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常微分方程试题库

常微分方程

一、填空题

1．微分方程0)(

22=+-+x y dx

dy dx dy n 的阶数是____________ 答：1

2．若),(y x M 和),(y x N 在矩形区域R 内是),(y x 的连续函数,且有连续的一阶偏导数,则方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 有只与y 有关的积分因子的充要条件是 _________________________

答：)()1)((y M x N y M φ=-??-?? 3．_________________________________________ 称为齐次方程. 答：形如)(x

y g dx dy =的方程 4．如果),(y x f ___________________________________________ ,则

),(y x f dx dy =存在唯一的解)(x y ?=,定义于区间h x x ≤-0 上,连续且满足初始条件)(00x y ?= ,其中 =h _______________________ .

答：在R 上连续且关于y 满足利普希兹条件 ),m i n (m

b a h = 5．对于任意的),(1y x ,),(2y x R ∈ (R 为某一矩形区域),若存在常数)0(>N N 使 ______________________ ,则称),(y x f 在R 上关于y 满足利普希兹条件. 答： 2121),(),(y y N y x f y x f -≤-

6．方程

22y x dx

dy +=定义在矩形区域R :22,22≤≤-≤≤-y x 上 ,则经过点 )0,0(的解的存在区间是 ___________________ 答：4

141≤≤-x 7．若),.....2,1)((n i t x i =是齐次线性方程的n 个解,)(t w 为其伏朗斯基行列式,则)(t w 满足一阶线性方程 ___________________________________

答：0)(1'=+w t a w

8．若),.....2,1)((n i t x i =为齐次线性方程的一个基本解组，)(t x 为非齐次线性方程的一个特解,则非齐次线性方程的所有解可表为_____________________

答：x x c x n

i i i +=∑=1

9．若)(x ?为毕卡逼近序列{})(x n ?的极限，则有≤-)()(x x n ?? __________________ 答：1)!

1(++n n

h n ML 10．______________________称为黎卡提方程，若它有一个特解)(x y ，则经过变换 ___________________ ，可化为伯努利方程．答：形如

)()()(2x r y x q y x p dx

dy ++=的方程 y z y += 11．一个不可延展解的存在区间一定是区间．答：开

12．方程1d d +=y x y 满足解的存在唯一性定理条件的区域是．答：}0),{(2>∈=y R y x D ，（或不含x 轴的上半平面）

13．方程y x x

y sin d d 2=的所有常数解是．答： ,2,1,0,±±==k k y π

14．函数组)(,),(),(21x x x n ??? 在区间I 上线性无关的条件是它们的朗斯基行列式在区间I 上不恒等于零．

答：充分

15．二阶线性齐次微分方程的两个解)(),(21x y x y 为方程的基本解组充分必要条件是．

答：线性无关（或：它们的朗斯基行列式不等于零）

16．方程02=+'-''y y y 的基本解组是．

答：x x x e ,e

17．若)(x y ?=在),(∞+-∞上连续，则方程y x x

y )(d d ?=的任一非零解与x 轴相交．

答：不能

18．在方程0)()(=+'+''y x q y x p y 中，如果)(x p ，)(x q 在),(∞+-∞上连续，那么它的任一非零解在xoy 平面上与x 轴相切．

答：不能

19．若)(),(21x y x y ??==是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们共同零点．

答：没有

20．方程21d d y x

y -=的常数解是．答：1±=y

21．向量函数组)(,),(),(21x x x n Y Y Y 在其定义区间I 上线性相关的条件是它们的朗斯基行列式0)(=x W ，I x ∈．

答：必要

22．方程22d d y x x

y +=满足解的存在唯一性定理条件的区域是．答： xoy 平面

23．方程0d )1(1)d (22=-+-y x y x y x 所有常数解是．

答：1,1±=±=x y

24．方程04=+''y y 的基本解组是．

答：x x 2cos ,2sin

25．一阶微分方程的通解的图像是维空间上的一族曲线．答：2

二、单项选择题

1．n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（ A ）个．

（A ）n （B ）n -1 （C ）n +1 （D ）n +2

2．如果),(y x f ，

y y x f ??),(都在xoy 平面上连续，那么方程),(d d y x f x

y =的任一解的存在区间（ D ）．

（A ）必为),(∞+-∞ （B ）必为),0(∞+

（C ）必为)0,(-∞ （D ）将因解而定

3．方程y x x y +=-31d d 满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（ D ）．（A ）上半平面（B ）xoy 平面

（C ）下半平面（D ）除y 轴外的全平面

4．一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差（ C ）．

（A ）不是其对应齐次微分方程组的解（B ）是非齐次微分方程组的解

（C ）是其对应齐次微分方程组的解（D ）是非齐次微分方程组的通解

5. 方程

21d d y x y -=过点)1,2

(π共有（ B ）个解．（A ）一（B ）无数（C ）两（D ）三 6. 方程2d d +-=y x x

y （ B ）奇解．（A ）有三个（B ）无（C ）有一个（D ）有两个

7．n 阶线性齐次方程的所有解构成一个（ A ）线性空间．

（A ）n 维（B ）1+n 维（C ）1-n 维（D ）2+n 维

8．方程32

3d d y x y =过点（ A ）．（A ）有无数个解（B ）只有三个解（C ）只有解0=y （D ）只有两个解

9. ),(y x f y '连续是保证),(y x f 对y 满足李普希兹条件的（ B ）条件．

（A ）充分（B ）充分必要（C ）必要（D ）必要非充分

10．二阶线性非齐次微分方程的所有解（ C ）．

（A ）构成一个2维线性空间（B ）构成一个3维线性空间

（C ）不能构成一个线性空间（D ）构成一个无限维线性空间

11．方程y x y =d d 的奇解是（ D ）

．（A ）x y = （B ）1=y （C ）1-=y （D ）0=y

12．若)(1x y ?=，)(2x y ?=是一阶线性非齐次微分方程的两个不同特解，则该方程的通解可用这两个解表示为（ C ）．

（A ）)()(21x x ??- （B ）)()(21x x ??+

（C ）)())()((121x x x C ???+- （D ）)()(21x x C ??+

13．),(y x f y '连续是方程),(d d y x f x

y =初值解唯一的（ D ）条件．（A ）必要（B ）必要非充分（C ）充分必要（D ）充分

14. 方程1d d +=y x

y （ C ）奇解．（A ）有一个（B ）有两个（C ）无（D ）有无数个

15．方程323d d y x

y =过点(0, 0)有（ A ）． (A) 无数个解 (B) 只有一个解 (C) 只有两个解 (D) 只有三个解

三、求下列方程的通解或通积分

1．3

y x y dx dy += 解：23y y x y y x dy dx +=+= ，则 )(121?+??=-c dy e y e x dy y dy y 所以 cy y x +=2

另外 0=y 也是方程的解

2．求方程2y x dx

dy +=经过)0,0(的第三次近似解解：0)(0=x ?

