第二章 一元函数微分学
一元函数微分学在高等数学中占有重要地位，是考试的主要内容之一，应深入加以理解。在运算方面，应掌握导数的四则运算法则，以及隐函数、反函数和由参数方程确定的函数的求导公式等，并会求函数的微分。本章的另一个重点是利用导数研究函数及平面曲线的形态，并能解决一些简单的应用问题。第三，微分中值定理是导数应用的基础，应理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理及泰勒公式，了解并会用柯西中值定理。
§2-1 导数和微分
本节主要归纳总结求函数的导数和微分的主要方法。导数与微分虽然是两个不同的概念，但它们之间也有关系：d ()()d f x f x x '=。因此只要求出()f x 的导数，由此关系式即可得到它的微分。所以，下面主要是总结求函数的导数的方法。
一、重要概念和重要公式
1. 导数概念 000000000000()()
()lim
.
()()
()lim ()()
()lim .
x x x f x x f x f x x
f x x f x f x x
f x x f x f x x -+?→-?→+?→+?-'=?+?-'=?+?-'=?导 数：左导数：，
右导数：
000()()().f x x f x f x -+''?=在处可导
2. 导数的几何意义与物理意义 000000000()()(())()()().1
()().()
f x y f x x f x y f x f x x x y f x x x f x '='-=--=-
-'为曲线在点，处切线的斜率，切线方程和法线方
程分别为
物理意义：导数可表示为质点的即时速度，棒状物质的线密度，电路中的电流强度，转动物体的角速度等.
3. 微分
概念
000000()()()0d ()()d ()~d (0)d .
()()().
y f x x f x y y y f x x o x y f x x y y x y y x f x x f x x '=≠?''?=?+?=???→??若函数在处可微即可导，且，则与的关系：由于，，故有，且，均为的一阶无穷小在处连续是在处可微即可导的必要但非充分条件
4. 幂指函数求导公式
()
()()[()]()[()ln ()].
v x v x u x u x v x u x ''=
5. 由参数方程确定的函数的二阶导数
22()d d d d d d .d d d d x t y t t t t t t t y t x x x t t t ?ψψψ??ψ??=()??=?
''????
()() ? ?
'''()()??()????
=== ?''()()
??若，则
6. 几个重要的n 阶导数公式
()()()
1()
1
(sin )sin (cos )cos()1(1)!(1)(1)![ln()]
.
()()n n n n n n n n
n n x x x x n n x a x a x a x a ππ-+?
?=+=+ ?22
??---??
=+= ?+++??
；
；；
7. Leibnitz 公式
()()1(1)
()()
()().n n n k n k k n
n n n n uv u v C u v C u v C uv --'=++
++
+
8. 回答下列问题
000000000()()
(1)lim ()()2()()
.||0lim 0.
2()().h x h f x h f x h A A f x A h
f h f h y x x y h
f x f x A →=→+-+'==--'===''=若为常数，能否导出？
否例如，，不存在，但若增加条件：存在，则可导出答
00000()
(2)()0lim (0).()
(0)lim ()lim 0()(0)()
(0)lim lim .
x x x x x f x f x x A f A x
f x f f x x x
f x f f x f A x x →→→→→'=====?=-'===若在处连续，且，能否导出？
能因为
，
故有
答
00000002
(3)()()(a)()()()(b)()()()(c)()()()()(a)()()()().1
(b).()()0(0)1(0)x f x g x F x f x g x x G x f x g x x x f x F x f x g x x F x x g x F x f x x f x x g x x f g x =+=?=+=-''====若在处，可导，不可导.
在处是否可导？在处是否可导？
若在处也不可导，问在处是否可导？在处必不可导，否则在处可导不一定如，，在处，，答31
(0)()()0(0)0(0)(0)0.(c).()||()||0(0)(0)(0)0.()||()||0(0)(0)(0).
G f x x g x x f g G x
f x x
g x x x f g F f x x g x x x f g F =∞''''=∞==
===∞=''==-=''''====，；而，，在处，，，不一定如，，在处，和不存在，但而，，在处，，不存在，也不存在00000(4)()[].u x x u x y f u u y f x x ???=()=()==()若在处不可导，，而在处也不可导，
问函数在处是否一定不可导？
否如
答
000000()0
0[]0
0.
x x u x x x u y f u u u u y f x x ??≥?=()=?
，
在处不可导，且
，
，
在处也不可导，但
在处可导
二、用导数定义求导数
这种方法用于求函数在某一点的导数（称为点导数），常见于求分段函数在分界点的导数及未假定函数的导数存在的条件时，但要求其导数等问题. 2002002000(0)0()0[]
11
(A)lim (1cos ).(B)lim (1).
11
(C)lim (sin ).(D)lim [(2)()]1(1cos )1cos 1
(A)lim (1cos )lim (0).1cos 2
1(B)lim h h h h h 2h h h f f x x f h f e h h
f h h f h f h h h
f h h f h f h h h f h →→→→+→→→==------'-=?=-1设，则在处可导的充要条件为存在存在存在存在.
例解00022200(1)1(1)lim (0).1(C)()||(0)(sin )|sin |sin lim lim 0.sin 10
(D)()0(0)00(2)()(2)1(1)lim lim h h
h h h 22h h h h f e e
e f e h f x x f f h h h h h h h h h h x x f x x f x f h f h h h h h
→→→→→--'-=?=--'=---=?=-?+≠'==?=?
-+-+==取，则不存在，但
，取，它在处不连续，从而不存在，但
，0.(B).
故选1
(0)1(0)lim ()_________________.
x
x f f f x →'==2设，存在，则例
1()1
1
()10
01
(0)0
lim ()lim[1(()1)]
()1()(0)
lim
lim (0)lim ().
f x f x x
x
x x x x f x
x f x f x f x f x f f x x
f x e -??-→→→→'→=+---'==∴
=解
0()()()(1|sin |)()0[
]
(A)(0)0.
(B)(0)0.
(C)(0)(0)0.(D)(0)(0)0.
()()|sin |()()().
()()0()0.()(0)(0)lim lim x x f x F x f x x F x x f f f f f f g x f x x F x f x g x f x F x x g x x g x g g x -
-
→=+='==''+=-===+==-'==3设可导函数，，若欲使在处可导，则有
设，则
因和在点处可导，故在处可导而
例解00000()(sin )
lim ()(0).
()(0)()sin (0)lim lim lim ()(0).
(0)(0).
(0)0.
(B).
x x x x f x x f x f x
g x g f x x
g f x f x x
f f f --+++→→+→→→?-=-=--?'=====-=故
即
故选231100()(32)||____________.()(1)(2)|(1)(1)|101()(1)
lim
lim(2)|(1)(1)|0.
1
()1(1)0.
()(0)||lim
lim (1)(x x x x f x x x x x f x x x x x x x f x f x x x x x f x x f f x f x x x
x →-→-→→=++-=++-+=---=+-+=+'=-=-=+4的不可导的点的个数为，故只须考虑，，三个点.因
故在点处可导且又因
例解
0||
2)|(1)(1)|2lim
()0()1.()0 1.
x x x x x x f x x f x x f x x x →+-+=====不存在，故在处不可导.
同理可证，在处不可导故的不可导的点为及
0()(21)(32)(10099)(0)___________.
()(0)
(0)lim
lim(21)(32)(10099)99!.
x x f x x x x x f f x f f x x x x
→→'=---=-'==---=-5若，则例解
()50(1sin )3(1sin )8()()()(0)()1()(6(6)).
(6)(1)(6)(1).
0(1)3(1)0(1)0.
(1sin lim
x f x x f x f x x x x o x x f x x y f x f f f f f x f f f f αα→=+--=+=→==''==→-==+6若是周期为的连续函数，它在的某个邻域内满足关系式：
，其中，且在处可导.求曲线在点，处的切线由周期性得
，在已知关系式中令，得
，
故
由已知关系式得
例解000)3(1sin )8()
lim 8.(1sin )3(1sin )
lim
(1sin )(1)sin (1sin )(1)sin lim 3sin (sin )(1)3(1)4(1).
