一类模糊关系方程的求解问题

2009年2月汕头大学学报（自然科学版）第24卷第1期Feb.2009Journal of Shantou University(Natural Science)Vol.24No.1文章编号：1001-4217（2009）01-0013-09

一类模糊关系方程的求解问题

谷敏强

（汕头大学理学院数学系，广东汕头515063）

摘要：研究了一类基于泛逻辑蕴涵算子的模糊关系方程的求解问题，给出了解的存在性准

则和求解步骤.

关键词：模糊关系方程；最大解矩阵；中极解矩阵；极小解矩阵

中图分类号：O159文献标识码：A

0引言

在模糊集理论中，模糊关系方程的求解问题是一个十分重要的研究方向.模糊系统、模式识别、模糊规划、模糊决策、数据挖掘和故障诊断等领域的许多问题常常归结为模糊关系方程的求解问题.

1976年，E.Sanchez[1]首先提出并研究了基于sup-∧合成的模糊关系方程.1989年，W.Pedrycz[2-3]给出了这个方向上的研究综述.此后的十多年里，传统意义上的模糊关系方程继续得到深入的研究，另一方面，模糊集和模糊系统理论自身的发展及其应用领域日新月异，新类型的模糊关系方程及新的解法层出不穷，蔚为大观.其中尤其值得注意的有：王学平、Antonio Di Nola等人[4-8]研究了模糊集取值于完备格的模糊关系方程，取得了一系列深刻的结果；M.Kurano、M.Yasuda等人[9]研究了模糊关系方程在动态模糊系统中的应用；李洪兴[10]提出并研究了一种基于内变换的模糊关系方程，这种模糊关系方程在数据挖掘中有重要应用；A.Blanco、W.Pedrycz、K.Hirota 等人[11-15]则致力于把模糊关系方程与各种智能算法（如神经算法、遗传算法、数据压缩等）相结合.这些工作大大拓宽了模糊关系方程的研究和应用领域.

本文作者在研究基于泛逻辑的模糊系统时，遇到了各种各样的模糊关系方程，已有的方法不能直接用于解决这类方程.于是本文研究了一种属于这类方程的解法.本文的解题思想来源于文献［16－18］，但用文献［16－18］的方法却不能直接解决本文的问题.

收稿日期：2008-06-11

作者简介：谷敏强（1973-），男，广西忻城县人，博士，讲师.研究方向：模糊系统.E-mail:mqgu@https://www.doczj.com/doc/d94142542.html,

基金项目：汕头大学青年科研基金资助项目（YR08003）

1预备

在模糊系统中，如果已知n 条模糊规则{A i →B i }（1≤i ≤n ），要得到模糊输出B ，应给定怎样的模糊输入A ?我们考虑用模糊关系方程来解决这一问题.为了便于讨论，令输入论域U 和输出论域V 都是有限实数集，不妨设U ={u 1，...，u n }，V ={v 1，...，v k }，这时A i 、B i 、A 、B 、R 都可用取值于[0，1]的矩阵来表示（R 是U ×V 上的模糊关系）.由模糊规则组{A i →B i }（1≤i ≤n ）确定模糊关系R ，相当于解关于R 的模糊关系方程组：

A i 莓R =

B i ，i =1，…，n

（1）由已知输出B 求应给的输入A ，则相当于求解关于X 的模糊关系方程：

X 莓R =B

（2）假定R 是已经确定了的模糊关系，显然，随着合成运算莓取法的不同，方程（2）有不同的形式.当方程（2）为：

X ⊙m R =B ，m ∈（-∞，∞）

（3）即：

∧x ∈U [X （x ）→m R （x ，y ）]=B （y ），m ∈（-∞，∞）（3′）时，称之为β-模糊关系方程.其中对任意的m ∈（-∞，∞），→m ：[0，1]2→[0，1]定义为：

x →m y =1，当x ≤y （1+y m -x m ）1/m ，当0≤y

这是一种常用的泛逻辑算子，在文献［19－20］中已经证明它是十分重要的.关于→m 的更多性质可参考文献［19－20］.下面考虑方程（3）或（3′）的求解问题.

2主要结果

设X =（x 1…x n ），R =r 11…r 1k 埙r n 1…r n k 埙埙埙埙

埙埙埙埙，B =（b 1…b k ），这时方程（3）或（3′）变为：（x 1…x n ）r 11…r 1k 埙r n 1…r n k 埙埙埙埙

埙埙埙埙=（b 1…b k ）（4）则方程（4）可以分解为以下的k 个β-模糊关系方程：X ⊙m R .j =b j ，j =1，…，k

（5）这里，R .j 是R 的列向量，b j ∈[0，1]，记S （R .j ，b j ）={X ：X ⊙m R .j =b j }.

