2013年全国高考理科数学试题分类汇编7：立体几何
一、选择题
1 ．（2013年高考新课标1（理））如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放
在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积
为
（ ）
A ．
35003
cm π
B ．
38663
cm π
C ．
313723
cm π
D ．
320483
cm π
【答案】A
2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理））设
,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平
面,下列命题中正确的是（ ）
A ．若αβ⊥,m α?,n β?,则m n ⊥
B ．若//αβ,m α?,n β?,则//m n
C ．若m n ⊥,m α?,n β?,则αβ⊥
D ．若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥
【答案】D
3 ．（2013年上海市春季高考数学试卷）若两个球的表面积之比为1:4,则这两个球的体积之比为（ ）
A ．1:2
B ．1:4
C ．1:8
D ．1:16
【答案】C
4 ．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理））已知正四棱柱1111ABCD A BC D -中1
2AA AB =,
则CD 与平面1BDC 所成角的正弦值等于（ ）
A ．
2
3
B C ．
3
D ．
13
【答案】A
5 ．（2013年高考新课标1（理））某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为
（ ）
A ．168π+
B ．88π+
C ．1616π+
D ．816π+
【答案】A
6 ．（2013年高考湖北卷（理））一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个简单几何体组成,
其体积分别记为1V ,2V ,3V ,4V ,上面两个简单几何体均为旋转体,下面两个简单几何体均为多面体,则有（ ）
A ．1243V V V V <<<
B ．1324V V V V <<<
C ．2134V V V V <<<
D ．2314V V V V <<<
【答案】C
7 ．（2013年高考湖南卷（理））已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正方体的正
视图的面积不可能．．．等于（ ）
A ．1
B C ．
2
D ．
2
【答案】C
8 ．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））某四棱台的三视图如图所示,则
该四棱台的体积是
（ ）
A ．4
B ．143
C ．163
D ．6
【答案】B
9 ．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理））已知n m ,为异面直线,⊥m 平面α,⊥n 平
面β.直线l 满足,,,l m l n l l αβ⊥⊥??,则（ ） A ．βα//,且α//l
B ．βα⊥,且β⊥l
C ．α与β相交,且交线垂直于l
D ．α与β相交,且交线平行于l
【答案】D
10．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理））已知三棱柱
111ABC A B C -的侧棱与底面垂直,体
积为9
4,
的正三角形.若P 为底面111A B C 的中心,则PA 与平面ABC 所成角的大小
为（ ）
A ．512π
B ．3π
C ．4π
D ．6π
【答案】B
11．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理））某几何体的三视图如题
()5图所示,则该几何体的体
积为（ ） A ．
560
3
B ．
580
3
C ．200
D ．240
正视图
俯视图
侧视图
第5题图
【答案】C
12．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理））已知三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的
球面上,若34AB AC ==，,AB AC ⊥,112AA =,则球O 的半径为（ ）
A B ．
C ．
132
D ．
【答案】C
13．（2013年高考江西卷（理））如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB CD ,正方
体的六个面所在的平面与直线CE,EF 相交的平面个数分别记为,m n ,那么m n +=
（ ）
A ．8
B ．9
C ．10
D ．11
【答案】A
14．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理））一个四面体的顶点在空间直角坐标系
O xyz -中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx 平面为投影
面,则得到正视图可以为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
15．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理））在下列命题中,不是公理．．
的是（ ） A ．平行于同一个平面的两个平面相互平行
B ．过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面
C ．如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内
D ．如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么他们有且只有一条过该点的公共直线 【答案】A 16．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理））在空间中,过点A 作平面π的垂线,垂足为B ,记
)(A f B π=.设βα,是两个不同的平面,对空间任意一点P ,)]([)],([21P f f Q P f f Q βααβ==,恒有
21PQ PQ =,则（ ）
A ．平面α与平面β垂直
B ．平面α与平面β所成的(锐)二面角为045
C ．平面α与平面β平行
D ．平面α与平面β所成的(锐)二面角为060
【答案】A 17．（2013年高考四川卷（理））一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是
【答案】D 二、填空题
18．（2013年高考上海卷（理））在xOy 平面上,将两个半圆弧
22(1)1(1)x y x -+=≥和
22(3)1(3)x y x -+=≥、两条直线1y = 和1y =-围成的封闭图形记为D,如图中阴影部分.记D 绕y
轴旋转一周而成的几何体为Ω,过(0,)(||1)y y ≤作Ω的水平截面,所得截面面积为48ππ,
试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体,得出Ω的体积值为__________
【答案】2
216ππ+.
19．（2013年高考陕西卷（理））某几何体的三视图如图所示, 则其体积为___
3
π
_____.
【答案】
3
π 20．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理））已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆,其公共弦
长等于球O 的半径,32
OK =,且圆O 与圆K 所在的平面所成的一个二面角为60
,则球O 的表面积等于______.
【答案】16π
21．（2013年高考北京卷（理））如图,在棱长为2的正方体ABCD -A
1B 1C 1D 1中,E 为BC 的中点,点P 在线段D 1E
上,点P 到直线CC 1的距离的最小值为__________.
【答案】 22．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））如图,在三棱
柱ABC C B A -111中,F E D ，，分别是1AA AC AB ，，的中点,设三棱锥ADE F -的体积为1V ,三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ,则=21:V V ____________.
【答案】1:24
A B
C
A
D
E
F B
C
23．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理））若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何
体的体积等于________2cm .