(1) 2.
(6)0,(6) 2.2(6).
x x x x f x x o x x x
f x f x x
f x f x f x f x x x x x f f f f f f y x →→→--+==+--??+---=?+????-??'''=+='='===-另一方面
故
于是所以所求切线方程为
2101
()()(02)12
__________________________.
()1()1x x f x f x ax b x a b f x x f x x ?-≤≤=?+<≤?====7，设，若在，内可导，则常数
，，这是一个可导性讨论的反问题，由在处可导得在处连续，故
例解
1
1
2111
lim ()lim ()(1)0.()1(1)(1)(1)0()0
lim lim 11
2lim 1
2 2.
x x x x x f x f x f a b f x x f f x ax b x x ax a
a x a
b -+
-++
→→-+→→→==+=''==--+-=---==-==-，即
又在处可导，有，即
，也即
，从而
，
220
2
0000
0()()()0()0[
]
(A).(B).(C).(D).
lim ()lim ()0lim ()0lim ()lim ()0(x x x x x x x x f x g x f x x x g x x f x x g x x f x f x f x f x --
+-+
→→→→→→→?>?
==??≤?=======8设，其中是有界函数，则在，处
极限不存在极限存在，但不连续连续，但不可导可导因
，，故
，即例
解2
00200)0.(0)lim lim 0()0
(0)lim lim ()0.
()0.(D).
x x x x x x f x g x f xg x x
f x x +--+→→-→→='===-'====在处连续又因
，故在处可导所以选
()|()|[
]
(A)()0()0.(B)()0()0.
(C)()0()0.(D)()0()0.
()|()|()()|()||()|
lim
lim
()()()()lim |x a x a x a f x x a f x x a f a f a f a f a f a f a f a f a g x f x g x g a f x f a x a x a
f x f a f x f a x a →→→==''===≠''>><<=--=---+=?-9设函数在处可导，则在处不可导的充分必要条件为
且且且且令，因
例解()0()0()()lim ()||()|
|()|()0()0()()0()()
()()
lim ()lim ()
()()|()|.(B).
f a f a x a x a
x a
f x f a f x f a f x f a f a f x a f a
g x g a g x g a f a f a x a
x a
g a g a f x x a '=≠+
-
→→→+
-'?+''≠>=--''==---''≠=当，，时，不妨设，则在的某邻域内单调增加，而，
因
，
故
，即在处不可导故选
32()332200
2
2
()3||(0)_______.40().
20()00()120()6.
lim ()0lim ()(0)0120().60()0.0n x x f x x x x f n x x f x x x f x x x f x x x f x x f x f x f x x f x x x f x x x -
+
→→=+=?≥?
=?
=>'=<'=''=='=?≥?'=?
'=>10设，则使存在的最高阶数，，在处连续.当时
，
当时
故
，所以
，
即
，，在处连续当时
例解
00
00
()240()12.
lim ()0lim ()(0)0240().
120()0.0()240()12.
lim ()lim ()(0) 2.
x x x x f x x x f x x f x f x f x x f x x x f x x x f x x f x f x f x f n -
+
-
+
→→→→''=<''=''''==''=≥?''=?
''=>'''=<'''=''''''≠'''=，
当时
故
，所以
，
即
，，在处连续当时
，当时
因
故不存在.从而
三、复合函数求导
复合函数求导时，关键要看清楚中间变量u 的选取。
2
200011
2201
32d ()arctan ____________.
32d 32
32
d d 12()()d d (32)123arctan .(32)x x x x u u
x u x y y f f x x x x x u x y u f u f u x x x u x π
=====-=-==--??'=== ?
+??-=
+???
?''=?=?????+??????=?=??+4??11已知，，则设，则例解
()2
2
2
2arcsin 1ln 1d .
2x x
x e e y e y ---=
+-12设
，求
例()
()()
(
)
2
22
2
2
2
2
2
2
22
33
22
2
21ln(1)(2)
212221arcsin arcsin 22.
(1)
12arcsin()
d 1x x u
x x
x
x x x
x u e y u u
e x
u u xe u u e xe
xe u e xe e y
e ----
------='??'=+-?-????-?=+?--??
????
=
-=
?----=
-令，则
故
解()
2
3
2
2d .
x x 2
2233
22
21
1
1()(1)()(11)d d 3.d d (1)
1
(41)||
2
d 3
(d d d
ds d x y M x y x s s x A M s x y y y x k y s x x t x s x ρρρρρρρρ=()=≥=??
- ???'''=='1+==
=+''=====?
?
?13设是抛物线，处的曲率半径，是该抛物线上介于点，与点之间的弧长，计算
故
，从而
，
所以
例解1241)4
x +?=
2
2
23
2
2
2
2
d
d
d
d d3
3(41)9.
d d2
s
x
x
s x
ρ
ρρ
ρ
===
??
-=+=
?
??
从而
四、高阶导数
求高阶导数的方法一般有两种：一种是先求出一阶、二阶、三阶导数，从中观察、归纳找出规律，从而得出n阶导数的表达式（称为归纳法）；另一种是利用简单函数的n阶导数的结果及Leibnitz公式求高阶导数。
2
()
11
22
3
24
(4)5
()
()()[()]2 ()[]
(A)![()].(B)[()].
(C)[()].(D)![()].
()2()()2[()]
()3![()]()3![()]
()4![()]
()
n
n n
n n
n
f x f x f x n
f x
n f x n f x
f x n f x
f x f x f x f x
f x f x f x f x
f x f x
f x n
++
'=≥
'''
==
''''
==
=
=
14已知函数具有任意阶导数，且，则当时，
等于
因
，
，
，
归纳可得
例
解
1
![()]
(A).
n
f x+，
故选
()
1
1
1
1
d
()1(1)___________.
d
d
(1)(1)(1)
d
d
(1)(1).
d
n
n
m
n
n
n
m
n
x
n
n m n
n
x
P x x m n P
x
P x x x
x
x x x
x
-
=
-
=
=-=
??
=-+++
??
??
=-?+++
??
15设，，均为正整数，则
因
例
解
()
11
(1)
111
()
11
()
1()
1
Leibnitz (1)(1)(1)(1)(1)(1)(1).
(1)(1)!(1)0.
(1)(1)!.
n n
m n
x n n
m n n x n n m n x n n
n x k n x n n P x x x C x x x x x x x n x k n P n m -=--=-===??=-?++
+??
'????+?-?++
+????
??+
+-++
+??
??-=-????-=
=-由公式
因
，，故
2
2()2
2
(
)()2
()
()
2
2
2
()(32)cos (2)________________.
16
()(2)(1)cos
16
()(2)()(1)cos
16
(2)!(2)0().
Leibnitz (2)()
()
!(1)cos
16
n n n
n
n
n
n k n n n
x x x x
f x x x f x f x x x x u x x v x x u n u k n x f
u x v x n x ππππ====-+==--=-=-==<=?=?-16设，则因
，
令
，，
则
，由公式
例解!.=
2
2(1)()2(1)()(arcsin )(1)(21)(1)0
(3)(0).
n n n n y x x y n xy n y n n N y +-=-----=≥∈17设，试证明关系式
成立，，并求因
例解
2(1)21()22(1)2()(1)
112(1)2(arcsin )2arcsin .
(1) 2.
(1)(Leibnitz )
(1)(1)(1)10(1)(21)n n n n n n n n n n y x x y x y xy x n y x C y x C y x y x C y
x y n +----+'='='''=
'''--=-'''-+-+---?=---故
两边求导
即
在上式两边关于求次导数结合公式即
()2(1)()2(2)22(4)212
(1)0.
0(0)(2)(0)(2)(4)0.2[(1)!]2n n n n n m xy n y x y n y n n y n m n n m ------===-=--=
??
=?-=?
?
