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人教版八年级数学下册 第十七章 勾股定理全章知识点归纳及典型题分类

人教版八年级数学下册 第十七章 勾股定理全章知识点归纳及典型题分类
人教版八年级数学下册 第十七章 勾股定理全章知识点归纳及典型题分类

勾股定理全章知识点归纳及典型题分类

一.基础知识点: 1:勾股定理

直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。(即:a 2+b 2=c 2

) 要点诠释:

勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系,是直角三角形的重要性质之一,其主要应用:

(1)已知直角三角形的两边求第三边(在ABC ?中,90C ∠=

?,则c

,b

,a )

(2)已知直角三角形的一边与另两边的关系,求直角三角形的另两边

(3)利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2:勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长:a 、b 、c ,则有关系a 2+b 2=c 2

,那么这个三角形是直角三角形。 要点诠释:

勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状,在运用这一定理时应注意: (1)首先确定最大边,不妨设最长边长为:c ;

(2)验证c 2与a 2+b 2是否具有相等关系,若c 2=a 2+b 2

,则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形

(若c 2>a 2+b 2,则△ABC 是以∠C 为钝角的钝角三角形;若c 2

,则△ABC 为锐角三角形)。 (定理中a ,b ,c 及222a b c +=只是一种表现形式,不可认为是唯一的,如若三角形三边长a ,b ,c 满足222a c b +=,那么以a ,b ,c 为三边的三角形是直角三角形,但是b 为斜边)

3:勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系

区别:勾股定理是直角三角形的性质定理,而其逆定理是判定定理;

联系:勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反,都与直角三角形有关。 4:互逆命题的概念

如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设,这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题。

5:勾股定理的证明

勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是

①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理 6:勾股数

①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即222a b c +=中,a ,b ,c 为正整数时,称a ,b ,c 为一组勾股数

②记住常见的勾股数可以提高解题速度,如3,4,5;6,8,10;5,12,13;7,24,25等

③用含字母的代数式表示n 组勾股数:221,2,1n n n -+(2,n ≥n 为正整数); 2221,22,221n n n n n ++++(n 为正整数)2222,2,m n mn m n -+(,m n >m ,n

为正整数) 二、典型题归类 类型一:等面积法求高

【例题】如图,△ABC 中,∠ACB=900,AC=7,BC=24,C D ⊥AB 于D 。 (1)求AB 的长; (2)求CD 的长。

类型二:面积问题

【例题】如下图,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A ,B ,C ,D 的面积之和为

___________cm 2

【练1】如上右图,每个小方格都是边长为1的正方形, (1)求图中格点四边形ABCD 的面积和周长。(2)求∠ADC 的度数

【练2】如图,四边形ABCD 是正方形,AE ⊥BE ,且AE =3,BE =4,阴

影部分的面积是______.

【练3】如图字母B 所代表的正方形的面积是

类型三:距离最短问题

【例题】如图,一个牧童在小河的南4km 的A 处牧马,而他正位于他的小屋B 的西8km 北7km 处,他想把他的马牵到小河边去饮水,然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少?

【练1】如图,一圆柱体的底面周长为20cm ,高AB为4cm ,BC是上底面的直径.一只蚂蚁从点A 出发,沿着圆柱的侧面爬行到点C ,试求出爬行的最短路程.

【练2】如图,边长为1的立方体中,一只蚂蚁从A 顶点出发沿着立方体的外

表面爬到B 顶点的最短路程是( ) A 、3 B 、 C 、 D 、1 【练3】如图,长方体的长为15cm ,宽为10cm ,高 为20cm ,点B 到点C 的距离为5cm ,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从A 点爬到B 点,需要爬行的最短距离是多少?

类型四:判断三角形的形状

【例题】如果ΔABC 的三边分别为a 、b 、c ,且满足a 2

+b 2

+c 2

+50=6a+8b+10c ,判断ΔABC 的形状。

【练1】已知△ABC 的三边分别为m 2-n 2,2mn,m 2+n 2

(m,n 为正整数,且m >n),判

断△ABC 是否为直角三角形.

【练2】.已知a ,b ,c 为△ABC 三边,且满足(a 2-b 2)(a 2+b 2-c 2

)=0,则它的形状为( )三角形A.直角 B.等腰 C.等腰直角D.等腰或直角 【练3】三角形的三边长为

ab c b a 2)(2

2+=+,则这个三角形是( ) 三角形 (A )等边(B )钝角(C ) 直角(D )锐角 类型五:直接考查勾股定理 【例题】在Rt △ABC 中,∠C=90°(1)已知a=6, c=10,求b ; (2)已知a=40,b=9,求c ;(3)已知c=25,b=15,求a.。

B

169

25

小河

2

类型六:构造应用勾股定理 【例题】如图,已知:在中,,,. 求:BC 的长.

练:△ABC 中,AB=AC=20,BC=32,D 是BC 上一点,且AD ⊥AC ,求BD 的长.

类型七:利用勾股定理作长为n 的线段

例1在数轴上表示的点。

作法:如图所示在数轴上找到A 点,使OA=3,

作AC ⊥OA 且截取AC=1,以OC 为半径,以O 为圆心做弧,弧与数轴的交点B 即为。

【练习】在数轴上表示13的点。

类型八:勾股定理及其逆定理的一般用法

【例题】若直角三角形两直角边的比是3:4,斜边长是20,求此直角三角形的面积。

【练习1】等边三角形的边长为2,求它的面积。

2、已知一直角三角形的斜边长是

2,周长是2+6,求这个三角形的面积.

类型九:生活问题 【例题】如下左图,在高2米,坡角为30°的楼梯表面铺地毯,地毯的长至少需________米.

【练1】种盛饮料的圆柱形杯(如上右图),测得内部底面半径为2.5㎝,高为12㎝,吸管放进杯里,杯口外面至少要露出4.6㎝,问吸管要做 ㎝。 【练2】如下左图学校有一块长方形花园,有极少数人为了避开拐角而走“捷

径”,在花园内走出了一条“路”。他们仅仅少走了__________步路(假设2步为1m ),却踩伤了花草。

【练3】如上右图,校园内有两棵树,相距12米,一棵树高13米,另一棵树高8米,一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端,小鸟至少要飞 米. 类型十:翻折问题

【例题】如图,有一个直角三角形纸片,两直角边AC=6cm ,BC=8cm ,现将直角边AC 沿直线AD 折叠,使它落在斜边AB 上,且与AE 重合,你能求出CD 的长吗?

