同；两个相互成对偶的命题具有相同的真实性.对偶原理的一般模式从内容上看大体分为2块，如借助已有的对偶映射来实现概念对偶化和公式对偶化，各自对应的图示如下所示：
0(())(())D D A A D A =←?→ A S
（图示） A 0 S 0
2.3射影几何中的配极原则
按照射影几何中的射影空间公理体系可知，n p 中的一个点1n v +是一个伪向量：
{}{}1210.,,...,n x x x x x ρρ≠=
其中以1n v +中的一个基底{}121,,...,n e e e + 作为参考，事实借用实现n p 的算术化的{}
121,,...,n e e e + 的同时又给出了n p 的一个非退化配极 11n j i ij j g x x +==∑ （1）
其中
i j ij g
e e = （2） 这里符号“ ”表示的是1n v +中的内积.此外n p 中点的奇次坐标的{}121,,...,,n n x x x x
+是1n v +中x 的逆变坐标，作为n p 中直线的奇次坐标的{}121,,...,n x x x +是1n v +中x 的协变坐标.
一般地如果用{}121,,...,n u u u +记做
n p 中的任一直线的奇次坐标，则由（1）知，其极点的
奇次坐标为 11n ij j i u g u +='=∑ （3）
所以还可以用u 来表示这条直线，因此，点x 和直线的u 关系可表示成
0u x = （4）
此时的“ ”是指 11
n i i i u u e +==∑ 和x 的内积.则由（1）（2） 可得
1111,110n n n ij i j i j
i j ij i i j j g g u x u x x u +++======∑∑∑
这就是配极原则
2.4射影几何中的对偶方法
对偶方法就是一种运用对偶原理并结合对偶概念来研究数学的方法.对偶原理的一大特性就是在互成对偶的两个命题中所对应的代数运算也是对偶的, 它的运算形式相同. 换句话说, 倘若使用解析方法使已经给定了的命题得到证明, 那么我们在进一步证明它的对偶命题时, 也可以类比原命题的证明方法即可,比如在射影几何中的德萨格定理(Desargues)定理可以应用对偶原理特性给以证明.
定理 3 （德萨格定理(Desargues)）假设两个三点形对应顶点的连线共点，那么对应边的交点共线.
定理4 （德萨格定理(Desargues )的逆定理）假设两个三线形对应边的交点共线，那么对应顶点的连线共点
从这两个定理可以看出，如果我们把德萨格定理(Desargues )中的边和顶点互相对换，共线和共点互相对换就可以得出它的逆定理，反之也可，德萨格定理(Desargues )与它的逆定理是一对对偶定理，所以原定里成立，逆定理也就成立了下面用对比的形式, 按照对偶的原则证明此二定理
例1 假设在三角形ABC 和A B C '''中，各个顶点的齐次坐标分别是
()()()()()()123123123,,,,,,,,A a a a A a B b b b B b C c c c C c ===；
()()()()()
()123123123,,,,,,,,A a a a A a B b b b B b C c c c C c ''''''''''''''''''===
直线,,AA BB CC '''共点于()()123,,,S s s s S s = ,AB A B ''的交点是()()123,,,R r r r R r =,BC B C ''的交点是()()123,,,P p p p P p =
,AC A C ''的交点是()()123,,.Q q q q Q q =求证：P,R,Q 共线
证明：因为S 在直线AA '上，所以()s 可以用()(),a a '线性表出，则有
()()().s a a λλ''==
又因为S 在直线,BB CC ''上，则有
()()()()()();s b b s c c μμγγ''''===+
又有
()()()()()()()s a a b b c c λλμμγγ''''''=+=+=+
由以上可得：
()()()()()
()()()()()()()()()()b c c b p c a a c q a b b a r μγγμγλλγλμμλ''''-=-=''''-=-=''''-=-=
上述三式相加得：
()()()0p q r ++=
即P,R,Q 共线命题得证
同理其逆命题一额可以得到证明
通过上述证明可以总结出 逆命题的证明方法、过程和形式都与原命题的证明相似,而所用到代数运算也是对偶的运算.因此对于这类命题, 在证明原命题的基础上综合运用对偶原则, 便很容易的得到对偶命题的证明.
对偶原理在射影几何中占有很重要的地位，证明了一个命题之后它的对偶原理也一定成立，因而针对几何中的对偶命题，研究其“对偶”的方法是一项不容忽视的工作.根据对偶原则人们还可以研究得出新的命题，并且不需要给出证明，对偶就像一座桥梁一样，紧密的将点和线结合起来，提高了对点、线的进一步认识.
除了射影几何中的对偶外，我们接着来研究一下代数中的对偶原理的应用. 2.5．代数中的对偶原理的应用
对偶原理以及方法在一般布尔代数，编序集，数理逻辑和范畴论等中有着非常广泛的应用，在这里我们就先来研究一下一般布尔代数中的对偶.
假设至少含有两个元素(互不相同的元素) 12,e e 组成的集合M 中规定了这样的三种运算，,,'?⊕第三.如果在封闭的集合M 中这三种运算同时满足下述基本规律
,,)4(;
,)3();
()()(),()()()2(;
,)1(1221e e e e x x x x x x x x z x y x z y x z x y x z y x x y y x x y y x ='?='⊕=?=⊕⊕?⊕=?⊕?⊕?=⊕??=?⊕=⊕
这里的M x z y x ∈',,,，那么我们把M 叫做一般布尔代数系统，从一般的布尔代数系统中可以得出对偶原理:假如S 是一个关于的M 定理，则把中S 的e e 21,,,?⊕变换成e e 12,,,⊕?之后得出的一个新的语句()D S 仍然是的M 一个定理.对偶原理在数学中有着广泛的应用,在代数中也无另外,和射影几何类似 一般布尔代数的定理具有对称性，因为它也是成对出现的, 其中在代数中格是一个很重要的概念，由于叙述格的公理是对偶的, 因此在这当中也有对偶原理.由于对偶原理在射影几何中起了很大的作用，人们都看到了它带给数学发展的成果，紧接着我们经过不懈的努力终于在代数方面也取得了很可喜的成就，对偶原理作为一种方法经历了一个从模糊到清楚，一个由一个领域发展到多个领域的数学研究的全过程，进一步推动了数学界的向前发展.普吕克的很多学术研究大都直接联系与对偶，例如他的《代数曲线论》证明了阶数，级数和简单奇点之间的对偶公式.遗憾的是对偶的逻辑证明还没有取得，自19世纪末20世纪借助几何中的公理化才实现了对偶的逻辑证明.因此想要证明对偶定理我们只需要证明出原定理即可
2.6其他数学领域中的对偶应用
在研究对偶问题时如果只是从对偶原理的概念这一点出发，我们会发现除了上述所说的对偶原理以及应用外，在其他领域也有存在这广泛的对偶，尤其是在图论和规划论(线性规划)中对偶尤为明显在线性规划的基础上可以研究更多的规划问题.给出了一个由点和线构成的图之后就可以得出它相应的对偶图，因而我们应把问题和概念中的对偶原则也要作为重点研究的对象来研讨.
