循环卷积与线性卷积的实现 1、实验目的：（1）进一步理解并掌握循环卷积与线性卷积的概 念。 （2）理解掌握二者的关系。 三、实验原理 两个序列的N点循环卷积定义为 从定义中可以看到，循环卷积和线性卷积的不同之处在于：两个N 点序列的N点循环卷积的结果仍为N点序列，而他们的线性卷积的结果的长度则为2N-1；循环卷积对序列的移位采取循环移位，而线性卷积对序列采取线性位移。正式这些不同，导致了线性卷积和循环卷积有不同的结果和性质。 循环卷积和线性卷积虽然是不用的概念，但是它们之间有一个有意义的公式联系在一起 其中 也就是说，两个序列的N点循环卷积是他们的线性卷积以N为周期的周期延阔。设序列的长度为,序列的长度为，此时，线性卷积结果的序列的点数为;因此如果循环卷积的点数N小于，那么上述周期性延阔的结果就会产生混叠，从而两种卷积会有不同的结果。而如果N满足的条件，就会有 这就会意味着在时域不会产生混叠。因此，我们得出结论：若通过在序列的末尾填充适当的零值，使得和成为店序列，并作出这两个序列的循环卷积与线性卷积的结果在范围内相同。 根据DFT循环卷积性质中的卷积定理 便可通过两种方法求两个序列的循环卷积：一是直接根据定义计算；二是根据性质先分别求两个序列的N点DFT，并相乘，然后取IDFT以得到循环卷积。第二种方法看起来要经过若干个步骤，但由于求序列的DFT和IDFT都有快速算法，因此它的效率比第一种方法要高得多。 同样，根据线性卷积和循环卷积的关系，可以通过计算循环卷积以求得线性卷积，提高计算序列线性卷积的效率。 4、实验内容 输入程序序列如下： n=[0:1:4];m=[0:1:3]; x1=1+n;x2=4-m; %生成函数x1和x2 L1=length(x1)-1;L2=length(x2)-1; %取函数的长度
实验三 线性卷积与圆周卷积的计算 一、 实验目的 1、掌握计算机的使用方法和常用系统软件及应用软件的使用。 2、通过编程，上机调试程序，进一步增强使用计算机解决问题的能力。 3、掌握线性卷积与循环卷积软件实现的方法，并验证二者之间的关系。 二、实验原理 1、线性卷积： 线性时不变系统（Linear Time-Invariant System, or L. T. I 系统）输入、输出间的关系为：当系统输入序列为)(n x ，系统的单位脉冲响应为)(n h ，输出序列为)(n y ，则系统输出为： ∑∞ -∞ ==-= m n h n x m n h m x n y ) (*)()()()( 或 ∑+∞ -∞ ==-= m n x n h m n x m h n y ) (*)()()()( 上式称为离散卷积或线性卷积。 图1.1示出线性时不变系统的输入、输出关系。 )(n δ→ L. T. I —→)(n h —→ —→ 图1.1 线性时不变系统的输入、输出关系 2、圆周卷积 设两个有限长序列)(1n x 和)(2n x ，均为N 点长 )(1n x )(1k X )(2n x )(2k X 如果)()()(213k X k X k X ?= )(n x 0 L. T. I ∑+∞ -∞ =-= m m n h m x n y ) ()()( D F T D F T
则) ()(~)(~)(10213n R m n x m x n x N N m ??? ???-=∑-= [] ∑---=1 021)()(N m N m n x m x )(1n x =N 10)(2-≤≤N n n x 上式称为圆周卷积。 注：)(~1n x 为)(1n x 序列的周期化序列；)()(~1n R n x N 为)(~1n x 的主值序列。 上机编程计算时，)(3n x 可表示如下： ∑∑-+==-++ -=1 1 2 1 0213) ()()()()(N n m n m m n N x m x m n x m x n x 3、两个有限长序列的线性卷积 序列)(1n x 为L 点长，序列)(2n x 为P 点长，)(3n x 为这两个序列的线性卷积，则)(3n x 为 ∑+∞ -∞ =-= m m n x m x n x ) ()()(2 1 3 且线性卷积)(3n x 的最大长1-+P L ，也就是说当1-≤n 和1-+≥P L n 时 0)(3=n x 。 4、圆周卷积与线性卷积的关系 序列)(1n x 为L 点长，序列)(2n x 为P 点长，若序列)(1n x 和)(2n x 进行N 点的圆周卷积，其结果是否等于该两序列的线性卷积，完全取决于圆周卷积的长度： 当1-+≥P L N 时圆周卷积等于线性卷积，即 )(1n x N )(*)()(212n x n x n x = 当1-+
