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行列式在初等数学中的应用

行列式在初等数学中的应用
行列式在初等数学中的应用

行列式在初等数学中的应用

[摘要] 行列式是线性代数的一个基本的内容,它是依赖于变元排列位置的一种特殊的代数式.在初等数学中应用它,可以沟通代数和几何间的联系,从数形结合方面又开辟了新的思考途径.主要应用于解线性方程组和研究有关矩阵问题然而,在教学中教师一般仅作为上述内容的介绍,这对于培养学生的分析问题和解决问题的能力,培养学生的创造性思维,提高学生的数学素养只局限于这些内容就显得有些不足.而本文出于此种目的,利用行列式的性质与计算方法的技巧可以较为容易地解决初等数学中的一些较繁与较难解决的问题,如运用行列式分解因式,证明等式与不等式,以及在几何方面的应用,从而体现用高等数学理论与方法解决初等数学问题的优越性,挖掘行列式在初等数学解题中的一些有效应用.

[关键词] 行列式分解因式不等式几何应用

The determinant role in elementary mathematics

[Abstract]The determinant in mathematics, is a kind of formula produced by solving linear equations, is the important tool of solving math problems. By using the properties of determinant and the calculation methods of skills can be easy to solve some of the elementary mathematics a more complex and more difficult to solve the problems, such as using the determinant factorization, prove equality and inequality, as well as the application in geometry, which reflected in higher mathematics theory and method of the advantages of solving the problem of elementary mathematics. Elementary mathematics, the author of this paper some of the complex difficult problem, through some properties of determinant and computational techniques to change numerous for brief, through specific examples show the method is simple and artifice. Let the reader can fully experience the advantages of dealing with elementary mathematics methods in the higher mathematics. Grasp the elementary knowledge of determinant for open mathematics view, the exercise of mathematical thinking ability is of great help.

[Key Words]The determinant Factorization inequality Geometry application

1 引言 (1)

1.1选题依据及意义 (1)

1.2研究的背景 (2)

1.3 研究的方法 (3)

2 对行列式的认识 (3)

2.1 行列式的历史 (3)

2.2 行列式的概念和性质 (5)

2.3 行列式的应用 (8)

3 行列式在初等数学中的一些应用 (10)

3.1应用行列式判定二元二次多项式的可分解性 (10)

3.2用行列式分解因式 (11)

3.3用行列式证明等式 (13)

3.4利用行列式证明不等式 (14)

3.5.行列式在几何中的应用 (15)

结论 (19)

致谢语 (19)

[参考文献] (21)

1.1选题依据及意义

初等数学的研究作为师范院校数学教育专业的必修课程已有50多年的历史,它是在学生掌握初等数学知识和一定的高等代数理论知识的基础上,继心理学,教育学之后开设的,里面涉及到很多基本的数学思想和问题,比如等式的证明,因式的分解,二元二次方程的可分解性等等,如何找到更好的突破口,更易于解决初等数学的问题,成为当下我们迫在眉睫的焦点,而行列式的出现,无疑为初等数学和高等数学之间桥梁的构建起到很重要的作用.行列式的地位和作用是举足轻重的,不可忽视的.

进入21世纪以后,为了进一步实施素质教育,我国基础教育掀起了新一轮的以课程改革为核心的教育改革.随着中学数学新课程的实施和不断深入,行列式在中学数学中的渗透、应用越来越受关注,能够巧妙地解决中学数学中的若干棘手问题,凸显了用高等数学理论与方法解决初等数学问题的优越性.行列式不仅是线性代数的核心和基础,它也是线性代数理论中极其重要的组成部分[1].另外,它对某些数学问题的解决也有一定的帮助.

行列式是高等代数中的一个重要内容,它不仅可以用来求解通过定点的曲线方程与曲面方程,以及线性方程组,还能够证明恒等式和La-grange中值定理等[2].然而行列式作为代数中线性代数的重要分支,还是高等代数重要的一个工具.行列式的理论和方法,是研究现代科学技术的重要方法,在众多的科学技术领域中应用都十分广泛.

行列式最早出现在16世纪关于线性方程组的求解问题中,时至今日行列式理论的应用却远不如此.它在消元法,矩阵法,坐标变换,多重积分中的变量交替,解行星运动的微分方程组,将二次型及二次约束化简为标准型等诸多的问题中都有广泛的应用[3],然而这些应用最终都离不开行列式的计算,它是行列式理论中的一个重要问题,因此本文特将行列式的计算方法加以归纳总结,更好的应用行列式去解决一些问题.

为此本文提供一些关于行列式在初等数学中应用的研究,以解决我们在初等数学碰到的一些棘手的问题,从而体现行列式这一强大的数学工具.

1.2研究的背景

行列式理论活跃在数学的各个分支,同时也是现代物理及其他一些科学技术领域中不可缺少的工具.作为近世线性代数的一个基本分支,行列式理论却有着悠久的历史.而真正现代意义上的行列式理论始于19世纪.柯西是这个时期的代表人物,他给出了行列式的第一个系统的、几乎是近代的处理.在前辈们的基础上作出了大胆的创新,包括行列式乘法定理的建立、双重足标记法的引进以及现代意义的“行列式”名词的创用等.然而行列式理论在日本的产生和发展也是相当吸引人关注的,日本数学家们创造看我们今天所得的范得蒙展开法,并对拉普拉斯展开法进行了修订和完善.错误!未找到引用源。

自从德国数学家莱布尼茨和日本数学家关孝和发明了行列式后,瑞士数学家克莱姆对行列式的定义和展开法则给出了比较完整,明确的阐述,并给出解线性方程组的克莱曼法则,为了解决二元一次线性方程组和三元一次线性方程组的解的问题,通过加减消元法和代入消元法,推出未知量的解的一般公式,引入行列式作为符号加以表达,再进一步思考“能否像二阶,三阶行列式那样定义n阶行列式”这一问题,由此产生n阶行列式的概念.线性代数是以解线性方程组为背景而产生的数学分支,行列式是其中的最基本的概念,也是最基本的工具.然而行列式在中国的传播是非常广泛的,应用相当普遍[4].

行列式在各种工程技术领域中有着广泛的应用,是一种不可缺少的运算工具.它又是研究线性方程组,矩阵,特征多项式等问题的基础,熟练掌握行列式的计算式非常必要的.

线性代数是研究线性问题的一门学科,它可以引导学生进入命题性和公理化的数学领域,对培养学生的科学思维能力有重要作用.行列式是解决线性方程组的一个基本的重要工具.猜想是数学发展的动力,它不但促进了数学理论的发展,而且促进了数学方法论的研究.

行列式还是《工程数学》中一个很重要的章节,其中有以行列式的计算最为重要.行列式的计算方法很多,通常可以分为以下几种:1、三角形法、2、降阶法、3、拆分法、4、定义法、5、加边法、6、归纳法等,这些方法体现行列式这一数学工具的强大,而且行列式的应用非常广泛[5].错误!未找到引用源。

目前,在工科院校的教学中,对于行列式的教学一般按照教材的安排进行.比如行

列式的概念,一般是从解二元线性方程组引入二阶行列式,类似引入三阶行列式,再从排列的角度出发给出,让人感觉就是:为了表示二元线性方程组的解而学习二阶行列式,n阶行列式的概念,再比如讲解克拉姆法则时[6],教材中是给出一个含有n个未知量n个方程的线性方程组,进而推导出n阶行列式.

行列式的产生和的应用都是出现在解线性方程组中,不过它现在的应用范围已较为广泛,成为许多学科相当重要的工具.然而本论文主要着手研究行列式在初等数学中的应用.它究竟有哪些应用,怎么样去解决问题.这是非常值得关注的,为此,本文将从一些数学问题出发,运用行列式这一工具一一解决.

1.3 研究的方法

本文主要从初等数学常见的一些问题出发,然后运用行列式加以解决.常见的相关问题是:等式证明,因式分解,二元二次多项式可分解性的判断,数列通项公式的求法,三角恒等式的证明,参数方程化为普通方程,椭圆内接n多边形面积最大值的求法,等等.行列式的应用有很多,当然是不可能介绍的非常多,面面俱到的,同时随着论文的深入,我在本论文中也给出几个行列式应用的新的探讨.

