2006年高考数学复习易做易错题选
平面向量
一、选择题：
1．（如中）在ABC ?中,?===60,8,5C b a ,则CA BC ?的值为 ( )
A 20
B 20-
C 320
D 320-
错误分析:错误认为?==60C ,从而出错. 答案: B
略解: ?=120,
故CA BC ?202185cos -=??
?
?
?-??=?. 2．（如中）关于非零向量a
和b ，有下列四个命题：
（1）“b a b a +=+”的充要条件是“a 和b 的方向相同”； （2）“b a b a -=+” 的充要条件是“a 和b 的方向相反”； （3）“b a b a -=+” 的充要条件是“a 和b 有相等的模”； （4）“b a b a -=-” 的充要条件是“a 和b 的方向相同”；
其中真命题的个数是 （ ）
A 1
B 2
C 3
D 4
错误分析:对不等式b a b a b a
+≤±≤-的认识不清.
答案: B.
3．(石庄中学)已知O 、A 、B 三点的坐标分别为O(0,0)，A(3，0)，B(0，3)，是P 线段AB
上且 AP =t AB (0≤t ≤1)则OA 2OP 的最大值为 （
）
A ．3
B ．6
C ．9
D ．12
正确答案：C 错因：学生不能借助数形结合直观得到当|OP |cos α最大时，OA 2OP
即为最大。
4．(石庄中学)若向量 a =(cos α,sin α) ， b =()ββsin ,cos ， a 与b 不共线，则a 与
b 一定满足（ ）
A ． a 与b 的夹角等于α-β
B ．a ∥b
C ．(a +b )⊥(a -b )
D ． a ⊥b
正确答案：C 错因：学生不能把a 、b 的终点看成是上单位圆上的点，用四边形法则来处理问题。
5．(石庄中学)已知向量 a =(2cos ?，2sin ?)，?∈(
π
π
,2
)， b =（0,-1)，则 a 与 b 的
夹角为( )
A ．π32
-?
B ．
2
π
+? C ．?-
2
π
D ．?
正确答案：A 错因：学生忽略考虑a 与b 夹角的取值范围在[0，π]。
6．(石庄中学)O 为平面上的定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，若
( OB -OC )2(OB +OC -2OA )=0，则?ABC 是（
）
A ．以A
B 为底边的等腰三角形
B ．以B
C 为底边的等腰三角形 C ．以AB 为斜边的直角三角形
D ．以BC 为斜边的直角三角形
正确答案：B 错因：学生对题中给出向量关系式不能转化：2OA 不能拆成(OA +OA )。 7．(石庄中学)已知向量M={ a | a =(1,2)+λ(3,4) λ∈R}， N={a |a =(-2,2)+ λ(4,5)
λ∈R }，则M ?N=（ ）
A ｛（1，2）｝
B {})2,2(),2,1(--
C {})2,2(--
D φ
正确答案：C 错因：学生看不懂题意，对题意理解错误。
8．已知k Z ∈，(,1),(2,4)==
AB k AC ，若AB ≤ ，则△ABC 是直角三角形的概率是（ C ） A ．
17
B ．27
C ．
37
D ．
47
分析：由AB ≤
k Z ∈知{}3,2,1,0,1,2,3k ∈---，若
3eud 教育网 https://www.doczj.com/doc/d04960355.html, 百万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！ (,1)(2,4)== 与AB k AC 垂直，则2302+=?=-k k ；若(2,3)=-=--
B C A B A C k 与(,1)AB k =
垂直，则2230--=k k 13?=-或k ，所以△ABC 是直角三角形的概率是
37
.
9．(磨中)设a 0为单位向量，（1）若a 为平面内的某个向量，则a=|a|2a 0;(2)若a 与a 0平行，则a =|a |2a 0；（3）若a 与a 0平行且|a |=1，则a =a 0。上述命题中，假命题个数是（ ）
A.0
B.1
C.2
D.3
正确答案：D 。
错误原因：向量的概念较多，且容易混淆，注意区分共线向量、平行向量、同向向量等概念。
10．(磨中)已知|a |=3,|b|=5，如果a ∥b ，则a 2b = 。
正确答案：。±15。 错误原因：容易忽视平行向量的概念。a 、b 的夹角为0°、180°。
11．(磨中)O 是平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足
),0[+∞∈+
+=λλOA OP ,则P 的轨迹一定通过△ABC 的( )
(A)外心 (B)内心 (C)重心 (D)垂心 正确答案：B 。
错误原因：对),0[),+∞∈+
+=λλOA OP
+
与∠BAC 的角平分线有关。
12．(磨中)如果,0a b a c a ?=?≠
且，那么 （ ）
A ．b c =
B ．b c λ=
C ． b c ⊥
D ．,b c
在a 方向上的投影相等
正确答案：D 。
错误原因：对向量数量积的性质理解不够。
13．（城西中学）向量→
AB ＝（3，4）按向量a =(1,2)平移后为 （ ） A 、（4，6） B 、（2，2） C 、（3，4） D 、（3，8） 正确答案： C
错因：向量平移不改变。
14．（城西中学）已知向量(2,0),(2,2),)O B O C C A a a ===
则向量,O A O B
的夹角范围是（ ）
A 、[π/12，5π/12]
B 、[0，π/4]
C 、[π/4，5π/12]
D 、 [5π/12，π/2] 正确答案：A
错因：不注意数形结合在解题中的应用。
15．（城西中学）将函数y=2x 的图象按向量 →
a 平移后得到y=2x+6的图象，给出以下四个
命题：① →
a 的坐标可以是（-3，0） ②→
a 的坐标可以是（-3，0）和（0，6） ③→
a 的坐标
可以是（0，6） ④→
a 的坐标可以有无数种情况，其中真命题的个数是 （ ）
A 、1
B 、2
C 、3
D 、4 正确答案：D
错因：不注意数形结合或不懂得问题的实质。
16．（城西中学）过△ABC 的重心作一直线分别交AB,AC 于D,E,若,AB x AD = AC y AE =,(0≠xy ),则
y
x
11+的值为( )
A 4
B 3
C 2
D 1 正确答案：A
错因：不注意运用特殊情况快速得到答案。
17．（蒲中）设平面向量a =(－2，1)，b =(λ，－1)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值
范围是（ ） A 、),2()2,21(+∞?- B 、),2(+∞ C 、),2
1(+∞-
D 、)21,(-
-∞
答案：A
点评：易误选C ，错因：忽视a 与b 反向的情况。
18．（蒲中）设a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)，则下列a 与b 共线的充要条件的有（ ）
① 存在一个实数λ，使a =λb 或b =λa ； ② |a 2b |=|a | |b |； ③
2
12
1y y x x =
； ④ (a +b )//(a －b )
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个 答案：C
点评：①②④正确，易错选D 。
19．（江安中学）以原点O 及点A （5，2）为顶点作等腰直角三角形OAB ，使 90=∠A ，则AB 的坐标为（ ）。
A 、（2，-5）
B 、（-2，5）或（2，-5）
C 、（-2，5）
D 、（7，-3）或（3，7） 正解：B
设),(y x AB =，则由2
22
2
2
5||||y
x AB OA +=+?