令，得
，为奇数，为偶数，
五、隐函数求导
d ()0()d d ()d y
F x y y y x x
y x y x ==设方程，确定了隐函数，求的方法为：将方程两边对求导是中间变量，求导后从结果中解出
，可得其表达式.2
222
10
()d ()sin d 0.
d d cos 10
(*)
d 01y x t x y x y y y x x
e t x x y x e x x y --=--=-=??
--= ???
==?18设由方程所确定，求两边对求导，得
由所给方程得时，故
例解2
22()20
222
d 1.
d (*)d d sin 2()10d d d 011d d 2.
d x y x x x y
e x
x y y x e
y x x x y x y e x
y
e x =--===+??
??-----+=?? ???????
===+=式两边再对求导，得
，
将，，
代入上式，得
2
2
222()1()(0)____________.d d ()11(*)
d d 00d 1.
d (*)d d d d d 110d d d d d d 00d y y x y
y e x y x x y y x y x y y e y x x x x x y y x
x y y y y y e e x x x x x x y
x y x --=--''+-=+==????
-+-+-= ? ?????
===-??--+-+-+= ???
==19设由确定，则两边对求导，得
，由所给方程得时，所以
式两边对求导，得
，将，，例解0
22
1d (0) 3.
d x x y y x ===-''==-代入，得
六、参数方程确定的函数求导
22
(1)0d ().
d 1000 1.d 2 1.d y t x t t y
y y x x te y t x y x
t t
=+-=?=?++=?===-=-20已知函数由方程组确定，求因时，，由第一个方程得
例解
10
22
2
22
d d 0d d d .d 1d d 1d d d .d (1)(12)
d d (1)(12)(12)2(1)d d d [(1)(12)]
d d d d d y y y
y
t t y
y y y y y y y y t t y y
e te t t
y e t te x y e t
t
y e x te t x y y te t e e e te t te t t y
te t x x t
y x -===++=-=+=-=-=+-????+-??-+--+ ???????
+-=第二个方程两边关于求导
，
解得
所以
，
，
两边再对求导，得
，
故
221210
(2)(1)2().
e e e e e -----=--+-=-
arctan 30232
21d ()(02)125____________________________.
(02)0d 11
1d 1(arctan )1d d 2
20.d d 02t t t t t x u y y x u y ty e t x
t
t t t y y
y t y e t t
t y ==?=?=+??-+=?
==
?
=++--?+===?21设由所确定，则过点，的切线方程为因为点，对应，由第一个方程得
，
第二个方程两边关于求导
将，代入，解得
例解0
(02)
d 3.d 2
d 3.d 232.2t y t
y x
y x ===-=
，所以
因此，切线方程为
七、求切线和法线
22(01)
()cos()1()(01)_______________________.
d d 2sin()0,
d d d 2.
d 1
12
1.2
x y x y y y x e xy e y f x y y e xy y x x x y x
y x x y ++=-=-=???
?+++= ? ????
?=--=
=
+22，设函数由方程所确定,则曲线在点，处的法线方程为由隐函数求导法，
故
所以法线方程为
，即
例解2()()()(0)2
cos ,sin ,e e e e x e y e π
θ
ππ
θθπ
ρρθπ
θθ22
==2
==23对数螺线在点，，处的切线的直角坐标方程为
_________________.
点，对应的直角坐标为，，对数螺线的参数方程为
故
例解
d d (cos sin )d 1.
d d (cos sin )
d .
x y y e x x
e y e x x y e θθ
πθπθπ
π
θθθθθθ
==2
=2
22+===---=-+=所以切线方程为
，
即
(00)()(00) 2.1
1(2).2
.
2y a y x a a y x x y =--=-=
-=24求由点，向曲线.设切点为，则切线方程为
，
将，代入得
所以切线方程为
即
例解
§2-2 中值定理及其应用
本节主要是利用中值定理及Taylor 公式证明“中值等式命题”及“不等式”，并用零点定理或罗尔定理证明方程根的存在性，利用单调性来讨论方程的根，这些内容是导数应用的重要组成部分.
一、重要公式
1. Rolle 定理 []()()()()()0.f C a b D a b f a f b a b f ξξ∈=∈'=若，，，且，则至少存在一点，，使得
2. Lagrange 中值定理
[]()()()()()().f C a b D a b a b f b f a f b a ξξ∈∈'-=-若，，，则至少存在一点，，使得
3. Cauchy 中值定理
[]()()0()()()()
.
()()()f g C a b D a b g x a b f b f a f g b g a g ξξξ'∈≠∈'-='-若，，，，且，则至少存在一点，，使得
4. Taylor
公式 0200000()(1)10000(1)00()()(1)()()
()()()()()2!
()()()()!(1)!
Lagrange Taylor ()()(n n n n n f x x a b n x a b f x f x f x f x x x x x f x f x x x x n n x x f x f x f x ξξ++++∈'''=+-+
-++-+-+
=若在含有的某个开区间，内具有直到阶的导数，则对任意，，有
，
其中是与之间的某个数.上式称为带余项的公式.
若存在，则有
20000()000()
)()()()2!
()()(()).
!
Peano Taylor .
n n n f x f x x x x x f x x x o x x n '''+-+
-++-+
-上式称为带余项的公式 5.
零点定理
[]()()0()()0.f C a b f a f b a b f ξξ∈?<∈=若，，且，则至少存在一点，，使得
二、证明“中值等式命题”
这个内容与证明“定积分命题”是一元函数范围内考察逻辑推理能力及分析构造能力的重要部分。这里一般方法如下：先把题求中的“等式”改写成某个中值定理的形式，然
后作出适当的辅助函数()F x 及相关区间[]a b ，，再对()F x 在[]a b ，上应用相关的中值定理。
()()[]()0.()()()().
()()()
()()()()()()()()0.
()()()()()()()()[]()()()()(f x g x a b g x c a b f a f c f c g c g b g c f a g c f c g c f c g c f c g b F x f a g x f x g x g b f x F x a b a b F x f a g x f x '≠∈'-='-''''--+==-+''=-1设，在，上可微，且证明存在一点，，使得
即证
令，则在，上连续，在，内可导，且
例证)()()()()().
()()()()Rolle ()()0.()()()()()()()()0()()()
.
()()()
g x f x g x g b f x F a f a g b F b c a b F c f a g c f c g c f c g c f c g b f a f c f c g c g b g c '''-+=='∈=''''--+='-='-又
，由定理，至少存在一点，，使得即
，也即
00200()[01](0)(1).(01)2()()()0.
[01](01)(0)(1)Rolle (01)()0.
()(1)()()[1](1)()(1)[2()f x f f f f f C f f x f x F x x f x F x x x F x x f x ξξξξ=∈'''+-1=∈='∈='=-''=-2设函数在，上二阶可导，求证：存在，，使得
因，，在，内可导，且，故由定理知，至少存在一点，，使得令，则在，上连续，在，内可导，且
例证00(1)()].()0(1)
Rolle (1)(01)()0()[2()()()]0.
1x f x F x F x F f f ξξξξξξξ''+-==∈?'='''-1+-1=≠又
由定理知，得至少存在一点，，，使得
，即
因，故有
2()()()0.f f ξξξ'''+-1=
33[12]()(12)()0(1)(2)0(12)()
3.()
()()()[12](12)()[()3()](1)0(2).
Rolle (12)()0()3()x x f C f x f x f f f f F x e f x F x F x e f x f x F F F f f ξξξξξξξ--'∈≠==?∈'==''=-==∈'='-=3设，，在，内存在，且，又，证明：，，使得
令，则在，上连续，在，内可导，
，
又
故由定理知，至少存在一点，，使得
，即
例证0()
3.()
f f ξξ'=，
也即
23
()[11](1)0(1)1(0)0.(11)()()0Taylor (0)()()(0)(0)(0).
2!11(0)0((0)0(1)(0)2!f x f f f f f x x f f f x f f x x x x x x f f f f f ξξηη--==''''=∈-=3.=''''''=+++3!