2 对行列式的认识

2.1 行列式的历史

行列式诞生于17世纪,那是数学史上一个独特而重要的时期.活跃在这一时期的数学家莱布尼茨首先研究了行列式.而几位18世纪的大数学家克莱姆、马克劳林、贝祖等也都对行列式提出了自己的解释,作出了应有的贡献.而莱布尼茨是西方公认的第一个研究行列式的数学家,他真正给出了行列式思想.综观历史,虽说他的工作对行列式的继续研究没有带来一定的的影响,但是他的工作充分体现了他的数学思想和研究方法.这一点对后人的影响是非常重要的.紧随其后出现的是马克劳林,他在代数方面的成绩也是非常显著的,尤其是在1748年《代数论著》中,最初开创了用行列式的方法来求解含二个、三个和四个未知量的联立线性方程组.并且取得了非常不错的效果.早在布莱

尼次的所谓的“Cramer’s Rule”发表之前,马克劳林手稿的内容在他的学生中早已广泛传播.他比莱布尼茨更形象地利用行列式的方法来求解线性方程组,可以说马克劳林为行列式的理论的早期发展迈出了可贵的一步[7].

瑞士数学家克莱姆以著名的“Cramer’s Rule”而闻名于世,“Cramer’s Rule”其实是用系数行列式来确定线性代数方程组解的一种表达方式.给出这个法则更全面更完整的是克莱姆.克莱姆是独立发现行列式基础思想的数学家之一,并且是欧洲第一个发表该主题的数学家,他得出的法则在理论上来说是一个非常漂亮的结果.

法国数学家贝祖是最先认识到行列式价值的数学家之一.贝祖对求齐次线性方程组的“结式”很有自己的一套方法,不同于莱布尼茨和克莱姆的见解.前面两人的方法告诉我们,不管以什么样得方式找出所有的置换,然后在按照一定的规则来确定每一项的符号.贝祖的方法却不同,他在确定所有项的同时给出了各项所带来的符号,真是一举两得.贝祖对行列式理论的贡献主要体现在他给出了行列式的一个循环构造规律,且不同于莱布尼茨、克莱姆的方法,给出了项的构成规则和符号确定规则.他的成就对后来行列式理论的奠基和发展起着非常重要的作用.

进入十九世纪,行列式进一步得到深入的发展,从某种意义上来说,行列式的系统化以及行列式的现在表示是在这个世纪完成的.高斯是数学史上一个转折时期的杰出代表人物,起着承上启下的作用.他从数论方法的角度出发去研究“行列式”.在他的论述中既没有行列式的概念,也没有名字,更没有现在意义下清楚的解释或使用的方法.但缺随时隐藏在计算的方法中.

现代意义上的行列式研究始于19世纪,在这个时期,行列式的理论受到数学家格外的重视,柯西是其中最杰出的代表人物.他对行列式的贡献有许多,值得注意的是,虽然行列式的定义在前辈们的工作中都以不同的方式出现,但是都没能形成一个比较完整的文字叙述,而柯西给出的定义几乎等同于近代行列式的定义.柯西在行列式的应用方面也取得了一定的成就,在1815年研究波的传播的文章中欧冠,应用行列式语言解决具体的几何和物理问题.

在19世纪,行列式理论取得了飞速的发展,除了柯西、高斯、凯莱和西尔维斯特外,还有许多数学大师都投入了极大的热情,也都对行列式理论作出了一定的贡献.比如舒尔克在他的《数学论文》中给出了行列式的几个新的性质.他建立了只有一行(或列)不同的两个行列式相加的规则和一常数乘行列式的规则.雅可比的成就使行列式理论在数学界变为众所周知.行列式理论的算法也得益于他.雅

可比不仅系统地研究了行列式理论,还推广了代数行列式的应用,给出了函数行列式的求导公式,引进了“雅可比行列式”,并将其应用到函数组的相关性、多重积分的变量变换和偏微分方程的研究中.

大约在1864年,数学大师魏尔斯特拉斯在他的讨论班的讲稿中把一种新的、拟公理化的方法用在行列式上,即1903年出版的遗著“ondeterminanttheory”.其中他把行列式作为一个具有赋范线性、齐次特征的函数引进.因此说现代行列式的定义可以追溯到魏尔斯特拉斯.德国数学家克罗内克,在代数学、数论、圆函数论等方面有突出成就,更为可贵的是他试图从算术这个基础出发来建立整的数学体系的努力.他不仅对算法的研究特别感兴趣,而且对算法内在相容的问题也感兴趣.他关于行列式理论的讲稿见1903年的遗著.他虽然没有象尔斯特拉斯那样,用满足三个特点的函数来定义行列式,但是他把行列式作为的线性方程理论的一个主要结果来对待,他的这一方法对行列式理论的建立和展起到了深刻的影响.

整个19世纪都得到行列式理论的新结果.在19世纪中叶,除出现一般行列

式的大量定理之外,还不断发现一些特殊行列式的其它定理.十九世纪是行列式理论的突破时期与收获季节.行列式丰富的内容、完善的体系不仅为矩阵理论的产生提供了源源不断的理论基础,而且也为行列式理论在物理及其他科学领域的应用提供了不可代替的工具.

在欧洲,行列式的概念是由莱布尼兹最早提出来的,出现在1693年他写给洛必达的信中,对此,前面己有详细介绍.事实上,日本关于行列式的研究要早于欧洲,日本著名的“算圣”关孝和写于1683年的著作《解伏题之法》中就提出了行列式的概念及算法,从时间上推算,日本的研究比欧洲的此类研究至少要早上十年.与莱布尼兹不同的是,关孝和不是从线性方程组的求解入手而是从高次方程组消元法入手对这一概念进行阐述的.尽管二者的处理方式不同,但最终得到的结果却相同,可谓殊途同归.历史上,这种情况并不罕见,所以说,行列式的发明应归功于莱布尼兹和关孝和两位数学家,他们各自在不同的地域以不同的方式提出了这个概念[8].

2.2 行列式的概念和性质

2.2.1 行列式的概念

行列式概念最早出现在解线性方程组的过程中,那么我们就以线性方程组作为引入行列式概念的一个桥梁.因为行列式是讨论线性方程组的一个有力工具.

请看线性方程组的一般形式是:

11112211211222221122,,.

n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=??+++=????+++=?

其中12,,

,.n x x x 代表未知量,()1,2,

,;1,2,

,.ij a i m j n ==代表未知量的系数,

12,,,.m b b b 代表常数项.

我们都知道,可以用二阶行列式和三阶行列式分别来解两个未知量两个方程和含有

三个未知量三个方程的线性方程组,形如二阶行列式:

11

12

112212212122

.a a a a a a a a =-

类似的三阶行列式:

33

32

31

2322

21

131211

a a a a a a a a a .322311332112312213322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++= 面对n 个未知量n 个方程的线性方程组.我们可以根据这个规律,来定义n 阶行列式.

任意取2n 个数()1,2,

;1,2,

,.ij a i n j n ==排成以下形式:

11121

2122

2

12

n n n n nn

a a

a a a a a a

a (1)

考察()1的不同的行与不同的列上的n 个元素的乘积,这种乘积可以写成下面的形

式:

12

12.n j j nj a a a (2)

这里下标1,2,

,.n j j j 是1,2,

,.n 这n 个数码的一个排列,

反过来,给了n 个数码的任意一个排列,我们也能得出这样的一个乘积.因此,一切位于()1的不同的行与不同的列上的n 个元素的乘积一共有!n 个[9].

我们用符号()12

.n j j j π表示排列12

n j j j 的反序数

这时我们可以大致这样严格定义: 用符号:

11

121212221

2

.

n n n n nn

a a a a a a a a a

表示的n 阶行列式指的是!n 项的代数和,这些项是一切可能的取自()1的不同的行与不同的列上的n 个元素的乘积1212.n j j nj a a a 项12

12.n j j nj a a a 的符号为()

()

121n j j j π-,也就

是说,当12.

n j j j 是偶排列时,这一项的符号是正的,当12

.

n j j j 是奇排列时,这一项的符

号就为负[10].

一个n 阶行列式就是前面所说的二阶和三阶行列式的推广,特别地,当1n =时,一阶行列式就是数a .

2.2.2 行列式的性质

性质1:行列式与它的转置行列式相等.

证:使用数用归纳法,对于二阶行列式性质1显然成立,假设对于n-1阶行列式性质1成立,把n 阶行列式D按第一行展开,依据归纳法假设可得

()()11''11111

1

=11.j

j

n

n

j j j j j j D a M a M D ++==-=-=∑∑

右端恰为D '按第一列的展开式.

