1
1 5
2 5
25
8 25
9 2020 年高考文科数学《概率与统计》题型归纳与训练
【题型归纳】 题型一 古典概型 例 1
从甲、乙等5 名学生中随机选出2 人，则甲被选中的概率为（
）.
A.
B.
C.
D.
【答案】 【解析】 法有：
可设这 5 名学生分别是甲、乙、丙、丁、戊，从中随机选出 2 人的方
（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（甲，戊），（乙，丙），（乙，丁），（乙，戊）， （丙，丁），（丙，戊），（丁，戊），共有10 种选法，其中只有前 4 种是甲被选中，所以所求概率为 4
2
.故选 B.
10 5
例 2 将 2 本不同的数学书和 1 本语文书在书架上随机排成一行，则 2 本数学书相邻的概率为 .
【答案】 【解析】根据题意显然这是一个古典概型，其基本事件有：数 1，数 2，语; 数 1，语，数 2;数 2，数 1，语; 数 2，语，数 1;语，数 2，数 1; 语，数 1，数 2 共
B
2
3
2
1
4
π 8
1 2
??? = 4 p 2 - 4(3 p - 2) ≥ 0
? x + x = -2 p < 0 1 2 ? ? x x
= 3 p - 2 > 0 1 2
有 6 种，其中 2 本数学书相邻的有 4 种，则其概率为：
．
【易错点】列举不全面或重复,就是不准确 【思维点拨】直接列举,找出符合要求的事件个数. 题型二 几何概型 例 1
如图所示，正方形
ABCD 内的图形来自中国古代的太极 A
D
图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心
成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概
B
C
率是（ ）.
A.
B.
C.
D.
【答案】
【解析】不妨设正方形边长为a ，由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，所求概率为
.故选 B.
例 2 在区间[0, 5] 上随机地选择一个数的概率为
.
，则方程 x 2 +2 px +3 p - 2 = 0 有两个负根
【答案】
【解析】方程 x 2
+2 px +3 p - 2 = 0 有两个负根的充要条件是 即
B
π 4
p 2
3
p = 4 = 6 2 3
1 ? a ?
2 ?? ?
2
? 2 ? = 8
a 2
3
400
或 p ≥ 2 ，又因为 p ∈[0, 5] ，所以使方程 x 2 +2 px +3 p - 2 = 0 有两个负根的 p
【易错点】“有两个负根”这个条件不会转化.
【思维点拨】“有两个负根”转化为函数图像与 x 轴负半轴有两个交点.从而得到参数 p 的范围.在利用几何概型的计算公式计算即可. 题型三 抽样与样本数据特征 例 1
某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200 ，
， 300 ，100 件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品
中抽取60 件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取
件．
【答案】18
【解析】按照分层抽样的概念应从丙种型号的产品中抽取300 ? 60 1000
= 18 (件)．
例 2
已知样本数据
x 1 ， x 2 ， ??? ， x n 的均值 x = 5 ，则样本数据2x 1 +1 ， 2x 2 +1 ， ??? ， 2x n +1 的均值为 ．
【答案】11 【解析】
因为样本数据x 1 ， x 2 ， ??? ， x n 的均值x = 5 ，又样本数据2x 1 +1 ，
2x 2 +1
， ??? ， 2x n +1的和为2(x 1 + x 2 + + x n )+ n ，所以样本数据的均值为2x +1 ＝11.
例 3 某电子商务公司对10000 名网络购物者 2018 年度的消费情况进行统计，
3 2.
发现消费金额（单位：万元）都在区间[0.3，0.9] 内，其频率分布直方图如图所示. （1）直方图中的a = .
（2）在这些购物者中，消费金额在区间[0.5，0.9] 内的购物者的人数为.
a
/万万
【答案】a = 3 人数为0.6 ?10000 = 6000
【解析】由频率分布直方图及频率和等于1，可得
0.2 ? 0.1+ 0.8? 0.1+1.5? 0.1+ 2 ? 0.1+ 2.5? 0.1+a ? 0.1 = 1 ，解之得a = 3 .
于是消费金额在区间[0.5，0.9]内频率为0.2 ?0.1+ 0.8?0.1+ 2 ?0.1+ 3?0.1 = 0.6 ，
所以消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为0.6?10000=6000.
