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第二章 一元函数微分学

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一元函数微分学在高等数学中占有重要地位,是考试的主要内容之一,应深入加以理解。在运算方面,应掌握导数的四则运算法则,以及隐函数、反函数和由参数方程确定的函数的求导公式等,并会求函数的微分。本章的另一个重点是利用导数研究函数及平面曲线的形态,并能解决一些简单的应用问题。第三,微分中值定理是导数应用的基础,应理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理及泰勒公式,了解并会用柯西中值定理。

§2-1 导数和微分

本节主要归纳总结求函数的导数和微分的主要方法。导数与微分虽然是两个不同的概念,但它们之间也有关系:d ()()d f x f x x '=。因此只要求出()f x 的导数,由此关系式即可得到它的微分。所以,下面主要是总结求函数的导数的方法。

一、重要概念和重要公式

1. 导数概念

000000000000()()()lim .()()()lim ()()()lim .x x x f x x f x f x x

f x x f x f x x

f x x f x f x x -+∆→-∆→+∆→+∆-'=∆+∆-'=∆+∆-'=∆导 数:左导数:,右导数:

000()()().f x x f x f x -+''⇔=在处可导

2. 导数的几何意义与物理意义

000000000()()(())()()().

1()().()

f x y f x x f x y f x f x x x
y f x x x f x '='-=--=--'为曲线在点,处切线的斜率,切线方程和法线方

f x y f x x f x y f x f x x x y f x x x f x '='-=--=--'为曲线在点,处切线的斜率,切线方程和法线方

程分别为

物理意义:导数可表示为质点的即时速度,棒状物质的线密度,电路中的

电流强度,转动物体的角速度等. 3. 微分概念

000000()()()0d ()()d ()~d (0)d .

()()().y f x x f x y y y f x x o x y f x x y y x y y

x f x x f x x '=≠∆''∆=∆+∆=∆∆∆→∆∆若函数在处可微即可导,且,则与的关系:

由于,,故有,且,均为的一阶无穷小在处连续是在处可微即可导的必要但非充分条件

4. 幂指函数求导公式

()()()[()]()[()ln ()].v x v x u x u x v x u x ''=

5. 由参数方程确定的函数的二阶导数

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