[]2020121)()(x dx x x x x =+=??? []5

2021220121)()(x x dx x x x x

+=+=???

[]811520223160

14400120121)()(x x x x dx x x x x +++=+=??? 3．讨论方程

2y dx dy = ，1)1(=y 的解的存在区间解：dx y dy =2

两边积分 c x y

+=-1 所以方程的通解为 c

x y +-=

1 故过1)1(=y 的解为 21--=x y 通过点 )1,1(的解向左可以延拓到∞-，但向右只能延拓到２，

所以解的存在区间为 )2,(-∞

4．求方程01)(22=-+y dx

dy 的奇解解: 利用p 判别曲线得

??==-+020122p y p 消去p 得 12=y 即 1±=y 所以方程的通解为 )sin(c x y += , 所以 1±=y 是方程的奇解

5．0)1()1(cos 2=-++dy y

x y dx y x 解: y M ??=2--y , x

N ??=2--y , y M ??=x N ?? , 所以方程是恰当方程. ???????-=??+=??211cos y

x y y v y x x u 得 )(sin y y x x u ?++= )('2y xy y

u ?+-=??- 所以y y ln )(=? 故原方程的解为 c y y x x =++

ln sin

6． x x x y y y 22'sin cos sin 2-=-+

解: x x x y y y 22'sin cos sin 2-++-= 故方程为黎卡提方程.它的一个特解为 x y sin = ,令x z y sin += , 则方程可化为2z dx dz -= , c

x z +=1 即 c x x y +=-1sin , 故 c

x x y ++=1sin 7．0)37()32(232=-+-dy xy dx y xy

解: 两边同除以2y 得

037322

=-+-xdy dy y ydx xdx 0732=--y

d xy d dx 所以 c y xy x =-

-732 , 另外 0=y 也是方程的解 8．21d d x

xy x y += 解当0≠y 时，分离变量得

x x x y y d 1d 2

+= 等式两端积分得

C x y ln )1ln(21ln 2++=

即通解为

21x C y +=

x y x

y 2e 3d d =+ 解齐次方程的通解为 x C y 3e -=

令非齐次方程的特解为

x x C y 3e )(-=

代入原方程，确定出 C x C x +=5e 5

1)( 原方程的通解为

x C y 3e -=+x 2e 5

1 10. 5d d xy y x

y += 解方程两端同乘以5-y ，得

x y x

y y +=--45

d d 令 z y =-4，则x

z x y y d d d d 45=--，代入上式，得 x z x

z =--d d 41 通解为 4

1e 4+

-=-x C z x 原方程通解为 4

1e 44+-=--x C y x 11．0)d (d 222=-+y y x x xy

解因为x

N x y M ??==??2，所以原方程是全微分方程．取)0,0(),(00=y x ，原方程的通积分为

C y y x xy y x =-??020d d 2

即 C y y x =-

323

1 12． y y x y ln d d = 解：当0≠y ，1≠y 时，分离变量取不定积分，得

C x y

y y +=??d ln d 通积分为 x C y e ln = 13．03)(22=+'+''x y y y

解原方程可化为

0)(2='+'x y y

于是 12d d C x x

y y

=+ 积分得通积分为

23123121C x x C y +-= 14．x

y x y x y +-=2)(1d d 解：令xu y =，则

u x u x y d d d d +=，代入原方程，得 21d d u x

u x -= 分离变量，取不定积分，得 C x

x u u

ln d 1d 2+=-?? （0≠C ）通积分为： Cx x

y ln arcsin

= 15． x

y x y x y tan d d += 解令u x

y =，则x u x u x y d d d d +=，代入原方程，得 u u x u x u t a n d d +=+，u x

u x tan d d = 当0tan ≠u 时，分离变量，再积分，得 C x x u u ln d tan d +=??

C x u ln ln sin ln +=

即通积分为： Cx x y =sin

16．

1d d +=x

y x y 解：齐次方程的通解为 Cx y = 令非齐次方程的特解为

x x C y )(=

代入原方程，确定出 C x x C +=ln )( 原方程的通解为

Cx y =+x x ln

17. 0d d )e (2=+-y x x y x y

解积分因子为

21)(x x =

μ 原方程的通积分为

1012d d )(e C y x x

y y x

x =+-?? 即 1e ,e C C C x

y x +==+ 18．0)(2='+''y y y

解：原方程为恰当导数方程，可改写为

0)(=''y y

即

1C y y ='

分离变量得

x C y y d d 1=

积分得通积分

2122

1C x C y += 19．1)ln (='-'y x y

解令p y ='，则原方程的参数形式为

???='+=p y p p x ln 1

由基本关系式

y x y '=d d ，有

p p p

p x y y )d 11(d d 2+-?='= p p

)d 11(-= 积分得 C p p y +-=ln

得原方程参数形式通解为

???+-=+=C p p y p p x ln ln 1

20．022=+'+''x y y y

解原方程可化为

0)(2='+'x y y

于是 12d d C x x

y y

=+ 积分得通积分为 23123

121C x x C y +-= 21． 0)d (d )(3223=+++y y y x x xy x 解：由于x

N xy y M ??==??2，所以原方程是全微分方程．取)0,0(),(00=y x ，原方程的通积分为

103023d d )(C y y x xy x y

=++?? 即 C y y x x =++42242

四、计算题

1．求方程x y y e 2

1=-''的通解．解对应的齐次方程的特征方程为：

012=-λ

特征根为： 1,121-==λλ

故齐次方程的通解为： x x C C y -+=e e 21

因为1=α是单特征根．所以，设非齐次方程的特解为

x Ax x y e )(1=

代入原方程，有 x x x x Ax Ax A e 21e e e 2=

-+，可解出 41=A ．故原方程的通解为 x x

x x C C y e 4

1e e 21++=- 2．求下列方程组的通解

???????+=--=y x t y y x t x 43d d 2d d ．解方程组的特征方程为

04321=----=-λλ

λE A

即 0232=+-λλ

特征根为 11=λ，22=λ

11=λ对应的解为

t b a y x e 1111??