C B

A

D E

【练习1】如图所示,折叠矩形的一边AD ,使点D 落在BC 边的点F 处,已知AB=8cm ,BC=10cm ,求EF 的长。

【练习2】如图,△ABC 中,∠C=90°,AB 垂直平分线交BC 于D 若BC=8,

AD=5,求AC 的长。

如图,把矩形纸片沿折叠,使点落在边上的点处,点

落在点

处。

(1)求证:

(2)设

,试猜想

之间的一种关系,并给予证明.

3、台风是一种自然灾害,它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴,有极强的破坏力,如图,据气象观测,距沿海某城市A的正南方向220千米B处有一台风中心,其中心最大风力为12级,每远离台风中心20千米,

风力就会减弱一级,该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30o方向往C 移动,且台风中心风力不变,若城市所受风力达到或走过四级,则称为受台风影响. (1)该城市是否会受到这交台风的影响?请说明理由. (2)若会受到台风影响,那么台风影响该城市持续时间有多少?

(3)该城市受到台风影响的最大风力为几级?

如图所示,P 为正方形ABCD 内一点,将?ABP 绕B 顺时针旋转?90到?CBE 的位置,若BP=a ,求:以PE 为边长的正方形的面积

如图2-9,△ABC 中,∠ACB=90°,AC=BC ,P 是△ABC 内一点,满足PA=3,PB=1,?PC=2,求∠BPC 的度数.

勾股定理练习题及答案

一、 选择题 1、在Rt △ABC 中,∠C=90°,三边长分别为a 、b 、c ,则下列结论中恒成立的是 ( ) A 、2abc 2 D 、2ab ≤c 2 2、已知x 、y 为正数,且│x 2-4│+(y 2-3)2=0,如果以x 、y 的长为直角边作一个直角三角形,那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为( ) A 、5 B 、25 C 、7 D 、15 3、直角三角形的一直角边长为12,另外两边之长为自然数,则满足要求的直角三角形共有( ) A 、4个 B 、5个 C 、6个 D 、8个 4、下列命题①如果a 、b 、c 为一组勾股数,那么4a 、4b 、4c 仍是勾股数;②如果直角三角形的两边是3、4,那么斜边必是5;③如果一个三角形的三边是12、2 5、21,那么此三角形必是直角三角形;④一个等腰直角三角形的三边是a 、b 、c ,(a>b=c ),那么a 2∶b 2∶c 2=2∶1∶1。其中正确的是( ) A 、①② B 、①③ C 、①④ D 、②④ 5、若△ABC 的三边a 、b 、c 满足a 2+b 2+c 2+338=10a+24b+26c ,则此△为( ) A 、锐角三角形 B 、钝角三角形 C 、直角三角形 D 、不能确定 6、已知等腰三角形的腰长为10,一腰上的高为6,则以底边为边长的正方形的面积为( ) A 、40 B 、80 C 、40或360 D 、80或360 7、如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,D 为AC 上一点,且DA=DB=5,又△DAB 的面积为10,那么DC 的长是( ) A 、4 B 、3 C 、5 D 、 4.5 8、如图,一块直角三角形的纸片,两直角边AC=6㎝,BC=8㎝。现将直角边AC 沿直线AD 折叠,使它落在斜边AB 上,且与AE 重合,则CD 等于( ) A 、2㎝ B 、3㎝ C 、4㎝ D 、5㎝ 9.一只蚂蚁从长、宽都是3,高是8的长方体纸箱的A 点沿纸箱爬到B 点,那么它所行的最短路线的长是_____________。 10.在平静的湖面上,有一支红莲,高出水面1米,阵风吹来,红莲被吹到一边,花朵齐及水面,已知红莲移动的水平距离为2米,问这里水深是________m 。 二.解答题 1.如图,某沿海开放城市A 接到台风警报,在该市正南方向260km 的B 处有一台风中心,沿BC 方向以15km/h 的速度向D 移动,已知城市A 到BC 的距离AD=100km ,那么台风中心经过多长时间从B 点移到D 点?如果在距台风中心30km 的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险,正在D 点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险? A B D C 第7题图 A C D B E 第8题图 A B C D 第1题图 A D B C B ′ A ′ C ′ D ′ 第9题图

八年级初二数学 提高题专题复习勾股定理练习题及答案

八年级初二数学 提高题专题复习勾股定理练习题及答案 一、选择题 1.图中不能证明勾股定理的是( ) A . B . C . D . 2.△ABC 的三边分别为,,a b c ,下列条件能推出△ABC 是直角三角形的有( ) ①222a c b -=;②2 ()()0a b a b c -++=;③ ∠A =∠B -∠C; ④∠A ∶∠B ∶∠C = 1∶2∶3 ;⑤111 ,,345 a b c ===;⑥10,a = 24,b = 26c = A .2个 B .3个 C .4个 D .5个 3.如图,ABC 中,有一点P 在AC 上移动.若56AB AC BC ===,,则AP BP CP ++的最小值为( ) A .8 B .8.8 C .9.8 D .10 4.如图钢架中,∠A =15°,现焊上与AP 1等长的钢条P 1P 2,P 2P 3…来加固钢架,若最后一根钢条与射线AB 的焊接点P 到A 点的距离为3 )

A .16 B .15 C .12 D .10 5.如图,在四边形ABCD 中,∠DAB =30°,点E 为AB 的中点,DE ⊥AB ,交AB 于点E ,DE =3,BC =1,CD =13,则CE 的长是( ) A .14 B .17 C .15 D .13 6.如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=4,BC=3,BD 平分∠ABC ,E 是AB 中点,连接DE ,则DE 的长为( ) A . 10 2 B .2 C . 51 2 + D . 32 7.如图,已知AB AC =,则数轴上C 点所表示的数为( ) A .3- B .5- C .13- D .15- 8.已知直角三角形的两条边长分别是3和5,那么这个三角形的第三条边的长( ) A .4 B .16 C .34 D .4或34 9.如图,直角三角形两直角边的长分别为3和4,以直角三角形的两直边为直径作半圆,则阴影部分的面积是( ) A .6 B . 32 π C .2π D .12

