1．平行四边形的性质
平行四边形的边：平行四边形的对边平行且对边相等． 平行四边形的角：平行四边形的对角相等，邻角互补． 平行四边形的对角线：平行四边形的对角线互相平分． 平行四边形的对称性：平行四边形是中心对称图形． 平行四边形的周长：一组邻边之和的2倍． 平行四边形的面积：底乘以高． 2.平行四边形的判定
两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形． 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
一、平行四边形的性质
【例1】 如图，四边形ABCD 为平行四边形，即AB CD ∥，AD BC ∥．通过证明三角形全等来说明：
⑴AB CD =，AD BC =．（对边相等） ⑵AO CO =，BO DO =．（对角线互相平分）
O
D
C
B
A
【考点】平行四边形的性质和判定
【题型】解答 【难度】2星 【关键词】 【解析】省略
【答案】⑴ ∵AB CD ∥，AD BC ∥
∴ABD CDB ∠=∠，ADB CBD ∠=∠ 在ABD ?和CDB ?中，
例题精讲
知识点睛
平行四边形的性质
及判定
ABD CDB BD DB
ADB CBD ∠=∠??
=??∠=∠?
∴ABD CDB ??≌ ∴AB CD =，AD BC =． ⑵ 在ABO ?和CDO ?中，
ABO CDO AOB COD AB CD ∠=∠??
∠=∠??=?
∴AO CO =，BO DO =．
【巩固】 如图，点E F ，是平行四边形ABCD 对角线上的两点，且BE DF =，那么AF 和CE 相等吗？请说
明理由
2
1
F
E
D
C
B A
【考点】平行四边形的性质和判定 【题型】解答 【难度】2星 【关键词】
【解析】因为ABCD 是平行四边形 所以AD BC AD BC =，∥
所以12∠=∠，又因为1180ADF ∠+∠=?，2180EBC ∠+∠=? 所以ADF EBC ∠=∠ 又因为BE DF =，
所以ADF CBE ?∠≌，所以AF CE = 【答案】AF CE =
【例2】 如图，在平行四边形ABCD 中，EF BC GH AB EF ∥，∥，与GH 相交于点O ，图中共有 个
平行四边形
O H
G
F E
D
C B
A
【考点】平行四边形的性质和判定 【题型】解答 【难度】2星 【关键词】 【解析】省略 【答案】9个
【巩固】 以三角形的三个顶点作平行四边形，最多可以作（ ）
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
【考点】平行四边形的性质和判定 【题型】选择 【难度】2星 【关键词】 【解析】省略 【答案】B
【例3】 （2008兰州）如图，平行四边形ABCD 中，AB AC ⊥．对角线AC ，BD 相交于点O ，将直线AC
绕点O 顺时针旋转，分别交BC ，AD 于点E ，F ．
⑴ 证明：当旋转角为90?时，四边形ABEF 是平行四边形； ⑵ 试说明在旋转过程中，线段AF 与EC 总保持相等．
【考点】平行四边形的性质和判定 【题型】解答 【难度】3星
【关键词】2008年，兰州中考
【解析】⑴ 证明：当90AOF ∠=?时，AB EF ∥，
又∵AF BE ∥，
∴四边形ABEF 为平行四边形． ⑵ 证明： 四边形ABCD 为平行四边形
∴AO CO =，FAO ECO ∠=∠，AOF COE ∠=∠ ∴AOF COE ??≌ ∴AF EC =
【答案】⑴ 证明：当90AOF ∠=?时，AB EF ∥，
又∵AF BE ∥，
∴四边形ABEF 为平行四边形． ⑵ 证明： 四边形ABCD 为平行四边形
∴AO CO =，FAO ECO ∠=∠，AOF COE ∠=∠ ∴AOF COE ??≌ ∴AF EC =
【例4】 在平行四边形ABCD 中，点1A 、2A 、3A 、4A 和1C 、2C 、3C 、4C 分别为AB 和CD 的五等分点，
点1B 、2B 和1D 、2D 分别是BC 和DA 的三等分点，
已知四边形4242A B C D 的面积为1，则平行四边形ABCD 面积为（ ）
A ．2
B ．35
C ．5
3
D ．15
【考点】平行四边形的性质和判定
【题型】选择
【难度】3星
【关键词】2008年，山东潍坊
【解析】利用对称性、平行线的性质及割补法可得C．
【答案】C
【巩固】如图，在平行四边ABCD中，AC、BD为对角线，6
BC ，BC边上的高为4，则阴影部分的面积为（）．
A．3 B．6 C．12 D．24
(1)
D C
B
A
【考点】平行四边形的性质和判定
【题型】选择
【难度】3星
【关键词】2009年，桂林市中考，百色市中考
【解析】利用平行线的性质及割补法可得C．
【答案】C
【例5】现有如图2的铁片，其形状是一个大的平行四边形在一角剪去一个小的平行四边形，工人师傅想用一条直线将其分割成面积相等的两部分，请你帮助师傅设计三种不同的分割方案．
(2)
【考点】平行四边形的性质和判定
【题型】解答
【难度】5星
【关键词】1995年，昆明竞赛，2003年宿迁中考
【解析】省略
【答案】答案不惟一．
【巩固】 如图1，1O ，2O ，3O ，4O 为四个等圆的圆心，A ，B ，C ，D 为切点，请你在图中画出一条直
线，将这四个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 ；如图2，1O ，2O ，3O ，4O ，5O 为五个等圆的圆心，A ，B ，C ，D ，E 为切点，请你在图中画出一条直线，将这五个圆．．．
分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 ． D C
B
A O 4O 3O 2O 1
E
D C
B
A
O 5
O 4O 3O 2O 1
【考点】圆的相关概念及性质 【题型】填空 【难度】4星
【关键词】2008年，天津
【解析】1O ，3O 如图（提示：答案不惟一，过13O O 与24O O 交点O 的任意直线都能将四个圆分成面积相等
的两部分）；5O ，O ，如图（提示：答案不惟一，如4AO ，3DO ，2EO ，1CO 等均可）．
O D
C
B
A
O 4O 3O 2O 1
E
O D
C
B
A
O 5
O 4O 3O 2O 1
【答案】见解析
【例6】 如图，,E F 是平行四边形ABCD 的对角线AC 上的两点，AE CF =.
求证：（1）ADF ?≌CBE ?；
（2）EB DF ∥.
A
F
E D
C
B
【考点】平行四边形的性质和判定 【题型】解答 【难度】3星
【关键词】2007年，浙江临安中考
【解析】（1）∵AE CF
=，
∴AE EF CF FE
+=+，即A F C E
=.
又∵ABCD是平行四边形，
∴,
AD CB AD BC
=∥.
∴DAF BCE
∠=∠.
∴ADF
?≌CBE
?
（2）∵ADF
?≌CBE
?
∴DFA BEC
∠=∠.
∴DF EB
∥.
【答案】（1）∵AE CF
=，
∴AE EF CF FE
+=+，即A F C E
=.
又∵ABCD是平行四边形，
∴,
AD CB AD BC
=∥.
∴DAF BCE
∠=∠.
∴ADF
?≌CBE
?
（2）∵ADF
?≌CBE
?
∴DFA BEC
∠=∠.
∴DF EB
∥.
【巩固】如图，已知：在平行四边形ABCD中，BCD
∠的平分线CE交边AD于E，ABC
∠的平分线BG交CE于F，交AD于G．求证：AE DG
=．
F G
E D
C
B
A
【考点】平行四边形的性质和判定
【题型】解答
【难度】3星
【关键词】2008年，青海西宁
【解析】⑴①（答案不惟一）
⑵∵四边形ABCD是平行四边形（已知）
∴AD BC
∥，AB CD
=（平行四边形的对边平行且相等）
∴GBC BGA
∠=∠，BCE CED
∠=∠（两直线平行，内错角相等）
又∵BG平分ABC
∠，CE平分BCD
∠（已知）
∴ABG GBC
∠=∠，BCE ECD
∠=∠（角平分线定义）
∴ABG AGB
∠=∠，ECD CED
∠=∠．
∴AB AG
=，CE DE
=（在同一个三角形中，等角对等边）
∴AG DE
=
∴AG EG DE EG
-=-，即AE DG
=
【答案】⑴①（答案不惟一）
⑵∵四边形ABCD是平行四边形（已知）
∴AD BC
∥，AB CD
=（平行四边形的对边平行且相等）
∴GBC BGA
∠=∠，BCE CED
∠=∠（两直线平行，内错角相等）
又∵BG平分ABC
∠，CE平分BCD
∠（已知）
∴ABG GBC
∠=∠，BCE ECD
∠=∠（角平分线定义）
∴ABG AGB
∠=∠，ECD CED
∠=∠．
∴AB AG
=，CE DE
=（在同一个三角形中，等角对等边）
∴AG DE
=
∴AG EG DE EG
-=-，即AE DG
=
【例7】 已知：如图，平行四边形ABCD 内有一点E 满足ED AD ⊥于点D ，EBC EDC ∠=∠，45ECB ∠=?，
请找出与BE 相等的一条线段，并给予证明．
E
D
C
B
A
F
A
B
C
D E
【考点】平行四边形的性质和判定 【题型】解答 【难度】3星 【关键词】
【解析】AB 或CD ．
证明：延长DE 交BC 于F ， ∵ED AD ⊥且AD BC ∥ ∴DF BC ⊥
又∵45ECB ∠=?