性质2: 交换行列式行(列), 行列式不变,即:

111211211121222222121

2

2

1

.

n n n n n n nn

n n nn a a a a a a a a a a a a a a a a a a =

性质3: 把行列式D 的某一行(列) 的所有元素乘以数k 加到另一行( 列)的相应元素上, 所得的行列式的值不变,即:

11121121111121

1222

12222121

2

2

1

.

n n n n

n n n nn

n n nn a a a a a a ka a ka a ka a a a a a a a a a a +++=

性质4:一行的公因子可以提出来(或以一数乘行列式的一行就相当于用这个数乘此行列式),即:

111211211121222222121

2

2

1

.

n n n n n n nn

n n nn ka ka ka a a a a a a a a a k

a a a a a a

=

性质5:若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和,

11

111

1

.

n i i in in

n nn

a a D a a a a a a ''=++

那么D 等于下列两个行列式之和

11

111

11

11

1

.n

n i in i in n nn

n nn a a a a D a a a a a a a a ''=+ 性质6:如果行列式中两行成比例.那么行列式为零,即:

11

1211112111121111211

2

1

2

0.n n n n n n nn

n n nn

a a a a a a ka ka ka a a a k

a a a a a a ==

性质7:行列式任一行(列)各元素与另一行(列)对应元素的代数余子式乘积之

和等于零,即

11220

().i j i j in jn a A a A a A i j +++=≠

或 11220

().i j i j ni nj a A a A a A i j ++

+=≠

2.3 行列式的应用

行列式虽然表面上看只是一种代数工具,但实际上,它的起源不仅与线性方程组的求解息息相关,同时还涉及到数论、方程论、函数论乃至几何学,其应用更是渗透到数学的各个领域以及物理学等其他自然科学领域.

近期的一些论文综述行列式的应用列举不少,比如东北工学院的刘鸽然的论文中有明确的讲到用行列式求周转率系数效率.他提出了求周转轮系效率的新方法,找出了周转轮系正反向运转效率之间的联系,解决了用相应的行星轮系效率表示差动轮系效率的问题!这是相当出彩的地方,他有效地将线性代数中行列式这一工具和物理紧密的联系起来,并且发现了新的探究之路[11].然后本论文主要讲的的是行列式在初等数学方面的应用.而我想说的是行列式是完全可以应用在物理方面的,在初等数学方面的应用就是往下我要重点提到的.

行列式不仅仅只作为一个解决数学的工具和手段,而且在数学的其他分支中的应用也非常广泛.尤其是在几何学中的应用不出不在,例如1990年第三期中,来自楚雄师专学报的山玉林,他列举了行列式在几何学中的一些应用,比如求高次方程的公共解,对二次曲线和二次曲面的分类,以及在数学分析中多重积分的变换等都有行列式的应用,并且在结论的表示上也显得非常简洁、完整[12].

其实行列式在初等数学中的应用只是它的小小的一部分,本论文是完全没有办法将行列式所有的应用方方面面一一罗列的,行列式在作为高等代数的内容,它在高等代数中有没有应用呢?答案是非常肯定的.大家知道行列式和矩阵是非常有关联的,比如广义行列式在矩阵求逆中的应用,2005年忻州师范学院学报中,来自忻州师范学院的曹啸, 王立志的论文中有提到,文章主要讨论了广义行列式在矩阵求逆中的应用,并得到了一类矩阵单侧可逆的必要条件[13].

十七世纪晚期,关孝和与莱布尼茨的著作中已经使用行列式来确定线性方程组解的个数以及形式.十八世纪开始,行列式开始作为独立的数学概念被研究.十九世纪以后,行列式理论进一步得到发展和完善.矩阵概念的引入使得更多有关行

列式的性质被发现,行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用,出现了线性自同态和向量组的行列式的定义.无论是在线性代数、多项式理论,还是在微积分学中(比如说换元积分法中),行列式作为基本的数学工具,都有着重要的应用[14].

行列式所涉及的自然科学领域是非常广泛的,我们也坚信利用这一工具能解决的问题越来越多,那么将会推动我们的科学技术的稳定发展,给人们的数学学习中的有关研究工作带来意想不到的便利.科学的进步和发展是无止境的,那么行列式的应用的研究当然更大程度得到重视.本着严谨的科学精神,本论文在后面的章节中着重讲解行列式在初等数学中的应用.

3 行列式在初等数学中的一些应用

3.1应用行列式判定二元二次多项式的可分解性

实系数二元二次多项式22Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++在复数域内是否可以分解因式,是初等代数学的一个重要问题.它不仅关系到因式分解,而且关系到:方程

220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示曲线的类型及解二元二次方程;能简单明了地判定二元二次多项式的可分解性;可排除解决这一问题的盲目性[15].错误!未找到引用源。

我们首先证明:对于实系数二元二次多项式22Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++在复数范

围内可分解的充要条件是:2202A B D

B C E D E F

=.

证明:22Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++ 可以分解成两个一次因式的充要条件是x 的二次三项式()22Ax By D x Cy Ey F +++++的判别式是一个完全平方式,即

()

()2

24By D A Cy Ey F +-++是完全平方式.而

()

()()()()2

222222

2

2

424444244.

By D A Cy Ey F B y BDy D ACy AEy AF B

AC y BD AE y D AF +-++=++---=

-+-+-

上式是完全平方式的充要条件是它的判别等于O,即: ()()()2

22244440.BD AE B AC D AF ----=

展开整理,即:22240.ACF BDE AE B F CD +---=即:

220.2A B D B C E D

E

F

= 即可证明对于实系数二元二次多项式22Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++在复数范围内可

分解的充要条件是:2202A B D

B C E D E F

=.错误!未找到引用源。

例1:如果要使方程222240.x y ax xy a ay -++--=表示两条直线,则a 应取何值? 解:若要使方程222240.x y ax xy a ay -++--=错误!未找到引用源。表示两条直线,只须使多项式22224.x y ax xy a ay -++--错误!未找到引用源。可分解为两个二元一次因式之积,即只须使:

2

1

1440.44a

a a a a

--=--

即:236360a a -=,即0a =或错误!未找到引用源。.

3.2用行列式分解因式

由行列式的定义,

1112

112212212122

a a a a a a a a =-. 由此启发, 我们可以把一个代数式F

看成两个式子的差,而每个式子又可以表成两个因式的乘积, 即

F MN PQ =-(),,,M N P Q 均为代数式, 于是M P

F Q N

=

.由此即可根据行列式的性质, 对某些多项式进行因式分解.[16] 例2: 分解因式43262440.x x x x ++--

解:

()()()

()()()()()()

432222222

2

2

22

2624406146561

4614614465

44

1

14652215x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

x x x x x x ++--=++-+++++++=

=-+----++=-+++

因为有三阶循环行列式,

于是当多项式 F 具有3333A B C ABC ++-错误!未找到引用源。的形式时, F 就可以表成循环行列式, 这时我们就可以运用行列式的性质对多项式F 进行因式分解. 例 3: 将33927.x y xy +-+分解因式.

解:()()()223

3

3

333339.3

11

1

x

y x

y x y x y x y x y x y xy x y y

x =++=+++---+ 由Laplace 定理, 三阶行列式

()()()1

2

3

12312323213133121212

3

.A A A B B B A B C C B A B C C B A B C C B C C C =-+-+- 于是当一个多项式F 具有右端形式, 那么F 可以表成一个三阶行列式, 然后就可以利用行列式的性质对多项式F 进行因式分解[16]. 例4 :分解因式222222.xy yz zx xz yx zy ++---

解: 原式222222()()()x y z y z x z x y =-+-+-,

2

2

21

11x

y

z x y z =,

()()().x y y z z x =---

利用行列式分解因式的关键是将所给多项式写成行列式的形式,并注意行列式的排列规则.

因式分解作为初等数学中最重要的恒等变形之一,被广泛的应用于初等数学的各个方面,因式分解,是指把一个多项式化为几个最简整式的形式,也可以称为分解因式.它是初等数学中的重点,也是一个难点,但是它也是初等数学中最重要的恒等变形之一,而被广泛引用于初等数学解高次方程、求根、作图等各个方面,是我们解决初等数学问

题的有力工具之一.

但因式分解方法灵活、技巧性强,常用的方法就有提公因式法、运用公式法、凑数法、十字相乘法、待定系数法等好几种方法,它们都各自适用于一些符合各自特点的多项式.

行列式在数学中,是由解线性方程组产生的一种算式,它无论在线性代数、多项式理论,还是在微积分学中(比如在换元积分法中),行列式作为基本的数学工具,都有着非常重要的作用.线性代数是高等代数的一大分支,我们知道一次方程叫做线性方程,而讨论线性方程及线性运算的代数叫做线性代数,在线性代数中最重要的内容就是行列式和矩阵[17].