例4 某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160,180)，
[180, 200)，[200, 220)，[220, 240)，[240, 260)，[260, 280)，[280, 300]分组的频率分布直方图如图所示．
4
5
2
220 + 240 = 230
得 x = 0.0075 ．
又(0.002 + 0.0095 + 0.011+ 0.0125)? 20 = 0.7 > 0.5 ，
160 180 200 220 240 260 280 300 万万万万万万/万
（1） 求直方图中 x 的值；
（2） 求月平均用电量的众数和中位数；
（3）在月平均用电量为[220, 240)， [240, 260)， [260, 280)， [280, 300]的四组用户中， 用分层抽样的方法抽取11户居民，则从月平均用电量在[220, 240)的用户中应抽 取多少户？
【答案】见解析
【解析】（1）由(0.002 + 0.0095 + 0.011+ 0.0125 + x + 0.005 + 0.0025)? 20 = 1 ，
（2）由图可知，月平均用电量的众数是
.
因为(0.002 + 0.0095 + 0.011)? 20 = 0.45 < 0.5 ，
所以月平均用电量的中位数在[220, 240)内.
设中位数为a ，由(0.002 +0.0095 +0.011)?20 +0.0125?(a -220)=0.5 ，
得a = 224 ，所以月平均用电量的中位数是224 .
（3）月平均用电量为[220,240)的用户有0.0125? 20 ?100 = 25 （户）；
月平均用电量为[240,260)的用户有0.0075?20?100=15（户）；
月平均用电量为[260,280)的用户有0.005?20?100=10（户）；
月平均用电量为[280, 300]的用户有0.0025? 20 ?100 = 5 （户）.
所以从月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取25?1 = 5 （户）．
5
【易错点】没有读懂题意,计算错误.不会用函数思想处理问题
【思维点拨】根据题意分情况写出函数解析式；2 牵涉到策略问题,一般可以转化为比较两个指标的大小.
题型四回归与分析
例1 下图是我国2008 年至2014 年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图
6
7
∑ i =1
n
n
(t - t ) (y - y)
2 ∑ 2
i i
i =1
∑ i =1
7
( y - y )
2
i n
n
万
万 1.80 万
万 1.60 万万
万 1.40 万
万 1.20 万万
1.00
y
0.80
3
4
5
6
7年份代码t
（1） 由折线图看出，可用线性回归模型拟合 y 与t 的关系，请用相关系数加以说
明
（2） 建立 y 关于t 的回归方程（系数精确到0.01 ），预测2016 年我国生活垃圾无
害化处理量.
参考数据： 7 y = 9.32 ， 7 t y = 40.17 ，
= 0.55 ， ≈ 2.646 .
∑
i
i =1
∑
i i
i =1
n
∑(t i - t )( y i - y )
参考公式：相关系数r =
i =1
回归方程 y = a
+ b t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
∑(t i - t )( y i - y )
b
= i =1 a = y - bt .
∑(t
i
- t )2
i =1
【答案】见解析
7
2
【解析】（1）由折线图中数据和附注中参考数据得t = 4 ， ∑(t i - t ) = 28 ，
i =1 7
8
∑ i =1
7 7
(t - t ) ? ( y - y )
2
∑ 2
i
i
i =1 ∑ i =1
7 (t - t ) 2
i
i =1 ∑ i =1
7
( y - y )
2
i
7 ∑ 7
(t - t ) 2 i i =1
i
= 0.55 ，
∑7
(t - t )(y - y )= ∑7
t y - t ∑7
y = 40.17 - 4 ? 9.32 = 2.89 ≈
2.89
≈ . ， r
0.99 i i
i i
i
0.55? 2 ? 2.646
i =1
i =1
i =1
因为 y 与t 的相关系数近似为0.99 ，说明 y 与t 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合 y 与t 的关系.
7
7
7
7 ∑(t i - t )( y i - y )
7∑t i y i - ∑t i ?∑ y i
（1）变量 y 与t 的相关系数r =
i =1
=
i =1
i =1
，
7 ?
?
7
7
7
又∑t i = 28 ， ∑ y i = 9.32 ， ∑t i y i = 40.17 2
= 5.292 ，
i =1
i =1
i =1
= 0.55 ，
所以r = 7 ? 40.17 - 28? 9.32 ≈ 0.99
7 ? 5.292 ? 0.55
，故可用线性回归模型拟合变量 y 与t 的关系.
t y - 7t ? y
1
1
7
∑
7
i i
40.17 - 7 ? 4 ? 7 ? 9.32
（2） t = 4 ， y =
∑
y ，所以b ?= i =1 =
= 0.10 ，
7 i =1 i
∑
7 i =1
t 2 -
7t 2 28
a ? = y -
b ?x = 1
? 9.32 - 0.10 ? 4 ≈ 0.93 ，所以线性回归方程为 y ? = 0.1t + 0.93 .
