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函数凹凸性及其应用
学 生 ： 邱 雷 指导老师： 马 新 淮南师范学院数学系
摘要：凹凸函数是一类比较重要的函数，在数学规划中有着广泛的应用，考虑到凹凸函数与连续性、可导性之间的联系及凹凸函数在不等式证明方面的作用和意义，本文给出了凹凸函数的多种不同定义，并讨论了它们之间的等价性及凹凸函数有关性质和它在不等式方面的相应应用。Jensen 不等式是凸函数的一个重要不等式，本文以Jensen 不等式为基础不等式，并以此推出它的三个推论，这三个推论都具有广泛地应用价值,用这三个推论来推证几个重要的不等式.
Abstract ：Concave-convex function is an important kind of function and it is widely used in mathematic programming. Considering the relationship between continuity and derivative of concave-convex function and their importance of application in proof of some inequalities, several kinds of equal definitions of concave-convex function are given in this paper. Their equality, some relative characters and their application in equalities are also discussed. Jensen inequality is an important kind of convex function, We get three corollaries of Jensen inequality in this paper. The three corollaries all have extensive applications. Meanwhile, we provide new proofs of some significant inequalities with the three corollaries.
关键词：凹函数；凸函数；Jensen 不等式
Key words : concave function; convex function ; Jensen inequality
引言：在高等数学中，利用导数讨论函数的性态时，经常遇到一类特殊的函数——凹凸函数，由于凹凸函数具有一些特殊的性质，利用这些性质可以非常简单地证明一些初等不等式、函数不等式和积分不等式，本文试就凹凸函数的性质、等价定义和在证明不等式中的应用等问题作初步探讨。
1 凹凸函数的多种定义及其性质
1.1凹凸函数的定义
大家已经熟悉函数2()f x x =的图象，它的特点是曲线2
y x
=
上任意
两点间的弧段总在这两点连线的下方，我们可以下这样一个定义：设
()f x 在区间[],a b 上有定义，若曲线()y f x =上任意两点间的弧段总位
于连接两点的直线之下，则称函数()f x 是凸函数。
以上定义只是几何描述性的，为了便于凹凸函数的应用，用严格地分析式子来定义凹凸函数是十分必要的。
凹凸函数的定义是多种多样的，大致总结一下，不外乎下列七个命题，这些命题各有其长处，且对()f x 的要求也不尽相同，使用时切实要注意。
（1） 设()f x 在区间[],a b 上有定义，[]12,,x x a b ?∈有
12
12()()
()2
2
x x f x f x f ++≤
（2） 设()f x 在区间[],a b 上有定义，[]12,,x x a b ?∈，且1x <
x <2x 有
112
21()1
()01
()
x f x x f x x f x ?=≥ （3） 设()f x 在区间[],a b 上有定义，[]12,,x x a b ?∈，(0,1)λ?∈有
[]1212(1)()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-
（4） 设()f x 在区间[],a b 上有定义，[]12,,x x a b ?∈，且12x x x <<有
12121
21
2()()
()()
()()
f x f x f x f x f x f x x x x x x x
---≤
≤
---
（5） 设()f x 在区间[],a b 上连续，在(),a b 内可导，()0,,x x a b ?∈有
'
000()()()()
f x f x x x f x ≥-+
（6） 设()f x 在区间[],a b 上连续，在(),a b 内可导，且'()f x 在()
,a b 内单调递增
（7） 设
()
f x 在区间[],a b 上连续，在(),a b 内二次可导，且"
()f x 0
≥.
说明：
1、若将上述七命题中“≤”改为“≥”，“≥”改为“≤”，则称()f x 为其相应区间上的凹函数。
2、若将上述七命题中“≤”改为“<”，“≥”改为“>”，'()f x 递增改为严格递增，便成为严格凸函数。
3、按对()f x 要求的强弱来说，命题（1）最弱，只要()f x 在[],a b 上有定义。命题（2）—（4）有所加强，因为它们蕴涵()f x 在[],a b 上连续。命题（5）和命题（6）又进一步加强，要求()f x 在(),a b 内可导。命题（7）最强，要求()f x 在(),a b 内二次可导。例如函数()1,1()2
1
x x f x x ?∈-=?
=±?，
容易验证它是命题（1）意义下的凸函数，显然它不是命题（2）—（7）意义下的凸函数，因为()f x 在[]1,1-上不连续。
4、若将命题（1）补充上()f x 在[],a b 上连续，则命题（1）—（4）是等价的。（证明参见[1]）
以上我们阐述了关于凹凸函数的七个命题，其中命题（1）—（4）(命题（1）补充上()f x 在[],a b 上连续)可以作为凹凸函数的一般定义，而命题（5）—（7）可以作为凹凸函数的三个判定定理。 1.2 凹凸函数的性质
性质1：若()f x 在区间[],a b 上是凸函数，则对0,k
?≠则
0k >时，()kf x 在区间上是凸函数； 0
k <时，()kf x 在区间上是凹函数.
性质2：若()f x 、()g x 在区间[],a b 上是凸函数，对1k ?、2k R ∈，
10k >，2k >0时，12()()
k f x k g x +在区间上是凸函数；
10k <，20k <时，12()()k f x k g x +在区间上是凹函数.
注：性质2中的1k 、2k 有一个为零时即为性质1.
性质3：若()f x 、()g x 在区间[],a b 上是凸函数，则()(){}x g x f ,max 在区间上是凸函数.
性质4：()f x 是区间[],a b 上的凹函数，且()f x 0
>，则
1()
f x 是区间[]
,a b 上的凸函数，反之不真. 证明：要证
1()
f x 是区间[],a b 上的凸函数，即证[]()12,0,1x x a b λ?,∈,∈有
12121
1[(1)]
()
()
f x x f x f x λ
λλλ-≤
+
+-，
因为()0f x >，且为凹函数，故有1212[(1)]()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≥+-，所以
12121
1
[(1)]
()(1)()
f x x f x f x λλλλ≤
+-+-，
只需证明
12121
1()(1)()
()
()
f x f x f x f x λ
λλλ-≤
+??????
+- （1）
由于22
()()2()()
f x f y f x f y +≥，故（1）式成立，结论得证. 另：设2()0x f x e -=>是R 上的凸函数，但
21()
x
e
f x =仍为凸函数.
性质5：若()f x ，()g x 在区间[],a b 上是凸函数，则()()f x g x +在区间[],a b 上也是凸函数.
性质6：若()f x 在区间[],a b 上是凸函数,对(),x a b ?∈，则单侧导数
'
'
()()f x f x -+,皆存在，且'
'
()().f x f x -+≤
推论：若()f x 是区间[],a b 上的凸函数，则()f x 在区间(),a b 上连续.
性质7（Jensen 不等式）：若
()
f x 是区间[],a b 上的凸函数，对
[],0(1,2,3,),i i x a b i n λ?∈,>=?且1
1n
i i λ==∑，则有1
1
()()
n
n
i i i
i i i f x f x λλ
==≤
∑∑.（证
明参见[2]）
2凹凸函数的两种几何特征
2.1几何特征1（形状特征）
1,
2A A ()y f x =横坐标12x x <
，则111(,())x f x A ，22,2(())x f x A ，过点
12
2
x x +作ox 轴的垂线
交函数于A ，交12A A 于B ，
凸函数的形状特征是：其函数曲线任意两点1A 与2A 之间的部分位于弦12A A 的下方;
凹函数的形状特征是：其函数曲线任意两点1A 与2A 之间的部分位于弦12A A 的上方。
2.2几何特征2（切线斜率特征）
设12A A 是函数()y f x =
曲线上两点，函数曲线1A 与2A 之间任一点
A
处切线的斜率：
凸函数的切线斜率特征是：切线的斜率()y f x =
随x
增大而增大；
凹函数的切线斜率特征是：切线的斜率()y f x =随x 增大而减小。
3
在高等数学中,经常要用到各种形式的不等式. 因此,可以说在高等数学中不等式占有重要的位置. 通常一些重要的不等式构成一个系列,即从一个基础不等式出发,可以顺次推出一系列不等式. 在高等数学中Jensen 不等式就是一个较为典型的不等式,将它作为基础不等式可推得在高等数学中一类常见的重要不等式. 而Jensen 不等式易于从凸函数中得到, 因此, 研究、推广、应用Jensen 不等式是很有意义的. 本文给出了Jensen 不等式及其它的三个推论,并用它来推证几个重要的不等式. 3.1 Jensen 不等式
（1）数学分析中的Jensen 不等式：若()f x 是区间[],a b 上的凸函数，对[],,0(1,2,3,)
i i
x a b i n λ?∈>=?，且1
1n
i
i λ==∑，则有1
1
()()
n n
i i i
i i i f x f x λλ
==≤
∑∑.