勾股定理典型分类练习题

勾股定理典型分类练习题 题型一:直接考查勾股定理 例1.在ABC ∠=?. C ?中,90 ⑴已知6 BC=.求AB的长 AC=,8 ⑵已知17 AC=,求BC的长 AB=,15 , 变式1:已知,△ABC中,AB=17cm,BC=16cm,BC边上的中线AD=15cm,试说明△ABC 是等腰三角形。 } 变式2:已知△ABC的三边a、b、c,且a+b=17,ab=60,c=13, △ABC是否是直角三角形 你能说明理由吗 题型二:利用勾股定理测量长度 ) 例1如果梯子的底端离建筑物9米,那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米 例2如图,水池中离岸边D点米的C处,直立长着一根芦苇,出水部分BC的长是米,把 芦苇拉到岸边,它的顶端B恰好落到D点,并求水池的深度AC.

| 题型三:勾股定理和逆定理并用 例3 如图3,正方形ABCD 中,E 是BC 边上的中点,F 是AB 上一点,且AB FB 4 1 那么 △DEF 是直角三角形吗为什么 ~ 题型四:旋转中的勾股定理的运用: 例4、如图,△ABC 是直角三角形,BC 是斜边,将△ABP 绕点A 逆时针旋转后,能与 △ACP ′重合,若AP=3,求PP ′的长。 — 变式:如图,P 是等边三角形ABC 内一点,PA=2,PB=23,PC=4,求△ABC 的边长. 分析:利用旋转变换,将△BPA 绕点B 逆时针选择60°,将三条线段集中到同一个三角形中,根据它们的数量关系,由勾股定理可知这是一个直角三角形. * P A P C B

A B D E 10 15 题型五:翻折问题 例5:如图,矩形纸片ABCD 的边AB=10cm ,BC=6cm ,E 为BC 上一 点,将矩形纸片沿 AE 折叠,点B 恰好落在CD 边上的点G 处,求BE 的长. ! 变式:如图,已知长方形ABCD 中AB=8cm,BC=10cm,在边CD 上取一点E ,将△ADE 折叠使点D 好落在BC 边上的点F ,求CE 的长. ( 题型6:勾股定理在实际中的应用: 例6、如图,公路MN 和公路PQ 在P 点处交汇,点A 处有一所中学,AP=160米,点A 到 公路MN 的距离为80米,假使拖拉机行驶时,周围100米以内会受到噪音影响,那么拖拉 机在公路MN 上沿PN 方向行驶时,学校是否会受到影响,请说明理由;如果受到影响, 已知拖拉机的速度是18千米/小时,那么学校受到影响的时间为多少 % 变式:如图,铁路上A 、B 两点相距25km, C 、D 为两村庄,若DA=10km,CB=15km , * DA ⊥AB 于A ,CB ⊥AB 于B ,现要在AB 上建一个中转站E ,使得C 、D 两村到E 站的距离相等.求E 应建在距A 多远处 —

新北师大版八年级上数学勾股定理知识点+对应练习

第一章 勾股定理 1、勾股定理定义:直角三角形的两直角边长的平方和等于斜边的平方。如果用a ,b 和c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么a 2+b 2=c 2. A B C a b c 弦股 勾 勾:直角三角形较短的直角边 股:直角三角形较长的直角边 弦:斜边 2.勾股定理定义的应用: (1)已知直角三角形的两边求第三边(在ABC ?中,90C ∠=?,则22c a b =+,22b c a =-,22a c b =-) (2)已知直角三角形的一边与另两边的关系,求直角三角形的另两边 (3)利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 例. 在Rt △ABC 中,∠C=90° (1)若a=5,b=12,则c=________; (2)b=8,c=17,则S △ABC =________。 3.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等 式,推导出勾股定理 常见方法如下: 方法一:4EFGH S S S ?+=正方形正方形ABCD ,221 4()2 ab b a c ?+-=,化简 可证 方法二: 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积. 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221 422 S ab c ab c =?+=+ 大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c += 4.勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2 ,那么这个三角形是直角三角形。 5.勾股数:满足a 2+b 2=c 2的三个正整数叫做勾股数(注意:若a ,b ,c 、为勾股数,那么 c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b

勾股定理经典例题(教师版)

勾股定理全章知识点和典型例习题 一、基础知识点: 1.勾股定理 内容: 表示方法:如果直角三角形的两直角边分别为a ,b ,斜边为c ,那么 2.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 ①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理 常见方法如下: 3.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长,求第三边在ABC ?中,90C ∠=?, 则 ②知道直角三角形一边,可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题 4.勾股定理的逆定理 如果三角形三边长a ,b ,c 满足222a b c +=,那么这个三角形是直角三角形,其中c 为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状,在运用这一定理时,可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较,若它们相等时,以a ,b ,c 为三边的三角形是直角三角形;若 ,时,以a ,b ,c 为三边的三角形是钝角三角形;若 ,时,以a ,b ,c 为三边的三角形是锐角三角形; ②定理中a ,b ,c 及222a b c +=只是一种表现形式,不可认为是唯一的,如若三角形三边长a ,b ,c 满足222a c b +=,那么以a ,b ,c 为三边的三角形是直角三角形,但是b 为斜边 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时,不能说成:当斜边的平方等于两条直角边的平方和时,这个三角形是直角三角形 5.勾股数 ①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即222a b c +=中,a ,b ,c 为正整数时,称a ,b ,c 为一组勾股数 ②记住常见的勾股数可以提高解题速度,如3,4,5;6,8,10;5,12,13;7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数: 221,2,1n n n -+(2,n ≥n 为正整数); 2221,22,221n n n n n ++++(n 为正整数)2222,2,m n mn m n -+(,m n >m ,n 为正整数)7.勾股定理的应用 c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b a b c c b a E D C B A