实验四 离散时间LTI 系统分析 实验目的 ● 学会运用MATLAB 求解离散时间系统的零状态响应； ● 学会运用MATLAB 求解离散时间系统的单位冲激响应； ● 学会运用MATLAB 求解离散时间系统的卷积和。 ● 学会运用MATLAB 求离散时间信号的z 变换和z 反变换； ● 学会运用MATLAB 分析离散时间系统的系统函数的零极点； ● 学会运用MATLAB 分析系统函数的零极点分布与其时域特性的关系； ● 学会运用MATLAB 进行离散时间系统的频率特性分析。 实验原理及实例分析 1 离散时间系统的响应 离散时间LTI 系统可用线性常系数差分方程来描述，即 ∑∑==-=-M j j N i i j n x b i n y a 0 )()( （1） 其中，i a （0=i ，1，…，N ）和j b （0=j ，1，…，M ）为实常数。 MATLAB 中函数filter 可对式（1）的差分方程在指定时间范围内的输入序列所产生的响应进行求解。函数filter 的语句格式为 y=filter(b,a,x) 其中，x 为输入的离散序列；y 为输出的离散序列；y 的长度与x 的长度一样；b 与a 分别为差分方程右端与左端的系数向量。 【实例1】 已知某LTI 系统的差分方程为 )1(2)()2(2)1(4)(3-+=-+--n x n x n y n y n y 试用MATLAB 命令绘出当激励信号为)()2/1()(n u n x n =时，该系统的零状态响应。 解：MATLAB 源程序为 >>a=[3 -4 2]; >>b=[1 2]; >>n=0:30; >>x=(1/2).^n; >>y=filter(b,a,x); >>stem(n,y,'fill'),grid on
数字信号处理实验报告 黎美琪 201300800610 13通信2 实验一名称：周期卷积、循环卷积和线性卷积比较 一、实验目的 1.理解周期卷积、循环卷积、线性卷积的定义 2.用图像显示上述几种卷积并对其进行直观的比较 二、实验步骤 自行设定： ）它们的线性卷积（）求它们的循环卷积（求它们的周期卷积（两个有限长序列 3)8(2)8)1(20 12,81,1129,1)(,2012,81,0129,8)(21==?? ?≤≤≤≤-≤≤=???≤≤≤≤≤≤-=N N n n n n x n n n n n x 实验代码：（大部分语句为图像显示处理） %循环卷积&线性卷积&周期卷积 %%线性卷积 figure(1); set(gcf, 'color', 'w')%将图的背景设置为白色 x1=[zeros(1,8),[1:4],zeros(1,4),zeros(1,8)];%原有限长序列x1（n ） x2=[zeros(1,8),ones(1,4),zeros(1,4),zeros(1,8)] ; %原有限长序列x2（n ） L=length(x1)%长度L M=length(x2)%长度M y1=conv(x1,x2) %线性卷积 subplot(311) stem(x1); title('有限长序列x1（n ）') axis([1 L 0 5]) subplot(312) stem(x2); title('有限长序列x2（n ）') axis([1 M 0 1]) subplot(313) stem(y1);grid on ; title('线性卷积') axis([1 L+M-1 0 11]) %%循环卷积(圆周卷积) figure(2); set(gcf, 'color', 'w')%将图的背景设置为白色 %x11=[[1:4],zeros(1,4),[1:4],zeros(1,4),[1:4],zeros(1,4)]; x11=[[1:4],zeros(1,2),[1:4],zeros(1,2),[1:4],zeros(1,2),[1:4],zeros(1
离散时间信号的产生及信号的卷积和运算 实验报告 班级：___________ 姓名：__________ 学号:____________ 一、实验目的和原理 实验原理： （一）DTFT 和DFT 的定义及其相互关系： 序列x[n] 的DTFT 定义：∑=∞ -∞ =-n jn ωj ω x[n]e )X(e 它是关于自变量ω的复函数，且是以π2为周期的连续函数。)X(e j ω 可以表示为： )(e jX )(e X )X(e j ωim j ωre j ω+= 其中，)(e X j ω re 和)(e X j ωim 分别是)X(e j ω的实部和虚部；还可以表示为： )(ωj j ωj ωe )X(e )X(e θ= 其中，)X(e j ω 和}arg{)()X(e j ω=ωθ分别是)X(e j ω的幅度函数和相位函数； 它们都是ω的实函数，也是以π2为周期的周期函数。 序列x[n]的N 点DFT 定义： ∑∑-=-=-===10 1 22][][)(][N n kn N N n kn N j k N j W n x e n x e X k X ππ ][k X 是周期为N 的序列。 )X(e j ω与][k X 的关系：][k X 是对)X(e j ω在一个周期中的谱的等间隔N 点采样，即： k N j ω)X(e k X πω2| ][= =， 而)X(e j ω 可以通过对][k X 内插获得，即：