【答案】24
24．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理））如图,正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1,P 为BC
的中点,Q 为线段1CC 上的动点,过点A,P,Q 的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是__①②③⑤___(写出所有正确命题的编号
).
①当102CQ <<
时,S 为四边形;②当12CQ =时,S 为等腰梯形;③当3
4
CQ =时,S 与11C D 的交点R 满足1113C R =
;④当314CQ <<时,S 为六边形;⑤当1CQ =时,S
【答案】①②③⑤
25．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理））某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是
____________.
【答案】1616π-
26．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）已知某一多面体内接于一个简单组合体,如果该组合
体的正视图.测试图.俯视图均如图所示,且图中的四边形是边长为2的正方形,则该球的表面积是
_______________
【答案】12π
27．（2013年上海市春季高考数学试卷）在如图所示的正方体1111ABCD A BC D -中,异面直线1A B 与1B C 所
成角的大小为_______
【答案】3
π
三、解答题
28．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理））如图,AB 是圆的直径,PA 垂直圆所在的平面,C 是圆
上的点.
(I)求证:PAC PBC ⊥平面平面；
(II)2.AB AC PA C PB A ===--若，1，1，求证：二面角的余弦值
【答案】
D 1 C 1 B 1
A 1
D C A
B
29．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理））如图,四棱锥P A B C D
-中,PA ABCD ⊥底面,2,4,3
BC CD AC ACB ACD π
===∠=∠=,F 为PC 的中点,AF PB ⊥.
(1)求PA 的长; (2)求二面角B AF D --的正弦值.
【答案】
1．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理））如图,圆锥顶点为p.底面圆心为o,其母线与底面所成的角为22.5°.AB和CD是底面圆O上的两条平行的弦,轴OP与平面PCD所成的角为60°.
(Ⅰ)证明:平面PAB 与平面PCD 的交线平行于底面; (Ⅱ)求cos COD ∠.
【答案】解: (Ⅰ) PAB P D ,////C m AB CD CD PCD AB PCD ?=?? 设面面直线且面面
//AB m ?直线 ABCD m ABCD AB 面直线面//?? . 所以,ABCD D P PAB
的公共交线平行底面与面面C . (Ⅱ) r
PO
OPF F CD r =
??=∠5.22tan .60,由题知，则的中点为线段设底面半径为. ?
-?
=?∠==????=
?5.22tan 15.22tan 245tan ,2cos 5.22tan 60tan 60tan ,2COD r OF PO OF . )
223(3)],1-2(3[2
1
cos ,1-25.22tan 12cos 2cos 22-==+∠=??-∠=∠COD COD COD 212-17cos .212-17cos =∠=∠COD COD 所以.
法二:
1．（2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理））如图,在四面体BCD A -中,⊥AD 平面
BCD ,22,2,==⊥BD AD CD BC .M 是AD 的中点,P 是BM 的中点,点Q 在线段AC 上,且QC AQ 3=.
(1)证明://PQ 平面BCD ;(2)若二面角D BM C --的大小为0
60,求BDC ∠的大小.
【答案】解:证明(Ⅰ)方法一:如图6,取MD 的中点F ,且M 是AD 中点,所以3AF FD =.因为P 是
BM 中点,所以//PF BD ;又因为(Ⅰ)3AQ QC =且3AF FD =,所以//QF BD ,所以面//
PQF 面BDC ,且PQ ?面BDC ,所以//PQ 面BDC ;
A
B
C
D
P
Q
M
（第20题图）
方法二:如图7所示,取BD 中点O ,且P 是BM 中点,所以1
//
2
PO MD ;取CD 的三等分点H ,使3DH CH =,且3AQ QC =,所以11
////42
QH AD MD ,所以////P O Q H P Q O H
∴,且OH BCD ?,所以//PQ 面BDC ;
(Ⅱ)如图8所示,由已知得到面ADB ⊥面BDC ,过C 作CG BD ⊥于G ,所以CG BMD ⊥,过G 作
GH BM ⊥于H ,连接CH ,所以C H G ∠就是C B M D --的二面角;由已知得
到
3BM ==,设BDC α∠=,所以
cos ,sin ,sin ,,CD CG CB
CD CG BC BD CD BD
αααααα===?===, 在RT BCG ?中
,2sin BG
BCG BG BC
ααα∠=∴=
∴=,所以在R T B H G ?中
, 13HG =∴=,所以在RT CHG ?中
tan tan 60CG CHG HG ∠===
=
tan (0,90)6060BDC ααα∴=∈∴=∴∠= ;
2．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）如图,在正三棱锥111ABC A B C -中,1
6AA =,异面直线1
BC
与1AA 所成角的大小为6
π
,求该三棱柱的体积.
【答案】[解]因为1CC 1AA .
所以1BC C ∠为异面直线1BC 与1AA .所成的角,即1BC C ∠=6
π. 在Rt 1BC C ?中
,11tan 6BC CC BC C =?∠==,
从而2ABC S BC ?==
因此该三棱柱的体积为16ABC V S AA ?=?==
3．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷）本小题满分14分.
如图,在三棱锥ABC S -中,平面⊥SAB 平面SBC ,BC AB ⊥,AB AS =,过A 作SB AF ⊥,垂足
为F ,点G E ，分别是棱SC SA ，的中点.
求证:(1)平面//EFG 平面ABC ; (2)SA BC ⊥.