= ①
而又由AB OA ⊥得025=+y x ② 由①②联立得5,25,2=-=-==y x y x 或。 ）
，（－或52)5,2(-=∴AB 误解：公式记忆不清，或未考虑到联立方程组解。
20．（江安中学）设向量),(),,(2211y x b y x a ==，则
2
12
1y y x x =是b a //的（ ）条件。
A 、充要
B 、必要不充分
C 、充分不必要
D 、既不充分也不必要
正解：C
若2
12
1y y x x =则b a y x y x //,01221∴=-，若b a //，有可能2x 或2y 为0，故选C 。
误解：b a //?01221=-y x y x ?
2
12
1y y x x =，此式是否成立，未考虑，选A 。
21．（江安中学）在?OAB 中，)s in 5,c o s 5(),sin 2,cos 2(ββαα==OB OA ，若
5-=?OB OA =-5，则OAB S ?=（ ）
A 、3
B 、2
3 C 、35 D 、
2
35
正解：D 。
∵5-=?OB OA ∴5cos ||||-=??V OB OA （LV 为OA 与OB 的夹角）
()()5cos sin 5)cos 5()sin 2(cos 22
22
2
-=?+?
+V β
βαα
∴2
1cos =
V ∴2
3sin =
V ∴2
35sin ||||2
1=??=
?V OB OA S OAB
误解：C 。将面积公式记错，误记为V OB OA S OAB sin ||||??=?
22．（丁中）在ABC ?中，a AB =，b BC =，有0
（D ）
A 、 锐角三角形
B 、直角三角形
C 、钝角三角形
D 、不能确定 错解：C
错因：忽视0
23．（丁中）设平面向量a )()1,()1,2(R b ∈-=-=λλ，，，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是 （A ）
A 、
），（），（∞+?-222
1 B 、（2，+）∞ C 、（—
），∞+2
1 D 、（-），
21-∞
错解：C
错因：忽视使用0
24．（薛中）已知A （3，7），B （5，2），向量)21(，a AB =→
→
按平移后所得向量是 。 A 、（2，-5）， B 、（3，-3）， C 、（1，-7） D 、以上都不是 答案：A
错解：B
错因：将向量平移当作点平移。
25．（薛中）已知ABC BC AB ABC ?>??→
→
则中,0中， 。
A 、锐角三角形
B 、直角三角形
C 、钝角三角形
D 、不能确定 答案：C
错解：A 或D
错因：对向量夹角定义理解不清
26．（案中）正三角形ABC 的边长为1，设,,b BC a AB ==c AC =，那么a c c b b a ?+?+?的值是 （ ） A 、32 B 、
2
1 C 、2
3
-
D 、2
1
-
正确答案：(B)
错误原因：不认真审题，且对向量的数量积及两个向量的夹角的定义模糊不清。
27．（案中）已知0≠-=?-?c b c a ，且不垂直和b a ，则()
c b a b a ??-与 （ ）
A 、相等
B 、方向相同
C 、方向相反
D 、方向相同或相反 正确答案：(D)
错误原因：受已知条件的影响，不去认真思考b a ?可正可负，易选成B 。
28．（案中）已知02
=+?+?c x b x a 是关于x 的一元二次方程，其中c b a ,,是非零向量，且向量b a 和不共线，则该方程 （ ） A 、至少有一根 B 、至多有一根
C 、有两个不等的根
D 、有无数个互不相同的根 正确答案：(B)
错误原因：找不到解题思路。
29．（案中）设c b a ,,是任意的非零平面向量且互不共线，以下四个命题：
①()
0)(=??-??b a c c b a ++
③()()
垂直不与c b a c a c b ??-?? ④若c b a b a 与则?⊥,不平行 其中正确命题的个数是
（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 正确答案：(B)
错误原因：本题所述问题不能全部搞清。
二填空题：
1．（如中）若向量a =)(x x 2,，b =)(2,3x -，且a ，b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是______________.
错误分析：只由b a ,的夹角为钝角得到,0
,夹角为钝
角的充要条件,因为b a ,的夹角为
180时也有,0
04322<+-=x x
解得0 4> x (1) 又由b a ,共线且反向可得3 1-=x (2) 由(1),(2)得x 的范围是 ? ? ???- ∞-31,?? ? ??+∞??? ??-,3 4 0,31 答案: ? ????- ∞-31,?? ? ??+∞??? ??-,340,31 . 2．（一中）有两个向量1(1,0) e = ，2(0,1) e = ，今有动点P ，从0(1,2) P -开始沿着与向量12 e e + 相同的方向作匀速直线运动，速度为12||e e + ；另一动点Q ，从0(2,1)Q --开始沿着与向量 12 32e e + 相同的方向作匀速直线运动，速度为12|32|e e + ．设P 、Q 在时刻0 t =秒时分别在 0P 、0Q 处，则当00PQ P Q ⊥ 时，t = 秒．正确答案：2 （薛中）1、设平面向量),1,(),1,2(-=-=→ → λb a 若→ →b a 与的夹角是钝角，则λ的范围是 。 答案：),2()2,2 1(+∞?- 错解：) ,2 1(+∞- 错因：“0 →b a ”与“→ → b a 和的夹角为钝角”不是充要条件。 3．（薛中）→ →b a ,是任意向量，给出：○ 1,→ → =b a ○2→→=b a ，○3→ →b a 与方向相反，○4,00→→→→==b a 或○5→→b a ,都是单位向量，其中 是→ →b a 与共线的充分不必要条件。 答案：○1○3○4 错解：○ 1○3 错因：忽略→ 0方向的任意性，从而漏选。 4．（案中）若()()方向在则b c c a b a ,0,7,4,3,2=+-==上的投影为 。 正确答案：5 65- 错误原因：投影的概念不清楚。 5．（案中）已知o 为坐标原点，()(),5,5,1,1-=-=nm om 集合{} oq op or A ,,2|==A ∈,且()，则且0,≠∈=λλλR mq mp =?mq mp 。 正确答案：46 错误原因：看不懂题意，未曾想到数形结合的思想。 三、解答题： 1．（如中）已知向量??? ? ?-=??? ??=2sin ,2cos ,23sin ,23cos x x b x x a ,且, 2,0?? ? ???∈ πx 求 (1) b a ?及b a +; (2)若()b a b a x f +-?=λ2的最小值是2 3 -,求实数λ的值. 错误分析:(1)求出b a +=x 2cos 22+后,而不知进一步化为x cos 2,人为增加难 度; (2)化为关于x cos 的二次函数在[]1,0的最值问题,不知对对称轴方程讨论. 答案: (1)易求x b a 2cos =? , b a +=x cos 2 ; (2) ()b a b a x f +-?=λ2=x x cos 222cos ?-λ=1cos 4cos 22 --x x λ =()12cos 222 ---λλx ?? ? ? ? ? ∈2, 0πx []1,0c o s ∈∴x 从而:当0≤λ时,()1 min -=x f 与,0≤λ 不合题意; 当10<<λ时,()2 1,23122 min = ∴- =--=λλx f ; 当1≥λ时,(),2 341min -=-=λx f 解得8 5=λ,不满足1≥λ; 综合可得: 实数λ的值为 2 1. 2．（如中）在ABC ?中,已知()()k AC AB ,1,3,2==,且ABC ?的一个内角为直角,求实数k 的值. 错误分析:是自以为是,凭直觉认为某个角度是直角,而忽视对诸情况的讨论. 答案: (1)若,90?