∴CEF ?为等腰直角三角形 ∴EF CF =
在BEF ?和DCF ?中 EBF CDF BFE DFC EF CF ∠=∠??
∠=∠??=?
∴BEF DCF ??≌ ∴BE DC AB ==
【答案】AB 或CD
【巩固】 如图，E 、F 是平行四边形ABCD 对角线AC 上两点，BE DF ∥，求证：AF CE =．
F
E
D
C
B
A
【考点】平行四边形的性质和判定 【题型】解答 【难度】3星
【关键词】2009年，湖南长沙中考 【解析】省略
【答案】证明：平行四边形ABCD 中，AD BC ∥，AD BC =，
∴ACB CAD ∠=∠． 又BE DF ∥，
∴BEC DFA ∠=∠， ∴BEC DFA ??≌， ∴CE AF =
【例8】 如图，在平行四边形ABCD 中，连接对角线BD ，过A C ，两点分别作AE BD CF BD E F ⊥⊥，，，为
垂足，求证：四边形AECF 是平行四边形
F
E
D
C
B
A
【考点】平行四边形的性质和判定 【题型】解答 【难度】3星 【关键词】 【解析】省略
【答案】因为ABCD 是平行四边形，所以AB CD =且AB CD ∥ 所以ABE CDF ∠=∠ 因为AE BD CF BD ⊥⊥，，所以90AEB CFD ∠=∠=? 所以ABE CDF ??≌，所以AE CF =
因为90AEO CFO ∠=∠=?，所以AE CF ∥ 所以四边形AECF 是平行四边形
【巩固】 如图，平行四边形ABCD 中，E 是BC 的中点，DE 、AB 的延长线交于点F ，连接AE 、CF ．求
证：ABE EFC S S ??=．
【考点】平行四边形的性质和判定 【题型】解答 【难度】3星 【关键词】 【解析】省略
【答案】易证BEF CED ??≌，
∴BF CD AB ==
∴ABE ?和FBE ?是以AB 、BF 为底的等底等高三角形． ∴ABE FBE S S ??=
∵FBE ?和FCE ?是以BE 、CE 为底的等底等高三角形． ∴FBE FCE S S ??=，∴ABE EFC S S ??=．
【例9】 ⑴如图，已知等边三角形的边长为10，P 是ABC ?内一点，PD AC ∥，PE AB PF BC ∥，∥，
点D E F ，，分别在AB BC AC ，，上，则PD PE PF ++=
P
F
E
D
C
B
A
⑵如图1，在平行四边ABCD 中，120A ∠=?，则D ∠= ?．
A
B
图
图1
D
C B
A
⑶如图2，在平行四边形ABCD 中，DB DC =，65A ∠=?，CE BD ⊥于E ，则B C E ∠= ?．
E
E
A
B
图
A
B
C
D
图2
D
⑷已知四边形的四条边长分别是a b c d ，，，，其中a b ，为对边，并且满足
222222a b c d ab cd +++=+则这个四边形是（ ）
A ．任意四边形
B ．平行四边形
C ．对角线相等的四边形
D ．对角线垂直的四边形
⑸（2009东营）如图3，在平行四边ABCD 中，已知8cm AD =，6cm AB =，DE 平分ADC ∠
交BC 边于点E ，则BE 等于 cm ．
E A
B
C
D
图3
D
⑹已知平行四边形ABCD 的周长为60cm ，对角线AC 、BD 相交于O 点，AOB ?的周长比BOC ? 的周长多8cm ，则AB 的长度为 cm ．
O
D C
B
A
【考点】平行四边形的性质和判定 【题型】填空 【难度】3星 【关键词】
【解析】⑴省略；⑵省略；
⑶∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴65A DCB ∠=∠=? 又∵DB DC =
∴65DBC DCB ∠=∠=?，∴50CDB ∠=? 又∵CE BD ⊥，∴40ECD ∠=? ∴654025BCE ∠=?-?=?． ⑷省略
⑸∵8cm BC AD ==，6cm CE CD AB ===，∴2cm BE =．
⑹如图，AOB ?的周长为AB AO BO ++，BOC ?的周长为BC BO CO ++ 由平行四边形的对角线互相平分可得
()()8AB AO BO BC BO CO AB BC ++-++=-=
∴6082
194
AB +?=
=． 【答案】⑴10；⑵60?；⑶25?；⑷B ；⑸2cm ；⑹19
【巩固】 一个平行四边形的两条对角线的长分别为5和7，则它的一条边长a 的取值范围是 ．
O
D C
B
A
【考点】平行四边形的性质和判定 【题型】填空 【难度】3星 【关键词】
【解析】如图，不妨设AB a =，5AC =，7BD =，在ABO ?中，
52AO =，7
2
BO =，由三角形三边关系可得
AO BO AB AO BO -<<+，即16a <<．
【答案】16a <<
【例10】 如图，是某区部分街道示意图，其中CE 垂直平分AF ，AB DC ∥，BC DF ∥，从B 站乘车到E
站只有两条路线有直接到达的公交车，路线1是B D A E ---，路线2是B C F E ---，请比较两条路线路程的长短，并给出证明．
A B
C
D
E
F
G
【考点】平行四边形的性质和判定 【题型】解答 【难度】3星 【关键词】
【解析】两条路线一样长
延长FD 交AB 于点G ，∵CE 垂直平分AF ，AB DC ∥， ∴DF DA =，90FED EAB ∠=∠=?，DAF DFA ∠=∠． ∴90DGA DFA DAG DAF ∠+∠=∠+∠=? ∴DAG DGA ∠=∠ ∴AD DG = 又∵AB DC BC FG ∥，∥
∴四边形DCBG 为平行四边形，∴BC DG AD FD === ∴四边形BCFD 亦为平行四边形，∴CF DB = 路线1BD DA AE =++，路线2BC CF FE =++ ∴路线1与路线2相等．
【答案】路线1与路线2相等
【巩固】 如图是某市一公园的路面示意图，其中，ABCD 是平行四边形，BE AC ⊥，DF AC ⊥，E 、F 是
垂足，G 、H 分别是BC 、AD 的中点，连接EG GF FH ，，． HE 为公园中小路，问小明从B 地经E 地，H 地到F 地，与小强从D 地经F 地，G 地到E 地，谁的路程远．
A B
C
D
E
F
G
H
【考点】平行四边形的性质和判定 【题型】解答 【难度】3星 【关键词】
【解析】两人一样远
∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB CD =， AD BC BAC DCA =∠=∠，，
∵BE AC DF AC ⊥⊥，，∴BE DF ∥ ∴ABE CDF ∠=∠ ∴ABE CDF ??≌，∴BE DF =
又∵G 、H 分别是BC 、AD 中点，∴1
2
EG GC BC == G E C G C E ∠=∠，
同理1
2
FH AH AD DAF AFH ==∠=∠，
∴EG HF ∥且EG HF =∴四边形EGFH 为平行四边形，∴BE EH HF DF FG EG ++=++ ∴两人路程一样远．
【答案】两人路程一样远
【例11】 在平行四边形ABCD 中，过A 任作一直线AM ，过B 、C 、D 作AM 的垂线BE 、CF 、DG ，
垂足分别是E 、F 、G ，求证：BE DG CF =-．
G
F
E D
C
B
A
H
G
F
E D
C B
A
H
G
F
E D
C
B
A
【考点】平行四边形的性质和判定 【题型】解答 【难度】4星 【关键词】 【解析】省略
【答案】解法一：如图，过C 作CH DG ⊥于H ，则GFCH 为矩形．
∴GH CF =，CH AM ∥．
又AB CD ∥，∴BAE DCH ∠=∠．
又AB CD =，∴Rt Rt ABE CDH ??≌．
∴BE DH DG GH ==-，∴BE DG CF =-．
解法二：如图，延长CF 到H ，使HF BE =，连接BH ，显然BHFE 为矩形． ∴90BHC AGD ∠=?=∠．
∵DG CF ∥，AD BC ∥，∴ADG BCH ∠=∠．
又∵AD BC =，∴ADG BCH ??≌，∴DG CH CF HF CF BE ==+=+． ∴BE DG CF =-．
【巩固】 AC 是平行四边形ABCD 较长的一条对角线，点O 是ABCD 内部一点，OE AB ⊥于点E ，
OF AD ⊥于点F ，OG AC ⊥于点G ，求证：AE AB AF AD AG AC ?+?=?．
K
Q
L N
M A
B
C D
O
E
F G G
F
E O
D
C
B
A
【考点】相似三角形的性质和判定 【题型】解答 【难度】5星 【关键词】 【解析】省略
【答案】如图所示，，分别过点B 、C 、D 作直线AO 的垂线，EG CP DL ∥∥、Q 、N 为垂足；分别过B 、
D 作AC 的垂线，L 、K 为垂足．
显然，A 、E 、O 、G 、F 五点共圆，AO 是直径．
由DN AO ⊥，CQ AO ⊥，BM AO ⊥，DC AB ∥且DC AB =可知NQ AM =． 已知AF AD AN AO ?=?，AE AB AM AO ?=?， 则AF AD AE AB ?+? AN AO AM AO =?+? ()AO AN AM =+
()AO AN NQ =+
AO AQ =? AG AC =?