【答案】证明:(1)∵AB AS =,SB AF ⊥∴F 分别是SB 的中点
∵E.F 分别是SA.SB 的中点 ∴EF∥AB
又∵EF ?平面ABC, AB ?平面ABC ∴EF∥平面ABC
同理:FG∥平面ABC
又∵EF FG=F, EF.FG ?平面ABC∴平面//EFG 平面ABC
(2)∵平面⊥SAB 平面SBC 平面SAB 平面SBC =BC AF ?平面SAB AF⊥SB ∴AF⊥平面SBC 又∵BC ?平面SBC ∴AF⊥BC
又∵BC AB ⊥, AB AF=A, AB.AF ?平面SAB ∴BC⊥平面SAB 又∵SA ?平面SAB∴BC⊥SA
4．（2013年高考上海卷（理））如图,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=2,AD=1,A 1A=1,证明直线BC 1平行于平面
DA 1C,并求直线BC 1到平面D 1AC 的距离.
A
B
C
S G
F
E
B 1
A 1
C 1
A
C
B
C 1
1
【答案】因为ABCD-A 1B 1C 1D 1为长方体,故1111//,AB C D AB C D =,
故ABC 1D 1为平行四边形,故11//BC AD ,显然B 不在平面D 1AC 上,于是直线BC 1平行于平面DA 1C; 直线BC 1到平面D 1AC 的距离即为点B 到平面D 1AC 的距离设为h
考虑三棱锥ABCD 1的体积,以ABC 为底面,可得
111(12)
1323
V =
????= 而1ADC ?中,11
AC DC AD ===故13
2
AD C S ?= 所以,13123233V h h =??=?=,即直线BC 1到平面D 1AC 的距离为2
3
.
5．（2013年高考湖北卷（理））如图,AB 是圆O 的直径,点C 是圆O 上异于,A B 的点,直线PC ⊥平面
ABC ,E ,F 分别是PA ,PC 的中点.
(I)记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ,试判断直线l 与平面PAC 的位置关系,并加以证明;
(II)设(I)中的直线l 与圆O 的另一个交点为D ,且点Q 满足12
DQ CP =
.记直线PQ 与平面ABC
所成的角为θ,异面直线PQ 与EF 所成的角为α,二面角E l C --的大小为β,求证:sin sin sin θαβ=.
【答案】解:(I)EF
AC ,AC ABC ?平面,EF ABC ?平面 EF ABC ∴ 平面
又EF BEF
?平面 EF l ∴ l PAC ∴ 平面
(II)连接DF,用几何方法很快就可以得到求证.(这一题用几何方法较快,向量的方法很麻烦,特别是用向量不能方便的表示角的正弦.个人认为此题与新课程中对立体几何的处理方向有很大的偏差.)
第19题图
6．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理））如图1,在等腰直角三角形ABC
中,90A ∠=?,6BC =,,D E 分别是,AC AB 上的点
,CD BE =,O 为BC 的中点.将ADE ?沿
DE 折起,得到如图2所示的四棱锥A BCDE '-,
其中A O '=(Ⅰ) 证明:A O '⊥平面BCDE ; (Ⅱ) 求二面角A CD B '--的平面角的余弦值.
【答案】(Ⅰ) 在图1中,
易得3,OC AC AD ===.
C
O B
D
E
A C
D
O
B
E
'A
图1
图2
连结,OD OE ,
在OCD ?中,由余弦定理可得
OD
==由翻折不变性可知A D '=所以2
2
2
A O OD A D ''+=,所以A O OD '⊥,
理可证A O OE '⊥, 又OD OE O = ,所以A O '⊥平面BCDE . (Ⅱ) 传统法:过O 作OH CD ⊥交CD 的延长线于H ,连结A H ', 因为A O '⊥平面BCDE ,所以A H CD '⊥, 所以A HO '∠为二面角A CD B '--的平面角
. 结合图1可知,H 为AC 中点,
故
OH =
,从而A
H '==所以cos OH A HO A H '∠
=
='所以二面角A CD B '--向量法
:以O 点为原点,建立空间直角坐标系O xyz -则(A ',()0,3,0
C -,()1,2,0
D -
所以(CA '= ,(1,DA '=-
设(),,n x y z =
为平面A CD '的法向量,则
00n CA n DA ?'?=??'
?=??
,即30
20
y x y ?
+=??-++=??,解得y x z =-
???=??,令1x =,
得(1,n =- 由(Ⅰ) 知,(OA '=
为平面CDB 的一个法向量,
所以cos ,n OA n OA n OA '?'==='
,即二面角A CD B '--.
7．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理））如图, 四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中, 侧棱A 1A ⊥底面ABCD ,
AB //DC , AB ⊥AD , AD = CD = 1, AA 1 = AB = 2, E 为棱AA 1的中点.
(Ⅰ) 证明B 1C 1⊥CE ;
(Ⅱ) 求二面角B 1-CE -C 1的正弦值.
C D O
B
E
'A
H
(Ⅲ) 设点M在线段C1E上, 且直线AM与平面ADD1A1, 求线段AM的长.