=∠BAC 即,AC AB ⊥ 故0=?AC AB ,从而,032=+k 解得3 2-=k ; (2)若,90?=∠BCA 即AC BC ⊥,也就是0 =?AC BC ,而 (),3,1--=-=k AB AC BC 故()031=-+-k k ,解得2 133± = k ; (3)若,90?=∠ABC 即AB BC ⊥,也就是,0=?AB BC 而()3,1--=k BC , 故()0332=-+-k ,解得.311= k 综合上面讨论可知,3 2-=k 或2 13 3± = k 或.3 11= k 3eud 教育网 https://www.doczj.com/doc/d04960355.html, 百万教学资源，完全免费，无须注册，天天更新！ 3．（石庄中学）已知向量m=(1,1)，向量n →与向量m → 夹角为π4 3 ，且m →2n → =-1， (1)求向量n → ； (2)若向量n → 与向量q → =(1,0)的夹角为 2 π ，向量 p → =(cosA,2cos 2 2 c )，其中A 、C 为?ABC 的 内角，且A 、B 、C 依次成等差数列，试求|n → +p → |的取值范围。 解：(1)设n → =(x,y) 则由 ,n →>=π4 3 得：cos >= n m n m → → →→??= 2 222 2 -=+? +y x y x ① 由m →2n → =-1得x+y=-1 ② 联立①②两式得???? ?-==1 y x 或?????=-=0 1 y x ∴n → =(0,-1)或(-1,0) (2) ∵ ,q → >= 2 π 得n → 2 q → =0 若n → =(1,0)则n → 2 q → =-1≠0 故n → ≠(-1,0) ∴n → =(0,-1) ∵2B=A+C ，A+B+C=π ?B= 3 π ∴C= A -3 2π n → + p → =(cosA,2cos 2 12 -c ) =(cosA,cosC) ∴|n → + p → |= C A 2 2 cos cos += 2 2cos 12 2cos 1C A ++ += 1 2 2cos 2cos ++C A = 1 2 ) 23 4cos( 2cos +-+A A π = 12 2sin 2 322cos 2cos +- - A A A = 12 2sin 2 32cos 2 1 +- A A = 1 2 )3 2cos(++ π A ∵0 2π ∴0<2A< 3 4π 3 53 23ππ π <+ 3 π )< 21 ∴|n → + p → |∈( 2 5, 2 2) 4．（石庄中学）已知函数f(x)=m |x-1|(m ∈R 且m ≠0)设向量θ2cos ,1(=→ a )，)1,2(=→ b ， )1,sin 4(θ=→ c ，)1,sin 2 1( θ=→ d ，当θ∈(0， 4 π )时，比较f(b a → → ?)与f(d c → → ?)的大小。 解：b a → → ?=2+cos2θ，d c → → ?=2sin 2θ+1=2-cos2θ f(b a → → ?)=m |1+cos2θ|=2mcos 2θ f(d c → → ?)=m |1-cos2θ|=2msin 2 θ 于是有f(b a → → ?)-f(d c → → ?)=2m(cos 2θ-sin 2θ)=2mcos2θ ∵θ∈(0, 4 π ) ∴2θ∈(0, 2 π ) ∴cos2θ>0 ∴当m>0时，2mcos2θ>0，即f(b a → → ?)>f(d c → → ?) 当m<0时，2mcos2θ<0，即f(b a →→ ?) c → → ?) 5．（石庄中学）已知∠A 、∠B 、∠C 为?ABC 的内角，且f(A 、B)=sin 22A+cos 22B-3sin2A-cos2B+2 (1)当f(A 、B)取最小值时，求∠C (2)当A+B= 2 π 时，将函数f(A 、B)按向量p →平移后得到函数f(A)=2cos2A 求p → 解：(1) f(A 、B)=(sin 22A-3sin2A+4 3)+(cos 22B-cos2B+ 4 1)+1 =(sin2A-2 3)2+(sin2B-2 1)2+1 当sin2A= 2 3,sin2B= 2 1时取得最小值， ∴A=30?或60?，2B=60?或120? C=180?-B-A=120?或90? (2) f(A 、B)=sin 22A+cos 22(A -2π )- 2 )2 ( 2cos 2sin 3+--A A π =22cos 2sin 32cos 2sin 22++-+A A A A =3 )3 32cos(23)3 2cos(2++ =++A A π p → =)3,23 ( ππ k + 6．（石庄中学）已知向量),1 1( ),1,(2 x mx b mx a -=-=（m 为常数），且a ,b 不共线，若 向量a ,b 的夹角落为锐角，求实数x 的取值范围. 解：要满足为锐角 只须b a ?>0且b a λ≠（R ∈λ） b a ?= x mx mx --1 2 = 1 2 2 -+-mx x mx mx = 01 >-mx x 即 x (mx-1) >0 1°当 m > 0时 x<0 或m x 1> 2°m<0时 x ( -mx+1) <0 01>< x m x 或 3°m=0时 只要x<0 综上所述：x > 0时，),1()0,(+∞-∞∈m x x = 0时，)0,(-∞∈x x < 0时，),0()1, (+∞-∞∈ m x 7．(磨中)已知a =（cos α，sin α）,b =（cos β,sin β），a 与b 之间有关系|k a +b |=3|a －k b |，其中k>0， （1）用k 表示a 2b ; （2）求a 2b 的最小值，并求此时a 2b 的夹角的大小。 解 （1）要求用k 表示a 2b ,而已知|k a +b |=3|a －k b |，故采用两边平方，得 |k a +b |2=(3|a －k b |)2 k 2a 2+b 2+2k a 2b =3(a 2+k 2b 2－2k a 2b ) ∴8k 2a 2b =(3－k 2)a 2+(3k 2－1)b 2 a 2b = k k k 8)13()3(2 2 2 2 b a -+- ∵a =(cos α，sin α),b =(cos β,sin β)， ∴a 2=1, b 2=1, ∴a 2b = k k k 81 332 2-+-= k k 41 2 + （2）∵k 2 +1≥2k ，即 k k 41 2 +≥k k 42= 2 1 ∴a 2b 的最小值为2 1， 又∵a 2b =| a |2|b |2cos γ，|a|=|b|=1 ∴ 2 1 =1313cos γ。 ∴γ=60°,此时a 与b 的夹角为60°。 错误原因：向量运算不够熟练。实际上与代数运算相同，有时可以在含有向量的式 子左右两边平方，且有|a +b |2=|(a +b )2|=a 2+b 2+2a 2b 或|a |2+|b |2+2a 2b 。 8．（一中）已知向量(cos ,sin )a αα= ，(cos ,sin )b ββ= ，5 a b -= ． （Ⅰ）求cos()αβ-的值； （Ⅱ）若02 π α<< ，02 π β- <<，且5sin 13 β=- ，求sin α的值． 解（Ⅰ）()()cos sin cos sin a b ααββ== ， ，，, ()cos cos sin sin a b αβαβ∴-=-- ，. 5 a b -= , 5 ∴= , 即 ()422c o s 5 αβ--=. ()3cos 5 αβ∴-= . （Ⅱ）0,0,0.2 2 π π αβαβπ<< -<<∴<-< ()3c o s 5 αβ-= ，()4sin .5αβ∴-= 5s i n 13 β=- ，12cos .13β∴= ()()()s i n s i n s i n c o s c o s s i n ααββαββ α β β∴=-+????=-+- 4123533 51351365 ??= ?+?-= ???. 欢迎访问 https://www.doczj.com/doc/d04960355.html, 1．在ABC ?中,M 是BC 的中点，AM=1,点P 在AM 上且满足学2AP PM =u u u r u u u u r ,则 ()PA PB PC ?