贵溪市实验中学2020-2021学年高二上学期12月月考（文科）
数学试卷
考试时间：120分钟 总分：150
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、 选择题：本大题共12小题。每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中 ，
只有一项是符合题目要求的。
1．某同学在研究中收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量（单位：万盒）数
据如下表所示，若x ，y 的线性回归方程为0.7y x a =+，则以下判断正确的是（ ）
A ．增加1个单位长度，则一定增加个单位长度
B ．x 减少1个单位长度，则y 必减少0.7个单位长度
C ．当6x =时，y 的预测值为8.1万盒
D ．线性回归直线0.7y x a =+，经过点()2,6
2．某次考试后计算出全体学生的平均分为90，方差为65；后来有两位学生反应，自
己的成绩被登记错误，一位学生的成绩为88分，记录成78分，另一位学生的成绩为80分，记录成90分，更正后，得到的平均分为x ，方差为2s ，则（ ）
A ．90x =，265s >
B ．290,65x s =<
C ．290,65x s ><
D ．290,65x s == 3．某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，则他等待的时
间不多于15分钟的概率为（ ）
A
．13
B ．
14 C ．15
D ．1
6
4．根据环境空气质量指数AQI 技术规定：AQI 在区间[0,50]、
[51,100]、[101,150]、[151,200]、[201,300]、(300,)+∞时，
其对应空气质量状况分别为优、良、轻度污染、中度污染、重度污染、严重污染.如图在这7天内，下列结论正确的是( )
A ．前4天AQI 的方差小于后3天AQI 的方差
B ．这7天空气质量状况为严重污染的天数为3
C ．这7天的平均空气质量状况为良
D ．空气质量状况为优的概率为2
7
5．若,x y 满足约束条件0,20,
1,x y x y x +≥??
-≥??≤?
，则32z x y =+的最大值为（ ）
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
6．如图所示，输入2m =，若输出的值为32，则判断框内应填入的条件为（ ）
A ．6n >
B ．6n <
C ．6n ≥
D ．6n ≤
7．下图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A ．283
π
-
B ．483
π
-
C ．8π-
D ．
1689
π
-
8．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1A B 上的动点（不含端点），则下列结论不正确的为（ ）
A ．平面CBP ⊥平面1B
B P B ．AP ⊥平面1CPD
C ．⊥AP BC
D ．//AP 平面11DD C C
9．张衡的数学著作《算罔论》中，他曾经得出结论：圆周率的平方除以十六等于八分之五.已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点
B A ,，若线段AB 的最小值为1-3，利用张衡的结论
可得该正方体的外接球的表面积为（ ）
A ．30
B ．1010
C ．1012
D ．36
10．已知直线012:1=-+y ax l 028:2=-++a ay x l ，若21//l l ，则a 的值为（ ） A ．4± B ．－4 C ．4
D ．2±
11．已知圆()
42
221:a a y x C =-+的圆心到直线02=--y x 的距离为22，
则圆1C
与圆
222:2440
C x y x y +--+=的位置关系是（ ）
A ．相交
B ．内切
C ．外切
D ．相离
12．直线063:1=-+
y x l 与圆心为()1,0M ，半径为5的圆相交于A ，B 两点，另一直线
03322:2=--+k y kx l 与圆M 交于C ，D 两点，则四边形ACBD 面积的最大值为（）
A ．5
2B ．102C ．
)5
21
D ．
)5
21
第Ⅱ卷
注意事项：
第Ⅱ卷共2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分
13．为了解网课学习效果，组织了一次网上测试．并利用分层抽样的方法从高中3个
年级的学生中随机抽取了150人的测试成绩，其中高一、高二年级各抽取了40人，50人，若高三年级有学生1200人，则该高中共有学生_________人． 14．已知{1,2,3,4}x ∈，{1,2,3}y ∈，则点(,)P x y 在直线5x y +=上的概率为______
15．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为||2y k x =+，曲线2C 的方程为22
(1)4x y ++=，
若1C 与2C 有且仅有三个公共点，则实数k 的值为_____．
16．在三棱锥P ABC -中，60ABC ∠=?，90PBA PCA ∠=∠=?，点P 到底面ABC 2，若三棱锥P ABC -的外接球表面积为6π，则AC 的长为_________ 三．解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.某种产品的广告费用支出x (百万)与销售额y (百万)之间有如下的对应数据：
x
2 4 5 6 8 y
30
40
60
50
70
（1）求回归直线方程；（2）据此估计广告费用为10(百万)时，销售收入y 的值. 18.从学校的2000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于65
分到145分之间，将统计结果按如下方式分成八组：第一组[65,75)，第二组[75,85)，…，第八组
[135,145]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分．
（1）求第七组的频率；
（2）用样本数据估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分；
（3）若从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中随机抽取2名，求他们的分差的绝对值小于10分的概率．
19.（1）求经过直线1l ：2350x y +-=与 2l ：71510x y ++=的交点，且平行于直线
230x y +-=的直线方程
（2）已知圆过点 ()21A -，，圆心在直线20x y +=上，且与直线10x y -
-=相切，求圆的方程．
20.已知圆C ：()()2
2
1316x y -+-=，直线l ：()()234220m x m y m ++++-=.