【答案】
9．解析几何（含解析） 一、选择题 【2019，10】已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =， 1||||AB BF =，则C 的方程为 A ．2 212x y += B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154 x y += 【2018.8】抛物线C ：y 2=4x 焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为 23直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ?u u u u r u u u r = A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 【2018.11】已知双曲线C ：2 213 x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N .若OMN △为直角三角形，则|MN |= A ． 32 B ．3 C ． D ．4 【2017，10】已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为（ ） A ．16 B ．14 C ．12 D ．10 【2016，10】以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于B A ,两点，交C 的准线于E D ,两点，已知24=AB ,52=DE ，则C 的焦点到准线的距离为（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 【2016，5】已知方程1322 22=--+n m y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的 取值范围是（ ） A ．)3,1(- B ．)3,1(- C ．)3,0( D ．)3,0( 【2015，5】已知00(,)M x y 是双曲线C ：2 212 x y -=上的一点，12,F F 是C 的两个焦点，若120MF MF ?的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为 A B ．3 C D ．3m
2008年高考数学试题分类汇编 圆锥曲线 一． 选择题： 1.（福建卷11)又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（海南卷11）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距 离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （ 4 1 ，－1） B. （4 1 ，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和 22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④11c a ＜22 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.（湖南卷8）若双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32a 的点到右焦点 的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞)
高考真题集锦（立体几何部分） 1.(2016.理1）如图是由圆柱和圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ） A 20π B24π C28π D.32π 2. βα，是两个平面，m,n 是两条直线，有下列四个命题： （1）如果m ⊥n,m ⊥α，n ∥β，那么βα⊥； （2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n. （3）如果αβα?m ，∥那么m ∥β。 （4）如果m ∥n,βα∥，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等。 其中正确的命题有___________ 3.（2016年理1）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是π328，则它的表面积是 A 17π B.18π C.20π D.28π 4.平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ，α//平面11D CB ，?α平面ABCD =m ， ?α平面11A ABB =n,则m,n 所成角的正弦值为（ ） A.23 B.22 C.33 D.3 1 5.（2016年理1）如图，在以A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF=2FD ，∠AFD=90°，且二面角D-AF-E 与二面角C-BE-F 都是60° .（12分） （Ⅰ）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ； （Ⅱ）求二面角E-BC-A 的余弦值.
6. (2015年理1）圆柱被一个平面截取一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积是16+20π，则r=（ ） A.1 B.2 C.7 D.8 7.如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC=120°，E,F 是平面ABCD 同一侧的亮点，BE ⊥平面ABCD,DF ⊥平面ABCD,BE=2DF,AE ⊥EC. (1) 证明：平面AEC ⊥平面AFC; (2) 求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值。 8.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截取部分体积和剩余 部分体积的比值为（） 9.如图，长方体1111D C B A ABCD -中，AB = 16，BC = 10，AA1 = 8，点E ，F 分别在1111C D B A ， 上，411==F D E A ，过点E,F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。 （1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）； （2）求直线AF 与平面α所成的角的正弦值 10.如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB=5，AC=6，点E,F 分别在AD,CD 上，AE=CF=45 ，EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△DEF 的位置，OD ’=10 （1）证明：D ’H ⊥平面ABCD （2）求二面角B-D ’A-C 的正弦值