+u u u r u u u r u u u r 等于 A 、49- B 、43- C 、43 D 、49 2．已知向量(1,2)=a ，(2,3)=-b ．若向量c 满足()//+c a b ，()⊥+c a b ，则c = （ ） A 、77 (,)93 B 、77(,)39-- C 、77(,)39 D 、77(,)93 -- 3．已知||8AB =u u u u r ，||5AC =u u u r ，则||BC uuu r 的取值范围是（ ） A 、]8,3[ B 、（3，8） C 、]13,3[ D 、（3，13） 4．设向量),(),,(2211y x b y x a ==，则 2 121y y x x =是b a //的（ ）条件。 A 、充要 B 、必要不充分 C 、充分不必要 D 、既不充分也不必要 5．下列命题： ①4 2 2 ||)()(=? ②??=??)()( ③ |a ·b |=|a |·|b | ④若a ∥,∥,则∥ ⑤∥，则存在唯一实数λ，使λ= ⑥若 ?=?，且≠，则= ⑦设21,e e 是平面内两向量，则对于平面内任何 一向量，都存在唯一一组实数x 、y ，使21e y e x a +=成立。 ⑧若|+|=|－ |则·=0。 ⑨·=0，则=或= 真命题个数为（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、3个以上 6．和a r = (3,－4)平行的单位向量是_________； 7．已知向量|||| a b p a b =+r r u r r r ，其中a r 、b r 均为非零向量，则||p u r 的取值范围是 . 8．若向量a =)(x x 2,，b =)(2,3x -，且a ，b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是______. 9．在四边形ABCD 中，AB u u u r =DC u u u r =（1，1）， BA BC BA BC BD +=u u u r u u u r u u r u u u r u u u r u u u r ，则四边形ABCD 考点1 平面向量的概念及其线性运算 1．平面向量a ＝(1，2)，b ＝(4，2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹 角，则m ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ． 1 D ．2 2． 在下列向量组中，能够把向量a ＝(3，2)表示出来的是( ) A ．e 1＝(0，0)，e 2＝(1，2) B ．e 1＝(－1，2)，e 2＝(5，－2) C ．e 1＝(3，5)，e 2＝(6，10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2，3) 考点2 平面向量基本定理及向量坐标运算 3．已知向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝( ) A ．－92 B ．0 C ．3 D.152 4．设0<θ<π2，向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan θ＝________． 考点3 平面向量的数量积及应用 5．已知向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(2，1)，且λa ＋b ＝0(λ∈R )，则|λ|＝___． 6．设向量a ＝(3，3)，b ＝(1，－1)．若(a ＋λb )⊥(a －λb )，则实数λ＝___． 7．已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的 夹角为β，则cos β＝________． 8．若向量a ，b 满足：＝1，(a ＋b )⊥a ，(＋b )⊥b ，则|＝______． 9．设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则＝______． 10．在△ABC 中，已知AB →·AC →＝tan A ，当A ＝π6 时，△ABC 的面积为______． 考点4 单元综合 11．在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1，0)，B (0，3)，C (3，0)，动点D 满足 |CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是________． 练习： 1.已知A ，B ，C 是圆O 上的三点，若1()2 AO AB AC =+，则AB 与AC 的夹角为 . （易错题精选）初中数学代数式难题汇编及答案 一、选择题 1．下列说法正确的是（） A ．若 A 、 B 表示两个不同的整式，则 A B 一定是分式 B ．()2442a a a ÷= C ．若将分式xy x y +中，x 、y 都扩大 3 倍，那么分式的值也扩大 3 倍 D ．若35,34m n ==则253 2m n -= 【答案】C 【解析】 【分析】 根据分式的定义、幂的乘方、同底数幂相除、分式的基本性质解答即可. 【详解】 A. 若 A 、B 表示两个不同的整式，如果B 中含有字母，那么称 A B 是分式.故此选项错误. B. ()244844a a a a a ÷=÷=，故故此选项错误. C. 若将分式xy x y +中，x 、y 都扩大 3 倍，那么分式的值也扩大 3 倍，故此选项正确. D. 若35,34m n ==则()22253 332544 m n m n -=÷=÷=，故此选项错误. 故选：C 【点睛】 本题考查的是分式的定义、幂的乘方、同底数幂相除、分式的基本性质，熟练掌握各定义、性质及运算法则是关键. 2．若2m ＝5，4n ＝3，则43n ﹣m 的值是( ) A ．910 B ．2725 C ．2 D ．4 【答案】B 【解析】 【分析】 根据幂的乘方和同底数幂除法的运算法则求解． 【详解】 ∵2m ＝5，4n ＝3， ∴43n﹣m= 3 4 4 n m = 3 2 (4) (2) n m = 3 2 3 5 = 27 25 故选B. 【点睛】 本题考查幂的乘方和同底数幂除法，熟练掌握运算法则是解题关键. 3．下列各运算中，计算正确的是( ) A．2a?3a＝6a B．(3a2)3＝27a6 C．a4÷a2＝2a D．(a+b)2＝a2+ab+b2 【答案】B 【解析】 试题解析：A、2a?3a=6a2，故此选项错误； B、（3a2）3=27a6，正确； C、a4÷a2=a2，故此选项错误； D、（a+b）2=a2+2ab+b2，故此选项错误； 故选B． 【点睛】此题主要考查了积的乘方运算以及同底数幂的除法运算、完全平方公式、单项式乘以单项式等知识，正确化简各式是解题关键． 4．下列计算正确的是（） A．a2+a3=a5B．a2?a3=a6C．（a2）3=a6D．（ab）2=ab2 【答案】C 【解析】 试题解析：A.a2与a3不是同类项，故A错误； B.原式=a5，故B错误； D.原式=a2b2，故D错误； 故选C. 考点：幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法． 5．如果多项式4x4+ 4x2+A是一个完全平方式，那么A不可能是（）． A．1 B．4 C．x6D．8x3 【答案】B 【解析】 【分析】 根据完全平方式的定义，逐一判断各个选项，即可得到答案． 【详解】 ∵4x4+ 4x2+1=（2x+1）2， ∴A=1，不符合题意， ∵4x4+ 4x2+ 4不是完全平方式， 高中数学易错题举例解析 高中数学中有许多题目，求解的思路不难，但解题时，对某些特殊情形的讨论，却很容易被忽略。也就是在转化过程中，没有注意转化的等价性，会经常出现错误。本文通过几个例子，剖析致错原因，希望能对同学们的学习有所帮助。加强思维的严密性训练。 ● 忽视等价性变形，导致错误。 ??? x >0 y >0 ? ??? x + y >0 xy >0 ，但 ??? x >1 y >2 与 ??? x + y >3 xy >2 不等价。 【例1】已知f(x) = a x + x b ，若,6)2(3,0)1(3≤≤≤≤-f f 求)3(f 的范围。 错误解法 由条件得?? ? ??≤+≤≤+≤-62230 3b a b a ②① ②×2－① 156≤≤a ③ ①×2－②得 32 338-≤≤- b ④ ③+④得 .3 43 )3(310,34333310≤≤≤+≤f b a 即 错误分析 采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数b x ax x f + =)(，其值是同时受b a 和制约的。当a 取最大（小）值时，b 不一定取最大（小）值，因而整个解题思路是错误的。 正确解法 由题意有?? ? ??+=+=22)2()1(b a f b a f , 解得： )],2()1(2[3 2 )],1()2(2[31f f b f f a -=-= ).1(9 5 )2(91633)3(f f b a f -=+=∴ 把)1(f 和)2(f 的范围代入得 .3 37)3(316≤≤f 在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。只有牢固地掌握基础知识，才能反思性地看问题。 ●忽视隐含条件，导致结果错误。 【例2】 (1) 设βα、是方程0622 =++-k kx x 的两个实根，则2 2 )1()1(-+-βα的最小值是 平面向量易错题解析 1.你熟悉平面向量的运算（和、差、实数与向量的积、数量积）、运算性质和运算的几何意义吗？ 2.你通常是如何处理有关向量的模（长度）的问题？（利用2 2 ||→→ =a a ；22||y x a +=） 3.你知道解决向量问题有哪两种途径？ （①向量运算；②向量的坐标运算） 4.你弄清“02121=+?⊥→ → y y x x b a ”与“0//1221=-?→ → y x y x b a ”了吗？ [问题]：两个向量的数量积与两个实数的乘积有什么区别？ （1） 在实数中：若0≠a ，且ab=0,则b=0,但在向量的数量积中，若→→≠0a ，且0=?→ →b a ，不能推 出→ →=0b . （2） 已知实数)(,,,o b c b a ≠，且bc ab =，则a=c,但在向量的数量积中没有→ →→→→→=??=?c a c b b a . （3） 在实数中有)()(c b a c b a ??=??，但是在向量的数量积中)()(→ → → → → → ??≠??c b a c b a ，这是因为 左边是与→ c 共线的向量，而右边是与→ a 共线的向量. 5.正弦定理、余弦定理及三角形面积公式你掌握了吗？三角形内的求值、化简和证明恒等式有什么特点？ 1.向量有关概念： （1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。如已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB 按向量a ＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0）） （2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的； （3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB 共线的单位向量是|| AB AB ±)； （4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； （5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：∥，规定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直 线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)；④三点A B C 、、共线? AB AC 、 共线； （6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－。 如下列命题：（1）若a b =，则a b =。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若A B D C =，则ABCD 是平行四边形。（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =。（5）若,a bb c ==，则a c =。（6）若//,//a b b c ，则//a c 。其中正确的是_______（答：（4）（5）） 2.向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，为基底，则平面内的任一向量a 可表示为 (),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量a 的坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。如果向量的起点在 原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。 3.平面向量的基本定理：如果e 1和e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使a =1λe 1＋2λe 2。 数学错题集 一、选择题 1、A、B是数轴上原点两旁的点，则它们表示的两个有理数是-----------------------------（） A、互为相反数 B、绝对值相等 C、是符号不同的数 D、都是负数 2、有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简|a-b|-|a+b|的结果是--------------------（） A、2a B、2b C、2a-2b D、2a+b 3、轮船顺流航行时m千米/小时，逆流航行时(m-6)千米/小时，则水流速度-----------------（） A、2千米/小时 B、3千米/小时 C、6千米/小时 D、不能确定 4、方程2x+3y=20的正整数解有---------------------------------------------------------（） A、1个 B、3个 C、4个 D、无数个 5、下列说法错误的是-------------------------------------------------------------------（）a b A. 两点确定一条直线 B 、线段是直线的一部分 C 、一条直线是一个平角 D 、把线段向两边延长即是直线 6.函数y=(m 2-1)x 2-(3m-1)x+2的图象与x 轴的交点情况是---------------------------------- ( ) A.当m ≠3时，有一个交点 B 、1±≠m 时，有两个交 C 、当1±=m 时，有一个交点 D 、不论m 为何值，均无交点 7.如果两圆的半径分别为R 和r （R>r ），圆心距为d ，且(d-r)2=R 2，则两圆的位置关系是---------（ ） A 、内切 B 、外切 C 、内切或外切 D 、不能确定 8、在数轴上表示有理数a 、b 、c 的小点分别是A 、B 、C 且b 高考数学平面向量专题卷（附答案） 一、单选题（共10题；共20分） 1.已知向量，则＝（） A. B. C. 4 D. 5 2.若向量，，若，则 A. B. 12 C. D. 3 3.已知平面向量，，且，则＝（） A. B. C. D. 4.已知平面向量、，满足，若，则向量、的夹角为（） A. B. C. D. 5.在中，的中点为，的中点为，则（） A. B. C. D. 6.已知平面向量不共线，且，，记与的夹角是，则最大时， （） A. B. C. D. 7.