最新八年级上册勾股定理练习题及答案

八年级勾股定理练习题及答案 1.在直角三角形ABC中,斜边AB=1,则AB2 2 2AC BC+ +的值是() A.2 B.4 C.6 D.8 2.如图18-2-4所示,有一个形状为直角梯形的零件ABCD,AD∥BC,斜腰DC的长为10 cm,∠D=120°,则该零件另一腰AB的长是______ cm(结果不取近似值). 3.直角三角形两直角边长分别为5和12,则它斜边上的高为_______. 4.一根旗杆于离地面12m处断裂,犹如装有铰链那样倒向地面,旗杆顶落于离旗杆地步16m,旗杆在断裂之前高多少m? 5.如图,如下图,今年的冰雪灾害中,一棵大树在离地面3米处折断,树的顶端落在离树杆底部4米处,那么这棵树折断之前的高度是米. 6.飞机在空中水平飞行,某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶正上方4000米处,过了20秒,飞机距离这个男孩头顶5000米,求飞机每小时飞行多少千米? 7.如图所示,无盖玻璃容器,高18cm,底面周长为60cm,在外侧距下底1cm的点C处有一蜘蛛,与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口1cm的F处有一苍蝇,试求急于扑货苍蝇充饥的蜘蛛,所走的最短路线的长度. 8.一个零件的形状如图所示,已知AC=3cm,AB=4cm,BD=12cm。求CD的长. 9.如图,在四边形ABCD 中,∠A=60°,∠B=∠D=90°,BC=2,CD=3,求AB的长. 10.如图,一个牧童在小河的南4km的A处牧马,而他正位于他的小屋B的西8km北7km处,他想把他的马牵到小河边去饮水,然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少? 11如图,某会展中心在会展期间准备将高5m,长13m,宽2m的楼道上铺地毯,已知地毯平方米18元,请你帮助计算一下,铺完这个楼道至少需要多少元钱? 12.甲、乙两位探险者到沙漠进行探险,没有了水,需要寻找水源.为了不致于走散,他们用两部对话机联系,已知对话机的有效距离为15千米.早晨8:00甲先出发,他以6千米/时的速度向东行走,1小时后乙出发,他以5千米/时的速度向北行进,上午10:00,甲、乙二人相距多远?还能保持联系吗? “路” 4m 3m 第2题图第5题图 第7题图第9题图 第8题图 5m 13m 第11题

(完整版)勾股定理典型题总结(较难)(可编辑修改word版)

勾股定理 一.勾股定理证明与拓展模型一 . 图中三个正方形面积关系 思考:如下图,以直角三角形 a 、b 、c 为边,向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形,上述四种情况的面积有和关系? 例 1、有一个面积为 1 的正方形,经过一次“生长”后,在他的左右肩上上生出两个小正方形(如图 1),其中,三个正方形围成的三角形是直角三角形,再经过一次“生长”后,生出了 4 个正方形(如图 2),如果按此规律继续“生长”下去,它将变得“枝繁叶茂”;在“生长”了 2017 次后形成的图形中所有正方形的面积和是 . 变式 1:在直线 l 上依次摆放着七个正方形(如图 1 所示).已知斜放置的三个正方形的面积 分别是 1,1. 21,1. 44,正放置的四个正方形的面积依次是S 1 , S 2, S 3, S 4 ,则 S 1 S 4 = .

变式2:如图,四边形ABCD 中,AD∥BC,∠ABC+∠DCB=90°,且BC=2AD,以AB、BC、DC 为边向外作正方形,其面积分别为S1、S2、S3,若S1=3,S3=9,求S2. (变式2)(变式3) 变式3:如图,Rt△ABC的面积为10cm2,在AB 的同侧,分别以AB,BC,AC 为直径作三个 半圆,则阴影部分的面积为. (难题)如图,是小明为学校举办的数学文化节设计的标志,在△ABC 中,∠ACB=90°, 以△ABC 的各边为边作三个正方形,点G 落在HI 上,若AC+BC=6,空白部分面积为10.5, 则阴影部分面积 模型二 A D H G B C 外弦图 E F 内弦图 例题2.四年一度的国际数学大会于 2002 年8 月20 日在北京召开,大会会标如图所示,它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,若大正方形的面积为13 ,每个直角三角形两直角边的和是5 。求中间小正方形的面积为;

(完整版)勾股定理典型例题详解及练习(附答案)

典型例题 知识点一、直接应用勾股定理或勾股定理逆定理 例1:如图,在单位正方形组成的网格图中标有AB CD EF、GH四条线段, 其中能构成一个直角三角形三边的线段是() A.CD、EF、 GH C. AB、CD GH B.AB、EF、GH D. AB、CD EF 愿路分乐屮 1)題意分析’本题考查幻股定理及勾股定理的逆定理.亠 2)解題思器;可利用勾脸定理直接求出各边长,再试行判断?』 解答过整屮 在取DEAF中,Af=l, AE=2,根据勾股定理,得昇 EF = Q抡於十£尸° = Q +F二艮 同理HE = 2百* QH. = 1 CD = 2^5 计算发现W十◎血尸=(鸥31即血+曲=GH2,根据勾股定理的逆宦理得到UAAE、EF\ GH为辺的三角形是直毎三角形.故选B. * 縮題后KJ思专:* 1.勾股定理只适用于直角三角形,而不适用于说角三角形和钝角三角形? 因此」辭题时一宦妾认真分析题目所蛤■条件■,看是否可用勾股定理来解口* 2.在运用勾股左理时,要正确分析题目所给的条件,不要习惯性地认为就是斜 迫而“固执”地运用公式川二/十就其实,同样是S6