故AE AB AF AD AG AC ?+?=?．
点评：ab cd ef +=类型的问题一般要转化为ab mn =型的问题（当然，如果能够使用勾股定理、余弦定理等，大家也可以踊跃尝试），把握了这一点，就能及时调整思路，确保解题不会误入歧途．
二、平行四边形性质和判定的综合应用
【例12】 点A 、B 、C 、D 在同一平面内，从①AB CD ∥，②AB CD =，③BC AD ∥，④BC AD =．这
四个条件中任选两个，能使四边形ABCD 是平行四边形的选法有（ ）种 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6
【考点】平行四边形的性质和判定 【题型】选择
【难度】2星 【关键词】
【解析】选B ．①和②对，①和③对，①和④错，②和③错，②和④对，③和④对．等腰梯形是错的特例． 【答案】B
【巩固】 如图，已知：AD 是ABC ?的角平分线，DE AB ∥，在AB 上截取BF AE =，连接DE EF ，，求
证：四边形BDEF 是平行四边形
F
E
D
C
B
A
【考点】平行四边形的性质和判定 【题型】解答 【难度】2星 【关键词】 【解析】省略
【答案】因为AD 平分BAC ∠ 所以BAD CAD ∠=∠
因为DE AB ∥，所以BAD ADE ∠=∠ 所以EAD ADE DE AE ∠=∠=， 因为BF AE =，所以DE BF =
因为DE BF ∥，所以BDEF 是平行四边形
【例13】 已知：如图，在平行四边形ABCD 中，,E F 分别是,AB CD 的中点.求证：(1)AFD ?≌CEB ?；(2)
四边形AECF 是平行四边形．
C
E F D B
A
【考点】平行四边形的性质和判定 【题型】解答 【难度】3星
【关键词】2006年，南京中考 【解析】省略
【答案】（1）∵四边形ABCD 平行四边形，
∴,,AB CD AD BC B D ==∠=∠. 又∵,E F 分别是,AB CD 的中点，
∴11
,22
BE AB DF CD ==.
∴,BE DF AE CF ==. ∴AFD ?≌CEB ?.
（2）由（1）知AE CF =，AFD ?≌CEB ?. ∴AF CE =. ∴四边形AECF 是平行四边形．
【巩固】 如图，四边形ABCD 中，AB CD ∥，B D ∠=∠，6BC =，3AB =，求四边形ABCD 的周长．
D
C
B A
【考点】平行四边形的性质和判定 【题型】解答 【难度】3星
【关键词】2009年，柳州中考 【解析】省略
【答案】解法一：∵AB CD ∥
∴180B C ∠+∠=? 又∵B D ∠=∠
∴180C D ∠+∠=?
∴AD BC ∥，即得ABCD 是平行四边形 ∴3AB CD ==，6BC AD ==
∴四边形ABCD 的周长262318=?+?= 解法二：连接AC
A
B
C
D
∵AB CD ∥
∴BAC DCA ∠=∠
又∵B D ∠=∠，AC CA = ∴ABC CDA ??≌
∴3AB CD ==，6BC AD ==
∴四边形ABCD 的周长262318=?+?= 解法三：连接BD
A
B C
D
∵AB CD ∥
∴ABD CDB ∠=∠
又∵ABC CDA ∠=∠ ∴CBD ADB ∠=∠
∴AD BC ∥，即ABCD 是平行四边形 ∴3AB CD ==， 6BC AD ==
∴四边形ABCD 的周长262318=?+?=
【例14】 如图所示，P 为平行四边形ABCD 内一点，求证：以AP 、BP 、CP 、DP 为边可以构成一个四
边形，并且所构成的四边形的对角线的长度恰好分别等于AB 和BC ．
D
P
C
B
A
Q
D
P
C
B
A
【考点】平行四边形的性质和判定 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】
【解析】如图所示，将PAB ?平移至QDC ?的位置，易证DQ AP =，CQ BP =，则四边形DPCQ 恰好是一个以AP 、BP 、CP 、DP 为边的四边形，并且它的对角线恰好等于平行四边形ABCD 的两条邻边．
【例15】 如图所示，在平行四边形ABCD 中，、F 是对角线AC 上两点，且AF CE =，求证：四边形BEDF
是平行四边形．
F
E
D
C
B
A
O
F E D
C
B
A
【考点】平行四边形的性质和判定 【题型】解答 【难度】3星 【关键词】 【解析】省略
【答案】连接BD ，交AC 于O
∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴BO DO =，AO CO = ∵AF CE =，∴AF AO CE CO -=-
∴OF OE =，∴四边形BFDE 是平行四边形
【巩固】 已知：如图，AD ∥BC ，ED ∥BF ，且AF CE =．求证：四边形ABCD 是平行四边形．
F
E
D
C
B
A
【考点】平行四边形的性质和判定 【题型】解答 【难度】3星 【关键词】 【解析】省略
【答案】∵ED ∥BF ，∴DEF BFE ∠=∠，∴AED BFC ∠=∠
又∵AF CE =，∴AE CF = ∵AD ∥BC
∴EAD FCB ∠=∠，∴AED ?≌CFB ?
∴AD BC =，∴ABCD 是平行四边形
【例16】 如图，在平行四边形ABCD 的各边AB BC CD DA ，，，上，分别取E F G H ，，，，使AE CG =， BF DH =，求证：四边形EFGH 为平行四边形
H G
F E
D C
B A
【考点】平行四边形的性质和判定 【题型】解答 【难度】3星 【关键词】 【解析】省略
【答案】利用AEH CGF ??≌，AEH DFE ??≌，证明HE FG HG EF ==，
【例17】 如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点P ，过点P 作直线交AD 于点E ，交BC 于点F ．若
P E P F =，且AP AE CP CF +=+．求证：四边形ABCD 是平行四边形．
P
F
E D
C
B
A
N
M
A
E
D
P
C F
B
【考点】平行四边形的性质和判定
【题型】解答 【难度】3星
【关键词】2008年，西城模拟改编 【解析】省略
【答案】延长PA 、PC ，使AM AE =、CF CN =．连结MF 、EN ．
∵AP AE CP CF +=+ ∴PM PN =
∴四边形MFNE 是平行四边形． ∴ME NF =,M N ∠=∠ ∵AE AM =，CN CF = ∴AME CNF ??≌ ∴AM CN =
∴AP CP =,PAD PCB ∠=∠ ∴APD NCPB ?≌ ∴PD PB =
∴四边形ABCD 是平行四边形．
【巩固】 如图，在平行四边形ABCD 中，点M 、N 是对角线AC 上的点，且AM CN =，DE BF =，求证：
四边形MFNE 是平行四边形．
E
N
F
M D C
B
A
【考点】平行四边形的性质和判定 【题型】解答 【难度】3星 【关键词】 【解析】省略
【答案】∵四边形ABCD 是平行四边形
∴AB CD ∥，AB CD = ∴MAF NCE ∠=∠ 又∵DE BF = ∴AF CE = 又∵AM CN =
显然AFM CEN ??≌
∴FM EN =且AMF CNE ∠=∠ ∴FMN ENM ∠=∠
∴四边形MFNE 是平行四边形．
【巩固】 如图，E 、F 分别是平行四边形ABCD 的AD 、BC 边上的点，且AE CF =．
⑴求证：ABE ?≌CDF ?； ⑵若M N ，、分别是BE 、DF 的中点，连接MF 、EN ，试判断四边形MFNE 是怎样的四边形，并证明你的结论．
E
N M C
D
F
B
A
【考点】平行四边形的性质和判定 【题型】解答 【难度】3星
【关键词】2005年，四川中考 【解析】省略
【答案】⑴由ABCD 是平行四边形可知，AB CD =，BAE DCF ∠=∠
又AE CF =，故ABE ?≌CDF ?