在中，，AD是BC边上的高，则等于（） A. 0 B. C. 2 D. 1 8.已知，则的取值范围是（） A. [0，1] B. C. [1，2] D. [0，2] 9.已知向量，的夹角为，且，则的最小值为（） A. B. C. 5 D. 10.已知椭圆：上的三点，，，斜率为负数的直线与轴交于，若原点是的重心，且与的面积之比为，则直线的斜率为（） A. B. C. D. 二、填空题（共8题；共8分） 11.在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，﹣1），B（﹣3，﹣4）两点，若点C在∠AOB的平分线上，且 ，则点C的坐标是________． 12.已知单位圆上两点满足，点是单位圆上的动点，且，则 的取值范围为________． 13.已知正方形的边长为1，，，，则________. 14.在平面直角坐标系中，设是函数（）的图象上任意一点，过点向直线 和轴作垂线，垂足分别是，，则________． 15.已知为锐角三角形，满足，外接圆的圆心为，半径为1，则的取值范围是________. 16.设是边长为的正六边形的边上的任意一点，长度为的线段是该正六边形外接圆的一条动弦，则的取值范围为________. 17.设的外接圆的圆心为，半径为2，且满足，则 的最小值为________. 18.如图，在中，，点，分别为的中点，若，，则 ________. 三、解答题（共6题；共60分） 19.的内角，，所对的边分别为，，．向量与平行．（Ⅰ）求； （Ⅱ）若，求的面积． 20.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），已知点，点是曲线上任意一点，点为的中点，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系. 初中数学易错题 一、选择题 1、A、B是数轴上原点两旁的点，则它们表示的两个有理数是（） A、互为相反数 B、绝对值相等 C、是符号不同的数 D、都是负数 2、有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简|a-b|-|a+b|的结果是（） A、2a B、2b b C、2a-2b D、2a+b 3、轮船顺流航行时m千米/小时，逆流航行时(m-6)千米/小时，则水流速度（） A、2千米/小时 B、3千米/小时 C、6千米/小时 D、不能确定 4、方程2x+3y=20的正整数解有（） A、1个 B、3个 C、4个 D、无数个 5、下列说法错误的是（） A、两点确定一条直线 B、线段是直线的一部分 C、一条直线不是平角 D、把线段向两边延长即是直线 6、函数y=(m2-1)x2-(3m-1)x+2的图象与x轴的交点情况是 ( ) A、当m≠3时，有一个交点 B、1 m时，有两个交点 ≠ ± C、当1 m时，有一个交点 D、不论m为何值，均无交点 = ± 7、如果两圆的半径分别为R和r（R>r），圆心距为d，且(d-r)2=R2，则 两圆的位置关系是（ ） A 、内切 B 、外切 C 、内切或外切 D 、不能确定 8、在数轴上表示有理数a 、b 、c 的小点分别是A 、B 、C 且b 高考数学平面向量试题汇编 已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r ，那么 （ Ａ ） Ａ．AO OD =u u u r u u u r Ｂ．2AO OD =u u u r u u u r Ｃ．3AO OD =u u u r u u u r Ｄ．2AO OD =u u u r u u u r （辽宁3） 若向量a 与b 不共线，0≠g a b ，且?? ??? g g a a c =a -b a b ，则向量a 与c 的夹角为（ D ） A ．0 B ． π6 C ． π3 D ． π2 （辽宁6） 若函数()y f x =的图象按向量a 平移后，得到函数(1)2y f x =+-的图象，则向量a =（ A ） A ．(12)--， B ．(12)-， C ．(12)-， D ．(12)， （宁夏，海南4） 已知平面向量(11) (11)==-，，，a b ，则向量13 22 -=a b （ Ｄ ） Ａ．(21)--， Ｂ．(21)-， Ｃ．(10)-， Ｄ．(12)， （福建4） 对于向量，，a b c 和实数λ，下列命题中真命题是（ B ） A ．若=0g a b ，则0a =或0b = B ．若λ0a =，则0λ=或=0a C ．若2 2 =a b ，则=a b 或-a =b D ．若g g a b =a c ，则b =c （湖北2） 将π2cos 36x y ??=+ ???的图象按向量π24?? =-- ??? ，a 平移，则平移后所得图象的解析式为 （ Ａ ） Ａ．π2cos 234x y ?? =+- ??? Ｂ．π2cos 234x y ?? =-+ ??? Ｃ．π2cos 2312x y ?? =-- ??? Ｄ．π2cos 2312x y ?? =++ ??? （湖北文9） 设(43)=，a ， a 在 b 上的投影为2 ，b 在x 轴上的投影为2，且||14≤b ，则b 为（ Ｂ ） A ．(214)， B ．227? ?- ???， C ．227??- ??? ， D ．(28)， （湖南4） 设，a b 是非零向量，若函数()()()f x x x =+-g a b a b 的图象是一条直线，则必有（ A ） A ．⊥a b B ．∥a b C ．||||=a b D ．||||≠a b （湖南文2） 若O E F ，，是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（ B ） A ．EF OF OE =+u u u r u u u r u u u r B ．EF OF OE =-u u u r u u u r u u u r C ．EF OF OE =-+u u u r u u u r u u u r D ．EF OF O E =--u u u r u u u r u u u r （四川7） 设A ｛a ,1｝，B ｛2，b ｝，C ｛4,5｝，为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若方向 在与→ →→OC OB OA 上的投影相同，则a 与b 满足的关系式为 （ A ） (A)354=-b a (B)345=-b a (C)1454=+b a (D)1445=+b a （天津10） 设两个向量22 (2cos )λλα=+-，a 和sin 2 m m α? ?=+ ?? ? ，b ，其中m λα，，为实数．若2=a b ，则 m λ 的取值范围是（ Ａ ） Ａ．[-6，1] Ｂ．[48]， Ｃ．（-6，1] Ｄ．[-1，6] （浙江7） 新数学《平面向量》试卷含答案 一、选择题 1．如图，圆O 是等边三角形ABC 的外接圆，点D 为劣弧AC 的中点，则OD =u u u r （ ） A ．2133BA AC +u u u r u u u r B ．2133BA A C -u u u r u u u r C ．1233BA AC +u u u r u u u r D ．4233BA AC +u u u r u u u r 【答案】A 【解析】 【分析】 连接BO ，易知B ，O ，D 三点共线，设OD 与AC 的交点为E ，列出相应式子得出结论. 【详解】 解：连接BO ，易知B ，O ，D 三点共线，设OD 与AC 的交点为E ， 则()() 221121332333 OD BO BE BA BC BA BA AC BA AC ===?+= ++=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r . 故选：A. 【点睛】 本题考查向量的表示方法，结合几何特点，考查分析能力，属于中档题. 2．已知正ABC ?的边长为4，点D 为边BC 的中点，点E 满足AE ED u u u r u u u r =，那么EB EC ?u u u r u u u r 的值为（ ） A ．