????=?????? 其中11,b a 是11=λ对应的特征向量的分量，满足

????=????????????----0014321111b a 可解得1,111-==b a ．

同样可算出22=λ对应的特征向量分量为 3,212-==b a ．所以，原方程组的通解为

????-+??????-=??????t t t t C C y x 2221e 32e e e 3．求方程x y y 5sin 5='-''的通解．

解：方程的特征根为01=λ，52=λ

齐次方程的通解为 x C C y 521e +=

因为i i 5±=±βα不是特征根。所以，设非齐次方程的特解为

x B x A x y 5c o s 5s i n )(1+=

代入原方程，比较系数得

??=--=+-025*******B A B A 确定出 501-

=A ， 50

1=B 原方程的通解为 )5s i n 5(c o s 501e 521x x C C y x -++= 4．求方程255x y y -='-''的通解．

解对应齐次方程的特征方程为052=-λλ，

特征根为01=λ，52=λ，

齐次方程的通解为 x C C y 521e +=

因为0=α是特征根。所以，设非齐次方程的特解为

)()(21C Bx Ax x x y ++=

代入原方程，比较系数确定出

31=

A ，51=

B ，252=

C 原方程的通解为 x x x C C y x 25

25131e 23521++++= 五、证明题

1．在方程

)()(d d y y f x y ?=中，已知)(y f ，)(x ?'在),(∞+-∞上连续，且0)1(=±?．求

证：对任意0x 和10

任取初值),(00y x ，其中),(0∞+-∞∈x ,10

2．设)(1x y ?=和)(2x y ?=是方程0)(=+''y x q y 的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列式C x W ≡)(，其中C 为常数．

证明:如果)(1x y ?=和)(2x y ?=是二阶线性齐次方程

0)()(=+'+''y x q y x p y

的解，那么由刘维尔公式有

?=-x 0d )(0e

)()(x t t p x W x W 现在，0)(≡x p 故有

C x W x W x W x t ==?=-)(e

)()(0d 00x 0

3．在方程0)()(=+'+''y x q y x p y 中，已知)(x p ，)(x q 在),(∞+-∞上连续．求证：该方程的任一非零解在xoy 平面上不能与x 轴相切．

证明:由已知条件可知，该方程满足解的存在惟一及解的延展定理条件，且任一解的存在区间都是),(∞+-∞．

显然，该方程有零解0)(≡x y ．

假设该方程的任一非零解)(1x y 在x 轴上某点0x 处与x 轴相切，即有

)()(01

01x y x y '== 0，那么由解的惟一性及该方程有零解0)(≡x y 可知

),(,0)(1∞+-∞∈≡x x y ，这是因为零解也满足初值条件)()(01

01x y x y '== 0，于是由解的惟一性，有∈≡≡x x y x y ,0)()(1,(-∞ )∞+．这与)(1x y 是非零解矛盾．

4．在方程0)()(=+'+''y x q y x p y 中，)(),(x q x p 在),(∞+-∞上连续，求证：若)(x p 恒不为零，则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式)(x W 是),(∞+-∞上的严格单调函数．

证明: 设)(1x y ，)(2x y 是方程的基本解组，则对任意),(∞+-∞∈x ，它们朗斯基行列式在),(∞+-∞上有定义，且0)(≠x W ．又由刘维尔公式

?=-x 0d )(0e )()(x s

s p x W x W ，),(0∞+-∞∈x )(e )()(x 0d )(0x p x W x W x s s p ?='-

由于0)(0≠x W ，0)(≠x p ，于是对一切),(∞+-∞∈x ，有 0)(>'x W 或 0)(<'x W

故 )(x W 是),(∞+-∞上的严格单调函数．

5．试证:若已知黎卡提方程的一个特解,则可用初等积分法求它的通解证明: 设黎卡提方程的一个特解为 y y =

令 y z y += , dx y d dx dz dx dy += 又 )()()(2x r y x q y x p dx

dy ++= dx

y d x r y z x q y z x p dx dz -++++=)())(())((2 由假设 )()()(2x r y x q y x p dx y d ++= 得 []

z x q y x p z x p dx dz )()(2)(2++= 此方程是一个2=n 的伯努利方程,可用初等积分法求解

6．试用一阶微分方程解的存在唯一性定理证明:一阶线性方程)()(x Q y x P dx

dy += , 当

)(x P , )(x Q 在[]βα,上连续时,其解存在唯一证明: 令R : x ∈[]βα, , R y ∈ )(x P , )(x Q 在[]βα,上连续, 则 )()(),(x Q y x P y x f += 显然在R 上连续 , 因为 )(x P 为[]βα,上的连续函数 , 故)(x P 在[]βα,上也连续且存在最大植 , 记为 L 即 )(x P L ≤ , x ∈[]βα, 1y ?,R y ∈2 2121)()(),(),(y x P y x P y x f y x f -=-=)(x P 21y y -21y y L -≤ 因此一阶线性方程当)(x P , )(x Q 在[]βα,上连续时,其解存在唯一

常微分方程试题库

常微分方程试题库二、计算题（每题6分） 1. 解方程：0cot tan =-xdy ydx ； 2. 解方程：x y x y e 2d d =+； 3. 解方程：； 4. 解方程： t e x dt dx 23=+； 5. 解方程：0)2(=+---dy xe y dx e y y ； 6. 解方程：0)ln (3=++dy x y dx x y ； 7. 解方程：0)2()32(3222=+++dy y x x dx y x xy ； 8. 解方程：0485=-'+''-'''x x x x ； 9. 解方程：02)3()5()7(=+-x x x ； 10. 解方程：02=-''+'''x x x ； 11. 解方程：1,0='-'='+'y x y x ； 12. 解方程： y y dx dy ln =； 13. 解方程：y x e dx dy -=； 14. 解方程：02)1(22=+'-xy y x ； 15. 解方程：x y dx dy cos 2=； 16. 解方程：dy yx x dx xy y )()(2222+=+； 17. 解方程：x xy dx dy 42=+； 18. 解方程：23=+ρθ ρ d d ； 19. 解方程：22x y xe dx dy +=； 20. 解方程：422x y y x =-'；选题说明：每份试卷选2道题为宜。