3.3用行列式证明等式

利用行列式证明等式与不等式的方法是对同一行列式用两种不同的计算方法, 利用其结果相等而得到等式的证明.

例5:求证:(){}()()()2

2

2

cos cos cos 2cos cos cos 1.αβαβαβαβ+++-+=

证明:

设 β

α

βαα

βαβ

cos cos 1

)cos(1

cos 1)cos(cos ++=D {}2

22

2cos cos cos()cos cos()(cos )(cos ) 1.αβαβαβαβ=+-+--+

又因为:

()

()

2

2

10

sin sin sin 0.0sin sin sin D ααβαβ

β=-=-

故(){}()()()2

2

2

cos cos cos 2cos cos cos 1.αβαβαβαβ+++-+= 例6: 已知0x y z ++=, 求证3333.x y z xyz ++= 证:令3333.D x y z xyz =++-则

0.000

x y z x y z x y z

D y

z x y z x y z x z

x

y x y z x y z

x y z ====++++++ 即3333.x y z xyz ++=

例7:已知ABC ?中,三内角分别为,,.A B C 试证:

cos 2cos 2cos 24cosAcosBcosC 10.A B C ++++=

证明:由射影定理得:

cos cos cosA cosC cosB cosA.

a b C c B

b c a c a b =+=+=+

其中,,a b c 分别表示,,A B C 所对应的边.

把,,a b c 看作未知数,cos ,cos ,cos A B C 看作,,a b c 的系数,则上述三式可以看成三元齐次线性方程组:

+cos cos 0+a cos cosA 0

+cosA cos 0.a b C c B b C c c b a B -+=??

-+=??-+=?

因为上述方程组有解且,,c a b 均不为零,故系数行列式必为零:即

1

cos cosB

cos 1cos 0.cos cos 1

C

C

A B A --=- 即()()()222

cos cos cos 2cosA cosBcosC 1.A B C +++=错误!未找到引用源。 由二倍角公式得:

cos 2cos 2cos 24cosAcosBcosC 10.A B C ++++=

3.4利用行列式证明不等式

例8:请证明,11,,1,2,

.a b R i n ∈=

()()()2

2222

1

1110.n n n n a

a b b a b a b +

+++-+

+≥

证明:

()21111

11

21

1.n

n

i

i i

n

n n n i i i

i

i j

i j i j i j n

n

i j i j j j j j

j

j j a

a b

a b D a b a b a b b a a b a b

b

=========

==-∑∑∑∑∑∑∑∑ ()2111

1

11

211

.n

n j

i i

n n

n n

j i j i j i

j i i j i j n

n

j j i j j

i

j j

i

j i a

a b

a b D a b a b a b b a a b a b b

=========

==--∑∑∑∑∑∑∑∑

因此,有()2

111

20.n n

i j j i j D a b b a ===-≥∑∑

错误!未找到引用源。即命题得证.

随着新课程的开展,高等数学的思想方法在高中数学中渗透越来越深.行列式作为高等代数中的一个重要理论与重要工具,从更高的角度研究高中数学中的问题,将使学生从中学的解题思维定式中解放出来,用更广阔的眼光看中学数学问题. 不等式是高中学习的重点内容,但因为其需要较强的理解力,转化过程较为灵活,使学生掌握起来较为复杂.引入行列式能较好的解决这一问题,行列式以其独特的性质以及转化时的轻松转换,使等式与不等式的证明更为简单易懂[18].

3.5.行列式在几何中的应用

在解析几何的学习过程中,常会遇到这样一些问题: 求通过定点的曲线方程、求平面上的三点是否共线、求平面上不同三点所围成的三角形的面积、求曲线方程, 等等.这些问题如果只是运用几何学的知识加以解答,那么计算量比较大, 且化简繁琐. 如果借助于代数中的行列式, 就能简化解决问题的过程. 3.5.1定理及其证明

定理 1: 以平面内三点()()()112233,,B ,,C ,.A x y x y x y 为顶点的ABC ?的面积为

112

23

31

1121

x y S x y x y =的绝对值. 证明:在XOY 平面内, 已知点()()(),,B ,,C ,.a a b b c c A x y x y x y 构成一个三角形, 求

ABC ? 的面积.

首先, 自,,A B C 各作X 轴的垂线,,AD BE CF ,则有:

D EBC BEFC AD FC ABC S S S S 梯形梯形梯形-+=?

{}1

()()()2BE FC EF FC DA FD EB DA ED =

+++-+,

[]1

()()()()()()2b c c b c a a c a b a b y y x x y y x x y y x x =+-++--+-,

[]1

()()()2

b a a b

c a a c c b b c x y x y x y x y x y x y =-----,

.

12b b c

c c

c a

a a a b

b y x y x y x y x y x y x ??=

-+???? 错误!未找到引用源。而最后一个表达式恰好是一个三阶行列式的展开式,也就是说,

112

23

3.

11121ABC

x y S x y x y ?= 的绝对值.

上式是以行列式表示的三角形面积公式.

定理2:通过两点()()1122,,,.A x y B x y 错误!未找到引用源。的直线方程为

112

21

10.1

x y

x y x y = 错误!未找到引用源。证明:已知两点错误!未找到引用源。 要求过两个点的直线方程, 只须在此直线上设有一动点()33,C x y ,因为错误!未找到引用源。三点在同一条直线上,利用本文定理1,若三个点在同一条直线, 则三点组成三角形所代表的面积为零,也就是说:

错误!未找到引用源。

定理得证.

定理3:平面内三条直线

111122223333:0,:0,:0.K a x b y c K a x b y c K a x b y c ++=++=++= 相交于一点或互相平行的充要条件是:

1

11

2

223

3

3

0.a b c a b c a b c = 证明:因为1K 与2K 的交点坐标可由

11122200.a x b y c a x b y c ++=??

++=?错误!未找到引用源。 得出:222222

11

c b c b x b a b a --=, 且

2211

22

11

.

c a c a y b a b a --=

错误!未找到引用源。

如果与12,K K 共点,则12,K K 的交点坐标必能满足错误!未找到引用源。的方程

3333:0.K a x b y c ++=即有

1111

113

3

3

2

2

22

2

2

0.b c a b a c a c b b c a b a c +-=

即:

333

2221

1

1

0.a b c a b c a b c =错误!未找到引用源。 上式就是三条互不平行的直线相交于一点的必要条件,同理是三线共点的必要条件

[19]

.

推论:平面内三点()()()112233,,B ,,C ,.A a b a b a b 错误!未找到引用源。在同一直线上

的充要条件错误!未找到引用源。是

1

12

23

3110.1

a b a b a b =

错误!未找到引用源。

行列式的应用讲解

摘要 行列式是数学研究中一类重要的工具之一,行列式最早出现在16世纪,用于解决线性方程组的求解问题。现在,行列式经过几世纪的发展已经形成了一整套完备的理论,并且在数学这门学科中占有很重要的位置。本论文通过对行列式理论和行列式在线性方程组和中学数学中的应用展开研究。首先论述了行列式的历史意义,其次展示了行列式在线性方程组中的应用以及在中学数学中的应用,重点论述了行列式在中学代数领域以及中学几何领域的应用。论文以求解线性方程组和解中学几何与代数问题为例,论述了行列式在实际中的应用。主要通过文献研究的方法对行列式的应用进行研究,充分阐释了行列式在不同方面的应用。 关键词:行列式,线性方程组,中学代数,中学几何

The Application of The Determinant Abstract The determinant is one of a kind of important tools in mathematical research, determinant first appeared in the 16th century, used to solve linear equations to solve the problem. now, the determinant after centuries of development has formed a set of complete theory, and the mathematics occupies very important position in the subject. This paper based on the theory and determinant determinant in the system of linear equations and the application of the middle school mathematics study. First discusses the historical significance of determinant, the second shows the determinant in the application of linear equations, and the middle school mathematics, the application of the determinant is emphasized in the field of high school algebra and applied in the field of high school geometry. Paper to solve the linear system of equations and middle school geometry and algebra problem as an example, this paper discusses the determinant in the actual application. Mainly through the literature research methods to study the application of the determinant, fully illustrates the application of determinant in different aspects. Key words: determinant, system of linear equations, algebraic secondary school, high school geometry

行列式的计算方法及应用

本科生毕业论文 题目: 行列式的计算方法及应用专业代码: 070102 作者姓名: 李延雪 学号: 2007200676 单位: 2007 级 1 班 指导教师: 孙守斌 2011年 5 月20 日