很容易得到：方程（4）有解当且仅当方程组（5）至少有一解.

又，坌j ∈k （k 表示集合{1，…，k }，下同），X ⊙m R .j =b j 的求解最终归结为n 个形如

x →m r =b ，r ，b ∈[0，1]

（6）的方程的求解问题.

引理1对任意的m ∈（-∞，+∞），方程x →m r =b 对x 有解当且仅当b ∈[r ，1].证明由于x →m r 关于x 连续且单调递减，所以对任意的x ∈[0，1]，有：…

…

汕头大学学报（自然科学版）第24卷 (14)

r =1→m r ≤x →m r ≤0→m r =1.

这表明方程x →m r =b 对x 有解当且仅当b ∈[r ，1].

定理1设X =（x 1…x n ），r ＝（r 1…r n ）T ，b ∈[0，1]，则β-模糊关系方程：

X ⊙m r =b

（7）有解当且仅当存在j ∈n 使b ∈[r j ，1].

证明必要性设X =（x 1…x n ）是方程（7）的一个解，则∧n i =1（x i →m r i ）=b ，从而存在j 使x j →m r j =b ，由引理1有b ∈[r j ，1].

充分性若存在j ∈使b ∈[r j ，1]，则由引理1，方程x →m r j =b 有解，其解记为x j ，则X =（0，…，x j ，…，0）为方程（7）的一个解，这就证明了充分性.

推论1

在β-模糊关系方程（7）中，若存在j ∈n 使r j =0，则方程必有解.证明当r j =0时，定理1的充分性条件恒成立，故方程（7）恒有解.证毕.

令r 茚

赞βb =max{x ∈[0，1]：x →m r =b }和r 茚姚βb =min {x ∈[0，1]：x →m r =b }分别表示方程（6）的最大解和最小解，若解唯一，则此解记为r 茚βb .

分别定义方程（6）的最大解算子ω

赞β（r ，b ）和最小解算子ω姚β（r ，b ）为：ω赞β（r ，b ）＝r 茚赞βb ，当r ≤b 1，

否，则；ω姚β（r ，b ）＝r 茚姚βb ，当r ≤b 0，否，则.当方程（6）的解唯一时，其最大解算子和最小解算子有如下形式：ω赞β（r ，b ）＝r 茚βb ，当r ≤b 1，

否，则；ω姚β（r ，b ）＝r 茚βb ，当r ≤b 0，否，则.定义算子ω：[0，1]2→[0，1]如下：

ω（a ，b ）＝0，当a

b .定义1设X ⊙m R =B 为形如式（4）的β-模糊关系方程，称矩阵Γ

赞=（Γ赞ij ）k ×n 为它的最大解矩阵，其中，Γ

赞ij ＝ω赞β（r ji ，b i ），坌j ∈n ，坌i ∈k .称矩阵Γ軓=（Γ軓ij ）k ×n 为它的中极解矩阵，其中，Γ軓ij ＝ω

姚β（r ji ，b i ），坌j ∈n ，坌i ∈k .称矩阵Γ姚=（Γ姚ij ）k ×n 为它的极小解矩阵，其中，Γ姚ij ＝ω（∧h ∈Γ赞hi ，Γ軓ji ）.引理2设r ，b ∈[0，1]，则ω