（证明参见[2]）
（2）概率中的Jensen 不等式：设ξ是(),,F P Ω上的.r v ，若()f x 是定义在某区间?上的连续函数，则有()()f f ξξE ≤E .（证明参见[3]）.
3.2 Jensen 不等式的推论 推论1[]2：若[]1,,,1,2,3,i
i x
a b q i n
n
∈=
=?，则有1
1
1
1
()()n
n
i i i i f x f x n n
==≤∑∑
.
推论2[]
2：若0,0,1,2,3i
i x q i n >>=?,，且1
1,1n
i i q p ==?>∑，则有
111
1()
n
n
p p
i
i i i i i q x
q x ==≤∑∑.
证明：由Jensen 不等式有1
1
1
1
()()n
n
p p i i i i i i f q x q f x ==≤∑∑，取
'1
"2
(),0,(),()(1)p p p f x x x f x px
f x p p x
--=>==-，
因为1p >，所以x ?>0，有"
()0f x >
，所以有111
1
1
()()n
n
n
p
p
p
p i i
i
i i i
i i i q x q x
q x ===≤
=
∑∑∑，
即1111
()
n
n
p
p
i i
i i i i q x q x ==≤∑∑.
推论3[]
2：若0,i
i x q >>0,1,2,3,i n =?，且1
1n
i i q ==∑，则有11
i
n
n
q i
i i
i i x
q x ==≤
∑∏
证明：已知i
x >0,0
i q >，设ln i
i
y x =或i
y i
x
e
=，有ln i i i
i i
q q x q y i
x
e
e
==，取
(),y
f y e y R =?∈，有'
"
()()0y
f y f y e ==>，由
Jensen 不等式有
1
ln 1
1
1
1
1
1
()()n
i i
i i i
i i
n n
n n
n
n
q y q q x y i
i i i
i i
i i
i i i i i i x
e
e
f q y q
f y q e
q x =======∑=
==≤
=
=
∑∑∑∑∏∏.
4 函数凹凸性在高考中的应用
函数凹凸性问题是近几年高考与平时训练中的一种新题型．这种题情景新颖、背景公平，能考查学生的创新能力和潜在的数学素质，体现“高考命题范围遵循教学大纲，又不拘泥于教学大纲”的改革精神．但由于函数曲线的凹凸性在中学教材中既没有明确的定义，又没有作专门的研究，因此，就多数学生而言，对这类凹凸性曲线问题往
往束手无策；而教师的“导数”理解又不能被学生所接受．所以，对这类非常规性问题作一探索，并引导学生去得到一般性的解法，无疑对学生数学素质的提高和创新精神的培养以及在迅速准确解答高考中出现此类的试题都是十分重要的。 4.1 凹凸曲线问题的求法
例4.1（06重庆理）如图所示，单位圆中弧A B 的长为x ，()f x 表示弧
A B 与弦A B 所围成的弓形面积的
2倍，则函数()y f x =的图象是（ ）
解：易得弓形的面积AxB S 的2倍为()sin f x x x
=-.由于1y x =是直线，每
当x 增加一个单位增量x ?，1y 的对应增量y ?不变，而2sin y x
=是正弦
曲线，在[]0,π上是凹函数，在[],2ππ上是凸函数，故每当x 增加一个单位增量x ?时，2y 对应的增量(1,2,3,,)i i n =?在[]0,π上越来越小，在[],2ππ上越来越大。故当
x
增加一个单位增量x ?时，对应的
()s i n f x x x
=-的变化；在[]0,π上其增量()(1,2,3,)i f x i ?=?
越来越大，在
A B
C D
[],2ππ上其增量则越来越小。故函数()sin f x x x =-关于x 的图象，开始
时在[]0,π上是凸函数，后来在[],2ππ上是凹函数。故选D 。 例4.2（07江西）四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所是．盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为1234,,,h h h h ，则它们的大小关系正确的是（ ）
A ．h 2＞h 1＞h 4
B ．h 1＞h 2＞h 3
C ．h 3＞h 2＞h 4
D ．h 2＞h 4＞h 1 解： 设内空高度为H , 剩余酒的高度关于酒杯中酒的体积函数从左到右依次为1234(),(),(),()V h V h V h V h ，根据酒杯的形状可知函数
124(),(),()V h V h V h 的图象可为
图4.1
因为函数12(),()V h V h 为凸函数, 1()V h 当h 从0H
→，h ?增加一个单
位增量， (1,2,3,)i V i ?=?增大，则140.5h H
h >=；
同理2()V h 当h 从0H
→
，
增h ?加一个单位增量，(1,2,3,)i V i ?=?增大，则2
4
0.5h H h >=；所以
1424
,h h h h >>；由12(),()V h V h 图象可知，h 从212,()()H h V h V h →?>?，而
11220.5()(),0.5()()V h V h V h V h >?=?,则当11()0.5()V h V h ?=时12
h h >，所以答案
为A 。
4.2凹凸函数问题的求法 例4.3（2005湖北卷）在2
22,log ,,cos 2x
x y y y x y x
====这四个函数中，
当`121o x x <
<<时，12
12()()
(
)2
2
x x f x f x f ++>
恒成立的函数的个数是（ ）
.0A .1B .2C .3D
解：运用数形结合思想，考察各函数的图象，注意到对()12,0,1x x ?∈，且`121o x x <
<<，当()f x 总满足12
12()()
(
)2
2
x x f x f x f ++>
时，函数()f x 在
区间()0,1上是凹函数。其图象是“上凸”的，因此否定
2
2,,cos 2x
y y x y x ===，故选B
.
例4.4（1）[4]在A B C ?中，证明：sin sin sin 2
A B C ++≤.
（2）[]5设,,a b c 为正数，且1a b c ++=+
≤
.
证明：（1）令()"
()sin
,0,,()f x x x f x π=-∈>0,
因此
()()()
(
)3
3
f A f B f C A B C
f ++++≥，即sin sin sin sin
3
3
A B C
A B C
++++-
≥-，
所以
sin sin sin sin
sin
3
3
3
2
A B C
A B C
π
++++≤==
故sin sin sin 2
A B C
++≤
.
（2）令
)3"
2
1
()0,()0
4
f x x f x x
-
=>=>
所以()()()
()3
3
a b c
f a f b f c f ++++≤
，
即3
≤-
≤=
.
通过以上的例子可以看出在高三复习时，有必要留意以高等数学知识为背景的创新题与信息题，也有必要让学生了解简单高等数学与初等数学结合的知识，这样既可以达到简化运算、避免易错点的目的，还可以突破难点，找到规律性的解题途径，更为高等数学的学习打下良好的基础。同时使学生们认识到知识学的越多、越深入，解决起问题来越有规律性、越简单。从而使他们渴望学习，渴望积累，更进一步的增加分析问题，解决问题的能力。
5 凹凸函数在不等式证明中的应用
凹凸函数的应用领域非常广泛, 特别是在不等式的证明中, 运用它解题显得巧妙、简练. 通过对下面几个问题的证明,我们会认识到利用凸函数的定义、等价定义、性质及判定定理证明不等式,关键是寻找合适的凸函数,若不能直接找出,则可以对不等式进行适当的变形,从而达到证明不等式的目的. 5.1利用凹凸函数的定义证明不等式
用定义直接来判断一个函数是不是凸函数,往往是很困难的. 但用该判定定理来判断一个光滑函数是否凸,则是相当简便的. 在实际应用中常常先用导数来肯定函数的凸性,再反过来引出它必定满足凸
性不等式. 例5.1[]
1求证：,,a b R ?∈有2
1()2
a b a
b
e
e e +≤
+.
证明：法一：（利用定义1证明）考察连续函数(),()x f x e x R =∈，对
,a b R
?∈，不妨设a b <，因为'"
()()0x
f x f x e =
=>，故(),()x
f x e x R =∈是
凸函数。由定义1有()()
(
)2
2
a b f a f b f ++≤
，即2
1()2
a b a
b
e
e e +≤
+.