导数 1.【2017课标II ，理11】若2x =-是函数21()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（ ） A.1- B.32e -- C.35e - D.1 【答案】A 【解析】()()2121e x f x x a x a -'??=+++-??? ， 则()()324221e 01f a a a -'-=-++-?=?=-????， 则()()211e x f x x x -=--?，()()212e x f x x x -'=+-?， 令()0f x '=，得2x =-或1x =， 当2x <-或1x >时，()0f x '>， 当21x -<<时，()0f x '<， 则()f x 极小值为()11f =-． 【考点】 函数的极值；函数的单调性 【名师点睛】(1)可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同。 (2)若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值。 2.【2017课标3，理11】已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a = A ．12- B ．13 C ．12 D ．1 【答案】C 【解析】由条件，211()2(e e )x x f x x x a --+=-++，得： 221(2)1211211(2)(2)2(2)(e e ) 4442(e e )2(e e ) x x x x x x f x x x a x x x a x x a ----+----+-=---++=-+-+++=-++ ∴(2)()f x f x -=，即1x =为()f x 的对称轴， 由题意，()f x 有唯一零点， ∴()f x 的零点只能为1x =， 即21111(1)121(e e )0f a --+=-?++=， 解得12 a =． 【考点】 函数的零点；导函数研究函数的单调性，分类讨论的数学思想 【名师点睛】函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的
专题一 集合与常用逻辑用语 第一讲 集合 2018------2020年 1.（2020?北京卷）已知集合{1,0,1,2}A =-，{|03}B x x =<<，则A B =（ ）． A. {1,0,1}- B. {0,1} C. {1,1,2}- D. {1,2} 2.（2020?全国1卷）设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =（ ） A. –4 B. –2 C. 2 D. 4 3.（2020?全国2卷）已知集合U ={?2，?1，0，1，2，3}，A ={?1，0，1}，B ={1，2}，则()U A B ?=（ ） A. {?2，3} B. {?2，2，3} C. {?2，?1，0，3} D. {?2，?1，0，2，3} 4.（2020?全国3卷）已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 5.（2020?江苏卷）已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则A B =_____. 6.（2020?新全国1山东）设集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2 2019高考试题分类汇编-立体几何 立体几何 1（2019北京文）（本小题14分） 如图，在三棱锥P –ABC 中，PA ⊥AB ，PA ⊥BC ，AB ⊥BC ，PA =AB =BC =2，D 为线段AC 的中点，E 为线段PC 上一点． （Ⅰ）求证：PA ⊥BD ； （Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面PAC ； （Ⅲ）当PA ∥平面BD E 时，求三棱锥E –BCD 的体积． 2（2019新课标Ⅱ理）（12分） 如图，四棱锥P -ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，AB =BC = 1 AD , ∠BAD =∠ABC =90o , E 是PD 的中点． 2 （1）证明：直线CE ∥平面PAB ； （2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为45o ，求二面角M -AB -D 的余弦值． 3（2019天津理）（本小题满分13分） 如图，在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥底面ABC ，∠BAC =90?. 点D ，E ，N 分别为棱PA ，P C ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，PA =AC =4，AB =2. （Ⅰ）求证：MN ∥平面BDE ；（Ⅱ）求二面角C -EM -N 的正弦值； （Ⅲ）已知点H 在棱PA 上，且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为 ，求线段AH 的长. 21 4（2019新课标Ⅲ理数）a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角 边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角；②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角；③直线AB 与a 所称角的最小值为45°；④直线AB 与a 所称角的最小值为60°； 精品文档 2018 年高考数学真题分类汇编 学大教育宝鸡清姜校区高数组2018 年7 月 1.（2018 全国卷 1 理科）设Z = 1- i + 2i 则 Z 1+ i 复数 = （ ） A.0 B. 1 C.1 D. 2 2（2018 全国卷 2 理科） 1 + 2i = ( ) 1 - 2i A. - 4 - 3 i B. - 4 + 3 i C. - 3 - 4 i D. - 3 + 4 i 5 5 5 5 5 5 5 5 3（2018 全国卷 3 理科） (1 + i )(2 - i ) = （ ） A. -3 - i B. -3 + i C. 3 - i D. 3 + i 4（2018 北京卷理科）在复平面内，复数 1 1 - i 的共轭复数对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5（2018 天津卷理科） i 是虚数单位，复数 6 + 7i = . 1+ 2i 6（2018 江苏卷）若复数 z 满足i ? z = 1 + 2i ，其中 i 是虚数单位，则 z 的实部为 ． 7（2018 上海卷）已知复数 z 满足（1+ i )z = 1- 7i （i 是虚数单位），则∣z ∣= ． 2 集合 1.（2018 全国卷1 理科）已知集合A ={x | x2 -x - 2 > 0 }则C R A =（） A. {x | -1 年高考真题理科数学解析分类汇编 12 统计 2019---2020年真题分类汇编 一、 集合(2019) 1，（全国1理1）已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则M N = A ．}{43x x -<< B ．}42{x x -<<- C ．}{22x x -<< D ．}{23x x << 2，（全国1文2）已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则U B A = A ．{}1,6 B ．{}1,7 C ．{}6,7 D ．{}1,6,7 3，（全国2理1）设集合A ={x |x 2–5x +6>0}，B ={x |x –1<0}，则A ∩B = A ．(–∞，1) B ．(–2，1) C ．(–3，–1) D ．(3，+∞) 4，（全国2文1）已知集合={|1}A x x >-，{|2}B x x =<，则A ∩B = A ．(-1，+∞) B ．(-∞，2) C ．(-1，2) D ．? 5，（全国3文、理1）已知集合2{1,0,1,2}{|1}A B x x =-=≤，，则A B = A ．{}1,0,1- B ．{}0,1 C ．{}1,1- D ．{}0,1,2 6，（北京文，1）已知集合A ={x |–1 2019年数学高考试题汇编—立体几何 1、全国I 理12．已知三棱锥P ?ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是P A ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为（ ） A ．68π B ．64π C ．62π D ．6π 2、全国III 理8．