7
当t = 9 时， y ?= 0.1? 9 + 0.93 = 1.83 .因此，我们可以预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理1.83 亿吨.
【易错点】没有读懂题意,计算错误.
∑(
7
2
y - y i
) i =1
∑ i =1
7
( y - y )
2
i
【思维点拨】将题目的已知条件分析透彻,利用好题目中给的公式与数据.
题型五独立性检验
例1 甲、乙、丙、丁四位同学各自对A、B 两变量的线性相关性作试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r 与残差平方和m 如下表：
则哪位同学的试验结果体现A、B 两变量更强的线性相关性？( ) A．甲B．乙C．丙
D．丁
【答案】D
【解析】D 因为r>0 且丁最接近1，残差平方和最小，所以丁相关性最高
【易错点】不理解相关系数和残差平方和与相关性的关系
【思维点拨】相关系数r 的绝对值越趋向于1,相关性越强.残差平方和m 越小相关性越强
【巩固训练】
题型一古典概型
9
10
15
1 14
1 12
1
1. 将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1,2, 3, 4,5, 6 个点的正方体玩具）
先后抛掷2 次，则出现向上的点数之和小于10 的概率是 ．
【答案】 5
6
【解析】将先后两次点数记为(x , y )，则基本事件共有6 ? 6 = 36 （个）， 其中点数之和大于等于10有(4,6),(5,5),(5,6),(6,4),(6,5),(6,6)，共6 种， 则点数之和小于10 共有30 种，所以概率为
30 = 5
． 36 6
2. 我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫
猜想是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”，如30 = 7 + 23 ．在不超过30 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 30 的概率是（ ）.
A.
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】不超过 30 的素数有 2、3、5、7、11、13、17、19、23、29，共 10 个， 随机选取两数有45 （种）情况，其中两数相加和为 30 的有 7 和 23，11 和
19，13 和 17，共 3 故选C .
3. 袋中有形状、大小都相同的 4 只球，其中1 只白球，1 只红球， 2 只黄球，从
中一次随机摸出
【答案】 只球，则这 2 只球颜色不同的概率为 ．
【解析】1 只白球设为 a ，1 只红球设为 b ， 2 只黄球设c 为 ， d ，
2 P = 5
6
18
1
则摸球的所有情况为(a,b)，(a, c)，(a, d )，(b,c)，(b,d )，(c, d )，共6 件，
满足题意的事件为(a,b)，(a, c)，(a, d )，(b,c)，(b,d )，共5
．
题型二几何概型
1.某公司的班车在7:00，8:00，8:30 发车，学.小明在7:50 至8:30 之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10 分钟的概率是（）.
A.F(1) 1
3B. 1
2
F(1)C.F(2) 2
3
D. 3
4
【答案】B
【解析】如图所示，画出时间轴.
7:30 7:40 7:50 8:00 8:10 8:20 8:30
B
小明到达的时间会随机的落在图中线段AB 中，而当他的到达时间落在线段AC 或DB 时，才能保证他等车的时间不超过10 分钟.
根据几何概型，所求概率P =10 +10 =1 .故选B.
40 2
2.从区间[0,1]随机抽取2n 个数x1，x2 ，…，x n ，y1 ，y2 ，…，y n ，构成n 个数对(x1, y1)，(x2 , y2)，…，
(x
n ,y
n
)，其中两数的平方和小于1 的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的
圆周率π的近似值为（）.
11
p 2 =p
3
p 1 =p
3
p 1 =p
2
AB
4n 2n 4m
A.m
B. m
C.
2m
n
n D. 【答案】C
【解析】由题意得：(x i△△△△y i)(i =1 2 ???n)
在如图所示方格中，而平方和小于1 的
π
4 =m π =4m
点均在如图所示的阴影中，由几何概型概率计算公式知1 n ，所以
C．
n .故选
3.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，
三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边，A C ，
的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ，在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，，p3，则
A.B．C．D．
【答案】A
【解析】概率为几何概型，总区域面积一定，只需比较Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ区域面积即可.设直角三角形ABC 的三个角 A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，则区域Ⅰ
的面积为S1=1
ab ，2
p 2
p 1 =p
2
+p
3
△ABC
12
13
? ? ? ? ? ?