法二：（利用定义2证明）,a b R ?∈,不妨设a b <，考察函数
(),()x
f x e x R =∈
，因为'
"
()()0x
f x f x e ==>，故(),()x
f x e x R =∈是凸函数。
令1
23,,2
a b x
a x x b
+==
=，由定义2知1122331
()1
()01
()
x f x x f x x f x ≥，
即2
11
21
a
a b b
a e
a b e
b
e
++≥，故2
1
20
a
a b
a
b
a
a e
b a e
e
b a
e e
+--≥--，
即
2
()()()02a b
b a
a b a e e b a e
e +-----≥，
所以
2
1()2
a b
b a
a
e e e
e
+-≥-，即2
1()2
a b a
b
e
e e +≤
+.
法三：（利用定义3证明）考察连续函数
(),()
x
f x e x R =∈，因为
'
"
()()0
x
f x f x e ==>，故
(),()x
f x e x
R =
∈是凸函数，由定义3有
（1,,2
a b R
λ
=
?∈），11
1
11(
)()()()[()()]222
2
22
a b f f a b f a f b f a f b
+=+≤+=+，
即2
1()2
a b
a
b
e
e e +≤+.
法四：（利用定义4证明）,a b R ?∈
,
不妨设a b <，考察函数
(),()x
f x e x R =∈
，因为
'
"
()()0x
f x f x e ==>，故(),()x
f x e x R =∈是凸函数。
令1
23,,2
a b x
a x x b
+==
=，由定义4有312121
31
()()
()()
f x f x f x f x x x x x --
≤
--，
即
2
2
a b
a
b a
e
e
e e a b b a
a
+--≤
+--，所以2
1()2
a b a
b
e
e e +≤
+.
例5.2[]
6 若,0,,1a b p q >>，且
111p
q
+
=，求证：11p
q
a b a b p
q
≤
+
.
分析：从所求证的不等式的形式来看，不容易直接找到合适的凸函数，因此我们要对它进行一定的变形。不妨将不等式两边同时取自然对
数，则有1
1
ln()ln(
)p
q
a b a
b p
q
≤+
，即
11ln ln ln(
)a b a b p
q
p
q
+
≤+
，由此式我们就
可以很容易找到合适的凸函数了. 证明：考察函数
()ln ,()
f x x x o =->，因为
"
2
1()0
f x x
=
>，所以
()l n ,(
f x x x o
=->是凸函数。又因为111
p
q
+
=，所以
11ln(
)ln ln a b a b p
q
p
q
-+
≤-
-，即11ln(
)ln()p
q
a b a b p
q
+
≥，故1
1
p q a b a b p
q
≤
+
.
5.2利用凹凸函数的性质证明不等式 例5.3[]
7 设1
1
,,1,2,3,,n
n i i i i
i i a b R
i n a b +
==∈=?=
∑∑，则2
1
1
1
2
n
n
i
i
i i i i
a a a
b ==≥
+∑
∑. 证明：记1
n
i i s a ==∑，则1
1n
i i a s
==∑
，取1(),0
1f x x x
=
>+，易知"()0f x >，所
以1(),0
1f x x x
=
>+是凸函数，取i i
i
b x a =
，由于1
1
n
n
i i
i i a b s
====∑∑，故由性质
7（Jensen 不等式）得21
1
1
1
1
1
12
11n
n
i
i
n
n
i i i i i i
i
i
i i a a s
s s s
a b a b s x x s
s
=====≥==
+++
+
∑
∑
∑
∑
.
5.3利用凹凸函数的判定定理证明不等式 例5.4[]
8 证明：对,x y ?>0，当1α
>时，有1
11x
x y y
α
ααα
α--≤+
.
证明：注意不等式系数之和
11
1αα
α
-+
=，且,x y 及系数均为正数，可考
虑用凹凸性证明. 设
()ln f x x =，则"
2
1()0
f x x
=-
<，由判定定理知()ln f x x =，(0)x >是凹
函数，故1
1
1111(
)()(
)x
x f y f y f y
y
α
αααααα
αα
α
----+
≥
+
，即
1
1
1111ln(
)ln ln(
)
x
x y y y
y
α
α
ααααα
αα
α
----+
≥
+
11
ln [ln (1)ln ]ln y x y x αααα
α
-=
+
--=
故 1
11x
x y y
α
ααα
α--≤
+
.
5.4 Jensen 不等式的应用 例5.5[]2 当0i
a >时，1,2,3,,i n
=?
，证明：
121
2
111n
n
a a a n
n
a a a ++?+≤
≤
++?+
.
证明：设()"
2
1()ln ,0,,
()0
f x x x f x x
=-?∈+∞=
>，从而函数()ln f x x =-在
()0,+∞是严格凸函数.根据Jensen 不等式推论1，取
()110,,,1,2,3,,1n
i i i i i x a q i n q n
==∈+∞=
=?=∑，
于是有1
2
12ln ln ln ln(
)n n a a a a a a n n
n
n
n
n
-+
+?+≤-
-
-?-
，即
12ln
ln
n
a a a n
++?+-≤-
12n
a a a n
++?+≤
，取
()1
110,,,1,2,3,,1n
i i i i i
x q i n q a n
==
∈+∞=
=?=∑
，用同样的方法，有
1
2
111n
n
a a a ≤
++?+
.于是，n N ?∈
有
121
2
111n
n
a a a n
n
a a a ++?+≤
≤
++?+
例5.6[]
2（Holder 不等式） 若0,0,1,2,3,i i a b i n >>=?，
且111,1p p
q
>+
=则
111
1
1
()()
n n
n
p
q
p
q
i i
i i
i i i a b
a b ===≤∑∑∑.
证明：考虑函数1
(),q f x x x =-?>0,有
1
2
"11()(1)0
q
f x x q q
-=-->.由判定定
理知1
()(0)
q
f x x
x =->是凸函数.设1
,q p
i
i
i
i n
p
p i
i
i b a x q a a
==
=
∑，显然有1
1n
i
i q ==∑，
应用
111p
q
+
=，由
Jensen 不等式推论2有11
111
1
()()
n n
q q
i i
i
i i n n
p p
q
i
i i i a b b a
a ====≤
∑∑∑∑ ，
即：111111
1
1
1
1
()
()()()
n n
n
n
n
p
q p
q q
q
p
q
i i
i i
i i
i i i i i a b a b a b -
=====≤=∑∑∑∑∑.
当且仅当
121
2
q
q
q
n p p p n
b b b a
a
a
=
=?
时，上式等号成立.
特别地，取2p q ==时，就可以得到Cauchy 不等式
1
n i i
i a b =≤
∑例5.7[]2（Minkowski 不等式） 若0,0,1,2,3,i
i a b i n >>=?，且
111,
1p p
q
>+
=，则1111
1
1(())
()()
n
n
n
p
p
p
p
p
p
i i i i i i i a b a b ===+≤+∑∑∑.
证明：注意到1
1
1
1
1
()
()
()
n
n
n
p
p p i i i
i
i i
i
i i i i a b a a
b b a
b --===+=
++
+∑∑∑，将Holder 不等
式应用到右端两个和数，可得
1111
(1)(1)1
1
1
1
1
()()(()
)()(()
)
n
n
n
n
n
p
p
p q
p
p q
p
q
p
q
i
i i i i i i i i i i i i a
b a a b b a b --=====+≤+++∑∑∑∑∑
1
1
11
1
1(())[()()]n
n
n
p p p
q p
p
i i i i i i i a b a b ====++∑∑∑，
故 111
1
1
1
(()
)
()()
n n n
p
p
p
p
p
p
i i i i i i i a b a b ===+≤+∑∑∑.