例如在三角学当中我们把出现在三角方程中的函数均用它的共变函数代换，既可以得到一个新的三角方程，称作原方程的对偶方程.从而得出了三角学里的对偶原理：假设一个三角方程是个恒等式而且仅仅包含一个角，则其对偶方程也是一个恒等式.
下面来看一个例子便于加深对上述内容的理解,1cos sin 22=+x x x sin 和x cos 互相调换得到它的对偶22cos sin 1x x +=是个恒等式。其次在数理逻辑中的演绎推理也存在着对偶性.关于对偶原理在数学中的研究以及应用我们以后还要继续研究，和探讨.
总之，对偶原理(对偶变换及命题在此变换下真假值的不变性概念的“ 双化” 为其基本内容) 具有发展数学理论的功能，这一点, 在当代数学中体现得亦很突出.
3.结束语
本文从摘要、引言、对偶概念对、偶原理及简单证明、对偶原理的一般模式射、影几何中的配极对应与配极原则、射影几何中的对偶方法对偶原理以及应用、代数中的对偶原理以及应用、其他数学领域中的对偶这几大部分展开论述了高等几何中的对偶方法这一主题，对偶并不只是狭义的概念，更具有广义上的对称，是数学这门枯燥的学科呈现出了优美、对称的图案.对偶方法在数学（尤其是高等几何）中也是美学方法的一种体现，因此数学所研究的思维从"特殊的、具体的对象”过渡到了“抽象的数学结构”中来.希望各界人士投身到射影几何的对偶方法这一问题中来，获取更大的研究成果，为几何事业贡献一份力量！
致谢语
非常荣幸赵建红副教授能够成为我的论文指导教师，在赵老师悉心指导下我顺利完成了论文写作，在论文写作期间也使我受益匪浅，感慨颇多.再次向老师致以深深的感激，祝愿老师身体健康，工作顺利，万事如意!
参考文献
[1].方德植,陈奕培.射影几何【M 】高等教育出版社.1984.8.
[2].张永顺,金成相.高等几何【M 】辽宁人民出版社.1984.12.
[3].梅向明,刘增贤,王汇淳,王志秋.高等几何【M】高等教育出版社.1989.
[4].徐本顺,阴东升.对偶原理【J】曲阜师范大学学报.1990.1.第一期.第十六卷.
[5].林怡谋.对偶原则的配极法证明【J】漳州师范生学院学报.2001.5.第二期.第十四卷.
[6].郭翠兰.浅谈对偶原理的运用【J】山东工业大学学报.1990.第二期.第二十卷.
[7].赵临龙,刘娟.射影几何对偶原理的优越性【J】重庆科技学院学报.2010.2.第二期.第十二卷.
[8].宋方软.高等几何中的对偶方法【J】赣南师范学院学报.1997.第六期.
《管理运筹学》（第二版）课后习题参考答案 第1章 线性规划（复习思考题） 1．什么是线性规划线性规划的三要素是什么 答：线性规划（Linear Programming ，LP ）是运筹学中最成熟的一个分支，并且是应用最广泛的一个运筹学分支。线性规划属于规划论中的静态规划，是一种重要的优化工具，能够解决有限资源的最佳分配问题。 建立线性规划问题要具备三要素：决策变量、约束条件、目标函数。决策变量是决策问题待定的量值，取值一般为非负；约束条件是指决策变量取值时受到的各种资源条件的限制，保障决策方案的可行性；目标函数是决策者希望实现的目标，为决策变量的线性函数表达式，有的目标要实现极大值，有的则要求极小值。 2．求解线性规划问题时可能出现几种结果，哪种结果说明建模时有错误 答：（1）唯一最优解：只有一个最优点； （2）多重最优解：无穷多个最优解； （3）无界解：可行域无界，目标值无限增大； （4）没有可行解：线性规划问题的可行域是空集。 当无界解和没有可行解时，可能是建模时有错。 3．什么是线性规划的标准型松弛变量和剩余变量的管理含义是什么 答：线性规划的标准型是：目标函数极大化，约束条件为等式，右端常数项0≥i b ，决策变量满足非负性。 如果加入的这个非负变量取值为非零的话，则说明该约束限定没有约束力，对企业来说不是紧缺资源，所以称为松弛变量；剩余变量取值为非零的话，则说明“≥”型约束的左边取值大于右边规划值，出现剩余量。 4．试述线性规划问题的可行解、基础解、基可行解、最优解的概念及其相互关系。 答：可行解：满足约束条件0≥=X b AX ，的解，称为可行解。 基可行解：满足非负性约束的基解，称为基可行解。 可行基：对应于基可行解的基，称为可行基。 最优解：使目标函数最优的可行解，称为最优解。 最优基：最优解对应的基矩阵，称为最优基。 它们的相互关系如右图所示：
射影几何的诞生与发展 一从透视学到射影几何 1．在文艺复兴时期，描绘现实世界成为绘画的重要目标，这就使画家们在将三维现实世界绘制到二维的画布上时，面临这样的问题： （1）一个物体的同一投影的两个截影有什么共同的性质？ （2）从两个光源分别对两个物体投影到同一个物影上，那么两个物体间具有什么关系？ 2．由于绘画、制图的刺激而导致了富有文艺复兴特色的学科---透视学的兴起(文艺复兴时期：普遍认为发端于14世纪的意大利，以后扩展到西欧，16世纪大道鼎盛)，从而诞生了射影几何学。意大利人布努雷契（1377-1446）是第一个认真研究透视法并试图运用几何方法进行绘画的艺术家。 3．数学透视法的天才阿尔贝蒂（1401-1472）的《论绘画》一书（1511）则是早期数学透视法的代表作，成为射影几何学发展的起点。 4．对于透视法产生的问题给予数学上解答的第一人是德沙格（1591-1661）法国陆军军官，后来成为工程师和建筑师，都是靠自学的。1639年发表《试论锥面截一平面所得结果的初稿》，这部著作充满了创造性的思想，引入了无穷远点、无穷远直线、德沙格定理、交比不变性定理、对合调和点组关系的不变性、极点极带理论等。 5．数学家帕斯卡（1623-1662）16岁就开始研究投射与取景法，1640年完成著作《圆锥曲线论》，不久失传，1779年被重新发现，他最突出的成就是所谓的帕斯卡定理，即圆锥曲线的内接六边形的对边交点共线 6．画家拉伊尔（1640-1718）在《圆锥曲线》（1685）这本射影几何专著中最突出的地方在于极点理论方面的创新。 7．德沙格等人把这种投影分析法和所获得的结果视为欧几里得几何的一部分，从而在17世纪人们对二者不加区别，但这一方法诱发了一些新的思想和观点： 1）一个数学对象从一个形状连续变化到另一形状 2）变换与变换不变性 3）几何新方法------仅关心几何图形的相交与结构关系，不涉及度量 二射影几何的繁荣 1．在19世纪以前，射影几何一直是在欧氏几何的框架下被研究的，并且由于18世纪解析几何、微积分的发展洪流而被人遗忘，到
用对偶单纯形法求解线性规划问题
例4-7用对偶单纯形法求解线性规划问题. Min z =5x1+3x 2 s.t.-2 x1 + 3x 2 ≥6 3 x1 - 6 x 2 ≥4 Xj≥0（j=1,2） 解：将问题转化为 Max z = -5 x1 - 3 x 2 s.t. 2 x1 - 3x 2+ x 3 = -6 -3 x1 + 6 x 2+ x 4 ≥-4 Xj≥0（j=1,2，3,4） 其中，x3 ，x4为松弛变量，可以作为初始基变量，单纯形表见表4-17. 表4-17 例4-7单纯形表 在表4-17中,b=-16<0,而y≥0,故该问题无可行解. 注意: 对偶单纯形法仍是求解原问题,它是适用于当原问题无可行基,且所有检验数均为负的情况.