'=-=='''''=-=+-4设在闭区间，上具有三阶连续导数，且，，证明：至少存在，，使将在点展开成公式
在与之间分别令和并注意到，得
例证12)
((10))
3!()
(0)1(1)(0)((01))
2!3!
()() 6.()[](11)()[]()()
.
2
f f f f f f f x f x M m f f m M ξξξξξξξξξξξξ1221211212∈-'''''==++∈''''''+=''''''?-''''''+≤
≤，，两式相减得
因在，，上连续，由最大值定理知在，上有最大值和最小值，从而
[](11)()()
()2
() 3.f f f f ξξξξξξξ1212∈?-''''''+'''='''=由介值定理得，至少有一点，，，使得
，
即
()()()()(01)1
()0.lim .
2
f x f x h f x hf x h f x θθθ→'+=++<<''≠=5h 0设有二阶连续导数，且，证明：例2
2
10
Taylor ()()()()(01)
2
[()()]()0.
2
Lagrange (01)()()().()
.
()
()lim h h f x h f x h f x f x h h h f x f x h f x h f x h f x f x h h f x h f x h f x θθθθθθθθθθθθθθ112212→'''+=+++∈''''-+++=∈''''+-=+???''+1=?
''2+''由公式得
，，与条件式相减得
由定理，存在，，使得
从而
因是连续函数，故
证0()1()1lim .()2()2
h f x h f x f x h f x θθθ1→2''''+1=
=?=''''2+
()[]()()() 1.()[()()] 1.
[()()].
[]()Lagrange ().()()[]()()[x b a
x x f x a b a b f a f b a b e f f e f f e x e C a b D a b a b e e e b a
F x e f x F C a b D a b F x e f ηξηξξξηηηηη??ξ-==∈'+='+=()=∈∈-=-=∈'=6设在，上连续，在，内可导，且证明：存在，，，使得
即证
令，则，，，由定理，存在，，
使得
令，则，，，且例证()()].x f x '+
Lagrange ()()()[()()].
()()[()()]()[()()] 1.
b a b a b a
a b e f b e f a e f f b a
e f b e f a e e b a b a
e f f e a b e f f η
ηξηξηηηηηξηηη-∈-'=+---=--'+=∈'+=由定理，存在，，使得
由条件得
，
所以
，
即存在，，，使得
三、证明不等式
证明不等式的方法主要有：利用函数单调性方法，利用Taylor 公式方法及对不等式组利用最值方法。
1
12
2
2
0(1).
011ln(1)12(1)ln(1).
2
()(1)ln(1)([0,))2
()1ln(1)1ln(1)1
()10(0)1
0().()[0)x x
x x e x x x x x x x x x f x x x x x f x x x x x f x x x x f x f x +>+<>??
++<+
???
++<+=+-++∈+∞'=+-+-=-+''=-
>>+''>+∞7证明：当时，即证当时
也即
令，则
，而
，所以当时，单调增加又因在，上连续，例证0()(0)0.
0().()[0)0()(0)0.
x f x f x f x f x x f x f >''>=>+∞>>=故当时
从而当时，单调增加又因在，上连续，故当时
2
1112
0(1)ln(1).
2
(1)
.
x x
x x x x x x e ++>++<++<即当时
也即
22222(01)(1)(1)ln (1)1111(2)1.
ln 2ln(1)2
(1)()(1)ln (1)[01]()2ln (1)2ln(1)12ln(1)
()22ln(1)2.
111(01]ln(1)()0(x x x x x x f x x x x x f x x x x x x f x x x x x
x x x f x x ∈++<-<-<+=-++∈'=-+-+-+''=-+-=?+++∈>+''>∈8设，，证明：；
令，，，则，
当，时，，故
，
所以当例证2222201)().()[01](01]()(0)0.[01]().()[01]0()(0)0(01)(1)ln (1).
11
(2)ln(1)111(1)ln (1)ln (1)1f x f x x f x f x f x f x x f x f x x x x x x x
x x x x x x ??''∈''>=∈>>=∈++<()=
-+++'()=-?+=++，时，单调增加又在，上连续，故当，时，
从而，时，单调增加又因在，上连续，故当时，
，即当，时
令，则
2
220(1)ln (1)
(1)(01)()0(01).()(01](01)1lim x x x x x x x x x x x x x ??????+
→-++∈'<∈()∈()<()<()，
由第小题知，当，时
，
故当，时，单调减少又在，内连续，故当，时
，
而
2
001
11ln 2
1
1ln(1)ln(1)
11lim lim lim lim ln(1)22
(01)11111.ln 2ln(1)2
x x x x x x x x x x x x x x x x ??+
++→→→→()=
--
-+-++()=========+∈-<-<++洛必达法则
x 0
，，所以当，时
22
22
2ln ln
()ln()[]Lagrange Lagrange
()
ln ln112
.
ln ln(0)
1
()0 ()[
a b
a b a
a b b a
f x x f x a b
a b
b a a
b a b a b
x x a x a
x
x
x a
ξ
ξ
?
?
?
<<
-
<<
+-
=
∈
-
=>>
-+
()=->>
'==<
9设，证明不等式
设，则在，上满足定理条件，由
定理，存在，，使得
令，则
，
由在
例
证
22
]
()0.
0()0
ln ln
2ln ln
x x a
x a
b a b
b a
b a
a b
a b a
a b b a
??
?
>
()<=
>><
-
<
-
<<
-
<<
+-
，上连续，当时
所以当时，，即
综上所述，当时
1
()(0)()(0)1|()|
4
[22].
1
(1)|1()|[22]
2
f x f a f a b f f x
a
x a a
f x x a a
'''''
===-<
∈-
'
+<∈-
10设存在，且，，，又，
，证明：
，，；
例
Lagrange
2
11
(2)|()||()|.
24
(1)
11
|1()||()(0)||()|||2
42
(2)|()|.Lagrange
2
()(0)()(0)
(1)
1
|()||(0)()||1()|.
2
f a b f a a
f x f x f f x a
a
x
a
f a
f a f f a a
f a f f a a f a
ξ
ξ
ξξ
ξξ
1
1
2
22
+<<
'''''
+=-?
<
'
-=?∈
''
=+?=+<
公式
由条件得
，
其中在与之间.
先证由定理得
，，
故由知
证
1
|()||()|.Lagrange
2
()()()()
11
|()||()()||[1()]||||()|.
22
11
|()||()|.