二、计算题参考答案与评分标准：（每题6分） 1. 解方程：0cot tan =-xdy ydx 解： ,2,1,0,2 ,±±=+==k k x k y π ππ是原方程的常数解，（2分）当2 ,π ππ+ ≠≠k x k y 时，原方程可化为： 0cos sin sin cos =-dx x x dy y y ，（2分）积分得原方程的通解为： C x y =cos sin . （2分） 2. 解方程： x y x y e 2d d =+ 解：由一阶线性方程的通解公式 ? ? +? =-),)(()()(dx e x f C e y dx x p dx x p （2分） x x x x dx x dx e Ce dx e C e dx e e C e 3 1 )() (23222+=+=?+?=---?? 分）（分）（22 3. 解方程：解：由一阶线性方程的通解公式 ??+?=-))(()()(dx e x f C e y dx x p dx x p （2分） =??+?-)sec (tan tan dx xe C e xdx xdx （2分） ?+=)sec (cos 2xdx C x x x C sin cos +=. （2分） 4. 解方程： t e x dt dx 23=+ 解：由一阶线性方程的通解公式 ??+? =-))(()()(dt e t f C e x dt t p dt t p （2分） =??+?-)(323dt e e C e dt t dt （2分） ?+=-)(53dt e C e t t

常微分方程练习题及答案复习题)

常微分方程练习试卷一、填空题。 1. 方程23 2 10d x x dt +=是阶（线性、非线性）微分方程. 2. 方程 ()x dy f xy y dx =经变换_______，可以化为变量分离方程 . 3. 微分方程 3230d y y x dx --=满足条件(0)1,(0)2y y '==的解有个. 4. 设常系数方程 x y y y e αβγ'''++=的一个特解*2()x x x y x e e xe =++，则此方程的系数α= ，β= ，γ= . 5. 朗斯基行列式 ()0W t ≡是函数组12(),(),,()n x t x t x t 在a x b ≤≤上线性相关的条件. 6. 方程 22(2320)0xydx x y dy ++-=的只与y 有关的积分因子为 . 7. 已知 ()X A t X '=的基解矩阵为()t Φ的，则()A t = . 8. 方程组 20'05??=???? x x 的基解矩阵为． 9.可用变换将伯努利方程化为线性方程. 10 .是满足方程 251y y y y ''''''+++= 和初始条件的唯一解. 11.方程的待定特解可取的形式: 12. 三阶常系数齐线性方程 20y y y '''''-+=的特征根是二、计算题 1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直. 2．求解方程13 dy x y dx x y +-=-+. 3. 求解方程 222()0d x dx x dt dt += 。 4．用比较系数法解方程. . 5．求方程 sin y y x '=+的通解. 6．验证微分方程 22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=是恰当方程，并求出它的通解.

常微分方程试题(卷)

一单项选择题(每小题2分, 共40分) 1. 下列四个微分方程中, 为三阶方程的有( )个. (1) (2) (3) (4) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 为确定一个一般的n阶微分方程=0的一个特解, 通常应给出的初始条件是( ). A. 当时, B. 当时, C. 当时, D. 当时, 3. 微分方程的一个解是( ). A. B. C. D.

4. 下列方程中, 既是齐次方程又是线性方程的是( ). A. B. C. D. 5. 若方程是恰当方程, 则（）. A. B. C. D. 6. 若方程有只与y有关的积分因子, 则可取为( ). A. B. C. D. 7. 可用变换( )将伯努利方程化为线性方程. A. B. C. D. 8. 是满足方程和初始条件( )的唯一解. A. B. C. D. 9. 设是n阶齐线性方程的解,

其中是某区间中的连续函数. 如下叙述中, 正确的是( ). A.若的伏朗斯基行列式为零, 则线性无关 B.若的伏朗斯基行列式不为零, 则线性相关 C.若的伏朗斯基行列式不为零, 则线性无关 D.由的伏朗斯基行列式是否为零, 不能确定的线性相关性 10. 设线性无关的函数和是方程的解,则方程的通解是( ) A.(是任意常数, 下同) B. C. D. 11. 三阶系数齐线性方程的特征根是( ). A. 0, 1, 1 B. 0, 1, -1 C. 1, D. 1, 12. 方程的基本解组是( ).

A. B. C. D. 13. 方程的待定特解可取如下( )的形式: A. B. C. D. 14. 已知是某一三阶齐线性方程的解, 则和的伏朗斯基行列式( ). A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 15. 可将三阶方程化为二阶方程的变换为( ). A. B. C. D. 16. 方程组满足初始条件的解为( ). A. B. C. D. 17. n阶函数方阵在上连续, 方程组有基解矩阵,

常微分方程期末试题B答案

2005——2006学年第二学期常微分方程课程试卷（B）一、填空题（每空2 分，共16分）。 1．李普希滋条件是初值问题存在唯一解的充分条件． 2. 一阶微分方程的一个特解的图像是二维空间上的一条曲线． 3．线性齐次微分方程组Y A Y ) ( d d x x =的一个基本解组的个数不能多于n个，其中R ∈ x，n R Y∈． 4．二阶线性齐次微分方程的两个解) ( 1 x y? =,) ( 2 x y? =成为其基本解组的充要条件是线性无关． 5．方程2 sin() y xy y '' =+的通解是 6．变量可分离方程()()()()0= +dy y q x p dx y N x M的积分因子是()() x P y N 1 7．性齐次微分方程组的解组) ( , ), ( ), ( 2 1 x x x n Y Y Y 为基本解组的充分必要条件是它们的朗斯基行列式0 ) (≠ x W． 8．方程540 y y y ''' ++=的基本解组是x x e e4 ,- - 二、选择题（每小题3 分，共15分）。 9．两个不同的线性齐次微分方程组（ D ）的基本解组． (A) 一定有相同(B) 可能有相同 (C) 一定有相似(D) 没有相同 10．方程组 ? ? ? ?? ? ? + = + = y x t y y x t x 4 3 d d 2 d d 的奇点)0,0(的类型是（D ）．（A）稳定焦点（B）不稳定焦点（C）鞍点（D）不稳定结点11．方程x(y2－1)d x+y(x2－1)d y=0的所有常数解是（ C ）． (A) 1± = x(B)1± = y

(C )1±=y , 1±=x (D )1=y , 1=x 12．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）．（A ）构成一个线性空间（B ）构成一个1-n 维线性空间（C ）构成一个1+n 维线性空间（D ）不能构成一个线性空间 13．方程4d d +-=x y x y （ A ）奇解． (A) 无 (B) 有一个 (C) 有两个 (D) 可能有三、计算题（每小题8分，共48分）。 14．求方程 x y x y x y tan d d +=的通解解：令x y u =，则u x u y '+='， u x u x tan d d = 当0tan ≠u 时，等号两边积分 1d tan d C x x u u +=?? C x u ln ln sin ln += 0≠C Cx x y =sin 15．求方程0d d )1(2=+--y x x y x 的通解解：积分因子21)(x x =μ，则 0d 1d 122=+--y x x x y x 为全微分方程．取10=x ，00=y ，于是通积分为 1012 2d d 1C y x x y x y x =+--?? 即 C x x x y =++1 16．求方程2221)(x y x y y + '-'=的通解解:令 p y ='，得到2 2 2x xp p y +-= （*），两端同时关于求导，