若原问题既无可行基,而检验数中又有小于0的情况.只能用人工变量法求解. 在计算机求解时,只有人工变量法,没有对偶单纯形法. 3.对偶问题的最优解 由对偶理论可知,在原问题和对偶问题的最优解之间存在着密切的关系,可以根据这些关系,从求解原问题的最优单纯形表中,得到对偶问题的最优解. (1)设原问题(p)为 Min z=CX s.t. ???≥=0X b AX 则标准型(LP)为 Max z=CX s.t. ???≥=0X b AX 其对偶线性规划（D ）为 Max z=b T Y s.t. ???≥=0X b AX 用对偶单纯形法求解（LP ），得最优基B 和最优单纯形表T （B ）。对于（LP ）来说，当j=n+i 时，有Pj=-e i ，c j =0 从而，在最优单纯形表T （B ）中，对于检验数，有 （σn+1，σn+2…σn+m ）=（c n+1，c n+2…，c n+m ）-C B B -1（Pn +1,Pn+2…,Pn+m ）=- C B B -1 (-I)
课程学习 《管理运筹学基础》 判断正误 线性规划问题的一般模型中不能出现等式约束。 正确答案：说法错误 2.在线性规划模型的标准型中,b j（j=1，2，…m）一定是非负的。正确答案：说法正确 解答参考： 3. 判断正误 线性规划问题的基本解一定是基本可行解 正确答案：说法错误 解答参考： 5. 判断正误 同一问题的线性规划模型是唯一的。 正确答案：说法错误 解答参考： 12.第一个顶点和最后一个顶点相同的闭链叫回路。 正确答案：说法错误 解答参考： 14. 判断正误
Djisktra算法可求出非负赋权图中一顶点到任一顶点的最短距离。 正确答案：说法正确 解答参考： 15.简述编制统筹图的基本原则。 参考答案：统筹图是有向图，箭头一律向右；统筹图只有一个起始点。一个终点，没有缺口；两个节点之间只能有一个作业相连；统筹图中不能出现闭合回路。 17.简述西北角法、最小元素法、差值法确定运输问题初始基本可行解的过程并指出那种方法得出的解较优。 参考答案：西北角法：按照地图中的上北下南，左西右东的判断，对调运表中的最西北角上的空格优先满足最大供应，之后划去一行或一列，重复这种做法，直至得到初始可行解。最小元素法：对调运表中的最小运价对应的空格优先没醉最大供应，之后划去一行或一列，重复这种做法，直至得到初始可行解。差值法：在运价表中，计算各行和各列的最小运价和次最小运价之差，选出最大者，它所在某行或某列中的最小运价对应的空格优先满足最大供应，重复这种做法，直至得到初始可行解。一般来讲，用差值法求出的初始可行解最接近最优解，也就是最优的。 2. 用图解法求最优解时，只需求出可行域顶点对应的目标值，通过比较大小，就能找出最优解。 正确答案：说法正确 单纯形法计算中，选取最大正检验数对应的变量作为换入变量，将使目标函数的值增加更快。 正确答案：说法错误 解答参考： 6.若原问题有无穷多最优解，则其对偶问题也一定有无穷多最优解。 正确答案：说法正确 解答参考： 8.表上作业法中，任何一种确定初始基本可行解的方法都必须保证有（m + n -1）个变量。正确答案：说法正确 解答参考： 9.用分枝定界法求解一个极大化整数规划问题时，任何一个可行解的目标函数值是该问题目标函数值的下界 正确答案：说法正确
圆锥曲线与射影几何 射影几何是几何学的重要内容，射影几何中的一些重要定理与结论往往能运用在欧式几何中，有利于我们的解题。在这里，我们将对解析几何中一些常见的圆锥曲线问题进行总结，并给中一些较为方便的解法。 例1：设点C(2,0)B(1,0),A(-1,0),, D 在双曲线12 2=-y x 的左支上，A D ≠,直线 CD 交双曲线122=-y x 的右支于点E 。求证：直线AD 与直线BE 的交点P 在直 线2 1= x 上。 如果是用解析几何的做法，这将是非常麻烦的。但是如果用射影几何的知识求解，将会有意想不到的效果。 我们知道，圆与圆锥曲线在摄影变换下是可以互相转换的。我们先不考虑题目中的数据与特殊的关系，仅仅考虑点线之间的位置关系，那么题设变成： 有一点 A 在一条双曲线内部，过A 引两条直线与双曲线分别交于 B , C , D , E 。连 BD ，CE 交于点P ，且P 点在四边形BCDE 外部。 又因为双曲线与圆在射影几何中属同一个变换群，所以可以将双曲线变为圆。如图1 连 BE ，CD 交于点Q ，连PQ ，先证明：直线PQ 是A 点的极线。 D
证明： 对 C 于'C 重合，B 于'B 重合的六边形''EBB DCC 用帕斯卡定理得： DC 于EB 的交点Q ,'CC 于'BB 的交点M ,E C '于'DB 的交点P 三点共线, 同理P ，Q ，N 三点共线 所以 P ，Q ，M ，N 四点共线。 又因为 BC 是M 的极线，DE 是N 的极线，所以MN 是BC 与DE 的交点A 的极线，即 PQ 是A 的极线。 回到原图，由极线的定义与性质得 PQ OA ，且FAGH 为调与点列。
在射影几何学中，把无穷远点看作是“理想点”。通常的直线再加上一个无穷点就是无穷远直线，如果一个平面内两条直线平行，那么这两条直线就交于这两条直线共有的无穷远点。通过同一无穷远点的所有直线平行。 德国数学家克莱因（图）在爱尔朗根大学提出著名的《爱尔朗根计 划书》中提出用变换群对几何学进行分类 在引入无穷远点和无穷远直线后，原来普通点和普通直线的结合关系依然成立，而过去只有两条直线不平行的时候才能求交点的限制就消失了。 由于经过同一个无穷远点的直线都平行，因此中心射影和平行射影两者就可以统一了。平行射影可以看作是经过无穷远点的中心投影了。这样凡是利用中心投影或者平行投影把一个图形映成另一个图形的映射，就都可以叫做射影变换了。 射影变换有两个重要的性质：首先，射影变换使点列变点列，直线变直线，线束变线束，点和直线的结合性是射影变换的不变性；其次，射影变换下，交比不变。交比是射影几何中重要的概念，用它可以说明两个平面点之间的射影对应。 在射影几何里，把点和直线叫做对偶元素，把“过一点作一直线”和“在一直线上取一点”叫做对偶运算。在两个图形中，它们如果都是由点和直线组成，把其中一图形里的各元素改为它的对偶元素，各运算改为它的对偶运算，结果就得到另一个图形。这两个图形叫做对偶图形。在一个命题中叙述的内容只是关于点、直线和平面的位置，可把各元素改为它的对偶元素，各运算改为它的对偶运算的时候，结果就得到另一个命题。这两个命题叫做对偶命题。这就是射影几何学所特有的对偶原则。在射影平面上，如果一个命题成立，那么它的对偶命题也成立，这叫做平面对偶原则。同样，在射影空间里，如果一个命题成立，那么它的对偶命题也成立，叫做空间对偶原则。研究在射影变换下二次曲线的不变性质，也是射影几何学的一项重要内容。如果就几何学内容的多少来说，射影几何学；仿射几何学；欧氏几何学，这就是说欧氏几何学的内容最丰富，而射影几何学的内容最贫乏。比如在欧氏几何学里可以讨论仿射几何学的对象(如简比、平行性等)和射影几何学的对象(如四点的交比等)，反过来，在射影几何学里不能讨论图形的仿射性质，而在仿射几何学里也不能讨论图形的度量性质。
