对教材一道轨迹题的探究与思考
315010 宁波二中 陶水琴
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1 问题背景
人教A 版数学选修2—1第80页复习参考题第3题：
与圆221x y +=及圆228120x y x +-+=都外切．．
的圆的圆心在（ ） （A ）一个椭圆上 (B) 双曲线的一支上 (C)一条抛物线上 (D)一个圆上
评析：这是教材里一道定义法求轨迹的典型例题．此题综合考察了两圆位置关系，双曲线的定义以及求轨迹问题等相关知识，从知识网络的交汇点上命题，既考查基础知识，又考查综合运用能力，体现了高考的命题方向．
解：由已知条件，1O 圆心为11(0,0),1O =半径r ，2O 圆心为22(4,0),2O =半径r 设动圆圆心为M ,半径为r, 因为12,M O O 与都外切， 所以11221
,2MO r r r MO r r r =+=+=+=+,得21211MO MO r r -=-=, 令1221,24a c OO ===, 因为21MO MO >,由双曲线定义，点M 的轨迹是以12,O
O 为焦点以4为离心率的双曲线的左支．故选B
2 联想类比、提出问题
问题是数学的心脏．波利亚认为，数学课的主要目的之一就是“教学生思考”．“教学生思考”意味着数学教师不只是传授知识，还应该不时地给学生提出一些引起思考和争论性的题目，即一些内容丰富有知识背景的、值得进一步探究题目．不仅 “教学生证明问题，甚至也教他们猜想问题”．
探究1 与圆221x y +=及圆228120x y x +-+=都内．切．
的圆的圆心轨迹是什么？ 改变原来例题中的某些条件或结论，使之成为一个新问题．这是一种比较常用的提问方式．
分析：因为此时11221
,2MO r r r MO r r r =-=-=-=-, 21211MO MO r r ∴-=-+=-,令1221,24a c o o ===,21MO MO < ，
由双曲线定义，点M 的轨迹是以12,O O 为焦点以4为离心率的双曲线的右支．
3 挖掘材料，深化问题
贝尔特拉米提出学生应该及早地像数学大师那样去追求和进行大量的创造性思考活动，而不要让学校里那种无休止的练习把自己的头脑弄得僵化和贫乏．实际上，沉溺在许多无益的练习之中，正好是一种在无意义劳动掩盖之下的懒惰．学生单纯地做数学习题会使他们丧失创造性，为了使学习富有成效，必须独立地在所学过的材料中发掘现有条件下能发掘出的尽可能多的东西．
探究2 与圆221x y +=及圆22
8120x y x +-+=都相．切．
的圆的圆心轨迹是什么？ 分析：与两定圆都相切除了以上与两定圆都外切、都内切外，还有与其中一个定圆外切、
与另一个定圆内切的情形．
当M 与1O 内切，与2O 外切时，
11221,2MO r r r MO r r r =-=-=+=+,21213MO MO r r ∴-=+=, 令1223,24a c o o ===,21MO MO > ,∴由双曲线定义，点M 的轨迹是以12,O O 为焦点以43为离心率的双曲线的左支．
同理当M 与1O 外切，与2O 内切时，点M 的轨迹是以12,O O 为焦点以
43为离心率的双曲线的右支．
综合上述，与圆221x y +=及圆228120x y x +-+=都相切的圆的圆心轨迹是以12,O O 为焦点以4和43
为离心率的两条双曲线． 探究就是让学生象数学家一样地研究问题，体验一个概念、一个结论产生、形成的过程与方法．不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想像、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程．
4 从特殊到一般，升华问题
探究3：一般地，与两个不同定圆都相切的圆的圆心轨迹是什么？
这是一个源于课本而又高于课本的一个问题．
分析：由上可知，与两定圆都相切的位置关系有四种情况．而两个不同的圆根据圆心、半径的不同又可分为三种情况．这是一个二级分类问题，怎样合理分类，才能让让问题的解决有条不紊呢？ 第一种情况：两圆圆心重合，半径不等，两定圆为同心圆．
此时与两同心圆都相切的圆的圆心轨迹是以12()O O 或为圆心，以121222
r r r r -+和为半径的两个同心圆．
第二种情况：两圆圆心不重合，半径相等，此时两定圆分相离、相交、外切三种情形
