2021年高考数学一轮复习 题组层级快练65（含解析）
1．直线l 过点(2，0)且与双曲线x 2－y 2＝2仅有一个公共点，这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条
答案 C
解析 该点为双曲线的顶点，与双曲线相切的直线有一条，与渐近线平行的直线有两条，共3条．
2．若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是( )
A ．(－153，15
3) B ．(0，153) C ．(－
15
3
，0) D ．(－
15
3
，－1) 答案 D
3．已知F 1，F 2是双曲线x 2
2－y 2
＝1的左、右焦点，P ，Q 为右支上的两点，直线PQ 过F 2且倾斜角为α，
则|PF 1|＋|QF 1|－|PQ |的值为( )
A ．8
B ．2 2
C ．4 2
D ．随α的大小而变化
答案 C
解析 由双曲线定义知： |PF 1|＋|QF 1|－|PQ |
＝|PF 1|＋|QF 1|－(|PF 2|＋|QF 2|) ＝(|PF 1|－|PF 2|)＋(|QF 1|－|QF 2|) ＝4a ＝4 2.
4．已知A ，B ，P 是双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1上不同的三点，且A ，B 连线经过坐标原点，若直线PA ，PB 的斜
率乘积k PA ·k PB ＝2
3
，则该双曲线的离心率为( )
A.22
B.62
C. 2
D.
153
答案 D
解析 设A (x 1，y 1)，P (x 2，y 2)，根据对称性，B (－x 1，－y 1)， 因为A ，P 在双曲线上，
所以?????
x 21a 2－y 21
b
2＝1，x 2
2a 2
－y
22b 2
＝1.
两式相减，得k PA ·k PB ＝b 2a 2＝2
3.
所以e 2
＝a 2＋b 2a 2＝5
3
.
故e ＝
153
. 5．(xx·四川绵阳第二次诊断考试)圆C 的圆心在y 轴正半轴上，且与x 轴相切，被双曲线x 2
－y 2
3＝1
的渐近线截得的弦长为3，则圆C 的方程为( )
A ．x 2
＋(y －1)2
＝1 B ．x 2＋(y －3)2
＝3 C ．x 2＋(y －32)2＝34
D ．x 2
＋(y －2)2
＝4
答案 A
解析 设圆心(0，b )，(b >0)，半径为b ，双曲线渐近线方程为y ＝±3x ，圆心到渐近线的距离为d
＝b 2.由勾股定理，得(b 2)2＋(32
)2＝b 2，∴b ＝1.所以圆C 的方程为x 2＋(y －1)2
＝1. 6.(xx·天津河西质量调研)如图所示，F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过F 1的直
线l 与双曲线的左、右两个分支分别交于B ，A ，若△ABF 2为等边三角形，则该双曲线的离心率为( )
A.23
3
B. 3 C ．4 D.7
答案 D
解析 设等边三角形的边长为x ，则根据双曲线定义得|AF 1|－|AF 2|＝2a ，|BF 2|－|BF 1|＝2a ，
∴?
??
??
x ＋|BF 1|－x ＝2a ，x －|BF 1|＝2a ，∴?
??
??
|BF 1|＝2a ，
x ＝4a .
在△AF 1F 2中，|AF 1|＝6a ，|AF 2|＝4a ，|F 1F 2|＝2c ，∠F 1AF 2＝60°，由余弦定理，得4c 2
＝36a 2
＋16a 2
－2×6a ×4a cos60°.∴c 2
＝7a 2
，即e ＝7.
7．已知双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线的一个焦点在
直线l 上，则双曲线的方程为( )
A.x 25－y 2
20＝1 B.
x 220－y 2
5
＝1 C.3x 2
25－3y
2
100＝1 D.3x 2
100－3y
2
25
＝1 答案 A
解析 由题意可知，双曲线的其中一条渐近线y ＝b a x 与直线y ＝2x ＋10平行，所以b a
＝2且左焦点为(－5,0)，所以a 2
＋b 2
＝c 2
＝25，解得a 2
＝5，b 2
＝20，故双曲线方程为x 25－y 2
20
＝1.选A.
8．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F (7，0)，直线y ＝x －1与其相交于M ，N 两点，MN 中点的横坐标为－2
3
，则此双曲线的方程是( )
A.x 23－y 24＝1
B.x 24－y 23＝1
C.x 25－y 2
2＝1 D.x 22－y 2
5
＝1 答案 D
解析 设双曲线方程x 2a 2－y 2
b
2＝1，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，
∴?????
x 21a 2－y 21
b
2＝1， ①x 2
2a 2
－y 22b 2
＝1. ②
①－②，得y 1－y 2x 1－x 2＝b 2a 2·x 1＋x 2
y 1＋y 2
.