(整理)常微分方程试题及参考答案

常微分方程试题一、填空题(每小题3分，共39分) 1.常微分方程中的自变量个数是________. 2.路程函数S(t)的加速度是常数a，则此路程函数S(t)的一般形式是________. 3.微分方程=g( )中g(u)为u的连续函数，作变量变换________，方程可化为变量分离方程. 4.微分方程F(x,y′)=0中令P=y′,若x、P平面上的曲线F(x,P)=0的参数形式为x= (t),P=ψ(t),t为参数，则方程参数形式的通解为________. 5.方程=(x+1)3的通解为________. 6.如果函数f(x,y)连续，y= (x)是方程=f(x,y)的定义于区间x0≤x≤x0+h上，满足初始条件 (x0)=y0的解.则y= (x)是积分方程________定义于x0≤x≤x0+h 上的连续解. 7.方程=x2+xy，满足初始条件y(0)=0的第二次近似解是________. 8.方程+a1(t) +…+a n-1(t) +a n(t)x=0 中a i(t) i=1,2,…，n是〔a,b〕上的连续函数，又x1(t),x2(t),…，x n(t)为方程n 个线性无关的解，则其伏朗斯基行列式W(t) 应具有的性质是：________. 9.常系数线性方程x(4)(t)-2x″(t)+x(t)=0的通解为________. 10.设A(t)是区间a≤t≤b上的连续n×n矩阵，x1(t),x2(t),…，x n(t)是方程组 x′=A(t)x的n个线性无关的解向量.则方程组的任一解向量x(t)均可表示为：x(t)=________的形式. 11.初值问题(t)+2x″(t)-tx′(t)+3x(t)=e-t,x(1)=1,x′(1)=2,x″(1)=3 可化为与之等价的一阶方程组________. 12.如果A是3×3的常数矩阵，-2为A的三重特征值，则方程组x′=Ax的基解矩阵exp A t=________. 13.方程组的奇点类型是________. 二、计算题(共45分) 1.(6分)解方程 = . 2.(6分)解方程 x″(t)+ =0. 3.(6分)解方程 (y-1-xy)dx+xdy=0. 4.(6分)解方程

常微分方程试题

常微分方程习题集

《常微分方程》测试题1 一、填空题30% 1、形如的方程，称为变量分离方程，这里.分别为的连续函数。 2、形如-的方程，称为伯努利方程，这里的连续函数.n 3、如果存在常数-对于所有函数称为在R上关于满足利普希兹条件。 4、形如-的方程，称为欧拉方程，这里 5、设的某一解，则它的任一解 - 。二、计算题40% 1、求方程 2、求方程的通解。 3、求方程的隐式解。 4、求方程三、证明题30% 1.试验证=是方程组x=x,x= ，在任何不包含原点的区间a上的基解矩阵。 2.设为方程x=Ax（A为nn常数矩阵）的标准基解矩阵（即（0）=E），证明: (t)=(t- t)其中t为某一值.<%建设目标%> 《常微分方程》测试题2

一、填空题：（30%） 1、曲线上任一点的切线的纵截距是切点的横坐标和纵坐标的等差中项，则曲线所满足的 8、已知是二阶齐次线性微分方程的一个非零解，则与线性无关的另一 10、线性微分方程组的解是的基本解组的充要条件是. 二、求下列微分方程的通解：（40%） 1、 2、 3、 4、 5、求解方程．三、求初值问题的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计. （10分）

四、求解微分方程组满足初始条件的解. （10%）五、证明题：（10%）设，是方程的解，且满足==0，，这里在上连续，．试证明：存在常数C使得=C 《常微分方程》测试题3 1．辨别题指出下列方程的阶数，是否是线性方程：(12%) （1）（2）（3）（4）（5）（6） 2、填空题(8%) （1）．方程的所有常数解是___________. （2）．若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为________________. （3）.若方程M(x, y)d x + N(x, y)d y= 0是全微分方程，同它的通积分是 ________________. （4）.设M(x0, y0)是可微曲线y=y(x)上的任意一点，过该点的切线在x轴和y轴上的截距分别是_________________. 3、单选题(14%) （1）．方程是（）.

常微分方程习题及答案.[1]

第十二章常微分方程 (A) 一、是非题 1．任意微分方程都有通解。( ) 2．微分方程的通解中包含了它所有的解。( ) 3．函数x x y cos 4sin 3-=是微分方程0=+''y y 的解。( ) 4．函数x e x y ?=2是微分方程02=+'-''y y y 的解。( ) 5．微分方程0ln =-'x y x 的通解是()C x y += 2 ln 2 1 (C 为任意常数)。( ) 6．y y sin ='是一阶线性微分方程。( ) 7．xy y x y +='33不是一阶线性微分方程。( ) 8．052=+'-''y y y 的特征方程为0522=+-r r 。( ) 9． 2 2 1xy y x dx dy +++=是可分离变量的微分方程。( ) 二、填空题 1．在横线上填上方程的名称 ①()0ln 3=-?-xdy xdx y 是。 ②()()022=-++dy y x y dx x xy 是。 ③x y y dx dy x ln ?=是。 ④x x y y x sin 2+='是。 ⑤02=-'+''y y y 是。 2．x x y x y cos sin =-'+'''的通解中应含个独立常数。 3．x e y 2-=''的通解是。 4．x x y cos 2sin -=''的通解是。 5．124322+=+'+'''x y x y x y x 是阶微分方程。 6．微分方程()06 ='-''?y y y 是阶微分方程。