24
f a b f a
f a b f a f b a a b
f a b f a bf b f b f a
f a b f a a
ξξ
ξξ
33
33
+<
'
+-=?+
''
+=+=+<=
+<<
再证由定理
在与之间
故
从而
一元函数微分学典型例题 1. 有关左右极限题 求极限??? ?????+++→x x sin e e lim x x x 41 012 ● 根据左右极限求极限， ● 极限x x e lim 1 →， x x sin lim x 0 →，x tan lim x 2 π→，x cot lim x 0→，x cot arc lim x 0→，x arctan lim x 1 0→都不存在， ● A )x (f lim A )x (f lim )x (f lim x x x =?==∞ →-∞ →+∞ → ● 【 1 】 2. 利用两个重要极限公式求1∞ 型极限 x sin x ) x (lim 20 31+→ ● 0→)x (?，e )) x (lim() x (=+??1 1 ● A )x (f lim =0→)x (?，A )x (f ) x (e ])) x (lim[(=+??11 ● 【 6e 】 3. 等价无穷小量及利用等价代换求极限 当0x + → (A) 1- (B) ln (C) 1. (D) 1-. ● 等价无穷小定义：如果1=α β lim ，则称β与α失等价无穷小，记为α∽β， ● 0→x 时，（1）n x x a x a x x x x x x x x x e x x x x x n x x ≈ -+≈-≈-+≈-≈---+≈-≈+≈≈≈≈111112 1 16111112 3 ln )(cos sin )ln(arctan tan sin αα
● 当0→)x (?时，)x (sin ?∽)x (?，11-+n )x (?∽ n ) x (?∽∽ ● 【 B 】 4. 利用单调有界准则求极限 设数列{}n x 满足n n x sin x ,x =<<+110π。证明：极限n n x lim ∞→存在，计算1 1n x n n n x x lim ??? ? ??+∞→ ● 利用单调有界准则球数列或者函数极限的步骤：1。证明数列或函数单调；2。证明 数列或函数是有界；3。等式取极限求出极限。 ● 定理单调有界数列必有极限还可以叙述为单调递减有下界数列必有极限，或单调递 增有上界数列必有极限。 ● 61 1 2 -→=?? ? ??e x x sin lim x x ● 【 0；6 1- e 】 5. 判断函数连续与否以及利用函数的连续性解题 设函数f (x )在x =0处连续，下列命题错误的是： (A) 若0()lim x f x x →存在，则f (0)=0. (B) 若0()() lim x f x f x x →+-存在，则f (0)=0. (C) 若0()lim x f x x →存在，则(0)f '存在. (D) 若0()() lim x f x f x x →-- 存在，则(0)f '存 在 【 】 ● 若()()00 x f x f lim x x =→，则称函数()x f 在点0x 处连续。 ● 左连续右连续则连续。 ● 分段函数的分段点不一定是函数的间断点。 ● 判断函数在某点是否连续的步骤：求函数在该点的极限；求函数在该点的函数值；判断 二者是否相等，相等则连续，否则间断。 6．导数的定义式相关题目 设函数 ()x f 在 x=0某领域内有一阶连续导数，且 ()()0 000≠'≠f ,f 。若 ()()()02f h bf h af -+在0→h 时是比h 高阶的无穷小，试确定a, b. ● 函数在某一点导数的定义： ()()()x x f x x f lim x y lim x f x x ??????000 00-+=='→→ ()()()()()0 0000 00 x x x f x f lim h x f h x f lim x f x x h --=-+='→→
2020年考研数学大纲考点：一元函数微分学 在研究生入学考试中，高等数学是数一、数二、数三考试的公共 内容。数一、数三均占56%(总分150分)，考察4个选择题(每题4分，共16分)、4个填空题(每题4分，共16分)、5个解答题(总分50分)。数二不考概率论，高数占78%，考察6个选择题(每题4分，共24分)、4个填空题(每题5分，共20分)、7个解答题(总分72分)。由高数所 占比例易知，高数是考研数学的重头戏，所以一直流传着“得高数者 得数学。”高等数学包含函数、极限与连续、一元函数微分学、一元 函数积分学、多元函数微分学、多元函数积分学、常微分方程和无穷 级数等七个模块，在梳理分析函数、极限与连续的基础上，继续梳理 对一元函数微分学，希望对学员有所协助。 一元函数微分学包含导数与微分、微分中值定理、导数应用三方 面内容。 1、考试内容 (1)导数和微分的概念；(2)导数的几何意义和物理意义；(3)函数 的可导性与连续性之间的关系；(4)平面曲线的切线和法线；(5)导数 和微分的四则运算(6)基本初等函数的导数；(7)复合函数、反函数、 隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法；(8)高阶导数；(9)一阶 微分形式的不变性；(10)微分中值定理；(11)洛必达(L’Hospital)法则；(12)函数单调性的判别；(12)函数的极值；(13)函数图形的凹凸性、拐点及渐近线；(14)函数图形的描绘；(15)函数的值和最小值；(16)弧微分、曲率的概念；(17)曲率圆与曲率半径(其中16、17只要 求数一、数二考试掌握，数三考试不要求)。 2、考试要求 (1)理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的 几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，理解函数的可导性 与连续性之间的关系；(2)了解导数的物理意义，会用导数描述一些物
第二章 一元函数微分学 一、 导数 （一）、导数概念 1、导数的定义： 设函数)(x f y =在点0x 的某个邻域内有定义，当自变量在点0x 处取得改变量x ?时，函数)(x f 取得相应的改变量，)()(00x f x x f y -?+=?，如果当0→?x 时，x y ??的极限存在，即x y x ??→?0lim x x f x x f x ?-?+=→?)()(lim 000存在，则此极限值为函数)(x f 在点0x 的导数，可记作)(0x f '或|0x x y ='或|0x x dx dy =或|0 )(x x dx x df = 2、根据定义求导数的步骤（即三步曲） ①求改变量)()(x f x x f y -?+=? ②算比值 x y ??x x f x x f ?-?+=)()( ③取极限x y x f y x ??='='→?0lim )(x x f x x f x ?-?+=→?)()(lim 0 例1：根据定义求2 x y =在点3=x 处的导数。 解：223)3(-?+=?x y 2)(6x x ?+?= x x y ?+=??6 6)6(lim lim 0 0=?+=??→?→?x x y x x 3、导数定义的几种不同表达形式 ①x x x x x f x x f x f x ?+=??-?+='→?00000) ()(lim )(令 ②000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→ 时 ＝当0)()(lim )(0000x x x f x f x f x ??-='→? ③x f x f f x )0()(lim )0(0-='→ 4、左右导数的定义： 如果当)0(0-+→?→?x x 时，x y ??的极限存在，则称此极限为)(x f 在点0x 为右导数（左
一元函数微分与中值定理 类型一：高阶导数问题 1、研究函数 1 0()0 x e x f x x -??≠=? =??的各次可微性（7P63） 当0x ≠时，归纳假设12 ()1()()x n n f x P e x - =，再利用导数定义归纳得出0点处 的各阶导数.（马蓉） 2、设5sin ,y x =求()n y （7P64） 积化和差降次后间接求. 3、设arctan ,y x =求()n y （7P64） 隐函数，幂级数 4、设arcsin ,y x =求()(0).n y （7P64）（关倩） 用隐函数形式求导，归纳；利用莱布尼兹求导公式 26、设函数()sin cos22 x f x x =+，则(28)()f π（10P74京6专） 38、设41 x y x =-，求(2001).y （10P204 京13专） 将其化为真分式和多项式之和，再间接求导. 53、设 y x = ，求()(0).n y （10P307 北建88）（曹庆梅） 转化成隐函数形式，利用莱布尼兹公式求高阶导数. 61、设()arctan ,f x x =试导出关系式 2(2)(1)()(1)()2(1)()(1)()0n n n x f x n xf x n n f x +++++++=，并求()(0).n f （10P342北京防化 92） 利用莱布尼兹公式求高阶导数.（周燕） 65、设1997()tan f x x x =，则(1997)(0)f （10P373北科大 97） 77、已知23()(65)(43)(2)f x x x x =+++，求(5)(0).f （9P24）（范玉琴）