8 3 - B ．1- C ．1 D ．3 【答案】B 【解析】 【分析】 由二倍角公式得求得tan ∠BED ，即可求得cos ∠BEC ，由平面向量数量积的性质及其运算得直接求得结果即可． 【详解】 由已知可得：7 ， 又23 tan BED 3 BD ED ∠= == 所以22 1tan 1 cos 1tan 7 BED BEC BED -∠∠==-+∠ 所以1||cos 7717EB EC EB EC BEC ?? ?=∠=-=- ??? u u u r u u u r u u u r u u u r ‖ 故选B ． 【点睛】 本题考查了平面向量数量积的性质及其运算及二倍角公式，属中档题． 3．若向量a b r r ，的夹角为3 π ，|2|||a b a b -=+r r r r ，若()a ta b ⊥+r r r ，则实数t =（ ） A ．1 2 - B ． 12 C 3 D ．3 【答案】A 【解析】 【分析】 由|2|||a b a b -=+r r r r 两边平方得22b a b =?r r r ，结合条件可得b a =r r ，又由()a ta b ⊥+r r r ，可得20t a a b ?+?=r r r ，即可得出答案. 【详解】 由|2|||a b a b -=+r r r r 两边平方得2222442a a b b a a b b -?+=+?+r r r r r r r r . 即22b a b =?r r r ，也即22cos 3 b a b π =r r r ，所以b a =r r . 又由()a ta b ⊥+r r r ，得()0a ta b ?+=r r r ，即20t a a b ?+?=r r r . 所以222 1122b a b t a b ?=-=-=-r r r r r 故选：A 初中数学易错题及答案 （A ）2 （B （C ）2± （D ） 2，2 的平方根为2.若|x|=x ，则x 一定是（ ） A 、正数 B 、非负数 C 、负数 D 、非正数 答案：B （不要漏掉0） 3.当x_________时，|3-x|=x-3。答案：x-3≥0，则x3 4. 2 2___分数（填“是”或“不是”） 答案：2 2是无理数，不是分数。 5.16的算术平方根是______。 答案：16＝4，4的算术平方根＝2 6.当m=______时，2m -有意义 答案：2 m -≥0，并且2m ≥0，所以m=0 7分式 4 622--+x x x 的值为零，则x=__________。 答案： 226040 x x x ?+-=? ?-≠?? ∴122,32x x x ==-??≠±?∴3x =- 8.关于 x 的一元二次方程2(2)2(1)10k x k x k ---++=总有实数根．则K_______ 答案：[]2 20 2(1)4(2)(1)0 k k k k -≠???----+≥??∴3k ≤且2k ≠ 9.不等式组2, .x x a >-??>? 的解集是x a >，则a 的取值范围是． （A ）2a <-，（B ）2a =-，（C ）2a >-，（D ）2a ≥-． 答案：D 10.关于x 的不234 a ≤<等式40x a -≤的正整数解是1和2；则a 的取值范围是_________。 答案：234a ≤< 11.若对于任何实数 x ，分式 2 1 4x x c ++总有意义，则c 的值应满足______． 答案：分式总有意义，即分母不为0，所以分母240x x c ++=无解，∴C 〉4 第二讲平面向量的解题技巧 【命题趋向】 由2007年高考题分析可知： 1．这部分内容高考中所占分数一般在10分左右． 2．题目类型为一个选择或填空题，一个与其他知识综合的解答题． 3．考查内容以向量的概念、运算、数量积和模的运算为主． 【考点透视】 “平面向量”是高中新课程新增加的内容之一，高考每年都考，题型主要有选择题、填空题，也可以与其他知识相结合在解答题中出现，试题多以低、中档题为主． 透析高考试题，知命题热点为： 1．向量的概念，几何表示，向量的加法、减法，实数与向量的积． 2．平面向量的坐标运算，平面向量的数量积及其几何意义． 3．两非零向量平行、垂直的充要条件． 4．图形平移、线段的定比分点坐标公式． 5．由于向量具有“数”与“形”双重身份，加之向量的工具性作用，向量经常与数列、三角、解析几何、立体几何等知识相结合，综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题，处理有关长度、夹角、垂直与平行等问题以及圆锥曲线中的典型问题等． 6．利用化归思想处理共线、平行、垂直问题向向量的坐标运算方面转化，向量模的运算转化为向量的运算等；利用数形结合思想将几何问题代数化，通过代数运算解决几何问题．【例题解析】 1. 向量的概念，向量的基本运算 (1)理解向量的概念，掌握向量的几何意义，了解共线向量的概念. (2)掌握向量的加法和减法. (3)掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件. (4)了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算. (5)掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件. (6)掌握平面两点间的距离公式. 例1（2007年北京卷理）已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且 2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r ，那么（ ） Ａ．AO OD =u u u r u u u r Ｂ．2AO OD =u u u r u u u r Ｃ．3AO OD =u u u r u u u r Ｄ．2AO OD =u u u r u u u r 命题意图:本题考查能够结合图形进行向量计算的能力． 解： 22()(,22.OA OB OC OA DB OD DC OD DB DC OA OD AO OD ∴∴++=++++=-+==)=0,0,u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 故选A ． 例2．（2006年安徽卷）在ABCD Y 中，,,3AB a AD b AN NC ===u u u r r u u u r r u u u r u u u r ，M 为BC 的中点，则MN =u u u u r ______.（用a b r r 、表示） 命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法,以及实数与向量的积. 解：343A =3()AN NC AN C a b ==+u u u r u u u r u u u r u u u r r r 由得，12 AM a b =+u u u u r r r ， 所以,3111()()4 2 4 4 MN a b a b a b =+-+=-+u u u u r r r r r r r . 例3．（2006年广东卷）如图1所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量 =CD ( ) （A ）BA BC 2 1+- （B ） BA BC 2 1-- （C ） BA BC 2 1- （D ）BA BC 2 1+ 命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法运算能力. 解：BA BC BD CB CD 2 1+-=+=，故选A. 例4． ( 2006年重庆卷)与向量a r =71,,22b ? ?= ???r ?? ? ??27,21的夹解相等，且模为1的向量是 ( ) (A) ?? ?- ??53,5 4 (B) ?? ?- ??53,5 4或?? ? ??-53,54 （C ）?? ?- ??31,3 22 （D ）?? ?- ??31,3 22或?? ? ? ?