综上所述，在不等式的证明中，巧妙地应用凹凸函数的定义及性质，就可以使一些较复杂的不等式迎刃而解。
6 总结
本文给出了凹凸函数的七种不同定义，讨论了它们之间的等价性及凹凸函数的有关性质，并探讨了凹凸函数在不等式证明中的应用。弄清了凹凸函数及其几何特征的本质区别和变化的规律，可以准确、迅速、简捷、明了地解决高考中有关凹凸函数的问题。在高等数学中，Jensen 不等式是一个较为典型的不等式，本文给出了Jensen 不等式及其它的三个推论，并用它来推证几个重要的不等式。
致谢
论文完成之际，我要特别感谢我的指导老师马新老师的热情关怀
和悉心指导。在我撰写论文的过程中，马老师倾注了大量的心血和汗水，无论是在论文的选题、构思和资料的收集方面，还是在论文的研究方法以及成文定稿方面，我都得到了马老师悉心细致的教诲和无私的帮助，特别是她广博的学识、深厚的学术素养、严谨的治学精神和一丝不苟的工作作风使我终生受益，在此表示真诚地感谢和深深的谢意。
在论文的写作过程中，得到了许多同学的宝贵建议，同时也得到了许多同学的支持和帮助，在此一并致以诚挚的谢意。感谢所有关心、支持、帮助过我的良师益友。最后，向在百忙中抽出时间对本文进行评审并提出宝贵意见的各位专家表示衷心地感谢！
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函数的凹凸性 一、出示曲线，出示课题 1、请大家看一下屏幕上的四条曲线，如果要给它们分一下类，怎么分？可以按照函数的单调性分。这两个从左往右，逐渐上升，这两个从左往右，逐渐下降。 2、从单调性的角度，这两条曲线是一类，但如果再仔细观察一下，这两条曲线还是不一样，这条曲线是凸的，这条曲线是凹的。同样，这条曲线是凸的，这条曲线是凹的。所以，如果按照曲线的凹或者凸，我们可以把这两条曲线作为一类，因为它们都是凹的，把这两条作为另外一类，因为它们都是凸的。那么，曲线的凹或者凸，反映了函数的什么性质呢？这就是本节课我们要学习的内容：函数的凹凸性。 二、比较位置，给出定义 刚才我们说这两条曲线是凹的，什么是凹的呢？实际上，如果在这条曲线上任取两点，不难发现，连结这两个点的曲线弧始终在连结这两个点的弦的下面，所以我们说它是凹的。而如果在这条曲线上任取两点，连结这两个点的曲线弧始终在弦的上面，所以我们说它是凸的。这里我们是用比较曲线弧和弦的上下位置来区分曲线的凹和凸，那么，如果用数学语言来刻画曲线的凹和凸，怎么来描述呢？ (1)现在屏幕上显示的是2y x =，0x ≥的函数图象，可以看出来它是一条凹的曲线。 1、在曲线上任取两点A 、B ,设点A 的横坐标为1x ，点B 的横坐标为2x ，如果在()12,x x 内任取一个x ，过这个点作x 轴的垂线，这条垂线与曲线弧相交，交点是P ，与弦相交，交点是Q ，由于连结A 、B 两点的曲线弧始终在弦AB 的下面，所以不管x 怎么变，点P 的纵坐标始终小于点Q 的纵坐标。 2、刚才x 是在()12,x x 内任取的，这样的话，随着x 的变化，点P 和点Q 的纵坐标也在变化，这样对我们表示点P 和点Q 的纵坐标很不方便。所以，为了表示点P 和点Q 的纵坐标的方便，x 就取()12,x x 的中点122 x x +。 3、好，在这里同学们可能会有这样的疑问：你取区间的中点，那你比的只是区间中点处对应的P 和Q 的纵坐标，不能说明曲线弧和弦上所有点的情况啊？实际上，由于点A 、B 是任取的，所以12,x x 也是任意的，随着12,x x 的变化，中点也在变化，对应的点P 和Q 也在变化，所以中点处对应的P 和Q 实际上就代表了曲线弧和弦上的所有点。 4、点P 的纵坐标是122x x f +?? ??? ，点Q 的纵坐标是()()122f x f x +，则有122x x f +??< ??? ()()122f x f x +。一般地，如果函数()f x 在区间I 上连续，对I 上任意两
函数凹凸性的应用 什么叫函数的凸性呢？我们先以两个具体函数为例,从直观上看一看何谓函数的凸性. 如函数y =所表示的曲线是向上凸的,而 2y x =所表示的曲线是向下凸的,这与我们日常习惯上的称呼是相类似的.或 更准确地说：从几何上看,若y ＝f(x)的图形在区间I 上是凸的,那么连接曲线上任意两点所得的弦在曲线的上方；若y ＝f(x)的图形在区间I 上是凹的,那么连接曲线上任意两点所得的弦在曲线的下方. 如何把此直观的想法用数量关系表示出来呢？ 设函数 ()f x 在区间I 上是凸的（向下凸）,任意 1x , 2x I ∈（ 12 x x <）. 曲线 ()y f x =上任意两点11(,())A x f x ,11(,())B x f x 之间的图象位于弦AB 的下方,即任意 12(,)x x x ∈,() f x 的值小于或等于弦AB 在x 点的函数值,弦AB 的方程 211121 ()() ()() f x f x y x x f x x x -= -+-. 对任意 12(,) x x x ∈有,整理得 21 122121 ()()()x x x x f x f x f x x x x x --≤ +--. 令 221()x x t x x -= -,则有01t <<,且12(1)x tx t x =+-,易得1 21 1x x t x x -=--,上式可写成 1212[(1)]()(1)() f tx t x tf x t f x +-≤+- 1.1凸凹函数的定义 凸性也是函数变化的重要性质。通常把函数图像向上凸或向下凸的性质，叫做函数的凸性。图像向下
§3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性 一、函数单调性的判别法 定理1 设 )(x f 在区间I 上可导，则)(x f 在I 上递增（减）的充要条件是 )()('00≤≥x f . 证 若 f 为增函数，则对每一I x ∈0，当0x x ≠时，有 ()() 00 0≥--x x x f x f 。 令0x x →，即得 00≥)('x f 。 反之，若 )(x f 在区间I 上恒有0≥)('x f ，则对任意I x x ∈21,（设21x x <） ，应用拉格朗日定理，存在，使得 ()()()01212≥-=-x x f x f x f ξ')(。 由此证得 f 在I 上为增函数。 定理2 若函数 f 在),(b a 内可导,则f 在),(b a 内严格递增(递减)的充要条件是: (1)),(b a x ∈?有)()('00≤≥x f ; (2) 在),(b a 内的任何子区间上0≠)('x f . 推论 设函数在区间I 上可微,若))('()('00<>x f x f , 则f 在I 上(严格)递增(递 减). 注1 若函数 f 在),(b a 内(严格)递增(递减),且在点a 右连续,则f 在),[b a 上亦为(严 格)递增(递减), 对右端点b 可类似讨论. 注2 如果函数 )(x f 在定义区间上连续，除去有限个导数不存在的点外，导数存在且 连续，那么只要用方程0=)('x f 的根及)('x f 不存在的点来划分函数)(x f 的定义区间就 能保证 )('x f 在各个部分区间保持固定符号，因而函数)(x f 在每个部分区间上单调。 注意：如果函数 )(x f 在区间],[b a 上连续，在),(b a 内除个别点处一阶导数为零或 不存在外，在其余点上都有 0>)('x f （或0<)('x f ），那么由于连续性，)(x f 在区间 ],[b a 上仍然是单调增加（或单调减少）的。