⑵由(1)可知，AEB CFD ∠=∠，BE DF = 又FN DN =，BM ME =，∴ME NF = 而AD ∥BC ，∴有AEB CBE ∠=∠ ∴CBE CFD ∠=∠，∴BE ∥DF ∴四边形MFNE 为平行四边形
【例18】 如图，过四边形ABCD 对角线的交点O 作直线EF 交AD 、BC 分别于E 、F ，又G 、H 分别为
OB 、OD 的中点，求证：四边形EHFG 为平行四边形．
O G
F
H E
D
C
B
A
【考点】平行四边形的性质和判定 【题型】解答 【难度】3星 【关键词】 【解析】省略
【答案】易证EO FO =，HO GO =
∴四边形EHFG 为平行四边形
【巩固】 如图，ACD ?、ABE ?、BCF ?均为直线BC 同侧的等边三角形．当AB AC ≠时，证明四边形ADFE
为平行四边形．
F
E
D
C
B
A
【考点】平行四边形的性质和判定 【题型】解答 【难度】4星
【关键词】2008年，佛山中考 【解析】省略
【答案】∵ABE ?、BCF ?为等边三角形，
∴AB BE AE ==，BC CF FB ==，60ABE CBF ∠=∠=?． ∴FBE CBA ∠=∠． ∴FBE CBA ??≌． ∴EF AC =．
又∵ADC ?为等边三角形， ∴CD AD AC ==． ∴EF AD =．
同理可得AE DF =．
∴四边形AEFD 是平行四边形．
【例19】 如图，点E F G H M N ，，，，，分别在ABC ?的BC AC AB ，，边上，且
NH MG BC ME NF AC ∥∥，∥∥，GF EH AB ∥∥，有黑、白两只蚂蚁，它们同时同速从F 点出发，黑蚂蚁沿路线F N H E M G F →→→→→→爬行，白蚂蚁沿路线F B A C F →→→→爬行，那么（ ） A ． 黑蚂蚁先回到F 点 B ． 白蚂蚁先回到F 点 C ． 两只蚂蚁同时回到F 点
D ． 哪只蚂蚁先回到F 点视各点的位置而定
N M
H G
F
E
C
B
A
【考点】平行四边形的性质和判定 【题型】选择 【难度】5星
【关键词】2006年，第17届，希望杯试题 【解析】可知四边形CFNH AHEM BMGF ，，均为平行四边形，可知选C 【答案】C
【巩固】 以ABCD 的对边AB 、CD 为边分别在外作等边ABE ?、等边CDF ?．求证： 四边形AECF 是
平行四边形．
E
C D
F
B
A
【考点】平行四边形的性质和判定 【题型】解答 【难度】3星 【关键词】 【解析】省略
【答案】∵AB CD =，ABE ?和CDF ?都是等边三角形
∴AE CF =，EB DF =
∵BC AD =，ABC ADC ∠=∠，ABE CDF ∠=∠ ∴CBE ADF ∠=∠，∴CBE ?≌ADF ?
∴CE AF =，∴四边形AECF 是平行四边形
【巩固】 等边ABC ?中，点D 在BC 上，点E 在AB 上，且CD BE =，所以AD 为边作等边ADF ?．求证：
四边形CDFE 是平行四边形．
F
E
D
C
B
A
【考点】平行四边形的性质和判定 【题型】解答 【难度】3星 【关键词】
【解析】省略
【答案】连结FB ．
∵1602BAD ∠=-∠=∠ ，AF AD =，AB AC =
∴AFB ?≌ADC ?，∴60ABF ACD ∠=∠= ，FB DC = ∵CD BE =，∴FB BE =
∴BEF ?是等边三角形，∴EF BE DC ==，60BEF ∠= ∵60ABC ∠= ，∴BEF ABC ∠=∠
∴EF ∥BC ，∴四边形CDFE 是平行四边形
【例20】 如图，已知AC 是平行四边形ABCD 的对角线，ACP ?和ACQ ?都是等边三角形，求证：四边形
BPDQ 是平行四边形．
Q
P D
C
B A O
Q
P D
C
B A
【考点】平行四边形的性质和判定 【题型】解答 【难度】4星 【关键词】 【解析】省略 【答案】方法一：（利用全等得两组对边相等）
∵AC 是平行四边形ABCD 的对角线 ∴DAC BCA ∠=∠
∵60ACP CAQ ∠=∠=? ∴DAQ BCP ∠=∠
又∵AD CB =，AQ CP = ∴ADQ CBP ??≌ ∴DQ BP =
类似可证ABQ CDP ??≌ ∴BQ DP =
∴四边形BPDQ 是平行四边形． 方法二：（利用对角线互相平分证明结论） 连结BD 交AC 于O ，连结PO 、QO ． 利用ACP ?和ACQ ?是全等等边三角形可得 P 、O 、Q 三点共线，且PO QO = 又∵BO DO =
∴四边形BPDQ 是平行四边形．
【巩固】 如图，ABC ?中，D 是AB 的中点，E 是AC 上任意一点，EF ∥AB ，DF ∥BE ．求证：DF 与
AE 互相平分．
平行四边形性质和判定习题 1．如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F． （1）求证：BE=DF； （2）若M、N分别为边AD、BC上的点，且DM=BN，试判断四边形MENF的形状（不必说明理由）． 2．如图所示，?AECF的对角线相交于点O，DB经过点O，分别与AE， CF交于B，D． 求证：四边形ABCD是平行四边形． 3．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足 分别为E，F． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）若AC与BD交于点O，求证：AO=CO． 4．已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、AD．求证：EF=AD． 5．如图，已知D是△ABC的边AB上一点，CE∥AB， DE交AC于点O，且OA=OC，猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关系， 并加以证明． 6．如图，已知，?ABCD中，AE=CF，M、N分别是DE、BF的中点． 求证：四边形MFNE是平行四边形．
7．如图，平行四边形ABCD，E、F两点在对角线BD上，且BE=DF，连接AE，EC，CF，FA． 求证：四边形AECF是平行四边形． 8．在?ABCD中，分别以AD、BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连接BE、DF．求证：四边形BEDF是平行四边形． 9．如图所示，DB∥AC，且DB=AC，E是AC的中点，求证：BC=DE． 10．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=24cm，BC=30cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，直线PQ截梯形为两个四边形．问当P，Q同时出发，几秒后其中一个四边形为平行四边形？ 11．如图：已知D、E、F分别是△ABC各边的中点， 求证：AE与DF互相平分． 12．已知：如图，在?ABCD中，对角线AC交BD于点O，四边形AODE是平行四 边形．求证：四边形ABOE、四边形DCOE都是平行四边形．
A B E C F D O B D C E D C O F B A 平行四边形性质及判定练习题 一、耐心填一填！ 1、ABCD 中，∠B －∠A ＝40°，则∠D ＝＿＿。 2、ABCD 的周长是44cm ，AB 比AD 大2cm ，则AB ＝＿＿cm ，AD ＝＿＿cm 。 3、平行四边形的两个相邻内角的平分线相交所成的角的度数是＿＿。 4、平行四边形的两条邻边的比为2∶1，周长为60cm ，则这个四边形较短的边长为＿＿。 5、如图所示，在ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F ， ∠BAD ＝120°，BE ＝2，FD ＝3，则∠EAF ＝＿＿＿，ABCD 的周长为＿＿。 6．若平行四边形的两邻边的长分别为16和20，两长边间的距离为8， 则两短边间的距离为_____________． 7、ABCD ，AB=6cm,BC=8cm ，∠B=70°,则AD=________,CD=______, ∠D=__________,∠A=_________,∠C=__________. 8、平行四边形周长为50cm ，两邻边之差为5cm,各边长为 。 9.如图，平行四边形ABCD 的周长为30cm,它的对角线AC 和BD 相交于O,且△ AOB 的周长比△BOC 的周长大5cm,AB= 、BC= 。 10.平行四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O,则其中全等的三角形有___ 对。 二、精心选一选! 11、下面各条件中，能判定四边形是平行四边形的是 （ ） A 、对角线互相垂直 B 、对角线互相平分 C 、一组对角相等 D 、一组对边相等 12、已知下列四个命题：①一组对边平行且相等的四边形；②两组对角分别相等的四边形；③对角线相等的四边形；④对角线互相平分的四边形。其中能判定平行四边形的命题的个数为 （ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 13、平行四边形的两条对角线及一边的长可依次取 （ ） A 、6、6、6 B 、6、4、3 C 、6、4、6 D 、3、4、5 14、以不共线三点为三个顶点作平行四边形，一共可作平行四边形的个数是 （ ） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 15、四边形ABCD 的四个角∠A ∶∠B ∶∠C ∶∠D 满足下列哪一条件时，四边形ABCD 是平行四边形？（ ） A 、1∶2∶2∶1 B 、2∶1∶1∶1 C 、1∶2∶3∶4 D 、2∶1∶2∶1 16、如图所示，在ABCD 中，EF 过对角线的交点，若AB ＝4，BC ＝7，OE ＝3，则四边形EFDC 的周长是（ ） A 、14 B 、11 C 、10 D 、17 17、四边形ABCD 中，AD ∥BC ，要判定四边形ABCD 是平行四边形， 还应满足（ ） A 、∠A ＋∠C ＝180° B 、∠B ＋∠D ＝180° C 、∠A ＋∠B ＝180° D 、∠A ＋∠D ＝180° 18、根据下列条件，得不到平行四边形的是（ ） A 、 AB ＝CD ，AD ＝BC B 、AB ∥CD ，AB ＝CD C 、AB ＝CD ，AD ∥BC D 、AB ∥CD ，AD ∥BC 19、若ABCD 的周长为40cm ，ΔABC 的周长为27cm ，则AC 的长是（ ） A 、13cm B 、3cm C 、7cm D 、11.5cm