]2/)1)][(/2([1 ) 22sin() 22sin( ] [1----=?--= ∑N N k j N k j ω e N k N k N k X N )X(e πωπωπω (二) 线性时不变离散时间系统的变换域表示： LTI 离散时间系统的时域差分方程为： ∑∑==-=-M k k N k k k n x p k n y d )()( (1) 传递函数： 对上面的差分方程两边求z 变换，得： ∑∑∑∑=-=-=-=-=? =N k k k M k k k M k k k N k k k z d z p z X z Y z p z X z d z Y 0 00 ) () ()()( 我们定义LTI 离散时间系统的输出的Z 变换Y(z)与输入的Z 变换X(z)的比值为该系统的传递函数，即) () ()(z X z Y z H = 为系统的传递函数。 N N M M z d z d d z p z p p z D z p z H ----++++++= =......)()()(110110 分解因式 ∏-∏-=∑∑= =-=-=-=-N i i M i i N i i k M i i k z z K z d z p z H 11 11 0)1()1()(λξ ，其中i ξ和i λ称为零、极点。 利用系统的传递函数)(z H ，我们可以分析系统的零极点，稳定性及实现结构等特点。 (2) 频率响应： 因为大多数离散时间信号都可以分解为n j e ω的线性组合，所以研究输入n j e ω-的响应具有极大的意义，即当输入为n j e n x ω=][时，输出为： )()()(][) (ωωωωωj n j m m j n j m n j m e H e e m h e e m h n y === ∑∑∞ -∞ =--∞ -∞ = 这里，∑∞-∞ =-= n n j j e n h e H ωω )()(是h(n)的DTFT ，称为LTI 离散时间系统的频率
实验二 连续和离散时间LTI 系统的响应及卷积 一、实验目的 掌握利用Matlab 工具箱求解连续时间系统的冲激响应、阶跃响应，离散时间系统的单位样值响应，理解卷积概念。 二、实验内容 1、连续时间系统的冲击响应、阶跃响应 a. 利用impulse 函数画出教材P44例2-15: LTI 系统 ()3()2()dy t y t x t dt +=的冲击响应的波形。 a=[ 1 3]; >> b=[2]; >> impulse(b,a); b. 利用step 函数画出教材P45例2-17: LTI 系统 1''()3'()2()'()2()2 y t y t y t x t x t ++=+的阶跃响应的波形。 a=[1 3 2]; >> b=[0.5 2]; >> step(b,a)
2、离散时间系统的单位样值响应 利用impz函数画出教材P48例2-21: --+---=的单位样值响应的图形。 []3[1]3[2][3][] y n y n y n y n x n a=[1 -3 3 -1]; >> b=[1]; >> impz(b,a) 3、连续时间信号卷积 画出函数f1(t)＝(1+t)[u(t)-u(t-1)]和f2(t)=u(t-1)-u(t-2)的图形，并利用附在后面的sconv.m函数画出卷积积分f1(t)* f2(t)图形。 t=-1:0.01:3; f1=(1+t).*(0.5*sign(t)-0.5*sign(t-1));
f2=(0.5*sign(t-1)-0.5*sign(t-2)); subplot(2,2,1); plot(t,f1); subplot(2,2,2); plot(t,f2); sconv(f1,f2,t,t,0.01); 4、画出教材P60例2-28中h[n]、x[n]的图形（图2-14(a)(b)），并利用conv函数求出 卷积x[n]*h[n]并画出图形（图2-14(f)）。 n=0:10; x1=[zeros(1,0),1,zeros(1,10)]+[zeros(1,1),1,zeros(1,9)]+[zeros(1,2),1,zeros(1,8)]; >> stem(n,x1);