如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则（ ） A ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是相交直线 B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线 C ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是异面直线 D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线 3、浙江4．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容易”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式V 柱体=Sh ，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是 A ．158 B ．162 C ．182 D ．32 4、浙江8．设三棱锥V -ABC 的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点），记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P -AC -B 的平面角为γ，则 A ．β<γ，α<γ B ．β<α，β<γ C ．β<α，γ<α D ．α<β，γ<β 5、北京理（11）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________． 6、北京理（12）已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l ⊥m ；②m ∥α；③l ⊥α． 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________． 7、江苏9．如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E -BCD 的体积是 . 8、全国I 文16．已知∠ACB=90°，P 为平面ABC 外一点，PC =2，点P 到∠ACB 两边AC ，BC 的距离均为3，那么P 到平面ABC 的距离为______ _____． 9、全国II 文理16．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为 长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）. 半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美． 图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方 体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．（本题第一空2分，第二空3分．） 10、全国III 理16．学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型.如图，该模型为长方体1111ABCD A B C D -挖去四棱锥O —EFGH 后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，16cm 4cm AB =BC =, AA =，3D 打印所用原料密度为0.9 g/cm 3，不考虑打印损耗， 制作该模型所需原料的质量为___________g. 2013年全国高考理科数学试题分类汇编2：函数 一、选择题 1 ．（2013年高考江西卷（理））函数 的定义域为 A.(0,1) B.[0,1) C.(0,1] D.[0,1] 【答案】D 2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））若 a b c <<,则函数 ()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--的两个零点分别位于区间( ) A.(),a b 和(),b c 内 B.(),a -∞和(),a b 内 C.(),b c 和(),c +∞内 D.(),a -∞和(),c +∞内 【答案】A 3 ．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）函数 1 2 ()f x x - =的大致图像是( ) 【答案】A 4 ．（2013年高考四川卷（理）） 设函数 ()f x =(a R ∈,e 为自然对数的底数).若曲线sin y x =上存在00(,)x y 使得00(())f f y y =,则a 的取值范围是( ) (A)[1,]e (B)1 [,-11]e -， (C)[1,1]e + (D)1 [-1,1]e e -+ 【答案】A 5 ．（2013年高考新课标1（理））已知函数()f x =22,0ln(1),0x x x x x ?-+≤?+>? ,若|()f x |≥ax ,则a 的取值范围是 A.(,0]-∞ B.(,1]-∞ C.[2,1]- D.[2,0]- 【答案】D 6 ．（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））函数 ()()21=log 10f x x x ?? +> ??? 的反函数()1=f x - 专题八 直线 与圆 1.【2015高考重庆，理8】已知直线l ：x +ay -1=0（a ∈R ）是圆C ：2 2 4210x y x y +--+=的对称轴.过点A （-4，a ）作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |= （ ） A 、2 B 、 C 、6 D 、 【答案】C 【解析】圆C 标准方程为2 2 (2)(1)4x y -+-=，圆心为(2,1)C ，半径为2r =，因此 2110a +?-=，1a =-，即(4,1)A --，6AB ===. 选C . 【考点定位】直线与圆的位置关系. 【名师点晴】首先圆是一个对称图形，它关于圆心成中心对称，关于每一条直径所在直线都是它的对称轴，当然其对称轴一定过圆心，其次直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系，判断方法可用几何与代数两种方法研究，圆的切线长我们用勾股定理求解，设圆外一点P 到 圆的距离为d ，圆的半径为r ，则由点P 所作切线的长l = ． 2.【2015高考新课标2，理7】过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆交y 轴于M ，N 两点，则||MN =( ) A ．26 B ．8 C ．46 D ．10 【答案】C 【解析】由已知得321143AB k -= =--，27 341 CB k +==--，所以1AB CB k k =-，所以AB CB ⊥，即ABC ?为直角三角形，其外接圆圆心为(1,2)-，半径为5，所以外接圆方程为 22(1)(2)25x y -++=，令0x =，得2y =±-，所以MN =C ． 【考点定位】圆的方程． 【名师点睛】本题考查三角形的外接圆方程，要注意边之间斜率的关系，得出ABC ?是直角三角形，可以简洁快速地求出外接圆方程，进而求弦MN 的长，属于中档题． 3.【2015高考广东，理5】平行于直线012=++y x 且与圆52 2 =+y x 相切的直线的方程是（ ） A ．052=+-y x 或052=--y x B. 052=++y x 或052=-+y x 2015 年高考立体几何大题试卷 1. 【 2015 高考新课标 2，理 19】 如图，长方体 ABCD A 1B 1C 1D 1中, AB=16 ， BC =10， AA 1 8，点E ，F 分别在 A 1B 1， C 1 D 1上， A 1 E D 1 F 4．过点 E ，F 的平面 与此长方体的面相交，交线围成一个正方 形． （ 1 题图） Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由） Ⅱ）求直线 AF 与平面 所成角的正弦值． 2. 