浅析射影几何及其应用 湖北省黄冈中学 一、概述 射影几何是欧几里得几何学的一个重要分支，研究的是在射影变换中图形所具有的性质。在高等数学中，射影几何的定义是根据克莱因的变换群理论与奥古斯特·费迪南德·莫比乌斯（1970-1868）的齐次坐标理论，这一部分已经涉及了群论和解析几何，但是这两位数学家对于射影几何的发展作出的巨大贡献是令人钦佩的。在本次综合性学习中小组成员对于射影几何的纯几何内容进行了探究，对以下专题进行了研究： 1、射影几何的基本概念及交比不变性 2、笛沙格定理（早期射影几何中最重要的定理之一） 3、对偶原理 4、二次曲线在射影几何上的应用 5、布列安桑定理和帕斯卡定理 6、二次曲线蝴蝶定理
二、研究过程 1、射影几何的基本概念及交比不变性 射影几何虽然不属于高考内容，射影几何与较为容易的中学几何具有更加抽象、难以理解的特点，但是射影几何所研究的图形的性质是极具有吸引力的，可以说是中学几何的一个延伸。 射影几何所研究的对象是图形的位置关系，和在射影变换下图形的性质。射影，顾名思义，就是在光源（可以是平行光源或者是点光源），图形保持的性质。在生活中，路灯下人的影子会被拉长，矩形和圆在光源照射下会出现平行四边形和椭圆的影子，图形的形状和大小发生了变化。然而，在这种变换中图形之间的有些位置关系没有变，比如，相切的椭圆和直线在变换之后仍相切。此外，射影几何最重要的概念之一——交比也不会发生改变。 在中学的几何中，我们认为两条平行的直线是不相交的。但是在射影几何中，我们可以规定一簇平行直线相交于平面上一个无穷远点，而通过这个点的所有直线是一簇有确定方向的平行直线。一条直线有且只有一个无穷远点，平面上方向不同的直线经过不同的无穷远点。所有这样的无穷远点构成了一条无穷远直线，同样在三维空间中可类似地定义出无穷远平面，这样就扩充了两个公理： 1、过两点有且只有一条直线 2、两条直线有且只有一个交点 这两条公理对普通点（即非无穷远点）和无穷远点均成立。这两条公
例4-7用对偶单纯形法求解线性规划问题. Min z =5x1+3x 2 ≥6 s.t. -2 x1 + 3x 2 ≥4 3 x1 - 6 x 2 Xj≥0（j=1,2） 解：将问题转化为 Max z = -5 x1 - 3 x 2 + x3 = -6 s.t. 2 x1 - 3x 2 -3 x1 + 6 x + x4≥-4 2 Xj≥0（j=1,2，3,4） 其中，x3 ，x4为松弛变量，可以作为初始基变量，单纯形表见表4-17. 在表4-17中,b=-16<0,而y≥0,故该问题无可行解. 注意: 对偶单纯形法仍是求解原问题,它是适用于当原问题无可行基,且所有检验数均为负的情况. 若原问题既无可行基,而检验数中又有小于0的情况.只能用人工变量法求解. 在计算机求解时,只有人工变量法,没有对偶单纯形法. 3.对偶问题的最优解 由对偶理论可知,在原问题和对偶问题的最优解之间存在着密切的关系,可以根据这些关系,从求解原问题的最优单纯形表中,得到对偶问题的最优解. (1)设原问题(p)为 Min z=CX
s.t. ?? ?≥=0 X b AX 则标准型(LP)为 Max z=CX s.t. ? ??≥=0X b AX 其对偶线性规划（D ）为 Max z=b T Y s.t. ? ? ?≥=0X b AX 用对偶单纯形法求解（LP ），得最优基B 和最优单纯形表T （B ）。对于（LP ）来说，当j=n+i 时，有Pj=-e i ，c j =0 从而，在最优单纯形表T （B ）中，对于检验数，有 （σn+1，σn+2…σn+m ）=（c n+1，c n+2…，c n+m ）-C B B -1（Pn +1,Pn+2…,Pn+m ）=- C B B -1 (-I) 于是，Y*=（σn+1，σn+2…σn+m ）T 。可见，在（LP ）的最优单纯形表中，剩余变量对应的检验数就是对偶问题的最优解。 同时，在最优单纯形表T （B ）中，由于剩余变量对应的系数 所以 B -1 =（-y n+1，-y n+2…-y n+m ） 例4-8 求下列线性规划问题的对偶问题的最优解。 Min z =6x 1+8x 2 s.t. x 1 + 2x 2≥20 3 x 1 + 2x 2≥50 Xj ≥0（j=1,2） 解： 将问题转化为 Max z =-6x 1-8x 2 s.t. -x 1 — 2x 2 + x 3=20 -3 x 1 - 2x 2+ x 4 =50 Xj ≥0（j=1,2，3,4）
习题参考答案 习题一 1．设选用第1种、第2种、第3种、第4种、第5种饲料的量分别为12345,,,,x x x x x 。 Min 543218.03.07.04.02.0x x x x x Z ++++= 1234512345 1234512345326187000.50.220.530..0.50.220.8100,,,,0 x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x ++++≥??++++≥?? ++++≥??≥? 2．设x ij 为生产第i 种食品所使用的第j 种原料数，i ＝1，2，3分别代表甲、乙、丙，j ＝1，2，3分别代表A 、B 、C 。其数学模型为： Max Z =) (0.1)(5.1)(2)(95.1)(45.2)(9.2332313322212312111333231232221131211x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++?-++?-++?-++?+++?+++? s.t . ) 3,2,1,3,2,1(,05 .06 .015 .02 .06 .012002500200033 323133 23 222123 23 222121 13 121113 13 121111 332313322212312111==≥≤++≤++≥++≤++≥++≤++≤++≤++j i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ij 3．将下列线性规划问题化为标准形式 （1）引入剩余变量1s ，松弛变量2 s