原创性声明 本人郑重声明: 所提交的学位论文是本人在导师指导下, 独立进行研究取得的成果. 除文中已经注明引用的内容外, 论文中不含其他人已经发表或撰写过的研究成果, 也不包含为获得聊城大学或其他教育机构的学位证明书而使用过的材料. 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体, 均已在文中以明确方式标明. 本人承担本声明的相应责任. 学位论文作者签名: 日期 指导教师签名: 日期

目录 前言 (1) 1.行列式的定义及其表示 (1) 1.1 行列式的定义 (1) 1.2 行列式的表示 (3) 2.行列式的性质 (4) 3.行列式的计算方法 (6) 3.1加边法 (6) 3.2利用已知公式 (7) 3.3数学归纳法 (10) 3.4递推法 (11) 3.5构造法 (12) 3.6拆项法 (13) 4.行列式的应用 (13) 4.1行列式在证明微分中值定理中的应用 (13) 4.2 行列式在求逆矩阵中的应用 (15) 4.3行列式在多项式理论中的应用 (15) 4.4 行列式在解析几何中的应用 (16) 结语 (17) 参考文献 (18) 致谢 (19)

摘要 行列式是研究高等代数的一个重要工具.在对行列式的定义及其性质研究的基础上,总结了计算行列式的几种常见方法:加边法、构造法、递推法、拆项法、数学归纳法等.另外,归纳了二条线性行列式、“两岸”行列式、上(下)三角形行列式、二条线叉型行列式及箭型行列式几类特殊行列式的计算公式.利用行列式证明明微分中值定理;并通过一些具体的实例介绍了行列式在求逆矩阵、求解几何图形方程和计算图形面积体积等多个方面的实际应用. 关键词:行列式;计算方法;行列式的应用

线性方程组解的几何意义

设有三元非齐次线性方程组 线性方程组解的几何意义 ???????=++=++=++,,,)1(22221111m m m m d z c y b x a d z c y b x a d z c y b x a 我们来讨论一下三元非齐次线性方程组解的几何意义.

2) 有唯一解这时方程组(1) 中的m 个方?? ???=+--=--=+,423, 32,123z y x y x z x 该方程组有唯一解.817,21,4 7??? ??--则方程组(1) 的解有以下三种情况: 1) 无解这时方程组(1) 中的m 个方程所表示的平面既不交于一点, 也不共线、共面. 程所表示的平面交于一点. 例如

其几何意义如图3 -11 所示. 2x-y=-3 3x+2z=-1 x-3y+2z=4 图3-11

交直线所确定.3) 有无穷多组解 这时又可分为两种情形:情形一自由变量, 基础解系中有两个向量,其一般解的形式为 γ=c 1η1+ c 2η2+ γ0(c 1, c 2为任意常数).这时方程组的所有解构成一个平面, 而这个平面是由过点γ0且分别以η1、η2为方向向量的两条相A 的秩=A 的秩= 1 .此时,有两个γ=c 1η1+ c 2η2+ γ0 称为平面的参数方程.

例如, 设保留方程组为 x + y + z = 3, 则可求得其通解为 . 11110101121???? ? ??+????? ??-+????? ??-=c c x

则过点P (1,1,1) 分别以(1,-1,0)T , (1,0,-1)T 为方向,1 10111:,0 11111:21--=-=--=--=-z y x L z y x L 则这两条相交直线L 1, L 2所确定的平面的方程即向量的两直线的方程分别为 为x + y + z = 3 . 如图3-12

华南理工大学 线性代数与解析几何 习题答案 (6)

《线性代数与解析几何》勘误表 第1章:行列式 p.13, 例题 4.1: 解的第二个等号后,应加一个负号。 p.15,第三行(等号后):去掉; p.17, 第7-8行: (t=1,2,…, j-1,j+1,…,n) p.19,倒数第4-5行:假设对于n-1阶范德蒙行列式V_{n-1}结论成立,… p .20,第2行: D_{n-1}改为V_{n-1} p.20, 第6行,定理5.2中: 去掉“若”字 p.21, 倒数第3行: …展开代入而得, p.24,倒数第1行: (-1)的指数应为“1+2+…+k +1+2+…+k ” 习题1: 第1题(2)答案有误:应为sin2x-cosx^2. 第6题(3)答案有误:(3) n(3n-1)/2, 当n=4k 或者n=4k+3时为偶数,当n=4k+1或4k+2时为奇数. 第10题(4)(5)答案有误:(4)(-1)^{(n-2)(n-1)/2};(5)(-1)^{n-1}a_n 第11题(6)答案有误: ….,当a\neq 0时,D=(-1)^{n(n-1)/2}a^{n-2}[a^2-(n-1)x^2] p.26, 第12题(2):改为: (33333) 3222 222111 111=+++++++++y x x z z y y x x z z y y x x z z y (3): …= ;)1](2 )2)(1([1--+-+ n a n n a (4): …=.0 ∑=-n i i n i b a p.27, 第14题(4):(此题较难,可以去掉!) 答案有误,应为: n x n )2 )(1( n +=,当yz x 42=。 第15题答案有误:为60(11-2) p .27, 第16题:去掉条件“若x_1+x_2+x_3+x_4=1,则” 第二章:矩阵 p.32, 第7行: 称其为n 阶对角矩阵,….. p.35, 第5-6行: b_21和b_12互换位置(两处) p.36, 第7行: 去掉“设 A ,B ,C 分别为….矩阵,”在第10行后增加: 当然,这里假定了矩阵运算是有意义的. p.39, 第4行: 就得到一个2*2的分块矩阵。 p.46,第2行: 去掉 ′(3个) p .46,倒数 4-6行:… 为满秩的(或非奇异的,非退化的),…为降秩的(或奇异的,退化的),… p.47,倒数第6-7行: 去掉 “,n α”(3处 ),另: 本页的 ”T j T i αα,”均改

行列式在几何中的应用(黄洁定稿) (1)

上饶师范学院 本科毕业论文 论文题目:行列式在解析几何中的应用专业:数学与应用数学 班级:09级数计学院(2)班学号:09010213 学生姓名:黄洁 指导教师姓名:谭海女 上饶师范学院数学与计算机科学学院 2013 年 4 月 行列式在解析几何中的应用

摘要 行列式在数学中,是由解线性方程组产生的一种算式。作为基本的数学工具,无论是几何、线性代数、多项式理论,还是在微积分学中,它都有着重要的应用。本文根据行列式在解析几何中的应用进行相关讨论与探究,介绍了行列式应用产生的背景,特点,以及行列式在解析几何中应用的优点。 关键词 行列式;解析几何;代数。

目录 一.预备知识 引言 .......................................................................................1 §1.1一些定义和基本定理............................................................1 二.运用行列式解决解析几何问题的几个结果及证明 (2) 1 12 21 11 x y y y =0是经过不同两点P 1 (1x ,y 1),P 2(2,2x y )的直线的方程………2 §2.2 三顶点为A (1x ,y 1),B (2,2x y ),C 3,3()x y 的三角形的面积S=1 2 1 12 23 3111 x y x y x y 的绝对值 (3) §2.3 平面上三点(1x ,y 1),(2,2x y ),3,3()x y 共线的充要条件是1 12 23 31 11 x y x y x y =0……4 §2.4 方程1110a x b y c ++=,2220a x b y c ++=,3330a x b y c ++=表示三直线共点 的必要条件是1 11 2 223 3 3 a b c a b c a b c =0.....................................................................5 三. 行列式在解析几何中应用的意义......................................................6 四.结语..........................................................................................6 五.致谢..........................................................................................6 参考文献 (7)

行列式的计算及应用毕业论文

行列式的计算及应用毕业论文 目录 1. 行列式的定义及性质 (1) 1.1 行列式的定义 (1) 1.1.1 排列 (1) 1.1.2 定义 (1) 1.2 行列式的相关性质 (1) 2. 行列式的计算方法 (5) 2.1 几种特殊行列式的结果 (5) 2.1.1 三角行列式 (5) 2.1.2 对角行列式 (5) 2.2 定义法 (5) 2.3 利用行列式的性质计算 (5) 2.4 降阶法 (6) 2.5 归纳法 (7) 2.6 递推法 (8) 2.7 拆项法 (9) 2.8 用德蒙德行列式计算 (10) 2.9 化三角形法 (10) 2.10 加边法 (11) 2.11 拉普拉斯定理的运用 (12) 2.12 行列式计算的Matlab实验 (13) 3. 行列式的应用 (15) 3.1 行列式应用在解析几何中 (15) 3.2 用行列式表示的三角形面积 (15) 3.3 应用行列式分解因式 (16) 3.4 利用行列式解代数不等式 (17) 3.5 利用行列式来证明拉格朗日中值定理 (17) 3.6 行列式在实际中的应用 (18) 总结 (20) 参考文献 (21) 附录1 (22) 附录2 (22)