求解线性卷积、循环卷积的课上例题 例：}1,1,1{)()(3==n R n x ，20≤≤n ；}1,2,3,4{)()4()(4=-=n R n n h ，3 0≤≤ n ， 求线性卷积)(*)()(n h n x n y =和L 点循环卷积。 线性卷积： )(*)()(n h n x n y =∑ ∞ -∞ =-= m m n h m x )()(∑∞ -∞ =-= m m n x m h )()( 1 y (n )={4, 7, 9, 6, 3, 1}，50≤≤n ，非零数据长度6=4+3-1 （)(n h 长度为N ，)(n x 长度为M ，y (n )长度为1-+M N ） 2）移位加权和法（以n 为变量） ∑=-= 2 1 ) ()()(m m m m n h m x n y ) 2()2()1()1()()0(-+-+=n h x n h x n h x ，其中}1 1, ,1{)(=m x ，20≤≤ m y (n )={4, 7, 9, 6, 3, 1}5 0≤≤n L 点循环卷积：)())(()()(1 n R m n h m x n y L L m L c ∑ -=-=)())(()(1 n R m n x m h L L m L ∑-=-= 1）矩阵方程法（以m 为变量） 先将x (n )、h (n )补零到L 点长；再将其中一个序列周期延拓、翻褶、取主值区间的值、循环右移构成方阵，将另一个序列写成列矩阵，二者做矩阵乘法运算。 以用x (n )构成方阵为例。方阵第一行的构成：x (0)不动，将其它值从后往前倒过来写。下面各行依次对上一行循环右移一位，共L 行。 例：求)()(3n R n x = ，)()4()(4n R n n h -=的 4点循环卷积)()()(1n h n x n y c ④= 。 ??? ? ? ?????= ????????????????????= ????????????????????= 6987011143 2 114322143 3214123411 10 01111011 110 1)(1n y c y c 1(n )={7, 8, 9, 6}，3 0≤≤ n
求解线性卷积、循环卷积地课上例题 例：x(n)=2(n) ={1,1,1} , 0_n_2 ; h(n) =(4 — n)R4(n)二{4,3,2,1} , 0_n_3 , 求线性卷积y(n) x(n)*h(n)和L点循环卷积. 八、t t ,卄，oo oO 线性卷积：y(n) =x(n)* h(n) -、、' x(m)h(n -m) - h(m)x(n - m) m = m _：■■； 1)列表法(以m为变量，翻褶、移位、相乘、相加) m -2 -1 O 1 2 3 h(m)43 2 1 x(m) 1 1 1 y(n) n=O x(-m) 1 1 1 4 n=1 x(1 -m) 1 117 n=2 x(2-m) 1 1 1 9 n=3 x(3-m) 1 1 1 6 n=4 x(4-m) 1 1 3 n=5 x(5-m) 1 1 y(n)={4, 7, 9, 6, 3, 1}，O En 乞5,非零数据长度6虫3-1 h(n)长度为N，x(n)长度为M，y(n)长度为N M _1) 2)移位加权和法(以n为变量) m2 y(n) = .：x(m)h(n — m) =x(O)h(n) x(1)h(n —1) x(2)h(n —2)，其中x(m)珂1,1,1}，O Em 乞2 m田 n O 1 2 3 4 5 x(0)h(n) 4 3 2 1 x(1)h(n—1) 4 3 2 1 x(2)h(n-2) 4 3 2 1 y(n) 4 7 9 6 3 1 y(n)={4 7, 9, 6, 3, 1}，O 如冬5 L点循环卷积： LA L A y c(n) x(m)h((n — m))L R L(n)=无h(m)x((n — m))L R_(n) mzS 1)矩阵方程法(以m为变量) 先将x(n)、h(n)补零到L点长；再将其中一个序列周期延拓、翻褶、取主值区间地值、 循环右移构成方阵，将另一个序列写成列矩阵，二者做矩阵乘法运算.文档来源网络及个人整理，勿用作商业用途文档来源网络及个人整理，勿用作商业用途 以用x(n)构成方阵为例方阵第一行地构成：x(O)不动，将其它值从后往前倒过来写.下面各行依次对上一行循环右移一位，共L行.文档来源网络及个人整理，勿用作商业用途文档来源网络及个人整 理，勿用作商业用途 例：求x(n) = R3(n)，h(n) =(4 -n)R(n)地4点循环卷积 _1 y c1( n)二1 1 yd(n) =x(n)④h(n).