沃根金榜一对一学科教师辅导讲义 学生姓名：年级：老师： 上课日期：上课时间：上课次数： ______年级第______单元课题______ ——————————————————————————————————[ 课前准备 ] 课前检查： 作业完成情况：优（）良（）中（）差（） 复习预习情况：优（）良（）中（）差（）——————————————————————————————————[ 学习内容 ] 特殊的平行四边形讲义 考试考点综述： 特殊平行四边形即矩形、菱形、正方形，它们是初二的必考内容之一，主要出现的题型多样，注重考查学生的基础证明和计算能力，以及灵活运用数学思想方法解决问题的能力。内容主要包括：矩形、菱形、正方形的性质与判定，以及相关计算，了解平行四边形与矩形、菱形、正方形之间的联系，掌握平行四边形 是矩形、菱形、正方形的条件。 知识目标 掌握矩形、菱形、正方形等概念，掌握矩形、菱形、正方形的性质和判定，通过定理的证明和应用的教学， 使学生逐步学会分别从题设和结论出发，寻找论证思路分析法和综合法。 重难点： 1.矩形、菱形性质及判定的应用 2. 相关知识的综合应用 教学过程 知识点归纳
对称性既是轴对称图形，又是中心对称图形 矩形，菱形和正方形之间的联系如下表所示： 一．矩形 矩形定义：有一角是直角的平行四边形叫做矩形． 【强调】矩形（1）是平行四边形；（2）一一个角是直角． 矩形的性质 性质1矩形的四个角都是直角； 性质2 矩形的对角线相等，具有平行四边形的所以性质。 矩形的判定 矩形判定方法1:对角线相等的平行四边形是矩形． 注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）对角线相等矩形判定方法2:四个角都是直角的四边形是矩形． 矩形判断方法3：有一个角是直角的平行四边形是矩形。 例1：若矩形的对角线长为8cm，两条对角线的一个交角为600，则该矩形的面积为
初2017级寒假培训（八）A 层----平行四边形的性质与判定 班级： 姓名： 1.定义：两组对边互相平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形ABCD 记作：□ 几何语言：, 2.性质：平行四边形的对边平行且相等，对角相等，邻角互补，对角线互相平分； 几何语言：∵ 四边形ABCD 是平行四边形 ∴AD ∥ BC, _________ （对边平行）；AD=BC ,__________（对边相等）； ，_________（对角相等）；…（邻角互补）； ， （对角线互相平分）。 平行四边形的判定： 判定1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形 判定2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 判定3.两组对角分别相等的四边形是平行四边形 判定4.对角线互相平分的四边形是平行四边形 判定5.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 几何语言 判定1., 判定2.， 判定3., 判定4. 判定5., 夯实基础： 1.如图，将□的一边BC 延长至E ，若∠A =110°，则∠1=________． E 2.如图，在□中，，则＝ °． 3.在平行四边形ABCD 中，cm AB 6=，cm BC 8=，则平行四边形ABCD 的周长 为 cm ． 4.如图，在□中，已知， 平分交边于点，ABCD BC AD CD AB //,//Θ是平行四边形四边形ABCD ∴BCD BAC ∠=∠ο180=∠+∠ABC BAC OC OA =BC AD CD AB //,//Θ是平行四边形四边形ABCD ∴BC AD DC AB ==,是平行四边形四边形ABCD ∴BCD BAD ADC ABC ∠=∠∠=∠,Θ是平行四边形四边形ABCD ∴,,DO BO CO AO ==Θ是平行四边形四边形ABCD ∴CD AB CD AB =,//Θ是平行四边形四边形ABCD ∴ABCD ABCD ο120=∠A D ∠ABCD ,6,8CM AB CM AD ==DE ADC ∠BC E A B C D O A B C D 4 E A B C D 2 1 A B C D
课题：18.1平行四边形（第6课时） ——平行四边形的性质与判定（复习课） 十堰市郧阳区城关一中王平利 学情分析：该班约有三分之一的学生成绩优良，基础扎实；三分之一的学生成绩一般，有些基础比较欠缺，需要通过复习来巩固；还有三分之一的学生成绩不稳定，基础不扎实，约有四分之一的学生成绩介于合格与不合格之间。本节是节复习课，在之前，学生已经学习了平行四边形的性质与判定定理，只是在应用方面还不灵活；学生有一定的分析问题和逻辑推理的能力，有一定的语言表达和概括的能力，有一定的自主学习和合作探究的能力。 教学目标： 1、知识技能：熟练掌握平行四边形的定义、性质、判定定理及面积公式，并运用它们进行有关的论证和计算。 2、过程与方法：通过归纳、整理平行四边形的性质及判定，感受数学思考过程的条理性，发展学生的收集、整理、小结、概括的能力。 3、情感态度：在整理知识点的过程中，发展学生的独立思考习惯，提高学生的动手操作能力。 教学重点：熟练运用平行四边形的性质与判定解答。 教学难点：平行四边形的性质与判定的综合运用。 教学方法：自主学习合作探究 教学过程： 一、巩固复习：
（一）知识回顾： 1、平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 边：对边平行且相等 角：对角相等，邻角互补 2、平行四边形的性质 对角线：互相平分 对称性：中心对称图形 3、平行四边形的判定： ??? ? ?? ???对角线互相平分两组对角分别相等两组对边分别相等两组对边分别平行一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 4、三角形中位性定理：三角形中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 5、两平行线间的距离性质：两平行线间的距离处处相等． （二）巩固练习： 1、平行四边形具有而一般四边形不具有的特征是（ ） A 、不稳定性 B 、对角线互相平分 C 、内角的和为360度D 、外角和为360度 2、 已知一个平行四边形两邻边的长分别为10和6,那么它的周长为( ). A. 16 B. 60 C.32 D. 30 3、平行四边形ABCD 中, ∠A:∠B:∠C:∠D 的值可以是( ). A. 4:3:3:4 B. 7:5:5:7 C. 4:3:2:1 D. 7:5:7:5
平行四边形、矩形、菱形、正方形性质和判定归纳如表：类 别 性质判定对称性 平行四边形①对边平行 ②对边相等 ③对角相等 ④对角线互相平分 (⑤邻角互补) ①两组对边分别平行的四边形 ②两组对边分别相等的四边形 ③一组对边平行且相等的四边形 ④两组对角分别相等的四边形 ⑤对角线互相平分的四边形 中 心 对 称 矩形①具有平行四边形的 一切性质 ②四个角都是直角 ③对角线相等 ①有一个角是直角的平行四边形 ②有三个角是直角的四边形 ③对角线相等的平行四边形 中轴 心对 对称 称 菱形①具有平行四边形的 一切性质 ②四条边都相等 ③对角线互相垂直 (平分每组对角) ①有一组邻边相等的平行四边形 ②四条边都相等的四边形 ③对角线互相垂直的平行四边形 (④对角线垂直且平分的四边形) 中轴 心对 对称 称 正方形①具有平行四边形、矩 形、菱形的一切性质 (②对角线与边的夹角 为450) ①有一个角是直角且有一组邻边 相等的平行四边形 ②有一组邻边相等的矩形 ③有一个角是直角的菱形 （④对角线垂直且相等的平行四 边形） 中轴 心对 对称 称 四种特殊四边形的性质 边角对角线对称性 平行 四边形 对边平行 且相等 对角相等互相平分中心对称 矩形对边平行 且相等 四个角 都是直角 互相平分 且相等 轴对称 中心对称 菱形对边平行 四条边相等 对角相等互相垂直平分（且 每条对角线平分一组对角） 轴对称 中心对称 正方形对边平行 四条边相等 四个角 都是直角 互相垂直平分且相等，（每 条对角线平分一组对角） 轴对称 中心对称 四种特殊四边形常用的判定方法： 平行 四边形 ①两组对边分别平行的四边形 ②两组对边分别相等的四边形 ③一组对边平行且相等的四边形 ④两组对角分别相等的四边形 ⑤对角线互相平分的四边形 矩形 ①有一个角是直角的平行四边形 ②有三个角是直角的四边形 ③对角线相等的平行四边形 菱形 ①有一组邻边相等的平行四边形 ②四条边都相等的四边形 ③对角线互相垂直的平行四边形 ④对角线垂直且平分的四边形 正方形 ①有一个角是直角一组邻边相等的平行四边形 ②一组邻边相等的矩形 ③一个角是直角的菱形 ④对角线垂直且相等的平行四边形
平行四边形的性质与判 定讲义精品 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