附录3 (23) 谢辞 (24)

1. 行列式的定义及性质 1.1 行列式的定义 1.1.1 排列[1] 在任意一个排列中,若前面的数大于后面的数,则它们就叫做一个逆序,在任意一个排列中,逆序的总数就叫做这个排列的逆序数. 1.1.2 定义[1] n 阶行列式 nn n n n n a a a a a a a a a D 21 22221 11211 = 就相当于全部不同行、列的n 个元素的乘积 n nj j j a a a 2121 (1-1-1) 的代数和,这里n j j j 21是n ,,2,1 的一个排列,每一项(1-1-1)都按下列规则带有符号:当n j j j 21是偶排列时,(1-1-1)是正值,当n j j j 21是奇排列时,(1-1-1)是负值.这一定义可以表述为 n n n nj j j j j j j j j nn n n n n a a a a a a a a a a a a D 21212121) (21 22221 11211 )1(∑-= = τ , (1-1-2) 这里 ∑ n j j j 21表示对所有n 级排列求和. 由于行列指标的地位是对称的,所以为了决定每一项的符号,我们也可以把每一项按照列指标排起来,所以定义又可以表述为 n i i i i i i i i i nn n n n n n n a a a a a a a a a a a a D 21)(21 22221 11211 212121)1(∑-== τ. (1-1-3) 1.2 行列式的相关性质 记 nn n n n n a a a a a a a a a D 21 22221 112 11 = ,nn n n n n a a a a a a a a a D 212 2212 12111 '=,

矩阵行列式的概念与运算

知识点总结: 一、矩阵的概念与运算 1、 矩阵1112 132122 23a a a a a a ?? ??? 中的行向量是()111213a a a a =r ,()2122 23b a a a =r ; 2、 如:1112131112111221222321222122,,c c c a a b b A B C c c c a a b b ?? ???? === ? ? ??????? ,那么 11111212111221212222212233,333a b a b a a A B A a b a b a a ++???? +== ? ? ++????, 1111122111121222 111312232111222121122222 21132223a c a c a c a c a c a c AC a c a c a c a c a c a c +++?? = ?+++?? 矩阵加法满足交换律和结合律,即如果,,A B C 是同阶的矩阵,那么有: ,()()A B B A A B C A B C +=+++=++。 同理如果矩阵,A B 是两个同阶矩阵,那么将它们对应位置上的元素相减所得到的矩阵C 叫做矩阵A 与B 的差,记作C A B =-。 实数与矩阵的乘法满足分配律:即()a A B aA aB +=+。 矩阵对乘法满足:()A B C AB AC +=+,()B C A BA CA +=+,()()()a AB aA B A aB == ()()AB C A BC = 3、 矩阵乘法不满足交换率,如111 11 11 122222222.a b c d c d a b a b c d c d a b ????????≠ ??? ??????????? 矩阵乘法能进行的条件是左边的矩阵A 的列数与右边矩阵B 的行数相等,而且矩阵的乘法不满足交换率,不满足消去律。 二、行列式概念及运算 1.用记号 2 2 11b a b a 表示算式1221b a b a -,即 2 2 11b a b a =1221b a b a -,其中 2 2 11b a b a 叫做二阶行列 式;算式1221b a b a -叫做二阶行列式的展开式;其计算结果叫做行列式的值;2121,,,b b a a 都叫做行列式的元素.利用对角线 2 2 11b a b a 可把二阶行式写成它的展开式,这种方法叫做二阶行列式 展开的对角线法则;即在展开时用主对角线元素的乘积减去副对角线元素的乘积. 2.二元一次方程组的解 二元一次方程组???=+=+222 1 11c y b x a c y b x a (其中2121,,,b b a a 不全为零);记 2 211b a b a 叫做方程组的系数

华南理工大学 线性代数与解析几何 试卷

,考试作弊将带来严重后果! 华南理工大学期末考试(A 卷) 《 2007线性代数 》试卷 20分) (1) 设A 是n m ?矩阵,B 是m 维列向量,则方程组B AX =无解的充分必要条件 是: (2) 已知可逆矩阵P 使得1cos sin sin cos P AP θθθ θ-??= ?-?? ,则12007 P A P -= (3) 若向量组α=(0,4,t ),β=(2,3,1),γ=(t ,2,3)的秩为2,则t= (4) 若A 为2n 阶正交矩阵,*A 为A 的伴随矩阵, 则*A = (5) 设A 为n 阶方阵,12,,,n λλλ??????是A 的n 个特征根,则1n i i E A λ=-∑ = 选择题(共20分) (1) 将矩阵n m A ?的第i 列乘C 加到第j 列相当于对A : A , 乘一个m 阶初等矩阵, B ,右乘一个m 阶初等矩阵

C,左乘一个n阶初等矩阵,D,右乘一个n阶初等矩阵 (2)若A为m×n 矩阵,B是m维非零列向量,()min{,} r A r m n =<。集合{:,}n M X AX B X R ==∈则 A,M是m维向量空间,B,M是n-r维向量空间 C,M是m-r维向量空间,D,A,B,C都不对 (3)若n阶方阵A,B满足,22 A B =,则以下命题哪一个成立 A,A B =±,B,()() r A r B = C,det det A B =±,D,()() r A B r A B n ++-≤ (4)若A是n阶正交矩阵,则以下命题那一个成立: A,矩阵1A-为正交矩阵,B,矩阵-1A-为正交矩阵 C,矩阵*A为正交矩阵,D,矩阵-*A为正交矩阵 (5)4n阶行列式 111 110 100 -???-- -???- ?????? -??? 的值为: A,1,B,-1 C,n D,-n 三、解下列各题(共30分) 1.求向量 5 1 3 β ?? ? =- ? ? ?? ,在基 123 111 0,1,1 101 ααα ?????? ? ? ? === ? ? ? ? ? ? ?????? 下的坐标。

矩阵的运算及其运算规则

矩阵基本运算及应用 201700060牛晨晖 在数学中,矩阵是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合。矩阵是高等代数学中的常见工具,也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中,矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用;计算机科学中,三维动画制作也需要用到矩阵。矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。在电力系统方面,矩阵知识已有广泛深入的应用,本文将在介绍矩阵基本运算和运算规则的基础上,简要介绍其在电力系统新能源领域建模方面的应用情况,并展望随机矩阵理论等相关知识与人工智能电力系统的紧密结合。 1矩阵的运算及其运算规则 1.1矩阵的加法与减法 1.1.1运算规则 设矩阵,, 则

简言之,两个矩阵相加减,即它们相同位置的元素相加减! 注意:只有对于两个行数、列数分别相等的矩阵(即同型矩阵),加减法运算才有意义,即加减运算是可行的. 1.1.2运算性质 满足交换律和结合律 交换律; 结合律. 1.2矩阵与数的乘法 1.2.1运算规则 数乘矩阵A,就是将数乘矩阵A中的每一个元素,记为或. 特别地,称称为的负矩阵. 1.2.2运算性质 满足结合律和分配律 结合律:(λμ)A=λ(μA);(λ+μ)A =λA+μA. 分配律:λ(A+B)=λA+λB.

已知两个矩阵 满足矩阵方程,求未知矩阵. 解由已知条件知 1.3矩阵与矩阵的乘法 1.3.1运算规则 设,,则A与B的乘积是这样一个矩阵: (1) 行数与(左矩阵)A相同,列数与(右矩阵)B相同,即 . (2) C的第行第列的元素由A的第行元素与B的第列元素对应相乘,再取乘积之和.