（1） 当1O 与2O 相离（1212o o r r >+）时：与两不同定圆都相切的圆的圆心轨迹是12O O 的中垂线
和以12,O O 为焦点以12
2c r r +为离心率的双曲线． （2） 当1O 与2O 相交(121212r r o o r r -<<+)时： 与两个不同定圆都相切的圆的圆心轨迹是12
O O 的中垂线和以12,O O 为焦点以12
2c r r +为离心率的椭圆． （3） 当1O 与2O 外切(1212o o r r =+)时：
与两个不同定圆都相切的圆的圆心轨迹是12O O 的中垂线和直线12O O ．
第三种情况：两圆圆心不重合，且半径不相等, 此时两定圆又可分相离、相交、内含、外切、内切五种情形
（1） 当1O 与2O 相离时：与两定圆都相切的圆的圆心轨迹是以12,O O 为焦点以
122c r r -和12
2c r r +为离心率的两条双曲线．
（2）当1O 与2O 相交时：与两定圆都相切的圆的圆心轨迹是以12,O O 为焦点以12
2c r r -为离心率的双曲线和以12,O O 为焦点以12
2c r r +为离心率的椭圆． （3） 当1O 与2O 内含时：与两定圆都相切的圆的圆心轨迹是以12,O O 为焦点以
122c r r -和122c r r +为离心率的两个椭圆．
（4） 当1O 与2O 外切时：与两定圆都相切的圆的圆心轨迹是以12,O O 为焦点以
122c r r -为离心率的双曲线和直线12O O ．
（5） 当1O 与2O 内切时：与两定圆都相切的圆的圆心轨迹是以12,O O 为焦点以
12
2c r r +为离心率椭圆和直线12O O ． 结论：一般地，与两个不同定圆都相切的圆的圆心轨迹是两个同心圆或直线12O O 及12O O 的中垂线或以12,O O 为焦点以122c r r -和12
2c r r +为离心率的圆锥曲线． 5 应用结论，体验成功
新课标倡导积极主动、勇于探索的学习方式，力求通过各种不同形式的自主学习、探究活动，让学生获得隐性知识，完善人格,搭建学生心理需要的平台，体验数学发现和创造的历程，使学生获得内部满足感,发展他们的创新意识．
例1（2007年全国高中数学联赛） 设圆O 1和圆O 2是两个定圆，动圆P 与这两个定圆都相切，则圆P 的圆心轨迹不可能是（ ）
解：由于选项A 中的椭圆和双曲线的焦点不重合，因此圆P 的圆心轨迹不可能是选项A ．当r 1=r 2且相离时，圆P 的圆心轨迹如选项B ；当内含且非同心圆时，圆P 的圆心轨迹如选项C ；当r 1≠r 2且相离时，圆P 的圆心轨迹如选项D ．
例2 已知定圆1O ，2O 的半径分别为1,2r r ，圆心距122o o =，动圆C 与圆1O ，
2O 都相切，
圆心C 的轨迹为如右图所示的两条双曲线，其离心率分别为12,e e ,则1212
e e e e +的值为（ ）
A. 12r r 与中的较大者
B. 12r r 与中的较小者
C. 12r r +
D. 12r r -
解:此题逆用以上结论，可得两定圆半径不同且相离．且121212
22,c c e e r r r r ==-+ 2c=122o o =,{}121212121212()11max ,2
r r r r e e r r e e e e -+++∴=+==．故选项为A 6 一点反思
课本是教师实施课堂教学的根本．“以本为本”就是要教师重视课本、钻研课本，紧扣课本施教．因为课本不仅是基础知识的载体，更是数学思想、观点和方法的典范．教材中的例题都是经过精选并具有一定代表性的，充分挖掘课本例题的教学，一方面可以起到强化知识点的作用，使知识形成网络，另一方面又能培养学生探索知识的良好学习品质，有效地变数学技能的模仿性训练为探索性实践，改变数学教学中学生这个主体被动接受的局面，充分回归学生主体，使学生在探索中实践，在实践中探索，通过观察、思考、研讨、论证等各种活动，掌握数学知识，增强求知欲望，发展思维能力．
事实证明，在教学中教师若能运用灵活的教学方法，充分发挥课本的功能，在课本教学上狠下功夫，就可以避免题海战术，既能减轻学生负担，又能培养学生多种能力．
参考文献
1 闫小川．数学教学应重视对课本例题的改造与深化[J]．中学数学，2006，(11)
2 姜丽芸． 数学探究性教学的几点思考[J]． 现代教育科学，2008,（6）
3 刘海滨．王琪．一道模拟题的探究性教学及反思[J]．数学教学研究，2008,(11)