用对偶单纯形法求解线性 规划问题 The final edition was revised on December 14th, 2020.
例4-7用对偶单纯形法求解线性规划问题. Min z =5x1+3x 2 .-2 x1 + 3x 2 ≥6 3 x1 - 6 x 2 ≥4 Xj≥0（j=1,2） 解：将问题转化为 Max z = -5 x1 - 3 x 2 . 2 x1 - 3x 2+ x 3 = -6 -3 x1 + 6 x 2+ x 4 ≥-4 Xj≥0（j=1,2，3,4） 其中，x3 ，x4为松弛变量，可以作为初始基变量，单纯形表见表4-17. 表4-17 例4-7单纯形表 在表4-17中,b=-16<0,而y≥0,故该问题无可行解. 注意: 对偶单纯形法仍是求解原问题,它是适用于当原问题无可行基,且所有检验数均为负的情况.
若原问题既无可行基,而检验数中又有小于0的情况.只能用人工变量法求解. 在计算机求解时,只有人工变量法,没有对偶单纯形法. 3.对偶问题的最优解 由对偶理论可知,在原问题和对偶问题的最优解之间存在着密切的关系,可以根据这些关系,从求解原问题的最优单纯形表中,得到对偶问题的最优解. (1)设原问题(p)为 Min z=CX . ???≥=0X b AX 则标准型(LP)为 Max z=CX . ???≥=0X b AX 其对偶线性规划（D ）为 Max z=b T Y . ???≥=0X b AX 用对偶单纯形法求解（LP ），得最优基B 和最优单纯形表T （B ）。对于（LP ）来说，当j=n+i 时，有Pj=-e i ，c j =0 从而，在最优单纯形表T （B ）中，对于检验数，有 （σn+1，σn+2…σn+m ）=（c n+1，c n+2…，c n+m ）-C B B -1（Pn +1,Pn+2…,Pn+m ）=- C B B -1 (-I)
1.对偶单纯形法 2.F(x)=3x1+4x2+5x3 X1+2x2+3x3>=5 2x1+2x2+x3>=6 xi>=0 f=[3;4;5]; A=[-1 -2 -3 -2 -2 -1]; b=[-5;-6]; lb=zeros(3,1); [x,fval,exitflag,output,lambda] = linprog(f,A,b,[],[],lb) x = 1.0000 2.0000 0.0000 fval = 11.0000 exitflag = 1 output = iterations: 8 algorithm: 'large-scale: interior point' cgiterations: 0 message: 'Optimization terminated.' lambda = ineqlin: [2x1 double] eqlin: [0x1 double] upper: [3x1 double] lower: [3x1 double] x, lambda.ineqlin, lambda.lower x = 1.0000 2.0000 0.0000 ans = 1.0000 1.0000 ans = 0.0000 0.0000 1.0000
2.单纯形法 f(x)=-9x1+-16x2 x1+4x2+x3=80 2x1+3x2+x4=90 xi>=0 f=[-9;-16;0;0]; Aeq=[1 4 1 0 2 3 0 1]; beq=[80;90]; lb=zeros(4,1); [x,fval,exitflag,output,lambda] = linprog(f,[],[],Aeq,beq,lb) Optimization terminated. x = 24.0000 14.0000 0.0000 0.0000 fval = -440.0000 exitflag = 1 output = iterations: 5 algorithm: 'large-scale: interior point' cgiterations: 0 message: 'Optimization terminated.' lambda = ineqlin: [0x1 double] eqlin: [2x1 double] upper: [4x1 double] lower: [4x1 double] x, lambda.ineqlin, lambda.lower x = 24.0000 14.0000 0.0000 0.0000 ans = Empty matrix: 0-by-1 ans =
管理运筹学第二版课后 习题参考答案 Document number【980KGB-6898YT-769T8CB-246UT-18GG08】
《管理运筹学》（第二版）课后习题参考答案 第1章 线性规划（复习思考题） 1．什么是线性规划线性规划的三要素是什么 答：线性规划（Linear Programming ，LP ）是运筹学中最成熟的一个分支，并且是应用最广泛的一个运筹学分支。线性规划属于规划论中的静态规划，是一种重要的优化工具，能够解决有限资源的最佳分配问题。 建立线性规划问题要具备三要素：决策变量、约束条件、目标函数。决策变量是决策问题待定的量值，取值一般为非负；约束条件是指决策变量取值时受到的各种资源条件的限制，保障决策方案的可行性；目标函数是决策者希望实现的目标，为决策变量的线性函数表达式，有的目标要实现极大值，有的则要求极小值。 2．求解线性规划问题时可能出现几种结果，哪种结果说明建模时有错误 答：（1）唯一最优解：只有一个最优点； （2）多重最优解：无穷多个最优解； （3）无界解：可行域无界，目标值无限增大； （4）没有可行解：线性规划问题的可行域是空集。 当无界解和没有可行解时，可能是建模时有错。 3．什么是线性规划的标准型松弛变量和剩余变量的管理含义是什么 答：线性规划的标准型是：目标函数极大化，约束条件为等式，右端常数项0 i b ，决策变量满足非负性。