- 31,3 22 命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和用平面向量处理有关角度的问题. 解：设所求平面向量为,c r 由433,,, 1. 555c c ???? =-= ? ?????r 4或-时5 另一方面,当222274134312525,,cos ,. 55271432255a c c a c a c ?? ?+?- ?????? =-=== ????????????+++- ? ? ? ?????????r r r r r r r 时 初中数学选择、填空、简答题 易错题集锦及答案 一、选择题 1、A 、B 是数轴上原点两旁的点，则它们表示的两个有理数是（ C ） A 、互为相反数 B 、绝对值相等 C 、是符号不同的数 D 、都是负数 2、有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示，则化简|a-b|-|a+b|的结果是（ A ） A 、2a B 、2b C 、2a-2b D 、2a+b 3、轮船顺流航行时m 千米/小时，逆流航行时(m-6)千米/小时，则水流速度（ B ） A 、2千米/小时 B 、3千米/小时 C 、6千米/小时 D 、不能确定 4、方程2x+3y=20的正整数解有（ B ） A 、1个 B 、3个 C 、4个 D 、无数个 5、下列说法错误的是（ C ） A 、两点确定一条直线 B 、线段是直线的一部分 C 、一条直线是一个平角 D 、把线段向两边延长即是直线 6、函数y=(m 2-1)x 2 -(3m-1)x+2的图象与x 轴的交点情况是 ( C ) A 、当m ≠3时，有一个交点 B 、1±≠m 时，有两个交 C 、当1±=m 时，有一个交点 D 、不论m 为何值，均无交点 7、如果两圆的半径分别为R 和r （R>r ），圆心距为d ，且(d-r)2=R 2 ，则两圆的位置关系是（ B ） A 、内切 B 、外切 C 、内切或外切 D 、不能确定 8、在数轴上表示有理数a 、b 、c 的小点分别是A 、B 、C 且b 历年高考数学复习易错题选 平面向量 一、选择题： 1．在ABC ?中,?===60,8,5C b a ,则CA BC ?的值为 ( ) A 20 B 20- C 320 D 320- 错误分析: 错误认为?==60C ,从而出错. 答案: B 略解: 由题意可知?=120, 故CA BC ? =202185cos -=?? ? ? ?-??=. 2．关于非零向量a 和b ，有下列四个命题： （1）“b a b a +=+”的充要条件是“a 和b 的方向相同”； （2）“b a b a -=+” 的充要条件是“a 和b 的方向相反”； （3）“b a b a -=+” 的充要条件是“a 和b 有相等的模”； （4）“b a b a -=-” 的充要条件是“a 和b 的方向相同”； 其中真命题的个数是 （ ） A 1 B 2 C 3 D 4 错误分析:对不等式b a b a b a +≤±≤-的认识不清. 答案: B. 3．已知O 、A 、B 三点的坐标分别为O(0,0)，A(3，0)，B(0，3)，是P 线段AB 上且 AP =t AB (0≤t ≤1)则OA 2OP 的最大值为 （ ） A ．3 B ．6 C ．9 D ．12 正确答案：C 错因：学生不能借助数形结合直观得到当|OP |cos α最大时，OA 2OP 即为最大。 4．若向量 a =(cos α,sin α) ， b =()ββsin ,cos ， a 与b 不共线，则a 与b 一定满足 （ ） A ． a 与b 的夹角等于α-β B ．a ∥b C ．(a +b )⊥(a -b ) D ． a ⊥b 正确答案：C 错因：学生不能把a 、b 的终点看成是上单位圆上的点，用四边形法则来处理问题。 5．已知向量 a =(2cos ?，2sin ?)，?∈(π π ,2 )， b =（0,-1)，则 a 与 b 的夹角为( ) A ．π32 -? B ． 2 π +? C ．?-2 π D ．? 正确答案：A 错因：学生忽略考虑a 与b 夹角的取值范围在[0，π]。 6．O 为平面上的定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，若( OB -OC )2(OB +OC -2OA )=0， 则?ABC 是（ ） A ．以A B 为底边的等腰三角形 B ．以B C 为底边的等腰三角形 C ．以AB 为斜边的直角三角形 D ．以BC 为斜边的直角三角形 正确答案：B 错因：学生对题中给出向量关系式不能转化：2OA 不能拆成(OA +OA )。 7．已知向量M={ a | a =(1,2)+λ(3,4) λ∈R}， N={a |a =(-2,2)+ λ(4,5) λ∈R }，则M ?N= （ ） A ｛（1，2）｝ B {})2,2(),2,1(-- C {})2,2(-- D φ 正确答案：C 错因：学生看不懂题意，对题意理解错误。 8．已知k Z ∈，(,1),(2,4)== AB k AC ，若AB ≤ ，则△ABC 是直角三角形的概率是（ C ） A ． 17 B ．27 C ． 37 D ． 47 分析： 由AB ≤ k Z ∈知{}3,2,1,0,1,2,3k ∈---，若 (,1)(2,4)== 与AB k AC 垂直，则2302+=?=-k k ；若(2,3) =-= -- B C A B A C k 与 (,1)AB k = 垂直，则2 230--=k k 13?=-或k ，所以△ABC 是直角三角形的概率是37 . 9．设a 0为单位向量，（1）若a 为平面内的某个向量，则a=|a|2a 0;(2)若a 与a 0平行，则a =|a |2a 0；（3）若a 与a 0平行且|a |=1，则a =a 0。上述命题中，假命题个数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 正确答案：D 。 初中数学经典易错题集锦 一、选择题 1、A 、B 是数轴上原点两旁的点，则它们表示的两个有理数是 -----------------------------（ ） A 、互为相反数 B 、绝对值相等 C 、是符号不同的数 D 、都是负数 2、有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示，则化简|a-b|-|a+b|的结果是--------------------（ ） A 、2a B 、2b C 、2a-2b D 、2a+b 3、轮船顺流航行时m 千米/小时，逆流航行时(m-6)千米/小时，则水流速度-----------------（ ） A 、2千米/小时 B 、3千米/小时 C 、6千米/小时 D 、不能确定 4、方程2x+3y=20的正整数解有---------------------------------------------------------（ ） A 、1个 B 、3个 C 、4个 D 、无数个 5、下列说法错误的是-------------------------------------------------------------------（ ） A. 两点确定一条直线 B 、线段是直线的一部分 C 、一条直线是一个平角 D 、把线段向两边延长即是直线 6.函数y=(m 2-1)x 2 -(3m-1)x+2的图象与x 轴的交点情况是---------------------------------- ( ) A.当m ≠3时，有一个交点 B 、1±≠m 时，有两个交 C 、当1±=m 时，有一个交点 D 、不论m 为何值，均无交点 7.如果两圆的半径分别为R 和r （R>r ），圆心距为d ，且(d-r)2=R 2 ，则两圆的位置关系是---------（ ） A 、内切 B 、外切 C 、内切或外切 D 、不能确定 8、在数轴上表示有理数a 、b 、c 的小点分别是A 、B 、C 且b向量易错题带规范标准答案
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