行列式的性质及应用

题目 (1) 摘要 (1) 正文 (1) 一.问题的提出 (1) 二.排列 (1) 三.行列式 (1) 四.n阶行列式具有的性质 (2) 五.行列式的计算 (3) (一)数字型行列式的计算 (3) (二)行列式的概念与性质的例题 (6) (三)抽象行列式的计算 (6) (四)含参数行列式的计算 (7) A 的证明 (7) (五)关于0 (六)特殊行列式的解法 (8) (七)拉普拉斯定理 (9) 参考文献 (10) 致谢 (11) 外文页 (12) 行列式的性质及计算

王峰 摘 要 在线性代数中,行列式是一个重要的基本工具,直接计算行列式往往是困难和繁琐的,特别当行列式的元素是字母时更加明显,因此熟练地掌握行列式的计算方法是非常重要的。行列式的重点是计算,应当在理解n 阶行列式的概念,掌握行列式性质的基础上,熟练正确地计算三阶,四阶行列式,也会计算简单的n 阶行列式的值.计算行列式的基本方法是:按行(列)展开公式,通过降阶来实现。但在展开之前往往先通过对行列式的恒等变形,以期新的行列式中能构造出较多的零或有公因式,从而可简化计算,行列式计算的常用技巧有,三角化法,递推法,数学归纳法,公式法。 关键词 三角化法 递推法 数学归纳法 公式法 一.问题的提出 在实践中存在许多解n 元一次方程组的问题,如 ①11112212112222 a x a x b a x a x b +=??+=? ②11112211121222221122n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=??+++=????+++=? 对于①我们可以解出,但对于②,我们有什么方法解出呢?我想可以用行列式的知识。 二.排列 定义1 由1.2……n 组成的一个有序数组称为一个n 级排列。n 级排列的总数为 (1)(2)21!n n n n ?-?-?= (n 的阶乘个)。 定义2 在一个排列中,如果一队数的前后位置与大小顺序相反,即前面的大于后面的数,那么它 们就称为一个逆序。一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数。 定义3 逆序数为偶数的排列称为偶排列,逆序数为奇数的排列称为奇排列。 例1 决定以下9级排列的逆序数,从而决定它们的奇偶性 134782695 解 逆序数为10,是偶排列。 三.行列式: 定义(设为n 阶):n 阶行列式 是取自不同行不同列的n 个元素的乘 积的代数和,它由n !项组成,其中带正号与带负号的项各占一半,12()n j j j τ 表示排列 12n j j j 的 12121211 12121222()121 2(1)n n n n n j j j j j nj j j j n n nn a a a a a a A a a a a a a τ= = -∑

行列式计算及应用

行列式的计算及应用 毕晟 100220120 数字印刷一班 【摘要】通过了一年的线性代数学习,行列式是学习的重点,因而我对行列式的计算和应用进行总结性的说明,并借此对行列式进行复习。 【关键字】行列式 引言:行列式在本册书中极为重要,并且与其他的章节知识点比如矩阵求逆、向量组、方程等有紧密的联系,所以学好行列式是很重要的,通过这次论文,也可以对期末考试中的行列式问题进行必要的复习。 一. 行列式的计算 1. 定义法 根据定义公式解行列式。 例如: 二阶行列式中 2 521 = 85221-=?-? 三阶行列式中 4 213212 51=215644158531132221221135421=---++=??-??-??-??+??+?? 2.化成三角形行列式法 例求D =3 1 1 1的值 1 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 解D =3 1 1 1=6 1 1 1 1 3 1 1 6 3 1 1 1 1 3 1 6 1 3 1 1 1 1 3 6 1 1 3 =1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 =1 1 1 1=48 0 2 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2 3. 分解行列法 若行列式的某行(列)是两行(列)的和,则可将行列 式分解成两个行列式的和. 4.分离线性因子法 此法是把行列式看成含于其中的一个或一些字母的多项式,变换

它,若发现:它可被一些线性因子所整除,如果这些因子互素,它也可被 这些因子的积所整除,然后将行列式个别项与线性因子积的项比较,求 用这乘积除行列式的商,从而求得行列式的表达式。 5. 递推关系式法 此法是变换已知行列式,并按行或按列把它展开成较低阶的同类型 的行列式的表示式。所得到的等式为递推关系式。在递推关系是右端出 现几个低阶的行列式,然后就按行列式的一般形式计算几个低阶的行列 式。更高阶的行列式逐次由递推关系式算出,在表达n 阶行列式的递推 关系中,把在递推关系式中的n-1 换n 所得到的关于n-1 阶行列式的表 达式代入;其次,把n-2 阶行列式的类似表达式代入,依此类推,直到所 求n 阶行列式的一般表达式为止,递推关系式法是所研究的方法中最常 用的方法,它适用与较复杂的行列式。 6.拆分法 可以将行列式化简后,拆分为余子式进行计算。但计算量较大。 二. 行列式的应用 2.1 应用行列式解线性方程组(主要应用克莱姆法则,这里要注意应 用的条件) 2.2 雅可比行列式在隐函数组中的应用 2.3 非奇异矩阵的判别 2.4 计算矩阵的秩。求行列式的值 下面就我们学过的2.1和2.4进行解释说明: 用行列式解方程分为线性齐次方程和线性非齐次方程 例如2.1: 5 26421 43321321321=++=++=++x x x x x x x x x 于是可以用行列式表示: D=111642143 2156421411=D 1516221132=D 5 112421 433=D 所以 D D x 11= D D x 22= D D x 33= 2.4 A=0 141114 21 我们将其化简为最简阶梯型的行列式如:0 002102 01 则 R (A )=2 三. 总结 行列式在线性代数中很重要,而它的应用也很广泛,对此,我们深入学习,就可以开拓思维、拓宽视野。

线性代数行列式算与性质

线性代数行列式的计算与性质 行列式在数学中,是一个函数,其定义域为的矩阵,取值为一个标量,写作或。行列式可以看做是有向面积或体积的概 念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说,在维欧几里得空间中,行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。无论是在线性代数、多项式理论,还是在微积分学中(比如说换元积分法中),行列式作为基本的数学工具,都有着重要的应用。 行列式概念最早出现在解线性方程组的过程中。十七世纪晚期,关孝和与莱布尼茨的著作中已经使用行列式来确定线性方程组解的个数以及形式。十八世纪开始,行列式开始作为独立的数学概念被研究。十九世纪以后,行列式理论进一步得到发展和完善。矩阵概念的引入使得更多有关行列式的性质被发现,行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用,出现了线性自同态和矢量组的行列式的定义。 行列式的特性可以被概括为一个多次交替线性形式,这个本质使得行列式在欧几里德空间中可以成为描述“体积”的函数。 矩阵 A 的行列式有时也记作 |A|。绝对值和矩阵范数也使用这个记法,有可能和行列式的记法混淆。不过矩阵范数通常以双垂直线来表示(如: ),且可以使用下标。此外,矩阵的绝对值是没有定义的。因此,行 列式经常使用垂直线记法(例如:克莱姆法则和子式)。例如,一个矩阵: A= ? ? ? ? ? ? ? i h g f e d c b a , 行列式也写作,或明确的写作: A= i h g f e d c b a , 即把矩阵的方括号以细长的垂直线取代 行列式的概念最初是伴随着方程组的求解而发展起来的。行列式的提出可以追溯到十七世纪,最初的雏形由日本数学家关孝和与德国数学家戈特弗里德·莱布尼茨各自独立得出,时间大致相同。

行列式的若干应用 毕业论文

行列式的若干应用 The Number of Applications of The Determinants 专业: 数学与应用数学 作者: 指导老师:

摘要 行列式是数学研究中的一类重要的工具之一, 它的应用非常广泛. 本文从以下三个方面对行列式的应用进行了论述: 探讨了行列式与线性方程组的关系以及在解线性方程组中的应用; 举例说明了行列式在初等代数中的应用, 如在因式分解中应用, 证明不等式以及恒等式; 最后综述了行列式在解析几何中的若干应用. 关键词: 行列式; 矩阵; 线性方程组; 秩; 因式分解; 平面组; 点组

Abstract Determinant is a kind of important tools in the mathematical study, it is a very wide range of applications. In this paper, we have been to discuss from the following three aspects of the applications of the determinants: To explore the relationship between the determinant and linear equations and the application in the solution of linear equations; examples of the application of the determinant in algebra, such as the application of factorization, to prove that inequality and identity; in the final, we have made overview of the number of applications of the determinants in analytic geometry. Keywords:Determinant; Matrix; Linear equations; Rank; Factorization; Plane group; Point group