实验五 循环卷积与线性卷积的实现 一、实验目的 （1） 进一步理解并掌握循环卷积与线性卷积的概念； （2） 理解掌握二者的关系。 二、实验原理 两个序列的N 点的循环卷积定义为 1 0[()()]()(())N N N k h n x n h m x n m -=?=-∑ (0) n N ≤< 从定义中可以看到，循环卷积和线性卷积的不同之处在于：两个N 点序列的N 点循环 卷积结果仍为N 点序列，而它们的线性卷积的结果长度则为2N -1；循环卷积对序列的移位采取循环移位，而线性卷积对序列采取线性移位。正是这些不同，导致了线性卷积和循环卷积有不同的结果和性质。 两个序列的N 点循环卷积是它们的线性卷积以N 为周期的周期延拓。设序列()h n 的长度为1N ，序列()x n 的长度为2N ，此时线性卷积结果的序列点数为'121N N N =+-；因此如果循环卷积的点数N 小于121N N +-，那么上述周期性延拓的结果就会产生混叠，从而两种卷积会有不同的结果。而如果满足'N N =的条件，就有循环卷积与线性卷积的结果在0n N ≤<范围内相同。 根据DFT 循环卷积性质中的卷积定理 {[()()]}[()][()]N DFT h n x n DFT x n DFT h n ?=? 因此可以根据性质先分别求两个序列的N 点DFT ，并相乘，然后取IDFT 以得到循环卷积。 三、实验分析 例题：已知有限长序列()x n 与()h n 如下图所示， （1） 画出两者之间的线性卷积 （2） 8点圆卷积。 （3） 5点圆卷积。
解析如下： （1）()x n 与()h n 的线性卷积，由公式可知： ()*()()()m h n x n x m h n m ∞ =-∞ = -∑ ()x m 与()h m -的图形如下： 利用方格平移法： 由方格平移法可知： 当0n =时，()*()0h n x n = 当1n =时，()*()0h n x n = 当2n =时，()*()0*11*11h n x n =+= 当3n =时，()*()2*11*10*13h n x n =++= 当4n =时，()*()3*12*11*10*16h n x n =+++= 当5n =时，()*()3*12*11*10*16h n x n =+++= 当6n =时，()*()3*12*11*16h n x n =++= 当7n =时，()*()3*12*15h n x n =+= 当8n =时，()*()3*13h n x n ==
课程设计报告 课程设计题目：离散时间系统分析学号：201420130206 学生姓名：董晓勇 专业：通信工程 班级：1421301 指导教师：涂其远 2015年12月18日
离散时间系统的分析 一、设计目的和意义 1 . 目的： （1）深刻理解卷积和、相加、相乘运算，掌握求离散序列卷积和、相加相乘的计算方法；（2）加深理解和掌握求离散序列Z变换的方法； （3）加深和掌握离散系统的系统函数零点、函数极点和系统时域特性、系统稳定性的关系。 2 . 意义： 在对《信号与系统》一书的学习中，进行信号与系统的分析是具有十分重要的意义，同时也是必不可少的。利用matlab函数，只需要简单的编程，就可以实现系统的时域、频域分析，对系统特性进行分析，为实际的系统设计奠定了基础。本设计在离散系统Z域分析理论的基础上，利用matlab对离散系统的稳定性和频域响应进行了分析。 二、设计原理
第一部分：对离散时间系统的时域进行分析呈 对离散时间信号的代数运算（相加、相乘、卷积和），是在时域进行分析。相加用“+”来完成，相乘用“·*”来完成，卷积和则用conv 函数来实现，具体形式为y=conv(x1,x2,….)，其中x1,x2,…..为输入的离散序列 ，y 为输出变量。 在零初始状态下，matlab 控制工具箱提供了一个filter 函数，可以计算差分方程描述的系统的响应，其调用形式为： y=filter(b,a,f) 其中，a=[a0,a1,a2,…]、b=[b0,b1,b2,….]分别是系统方程左、右边的系数向量，f 表示输入向量，y 表示输出向量。 第二部分：对离散时间系统的Z 域进行分析 matlab 工具箱提供了计算Z 正变换的函数ztrans,其调用形式为： F=zrtans(f) %求符号函数f 的Z 变换，返回函数的自变量为z 。 Matlab 的zplane 函数用于系统函数的零极点图的绘制，调用方式为： zplane(b,a)其中，b 、a 分别为系统函数分子、分母多项式的系数向量。 matlab 中，利用freqz() 函数可方便地求得系统的频率响应，调用格式为： freqz(b,a,N) 该调用方式将绘制系统在0~PI 范围内N 个频率等分点的幅频特性和相频特性图。 三、 详细设计步骤 1.自己设计两个离散时间序列x1、x2，对其进行相加，相乘，卷积运算，并显示出图形。 2.根据已知的LTI 系统：y[n]-0.7y[n-1]-0.6y[n-2]+y[n-3]=x[n]+0.5[n-1]，得其在Z 域输 入输出的传递函数为： 1 12310.5()10.70.6z H z z z z ----+= --+ 利用matlab 求：（1）系统函数的零点和极点，并在z 平面显示他们的分布；（2）画出幅频响应和相频响应的特性曲线。 四、 设计结果及分析 (1).自行设计产生两个离散序列信号，对其进行相加、乘及卷积运算