赞β（r ，b ）→m r ≥b ，ω姚β（r ，b ）→m r ≥b .证明1）当r ≤b 时，ω

赞β（r ，b ）→m r ＝（r 茚赞βb ）→m r ＝b ；当r ＞b 时，ω赞β（r ，b ）→m r ＝1→m r ＝r >b .故总有ω

赞β（r ，b ）→m r ≥b .2）当r ≤b 时，ω

姚β（r ，b ）→m r ＝（r 茚姚βb ）→m r ＝b ；当r ＞b 时，ω姚β（r ，b ）→m r ＝0→m r ＝1.因而总有ω

姚β（r ，b ）→m r ≥b .引理3对任意的r ，b ∈[0，1]，总有ω

赞β（r ，b ）≥ω姚β（r ，b ）.n －

k －

谷敏强：一类模糊关系方程的求解问题第1期15

定理2设X ⊙m R =B 为形如式（4）的β-模糊关系方程，R .j 表示R 的第j 列.如

果坌j ∈k ，有S （R .j ，b j ）≠Φ，则坌j ∈k ，Γ軓j.∈S （R .j ，b j ），Γ赞j.∈S （R .j ，b j ）且Γ軓j.≤Γ

赞j..证明如果坌j ∈k ，有S （R .j ，b j ）≠Φ，则由定理1，坌j ∈k ，存在i ∈n ，使b i ∈[r ij ，

1]，对于所有这样的i ，有Γ軓

ji =ω姚β（r ij ，b j ）＝r ij 茚姚βb j ，Γ赞ji →m r ij ＝b j ；另一方面，对于使b i 埸[r ij ，1]的i ，Γ軓

ji =ω姚β（r ij ，b j ）＝0，这时Γ軓ji →m r ij ＝0→m r ij ＝1.因之，Γ赞j .⊙m R .j =inf i （Γ軓ji →m r ij ）＝b j ，即Γ軓

j .∈S （R .j ，b j ）.类似可证，坌j ∈k ，当S （R .j ，b j ）≠Φ时，Γ

赞j .∈S （R .j ，b j ）.由引理3及矩阵Γ軓和Γ赞的定义立即推得Γ軓j .≤Γ

赞j ..定理3设T =（t 1…t n ），其中t j =∧k

i =1Γ赞ij =∧k i =1ω赞β（r ji ，b i ），令X ⊙m R =B 为形如

式（4）的β-模糊关系方程，则此方程有解的充要条件是T ⊙m R ≤B .当方程有解时，T 为最大解.

证明充分性显然坌i ∈k ，有T ≤Γ

赞i .，而由定理2已知Γ赞i .⊙m R .i ≤b i ，从而T ⊙m R .i ≥b i ，所以T ⊙m R ≥B 恒成立.因之，若T ⊙m R ≤B ，则有T ⊙m R ＝B ，即T 是方程T ⊙m R ＝B 的解.

必要性当方程X ⊙m R ＝B 有解时，设A =（a 1…a n ）为其任一解，即等式

（a 1…a n ）r 11…r 1k 埙r n 1…r n k 埙埙埙埙埙埙埙埙=（b 1…b k ）成立，亦即：

∧j =1n （a j →m r ji ）=b i ，i =1，…，k .

因而坌j ∈n ，i ∈k ，有a j →m r ji ≥b i .另外a j →m r ji ≥r ji 恒成立.从而：

a j →m r ji ≥

b i ∨r ji

（8）根据ω

赞β（r ji ，b i ）的定义，有：ω赞β（r ji ，b i ）→m r ji ＝b i ，

当r ji ≤b i r ji ，

当r ji ＞b i ∨（9）由式（8）、（9）可知：ω赞β（r ji ，b i ）→m r ji ≤a j →m r ji ，坌j ∈n ，坌i ∈k .因此有a j ≤ω赞β（r ji ，b i ），坌j ∈n ，坌i ∈k .进而有a j ≤∧i =1

k ω赞β（r ji ，b i ）＝t j ，坌j ∈n .所以：T ⊙m R ≤A ⊙m R ＝B

（10）由于式（10）对方程T ⊙m R ＝B 的任意解A 成立，又由充分性知T 也是方程的一个解，因而T 是方程的最大解.

推论2当方程X ⊙m R ＝B 有解时，sup j Γ軓j.为其一解.

…

…汕头大学学报（自然科学版）第24卷16

证明显然坌i ∈k ，有Γ軓j.≤sup j Γ軓j.≤T ，从而b j =T ⊙m R .j ≤（sup j Γ軓j.）→m R .j ≤Γ軓j.→m R .j =b j ，这表明sup j Γ軓j.∈S （R .j ，b j ），由j 的任意性知sup j Γ軓j.是方程X ⊙m R ＝B 的一个解.

定理4设X ⊙m R ＝B 为一β-模糊关系方程，则下面的命题等价：

（i ）S （R ，B ）＝Φ；

（ii ）存在j ∈k 使得Γ

姚j.=0且b j ≠1.证明先证（i ）圯（ii ）.设S （R ，B ）＝Φ，分两种情况讨论.