C F B E D A 平行四边形 一、知识梳理 1．平行四边形： (1)平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．平行四边形用符号“”表示．平 行四边形ABCD 记作，读作平行四边形ABCD ． 2．平行四边形的性质： (1) 平行四边形的对边平行且相等． (2)．平行四边形的对角相等，邻角互补。 (3)平行四边形的对角线互相平分． (4)若一条直线过平行四边形两对角线的交点，则这直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，且这条直线二等分平行四边形的面积． 例1．ABCD 中，∠A 的平分线分BC 成4cm 和3cm 两条线段， 则ABCD 的周长为 ． 例2．在ABCD 中，∠C=60o,DE ⊥AB 于E,DF ⊥BC 于F ． （1）则∠EDF= ； （2）如图，若AE=4，CF=7， 则ABCD 周长= ; 例3.在平行四边形ABCD 中，已知∠A ＝40°，则∠B ＝ ，∠C ＝ ，∠D ＝ . 例4..中，周长为20cm ，对角线AC 交BD 于点O ，△OAB 比△OBC 的周长多4，则边AB ＝____________，BC ＝____________． 变式训练.如图，在平行四边形ABCD 中，已知对角线AC 和BD 相交于点O ，ΔAOB 的周长为15，AB ＝6，那么对角线AC 和BD 的和是多少 例5.如图，在□ABCD 中，O 是对角线的交点，过O 的直线交AB 于E ，交DC 于F ，图中全等三角 形共有 （ ） A ．2对 B ．3对 C ．6对 D ．8对 3．两条平行线间的距离： (1)定义：两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离． (2)两平行线间的距离处处相等． 例6、有以下四个说法： ①两点的距离，点到直线的距离，两条平行线间的距离，都是指某种线段的长． ②如果两点的位置固定，那么它们的距离是定值． ③如果一点和一条直线的位置固定，那么它们的距离是定值． ④两条平行线间的距离不是定值 其中正确说法的个数是 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4．平行四边形的面积： (1)如图①， ． O F E D C B A
平行四边形专题讲义 一、学习目标 复习平行四边形、特殊平行四边形性质与判定，能利用它们进行计算或证明. 二、学习重难点 重点：性质与判定的运用；难点：证明过程的书写。 三、本章知识结构图 1．平行四边形是特殊的 ；特殊的平行四边形包括 、 、 。 2．梯形 （是否）特殊平行四边形， （是否）特殊四边形。 3．特殊的梯形包括 梯形和 梯形。 4、本章学过的四边形中，属于轴对称图形的有 ；属于中心对称图形的有 。 四、复习过程 （一）知识要点1：平行四边形的性质与判定 1.平行四边形的性质： （1）从边看：对边 ，对边 ； （2）从角看：对角 ，邻角 ； （3）从对角线看：对角线互相 ； （4）从对称性看：平行四边形是 图形。 2、平行四边形的判定： （1）判定1：两组对边分别 的四边形是平行四边形。（定义） （2）判定2：两组对边分别 的四边形是平行四边形。 （3）判定3：一组对边 且 的四边形是平行四边形。 （4）判定4：两组对角分别 的四边形是平行四边形。 （5）判定5：对角线互相 的四边形是平行四边形。 【基础练习】 1.已知□ABCD 中，∠B =70°，则∠A =____，∠C =____，∠D =____． 2.已知O 是ABCD 的对角线的交点，AC =38 mm ，BD =24 mm,AD =14 mm ，那么△BOC 的周长等于__ __. 3.如图1，ABCD 中，对角线AC 和BD 交于点O ，若AC =8，BD =6，则边AB 长的取值范围是（ ）. A.1＜AB ＜7 B.2＜AB ＜14 C.6＜AB ＜8 D.3＜AB ＜4 4.不能判定四边形ABCD 为平行四边形的题设是（ ） A.AB=CD,AD=BC B.AB CD C.AB=CD,AD ∥BC D.AB ∥CD,AD ∥BC 5. 在ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，AF ⊥CD 于F ，AE=4，AF=6，ABCD 的周长为40，则ABCD 的面积是 （ ） A 、36 B 、48 C 、 40 D 、24 【典型例题】 例1、若平行四边形ABCD 的周长是20cm,△AOD 的周长比△ABO 的周长大6cm.求AB,AD 的长. F E D C B A O A B C D O A D
18.1.2 平行四边形的判定 教者：李建辉课前回顾： 1、什么叫平行四边形？ 2、平行四边形的性质定理有几个？分别是什么？ 教学目标： 知识与技能： 1、通过合作探究，得出平行四边形的判定定理1、 2、3 2、理解平行四边形的判定定理1、2、3，并会用其解决实际问题。 过程与方法： 1、通过类比、验证、推理、合作探究等教学活动，培养学生的合情推理能力。 2、在运用平行四边形的判定方法解决问题的过程中，培养学生的逻辑思维能力和推理论证的表达能力。 情感、态度与价值观： 通过对平行四边形判定方法的探究和运用，使学生认识事物的相互联系、相互转化，学会用辩证的观点分析问题。 重点与难点： 重点：平行四边形判定定理1、2、3的探究以及运用平行四边形的判定和性质解决实际问题。 难点：平行四边形判定定理1、2、3的证明以及运用平行四边形
的判定和性质解决实际问题。 教学方法：合作探究 教学过程： 一、导入新课： 同学们，现在我们只能依据平行四边形的定义来判定一个四边形是平行四边形，但它还有一些判定定理，你们想不想知道呢？（想）那好，今天我们就来学习“平行四边形的判定”。 二、出示课题，展示教学目标： 三、新授： （一）试一试 分别说出平行四边形的性质定理1、2、3的逆命题： 逆命题： 1、两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 2、两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 3、对角线互相平分的四边形是平行四边形。 （二）合作探究 以平行四边形的概念为依据分别证明平行四边形性质定理1、2、3的逆命题的正确性。（让学生分成三组，每组证明一个，而后各组选一个代表口述其证明过程） （三）总结归纳 平行四边形的判定定理： 1、两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
平行四边形培优讲义新 打印版 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
平边四边形知识点 一．知识框架 二．知识概念 平行四边的定义：两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形不相邻的两顶点连成的线段叫做它的对角线。 平行四边形的性质：平行四边形的对边相等,对角相等,对角线互相平分。 平行四边形的判别方法： 两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。 三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。矩形是特殊的平行四边形。 矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。（矩形是轴对称图形，有两条对称轴） 矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。 对角线相等的平行四边形是矩形。 四个角都相等的四边形是矩形。 推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 菱形的性质：具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。 菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 四条边都相等的四边形是菱形。 S菱形=1/2×ab（a、b为两条对角线）或底×高 正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。 正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（正方形是轴对称图形，有四条对称轴） 正方形常用的判定： 有一个内角是直角的菱形是正方形； 邻边相等的矩形是正方形；
第15讲平行四边形的判定和性质 知识定位 讲解用时：3分钟 A、适用范围：人教版初二，基础较好； B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习平行四边 形的判定和性质。平行四边形是在学习了平行线和三角形之后，是平行线和三角形知识的应用和深化，同时也是为了后面学习矩形、菱形、正方形、圆甚至高中 的立体几何打基础的，起着承上启下的桥梁作用。 知识梳理 讲解用时：20分钟 平行四边形的定义和性质 1.平行四边形定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 表示方法：ABDC（按照字母的顺序）注意：ABCD A B O C D 2.平行四边形的性质： （1）平行四边形的对边相等，即AB=CD，AC=BD （2）平行四边形的对角相等，即∠A=∠D，∠B=∠C （3）平行四边形的对角线互相平分，即OA=OD，OB=OC 3.平行四边形的两条对角线把平行四边形分成面积相等的4个小三角形.