"不一罡就等于餌,疋不一罡就昱斜辺,KABC不一定就是直角三祐

3.直角三第形的判定条件与勾股定理是互逆的.区别在于勾股定理的运用是一个从 卅形s—个三角形是直角三角形)到懺 y =沖十沪)的过程,而直角三角形的判定是一 ①从嗦(一个三角形的三辺满足X二护+酹的条件)到偲个三角形是直角三角形)的过 程.a 4?在应用勾股定理解题叭聲全面地琴虑间题.注意m题中存在的多种可能性,遊免漏辭.初 例玉如圏,有一块直角三角形?椀屈U,两直角迫4CM5沁丸m?现将直角边AC沿直绘AD折蠡便它落在斜边AB上.且点C落到点E处, 则切等于(、* C/) "禎 B. 3cm G-Icni n題童分析,本题着查勾股定理的应用刎 :)解龜思路;車题若直接在△MQ中运用勾股定理是无法求得仞的长的,因为貝知遒一条边卫0的长,由题意可知,AACD和心迓门关于直线KQ对称.因而^ACD^hAED ?进一歩则有应RUm CZAED ED 丄AB,设UD=E2>黄泱,则在Rt A ABO中,由勾股定 理可得^=^(^+^=^83=100,得AB=10cm,在松迟DE 中,W ClO-fl)2= d驚解得尸 九4 解龜后的思琴尸 勾股定理说到底是一个等式,而含有未知数的等式就是方程。所以,在利用勾股定理求线段的长时常通过解方程来解决。勾股定理表达式中有三个量,如果条件中只有一个已知量,必须设法求出另一个量或求出另外两个量之间的关系,这一点是利用勾股定理求线段长时需要明确的思路。 方程的思想:通过列方程(组)解决问题,如:运用勾股定理及其逆定理求线段的长度或解决实际问题时,经常利用勾股定理中的等量关系列出方程来解 决问题等。 例3:一场罕见的大风过后,学校那棵老杨树折断在地,此刻,张老师正和占 明、清华、绣亚、冠华在楼上凭栏远眺。 清华开口说道:“老师,那棵树看起来挺高的。” “是啊,有10米高呢,现在被风拦腰刮断,可惜呀!” “但站立的一段似乎也不矮,有四五米高吧。”冠华兴致勃勃地说。 张老师心有所动,他说:“刚才我跑过时用脚步量了一下,发现树尖距离树根恰好3米,你们能求出杨树站立的那一段的高度吗?” 占明想了想说:“树根、树尖、折断处三点依次相连后构成一个直角三角

八年级数学勾股定理练习题

勾股定理练习 一.填空题: 1. 已知直角三角形两直角边的长分别为3cm,4cm,第三边上的高为_______. 2.在Rt △ABC 中, ∠C=90°,AB=15,BC:AC=3:4,则BC=___________. 3.已知:如图,在Rt △ABC 中,∠B=90°,D 、E 分别是边AB 、AC 的中点,DE=4, AC=10,则AB=_____________. 4.在平静的湖面上,有一支红莲,高出水面1米,阵风吹来,红莲被吹到一边, 花朵齐及水面,已知红莲移动的水平距离为2米,问这里水深是________m 。 5.已知两条线段的长为9cm 和12cm,当第三条线段的长为 cm 时,这三条 6.如图,在△ABC 中,则DE 的长为_______. 7的正方形的边和长为7cm 。 (第3题) 8.在一棵树的10的A 处。另一只爬到树顶9.有两棵树,一棵高6的树梢飞到另一棵树的树梢,至少飞了 米 ,AD=8,DC=6,CB=24,AB=26.则四边形ABCD 的面积 20dm 、3dm 、2dm ,A 和 A 点有一只蚂蚁,想到 B 点去吃可口的食物,则 _____________. (第9题) (第10题) (第11题) 二.选择题: 1.已知一个Rt △的两边长分别为3和4,则第三边长的平方是( ) A 、25 B 、14 C 、7 D 、7或25 2.下列各组数中,以a ,b ,c 为边的三角形不是Rt △的是( ) A 、a=1.5,b=2,c=3 B 、a=7,b=24,c=25 C 、a=6,b=8,c=10 D 、a=3,b=4,c=5 C A B C D 20 32A B

中考数学勾股定理知识点-+典型题及解析

中考数学勾股定理知识点-+典型题及解析 一、选择题 1.图中不能证明勾股定理的是( ) A . B . C . D . 2.勾股定理是几何中的一个重要定理,在我国算书《网醉算经》中就有“若勾三,股四,则弦五”的记载.如图1,是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的,可以用其面积关系验证勾股定理.图2是由图1放入矩形内得到的,∠BAC=90°,AB=3,BC=5,点D ,E ,F ,G ,H ,I 都在矩形KLMJ 的边上,则矩形KLMJ 的面积为( ) A .121 B .110 C .100 D .90 3.如图,在ABC 中,90A ∠=?,6AB =,8AC =,ABC ∠与ACB ∠的平分线交于点O ,过点O 作⊥OD AB 于点D ,若则AD 的长为( )

A .2 B .2 C .3 D .4 4.已知△ABC 是腰长为1的等腰直角三角形,以Rt △ABC 的斜边AC 为直角边,画第二个等腰Rt △ACD ,再以Rt △ACD 的斜边AD 为直角边,画第三个等腰Rt △ADE ,…,依此类推,第n 个等腰直角三角形的面积是( ) A .2n ﹣2 B .2n ﹣1 C .2n D .2n+1 5.如图,正方形ABCD 和正方形CEFG 边长分别为a 和b ,正方形CEFG 绕点C 旋转,给出下列结论:①BE=DG;②BE⊥DG;③DE 2+BG 2=2a 2+2b 2,其中正确结论有( ) A .0个 B .1个 C .2个 D .3个 6.如图是我国数学家赵爽的股弦图,它由四个全等的直角三角形和小正方形拼成的一个大正方形.已知大正方形的面积是l3,小正方形的面积是1,直角三角形的较短直角边长为a ,较长直角边长为b ,那么()2 a b +值为( ) A .25 B .9 C .13 D .169 7.我国古代数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的三角形,如图所示,已知90A ∠=?正方形ADOF 的边长是2,4BD =,则CF 的长为( ) A .6 B .2 C .8 D .10 8.有一个面积为1的正方形,经过一次“生长”后,在他的左右肩上生出两个小正方形,其中,三个正方形围成的三角形是直角三角形,再经过一次“生长”后,变成了上图,如果继续“生长”下去,它将变得“枝繁叶茂”,请你算出“生长”了2020次后形成的图形中所有的正方形的面积和是( )

勾股定理经典例题(含答案)