1）存在R 的一列R .j 使S （R .j ，b j ）＝Φ且b j ≠1，这时坌i ∈n ，有r ij ＞b j ，即ω

姚（r ij ，b j ）＝0，从而Γ軓j ·=0.这时Γ姚ji ＝ω（∧h

∈Γ赞hj ，Γ軓ji ）＝ω（∧h ∈Γ赞hj ，0）＝0.2）坌j ∈k ，S （R .j ，b j ）≠Φ.由于S （R ，B ）＝Φ，则T 埸S （R ，B ），这意味着至少存在一个j ∈k 使：

T 埸S （R .j ，b j ）

（11）又由定理2，

Γ軓j.∈S （R .j ，b j ），Γ赞j .∈S （R .j ，b j ）（12）

由引理1，存在i ∈n 使r i j ≤b j ，从而Γ

赞ji ＝ω赞β（r ij ，b j ）＝r ij 茚赞βb j ，对满足r i j ≤b j 的所有i ，有：t i ＝∧h ∈Γ赞hi ≤Γ赞ji ＝r ij 茚赞βb j ，且Γ軓j.≤Γ赞j ..

再由式（11）、（12）得：

t i ＜Γ軓

ji ＝ω姚β（r ij ，b j ）＝r ij 茚姚βb j （13）另外，坌i ∈n ，r ij ＞b j 时，有Γ軓ji ＝0，因而总有Γ姚ji ＝ω（∧h ∈Γ赞hi ，Γ軓ji ）＝ω（t i ，Γ軓ji ）＝0.再证（ii ）圯（i ）.根据Γ姚的定义，要使Γ姚j .＝0，必须：1）Γ軓j .＝0；或2）Γ軓j .≠0，而

对使Γ軓ji ≠0的i ∈，有t i <Γ軓

ji .对于情况1），由于b j ≠1，因而方程无解，即S （R ，B ）＝Φ.

对于情况2），一方面，对任意使Γ軓ji ＝0的i ∈k ，有r i j ＞b j （因为b j ≠1，且Γ軓ji ＝ω姚β（r ij ，b j ）），从而t i →m r ij >b j .另一方面，对任意使Γ軓ji ≠0的i ∈k ，有t i ＜Γ軓ji ＝ω

姚β（r ij ，b j ）＝r ij 茚

姚βb j ，从而t i →m r ij >Γ軓ji →m r ij ＝b j .所以对于情况2），总有t i →m r ij >b j ，从而T 埸S （R .j ，b j ），这表明T 埸S （R ，B ），从而S （R ，B ）=Φ.定理证毕.

综合定理2～4，得到方程（4）的解的存在性准则：

（i ）S （R ，B ）≠Φ当且仅当T ⊙m R ＝B ；

（ii ）S （R ，B ）≠Φ当且仅当（sup j Γ軓j .）⊙m R ＝B ；

（iii ）S （R ，B ）≠Φ当且仅当（坌j ∈k ）（Γ

姚j .≠0或b j =1）.k －谷敏强：一类模糊关系方程的求解问题第1期k －k －k －

k －17

定理5

设X ⊙m R ＝B 是一β-模糊关系方程，若S （R ，B ）≠Φ，则存在方程的极小解之集M ，使得对于任意的X ∈S （R ，B ），存在一X *∈M ，满足X *≤X .证明由定理3，T 是方程的最大解.对于任意的j ∈k ，定义N （j ）：N （j ）＝{i ∈n ：t i →m r ij ＝b j }.显然（坌j ∈k ）（N （j ）≠Φ）.

令E T ＝{f ∈j ∈k

仪N （j ）}，f 的分量之集记为D f ，则L ={D f ：f ∈仪j ∈k N （j ）}按包含序构

成一偏序集，此偏序集的极小元之集记作H ，令F ={f ：D f ∈H }.对任意的f ∈E T 定义矩阵：

X f =x ′11…x ′1n 埙x ′k 1…x ′kn 埙埙埙埙埙埙埙埙，其中x ′ji =

r ij 茚姚βb j ，i ∈f 0，

否，

则.则坌j ∈k ，有且只有一个i ∈n 使x ′ji →m r ij =b j ，且矩阵X f 的每一行至多只有一个非零元（当x ′ji →m r ij ≠b j 时，x ′ji =0）.令X f =（x *1…x *n ）＝sup j X f j.＝（∨j ∈k x ′j 1…∨j ∈k x ′jn ）.下面证明满足定理条件的极小解之集即是集合M ={X f ：f ∈F }.

1）验证坌f ∈E T ，X f 是方程（4）的一个解.

显然对任意的j ∈k ，有X f j.≤X f ≤sup j Γ軓

j .≤T ，从而，b j =X f j.⊙m R .j ≥X f ⊙m R .j ≥（sup j Γ軓

j .）⊙m R .j ≥T ⊙m R .j ＝b j ，这表明X f ⊙m R =B .即X f =（x *1…x *n ）

是方程（4）的一个解.2）显然坌f ∈E T ，存在满足D f ′∈H 的f ′∈F 使X f ′≤X f .