【 2015江苏高考， 16】 如图，在直三棱柱 ABC A 1B 1C 1中，已知 AC BC ， BC CC 1，设 AB 1的中点为 D ， B 1C BC 1 E .求证：（1） DE //平面AA 1C 1C ； 2) BC 1 AB 1 . 3 题图） 3. 【2015 高考安徽，理 19】如图所示，在多面体 A 1B 1D 1DCBA ，四边形 2 题图） A B C AA1B1B ， ADD1 A1 , ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1,D, E的平面交CD1于 F. 4. 【2015 江苏高考， 22】如图，在四棱锥 P ABCD 中，已知 PA 平面 ABCD ，且 四边形 ABCD 为直角梯 形， ABC BAD ,PA AD 2, AB BC 1 2 1）求平面 PAB 与平面 PCD 所成二面角的余弦值； 2）点 Q 是线段 BP 上的动点，当直线 CQ 与 DP 所成角最小时，求线段 BQ 的长 面 BEC ，BE ^ EC ，AB=BE=EC=2 ，G ，F 分别是线 段 （ Ⅰ ） 求证： GF // 平面 ADE ； （ Ⅱ）求平面 AEF 与平面 BEC 所成锐二面角的余弦值． 6.【2015 高考浙江，理 17】如图，在三棱柱 ABC A 1B 1C 1 -中， BAC 90 ， AB AC 2，A 1A 4 ， A 1在底面 ABC 的射影为 BC 的中点， D 为B 1C 1的中点. （1）证明： A 1D 平面 A 1B C ； （2）求二面角 A 1 -BD- B 1的平面角的余弦值 . Ⅰ）证明： EF //B 1C ； Ⅱ）求二面角 E A 1D B 1余弦值 . 4 题图） 5 题图） 5 .【 2015 高考福建， 理 17】如图， 在几何体 ABCDE 中， 四边形 ABCD 是矩形， AB ^ 平 BE ， DC 的中点 . B C D B 20XX 年高考理科数学试题分类汇编：三角函数（附答案） 一、选择题 1 ．（20XX 年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））已知 2 10 cos 2sin ,= +∈αααR ,则=α2tan A. 34 B. 43 C.43- D.3 4- 2 ．（20XX 年高考陕西卷（理））设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为 (A) 锐角三角形 (B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定 3 ．（20XX 年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））在△ABC 中 , ,3,4 AB BC ABC π ∠== =则sin BAC ∠ = 4 ．（20XX 年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））将函数 sin(2)y x ?=+的图象沿x 轴向左平移 8 π 个单位后,得到一个偶函数的图象,则?的一个可 能取值为 (A) 34π (B) 4π (C)0 (D) 4π - 5 ．（20XX 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））在ABC ?,内角 ,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1 sin cos sin cos ,2 a B C c B A b +=且a b >,则B ∠= A.6π B.3π C.23π D.56 π 6 ．（20XX 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知函数()=cos sin 2f x x x ,下列结论中错误的是 (A)()y f x =的图像关于(),0π中心对称 (B)()y f x =的图像关于直线2 x π =对称 (C)()f x ()f x 既奇函数,又是周期函数 7 ．（20XX 年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））函数 cos sin y x x x =+的图象大致为 全国高考理科数学历年试题分类汇编 （一）小题分类 集合 （2015卷1）已知集合A={x x=3n+2,n ∈N},B={6,8,10,12,14}，则集合A ?B 中的元素个（ ）（A ） 5 （B ）4 （C ）3 （D ）2 1. （2013卷2）已知集合M ＝{x|－3＜x ＜1}，N ＝{－3，－2，－1,0,1}，则M∩N ＝( )． A ．{－2，－1,0,1} B ．{－3，－2，－1,0} C ．{－2，－1,0} D ．{－3，－2，－1} 2. （2009卷1）已知集合A=1,3,5,7,9},B={0,3,6,9,12}，则A ?B= A ．{3，5} B ．{3，6} C ．{3，7} D ．{3，9} 3. （2008卷1）已知集合M ={ x|(x + 2)(x －1) < 0 }， N ={ x| x + 1 < 0 }，则M∩N =（ ） {A. (－1，1) B. (－2，1) C. (－2，－1) D. (1，2) 复数 1. （2015卷1）已知复数z 满足(z-1)i=1+i ，则z=（ ） （A ） -2-i （B ）-2+i （C ）2-i （D ）2+i 2. （2015卷2）若a 实数，且 i ai ++12=3+i,则a= （ ） A.-4 B. -3 C. 3 D. 4 3. （2010卷1）已知复数() 2 313i i z -+= ，其中=?z z z z 的共轭复数，则是（ ） A= 4 1 B= 2 1 C=1 D=2 向量 1. （2015卷1）已知点A(0,1),B(3,2)，向量AC =(-4,-3)，则向量BC = ( ) （A ） (-7,-4) （B ）(7,4) （C ）(-1,4) （D ）(1,4) 2. （2015卷2）已知向量=(0,-1),=(-1,2),则() ?+2=( ) A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 3. （2013卷3）已知两个单位向量，的夹角为60度，()0,1=?-+=t t 且，那么t= 程序框图 （2015卷2）右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。执行该程序框图，若输入的a,b 分别为14,18，则输出的a 为 A . 0 B. 2 C. 4 D.14 （2019全国1文）16.已知90ACB ∠=?，P 为平面ABC 外一点，2PC =，点P 到ACB ∠两边,AC BC 的距 P 到平面ABC 的距离为 . 答案： 解答： 如图，过P 点做平面ABC 的垂线段，垂足为O ，则PO 的长度即为所求，再做,PE CB PF CA ⊥⊥，由线面的 垂直判定及性质定理可得出,OE CB OF CA ⊥⊥，在Rt PCF ?中，由2,PC PF == ，可得出1CF =，同 理在Rt PCE ?中可得出1CE =，结合90ACB ∠=?，,OE CB OF CA ⊥⊥可得出1OE OF ==，OC = ， PO == （2019全国1文）19.如图直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，14,2AA AB ==，60BAD ∠=， ,,E M N 分别是11,,BC BB A D 的中点. （1）证明：//MN 平面1C DE （2）求点C 到平面1C DE 的距离. 答案： 见解析 解答： （1）连结1111,AC B D 相交于点G ，再过点M 作1//MH C E 交11B C 于点H ，再连结GH ，NG . ,,E M N 分别是 11,,BC BB A D 的中点. 于是可得到1//NG C D ，//GH DE ， 于是得到平面//NGHM 平面1C DE ， 由 MN ?