函数的凹凸性在高考中的应用 崇仁二中廖国华 教学目的: ①了解函数的凹凸性，掌握增量法解决凹凸曲线问题。 ②培养学生探索创新能力，鼓励学生进行研究型学习。 教学重点：掌握增量法解决凹凸曲线问题 教学难点：函数的凹凸性定义及图像特征 教学过程： 一、课题导入 1.展示崇仁县第二中学2008届高三第一次月考试题12得分统计表 2.组织学生现场解答月考试题12并进行得分统计，以引出课题——— 题目：一高为Ｈ、满缸水量为Ｖ的鱼缸的截面如图1所示，其底部碰了一个小洞，满缸水从洞中流出．若鱼缸水深为ｈ时水的体积为Ｖ，则函数Ｖ＝ｆ（ｈ）的大致图象可能是图2中的（）．（选自《中学数学教学参考》2001年第1～2合期）的《试题集绵》． 函数凹凸性问题是近几年高考与平时训练中的一种新题型．这种题情景新颖、背景公平，能考查学生的创新能力和潜在的数学素质，体现“高考命题范围遵循教学大纲，又不拘泥于教学大纲”的改革精神．但由于函数曲线的凹凸性在中学教材中既没有明确的定义，又没有作专门的研究，因此，就多数学生而言，对这类凹凸性曲线问题往往束手无策；而教师的“导数”理解又不能被学生所接受．所以，对这类非常规性问题作一探索，并引导学生去得到一般性的解法，无疑对学生数学素质的提高和创新精神的培养以及在迅速准确解答高考中出现此类的试题都是十分重要的。 二、新课讲授 1、凹凸函数定义及几何特征 图1 图2
⑴引出凹凸函数的定义： 如图3根据单调函数的图像特征可知：函数)(1x f 与)(2x f 都是增函数。但是)(1x f 与)(2x f 递增方式不同。不同在哪儿？把形如)(1x f 的增长方式的函数称为凹函数，而形如)(2x f 的增长方式的函数称为凸函数。 ⑵凹凸函数定义（根据同济大学数学教研室主编《高等数学》第201页）： 设函数f 为定义在区间I 上的函数，若对（a ，b ）上任意两点1x 、2x ，恒有： （1）1212()()()2 2 x x f x f x f ++<，则称f 为（a ，b ）上的凹函数； （2）12 12()() ( )2 2 x x f x f x f ++> ，则称f 为（a ，b ）上的凸函数。 ⑶凹凸函数的几何特征： 几何特征1（形状特征） 图4（凹函数） 图5（凸函数） 如图，设21,A A 是凹函数y=)(x f 曲线上两点，它们对应的横坐标12x x <，则 111(,())A x f x ，222(,())A x f x ，过点12 2 x x +作ox 轴的垂线交函数于A ，交21A A 于B ， 凹函数的形状特征是：其函数曲线任意两点1A 与2A 之间的部分位于弦21A A 的下方; 凸函数的形状特征是：其函数曲线任意两点1A 与2A 之间的部分位于弦21A A 的上方。 简记为：形状凹下凸上。
第四节 函数单调性、凹凸性与极值 我们已经会用初等数学的方法研究一些函数的单调性和某些简单函数的性质，但这些方法使用范围狭小，并且有些需要借助某些特殊的技巧，因而不具有一般性. 本节将以导数为工具，介绍判断函数单调性和凹凸性的简便且具有一般性的方法. 分布图示 ★ 单调性的判别法 ★ 例1 ★ 单调区间的求法 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8 ★ 曲线凹凸的概念 ★ 例9 ★ 例 10 ★ 曲线的拐点及其求法 ★ 例11 ★ 例12 ★ 例13 ★ 函数极值的定义 ★函数极值的求法 ★ 例14 ★ 例15 ★ 例16 ★第二充分条件下 ★ 例17 ★ 例18 ★ 例19 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题3-4 ★ 返回 内容要点 一、函数的单调性：设函数)(x f y =在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导. (1) 若在(a , b )内0)(>'x f , 则函数)(x f y =在[a , b ]上单调增加; (2) 若在(a , b )内0)(<'x f , 则函数)(x f y =在[a , b ]上单调减少. 二、曲线的凹凸性：设)(x f 在[a , b ]上连续, 在(a , b )内具有一阶和二阶导数, 则 (1) 若在(a , b )内，,0)(>''x f 则)(x f 在[a , b ]上的图形是凹的; (2) 若在(a , b )内，,0)(<''x f 则)(x f 在[a , b ]上的图形是凸的. 三、连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点 判定曲线的凹凸性与求曲线的拐点的一般步骤为： (1) 求函数的二阶导数)(x f ''； (2) 令0)(=''x f ，解出全部实根，并求出所有使二阶导数不存在的点； (3) 对步骤(2)中求出的每一个点，检查其邻近左、右两侧)(x f ''的符号，确定曲线的凹凸区间和拐点. 四、函数的极值 极值的概念； 极值的必要条件； 第一充分条件与第二充分条件； 求函数的极值点和极值的步骤： （1） 确定函数)(x f 的定义域，并求其导数)(x f '; （2） 解方程0)(='x f 求出)(x f 的全部驻点与不可导点; （3）讨论)(x f '在驻点和不可导点左、右两侧邻近符号变化的情况，确定函数的极值点; （4） 求出各极值点的函数值，就得到函数)(x f 的全部极值.
函数凹凸性判别法与应用 作者：祝红丽 指导老师：邢抱花 摘要 函数的凹凸性是函数的重要性质之一.它反映在函数图象上就是曲线的弯曲方向，通过 它可以较好地掌握函数对应曲线的性状.本文基于函数凹凸性概念的分析，着重探讨了函数凹凸 性的判别方法以及在解题中的应用，如在不等式证明中的应用以及在求函数最值时的应用等.并 结合相关例题做了较详细的论述. 关键词 凹凸性 导数 不等式 应用 1 引言 函数的凹凸理论在高等数学中占有重要地位.函数的凹凸性揭示了函数的因变量随自变 量变化而变化的快慢程度，如果结合函数的其它性质，可以使我们对函数的认识更加精确. 以函数()y f x 在某区间I 上单调增加为例说明.我们不难理解，随着自变量x 的稳定增 加，当函数y 的增量越来越大时，函数图形是凹的，当函数y 的增量越来越小时，函数图 形是凸的，当函数y 的增量保持不变时，函数图象是直线，对于减函数我们可以作类似的分 析. 作为研究分析函数的工具和方法，它在许多学科里有着重要的应用.长期以来，很多学 者致力于函数凹凸性的判别法及其应用的研究.近年来，关于函数凹凸性的判定与应用的研 究取得了一些成果，使函数凹凸性的判别法与应用更加的广泛. 本文先从两个具体的函数图象为出发点，直观上观察函数图象的弯曲方向，从而引出函 数凹凸性的概念和拐点的定义.并在此基础上介绍了凹凸函数的几何特征，接着介绍函数凹 凸性的几种判别方法，如：用定义去判别函数的凹凸性，利用二阶导函数判别函数的凹凸性， 及利用函数凹凸性的判定定理判别函数的凹凸性.其中利用函数凹凸性的概念是最基本的判 别方法，利用二阶导函数与函数凹凸性之间的关系是最常用的判别方法.最后举例介绍了函 数凹凸性在证明不等式、求函数最值以及函数作图中的应用.虽然说并不是所有的不等式都 能利用函数的凹凸性证明，但是利用函数的凹凸性去证明某些不等式，是其它方法不可替代 的.利用函数凹凸性证明不等式丰富了不等式的证明方法，开阔了解题思路.利用导数分析函 数的上升、下降，图形的凹凸性和极值.根据对这些的讨论可以帮助我们画出用公式表示的 函数图形,了解函数的凹凸性能够使对函数图形的描绘更加精确化.