（1）无论m 取任何实数，直线l 必经过一个定点，求出这个定点的坐标； （2）当m 取任意实数时，直线l 和圆的位置关系有无不变性，试说明理由；
（3）判断直线l 被圆C 截得的弦何时最短，并求截得的弦最短时m 的值及弦的长度a . 21.如图，四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，且底面ABCD 为平行四边形，
若60DAB ∠=?，2AB =，1AD =.
（1）求证：面PAD ⊥面PBD ；
（2）若45PCD ∠=?，求点D 到平面PBC 的距离h .
22．如图1，在直角梯形ABCD 中，//AB DC ，90BAD ∠=?，4AB =，2AD =，
3DC =，点E 在CD 上，且2DE =，将ADE ?沿AE 折起，使得平面ADE ⊥平面ABCE （如图2）.O 为AE 中点.
（1）求证：DO ⊥平面ABCE ；
（2）求四棱锥D ABCE -的体积； （3）在线段BD 上是否存在点P ，使得//CP 平面
ADE ？若存在，求
BP
BD
的值；若不存在，请说明理由.
一、选择题（共60分）
贵溪市实验中学2020-2021学年高二上学期12月月考
高二（文科）数学答题卡
考场：
座号： 姓名：
考生须知
1、 考生答题前，在规定的地方准确填
写考号和姓名。
2、 选择题作答时，必须用2B 铅笔填
涂，如需要对答案进行修改，应使用绘图橡皮轻擦干净，
3、 非选择题必须用 0.5毫米黑色墨
水签字笔作答。严格按照答题要求，在答题卷对应题号指定的答题
区域内答题，切不可超出黑色边框，超出黑色边框的答案无效。
二、填空题（共20分，用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写）
13. 14. 15 16.
三、解答题（共70分，写出必要的解题步骤，超出答题区域答题无效）17题（本小题满分10分）
19题（本小题满分12分）
21题（本小题满分12分）
22题（本小题满分12分）
贵溪市实验中学2020-2021学年高二上学期12月月考（文科）
数学试卷答案
一，选择题：1-5 CBBDA 6-10 CBBCB 11-12 BA
二，填空题：
13 . 3000 14 . 1 4
15 .
4
3
-16 .3
三，解答题：17：(本小题10分)
解：（1）计算得
25
5
5
x==
，
250
50
5
y==
，
5
2
1
145
i
i
x
=
=
∑
，
5
1
1380
i i
i
x y
=
=
∑
.
于是可得
5
15
22
21
513805550
6.5
14555
5i i
i i i x y x y
b x x
==--??=
=
=-?-∑∑，
50 6.5517.5a y bx =-=-?=.
所以所求的线性回归方程为 6.517.5y x =+.