7．x y 1 =所满足的微分方程是。 8．x y y 2='的通解为。 9． 0=+ x dy y dx 的通解为。 10． ()25 11 2+=+- x x y dx dy ，其对应的齐次方程的通解为。 11．方程()012=+-'y x y x 的通解为。 12．3阶微分方程3x y ='''的通解为。三、选择题 1．微分方程()043='-'+''y y y x y xy 的阶数是( )。 A ．3 B ．4 C ．5 D ． 2 2．微分方程152=-''-'''x y x y 的通解中应含的独立常数的个数为( )。 A ．3 B ．5 C ．4 D ． 2 3．下列函数中，哪个是微分方程02=-xdx dy 的解( )。 A ．x y 2= B ．2x y = C ．x y 2-= D ． x y -= 4．微分方程32 3y y ='的一个特解是( )。 A ．13+=x y B ．()3 2+=x y C ．()2 C x y += D ． ()3 1x C y += 5．函数x y cos =是下列哪个微分方程的解( )。 A ．0=+'y y B ．02=+'y y C ．0=+y y n D ． x y y cos =+'' 6．x x e C e C y -+=21是方程0=-''y y 的( )，其中1C ，2C 为任意常数。 A ．通解 B ．特解 C ．是方程所有的解 D ．上述都不对 7．y y ='满足2|0==x y 的特解是( )。 A ．1+=x e y B ．x e y 2= C ．22x e y ?= D ． x e y ?=3 8．微分方程x y y sin =+''的一个特解具有形式( )。 A ．x a y sin *= B ．x a y cos *?=

2012常微分方程试题B及答案

南京农业大学试题纸 2011-2012学年第2 学期课程类型：必修试卷类型：B Array 装订线装订线

常微分方程模拟试题(B)参考答案 2012.7 一、填空题（每小题3分，本题共30分） 1．二 2． )()]()([1211x y x y x y C +- 3． ()0W t ≡或00()=0,W t t I ∈ 4． )(x N x N y M ?=??-?? 5.1y =± 6. n 7. 充分 8. 0 0(,)x x y y f x y dx =+ ? 9. 1 ,Re s a s a >- 10. ()+∞∞-, 二、计算题（每小题5分，本题共20分） 11. 解：齐次方程的通解为 x C y 3e -= (3分) 令非齐次方程的特解为 x x C y 3e )(-= 代入原方程，确定出 C x C x +=5e 5 1)( 原方程的通解为 x C y 3e -=+ x 2e 5 1 （5分） 12. 解：对应的特征方程为：012 =++λλ，解得i i 2 3,2321221 1--=+ -=λλ （3分）所以方程的通解为：)2 3sin 23cos (212 1 t c t c e x t +=- （5分） 13. 1=??y M ，x N ??=1 , x N y M ??=?? 所以此方程是恰当方程. （3分）凑微分，0)(22 =++-xdy ydx ydy dx x 得 C y xy x =-+23 3 1 （5分） 14． 5,1,dy dt x y t dx dx -===-令则 1,(7)77dt t t dt dx dx t -=---原方程化为：变量分离（3分） 2 1772 t x c t -=-+两边积分 21 7(5)7.(5)x y x c x y --+=-+-+代回变量（5分）

2018常微分方程考研复试真题及答案

常微分方程计算题 2.指出下列方程中的阶数，是线性方程还是非线性方程，并说明理由；（1） t 2 2 2dt u d +t dt du +( t 2 -1)u=0 （2） dx dy =x 2+y 2 ; （3）dx dy + 2 x y =0 3.求曲线族y=C 1e x +C 2x e x 所满足的微分方程 4．验证函数y= C 1e x 2+ C 2e x 2-是微分方程y `` -4y=0的解，进一步验证它是通解。 5.试用一阶微分方程形式不变性求解方程dx dy =2x 6.什么叫积分一个微分方程 7．什么是求解常微分方程的初等积分法 8．分离变量一阶方程的特征是什么 9．求下列方程的通解（1） y ` ＝sinx （2） x 2 y 2 y ` +1=y （3） tgx dx dy =1+y （4） dx dy =exp(2x-y) （5） dx dy =21y 2- （6） x 2 ydx=(1- y 2 +x-2 x 2 y 2 )dx （7）( x 2 +1)( y 2 -1)dx+xydy=0 10.叙述齐次函数的定义 11．试给出一阶方程y ` ＝f(x,y)或p(x,y)dx+ q(x,y)dy=0为齐次方程的特征。说明二

个方程的关系。 12．求解齐次方程通常用什么初等变换，新旧函数导数关系如何 13．求解下列方程 dx dy ＝2 22y x xy - 14．求解下列方程（1）（x+2y ）dx —xdy=0 (2) dx dy =x y +y x 2 15. dx dy =22y x xy + 16(x 2 +y 2 )dx —2xydy=0 17. dx dy =5 242+---y x x y 18―――――19 20―――――――27

《常微分方程》期末模拟试题

《常微分方程》模拟练习题及参考答案一、填空题（每个空格4分，共80分） 1、n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是 n 个。 2、一阶微分方程 2=dy x dx 的通解为 2=+y x C （C 为任意常数），方程与通过点（2，3）的特解为 2 1=-y x ，与直线y=2x+3相切的解是 2 4=+y x ，满足条件3 3ydx =?的解为 22=-y x 。 3、李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的必要条件。 4、对方程 2()dy x y dx =+作变换 =+u x y ，可将其化为变量可分离方程，其通解为 tan()=+-y x C x 。 5、方程过点共有无数个解。 6、方程 ''2 1=-y x 的通解为 42 12122=-++x x y C x C ，满足初始条件13|2,|5====x x y y 的特解为 4219 12264 =-++x x y x 。 7、方程无奇解。 8、微分方程2260--=d y dy y dx dx 可化为一阶线性微分方程组 6?=??? ?=+??dy z dx dz z y dx 。 9、方程的奇解是 y=0 。 10、35323+=d y dy x dx dx 是 3 阶常微分方程。 11、方程 22dy x y dx =+满足解得存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面。 12、微分方程22450d y dy y dx dx --=通解为 512-=+x x y C e C e ，该方程可化为一阶线性微分方程组 45?=??? ?=+??dy z dx dz z y dx 。 2 1d d y x y -=)1,2 (πx x y x y +-=d d y x y =d d

常微分方程试题库.