高等数学教案—一元函数微分学的应用 课 时 授 课 计 划 第一课时 教学过程及授课内容 教学过程 一、柯西中值定理 定理1（柯西中值定理）如果函数)(x f 与 )(x F 满足下列条件：(1)闭区间 ],[b a 上连续； (2)在开区间),(b a 内可导； (3))('x F 在),(b a 内的每一点均不为零，那么，在),(b a 内至少有一点ξ，使得 二、洛必达法则 把两个无穷小量之比或两个无穷大量之比的极限称为00型或 ∞ ∞ 型不定式(也称为 0型或∞∞ 型未定型)的极限,洛必达法则就是以导数为工具求不定式的 极限方法． 定理2 (洛必达法则)若(1)0)(lim 0 =→x f x x ，0)(lim 0 =→x g x x ； (2))(x f 与)(x g 在0x 的某邻域内（点0x 可除外）可导，且0)('≠x g ； (3)A x g x f x x =''→) () (lim 0(A 为有限数，也可为∞+或∞-)，则 A x g x f x g x f x x x x =''=→→) () (lim )()(lim 00 证 由于我们要讨论的是函数在点0x 的极限，而极限与函数在点0x 的值无关，所以我们可补充)(x f 与)(x g 在0x 的定义，而对问题的讨论不会发生任何影响。令0)()(00==x g x f ，则)(x f 与)(x g 在点0x 就连续了．在0x 附近任取一点x ，并应用柯西中值定理，得 .f(b)f(a)f ( )F(b)F(a)F () ξξ'-='-
) () ()()()()()()(00ξξg f x g x g x f x f x g x f ''=--= (ξ在x 与0x 之间) . 由于0x x →时，0x ξ→，所以，对上式取极限便得要证的结果，证毕． 注：上述定理对∞→x 时的0 未定型同样适用，对于0x x →或∞→x 时的未定型 ∞ ∞ ，也有相应的法则． 例1 求1 2 3lim 2331+--+-→x x x x x x ． 解 123lim 2331+--+-→x x x x x x =12333lim 221---→x x x x =266lim 1-→x x x =46=2 3． 例2求x x x tan cos 1lim π+→． 解 x x x tan cos 1lim π+→=x x x 2πcos 1sin lim -→=0． 例3 求 x x x 1arctan 2 lim -+∞ →π 解 x x x 1arctan 2 lim -+∞ →π =221 11 lim x x x -+- +∞ →=22 1lim x x x ++∞→=1． 除未定型 00与∞ ∞ 之外，还有00,1,0,,0∞∞-∞∞?∞等未定型，这里不一一介绍，有兴趣的同学可参阅相应的书籍，下面就∞-∞未定型再举一例． 例5 求??? ? ?--→x x x x ln 11lim 1． 解 这是∞-∞未定型，通过“通分”将其化为 未定型． x x x x x x x x x x ln )1()1(ln lim ln 11lim 11---=??? ??--→→x x x x x x x 1ln 1 ln 1 lim 1-+ -+=→
第二部分 一元函数微分学 [选择题] 容易题 1—39，中等题40—106，难题107—135。 1．设函数)(x f y =在点0x 处可导，)()(00x f h x f y -+=?，则当0→h 时，必有( ) (A) y d 是h 的同价无穷小量. (B) y y d -?是h 的同阶无穷小量。 (C) y d 是比h 高阶的无穷小量. (D) y y d -?是比h 高阶的无穷小量. 答D 2．已知)(x f 是定义在),(+∞-∞上的一个偶函数，且当0
)(x f 的（ ） （A ）间断点。 （B ）连续而不可导的点。 （C ）可导的点，且0)0(='f 。 （D ）可导的点，但0)0(≠'f 。 答C 6．设函数f(x)定义在[a ，b]上，判断何者正确？（ ） （A ）f （x ）可导，则f （x ）连续 （B ）f （x ）不可导，则f （x ）不连续 （C ）f （x ）连续，则f （x ）可导 （D ）f （x ）不连续，则f （x ）可导 答A 7．设可微函数f(x)定义在[a ，b]上，],[0b a x ∈点的导数的几何意义是：（ ） （A ）0x 点的切向量 （B ）0x 点的法向量 （C ）0x 点的切线的斜率 （D ）0x 点的法线的斜率 答C 8．设可微函数f(x)定义在[a ，b]上，],[0b a x ∈点的函数微分的几何意义是：（ ） （A ）0x 点的自向量的增量 （B ）0x 点的函数值的增量 （C ）0x 点上割线值与函数值的差的极限 （D ）没意义 答C 9．x x f = )(，其定义域是0≥x ，其导数的定义域是（ ） （A ）0≥x
数学考研：一元函数微分学的知识点和常考题型 【大纲内容】 导数和微分的概念 导数的几何意义和物理意义(数三经济意义) 函数的可导性与连续性之间的关系 平面曲线的切线和法线 导数和微分的四则运算基本初等函数的导数 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数(数三不要求)的微分法 高阶导数 一阶微分形式的不变性 微分中值定理 洛必达法则 函数单调性的判别 函数的极值 函数图形的凹凸性、拐点及渐近线 函数图形的描绘 函数的最大值和最小值 弧微分、曲率的概念、曲率圆与曲率半径(数三不要求) 【大纲要求】 1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义(数三经济意义)，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。 2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。 3.了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。 4.会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数(数三不要求)以及反函数的导数。
5.理解并会用罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理(数三了解)，了解并会用柯西(Cauchy)中值定理。 6.掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。 7.理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用。 9.了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。(数三不要求) 【常考题型】 1.导数概念; 2.求给定函数的导数或微分(包括高阶导数)隐函数和由参数方程确定的函数求导; 3.函数的单调性和极值; 4.曲线的凹凸性与拐点; 5.利用微分中值定理证明有关命题和不等式或讨论方程在给定区间内的根的个数; 6.利用洛必达法则求极限; 7.几何、物理、经济等方面的最大值、最小值应用题。解这类问题，主要是确定目标函数和约束条件，判定所讨论区间。
第二章 综合练习题 一、 填空题 1. 若21lim 11x x x b x →∞??+-+= ?+?? ，则b =________. 2. 若当0x →时，1cos x -与2sin 2x a 是等价无穷小，则a =________. 3. 函数21()1ln f x x = -的连续区间为________. 4. 函数2()ln |1| x f x x -=-的无穷间断点为________. 5. 若21sin ,0,(),0, x x f x x a x x ?>?=??+?…在R 上连续，则a =________. 6. 函数()sin x f x x =在R 上的第一类间断点为________. 7 当x → 时，1 1x e -是无穷小量 8 设21,10(), 012,12x x f x x x x x ?--≤
微积分的基本内容可以分为三大块：一元函数微积分，多元函数微积分（主要是二元函数），无穷级数和常微分方程与差分方程。一元函数微积分学的知识点是考研数学三微积分部分出题的重点，应引起重视。多元函数微积分学的出题焦点是二元函数的微分及二重积分的计算。无穷级数和常微分方程与差分方程考查主要集中在数项级数的求和、幂级数的和函数、收敛区间及收敛域、解简单的常微分方程等。 一、熟记基本内容 事实上，数学三考微积分相关内容的题目都不是太难，但是出题老师似乎对基本计算及应用情有独钟，所以对基础知识扎扎实实地复习一遍是最好的应对方法。阅读教材虽然是奠定基础的一种良方，但参考一下一些辅导资料，如《微积分过关与提高》等，能够有效帮助同学们从不同角度理解基本概念、基本原理，加深对定理、公式的印象，增加基本方法及技巧的摄入量。对基本内容的复习不能只注重速度而忽视质量。在看书时带着思考，并不时提出问题，这才是好的读懂知识的方法。 二、紧抓内容重点 在看教材及辅导资料时要依三大块分清重点、次重点、非重点。阅读数学图书与其他文艺社科类图书有个区别，就是内容没有那么强的故事性，同时所述理论有一定抽象性，所以在此再一次提醒同学们读书需要不断思考其逻辑结构。比如在看函数极限的性质中的局部有界性时，能够联系其在几何上的表现来理解，并思考其实质含义及应用。三大块内容中，一元函数的微积分是基础，定义一元函数微积分的极限及微积分的主要研究对象——函数及连续是基础中的基础。这个部分也是每年必定会出题考查的，必须引起注意。多元函数微积分，主要是二元函数微积分，这个部分大家需要记很多公式及解题捷径。无穷级数和常微分方程与差分方程部分的重点很容易把握，考点就那几个，需要注意的是其与实际问题结合出题的情况。 三、检测学习效果 大量做题是学习数学区别与其他文科类科目的最大区别。在大学里，我们常常会看到，平时不断辗转于各自习室占坐埋头苦干的多数是学数学的，而那些平时总抱着小说看，还时不时花前月下的同学多半是文科院系的。并不是对两个院系的同学有什么诟病，这种状况只是所学专业特点使然。在备考研究生考试数学的时候，如果充分了解其特点，就能对症下药。微积分的选择及填空题考查的是基本知识的掌握程度及技巧的灵活运用，可做做《考研数学客观题1500题》，必定能达到所希望的结果。微积分的解答题注重计算及综合应用能力，平时多做这方面的题目既可以练习做题速度及提高质量，也能检测复习效果。 高考数学中关于一元函数微积分学所考查的知识点高考数学中关于一元函数微积分学所考查的知识点：