3）对于方程的任意解X ∈S （R ，B ），我们证明存在f ∈F 使得X f ≤X .令:

N ′（j ）={i ∈n ：x i →m r ij ＝b j }.

则（坌j ∈k ）（N ′（j ）≠Φ且N ′（j ）哿N （j ））（由T 为最大解得知这一包含关系总成立）.置

E X ={f ∈j ∈k

N ′（j ）}，

显然有E X 哿E T .f ∈E X 的分量之集记为D ′f ，则L ′={D ′f ：f ∈仪j ∈k N ′（j ）}按包含序构成一偏序集，此偏序集的极小元之集记作H ′，令F ′={f ：D ′f ∈H ′}.则F ′非空且F ′哿F .对任意的f ∈F ′，有X f ≤X .定理证毕.

综合上述结果可知，如果模糊关系方程X ⊙m R =B 有解，即S （R ，B ）≠Φ，则S （R ，B ）包含一个最大解T ，可能包含多个极小解X f （f ∈F ），因此方程的解集为：

S （R ，B ）=∪f ∈F [X f ，T ]，其中[X f ，T ]={X ：X f ≤X ≤T }.

定理5事实上给出了求解模糊关系方程X ⊙m R =B 的一般步骤：…

…

汕头大学学报（自然科学版）第24卷18

1）计算最大解矩阵Γ

赞和T ；2）验证T 是否是原方程的解，若不是则原方程无解，若是进入下一步；

3）坌j ∈k ，求N （j ）＝{i ∈n ：t i →m r ij =b j }；

4）给出E T ={f ∈仪j ∈k N （j ）}，L ={D f ：f ∈仪j ∈k N （j ）}（D f 为f 的分量之集），L 的极小集H ，及F ={f ：D f ∈H ）}；

5）计算M ={X f ：f ∈F ）}，进而给出原方程的全部解S （R ，B ）=∪f ∈F [X f ，T ].

例1设

R ＝0.80.70.30.30.20.30.20.70.10.50.40.50.80.200.∈∈∈∈∈∈

∈

∈∈∈∈∈

7，B ＝（0.60.80.50.6），→m 取为Lukasiewicz 蕴涵算子，即a →1b =1∧（1-a +b ），求模糊关系方程X ⊙m R =

B 的解.

先计算最大解矩阵Γ

赞，结果如下：Γ赞＝10.60.510.90.50.70.40.80.70.90.50.710.9∈⊙⊙⊙⊙∈

∈∈∈∈∈∈1.从而得T =（0.70.50.50.4），容易验证T 埸S （R .3，0.5），故上述方程无解.

例2设

R ＝0.30.60.70.80.20.30.90.90.30.40.40.∈⊙⊙∈

∈∈∈∈6，B ＝（0.30.50.70.8），→m 仍取为Lukasiewicz 蕴涵算子，求模糊关系方程X ⊙m R =B 的解.

1）先计算最大解矩阵Γ

赞，结果如下：Γ赞＝10.9110.80.9110.7110.∈⊙⊙⊙⊙∈

∈∈∈∈∈∈8.从而得T =（10.80.7）.

2）容易验证T =（10.80.7）是原方程的解.

3）N （1）={1}，N （2）={2}，N （3）={1，3}，N （4）={1}.

4）E T ={（1，2，1，1），（1，2，3，1）}，L ={{1，2}，{1，2，3}}，H ={{1，2}}，F ={（1，2，1，1）}.5）令f =（1，2，1，1），则：谷敏强：一类模糊关系方程的求解问题第1期19

X f =10000.8010010

0.从而得方程的极小解（这里也是最小解）为X f =（1

0.80），所以原方程的解集

为S （R ，B ）=∪f ∈F [X f ，T ]=（10.8[0，0.7]）.3结语

本文给出了一种基于泛逻辑蕴涵算子的模糊关系方程的求解方法.这种求解方法有一定的普遍性，甚至是机械的.另外，如果把文中的→m 换成剩余型蕴涵算子，本文的结果仍然是成立的.

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Resolution of a Special Type of Fuzzy Relation Equations

GU Min -qiang

（Department of Mathematics ，Shantou University ，Shantou 515063，Guangdong ，China ）

Abstract ：The problem of solving a special type of fuzzy relation equations based on universal logical implication operators is studied in this paper.Solvability criteria for the fuzzy relation equations are given.

An effective method to solve the fuzzy relation

equation is proposed.Key words ：fuzzy relation equation ；maximal solution matrix;mean solution matrix ；least solution matrix 谷敏强：一类模糊关系方程的求解问题第1期21