常微分方程一、填空题 1 .微分方程(立)n +业—VEX? = 0的阶数是 dx dx 答：1 2 .若M (x, V)和N (x, V)在矩形区域R内是(x, V)的连续函数，且有连续的一阶偏导数，则方程M (x,y)dx + N(x, y)dy =0有只与V有关的积分因子的充要条件是血 f N -1 答：(亏一寸M)= (V) 3. ^为齐次方程. 答：形如dV =g(V)的方程 dx x 4 .如果f (x, V) ___________________________________________ M ,业=f (x, V)存在 dx 唯一的解y = %x)，定义丁区问x-x o

8. 若X i (t)(i =1,2,.....n)为齐次线性方程的一个基本解组，x(t)为非齐次线性方程的一个特解,则非齐次线性方程的所有解可表为答：X =' c i x i - X i 4 9. 若中(X)为毕卡逼近序列虬(X)}的极限，则有|%x)M n(x)W 答：MLh n1 (n 1)! 10. 为黎卡提方程，若它有一个特解y(x),则经过变换 ____________________ ,可化为伯努利方程. 答：形如—=p(x)y2+q(x)y + r (x)的方程y = z + y dx 11. 一个不可延展解的存在区间一定是区间. 答：开 12. ______________________________________________________________ 方程业=后〔满足解的存在唯一性定理条件的区域是_______________________________ . dx ' 答：D ={(x,y)在R2y >0},(或不含x轴的上半平■面) 13 .方程华=x2sin y的所有常数解是. dx 答：y =k二，k =0, —1, —2, 14. 函数组明(x)*2(x)，…，气(x)在区间I上线性无关的条件是它们的朗斯基行列式在区间I上不包等丁零. 答：充分 15. 二阶线性齐次微分方程的两个解y〔(x), y2(x)为方程的基本解组充分必要条件是. 答：线性无关(或：它们的朗斯基行列式不等丁零) 16. 方程广-2y'+y=0的基本解组是答：e x, xe X 17. 若y =%x)在(s,十8)上连续，则方程d^=

常微分方程应用题和答案

应用题（每题10分） 1、设()f x 在(,)-∞∞上有定义且不恒为零，又()f x '存在并对任意,x y 恒有 ()()()f x y f x f y +=，求()f x 。 2、设()()()F x f x g x =，其中函数(),()f x g x 在(,)-∞∞内满足以下条件 ()(),()(),(0)0,()()2x f x g x g x f x f f x g x e ''===+= （1）求()F x 所满足的一阶微分方程；（2）求出()F x 的表达式。 3、已知连续函数()f x 满足条件320 ()3x x t f x f dt e ??=+ ??? ?，求()f x 。 4、已知函数()f x 在(0,)+∞内可导，()0,lim ()1x f x f x →+∞ >=，且满足 1 1 0()lim ()h x h f x hx e f x →? ?+ ?= ? ?? ? ，求()f x 。 5、设函数()f x 在(0,)+∞内连续，5 (1)2 f =，且对所有,(0,)x t ∈+∞，满足条件 1 1 1 ()()()xt x t f u du t f u du x f u du =+? ??，求()f x 。 6、求连续函数()f x ，使它满足10 ()()sin f tx dt f x x x =+?? 。 7、已知可微函数()f t 满足 31() ()1()x f t dt f x t f t t =-+?，试求()f x 。 8、设有微分方程 '2()y y x ?-=，其中21 ()01x x x ?? 。试求在(,)-∞∞内的连续函数()y y x =使之在(,1)-∞和()1,+∞内部满足所给方程，且满足条件(0)0y =。 9、设位于第一象限的曲线()y f x = 过点122?? ? ? ?? ，其上任一点(,)P x y 处的法线与y 轴的交点为Q ，且线段PQ 被x 轴平分。（1）求曲线()y f x =的方程；（2）已知曲线sin y x =在[0,]π上的弧长为l ，试用l 表示曲线()y f x =的弧长s 。 10、求微分方程(2)0xdy x y dx +-=的一个解()y y x =，使得由曲线()y y x =与直线 1,2x x ==以及x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周的旋转体体积最小。 11、设曲线L 位于xOy 平面的第一象限内，L 上任一点M 处的切线与y 轴总相交，交点记为

常微分方程练习题及答案(复习题)

常微分方程练习试卷一、填空题。 1. 方程23 2 10d x x dt +=是阶（线性、非线性）微分方程. 2. 方程 ()x dy f xy y dx =经变换_______，可以化为变量分离方程 . 3. 微分方程 3230d y y x dx --=满足条件(0)1,(0)2y y '==的解有个. 4. 设常系数方程 x y y y e αβγ'''++=的一个特解*2()x x x y x e e xe =++，则此方程的系数α= ，β= ，γ= . 5. 朗斯基行列式 ()0W t ≡是函数组12(),(),,()n x t x t x t L 在a x b ≤≤上线性相关的条件. 6. 方程 22(2320)0xydx x y dy ++-=的只与y 有关的积分因子为 . 7. 已知 ()X A t X '=的基解矩阵为()t Φ的，则()A t = . 8. 方程组 20'05??=???? x x 的基解矩阵为． 9.可用变换将伯努利方程化为线性方程. 10 .是满足方程 251y y y y ''''''+++= 和初始条件的唯一解. 11.方程的待定特解可取的形式: 12. 三阶常系数齐线性方程 20y y y '''''-+=的特征根是二、计算题 1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直. 2．求解方程13 dy x y dx x y +-=-+. 3. 求解方程 222()0d x dx x dt dt += 。 4．用比较系数法解方程. . 5．求方程 sin y y x '=+的通解. 6．验证微分方程 22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=是恰当方程，并求出它的通解.

常微分方程试题模拟试题(一)

常微分方程试题模拟试题（一）一、填空题（每小题3分，本题共15分） 1 ．方程d d y x =满足初值解的存在且惟一性的区域是． 2．方程0d )1(d )1(=+++y x x y 所有常数解是． 3．线性方程0y y ''+=的基本解组是． 4．(,)y f x y '有界是保证方程d (,)d y f x y x =初值解惟一的条件． 5．向量函数组在区间I 上的朗斯基行列式()0W x =是它们线性相关的条件．二、单项选择题（每小题3分，本题共15分） 6．积分方程11()1()d x y x y s s s =+?的解是（）．（A ）1y = （B ）e x y = （C ）0y = （D ）y x = 7. 一阶线性微分方程d ()()d y p x y q x x +=的积分因子是（）．（A ）?=x x p d )(e μ （B ）?=x x q d )(e μ （C ）?=-x x p d )(e μ （D ）?=-x x q d )(e μ 8．方程 ?????≠==0 ,ln 00d d y y y y x y 当当，在xoy 平面上任一点的解（）．（A ）都不是惟一的（B ）都是惟一的（C ）都与x 轴相交（D ）都与x 轴相切 9．平面系统???????+=+=y x t y y x t x 43d d 2d d 的奇点类型是（）．（A ）不稳定结点（B ）稳定焦点（C ）不稳定焦点（D ）鞍点 10．方程0y y ''+=的任一非零解在(,)x y 平面的x 轴上任意有限区间内（）零点．（A ）无（B ）只有一个（C ）至多只有有限个（D ）有无限个三、计算题（每小题8分，共40分）求下列方程的通解或通积分： 11. 2211d d x y x y --= 12. ()d ()d 0x y x x y y +--= 13. 2y xy y ''=+ 14．012)(2=+'-'y x y 15．032 22=-'-''y x y y y 四、计算题（本题15分）