上海电力学院 信号与系统实验报告 题目：循环卷积与线性卷积的实现 班级：2011023 专业：电气工程及其自动化 学号：20111257 2013年12月17日
循环卷积与线性卷积的实现 一、实验目的 1、进一步理解并掌握循环卷积与线性卷积的概念； 2、理解掌握二者的关系； 二、实验原理 两个序列的N 点循环卷积的定义为： ()()[]()()()N N k N m n x m h n x n h -=?∑-=10() N N <≤0从定义中可以看到，循环卷积和线性卷积的不同之处在于：两个N 点序列的N 点循环卷积的结果仍为N 点序列，而它们的线性卷积的结果的长度则为2N-1；循环卷积对序列的位移采取循环位移，而线性卷积对序列采取线性位移。正是这些不同，导致了线性卷积和循环卷积有不同的结果和性质。 循环卷积和线性卷积虽然是不同的概念，但它们之间由一个有意义的公式联系在一起：()()()[]()()n G rN n y n x n h n y N r N ??? ??-'=?=∑∞-∞=其中()()()n x n h n y *='。 也就是说，两个序列的N 点循环卷积是他们的线性卷积以N 为周期延拓。设序列()n h 的长度为N1，序列()n x 的长度为N2，此时，线性卷积结果的序列的点数为121-+='N N N ;因此如果循环卷积的点数N 小于121-+N N ,那么上述周期性延拓的结果就会产生混叠，从而两种卷积会有不同的结果。而如果N 满足N N '=的条件，就会有()()n y n y '=() N n <≤0这就意味着在时域不会产生混叠。因此，我们得出结论：若通过在序列的末尾填充适当的零值，使得()n x 和()n h 成为121-+N N 点序列，并作出这两个序列的121-+N N 循环卷积，那么循环卷积与线性卷积的结果在N n <≤0范围内相同。 根据DFT 循环卷积性质中的卷积定理
循环卷积与线性卷积的实现 一、 实验目的：（1）进一步理解并掌握循环卷积与线性卷积的概念。 （2）理解掌握二者的关系。 三、实验原理 两个序列的N 点循环卷积定义为 ()()[]()()()()N n m n x m h n x n h N k N N <≤-= ?∑-=01 从定义中可以看到，循环卷积和线性卷积的不同之处在于：两个N 点序列的N 点循环卷积的结果仍为N 点序列，而他们的线性卷积的结果的长度则为2N-1；循环卷积对序列的移位采取循环移位，而线性卷积对序列采取线性位移。正式这些不同，导致了线性卷积和循环卷积有不同的结果和性质。 循环卷积和线性卷积虽然是不用的概念，但是它们之间有一个有意义的公式联系在一起 ()()()[]()()n G rN n y n x n h n y N r N ?? ? ??-'=?=∑∞-∞= 其中()()()n x n h n y *=' 也就是说，两个序列的N 点循环卷积是他们的线性卷积以N 为周期的周期延阔。设序列()n h 的长度为1N ,序列()n x 的长度为2N ，此时，线性卷积结果的序列的点数为121-+='N N N ;因此如果循环卷积的点 数N 小于12 1-+N N ，那么上述周期性延阔的结果就会产生混叠，从 而两种卷积会有不同的结果。而如果N 满足N N '=的条件，就会有 ()()()N n n y n y <≤'=0
这就会意味着在时域不会产生混叠。因此，我们得出结论：若通过在序列的末尾填充适当的零值，使得()n x 和()n h 成为121-+N N 店序 列，并作出这两个序列的12 1-+N N 循环卷积与线性卷积的结果在 N n <≤0范围内相同。 根据DFT 循环卷积性质中的卷积定理 ()()[]{}()[]()[]n h DFT n x DFT n x n h DFT N ?= ? 便可通过两种方法求两个序列的循环卷积：一是直接根据定义计算；二是根据性质先分别求两个序列的N 点DFT ，并相乘，然后取IDFT 以得到循环卷积。第二种方法看起来要经过若干个步骤，但由于求序列的DFT 和IDFT 都有快速算法，因此它的效率比第一种方法要高得多。 同样，根据线性卷积和循环卷积的关系，可以通过计算循环卷积以求得线性卷积，提高计算序列线性卷积的效率。 四、 实验内容 输入程序序列如下： n=[0:1:4];m=[0:1:3]; x1=1+n;x2=4-m; %生成函数x1和x2 L1=length(x1)-1;L2=length(x2)-1; %取函数的长度 y1=conv(x1,x2); %直接用函数conv 计算线性卷积 n1=[0:1:L1+L2]; subplot(3,1,1);stem(n1,y1) %绘制线性卷积图形