类型一:勾股定理的直接用法 1、在Rt△ABC中,∠C=90° (1)已知a=6,c=10,求b,(2)已知a=40,b=9,求c;(3)已知c=25,b=15,求a. 思路点拨:写解的过程中,一定要先写上在哪个直角三角形中,注意勾股定理的变形使用。 解析:(1) 在△ABC中,∠C=90°,a=6,c=10,b= (2) 在△ABC中,∠C=90°,a=40,b=9,c= (3) 在△ABC中,∠C=90°,c=25,b=15,a= 举一反三 【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少? 【答案】∵∠ACD=90° AD=13, CD=12 ∴AC2 =AD2-CD2 =132-122 =25 ∴AC=5 又∵∠ABC=90°且BC=3 ∴由勾股定理可得 AB2=AC2-BC2 =52-32 =16 ∴AB= 4 ∴AB的长是4. 类型二:勾股定理的构造应用 2、如图,已知:在中,,,. 求:BC的长. 思路点拨:由条件,想到构造含角的直角三角形,为此作于D,则有 ,,再由勾股定理计算出AD、DC的长,进而求出BC的 长. 解析:作于D,则因, ∴(的两个锐角互余) ∴(在中,如果一个锐角等于, 那么它所对的直角边等于斜边的一半). 根据勾股定理,在中, . 根据勾股定理,在中,

. ∴. 举一反三【变式1】如图,已知:,,于P. 求证:. 解析:连结BM,根据勾股定理,在中, . 而在中,则根据勾股定理有 . ∴ 又∵(已知), ∴. 在中,根据勾股定理有 , ∴. 【变式2】已知:如图,∠B=∠D=90°,∠A=60°,AB=4,CD=2。求:四边形ABCD的面积。 分析:如何构造直角三角形是解本题的关键,可以连结AC,或延长AB、DC交于F,或延长AD、BC交于点E,根据本题给定的角应选后两种,进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。 解析:延长AD、BC交于E。 ∵∠A=∠60°,∠B=90°,∴∠E=30°。 ∴AE=2AB=8,CE=2CD=4, ∴BE2=AE2-AB2=82-42=48,BE==。 ∵DE2= CE2-CD2=42-22=12,∴DE==。 ∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=AB2BE-CD2DE= 类型三:勾股定理的实际应用(一) 用勾股定理求两点之间的距离问题3、如图所示,在一次夏令营活动中,小明从营地A点出发,沿北偏东60°方向走了 到达B点,然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。(1)

八年级数学上册勾股定理教案

课题:17.1 勾股定理教学设计(第1课时)(九年制义务教育课程标准实验教科书人教版八年级第十七章第一节) 一、内容和内容解析 1、教材地位作用 这节课内容为九年制义务教育课程标准实验教科书,人教版八年级第十七章第一节勾股定理第一课时。勾股定理是学生在学习了直角三角形有关性质的基础上进行本课学习,它是直角三角形的一条非常重要的性质,是几何中最重要的定理之一,在实际生活中用途很大。 通过课题的学习,学生可以经历从实际问题观察、发现、抽象出数学问题,猜想并验证直角三角形三条边之间满足的数量关系,到综合应用已学知识联想、证明的全过程,从而加深对相关知识的理解,提高思维能力。 本节课学习过程中渗透了数形结合、从特殊到一般和方程思想等重要数学思想,同时为勾股定理逆定理和后续解直角三角形的学习奠定了基础,也为高中学习的一般三角形中余弦定理和平面解析几何的部分公式做铺垫。 2、教学重点 勾股定理的学习是建立在掌握一般三角形的性质、直角三角形以及三角形全等的基础上, 是直角三角形性质的拓展。本节课主要是对勾股定理的探索和勾股定理的证明。勾股定理的证明方法很多,本节课介绍的是等积法。通过本节课的教学,引领学生从不同的角度发现问题、用多样化策略解决问题,从而提高学生分析、解决问题的能力。 基于以上考虑,本节课的教学重点为:探索、验证、证明勾股定理过程 八年级学生已初步具备几何的观察能力和说理能力,也有了一定的空间想象和动手操作能力,但是他们的推理能力较弱、抽象思维能力不足。而本节课先采用的是等积法证明。对于其他的证明方法,由于需要合理的发散思维和联想,没有教师的启发引领,学生不容易独立想到。 二、目标和目标解析 八年级学生对新事物充满好奇,他们喜欢动手,勤于思考,乐于探究,已经具备了一定的探索新知的能力。因此,结合学生的实际水平,我制定如下教学目标: 本节活动课应当恰当发展学生的几何直观、推理能力和模型思想的数学核心观念与数学能力,还要注重发展学生的创新意识。 A.知识技能目标:①经历勾股定理的探索过程,理解并掌握勾股定理;

八年级数学下勾股定理-单元测试题(带答案)

(第6题) A B D C (第12题) 30 7米5米 八年级下勾股定理测试题 姓名: 分数: 一、耐心填一填(每小题3分,共36分) 1、在Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=3,BC=4,则AB=___________; 2、如图,小明的爸爸在院子的门板上钉了一个加固板,从数学的角度看, 这样做的道理是 . 3、小明同学要做一个直角三角形小铁架,他现有4根长度分别为4cm 、6cm 、8cm 、10cm 的铁棒,可用于制作成直角三角形铁架的三条铁棒分别是________________________; 4、若三角形三条边的长分别为7,24,25,则这个三角形的最大内角是 度. 5、在△ABC 中,∠C =90°,若c =10,a ∶b =3∶4,则ab = . 6、如图,在等腰△ABC 中,AB=AC=10,BC=12,则高AD=________; 7、等腰△ABC 的面积为12cm 2 ,底上的高AD =3cm , 则它的周长为________. 8、在Rt △ABC 中,斜边AB =2,则AB 2+BC 2+CA 2=________. 9、有一个三角形的两边长是4和5,要使这个三角形成为直角三角形,则第三边长为 ; 10、有两棵树,一棵高6米,另一棵高3米,两树相距4米.一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,至少飞了________米. 11、一个三角形的三边的比为5∶12∶13,它的周长为60cm ,则它的面积是________. 12、如图,今年第8号台风“桑美”是50多年以来登陆我国大陆地区 最大的一次台风,一棵大树受“桑美”袭击于离地面5米 处折断倒下,倒下部分的树梢到树的距离为7米, 则这棵大树折断前有__________米(保留到0.1米)。 二、精心选一选(每小题4分,共24分) 13、下列各组数据为边的三角形中,是直角三角形的是( ) A 、 2、3、7 B 、5、4、8 C 、5、2、1 D 、2、3、 5 14、正方形ABCD 中,AC=4,则正方形ABCD 面积为( ) A 、 4 B 、8 C 、 16 D 、32 15、已知Rt △ABC 中,∠A ,∠B ,∠C 的对边分别为a,b,c ,若∠B=90○ ,则( ) A 、b 2= a 2+ c 2 ; B 、c 2= a 2+ b 2; C 、a 2+b 2=c 2; D 、a +b =c 16、三角形的三边长a,b,c满足2ab=(a+b)2 -c2,则此三角形是 ( ). A 、钝角三角形 B 、锐角三角形 C 、直角三角形 D 、等边三角形 17、将Rt △ABC 的三边都扩大为原来的2倍,得△A ’B ’C ’,则△A ’B ’C ’为( )