常微分方程题库

常微分方程试题库（一）、填空题（每空3分） 1、当_______________时，方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 称为恰当方程，或称全微分方程，其原函数为：。 2、形如________________的方程，称为齐次方程。 3、求),(y x f dx dy =满足00)(y x =?的解等价于求积分方程____________________的连续解。 4、设)(x y ψ=是一阶非齐次线性方程于区间I 上的任一解，)(x ?是其对应齐线性方程于区间I 上的一个非零解。则一阶非齐次线性方程的全部解的共同表达式为：。 5、若)(),...(),(21t x t x t x n 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是__________________________________________。 6、方程组X t A dt dX )(=的_________________,称之为X t A dt dX )(=的一个基本解组。 7、若)(t Φ是常系数线性方程组 AX dt dX =的基解矩阵，则At exp = 。 8、方程称为一阶线性方程，它有积分因子，其通解为。 9、设)(),(21x x ??是与二阶线性方程： )()()(21x f y x a y x a y =+'+''，对应的齐次线性方程的基本解组，则的二阶线性方程全部解的共同表达式为： .10、形如的方程称为欧拉方程。 11、若)(t Φ和)(t ψ都是X t A dt dX )(=的基解矩阵，则)(t Φ和)(t ψ具有的关系：。 12、若向量函数);(y t g 在域R 上，则方程组0000),;(),;(y y t t y t g dt dy ==?的解?存在且惟一。 13、方程),,,,(y )1((n)-'=n y y y x f 经过变换，可化为含有n 个未知函数的一阶微分方程组。 14、方程04=+''y y 的基本解组是． 15、向量函数组)(,),(),(21x x x n Y Y Y 在区间I 上线性相关的

常微分方程期末考试练习题及答案.

一，常微分方程的基本概念常微分方程：含一个白变量x,未知数y及若干阶导数的方程式。一般形式为：F (x, y, y …y(n)) =0 (n 丰0). 1. 常微分方程中包含未知函数最高阶导数的阶数称为该方程的阶。如：f(x)⑶ +3f(x)+x=f(x) 为 3 阶方程。 2. 若f (x)使常微分方程两端恒等，则f (x)称为常微分方程的解。 3. 含有独立的任意个常数(个数等于方程的阶数)的方程的解称为常微分方程的通解。如常系数三阶微分方程F (t , x(3)) =0的通解的形式为：x (t) =cx (t) +C2x (t) +C3x (t )。 4. 满足初值条件的解称为它的特解(特解不唯一，亦可能不存在) 。 5. 常微分方程之线性及非线性：对于F (x, y, y…y(n)) =0而言，如果方程之左端是y, y'…y(n)的一次有理式，则次方程为n阶线性微分方程。(方程线性与否与白变量无关)。如：xy⑵-5y +3xy=sinx 为2阶线性微分方程；y⑵+siny=0为非线性微分方程。注：a.这里主要介绍几个主要的，常用的常微分方程的基本概念。余者如常微分方程之显隐式解，初值条件，初值问题等概念这里予以略去。另外，有兴趣的同学不妨看一下教材23页的雅可比矩阵。 b.教材28页第八题不妨做做。

二.可分离变量的方程

1. 定义：形如dy=f (x) 4 (y)的方程，称为分离变量方程。这里f dx (x), § (x)分别是x, y的连续函数。 2. 解法：分离变量法』芸七=J f (x)dx+c. (*) 说明：a由于(*)是建立在§ (y)乒0的基础上，故而可能漏解。需视情况补上§ (y) =0的特解。(有时候特解也可以和通解统一于一式中) b.不需考虑因白变量引起的分母为零的情况。例 1. ydx (x2-4x)dy =0 解：由题意分离变量得：2dx dy=0 x -4 y 即：1(工-1)dx 业=。 4 x —4 x y 积分之，得:1(ln x—4 —In x)+ln y =c 故原方程通解为：(x-4)y4=cx (c为任意常数)，特解y=0 包含在通解中(即两者统一于一式中)。 *例2.若连续函数f (x)满足f(x)T f(：)dt+|n2,则f (x)是？解：对给定的积分方程两边关于x求导，得： f' (x) = 2 f (x) (变上限求积分求导) 分离变量，解之得：f(x)=Ce2x 由原方程知：f (0) =In2 ,代入上解析式得： C=ln2 ,

常微分方程模拟试题

常微分方程模拟试题一、填空题（每小题3分，本题共15分） 1．一阶微分方程的通解的图像是 2 维空间上的一族曲线． 2．二阶线性齐次微分方程的两个解)(),(21x y x y 为方程的基本解组充分必要条件是． 3．方程02=+'-''y y y 的基本解组是． 4．一个不可延展解的存在在区间一定是区间． 5．方程 21d d y x y -=的常数解是．二、单项选择题（每小题3分，本题共15分） 6．方程y x x y +=-31d d 满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（）．（A ）上半平面（B ）xoy 平面（C ）下半平面（D ）除y 轴外的全平面 7. 方程 1d d +=y x y （）奇解．（A ）有一个（B ）有两个（C ）无（D ）有无数个 8．)(y f 连续可微是保证方程 )(d d y f x y =解存在且唯一的（）条件．（A ）必要（B ）充分（C ）充分必要（D ）必要非充分 9．二阶线性非齐次微分方程的所有解（）．（A ）构成一个2维线性空间（B ）构成一个3维线性空间（C ）不能构成一个线性空间（D ）构成一个无限维线性空间 10．方程32 3d d y x y =过点(0, 0)有（ B ）． (A) 无数个解 (B) 只有一个解 (C) 只有两个解 (D) 只有三个解三、计算题（每小题６分，本题共30分）求下列方程的通解或通积分： 11. y y x y ln d d = 12. x y x y x y +-=2)(1d d 13. 5d d xy y x y += 14．0)d (d 22 2=-+y y x x xy 15．3 )(2y y x y '+'= 四、计算题（每小题10分，本题共20分） 16．求方程2 55x y y -='-''的通解． 17．求下列方程组的通解． ?????? ?-=+=x t y t y t x d d sin 1d d

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