∴1＝b 2
a 2·－23－5
3
，∴5a 2＝2b 2
.
又a 2＋b 2＝7，∴a 2
＝2，b 2
＝5，故选D.
9．(xx·东北三校一模)已知双曲线x 29－y 2
16
＝1，过其右焦点F 的直线交双曲线于P ，Q 两点，PQ 的垂
直平分线交x 轴于点M ，则
|MF |
|PQ |
的值为( ) A.53 B.56 C.54 D.58
答案 B
解析 依题意，将直线PQ 特殊化为x 轴，于是有点P (－3,0)，Q (3,0)，M (0,0)，F (5,0)，|MP ||PQ |＝5
6
.
10．过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F (－c,0)(c >0)，作圆x 2＋y 2
＝a 24
的切线，切点为E ，延长
FE 交曲线右支于点P ，若OE →＝12
(OF →＋OP →
)，则双曲线的离心率为________．
答案
102
解析 圆x 2
＋y 2
＝a 24的半径为a
2，由OE →＝12
(OF →＋OP →
)知，E 是FP 的中点，设F ′(c,0)，由于O 是FF ′的
中点，所以OE ⊥PF ，|OE |＝1
2
|PF ′|?|PF ′|＝2|OE |＝a .
由双曲线定义，|FP |＝3a ，因为FP 是圆的切线，切点为E ，所以FP ⊥OE ，从而∠FPF ′＝90°.由勾股定理，得|FP |2
＋|F ′P |2
＝|FF ′|2
?9a 2
＋a 2
＝4c 2
?e ＝
102
. 11．双曲线C ：x 2
－y 2
＝1的渐近线方程为________；若双曲线C 的右顶点为A ，过A 的直线l 与双曲线C 的两条渐近线交于P ，Q 两点，且PA →＝2AQ →
，则直线l 的斜率为_______．
答案 x ±y ＝0，±3
解析 双曲线C ：x 2
－y 2
＝1的渐近线方程为x 2
－y 2
＝0，即y ＝±x ；双曲线C 的右顶点A (1,0)，设l ：
x ＝my ＋1，联立方程，得?
????
x ＝my ＋1，
x 2－y 2
＝0，消去x ，得(m 2－1)y 2
＋2my ＋1＝0(*)，方程(*)的根为P ，Q 两点
的纵坐标，设P (x P ，y P )，∵PA →＝2AQ →
，∴y P ＝－2y Q .
又?????
y P
＋y Q
＝2m
1－m 2
，y P y Q ＝1
m 2
－1，
解得m ＝±13，直线l 的斜率为1
m
，即为3或－3.
12．已知曲线x 2a －y 2
b ＝1(ab ≠0，且a ≠b )与直线x ＋y －1＝0相交于P ，Q 两点，且OP →·OQ →＝0(O 为原
点)，则1a －1
b
的值为________．
答案 2
解析 将y ＝1－x 代入x 2a －y 2
b
＝1，得
(b －a )x 2
＋2ax －(a ＋ab )＝0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝2a a －b ，x 1x 2＝a ＋ab a －b
. OP →
·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(1－x 1)(1－x 2)＝2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1.所以2a ＋2ab a －b －2a
a －
b ＋1＝0.
即2a ＋2ab －2a ＋a －b ＝0. 即b －a ＝2ab ，所以1a －1
b
＝2.
13．求两条渐近线为x ＋2y ＝0和x －2y ＝0且截直线x －y －3＝0所得的弦长为83
3的双曲线的方程．
答案
x 2
4
－y 2
＝1
解析 渐近线方程为y ＝±1
2
x ，
可设双曲线方程为x 24m －y 2
m
＝1，则???
??
x 24m －y 2
m ＝1，x －y －3＝0.
可得3x 2
－24x ＋36＋4m ＝0， ∴x 1＋x 2＝8，x 1x 2＝36＋4m
3.
由弦长公式|AB |＝1＋k 2
·x 1＋x 2
2
－4x 1x 2，得
|AB |＝2·
48－16m
3
. 又∵|AB |＝83
3，∴m ＝1.
∴双曲线方程为x 2
4
－y 2
＝1.
14．设双曲线C ：x 2a
2－y 2
＝1(a >0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同点A ，B .
(1)求双曲线C 的离心率e 的取值范围；
(2)设直线l 与y 轴的交点为P ，且PA →＝512PB →
，求实数a 的值．
答案 (1)(
62，2)∪(2，＋∞) (2)1713
解析 (1)由C 与l 相交于两个不同的点，故知方程组?????
x 2
a
2－y 2＝1，
x ＋y ＝1，
有两个不同的实数解．
消去y 并整理，得(1－a 2
)x 2
＋2a 2
x －2a 2
＝0.①
所以?????
1－a 2
≠0，
4a 4＋8a 21－a
2