行列式论文

行列式计算方法总结及简单应用 摘要:行列式的计算方法,并举例说明了它们的应用,同时对若干特殊例子进行推广。并举出了几种常见的行列式应用。 关键词:行列式;范德蒙行列式;矩阵;特征植;拉普拉斯定理;析因法;辅助行列式法;行列式的应用;方程组;平面几何。 Abstract: The formulation of the various calculation methods, and examples of theirapplications, and to promote a number of special cases Cited several common determinant applications . Keywords: determinant; Vandermonde determinant; matrix; characteristics of plants;Laplace theorem; factorial method; secondary determinant method Determinant of the application; equations; plane geometry 引言 计算方法变化多样,本科期间只能解决一些初等的基本的或者说是有规律的行列式。而其方法又分为简单和复杂。最复杂的情形就是:任何一个n阶行列式都可以由它的定义去计算其值。但由定义可知,n阶行列式的展开式有n!项,计算量很大,一般情况下不用此法。当然也有列外,假设行列式中有许多零元素,可考虑此法,但也只是考虑。特别需要注意的是:在应用定义法求非零元素乘积项时,不一定从第1行开始,哪行非零元素最少就从哪行开始。本论文要介绍的是有规律可循的行列式计算。 而在高代课本中行列式的应用包括了求解方程组,求矩阵的特征向量等等,本论文就不再赘述,本论文中给出的应用是我在做题过程中总结出的行列式考题中的一些常见的问题,以例题的形式给出,可以引发进一步的思考。

高中数学(矩阵行列式)综合练习含解析

高中数学(矩阵行列式)综合练习含解析 1.定义运算?? ????++=?????????????df ce bf ae f e d c b a ,如??? ???=?????????????1514543021.已知πβα=+, 2 π βα=-,则=? ? ? ???????? ??ββααααsin cos sin cos cos sin ( ). A. 00?? ???? B. 01?????? C. 10?????? D. 11?????? 2.定义运算 a b ad bc c d =-,则符合条件 120 121z i i i +=--的复数z 对应的点在 ( ) A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限 3.矩阵E =??? ? ??1001的特征值为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 任意实数 4. 若行列式21 24 1 013 9x x =-,则=x . 5.若2021310x y -??????= ??? ?-?????? ,则x y += . 6.已知一个关于y x ,的二元一次方程组的增广矩阵为112012-?? ??? ,则 x y -=_______. 7.矩阵1141?? ???? 的特征值为 . 8.已知变换100M b ?? =? ??? ,点(2,1)A -在变换M 下变换为点(,1)A a ',则a b += 9.配制某种注射用药剂,每瓶需要加入葡萄糖的量在10ml 到110ml 之间,用0.618 法寻找最佳加入量时,若第一试点是差点,第二试点是好点,则第三次试验时葡萄糖的加入量可以是 ; 10.已知 , ,则y= . 11.若2211 x x x y y y =--,则______x y +=

行列式计算的若干种方法讲解

中南民族大学 毕业论文(设计) 学院: 数学与统计学学院 专业: 统计学年级:2008 题目: 行列式计算的若干方法 学生姓名: 曹金金学号:08067005

指导教师姓名: 汪宝彬职称:讲师 2012年4月30日

中南民族大学本科毕业论文(设计)原创性声明 本人郑重声明:所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果.除了文中特别加以标注引用的内容外,本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品.本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担. 作者签名: 年月日

目录 摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Key words (1) 1 引言 (2) 2.1排列 (2) 2.2行列式的定义 (2) 2.2.1 二阶、三阶行列式 (2) 2.2.2 n阶行列式的定义 (3) 2.2.3 几种特殊的行列式的定义 (3) 2.3 行列式的基本性质 (5) 3几种常见的行列式的计算方法 (6) 3.1利用行列式定义直接计算 (6) 3.2 利用行列式的性质计算 (6) 3.3 三角化法 (7) 3.4 降阶法 (8) 3.5利用范德蒙德行列式求解 (10) 3.6 数学归纳法 (11) 3.7 拆项法 (12) 3.8析因子法 (13) 3.9 加边法(升阶法) (13) 3.10递推公式法 (14) 3.11超范德蒙行列式法 (15) 3.12利用分块计算行列式 (16) 4 结论 (16) 致谢 (17) 参考文献 (17)

行列式计算的若干方法 摘要:在线性代数中,行列式的求解是非常重要的. 本文首先介绍行列式的定义与性质;然后通 过实例给出了计算行列式的几种方法.从文中可以看出,选择合适的计算方法可有效的计算行列式. 关键词:行列式;性质;计算方法 Some Methods of Determinant Calculation Abstract: Determinant plays an important role in the linear algebra. In this paper we first introduce the definition and properties of determinant. Then several methods of the calculation are given by some examples. It can be seen from the paper that choose the appropriate calculation method can efficiently compute the determinant. Key words: determinant; property; the calculation methods

上海版教材 矩阵与行列式习题(有问题详解)

矩阵、行列式和算法(20131224) 成绩 一、填空题 1.行列式 cos sin 3 6 sin cos 3 6 π π π π 的值是 . 2.行列式 a b c d (,,,{1,1,2}a b c d ∈-)的所有可能值中,最大的是 . 3.将方程组203253x y z x y =?? +=??+=? 写成系数矩阵形式为 . 4.若由命题A :“ 2 2031x x ”能推出命题B :“x a >”,则a 的取值围是 . 5.若方程组111 222a x b y c a x b y c +=??+=?的解为2,1==y x ,则方程组 ?? ?=++=++03520 352222 111c y a x b c y a x b 的解为x = ,y = . 6.方程21 24 1 013 9 x x ≤-的解集为 . 7.把 22111133 33 22 2 4 x y x y x y x y x y x y +- 表示成一个三阶行列式为 . 8.若ABC ?的三个顶点坐标为(1,2),(2,3),(4,5)A B C ----, 其面积为 .

9.在函数()211 1 2 x f x x x x x -=--中3x 的系数是 . 10.若执行如图1所示的框图,输入12341,2,4,8,x x x x ====则输出的数等于 . 11.矩阵的一种运算,???? ??++=???? ??????? ??dy cx by ax y x d c b a 该运算的几何意义为平面上的点),(y x 在矩阵??? ? ??d c b a 的作用下 变换成点(,)ax by cx dy ++,若曲线10x y +-=在矩阵??? ? ??11b a 的作用下变换成曲线10x y --=,则a b +的值为 . 12.在集合{}1,2,3,4,5中任取一个偶数a 和奇数b 构成以原点为起点的向量(),a b α=.从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形,记所有作成的平行四边形的个数为n ,其中面积不超过...4的平行四边形的个数为m ,则m n = 二.选择题 13.系数行列式0D =是三元一次方程组无解的( ) A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分也非必 要条件 14.下列选项中错误的是( ). A. b d a c d b c a - = B. a b c d d b c a = C. d c d b c a 33++ d c b a = D. d c b a d b c a ----- =

行列式的运算与应用

,. 行列式的运算与应用 实验目的: 1. 学习数据的输入及用syms语句先定义变量再输入的两种方式. 2. 掌握利用Matlab软件计算n阶行列式的方法(包括含参数的行列式) 3. 熟悉Matlab软件中关于矩阵运算的各种语句. 4. 掌握对已知矩阵如何进行修改其中的数据,以及如何构建对应的行(列)子矩阵及扩展矩阵. 5. 掌握矩阵初等变换的每个步骤 实验内容: 1.计算12阶行列式 x a a a x a a a x - -- L L L L L L L 并赋值x=2,4,-1;a=0,2,4时,求行列式的 值。 解syms x % syms语句定义变量x syms a % syms语句定义变量a A=[x a a a a a a a a a a a; % 输入矩阵A -a x a a a a a a a a a a; -a -a x a a a a a a a a a; -a -a -a x a a a a a a a a; -a -a -a -a x a a a a a a a; -a -a -a -a -a x a a a a a a; -a -a -a -a -a -a x a a a a a;

,. -a -a -a -a -a -a -a x a a a a; -a -a -a -a -a -a -a -a x a a a; -a -a -a -a -a -a -a -a -a x a a; -a -a -a -a -a -a -a -a -a -a x a; -a -a -a -a -a -a -a -a -a -a -a x] D=det(A) %计算行列式A X=(2,4,0) B1=subs(D,x) subs(B1,a,0) B2=subs(D,x,4) subs(B2,a,2) B3=subs(D,x,-1) subs(B3,a,4) 2.计算10阶行列式 000 00 000 000 000 a b b a a b b a a b b a b b a a b + + + + + L L L L L L L L L L 解:syms a % syms语句定义变量a syms b % syms语句定义变量b A=[a+b b 0 0 0 0 0 0 0 0; % 输入矩阵A a a+ b b 0 0 0 0 0 0 0; 0 a a+b b 0 0 0 0 0 0; 0 0 a a+b b 0 0 0 0 0;

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