第16 次理论课教学安排
图1 2.4导数的应用----曲线的凹凸与拐点 课题： 曲线的凹凸与拐点 目的要求：理解曲线凹凸性的概念、掌握判断函数图形的凹凸性、求函数图形 的拐点等方法。 重、难点：判断函数图形的凹凸性、求函数图形的拐点 教学方法：讲练结合 教学时数：1课时 教学进程： 函数的单调性可用函数的一阶到函数来判定，对于同样的递增函数有着不同的增法，如向上凸的增或凹的增，那么对于这两种不同的增法我们如何刻画那？ 一、曲线的凹凸与拐点 1．曲线的凹凸定义和判定法 从图1可以看出曲线弧ABC 在区间()c a ,内是向下凹入的，此时曲线弧ABC 位于该弧上任一点切线的上方；曲线弧CDE 在区间()b c ,内是向上凸起的，此时曲线弧CDE 位于该弧上任一点切线的下方．关于曲线的弯曲方向，我们给出下面的定义： 定义1 如果在某区间内的曲线弧位于其任一点切线的上方，那么此曲线弧叫做在该区间内是凹的；如果在某区间内的曲线弧位于其任一点切线的下方，那么此曲线弧叫做在该区间内是凸的． 例如，图1中曲线弧ABC 在区间()c a ,内是凹的，曲线弧CDE 在区间()b c ,内是凸的． 由图1还可以看出，对于凹的曲线弧，切线的斜率随x 的增大而增大；对于凸 x y o () y f x =A B x y o () y f x =A B
的曲线弧，切线的斜率随x 的增大而减小．由于切线的斜率就是函数()x f y =的导数，因此凹的曲线弧，导数是单调增加的，而凸的曲线弧，导数是单调减少的．由此可见，曲线()x f y =的凹凸性可以用导数()x f '的单调性来判定．而()x f '的单调性又可以用它的导数，即()x f y =的二阶导数()x f ''的符号来判定，故曲线 ()x f y =的凹凸性与()x f ''的符号有关．由此提出了函数曲线的凹凸性判定定理： 定理1 设函数()x f y =在()b a ,内具有二阶导数． （1）如果在()b a ,内，()x f ''＞0，那么曲线在()b a ,内是凹的； （2）如果在()b a ,内，()x f ''＜0，那么曲线在()b a ,内是凸的． 例１ 判定曲线3 x y =的凹凸性． 2．拐点的定义和求法 定义2 连续曲线上凹的曲线弧和凸的曲线弧的分界点叫做曲线的拐点． 定理2(拐点存在的必要条件) 若函数()x f 在0x 处的二阶导数存在,且点 ()()00,x f x 为曲线()x f y =的拐点,则().00=''x f 我们知道由()x f ''的符号可以判定曲线的凹凸．如果()x f ''连续，那么当()x f ''的符号由正变负或由负变正时，必定有一点0x 使()0x f ''＝0．这样，点()()00,x f x 就是曲线的一个拐点．因此，如果()x f y =在区间()b a ,内具有二阶导数，我们就可以按下面的步骤来判定曲线()x f y =的拐点: (1) 确定函数()x f y =的定义域； (2) 求()x f y ''=''；令()x f ''＝0，解出这个方程在区间()b a ,内的实根； (3) 对解出的每一个实根0x ，考察()x f ''在0x 的左右两侧邻近的符号．如果()x f ''在0x 的左右两侧邻近的符号相反，那么点()()00,x f x 就是一个拐点，如果()x f ''在0x 的左右两侧邻近的符号相同，那么点()()00,x f x 就不是拐点． 例２ 求曲线2 3 3x x y -=的凹凸区间和拐点． 解 （1）函数的定义域为()+∞∞-,； （2）()1666,632 -=-=''-='x x y x x y ；令0=''y ，得1=x ； （3）列表考察y ''的符号（表中“”表示曲线是凹的，“” 表示曲线 是凸的）： x ()1,∞- 1 ()+∞,1 y '' - 0 + 曲线y 拐点 ()2,1-
二阶导数的应用---曲线的凹凸性与拐点 教学目标与要求 通过学习，使学生掌握利用二阶导数的符号判定函数在某一区间上凹凸性的方法，为更好地描绘函数图形打好基础，同时，理解拐点的定义和意义。 教学重点与难点 教学重点：利用函数的二阶导数判断曲线的凹凸性与拐点。 教学难点：理解拐点的定义和意义。 教学方法与建议 证明曲线凹凸性判定定理时，除了利用“拉格朗日中值定理”证明外，还可用“泰勒定理”来证明；如果利用“拉格朗日中值定理”证明，则要配合函数图形来分析讲解如何想到需要两次使用“拉格朗日中值定理”的思路，切忌脱离图形，机械证明，让学生领悟不到思想，摸不着头脑。 在讲函数的凹凸性和曲线拐点的定义时，要强调凹凸性并不是曲线的固有性质，而是函数的性质，与所选的坐标系有关；而拐点是曲线的固有性质，与所选的坐标系无关。 教学过程设计 1. 问题提出与定义 函数的单调性对于描绘函数图形有很大作用，但仅仅由单调性还 不能准确描绘出函数的图形。比如，如果在区间上，， 则我们知道在区间上单调增，但作图（参见图1）的时 候，我们不能判断它增加的方式（是弧，还是弧），即 不能判断曲线的凹凸性，所以研究曲线的凹凸性对于把握函数的性 态、作图等是很有必要的！ 在图1中，对于上凸的曲线弧，取其上任意两点，不妨取 作割线，我们总会发现不论两点的位置，割 线段总位于弧段的下方，这种位置关系可以用不等式 来描述。同理，对于上凹的曲线弧，总可用不等式 来描述。由此，我们想到对曲线的凹凸性做如下定义： 凹凸性定义设在区间I上连续，如果对I上任意两点，，恒有
则称在I 上的图形是（向上）凹的，简称为凹弧；如果恒有 则称 在I 上的图形是（向上）凸的，或简称为凸弧。 如果沿曲线从左向右走，则图形是（向上）凸的曲线的几何意义相当于右转弯，图形是（向上）凹的曲线相当于左转弯，而有切线的凹凸弧的分界点正是曲线转向的点，我们把这样的点称为拐点。 2. 凹凸性判定定理的引入 y O x y f x =() x y O y f x =() 曲线凹凸性的定义自然能判别曲线的凹凸性，但实际使用起来需要取两个点，且两个不等式对于一些表达式较复杂的函数来说判断起来也不容易。因此，我们就想能否用其它方法来判定曲线的凹凸性。函数的单调性能由的 符号确定，而对于凹凸性它束手无策，所以我们猜想凹凸性是否和 有关 经过分析，并利用泰勒公式，可证实我们的猜想是正确的，函数图形的凹凸性的确和的符号有关,于是得到 了判断曲线凹凸性的定理。 定理设在 上连续, 在 内具有二阶连续导数,那么： （1）若在内>0，则在上的图形是凹的； （2）若在 内 <0，则 在 上的图形是凸的。 3. 判别凹凸性和拐点举例 例1 判断曲线y x 3的凹凸性 解 y 3x 2 y 6x 由y 0 得x 0 因为当x <0时 y <0 所以曲线在( 0]内为凸的 因为当x >0时 y >0 所以曲线在[0 )内为凹的 例2 求曲线y 2x 33x 22x 14的拐点 解 y 6x 26x 12 ) 21 (12612+=+=''x x y 令y 0 得2 1- =x 因为当2 1 -
函数的凹凸性专题 一、函数凹凸性的定义 1、凹函数定义：设函数)(x f y =在区间I 上连续，对I x x ∈?21,，若恒有2 ) ()()2(2121x f x f x x f +<+，则称)(x f y =的图象是凹的，函数)(x f y =为凹函数； 2、凸函数定义：设函数)(x f y =在区间I 上连续，对I x x ∈?21,，若恒有2 ) ()()2(2121x f x f x x f +>+，则称)(x f y =的图象是凸的，函数)(x f y =为凸函数. 二、凹凸函数图象的几何特征 1、形状特征 如图，设21,A A 是凹函数)(x f y =图象上两点，它们对应的横坐标)(,2121x x x x <，则111(,())A x f x ， 222(,())A x f x ，过点 12 2 x x +作x 轴的垂线交函数图象于点A ，交21A A 于点B . 凹函数的形状特征是：其函数曲线任意两点1A 与2A 之间的部分位于弦21A A 的下方； 凸函数的形状特征是：其函数曲线任意两点1A 与2A 之间的部分位于弦21A A 的上方. 简记为：形状凹下凸上.