平行四边形的判定 平行四边形的判定： （1）定义法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形； （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形； （3）对角线互相平分的四边形是平行四边形； （4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形； （5）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 三角形的中位线： 三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半 课堂精讲精练 【例题1】 如图，平行四边形ABCD中，∠ABC的角平分线交边CD于点E，∠A=130°，则∠BEC的度数是（） A．20°B．25°C．30°D．50° 【答案】B 【解析】利用平行四边形的性质求出∠C，再利用等腰三角形的性质即可解决问题； 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，∠C=∠A=130°， ∴∠ABE=∠CEB， ∵∠ABE=∠CBE， ∴∠BEC=∠CBE，
第11讲 平行四边形的性质及判定 小测试 总分10分 得分___________ 1．（4分）分式方程 12x x +-＝ 1 32 x +-的解为x ＝___________．3 2．（6分）若221x x x +-＝1 4 ，则242331x x x -+＝___________．1 【教学目标】 1．掌握平行四边形的性质定理和判定定理； 2．能熟练利用平行四边形的性质定理和判定定理进行证明和计算． 【教学重难点】 能熟练利用平行四边形的性质定理和判定定理进行证明和计算，证明线段平行、相等是常考点． 知识点1：平行四边形 平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． 知识点2：平行四边形的性质 1．平行四边形的对边平行且相等；对角相等，邻角互补；对角线互相平分． 2．若一条直线过平行四边形两对角线的交点，则这直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，且这条直线平分平行四边形的面积． 3．平行四边形是中心对称图形． 4．平行四边形的面积： ①如图1，S □ABCD ＝BC ·AE ＝CD ·AF ． ②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．如图2，□ABCD 与□EBCF 有公共边BC ，则S □ABCD ＝S □EBCF ．特别地，当点P 是平行四边形任意一条边所在直线上的一点时，点P 与这条边的对边的两个顶点所构成的三角形的面积是平行四边形的面积的一半，如图3． 知识点3：平行四边形的判定 1．两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 2．两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 3．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 4．对角线互相平分的四边形是平行四边形． 注意：两组对角分别相等的四边形不能直接作为平行四边形的判定依据，在证明题或计算题中不能直接使用，必须转化成两组对边分别平行的四边形是平行四边形（利用四边形的内角和是360°，一半则为180°，同旁内角互补，得到两组对边分别平行）． 在平行四边形中熟悉下列基本图形、基本结论： A D B C E F A D B C E F P A D B C 图1 图2 图3
平行四边形 1、平行四边形的性质 考点一、平行四边形的概念 （1）定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 （2）表示：平行四边形用符号”表示，平行四边形ABCD记作ABCD”, 读作“平行四边形ABCD”。平行四边形一定按顺时针或逆时针依次注明各顶点。（3）平行四边形定义的作用：平行四边形的定义既是判定，又是性质。 ①由定义知平行四边形两组对边分别平行； ②由定义可以得出只要四边形中两组对边分别平行，那么这个四边形就是平行四边形。 （4）平行四边形的基本元素：边、角、对角线。 例1、在ABCD中，EF∥AB，GH∥BC，EF、GH相交于点P，写出图中的 平行四边形。 A E D G P H B F C 考点二、平行四边形的性质 （1）边的性质：平行四边形的对边平行且相等。 （2）角的性质：平行四边形的邻角互补，对角相等。 （3）对角线性质：平行四边形的对角线互相平分。 例2、在ABCD中，∠A+∠C=160°，求∠A、∠B、∠C、∠D的度数。 A B C D
考点三、平行四边形的对角线的性质 （1）平行四边形的对角线互相平分。 例3、在 中，对角线AC 、BD 相交于O 点，若AC=14，BD=8，AB=10，则△OAB 的周长为_______。 练习题 一、感受理解 1．已知O 是 ABCD 的对角线交点，AC=10cm ，BD=18cm ，AD=?12cm ，?则△BOC?的周长是_______． 2．已知 ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，△AOB 的面积为2，那么平行四边形ABCD 的面积为_____． 3．已知平行四边形的两邻边之比为2：3，周长为20cm ，?则这个平行四边形的两条邻边长分别为___________． 4．平行四边形的周长为30，两邻边的差为5，则其较长边是________． 5．平行四边形具有，而一般四边形不具有的性质是（ ） A ．外角和等于360° B ．对角线互相平分 C ．内角和等于360° D ．有两条对角线 6.如图，□ABCD 中，EF 过对角线的交点O ，AB =4，AD =3，OF =1.3，则四边形BCEF 的周长为（ ） A.8.3 B.9.6 C.12.6 D.13.6 A O D C B
人教版数学八年级下册第十八章平行四边形平行四边形的性质与判定专题练习题1．在平面直角坐标系中，以O(0，0)，A(1，1)，B(3，0)为顶点，构造平行四边形，下列各 点中不能作为平行四边形顶点坐标的是() A．(－3，1) B．(4，1) C．(－2，1) D．(2，－1) 2．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点D在BC上，以AC为对角线的所有?ADCE中，DE最小的值是() A．2 B．3 C．4 D．5 3．如图，E是?ABCD内任意一点，若平行四边形的面积是6，则阴影部分的面积为____． 4．如图，?ABCD与?DCFE的周长相等，且∠BAD＝60°，∠F＝110°，则∠DAE的度数为_______． 5．如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，且AB＝AE. (1)求证：△ABC≌△EAD； (2)若AE平分∠DAB，∠EAC＝25°，求∠AED的度数． 6．如图，在?ABCD中，E是BC的中点，AE＝9，BD＝12，AD＝10. (1)求证：AE⊥BD； (2)求?ABCD的面积．
7 如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E. (1)求证：BE＝CD； (2)连接BF，若BF⊥AE，∠BEA＝60°，AB＝4，求?ABCD的面积 8. 如图，已知AB∥CD，BE⊥AD，垂足为点E，CF⊥AD，垂足为点F，并且AE＝DF. 求证：四边形BECF是平行四边形． 9. 如图，将一张直角三角形纸片ABC沿中位线DE剪开后，在平面上将△BDE绕着CB的中点D逆时针旋转180°，点E到了点E′的位置，则四边形ACE′E的形状是_____________． 10. 如图，已知点E，C在线段BF上，BE＝CE＝CF，AB∥DE，∠ACB＝∠F. (1)求证：△ABC≌△DEF；
平行四边形的判定说课稿 尊敬的各位评委，老师们： 大家好！我是来自，我今天说课的内容是人教版义务教育课程标准实验教科书八年级下册18.1.2平行四边形的判定第一课时。我将由教材分析，教学目标、教法、学法、教学过程、课堂评价这6个方面向大家介绍我的设计构思。 一、教材分析 四边形是我们生活与生产实践中应用广泛的图形，平行四边形作为四边形的重要研对象，对以后特殊四边形的学习有重大作用。本堂课是在学习了平行四边形的定义和性质定理的基础上，进一步探究平行四边形的判定定理。因此它的作用与地位体现在以下三个方面： 1、是平行线与全等三角形知识的应用与延伸。 2、对以后矩形、菱形、正方形、梯形等特殊四边形的判定学习奠定基础。 3、.对加强学生逻辑推理能力和思维的严密性有积极的意义。 本节课的重点在于探究平行四边形的两种判定定理。难点在于理解和灵活运用平行四边形的判定方法。为了更好的突出重点，突破难点，关键在于通过问题情境的设计，课堂实验研讨，引导学生发现，分析并解决问题。 学情分析 八年级下半学期，学生已经学习了初中阶段包括全等三角形的性质判定在内的绝大多数几何概念及定理。抽象思维能力、逻辑推理能力已经逐步形成，学生对新鲜的知识也充满了好奇心和强烈的求知欲望，而平行四边形的判定条件中，又有许多颇有思考价值的问题。因此由教师组织教学，让学生全开放自主探索平行四边行的判定定理，让学生的综合能力得到一次检验和再提升。 二、教学目标分析 《数学课程标准》中明确指出：义务教育阶段的数学课程，其基本出发点是促进学生全面、持续和谐的发展。学生在获得对数学理解的同时，在思维能力，情感态度与价值观等多方面得到进步与发展。基于此，我将这节课的教学目标制定如下： 1、知识与技能——掌握平行四边形判定定理，并会运用判定定理解决相关问题。 2、方法与过程——探索两种组成平行四边形的方法。由此发现平行四边形的判定，体验教学活动充满着探索性和挑战性。 3、情感态度价值观——经过自主探究与合作交流，敢于发表自己的观点，有团结协作和合作意识。 三、教法分析 在本堂课的教学中，我将主要采用两种教学方法： 1、引导启发——在本节课的教学中，教师所起的作用不再是一味“传授”，而是巧妙地创设问题情境，启发学生发现、解决问题，在学生思维受阻时给予适当引导。 2、激趣教学——学习本应是件快乐的事，为了让学生“乐”学，我将通过实验，抢答等游戏极大的激发学生的学习兴趣，提高学习的效率。 四、学法分析 在合理选择教法的同时，还应注重对学生学法的指导，本节课主要指导学生以下两种学法： 1、自主探究——本节课的两条判定定理都是通过学生的动手操作、观察、猜想、推理等活动得出的，使学生亲历了知识的发生、发展、形成的全过程，从而变被动接受为主动探究。 2、合作学习——教学中鼓励学生积极合作，充分交流，帮助学生在学习活动中获得最大的成功，促使学生学习方法的改变。 五、教学过程分析 为了更好的完成教学目标，我设计了以下教学流程： 流程1：复习定义性质，引发思考 首先给出一些平行四边形的图片和图形，让学生说出平行四边形的定义和性质定理，然后在纸上写出定义和性质的逆命题。 这样设计的目的在于复习前面的知识，为新课奠定基础，向学生说明定义既是平行四边形的性质也可以作为判定平行四边形的方法。提问：除了定义，同学们还想知道其他判定平行四边形的方法呢？这就是我们今天要学的“平行四边形的判定” 流程2：创设情境，引出新课 让学生用课前准备好的学具，完成活动1。 活动1的设计，是为了让学生动手操作，经历将两两相等的木条，作为对边得到平行四边形的过程，体验“发现”知识的快乐。 流程3：命题论证，得到判定 证明这一命题是个难点，首先指导学生根据命题画出几何图形，写出已知求证。证明过程采用学生先独立思考。小组合作，再由教师引导，把证明平行四边形的问题逐步转化为证明线平行——角相等——三角形全等的问题。突破难点，体现划归的思想。 流程4：引发猜想，得到命题 让学生继续动手，完成活动2.。得出命题2：对角线互相平行的四边形是平行四边形。在此活动中，教师应重点