如果加入的这个非负变量取值为非零的话，则说明该约束限定没有约束力，对企业来说不是紧缺资源，所以称为松弛变量；剩余变量取值为非零的话，则说明“≥”型约束的左边取值大于右边规划值，出现剩余量。 4．试述线性规划问题的可行解、基础解、基可行解、最优解的概念及其相互关系。 答：可行解：满足约束条件0≥=X b AX ，的解，称为可行解。 基可行解：满足非负性约束的基解，称为基可行解。 可行基：对应于基可行解的基，称为可行基。 最优解：使目标函数最优的可行解，称为最优解。 最优基：最优解对应的基矩阵，称为最优基。 它们的相互关系如右图所示： 5．用表格单纯形法求解如下线性规划。 . ??? ??≥≤++≤++0,,862383 21321321x x x x x x x x x 解：标准化 32124max x x x Z ++= . ?? ? ??≥=+++=+++0,,,,862385432153 214 321x x x x x x x x x x x x x 列出单纯形表
《管理运筹学》(第二版)课后习题参考答案 第１章 线性规划（复习思考题） 1.什么是线性规划？线性规划的三要素是什么？ 答：线性规划(Lin ｅar Programming ，LP ）是运筹学中最成熟的一个分支,并且是应用最广泛的一个运筹学分支。线性规划属于规划论中的静态规划，是一种重要的优化工具，能够解决有限资源的最佳分配问题。 建立线性规划问题要具备三要素:决策变量、约束条件、目标函数。决策变量是决策问题待定的量值,取值一般为非负;约束条件是指决策变量取值时受到的各种资源条件的限制，保障决策方案的可行性；目标函数是决策者希望实现的目标,为决策变量的线性函数表达式,有的目标要实现极大值，有的则要求极小值。 2.求解线性规划问题时可能出现几种结果，哪种结果说明建模时有错误? 答：(1）唯一最优解:只有一个最优点； （2）多重最优解：无穷多个最优解; (３)无界解:可行域无界，目标值无限增大； （4)没有可行解:线性规划问题的可行域是空集。 当无界解和没有可行解时，可能是建模时有错。 3．什么是线性规划的标准型？松弛变量和剩余变量的管理含义是什么? 答：线性规划的标准型是:目标函数极大化，约束条件为等式，右端常数项0≥i b ,决策变量满足非负性。 如果加入的这个非负变量取值为非零的话,则说明该约束限定没有约束力，对企业来说不是紧缺资源，所以称为松弛变量;剩余变量取值为非零的话，则说明“≥”型约束的左边取值大于右边规划值,出现剩余量。 4．试述线性规划问题的可行解、基础解、基可行解、最优解的概念及其相互关系。 答：可行解：满足约束条件0≥=X b AX ，的解，称为可行解。 基可行解：满足非负性约束的基解，称为基可行解。 可行基：对应于基可行解的基,称为可行基。 最优解：使目标函数最优的可行解,称为最优解。 最优基:最优解对应的基矩阵，称为最优基。 它们的相互关系如右图所示:
§6 对偶单纯形法 在介绍对偶单纯形法之前，让我们先利用对偶理论来重温一下单纯形法的基本思想， 以便给单纯形法一种新的解释。 考虑线性规划（LP ）和其对偶规划（DP ）： x c T min b w T max (LP) s.t ???≥=0 x b Ax (DP) s.t T T c A w ≤ 我们已经知道，（LP ）的单纯形表为 基变量 x 1 x 2 ┄ x n x B B -1 A B -1b f c B T B -1 A – c T c B T B – 1b 定理1 设(LP)的任一基本解为x 0，它对应于基B ，并作(w 0 )T = c B T B – 1。若x 0 和w 0 分别是(LP)和（DP ）的可行解，则x 0 和w 0 也分别是(LP)和（DP ）的最优解。 证明 因w 0 是（DP ）的可行解，即 (w 0 )T A ≤ c T 从而有 c B T B – 1A - c T ≤ 0 此式说明，x 0是对应于基B 的基本可行解，且所有的检验数 λj ≤ 0 故x 0是（LP ）的最优解。此外，还有 (w 0 )T b = c B T B – 1 b = c B T x B 0 = c x 0 从而由线性规划的对偶定理知，w 0 也是（DP ）的最优解。 证毕。 由以上证明过程可看到： x 0（（LP ）的任一基本解）的检验数全部非正与(w 0 )T = c B T B – 1是对偶问题（DP ）的可行解等价。 据此我们可对单纯形法作如下解释： 从一个基本解x 0出发迭代到另一个基本解，在迭代过程中始终保持解的可行性（基本 可行解），同时使它所对应的对偶规划的解w 0（满足（w 0 ）T = c B T B – 1 ）的不可行性逐步消失（即检验数逐步变为非正）；直到w 0是（DP ）的可行解，x 0就是（LP ）的最优解。 因（LP ）和（DP ）互为对偶问题，故基于对称的想法，我们也可以把迭代过程建立在满足对偶问题（DP ）的可行解上，即在迭代过程中保持对应的对偶问题的解w 0的可行性（从而x 0的检验数全部非正），逐步消除原问题（LP ）的基本解x 0的不可行性（即使x 0非负），最后达到双方同时为可行解，x 0和w 0也就同时为最优解了。这就是对偶单纯形法的基本思想。 按照此设想，为求原问题（LP ）的最优解，出发点将是一个不一定可行的基本解（某些变量可能取负值），但满足最优性判别条件（所有λj ≤ 0）。下面将讨论对偶单纯形法的迭代步骤。 设x 0是（LP ）的一个基本解（不一定可行），不失一般性，可设相应的典式为