（2）根据上面求得的线性回归方程，当广告费用支出为10百万元时，
6.5101
7.582.5y =?+=(百万元)，
即广告费用支出为10百万元时，销售额大约为82.5百万元. 18：(本小题12分)
解：（1）由频率分布直方图得第七组的频率为：
1(0.0040.0120.0160.0300.0200.0060.004)100.08-++++++?=．
（2）用样本数据估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分为：
700.00410800.01210900.016101000.03010??+??+??+??+
1100.020101200.00610130??+??+0.008101400.00410102??+??=，
（3）样本成绩属于第六组的有0.00610503??=人，设为A ，B ，C ，样本成绩属于第八 组的有0.00410502??=人，设为a ，b ，从样本成绩属于第六组和第八组的所有学生中 随机抽取2名，有{,}A B ，{,}A C ，{,}C B ，{,}A a ，{,}A b ，{,}B a ，{,}B b ，
{,}C a ，{,}C b ，{,}a b 共10种，他们的分差的绝对值小于10分包含的基本事件有
{,}A B ，{,}A C ，{,}C B ，{,}a b ，共4种，∴他们的分差的绝对值小于10分的概率
42105
p =
=． 19：(本小题12分)
解：（1）．设要求的直线方程为：()23571510x y x y λ+-+++=， 化为()()()2+73+1550x y λλλ++-=， 又要求的直线与直线230x y +-=平行
所以
273155
123
λλλ++-=≠-， 所以1λ=，
所以要求的直线方程为：91840x y +-=； （2）由圆心在直线20x y +=上， 设圆心坐标为(),2a a -,
因为过()21A -，
且与直线10x y --=相切，
=
1a =或9a =
当1a =时，=，
此时圆的方程为()()22
122x y -+=+；
当9a =，此时圆的方程为：
()
()2
2
918338x y -++=；
所以，所求圆的方程为()()22
122x y -+=+或()()2
2
918338x y -++=.
20：(本小题12分)
解：（1）直线l ：()()234220m x m y m ++++-=可变形为
()()223420m x y x y ++++-=，
由2203420x y x y ++=??+-=?，解得：22x y =-??=?
，∴直线l 恒过()2,2-；
（2）圆心()1,3C
，4r =，∵()()
2
2
21231016--+-=<，∴直线l 过圆内一定点
()2,2P -，不论m 取何值时，直线l 和圆总相交；
（3）当直线l 垂直PC 时，截得的弦最短，
11PC k k ?=-，321123PC k -=
=+，123
34
m k m +=-=-+，∴9m =-.
最短的弦长a ===9m =-，a =
21：(本小题12分)
解：（1）∵1AD =，2AB =，60DAB ∠=?，根据余弦定理可得：
2222cos60BD AB AD AB AD =+-???.
∴BD =222AD BD AB +=，∴AD BD ⊥.
∵PD ⊥底面ABCD ，BD ?底面ABCD ，∴PD BD ⊥，又AD
PD D =，∴BD ⊥
平面PAD ，
∵BD ?平面PBD ，∴面PAD ⊥面PBD .
（2）由（1）可知BC BD ⊥，∴12BCD S BC BD =
??=
△
∵45PCD ∠=?，可得：2PD CD ==，∴123P BCD V -=
=
，
∵PC =
=PB =，1BC =，∴222BC PB PC +=，∴
PB BC ⊥，
∴12BCP S BC PB =
?=△，∴13D BCP V h -==
又∵P BCD D BCP V V --=，∴
63=
，解得：7
h =. 22．(本小题12分)
解：（1）证明：因为O 为AE 中点，
2AD DE ==，
所以DO AE ⊥.
因为平面ADE ⊥平面ABCE ，平面ADE
平面ABCE AE =，
DO ?平面ADE ，
所以DO ⊥平面ABCE .
（2）在直角三角形ADE 中，∵2AD DE ==，
∴AE =
∴1
2
DO AE =
= 所以四棱锥D ABCE -的体积为
111
(14)23323
D ABC
E ABCE V S DO -==??+?=
?梯形. （3）过点C 作//CF AE 交AB 于点F ，过点F 作//FP AD 交DB 于点P ，连接PC ，
因为//CF AE ，AE ?平面ADE ，CF ?平面ADE ， 所以//CF 平面ADE .
同理//PF 平面ADE ，又因为CF PF F ?=， 所以平面//PCF 平面ADE . 因为CP ?平面CFP ， 所以//CP 平面ADE .
所以在BD 上存在点P ，使得//CP 平面ADE .
∵//AE CF ，//AF CE ，∴四边形AECF 是平行四边形，
∴1AF CE ==， ∴3FB =， 又//PF AD ，
∴
3
4
BP BF BD AB ==.