一、平行四边形知识结构及要点小结 平行四边形定义：有两组对边分别平行的四边开形是平行四边形。性质：1、平行四边形的两组对边分别平行。 2、平行四边形的两组对边分别相等 3、平行四边形的两组对角分别相等 4、平行四边形的两条对角线互相平分。 判定方法：1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 3、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 4、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。 5、两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线。 定理；三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。 二、解题方法及技巧小结： 证明线段相等或角相等的问题用过去所学的全等知识也可完成，但相对比而言，应用平行四边形的性质求证较为简单。另外平行四边形对角线是很重要的基本图形，应用它的性质解题可开辟新的途径。
特殊的平行四边形知识结构及要点小结 矩形：定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 性质：1、具有平行四边形的所有性质。 2、矩形有四个角都是直角。 3、矩形有对角线相等。 4、矩形是轴对称图形，有两条对称轴。 判定方法：1、定义 2、对角线相等的平行四边形是矩形。 3、有三个角是直角的四边形是矩形。 菱形：定义：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形。 性质；1、具有平行四边形所有性质。 2、菱形有四条边都相等。 3、菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 4、菱形是轴对称图形。 判定方法：1、定义 2、对角线互相垂直的平行四边形 3、四边相等的四边形 正方形：定义；一组邻边相等的矩形 性质：具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质 判定：1、定义 2、有一个内角是直角的菱形 3、对角线相等的菱形 4、对角线互相垂直的矩形 解题方法及技巧小结 菱形、矩形、正方形都是特殊的平行四边形。它们的性质既有区别又有联系，它们的判定方法虽然不同，但有许多相似之处，因此要用类比的思想，将学到的知识总结出相关规律。
平行四边形的性质和判定 讲义1.已知平行四边形的周长是100cm ，AB :BC =4:1，则AB 的长是_____． 讲义5.平行四边形ABCD 的周长32，5AB =3BC ，则对角线AC 的取值范围为_______ 讲义2.已知平行四边形的面积是144，相邻两边上的高分别为8和9，则它的周长是______．作业4.在平行四边形ABCD 中，AB =3，BC ＝5，∠B 的平分线BE 交AD 于点E ，则DE 的长为． 作业5.平行四边形ABCD 的周长为22，两条对角线相交于O ，△AOB 的周长比△BOC 的周长大5，则AD 的边长为． 讲义3.在平行四边形ABCD 中，∠A :∠B =3:2，则∠C =_____度，∠D =___度． 讲义7.在平行四边形ABCD 中，∠B -∠A =20°，则∠D 的度数是_______ 讲义8.由等腰三角形底边上任一点(端点除外)作两腰的平行线，则所成的平行四边形的周长 等于等腰三角形的( )A ．周长 B ．一腰的长 C ．周长的一半 D ．两腰的和 讲义10.以长为5cm ，4cm ，7cm 的三条线段中的的两条为边，另一条为对角线画平行四 边形，可以画出形状不同的平行四边形的个数是( ) A.1B ．2C ．3D ．4讲义14.如图，平行四边形ABCD 中，AE =CG ，DH =BF ，连结E ，F ，G ，H ，E ，则四边形 EFGH 是_____．H G F E D C B A 讲义15.如图，平行四边形ABCD 中，E ，F 是对角线AC 上的两点，且AE =CF ，连结B ，F ， D ， E ，B 则四边形BED F 是___________． G F E D C B A
平行四边形的判定 1．能判定一个四边形是平行四边形的条件是( )． (A)一组对边平行，另一组对边相等 (B)一组对边平行，一组对角互补 (C)一组对角相等，一组邻角互补 (D)一组对角相等，另一组对角互补 2．能判定四边形ABCD 是平行四边形的题设是( )． (A)AD ＝BC ，AB ∥CD (B)∠A ＝∠B ，∠C ＝∠D (C)AB ＝BC ，AD ＝DC (D)AB ∥CD ，CD ＝AB 3．能判定四边形ABCD 是平行四边形的条件是：∠A ∶∠B ∶∠C ∶∠D 的值为( )． (A)1∶2∶3∶4 (B)1∶4∶2∶3 (C)1∶2∶2∶1 (D)1∶2∶1∶2 4．如图，E 、F 分别是□ABCD 的边AB 、CD 的中点，则图中平行四边形的个数共有( )． (A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)5个 5、已知：四边形ABCD 中，AD ∥BC ，要使四边形ABCD 为平行四边形， 需要增加条件 .（只需填上一个你认为正确的即可）. 6、已知四边形边长依次为bd ac d c b a d c b a 22,,,,2 2 2 2 +=+++且，则四边形为 。 7、(1)三角形的中位线的定义：连结三角形两边____________叫做三角形的中位线． (2)三角形的中位线定理是三角形的中位线____________第三边，并且等于____________ 8、已知：三角形的各边分别为8cm 、10cm 和12cm ，求连结各边中点所成三角形的周长___ 9、如图，△ABC 的周长为64，E 、F 、G 分别为AB 、AC 、BC 的中点，A ′、B ′、C ′ 分别为EF 、EG 、GF 的中点，△A ′B ′C ′的周长为_________．如果△ABC 、△EFG 、△A ′B ′C ′分别为第1个、第2个、第3个三角形，按照上述方法继续作三角形，那么第n 个三角形的周长是__________________． 10、已知：如图所示，在ABCD 中，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，求证四边形AECF 是平行四边形. 11、如图所示，BD 是ABCD 的对角线，AE ⊥BD 于E ，CF ⊥BD 于F ，求证：四边形AECF 为平行四边形.
平行四边形 一、选择题 1、如图，在□ABCD 中，E 是AD 边上的中点．若∠ABE=∠EBC ，AB=2，则平行四边形ABCD 的周长是 ． G F E D C B A 1题图 2题图 3题图 2、如图，在□ABCD 中，分别以AB 、AD 为边向外作等边△ABE 、△ADF ，延长CB 交AE 于点G ，点G 在点A 、E 之间，连结CG 、CF ，则以下四个结论一定正确的是（ ） ①△CDF ≌△EBC ②∠CDF ＝∠EAF ③△ECF 是等边三角形 ④CG ⊥AE A ．只有①② B ．只有①②③ C ．只有③④ D ．①②③④ 3、如图，在□ABCD 中，AB=6，AD=9，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于点F ， BG ⊥AE ，垂足为G ，BG=24，则ΔCEF 的周长为（ ） A.8 B.9.5 C.10 D.11.5 4、如图，在□ABCD 中，AC 平分∠DAB ，AB = 3， 则□ABCD 的周长为 A ．6 B ．9 C ．12 D ． 15 4题图 5题图 6题图 5、如图，四边形ABCD 的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是（ ） A ．AB CD = B ．AD B C = C ．AB BC = D ．AC BD = 6、如图，在□ABCD 中，E 是BC 的中点，且∠AEC=∠DCE ，则下列结论不正确．．． 的是 A .S △ADF =2S △EBF B .BF= 2 1 DF C .四边形AECD 是等腰梯形 D . ∠AEC=∠ADC 7、已知四边形ABCD ，有以下四个条件：①//AB CD ；②A B C D =；③//BC AD ；④B C A D =．从 这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD 成为平行四边形的选法种数共有（ ） （A ）6种 （B ）5种 （C ）4种 （D ）3种 8、点A 、B 、C 是平面内不在同一条直线上的三点，点D 是平面内任意一点，若A 、B 、C 、D 四点恰能 构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点D 有 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 9、下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（ ）. A B C D