2
区域Ⅱ的面积为 1 ? 1
?2 1 ? 1 ?2 1 1 ? 1 ?2
1
S 2 = 2 π 2 c ? + 2 π 2 b ? + 2 ab - 2 π 2 a ? = 2 ab ，
2 区域Ⅲ的面积为 S = 1 π? 1 c ? + 1 π? 1 b ? - 1 ab = 1 πa 2 - 1 ab .
3 2 2
? 2 2 ? 2
8 2 ? ? ? ?
显然 p 1 = p 2 .故选 A .
题型三 抽样与样本的数据特征
1. 已知一组数据4 ，
6 ， 5 ， 8 ，
7 ， 6 ，那么这组数据的平均数为 ．
【答案】10
【解析】平均数
x = 1 (4 + 6 + 5 + 8 + 7 + 6)= 6 ． 6
2. 某电子商务公司对 10000 名网络购物者 2014 年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间[0.3, 0.9] 内，其频率分布直方图如图所示.
（Ⅰ）直方图中的a =
；
（Ⅱ）在这些购物者中，消费金额在区间[0.5, 0.9] 内的购物者的人数为
.
【答案】3；6000
【解析】频率和等于 1 可得0.2 ? 0.1 + 0.8 ? 0.1 + 1.5 ? 0.1 + 2 ? 0.1 + 2.5 ? 0.1 + a ? 0.1 = 1 ， 解之得a = 3 .于是消费金额在区间[0.5, 0.9] 内频率为0.2 ? 0.1 + 0.8 ? 0.1 + 2 ? 0.1 + 3 ? 0.1 = 0.6 ， 所以消费金额在区间[0.5, 0.9] 内的购物者的人数为： 0.6 ?10000 = 6000 ，故应填
3；6000.
3.我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居
民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准x （吨）、一位居民的月
用水量不超过x 的部分按平价收费，超出x 的部分按议价收费.为了了解居民用水
情况，通过抽样，获得了某年100 位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数
据按照[0, 0.5)，[0.5,1)，???，[4, 4.5)分成9 组，制成了如图所示的频率分布直方图.
（1）求直方图中a 的值；
（2）设该市有30 万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3 吨的人数，请说
明理由；
（3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x的值，并说明理由.
【答案】见解析
【解析】（1）由频率分布直方图知，月均用水量在[0，0.5)中的频率为
0.08?0.5=0.04，同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2，2.5)，[3，3.5)，[3.5，4)，[4，4.5)中的频率分别为0.08 ，0.20 ，0.26 ，0.06 ，0.04 ，0.02 .
由0.04+0.08+0.5?a + 0.20 + 0.26 + 0.5?a + 0.06 + 0.04 + 0.02 = 1 ，解得 a = 0.30 .
（2）由（1），100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12.
由以上样本的频率分布，可以估计全市30 万居民中月均用水量不低于 3 吨的人14
数为300000? 0.12 = 36000 .
（3）因为前 6 组的频率之和为0.04 - 0.08 - 0.15 - 0.20 - 0.26 - 0.15=0.88 > 0.85 ，而前5 组的频率之和为0.04+0.08+0.15 -0.20 -0.26=0.73 < 0.85 ，所以2.5 …x < 3.
由0.3?(x - 2.5)= 0.85 - 0.73 ，解得x = 2.9 .
题型四回归与分析
1.为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5 户家庭，
得到如下统计数据表：
区一户收入为15 万元家庭年支出为（）
A．11.4 万元B．11.8 万元C．12.0 万元D．12.2 万元
【答案】B
所以回归直线方程为y?=0.76x+0.4．当社区一户收入为15 万元，家庭年支出为
（万元）．故选B．
0.4 = 11.8
y?=0.76?15+
15
16
y ∑
2. 为了研究某班学生的脚长x （单位：厘米）和身高 y （单位：厘米）的关系，
从该班随机抽取10 名学生，根据测量数据的散点图可以看出 与x 之间有线性相
关关系，设其回归直线方程为 y ?= b ?x + a ?．已知∑x i i =1
10
= 225 ， y i = 1600 ， b ?= 4 ．该
i =1
班某学生的脚长为 24，据此估计其身高为（ ）.