苏科版八年级数学上册勾股定理教案

勾股定理 (2) 教案1 一、教学目的 1.使学生掌握勾股定理及其证明。 2.通过讲解我国古代学者发现及应用勾股定理的成就,对学生进行受国主义教育、学习目的教育。 二、教学重点、难点 重点;勾股定理的证明和应用。 难点:勾股定理的证明。 三、教学过程 引言:直角三角形三边之间有一种特别重要的关系,早在我国古代就引起人们的兴趣。我国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾,较长的直角边叫做股,斜边叫做弦。介绍商高答周公的勾三股四弦必五的故事。 人们还发现,在直角三角形中勾为6,股为8,弦必为10;勾为5,股为12,弦必为13,……。而32+42=52 ,62+82=102,52+122=132,……即勾2+股2=弦2。是否所有直角三角形都有这种性质呢? 事实上,可以证明,对于所有的直角三角形的三边都有这种关系,此关系我国把它称为“勾股定理”,现在我们就来学习这个定理。 新课 勾股定理 直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。即a 2+b 2=c 2。 对于这个定理的证明可按教科书中所给的方法。根据教科书中的方法事先用硬纸片拼好图形1-104。 a b b a a a c a a b a c c b b c b b b c c a a b a b 图 1-104 (1)先让学生观察,拼成的两个正方形边长都是a+b ,则面积相等。再看这两个正方形又由哪些三角形和正方形拼成的。 (2)分别写出左、右两个正方形的面积: 在边正方形是四个全等直角三角形与两个正方形组成,其面积为222 14b a ab ++? 。 右边的正方形是四个全等直角三角形与一个正方形组成,其面积为2214c ab +?。 (3)左、右两个正方形面积相等,即 ab c ab b a 2 14214222?+=? ++, ∴ 222c b a =+。 (4)勾股定理的变形。今后在运用勾股定理时,根据需要可将其变形为: 222b c a -=或222a c b -=,从而可知,在Rt △中已知两边可求出第三边。 向学生说明,这种证法是采用割补拼接(称拼图)的方法。在拼补过程中只要没有重叠、没有空隙,

勾股定理经典例题(含答案)

勾股定理经典例题透析 类型一:勾股定理的直接用法 1、在Rt△ABC中,∠C=90° (1)已知a=6, c=10,求b, (2)已知a=40,b=9,求c; (3)已知c=25,b=15,求a. 思路点拨:写解的过程中,一定要先写上在哪个直角三角形中,注意勾股定理的变形使用。 解析:(1) 在△ABC中,∠C=90°,a=6,c=10,b= (2) 在△ABC中,∠C=90°,a=40,b=9,c= (3) 在△ABC中,∠C=90°,c=25,b=15,a= 举一反三 【变式】如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少? 【答案】∵∠ACD=90° AD=13, CD=12 ∴AC2 =AD2-CD2 =132-122 =25 ∴AC=5 又∵∠ABC=90°且BC=3 ∴由勾股定理可得 AB2=AC2-BC2 =52-32

=16 ∴AB= 4 ∴AB的长是4. 类型二:勾股定理的构造应用 2、如图,已知:在中,,,. 求BC的长. 思路点拨:由条件,想到构造含角的直角三角形,为此作于D,则有 ,,再由勾股定理计算出AD、DC的长,进而求出BC的长. 解析:作于D,则因, ∴(的两个锐角互余) ∴(在中,如果一个锐角等于 , 那么它所对的直角边等于斜边的一半). 根据勾股定理,在中, . 根据勾股定理,在中,

. ∴. 举一反三【变式1】如图,已知:,,于P. 求证:. 解析:连结BM,根据勾股定理,在中, . 而在中,则根据勾股定理有 . ∴ 又∵(已知), ∴. 在中,根据勾股定理有 , ∴. 【变式2】已知:如图,∠B=∠D=90°,∠A=60°,AB=4,CD=2。求:四边形ABCD的面积。

初中八年级数学勾股定理综合练习题

C 7月暑假作业 八年级数学 勾股定理综合练习题 一、选择题 1. 直角三角形一直角边长为12,另两条边长均为自然数,则其周长为( ). (A )30 (B )28 (C )56 (D )不能确定 2. 直角三角形的斜边比一直角边长2 cm ,另一直角边长为6 cm ,则它的斜边长 (A )4 cm (B )8 cm (C )10 cm (D )12 cm 3. 已知一个Rt △的两边长分别为3和4,则第三边长的平方是( ) (A )25 (B )14 (C )7 (D )7或25 4. 等腰三角形的腰长为10,底长为12,则其底边上的高为( ) (A )13 (B )8 (C )25 (D )64 5. 五根小木棒,其长度分别为7,15,20,24,25,现将他们摆成两个直角三角形,其中正确的是( ) 7 1524 25 20715 2024 25 7 25 20 24 257 202415 (A) (B) (C) (D) 6. 将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( ) (A ) 钝角三角形 (B ) 锐角三角形 (C ) 直角三角形 (D ) 等腰三角形. 7. 如图小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD 的面积是 ( ) (A ) 25 (B ) 12.5 (C ) 9 (D ) 8.5 8. 三角形的三边长为ab c b a 2)(2 2 +=+,则这个三角形是( ) (A ) 等边三角形 (B ) 钝角三角形 (C ) 直角三角形 (D ) 锐角三角形. 9.△ABC 是某市在拆除违章建筑后的一块三角形空地.已知∠C=90°,AC=30米,AB=50米,如果要在这块空地上种植草皮,按每平方米草皮a 元计算,那么共需要资金( ). (A )50a 元 (B )600a 元 (C )1200a 元 (D )1500a 元