2、切线斜率特征 凹函数的切线斜率特征是：切线的斜率k 随x 增大而增大即)(x f y =的二阶导数0)(''≥x f ； 凸函数的切线斜率特征是：切线的斜率k 随x 增大而减小即)(x f y =的二阶导数0)(''≤x f . 简记为：斜率凹增凸减. 3、增量特征 设函数)(x g 为凹函数，函数)(x f 为凸函数，其函数图象如图所示.当自变量x 依次增加一个单位增量x ?时，函数)(x g 的相应增量 ,,,321y y y ???越来越大；函数)(x f 的相应增量 ,,,321y y y ???越来越小. 由此，对x 的每一个单位增量x ?，函数y 的对应增量),3,2,1( =?i y i 凹函数的增量特征是：i y ?越来越大；凸函数的增量特征是：i y ?越来越小. 三、常用的不等式 1、二次函数2 )(x x f =中，2 )2(2 22b a b a +≤+； 2、反比例函数)0(1)(>=x x x f 中，2 1 12 b a b a +≤+；
应用函数的凹凸性解高考数学题 摘要：函数凹凸性问题在近几年高考试卷中屡见不鲜。但笔者通过平时的教学及高考后学生对这方面问题的反馈中发现大部分学生对此类问题缺乏应变能力，本文通过探讨函数凹凸性定义及几何特征入手，结合具体案例，研究凹凸性问题的一般解法，以期在今后复习过程中，提高针对性和时效性，同时，培养学生探讨创新能力，鼓励学生进行研究性学习，提高学生的数学素养。 关键词：函数凹凸性问题 探究 问题导入：2006年高考重庆卷（9 ）理，如图，单位圆中弧AB x ，f(x)表示弧AB 与弦AB 所围成的弓形面积的2倍，则函数y=f(x)的图象是（ ） 图1 图2 函数凹凸性问题是近几年高考与平时训练中的一种新题型．这种题情景新颖、背景公平，能考查学生的创新能力和潜在的数学素质，体现“高考命题范围遵循教学大纲，又不拘泥于教学大纲”的改革精神．但由于函数曲线的凹凸性在中学教材中既没有明确的定义，又没有作专门的研究，因此，就多数学生而言，对这类凹凸性曲线问题往往束手无策；对这类非常规性问题作一探索，并引导学生去得到一般性的解法，无疑对学生数学素质的提高和创新精神的培养以及在迅速准确解答高考中出现此类的试题都是十分重要的。 一、 凹凸函数定义及几何特征 1、 引出凹凸函数的定义： A B C D
如图3根据单调函数的图像特征可知：函数)(1x f 与)(2x f 都是增函数。但是)(1x f 与)(2x f 递增方式不同。不同在哪儿？把形如)(1x f 的增长方式的函数称为凹函数，而形如)(2x f 的增长方式的函数称为凸函数。 2、凹凸函数定义（根据同济大学数学教研室主编《高等数学》第201页）： 设函数f 为定义在区间I 上的函数，若对（a ，b ）上任意两点1x 、2x ，恒有： （1）1212()()( )22 x x f x f x f ++<，则称f 为（a ，b ）上的凹函数； （2）1212()()()22x x f x f x f ++>，则称f 为（a ，b ）上的凸函数。 3、凹凸函数的几何特征： 几何特征1（形状特征） 图4（凹函数） 图5（凸函数） 如图，设21,A A 是凹函数y=)(x f 曲线上两点，它们对应的横坐标12x x <，则 111(,())A x f x ，222(,())A x f x ，过点122 x x +作ox 轴的垂线交函数于A ，交21A A 于B ， 凹函数的形状特征是：其函数曲线任意两点1A 与2A 之间的部分位于弦21A A 的下方; 凸函数的形状特征是：其函数曲线任意两点1A 与2A 之间的部分位于弦21A A 的上方。 简记为：形状凹下凸上。 几何特征2（切线斜率特征）
二阶导数与函数凹凸性 证明 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT
证明设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有一阶和二阶导数，那么若在(a,b)内f"(x)>0，则f(x)在[a,b]上的图形是凹的。 设x1和x2是[a,b]内任意两点，且x1
函数凹凸性的判定性质及应用 曹阳数学计算机科学学院 摘要：函数的凹凸性在数学研究中具有重要的意义。本文从凸函数的多种定义入手，引出凹凸函数的性质，介绍了凹凸函数的性质及 判定定理。在此基础上，将一元函数的凹凸性进行推广，推广到二 元函数上，讨论了二元函数凹凸性的性质，判定方法及其应用。一 元到二元，即增加了一个变量，那么对于ｎ元的情况是否有相似的 函数存在呢？本文层层深入，将二元函数进行再次推广，至ｎ元的 情形，给出ｎ元凹凸函数的定义，判定方法及性质。本文主要讨论 了一元，二元，多元凹凸函数的定义，性质，及判定方法，并介绍 了它们应用。 关键词：凹凸性；一元函数；二元函数；多元函数；判别法；应用； Convex function of Judge Properties and Applications Abstract: The function of convexity in mathematical research is of great significance. In this paper, the definition of convex function of a variety of start, leads to uneven nature of the function, describes the properties of convex functions and decision theorem. On this basis, the concave and convex functions of one variable to promote, promote to the binary function, discusses the uneven nature of the nature of the binary function, determine the method and its application. One to a binary, an increase of a variable, then for n-whether it is a similar function exist? This layers of depth, the binary function to re-promote, to the case of n-given definition of n-convex function, determine the methods and properties. This article focuses on one element, binary, multiple convex function definition, nature, and judging methods, and describes their application. Keywords: Convexity; One Function; Binary function; Multiple functions; Criterion; Applications;
1、凹凸函数定义及几何特征 ⑴引出凹凸函数的定义： 如图3根据单调函数的图像特征可知：函数)(1x f 与)(2x f 都是增函数。但是)(1x f 与)(2x f 递增方式不同。不同在哪儿？把形如)(1x f 的增长方式的函数称为凹函数，而形如)(2x f 的增长方式的函数称为凸函数。 ⑵凹凸函数定义（根据同济大学数学教研室主编《高等数学》第201页）： 设函数f 为定义在区间I 上的函数，若对（a ，b ）上任意两点1x 、2x ，恒有： （1）1212()()( )22 x x f x f x f ++<，则称f 为（a ，b ）上的凹函数； （2）1212()()()22 x x f x f x f ++>，则称f 为（a ，b ）上的凸函数。 ⑶凹凸函数的几何特征： 几何特征1（形状特征） 图4（凹函数） 图5（凸函数） 如图，设21,A A 是凹函数y=)(x f 曲线上两点，它们对应的横坐标12x x <，则111(,())A x f x ，222(,())A x f x ，过点122 x x +作ox 轴的垂线交函数于A ，交21A A 于B ， 凹函数的形状特征是：其函数曲线任意两点1A 与2A 之间的部分位于弦21A A 的下方; 凸函数的形状特征是：其函数曲线任意两点1A 与2A 之间的部分位于弦21A A 的上方。
几何特征2（切线斜率特征） 图6（凹函数） 图7（凸函数） 设21,A A 是函数y=)(x f 曲线上两点，函数曲线1A 与2A 之间任一点A 处切线的斜率：凹函数的切线斜率特征是：切线的斜率y=)(x f 随x 增大而增大； 凸函数的切线斜率特征是：切线的斜率y=)(x f 随x 增大而减小； 简记为：斜率凹增凸减。 几何特征3（增量特征） 图8（凹函数） 图9（凸函数） 图10（凹函数） 图11（凸函数） 设函数ｇ（ｘ）为凹函数，函数ｆ（ｘ）为凸函数，其函数图象如图8、9所示，由图10、11可知，当自变量ｘ逐次增加一个单位增量Δｘ时，函数ｇ（ｘ）的相应增量Δｙ１，Δｙ２，Δｙ３，…越来越大；函数ｆ（ｘ）的相应增量Δｙ１，Δｙ２，Δｙ３，…越来越小； 由此，对ｘ的每一个单位增量Δｘ，函数ｙ的对应增量Δｙｉ（ｉ＝1，2，3，…） 凹函数的增量特征是：Δｙｉ越来越大； 凸函数的增量特征是：Δｙｉ越来越小；