平面NGHM ，于是得到//MN 平面1C DE （2） E 为BC 中点，ABCD 为菱形且60BAD ∠= DE BC ∴⊥，又 1111ABCD A B C D -为直四棱柱，1DE CC ∴⊥ 1DE C E ∴⊥，又 12,4AB AA ==， 1DE C E ∴=，设点C 到平面1C DE 的距离为h 由11C C DE C DCE V V --=得 1111 143232 h ?=?? 解得h = 所以点C 到平面1C DE （2019全国2文）7. 设,αβ为两个平面，则//αβ的充要条件是( ) A. α内有无数条直线与β平行 B. α内有两条相交直线与β平行 C. ,αβ平行于同一条直线 D. ,αβ垂直于同一平面 答案：B 解析: 根据面面平行的判定定理易得答案. （2019全国2文）16.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有 个面，其棱长为 .(本题第一空2分，第二空3分.) 2019年全国各地高考文科数学试题分类汇编2：函数 一、选择题 1 ．（2019年高考重庆卷（文））函数21 log (2) y x = -的定义域为 （ ） A ．(,2)-∞ B ．(2,)+∞ C ．(2,3) (3,)+∞ D ．(2,4)(4,)+∞ 【答案】C 2 ．（2019年高考重庆卷（文））已知函数3 ()sin 4(,)f x ax b x a b R =++∈,2(lg(log 10))5f =,则 (lg(lg 2))f = （ ） A ．5- B ．1- C ．3 D ．4 【答案】C 3 ．（2019年高考大纲卷（文））函数()()()-1 21log 10=f x x f x x ? ?=+ > ??? 的反函数 （ ） A ． ()1021x x >- B ．()1 021 x x ≠- C ．()21x x R -∈ D ．()210x x -> 【答案】A 4 ．（2019年高考辽宁卷（文））已知函数()) ()21ln 1931,.lg 2lg 2f x x x f f ?? =+++= ??? 则 （ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2 【答案】D 5 ．（2019年高考天津卷（文））设函数22,()ln )3(x x g x x x x f e +-=+-=. 若实数a , b 满足()0,()0f a g b ==, 则 （ ） A ．()0()g a f b << B ．()0()f b g a << C ．0()()g a f b << D ．()()0f b g a << 【答案】A 6 ．（2019年高考陕西卷（文））设全集为R , 函数()1f x x =-M , 则C M R 为 （ ） A ．(-∞,1) B ．(1, + ∞) C ．(,1]-∞ D ．[1,)+∞ 【答案】B 7 ．（2019年上海高考数学试题（文科））函数 ()()211f x x x =-≥的反函数为()1f x -,则()12f -的值是 2020年全国高考理科数学试题分类汇编5：平面向量 一、选择题 1 ．（2020年高考上海卷（理））在边长为1的正六边形ABCDEF 中,记以 A 为起点,其余顶点为终点的向量分别为12345,,,,a a a a a u r u u r u u r u u r u u r ;以 D 为起点,其 余顶点为终点的向量分别为 12345 ,,,,d d d d d u u r u u r u u r u u r u u r .若 ,m M 分别为 ()() i j k r s t a a a d d d ++?++u r u u r u u r u u r u u r u u r 的最小值、最大值,其中 {,,}{1,2,3,4,5}i j k ?,{,,}{1,2,3,4,5}r s t ?,则,m M 满足 （ ） A ．0,0m M => B ．0,0m M <> C ．0,0m M <= D ．0,0m M << 【答案】 D ． 2 ．（2020年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））已 知点()()1,3,4,1,A B AB -u u u r 则与向量同方向的单位向量为 （ ） A ．345 5?? ??? ，- B ．435 5?? ??? ，- C ．3455??- ??? ， D ．4355?? - ??? ， 【答案】A 3 ．（2020年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版）） 设0,P ABC ?是边AB 上一定点,满足AB B P 4 10=,且对于边AB 上任一点P , 恒有C P B P PC PB 00?≥?.则 （ ） A ．090=∠ABC B ．090=∠BA C C ．AC AB = D ．BC AC = 【答案】D 4 ．（2020年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版）） 在四边形ABCD 中,(1,2)AC =u u u r ,(4,2)BD =-u u u r ,则四边形的面积为 （ ）2019高考试题分类汇编-立体几何
最新高考数学分类理科汇编
全国高考理科数学试题分类汇编—统计
1. 【 高 考 上 海 理 17 】 设 10 ? x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? 10 4 ， x5 ? 10 5 ， 随 机 变 量 ?1 取 值
x1、x 2、x 3、x 4、x 5 的 概 率 均 为 0.2 ， 随 机 变 量 ? 2 取 值
x1
? 2
x2
、x2
? 2
x3
、x3
? 2
x4
、x4
? 2
x5
、x5
? 2
x1
的概率也均为 0.2
，若记
D?1、D? 2
分别为
?1、?2 的方差，则（ ）
A． D?1 ? D?2
B． D?1 ? D?2
C． D?1 ? D?2
D． D?1 与 D? 2 的大小关系与 x1、x2、x3、x4 的取值有关
【答案】A
【 解 析 】 由 随 机 变 量 ?1,?2 的 取 值 情 况 ， 它 们 的 平 均 数 分 别 为 ：
1 x1 ? 5 (x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? x5 ),
，
x2
?
1? 5 ??
x1
? 2
x2
?
x2
? 2
x3
?
x3
? 2
x4
?
x4
? 2
x5
?
x5
? 2
x1
? ??
?
x1,
且随机变量?1 ,? 2 的概率都为 0.2 ，所以有 D?1 ＞ D? 2 . 故选择 A.
【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望和方差公式.记牢公式是解决此类问题的前提 和基础，本题属于中档题. 2.【高考陕西理 6】从甲乙两个城市分别随机抽取 16 台自动售货机，对其销售额进行统计，
统计数据用茎叶图表示（如图所示），设甲乙两组数据的平均数分别为 x甲 ， x乙 ，中位数分
别为 m甲 ， m乙，则（
）
A. x甲 ? x乙 ， m甲 ? m乙
B. x甲 ? x乙 ， m甲 ? m乙
C. x甲 ? x乙 ， m甲 ? m乙
D. x甲 ? x乙 ， m甲 ? m乙
【答案】B.
【解析】根据平均数的概念易计算出
x甲
?
x乙
，又 m甲
?
18 ? 22 2
?
20 ，m乙
?
27 ? 31 2
?
29
故选 B.
3.【高考山东理 4】采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查，为此将他们随机编
号为 1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 9.抽到的 32
人中，编号落入区间?1, 450?的人做问卷 A ，编号落入区间?451, 750? 的人做问卷 B ，其余2019-2020高考数学试题分类汇编
(完整版)2019数学高考试题分类汇编 立体几何
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2020年全国高考理科数学试题分类汇编5：平面向量
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