第九章多元函数微分法及其应用 【教学目标与要求】 1、理解多元函数的概念和二元函数的几何意义。 2、了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上的连续函数的性质。 3、理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件， 了解全微分形式的不变性。 4、理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。 5、掌握多元复合函数偏导数的求法。 6、会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。 7、了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。 8、了解二元函数的二阶泰勒公式。 9、理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格郎日乘数法求条件极值，会求简多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。 【教学重点】 1、二元函数的极限与连续性； 2、函数的偏导数和全微分； 3、方向导数与梯度的概念及其计算； 4、多元复合函数偏导数； 5、隐函数的偏导数；多元函数极值和条件极值的求法； 6、曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线； 【教学难点】 1、二元函数的极限与连续性的概念； 2、全微分形式的不变性； 3、复合函数偏导数的求法； 4、二元函数的二阶泰勒公式； 5、隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数； 6、拉格郎日乘数法，多元函数的最大值和最小值。 【教学课时分配】 (18学时) 第1 次课§１第2 次课§2 第3 次课§3 第4 次课§4 第5次课§5 第6次课§6 第7次课§7 第8次课§8 第9次课习题课 【参考书】 [1]同济大学数学系.《高等数学（下）》，第五版.高等教育出版社. [2] 同济大学数学系.《高等数学学习辅导与习题选解》，第六版.高等教育出版社. [3] 同济大学数学系.《高等数学习题全解指南（下）》，第六版.高等教育出版社
第二部分 一元函数微分 [选择题] 容易题 1—39，中等题40—106，难题107—135。 1．设函数)(x f y =在点0x 处可导，)()(00x f h x f y -+=?，则当0→h 时，必有( ) (A) y d 是h 的同价无穷小量. (B) y y d -?是h 的同阶无穷小量。 (C) y d 是比h 高阶的无穷小量. (D) y y d -?是比h 高阶的无穷小量. 答D 2． 已知)(x f 是定义在),(+∞-∞上的一个偶函数，且当0
（C ）可导的点，且0)0(='f 。 （D ）可导的点，但0)0(≠'f 。 答C 6．设函数f(x)定义在[a ，b]上，判断何者正确？（ ） （A ）f （x ）可导，则f （x ）连续 （B ）f （x ）不可导，则f （x ）不连续 （C ）f （x ）连续，则f （x ）可导 （D ）f （x ）不连续，则f （x ）可导 答A 7．设可微函数f(x)定义在[a ，b]上，],[0b a x ∈点的导数的几何意义是：（ ） （A ）0x 点的切向量 （B ）0x 点的法向量 （C ）0x 点的切线的斜率 （D ）0x 点的法线的斜率 答C 8．设可微函数f(x)定义在[a ，b]上，],[0b a x ∈点的函数微分的几何意义是：（ ） （A ）0x 点的自向量的增量 （B ）0x 点的函数值的增量 （C ）0x 点上割线值与函数值的差的极限 （D ）没意义 答C 9．x x f = )(，其定义域是0≥x ，其导数的定义域是（ ） （A ）0≥x （B ）0≠x （C ）0>x （D ）0≤x 答C
第八章 多元函数微分法及其应用 第一讲 多元函数的基本概念 授课题目： §8.1多元函数的基本概念 教学目的与要求： 1、理解多元函数的概念． 2、了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质． 教学重点与难点： 重点：多元函数的概念、二元函数的极限和连续的概念． 讲授内容： 一、平面点集 n 维空间 1、平面点集 平面上一切点的集合称为二维空间, 记为R 2 即 R 2=R ?R={(x , y )：x , y ∈R } 坐标平面上具有某种性质P 的点的集合, 称为平面点集，记作 E ={(x , y )：(x , y )具有性质P }. 例如，平面上以原点为中心、r 为半径的圆内所有点的集合是 C ={(x , y )：x 2+y 2 如果不需要强调邻域的半径δ, 则用U (P 0)表示点P 0的某个邻域, 点P 0的去心邻域记作)(0P U ．. 点与点集之间的关系： 任意一点P ∈R 2与任意一个点集E ?R 2之间必有以下三种关系中的一种： （1）内点：如果存在点P 的某一邻域U (P ), 使得U (P )?E , 则称P 为E 的内点． （2）外点：如果存在点P 的某个邻域U (P ), 使得U (P )?E =?, 则称P 为E 的外点． （3）边界点：如果点P 的任一邻域内既有属于E 的点, 也有不属于E 的点, 则称P 点为E 的边点． E 的边界点的全体, 称为E 的边界, 记作?E ． E 的内点必属于E ; E 的外点必定不属于E ; 而E 的边界点可能属于E , 也可能不属于E ． （4）聚点：如果对于任意给定的δ>0, 点P 的去心邻域),(δP U 内总有E 中的点, 则称P 是E 的聚点． 由聚点的定义可知, 点集E 的聚点P 本身, 可以属于E , 也可能不属于E ． 例如, 设平面点集E ={(x , y )|1 [考研类试卷]考研数学一（一元函数微分学）历年真题试卷汇编1 一、选择题 下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。 1 (1998年)函数f(x)=(x2一x一2)|x3一x|不可导点的个数是( ) （A）3 （B）2 （C）1 （D）0 2 (1999年)设其中g(x)是有界函数，则f(x)在x=0处( ) （A）极限不存在 （B）极限存在，但不连续 （C）连续，但不可导 （D）可导 3 (2001年)设f(0)=0，则f(x)在点x=0可导的充要条件为( ) 4 (2004年)设函数f(x)连续，且f′(0)＞0，则存在δ＞0使得( ) （A）f(x)在(0，δ)内单调增加 （B）f(x)在(一δ，0)内单调减少 （C）对任意的x∈(0，δ)有f(x)＞f(0) （D）对任意的x∈(一δ，0)有f(x)＞f(0) 5 (2005年)设函数则f(x)在(一∞，+∞)内( ) （A）处处可导 （B）恰有一个不可导点 （C）恰有两个不可导点 （D）至少有三个不可导点 6 (2006年)设函数y=f(x)具有二阶导数，且f′(x)＞0，f"(x)＞0，△x为自变量x在X0处的增量，△y与dy分别为f(x)在点x0处对应的增量与微分，若△x＞0，则( ) （A）0＜dy＜△y （B）0＜△y＜dy （C）△y＜dy＜0 （D）dy＜△y＜0 7 (2007年)设函数f(x)在x=0连续，则下列命题错误的是( ) 8 (1998年)设f(x)连续，则 （A）xf(x2) （B）一xf(x2) （C）2xf(x2) （D）一2xf(x2) 9 (2008年)设函数则f′(x)的零点个数为( ) （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 10 (2000年)设f(x)，g(x)是恒大于零的可导函数，且f′(x)g(x)一f(x)g′(x)<0，则当a ＜x＜b时，有( ) （A）f(x)g(b)＞f(b)g(x) （B）f(x)g(a)＞f(a)g(x) （C）f(x)g(x)＞f(b)g(b) （D）f(x)g(x)＞f(a)g(a) 第一章 函数与极限 1. 函数 会求函数的定义域，对应法则； 几种特殊的函数（复合函数、初等函数等）； 函数的几种特性（有界性、单调性、周期性、奇偶性） 2. 极限 （1）概念 无穷小与无穷大的概念及性质； 无穷小的比较方法；（高阶、低阶、同阶、等价） 函数的连续与间断点的判断 （2）计算 函数的极限计算方法（对照极限计算例题，熟悉每个方法的应用条件） 极限的四则运算法则 利用无穷小与无穷大互为倒数的关系； 利用无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小的性质； 消去零因子法； 无穷小因子分出法； 根式转移法； 利用左右极限求分段函数极限； 利用等价无穷小代换（熟记常用的等价无穷小）； 利用连续函数的性质； 洛必达法则（掌握洛必达法则的应用条件及方法）； ∞∞或00型，) ()(lim )()(lim x g x f x g x f ''= 两个重要极限（理解两个重要极限的特点）；1sin lim 0=→x x x ，1)()(sin lim 0)(=??→?x x x e x x x =+→10)1(lim ，e x x x =+∞→)11(lim ， 一般地，0)(lim =?x ，∞=ψ)(lim x ，)()(lim )())(1lim(x x x e x ψ?ψ=?