八年级数学上册知识点:勾股定理

八年级数学上册知识点:勾股定理 八年级数学上册知识点:勾股定理 一、勾股定理: 1.勾股定理内容:如果直角三角形的两直角边长分别为a,斜边长为c,那么a2+b2=c2,即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 2.勾股定理的证明: 勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是: (1)图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变; (2)根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理。 4.勾股定理的适用范围: 勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系,它只适用于直角三角形,对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征。 二、勾股定理的逆定理 1.逆定理的内容:如果三角形三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形,其中c为斜边。 说明:(1)勾股定理的逆定理是判定一个三角形是

否是直角三角形的一种重要方法,它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状,在运用这一定理时,可用两 小边的平方和与较长边的平方作比较,若它们相等时, 以a,b,c为三边的三角形是直角三角形; (2)定理中a,b,c及a2+b2=c2只是一种表现形式,不可认为是唯一的,如若三角形三边长a,b,c满足 a2+b2=c,那么以a,b,c为三边的三角形是直角三角形,但此时的斜边是b. 2.利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直 角三角形的一般步骤: (1)确定最大边; (2)算出最大边的平方与另两边的平方和; (3)比较最大边的平方与别两边的平方和是否相等,若相等,则说明是直角三角形。 三、勾股数 能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾 股数. 四、一个重要结论: 由直角三角形三边为边长所构成的三个正方形满足“两个较小面积和等于较大面积”。 五、勾股定理及其逆定理的应用 解决圆柱侧面两点间的距离问题、航海问题,折叠

勾股定理经典例题(含答案)

勾股定理经典例题 类型一:勾股定理的直接用法 1、在Rt△ABC中,∠C=90° (1)已知a=6,c=10,求b,(2)已知a=40,b=9,求c;(3)已知c=25,b=15,求a. 思路点拨: 写解的过程中,一定要先写上在哪个直角三角形中,注意勾股定理的变形使用。 举一反三 【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少? 类型二:勾股定理的构造应用 2 、如图,已知:在中,, ,. 求:BC的长. 1、某市在旧城改造中,计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境,已知这种草皮每平方米售价a元,则购买这种草皮至少需要() A、450a元 B、225a 元 C、150a元 D、300a元 举一反三【变式1】如图,已知: ,,于P. 求证:. 150° 20m 30m

【变式2】已知:如图,∠B=∠D=90°,∠A=60°,AB=4,CD=2。求:四边形ABCD的面积。 类型三:勾股定理的实际应用 (一)用勾股定理求两点之间的距离问题 3、如图所示,在一次夏令营活动中,小明从营地A点出发,沿北偏东60°方向走了到达B 点,然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。 (1)求A、C两点之间的距离。 (2)确定目的地C在营地A的什么方向。 举一反三 【变式】一辆装满货物的卡车,其外形高2.5米,宽1.6米,要开进厂门形状如图的某工厂,问这辆卡车能否通过该工厂的厂门? (二)用勾股定理求最短问题 4、如图,一圆柱体的底面周长为20cm,高AB为4cm,BC是上底面的直径.一只蚂蚁从点A出发,

八年级数学勾股定理练习题及答案

勾股定理 练习题 温故而知新: 1.勾股定理 直角三角形两条直角边a,b的平方和等于斜边c的平方,即a2+b2=c2. 2.勾股定理的验证 勾股定理的证明方法很多,据说已有400余种,其证明的内涵极其丰富.常用的证法是面积割补法,如图所示. 3.直角三角形的性质 两锐角互余(角的关系)、勾股定理(边的关系),30°角所对的直角边等于斜边的一半(边角关系),这些性质在求线段的长度、证明线段倍分关系、证明线段平方关系等方面有广泛的应用. 例1 (2013·安顺)如图,有两棵树,一棵高10米,另一棵高4米,两树相距8米,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,小鸟至少飞行() 米米 米米 解析:小鸟飞行的最短路线如图所示为线段AB;过点A向10米高的树作垂线,垂足为C,则易知AC=8米,BC=10-4=6(米);根据勾股定理可得 AB=22 +=10(米). 86 AC BC +=22 答案:B 小结:在解决实际问题时,往往根据题意把实际问题转化为数学问题,构造直角三角形利用勾股定理来解决.有时根据需要巧设未知数,借助勾股定理列方程求解,常可使问题简便. 例2 (2013·衢州)如图,将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm 的矩形纸带边沿上,另一个顶点在纸带的另一边沿上,测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角,则三角板最大边的长为() cm cm

2 cm 2 cm 解析:如图所示在图中标上字母,过点A 作AD ⊥BD , 垂足为D ,则AD=3 cm ; 因为∠ABD=30°,所以AB=2AD=6 cm ; 又△ABC 是等腰直角三角形,故BC=AB=6 cm ,根据勾股定理可得 AC=22AB BC +=2266+=62(cm ) 答案:D 小结:在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半,45°的直角三角形中,斜边是直角边的2倍. 例3 如图所示,公园里有一块形如四边形ABCD 的草地,测得BC=CD=10米,∠B=∠C=120°,∠A=45°.求出这块草地的面积. 解析:连结BD ,作CE ⊥BD ,交BD 于E 点, 构造含特殊锐角(30°或45°)的直角三角形求解. 答案:解:连结BD ,作CE ⊥BD ,交BD 于E 点. ∵DC=BC ,∴△BCD 是等腰三角形. ∵∠BCD=120°, ∴∠BCE=60°. 又BC=10m , 则EC=12 BC=5m ,∴BE=22BC EC -=53m ,BD=2BE=103m , ∴BDC S V =12EC ·BD=12 ×5×103=253(m 2). 又∠DBA=∠CBA -∠CBE=90°,∠A=45°,∴△DBA 是等腰直角三角形. ∴DAB S V =12BD ·AB =12 ×103×103=150(m 2). ∴这块草地的面积S=BDC S V +DAB S V =(150+253)m 2. 小结:对于本题中这类图形,适当添加辅助线,将图形切割为基本图形,再进行相关计算. 举一反三: 1.(2013·黔西南)一直角三角形的两边长分别为3和4,则第三边的长为( ) B. 7 C. 5 或7 解析:分长为4的边为直角边和斜边两种情况考虑.

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