最新管理运筹学(第二版)课后习题参考答案 第1章 线性规划（复习思考题） 1．什么是线性规划？线性规划的三要素是什么？ 答：线性规划（Linear Programming ，LP ）是运筹学中最成熟的一个分支，并且是应用最广泛的一个运筹学分支。线性规划属于规划论中的静态规划，是一种重要的优化工具，能够解决有限资源的最佳分配问题。 建立线性规划问题要具备三要素：决策变量、约束条件、目标函数。决策变量是决策问题待定的量值，取值一般为非负；约束条件是指决策变量取值时受到的各种资源条件的限制，保障决策方案的可行性；目标函数是决策者希望实现的目标，为决策变量的线性函数表达式，有的目标要实现极大值，有的则要求极小值。 2．求解线性规划问题时可能出现几种结果，哪种结果说明建模时有错误？ 答：（1）唯一最优解：只有一个最优点； （2）多重最优解：无穷多个最优解； （3）无界解：可行域无界，目标值无限增大； （4）没有可行解：线性规划问题的可行域是空集。 当无界解和没有可行解时，可能是建模时有错。 3．什么是线性规划的标准型？松弛变量和剩余变量的管理含义是什么？ 答：线性规划的标准型是：目标函数极大化，约束条件为等式，右端常数项0≥i b ，决策变量满足非负性。 如果加入的这个非负变量取值为非零的话，则说明该约束限定没有约束力，对企业来说不是紧缺资源，所以称为松弛变量；剩余变量取值为非零的话，则说明“≥”型约束的左边取值大于右边规划值，出现剩余量。 4．试述线性规划问题的可行解、基础解、基可行解、最优解的概念及其相互关系。 答：可行解：满足约束条件0≥=X b AX ，的解，称为可行解。 基可行解：满足非负性约束的基解，称为基可行解。 可行基：对应于基可行解的基，称为可行基。 最优解：使目标函数最优的可行解，称为最优解。 最优基：最优解对应的基矩阵，称为最优基。 它们的相互关系如右图所示： 5．用表格单纯形法求解如下线性规划。
位置几何──射影几何学 射影几何是研究图形的射影性质，即它们经过射影变换后，依然保持不变的图形性质的几何学分支学科。一度也叫做投影几何学，在经典几何学中，射影几何处于一种特殊的地位，通过它可以把其他一些几何学联系起来。 射影几何的发展简况 十七世纪，当笛卡儿和费尔马创立的解析几何问世的时候，还有一门几何学同时出现在人们的面前。这门几何学和画图有很密切的关系，它的某些概念早在古希腊时期就曾经引起一些学者的注意，欧洲文艺复兴时期透视学的兴起，给这门几何学的产生和成长准备了充分的条件。这门几何学就是射影几何学。 基于绘图学和建筑学的需要，古希腊几何学家就开始研究透视法，也就是投影和截影。早在公元前200年左右，阿波罗尼奥斯就曾把二次曲线作为正圆锥面的截线来研究。在4世纪帕普斯的著作中，出现了帕普斯定理。 在文艺复兴时期，人们在绘画和建筑艺术方面非常注意和大力研究如何在平面上表现实物的图形。那时候，人们发现，一个画家要把一个事物画在一块画布上就好比是用自己的眼睛当作投影中心，把实物的影子影射到画布上去，然后再描绘出来。在这个过程中，被描绘下来的像中的各个元素的相对大小和位置关系，有的变化了，有的却保持不变。这样
就促使了数学家对图形在中心投影下的性质进行研究，因而就逐渐产生了许多过去没有的新的概念和理论，形成了射影几何这门学科。 射影几何真正成为独立的学科、成为几何学的一个重要分支，主要是在十七世纪。在17世纪初期，开普勒最早引进了无穷远点概念。稍后，为这门学科建立而做出了重要贡献的是两位法国数学家──笛沙格和帕斯卡。 笛沙格是一个自学成才的数学家，他年轻的时候当过陆军军官，后来钻研工程技术，成了一名工程师和建筑师，他很不赞成为理论而搞理论，决心用新的方法来证明圆锥曲线的定理。1639年，他出版了主要著作《试论圆锥曲线和平面的相交所得结果的初稿》，书中他引入了许多几何学的新概念。他的朋友笛卡尔、帕斯卡、费尔马都很推崇他的著作，费尔马甚至认为他是圆锥曲线理论的真正奠基人。 迪沙格在他的著作中，把直线看作是具有无穷大半径的圆，而曲线的切线被看作是割线的极限，这些概念都是射影几何学的基础。用他的名字命名的迪沙格定理：“如果两个三角形对应顶点连线共点，那么对应边的交点共线，反之也成立”，就是射影几何的基本定理。 帕斯卡也为射影几何学的早期工作做出了重要的贡献，1641年，他发现了一条定理：“内接于二次曲线的六边形的三双对边的交点共线。”这条定理叫做帕斯卡六边形定理，也是射影
用对偶单纯形法求对偶问题的最优解 摘要：在线性规划的应用中，人们发现一个线性规划问题往往伴随着与之配对的另一个线性规划问题.将其中一个称为原问题，另一个称为对偶问题.对偶理论深刻揭示了原问题与对偶问题的内在联系.由对偶问题引申出来的对偶解有着重要的经济意义.本文主要介绍了对偶问题的基本形式以及用对偶单纯形法求解对偶问题的最优解. 关键词：线性规划；对偶问题；对偶单纯形 Using Dual Simplex Method To Get The Optimal Solution Of The Dual Problem Abstract：In the application of the linear programming，people find that a linear programming problem is often accompanied by another paired linear programming problem.One is called original problem. Another is called the dual problem. Duality theory reveals the internal relations between the dual problem and the original problem. The solution of the dual problem is of a great economic significance. In this paper，we mainly discuss the basic form of the dual problem and how to use dual simplex method to get the optimal solution of the dual problem. Key words: linear programming；dual problem；dual simplex method 1 引言 首先我们先引出什么是线性规划中的对偶问题.任何一个求极大化的线性规划问题都有一个求极小化的线性规划问题与之对应，反之亦然，如果我们把其中一个叫原问题，则另一个就叫做它的对偶问题，并称这一对互相联系的两个问题为一对对偶问题.每个线性规划都有另一个线性规划(对偶问题)与它密切相关，对偶理论揭示了原问题与对偶问题的内在联系.下面将讨论线性规划的对偶问题的基本形式以及用对偶单纯形法求最优解.在一定条件下，对偶单纯形法与原始单纯形法相比有着显著的优点. 2 对偶问题的形式 对偶问题的形式主要包括对称形对偶问题[]3和非对称性对偶问题. 2.1对称形对偶问题 设原线性规划问题为 Max 1122... n n Z c x c x c x =+++