大连理工大学实验报告 学院（系）：电信专业：生物医学工程班级：**1101 姓名：**** 学号：201181*** 组：___ 实验时间：实验室：实验台： 指导教师签字：成绩： 实验一线性卷积和圆周卷积 一、实验程序 1.给出序列x=[3,11,7,0,-1,4,2]，h=[2,3,0,-5,2,1]；用两种方法求两者的线性卷积y，对比结果。 a)直接调用matlab内部函数conv来计算。 b)根据线性卷积的步骤计算。 clear; clc; x=[3 11 7 0 -1 4 2];n1=0:1:length(x)-1; h=[2 3 0 -5 2 1];n2=0:1:length(h)-1; y=conv(x,h);n3=0:1:length(x)+length(h)-2; figure(1); subplot(121);stem(n1,x,'.');axis([0 6 -15 15]);title('x(n)序列');grid; subplot(122);stem(n2,h,'.');axis([0 5 -10 10]);title('h(n)序列');grid; figure(2); subplot(121);stem(n3,y,'.');axis([0 12 -60 60]);title('调用conv函数的线性卷积后序列');grid; N=length(x);M=length(h);L=N+M-1; for(n=1:L) y1(n)=0; for(m=1:M)
k=n-m+1; if(k>=1&k<=N) y1(n)=y1(n)+h(m)*x(k); end; end; end; subplot(122);stem(n3,y1,'*');axis([0 12 -60 60]);title('按步骤计算的线性卷积后序列');grid; 结果 2.卷积后结果y=[ 6 , 31 , 47 , 6 , -51 , -5 , 41 , 18 , -22 , -3 , 8 , 2]。 将函数conv 稍加扩展为函数conv_m ，它可以对任意基底的序列求卷积。格式如下： function [y,ny]=conv_m(x,nx,h,nh) x(n)序列 h(n)序 列 调用conv 函数的线性卷积后序列 按步骤计算的线性卷积后序列
实验一、离散时间系统及离散卷积 1、单位脉冲响应 源程序： function pr1() %定义函数pr1 a=[1,-1,0.9]; %定义差分方程y(n)-y(n-1)+0.9y(n-2)=x(n) b=1; x=impseq(0,-20,120); %调用impseq函数（matlab软件的函数库） n=[-20:120]; %定义n的范围，从-20 到120 h=filter(b,a,x); %调用函数给纵坐标赋值 figure(1) %绘图figure 1 (冲激响应) stem(n,h); %在图中绘出冲激 title('单位冲激响应（耿海锋）'); %定义标题为:'冲激响应（耿海锋）' xlabel('n'); %绘图横座标为n ylabel('h(n)'); %绘图纵座标为h(n) figure(2) %绘图figure 2 [z,p,g]=tf2zp(b,a); %绘出零极点图 zplane(z,p) function [x,n]=impseq(n0,n1,n2) %声明impseq函数 n=[n1:n2]; x=[(n-n0)==0]; 结果： Figure 1:
Figure 2:
2、离散系统的幅频、相频的分析 源程序： function pr2() b=[0.0181,0.0543,0.0543,0.0181]; a=[1.000,-1.76,1.1829,-0.2781]; m=0:length(b)-1; % m的范围，从0 到3 l=0:length(a)-1; % l的范围，从0 到3 K=5000; k=1:K; w=pi*k/K; %角频率w H=(b*exp(-j*m'*w))./(a*exp(-j*l'*w));%对系统函数的定义 figure(1) magH=abs(H); %magH为幅度 angH=angle(H); %angH为相位 plot(w/pi,magH-耿海锋); %绘制w(pi)-magH-耿海锋的图形 figure(2) axis([0,1,0,1]); %限制横纵座标从0到1 xlabel('w(pi)'); %x座标为 w(pi) ylabel('|H|'); %y座标为 angle(H)-耿海锋 title('幅度，相位响应（耿海锋）'); %图的标题为:'幅度，相位响应（耿海锋）' plot(w/pi,angH); %绘制w(pi)-angH的图形 grid; %为座标添加名称 xlabel('w(pi)'); %x座标为 w(pi) ylabel('angle(H)'); %y座标为 angle(H) 结果： Figure1