函 数 的 凹 凸 性 一、课题导入 题目： 一高为Ｈ、满缸水量为Ｖ的鱼缸的截面如图1所示，其底部碰了一个小洞，满缸水从洞中流出．若鱼缸水深为ｈ时水的体积为Ｖ，则函数Ｖ＝ｆ（ｈ）的大致图象可能是图2中的（ ）．（选自《中学数学教学参考》2001年第1～2合期）的《试题集绵》． 函数凹凸性问题是近几年高考与平时训练中的一种新题型．这种题情景新颖、背景公平，能考查学生的创新能力和潜在的数学素质，体现“高考命题范围遵循教学大纲，又不拘泥于教学大纲”的改革精神．但由于函数曲线的凹凸性在中学教材中既没有明确的定义，又没有作专门的研究，因此，就多数学生而言，对这类凹凸性曲线问题往往束手无策；而教师的“导数”理解又不能被学生所接受．所以，对这类非常规性问题作一探索，并引导学生去得到一般性的解法，无疑对学生数学素质的提高和创新精神的培养以及在迅速准确解答高考中出现此类的试题都是十分重要的。 二、新课讲授 1、凹凸函数定义及几何特征 ⑴引出凹凸函数的定义： 如图3根据单调函数的图像特征可知：函数)(1x f 与)(2x f 都是增函数。但是)(1x f 与)(2x f 递增方式不同。 不同在哪儿？把形如 )(1x f 的增长方式的函数称为凹函数，而形如)(2x f 的增长方式的函数称为凸函数。 ⑵凹凸函数定义（根据同济大学数学教研室主编《高等数学》第201页）： 设函数f 为定义在区间I 上的函数，若对（a ，b ）上任意两点1x 、2x ，恒有： （1） 1212()() ( )22x x f x f x f ++<，则称f 为（a ，b ）上的凹函数； （2）1212()() ()22 x x f x f x f ++>，则称f 为（a ，b ）上的凸函数。 图 1 图2
函数的凹凸性方面的应用
()f x 严格凸函数?上式严格不等式成立. 证 ?记 32 31x x x x λ-= -,则01λ<<及213(1)x x x λλ=+-, 由f 的凸性知 213()()(1)() f x f x f x λλ≤+-3221133131 ()()x x x x f x f x x x x x --= +-- (4) 从而有 312321213()()()()()() x x f x x x f x x x f x -≤-+- 即 32221232 121 ()()()()()()()() x x f x x x f x x x f x x x f x -+-≤-+- 整理即得(3)式. ?13,x x I ?∈13()x x <,(0,1)λ?∈记213(1)x x x λλ=+-,则123x x x <<,3221x x x x λ-= - 由必要性的推导步骤可逆,从(3)式便得(4)式.故f 为凸函数. 同理便知,曲线上首尾相连的线,其斜率是递增的,即 123,,x x x I ?∈,123 x x x <<,有 31212131 ()() ()()f x f x f x f x x x x x --≤ -- ()f x 严格凸函数?上式严格不等式成立. 定理 设为开区间上的凸函数．若 则在上满足利普希茨条件,且 在上连续． 证明 ( 证明开区间上的凸函数必为连续函数) 当取定后, 由为开区间,必可 选取中的四点 满足： ． 如图所示,再在 中任取两点 . 应用引理得到
． 令 , 则 , ． 显然,上述 L 与中的点 无关, 故在上的每个内闭区间 上满足利普希茨 条件． 由此容易推知 在 上连续,再由 在上的任意性,又可推知 在上处处连续． 如果f 是I 上的可导函数,则进一步有： 二、凸函数与导数的关系 定理1（可导函数为凸函数的等价命题） 设f 为区间I 上的可导函数,则下述论断互相等价：（1）f 为I 上的凸函数；（2）f '为I 上的增函数；（3）对I 上的任意两点12,x x 总有 21121()()()()f x f x f x x x '≥+- 证 (i)(ii) ,并取,使 据定理3.12,有
函数的凹凸性在高考中的应用 教学目的: ①了解函数的凹凸性，掌握增量法解决凹凸曲线问题。 ②培养学生探索创新能力，鼓励学生进行研究型学习。 教学重点：掌握增量法解决凹凸曲线问题 教学难点：函数的凹凸性定义及图像特征 教学过程： 一、课题导入 1.展示崇仁县第二中学2008届高三第一次月考试题12得分统计表 2.组织学生现场解答月考试题12并进行得分统计，以引出课题——— 题目：一高为Ｈ、满缸水量为Ｖ的鱼缸的截面如图1所示，其底部碰了一个小洞，满缸水从洞中流出．若鱼缸水深为ｈ时水的体积为Ｖ，则函数Ｖ＝ｆ（ｈ）的大致图象可能是图2中的（）．（选自《中学数学教学参考》2001年第1～2合期）的《试题集绵》． 函数凹凸性问题是近几年高考与平时训练中的一种新题型．这种题情景新颖、背景公平，能考查学生的创新能力和潜在的数学素质，体现“高考命题范围遵循教学大纲，又不拘泥于教学大纲”的改革精神．但由于函数曲线的凹凸性在中学教材中既没有明确的定义，又没有作专门的研究，因此，就多数学生而言，对这类凹凸性曲线问题往往束手无策；而教师的“导数”理解又不能被学生所接受．所以，对这类非常规性问题作一探索，并引导学生去得到一般性的解法，无疑对学生数学素质的提高和创新精神的培养以及在迅速准确解答高考中出现此类的试题都是十分重要的。 二、新课讲授 1、凹凸函数定义及几何特征 图1 图2
⑴引出凹凸函数的定义： 如图3根据单调函数的图像特征可知：函数)(1x f 与)(2x f 都是增函数。但是)(1x f 与 )(2x f 递增方式不同。不同在哪儿？把形如)(1x f 的增长方式的函数称为凹函数，而形如)(2x f 的增长方式的函数称为凸函数。 ⑵凹凸函数定义（根据同济大学数学教研室主编《高等数学》第201页）： 设函数f 为定义在区间I 上的函数，若对（a ，b ）上任意两点1x 、2x ，恒有： （1）1212()() ( )22x x f x f x f ++<，则称f 为（a ，b ）上的凹函数； （2）1212()() ()22 x x f x f x f ++>，则称f 为（a ，b ）上的凸函数。 ⑶凹凸函数的几何特征： 几何特征1（形状特征） 图4（凹函数） 图5（凸函数） 如图，设21,A A 是凹函数y=)(x f 曲线上两点，它们对应的横坐标12x x <，则 111(,())A x f x ，222(,())A x f x ，过点 12 2 x x +作ox 轴的垂线交函数于A ，交21A A 于B ， 凹函数的形状特征是：其函数曲线任意两点1A 与2A 之间的部分位于弦21A A 的下方; 凸函数的形状特征是：其函数曲线任意两点1A 与2A 之间的部分位于弦21A A 的上方。 简记为：形状凹下凸上。
§6.5 微分中值定理在研究函数的凹凸性方面的应用 教学目标: 掌握讨论函数的凹凸性和方法. 教学要求: 弄清函数凸性的概念,掌握函数凸性的几个等价论断,会求曲线的拐点,能应用函数的 凸性证明某些有关的命题. 教学重点: 利用导数研究函数的凸性 教学难点: 利用凸性证明相关命题 教学方法: 系统讲授法＋演示例题 教学过程: 引言 上面已经讨论了函数的升降与极值,这对函数性状的了解是有很大作用的.为了更深入和较精确地掌握函数的性状,我们在这里再讲述一下有关函数凸性的概念及其与函数二阶导数的关系. 什么叫函数的凸性呢？我们先以两个具体函数为例,从直观上看一看何谓函数的凸性.如函 数y 所表示的曲线是向上凸的,而2y x =所表示的曲线是向下凸的,这与我们日常习惯上的称呼是相类似的.或更准确地说：从几何上看,若y ＝f(x)的图形在区间I 上是凸的,那么连接曲线上任意两点所得的弦在曲线的上方；若y ＝f(x)的图形在区间I 上是凹的,那么连接曲线上任意两点所得的弦在曲线的下方. 如何把此直观的想法用数量关系表示出来呢？ 设函数()f x 在区间I 上是凸的（向下凸）,任意1x ,2x I ∈（12x x <）. 曲线()y f x =上任意两点11(,())A x f x ,11(,())B x f x 之间的图象位于弦AB 的下方,即任意
12(,)x x x ∈,()f x 的值小于或等于弦AB 在x 点的函数值,弦AB 的方程 211121 ()() ()() f x f x y x x f x x x -= -+-. 对任意12(,)x x x ∈有 211121 ()() ()()() f x f x f x x x f x x x -≤ -+-,整理得 21 122121 ()()()x x x x f x f x f x x x x x --≤ +--. 令 221()x x t x x -= -,则有01t <<,且12(1)x tx t x =+-,易得1 21 1x x t x x -=--,上式可写成 1212[(1)]()(1)()f tx t x tf x t f x +-≤+-. 一、凸函数定义以及与连续性的关系 (一) 凸（凹）函数的定义 定义1 设函数f 为定义在区间I 上的函数,若对I 上任意两点1x 、2x 和任意实数(0,1)λ∈总有1212((1))()(1)()f x x f x f x λλλλ+-≤+-,则称f 为I 上的凸函数.反之,如果总有 12 12((1))()(1 )()f x x f x f x λλλλ+-≥+-,则称f 为I 上的凹函数. 注 易证：若一f 为区间I 上的凸函数,则f 为区间I 上的凹函数,因此,今后只讨论凸函数的性质即可. 定义2 设曲线y ＝f(x)在点(00,()x f x )处有穿过曲线的切线,且在切点近旁,曲线在切线的两侧分别是严格凸或严格凹的,这时称(00,()x f x )为曲线y ＝f(x)的拐点. 必须指出；若(00,()x f x )是曲线y=f （x)的一个拐点,y ＝f(x)在点0x 的导数不一定存在, 如 y 在x ＝0的情形. (二) 凸函数的特征 引理 f 为I 上的凸函数?对于I 上任意三点123x x x <<总有： 32212132 ()() ()()f x f x f x f x x x x x --≤ -- (3) ()f x 严格凸函数?上式严格不等式成立.