对偶单纯形法与单纯形法对比分析 1．教学目标： 通过对偶单纯形法的学习，加深对对偶问题的理解 2．教学内容： 1）对偶单纯形法的思想来源 2）对偶单纯形法原理 3．教学进程： 1）讲述对偶单纯形法解法的来源： 所谓对偶单纯形法，就是将单纯形法应用于对偶问题的计算，该方法是由美国数学家C.莱姆基于1954年提出的，它并不是求解对偶问题解的方法，而是利用对偶理论求解原问题的解的方法。 2）为什么要引入对偶单纯形法： 单纯形法是解线性规划的主要方法，对偶单纯形法则提高了求解线性规划问题的效率，因为它具有以下优点： （1）初始基解可以是非可行解, 当检验数都为负值时, 就可以进行基的变换, 不需加入人工变量, 从而简化计算； （2）对于变量多于约束条件的线性规划问题,用对偶单纯形法可以减少计算量,在灵敏度分析及求解整数规划的割平面法中,有时适宜用对偶规划单纯形法。 由对偶问题的基本性质可以知道，线性规划的原问题及其对偶问题之间存在一组互补的基解，其中原问题的松弛变量对应对偶问题的变量，对偶问题的剩余变量对应原问题的变量；这些互相对应的变量如果在一个问题的解中是基变量，则在另一问题的解中是非基变量；将这对互补的基解分别代入原问题和对偶问题的目标函数有z=w 。据此可知，用单纯形法求解线性规划问题时，在得到原问题的一个基可行解的同时，在检验数行得到对偶问题的一个基解，并且将两个解分别代入各自的目标函数时其值相等。 我们知道，单纯形法计算的基本思路是保持原问题为可行解（这时一般其对偶问题为非可行解）的基础上，通过迭代，增大目标函数，当其对偶问题的解也为可行解时，就达到了目标函数的最优值。那么对偶单纯形法的基本思想可以理解为保持对偶问题为可行解（这时一般原问题为非可行解）的基础上，通过迭代，减小目标函数，当原问题也达到可行解时，即达到了目标函数的最优值。其实对偶单纯形法本质上就是单纯形法, 只不过在运用时需要将单纯形表旋转一下而已。 一.单纯形法和对偶单纯性法 单纯形法是求解线性规划的主要方法, 单纯形表则是单纯形法和对偶单纯形法的运算工具。设线性规划问题为 Max ∑==n j j j x c Z 1 ?????=≥=≤∑=),....,1(0) ,...,1(..1n j m i t s x b x a j n j i j ij ⑴
圆锥曲线与射影几何
圆锥曲线与射影几何 射影几何是几何学的重要内容，射影几何中的一些重要定理和结论往往能运用在欧式几何中，有利于我们的解题。在这里，我们将对解析几何中一些常见的圆锥曲线问题进行总结，并给中一些较为方便的解法。 例1：设点C(2,0)B(1,0),A(-1,0),, D 在双曲线122=-y x 的左支上，A D ≠,直线CD 交双曲线122=-y x 的右支于点E 。求证：直线AD 与直线BE 的交点P 在直线2 1=x 上。 如果是用解析几何的做法，这将是非常麻烦的。但是如果用射影几何的知识求解，将会有意想不到的效果。 我们知道，圆与圆锥曲线在摄影变换下是可以互相转换的。我们先不考虑题目中的数据和特殊的关系，仅仅考虑点线之间的位置关系，那么题设变成： 有一点A 在一条双曲线内部，过A 引两条直线与双曲线分别交于B ,C ,D ,E 。连BD ，CE 交于点 P ，且P 点在四边形BCDE 外部。
又因为双曲线与圆在射影几何中属同一个变换群，所以可以将双曲线变为圆。如图1 连BE，CD交于点Q，连PQ，先证明：直线PQ 是A点的极线。 D
证明： 对C 于'C 重合，B 于'B 重合的六边形''EBB DCC 用帕斯卡定理得： DC 于EB 的交点Q ,'CC 于'BB 的交点M ,E C '于' DB 的交点P 三点共线,同理P ，Q ，N 三点共线 所以P ，Q ，M ，N 四点共线。 又因为BC 是M 的极线，DE 是N 的极线，所以MN
是BC 与DE 的交点A 的极线，即PQ 是A 的极线。 回到原图，由极线的定义与性质得PQ OA ⊥，且 FAGH 为调和点列。 有了前面的铺垫再证例1就简单了。 证明： 过P 点作X PH ⊥轴，则PH 是C 点的极线，AHBC 为调和点列 因为A (-1,0), B (1,0), C (2,0) 所以H （2 1,0） 即P 在直线2 1=x 上 关于极线的知识，下文仍有用到，这里不再叙述。 例2：M 是抛物线)0(22≥=p px y 的准线上的任意点，过M 点作抛物线的切线1l ,2l ，切点分别为 A , B (A 在X 轴的上方)。 （1） 求证：直线AB 过定点。 （2） 过M 作X 轴的平行线l 与抛物线交于P ， 与AB 交于Q . 证明PQ MP =。
(一) 1-1对应 1 1. 1-1对应的定义 1 2. 1-1对应的意义和性质 2 3. 1-1对应在数学中的应用4 4. 无穷集之间的1-1对应 4 5. 部分和整体的1-1对应, 无穷集的定义 9 6. 无穷远点. 点列和线束10 7. 轴束. 基本形 11 8. 三种基本形的六种透视对应12 9. 射影关系 14 10. 1到无穷或无穷到1的对应1611. 平面点的无穷阶数 17 12. 一阶与二阶无穷集 17 13. 通过空间一点的所有直线17 14. 通过空间一点的所有平面18 15. 平面上所有的直线 18 16. 平面系和点系 19 17. 空间中的所有平面 19 18. 空间中的所有点 20 19. 空间系 20 20. 空间中的所有直线 20 21. 点与数之间的对应 20 22. 无穷远元素 22 （二）1-1对应基本形之间的关
系 25 23. 七种基本形 25 24. 射影性 25 25. Desargues 定理 26 26. 关于二个完全四边形的基本定理 27 27. 定理的重要性 28 28. 定理的重述 28 29. 四调和点概念 29 30. 调和共轭的对称性 30 31. 概念的重要性 30 32. 四调和点的投影不变性31 33. 四调和线 31 34. 四调和平面. 3135. 结果的概要性总结 32 36. 可射影性的定义 33 37. 调和共轭点相互之间的对应33 38. 调和共轭的元素的隔离34 39. 无穷远点的调和共轭 34 40. 射影定理和度量定理, 线性作图法 35 41. 平行线与中点 36 42. 将线段分成相等的n个部分37 43. 数值上的关系 37 44. 与四调和点关联的代数公式37 45. 进一步的公式 38