+ 3 函数的连续 连续性的判断、间断点及其分类 第二章 导数与微分 1 导数 （1）导数的概念：增量比的极限；导数定义式的多样性，会据此求一些函数的极限。 导数的几何意义：曲线上某点的切线的斜率 （2）导数的计算： 基本初等函数求导公式； 导数的四则运算法则；（注意函数积、商的求导法则） 复合函数求导法则（注意复合函数一层层的复合结构，不能漏层） 隐函数求导法则（a ：两边对x 求导，注意y 是x 的函数；b ：两边同时求微分；） 高阶导数 2 微分 函数微分的定义，dx x f dy x x )(00'== 第三章 导数的应用 洛必达法则（函数极限的计算） 函数的单调性与极值，最值、凹凸性与拐点的求法 一元函数微分学练习题答案 一、计算下列极限： 1．93 25 235lim 222-=-+=-+→x x x 2．01)3(3)3(13lim 2 2223=+-=+-→x x x 3．x x x 11lim --→) 11(lim )11()11)(11(lim 00+--=+-+---=→→x x x x x x x x x 21 1 011 1 11lim -=+--= +--=→x x 4．0111 111lim )1)(1()1(lim 112lim 1212 21=--+-=-+=-++=-++-→-→-→x x x x x x x x x x x 5．21 )23()124(lim 2324lim 202230=++-=++-→→x x x x x x x x x x x x 6．x t x t x t x x t x t x t x t t t 2)2(lim ) )((lim )(lim 00220-=--=--+-=--→→→ 7．0001001311 1lim 13lim 4 2322 42=+-+=+-+ =+-+∞ →∞→x x x x x x x x x x 8．943)3(2) 13()31()12(lim )13()31()12(lim 10 82108 210 108822=-?=---=---=∞→∞→x x x x x x x x x x x 原式 9．2)211(lim 22 11)211(1lim )21...41211(lim =-=-- =++++∞→∞→∞→n n n n n n 10．21 2lim 02tan lim 3sin lim )2tan 3sin (lim 0000=+=+=+ →→→→x x x x x x x x x x x x x x 11．01 sin lim 20=→x x x （无穷小的性质） 第二部分 一元函数微分学 [选择题］ 容易题 1—39，中等题40—106，难题107-135。 1．设函数)(x f y =在点0x 处可导,)()(00x f h x f y -+=?,则当0→h 时，必有（ ) （A) y d 是h 的同价无穷小量. (B) y y d -?是h 的同阶无穷小量。 （C) y d 是比h 高阶的无穷小量。 (D ） y y d -?是比h 高阶的无穷小量. 答D 2．已知)(x f 是定义在),(+∞-∞上的一个偶函数，且当0 )(x f 的（ ) （A ）间断点。 （B ）连续而不可导的点. (C ）可导的点,且0)0(='f . （D ）可导的点，但0)0(≠'f . 答C 6．设函数f(x ）定义在［a ，b]上,判断何者正确？( ） （A ）f(x ）可导,则f （x ）连续 (B ）f （x ）不可导，则f （x ）不连续 （C)f （x ）连续，则f （x)可导 （D ）f （x ）不连续，则f （x ）可导 答A 7．设可微函数f(x ）定义在［a ，b]上,],[0b a x ∈点的导数的几何意义是：（ ） （A)0x 点的切向量 （B ）0x 点的法向量 （C ）0x 点的切线的斜率 （D ）0x 点的法线的斜率 答C 8．设可微函数f （x)定义在[a ，b ］上，],[0b a x ∈点的函数微分的几何意义是：（ ） (A)0x 点的自向量的增量 （B ）0x 点的函数值的增量 (C ）0x 点上割线值与函数值的差的极限 （D ）没意义 答C 9．x x f =)(，其定义域是0≥x ,其导数的定义域是（ ) （A ）0≥x 一、一元函数微分学 一元函数微分学由导数和微分组成。导数：样本量随自变量的变化而变化的快慢程度；微分：曲线的切线上的纵坐标的增量。 二、常数和基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1)(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2 csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1)(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 2 11)(arcsin x x -= ' (14) 2 11)(arccos x x -- =' (15) 2 1(arctan )1x x '= + (16) 2 1(arccot )1x x '=- + 三、函数的和、差、积、商的求导法则 设)(x u u =，)(x v v =都可导，则 （1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数） （3） v u v u uv '+'=')( （4） 2v v u v u v u '-'= ' ??? ?? 四、反函数求导法则 若函数)(y x ?=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ?，则它的反函数)(x f y = 在对应区间x I 内也可导，且 )(1 )(y x f ?'= ' 或 dy dx dx dy 1= 五、复合函数求导法则 设)(u f y = ，而)(x u ?=且)(u f 及)(x ?都可导，则复合函数 )]([x f y ?=的导数为 dy dy du dx du dx = 或()()y f u x ?'''= 六、高阶导数的莱布尼兹公式 七、隐函数的导数 一般地，如果变量x ，y 之间的函数关系是由某一个方程 ()0,=y x F 所确定，那么这种函数就叫做由方程所确定的隐函数. 对数求导法 根据隐函数的求导法，我们还可以得到一个简化求导运算的方法.它适合由几个因子通过乘、除、乘方、开方所构成的比较复杂的函数（包括幂指函数）的求导.这个方法是先取对数，化乘、除为加、减，化乘方、开方为乘积，然后利用隐函数求导法求导， 考研数学一元函数微分学复习指导 来源：文都教育 一元函数微分学在微积分中占有极重要的位置，导数和微分是微分学两个基本概念，是研究函数局部性态的基础，微分中值定理建立了函数和导数之间的关系。为了便于大家复习，文都考研数学教研室老师帮大家梳理了本章的知识点和常考题型。 【大纲内容】 导数和微分的概念 导数的几何意义和物理意义（数三经济意义） 函数的可导性与连续性之间的关系 平面曲线的切线和法线 导数和微分的四则运算基本初等函数的导数 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数（数三不要求）的微分法 高阶导数 一阶微分形式的不变性 微分中值定理 洛必达法则 函数单调性的判别 函数的极值 函数图形的凹凸性、拐点及渐近线 函数图形的描绘 函数的最大值和最小值 弧微分、曲率的概念、曲率圆与曲率半径（数三不要求） 【大纲要求】 1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义（数三经济意义），会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系. 2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式.了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分. 3.了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数. 4.会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数（数三不要求）以及反函数的导数. 5.理解并会用罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理（数三了解），了解并会用柯西(Cauchy)中值定理. 6.掌握用洛必达法则求未定式极限的方法. 7.理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用. 8.会用导数判断函数图形的凹凸性(注：在区间(),a b 内，设函数 () f x 具有二阶导数。当 () ''0 f x> 时， () f x 的图形是凹的;当 () ''0 f x< 时， () f x 的图形是凸的)，会求函数图形的拐点以及水平、 铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形. 9.了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径.（数三不要求） 【常考题型】 1.导数概念； 2.求给定函数的导数或微分（包括高阶导数）隐函数和由参数方程确定的函数求导； 3.函数的单调性和极值； 4.曲线的凹凸性与拐点； 5.利用微分中值定理证明有关命题和不等式或讨论方程在给定区间内的根的个数； 6.利用洛必达法则求极限； 7.几何、物理、经济等方面的最大值、最小值应用题。解这类问题，主要是确定目标函数和约束条件，判定所讨论区间。[考研类试卷]考研数学一(一元函数微分学)历年真题试卷汇编1.doc
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