A . 160
B . 163
C . 166
D .170
【答案】C 【解析】 故选 C .
x = 22.5 ， y = 160 ，所以a
= 160 - 4? 22.5 = 70 ， x = 24 时， y = 4 ? 24 + 70 = 166 .
3. 某公司为确定下一年投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 x （单位：千元）
对年销售量 y （单位： ）和年利润 z （单位：千元）的影响，对近 8 年的年宣
传费x i
和年销售量
计量的值．
y i (i = 1, 2,???,8)
数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统
万万万万/万万
10 t
17
(u 2,v 2 ) (u 1,v 1 ) y = c + d x x = 49
表中
，
，
（1） 根据散点图判断， y = a + bx 与y = c + d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年
宣传费x 的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）？
（2） 根据（1）的判断结果及表中数据，建立 y 关于x 的回归方程；
（3） 已知这种产品的年利润z 与x ， y 的关系式为 z = 0.2y - x
，根据（2）的结果
回答下列问题：
（ⅰ）年宣传费 时，年销售量及年利润的预报值是多少？
（ⅱ）年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据 ，
? ? ? ， (u n , v n )，其回归直线v =+ u 的斜率
，
和截距的最小二乘估计分别为
【答案】见解析
【解析】（1）由散点图变化情况可知选择 较为适宜．
w i = x i
? =
i =1
∑(u i - u )(v i - v ) n
∑ i =1
n
(u - u )
2
i
.
x y
w
∑( )2
x
- x i
i =1
∑( )( - ) w - w y y i i
i =1
∑8
( )2
w
- w i
i =1 ∑( - )( -
) 8
x x y y
i
i
i =1
46.
6
56
3 6.
8
289.8 1.6 1469 108.8
1 8
w = ∑w i
8 i =1
18
563 - 68? 6.8 = 100.6 c = y - d = ∑(w - w
1.6
)
∑8
(w - w )(y - y
i
i
) 108.8
（2）由题意知d =
i =1
= = 68 ．又
8
2
i
一定过点(, y )，
i =1
所以 ，
所以 y 与x 的回归方程为 y = 100.6 + 68 x ．
（3）（ⅰ）由（2）知，当 x = 49 时，
y = 100.6 + 68? 49 = 576.6(t )，
（千元），
所以当年宣传费为 x = 49 时，年销售量为576.6(t )，利润预估为66.32 千元．
（ⅱ）由（2）知， z = 0.2 y - x = 0.2 (100.6 + 68 x )- x =
-
(
x - 6.8)
2
+ 6.82 + 20.12 ，所以当 x = 6.8 时，年利润的预估值最大，
即 x = 6.82 = 46.24 （千元）． 题型五 独立性检验
1. 某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用，把 500 名使用血清的人与另
外 500 名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设 H ：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用 2×2 列联表计算的 K 2≈3.918，则下列表述中正确的是（ ）
A. 有 95℅的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”
B. 若有人未使用该血清，那么他一年中有 95℅的可能性得感冒
y = c + d x 66.32 z = 0.2 ? 576.6 - 49 = 20.12 = 13.6 x - x +
19
a a +
b
c c + d
kg C. 这种血清预防感冒的有效率为 95℅
D. 这种血清预防感冒的有效率为 5℅
【答案】A
【解析】由题可知，在假设
成立情况下，
P (K 2
≥ 3.841) 的概率约为 0.05，即在 犯错的概率不错过 0.05 的前提下认为“血清起预防感冒的作用”，即有 95℅的把
握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”.这里的 95℅是我们判断 不成立的概
率量度而非预测血清与感冒的几率的量度，故 B 错误.C ，D 也犯有 B 中的错误.
故选 A
2. 观察下面频率等高条形图，其中两个分类变量
x ，y 之间关系最强的是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】在频率等高条形图中， 与 相差很大时，我们认为两个分类变
量有关系，四个选项中，即等高的条形图中 x 1, x 2 所占比例相差越大，则分类变
量 x , y 关系越强，故选D ．
3. 淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽
取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位： ）的频率分布直方图如图所
示.
H H
万万
万万
万万
万万万万
/k g
万万万万
（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记 A 表示事件：旧养殖法的箱产量低于50kg ，新养殖法的箱产量不低于50kg ，估计 A 的概率；
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99% 的把握认为箱产量与养殖方法有关；
（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01 ）.
附：
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