实验四 循环卷积与线性卷积的实现 一、仿真实验目的 1）进一步理解并掌握循环卷积与线性卷积的概念； 2）理解掌握二者的关系。 二、实验分析和计算 两个序列的N 点循环卷积定义为 10 [()()]()(())N N N k h n x n h m x n m -=?=-∑ (0)n N ≤< 从定义中可以看到，循环卷积和线性卷积的不同之处在于：两个N 点序列的N 点循环卷积的结果仍为N 点序列，而它们的线性卷积的结果的长度为2N-1；循环卷积对序列的移位采取循环移位，而线性卷积对序列采取线性移位。正是这些不同，导致了线性卷积和循环卷积有不同的结果和性质。 循环卷积和线性卷积虽然是不用的概念，但它们之间由一个有意义的公式联系在一起 ()[()()](())() N N r y n h n x n y n rN G n ∞ =-∞ '=?=-∑ 其中()()()y n h n x n '=*。 也就是说，两个序列的N 点循环卷积是它们线性卷积以N 为周期的周期延拓。设序列还()h n 的长度为1N ，序列()x n 的长度为2N ，此时，线性卷积结果的序列 的点数为121N N N ' =+-；因此如果循环卷积的点数N 小于121N N +-，那么上述周期性延拓的结果就会产生混叠，从而两种卷积会有不同的结果。而如果N 满足N N '=的条件，就会有 ()()y n y n '= (0)n N ≤< 这就意味着时域不会产生混叠。因此，我们得出结论：若通过在序列的末尾填充适当的零值，使得()x n 和()h n 成为121N N +-点序列，并作为这两个序列的121N N +-循环卷积，那么循环卷积与线性卷积的结果在0n N ≤<范围内相同。 根据DFT 循环卷积性质中卷积定理 {[()()]}[()][()]N DFT h n x n DFT x n DFT h n ?=? 便可通过两种方法求两个序列的循环卷积：一直直接根据定义计算；二是根据性质先分别求两个序列的N 点DFT ，并相乘，然后取IDFT 以得到循环卷积。第二
§7-1 概述 一、 离散时间信号与离散时间系统 离散时间信号：只在某些离散的时间点上有值的 信号。 离散时间系统：处理离散时间信号的系统。 混合时间系统：既处理离散时间信号，又处理连 续时间信号的系统。 二、 连续信号与离散信号 连续信号可以转换成离散信号，从而可以用离散时间系统（或数字信号处理系统）进行处理： 三、 离散信号的表示方法： 1、 时间函数：f(k)<——f(kT)，其中k 为序号，相当于时间。 例如：)1.0sin()(k k f = 2、 （有序）数列：将离散信号的数值按顺序排列起来。例如： f(k)={1,0.5,0.25,0.125,……,} 时间函数可以表达任意长（可能是无限长）的离散信号，可以表达单边或双边信号，但是在很多情况下难于得到；数列的方法表示比较简单，直观，但是只能表示有始、有限长度的信号。 四、 典型的离散时间信号 1、 单位样值函数： ?? ?==其它001)(k k δ 下图表示了)(n k -δ的波形。
这个函数与连续时间信号中的冲激函数)(t δ相似，也有着 与其相似的性质。例如： )()0()()(k f k k f δδ=， )()()()(000k k k f k k k f -=-δδ。 2、 单位阶跃函数： ?? ?≥=其它001)(k k ε 这个函数与连续时间信号中的阶跃函数) (t ε相似。用它可以产生（或表示）单边信号（这里称为单边序列）。 3、 单边指数序列： )(k a k ε 比较：单边连续指数信号：)()()(t e t e t a at εε=，其底一定大于零，不会出现负数。 4、 单边正弦序列：)()cos(0k k A εφω+ 双边正弦序列：)cos(0φω+k A (a) 0.9a = (d) 0.9a =- (b) 1a = (e) 1a =- (c) 1.1a = (f) 1.1a =-
卷积、线性卷积、循环卷积与OFDM 中的循环前缀CP 摘要：本文主要讲述了卷积的定义及如何理解卷积，用离散样值近似计算连续卷积的方法，用循环卷积计算线性卷积的方法，用线性卷积计算循环卷积的方法，以及后者在OFDM 中的应用（循环前缀CP ），并给出了相关的Matlab 代码和实例进行验证和说明。目的是为了建立起连续信号处理与离散信号处理之间的联系。与本人在百度文库中的连续时间傅立叶变换与离散时间傅里叶变换之间的关系、从DTFT 到DFT ，计算频谱，并由频谱反求时间样点，为三部曲。 1. 连续信号卷积的定义及实质 众所周知，当信号x(t)通过具有单位冲击响应为h(t)的因果LTI 系统时，其输出信号y(t)是前二者之间的线性卷积： ()()()()0 ()()*()T t t T y t x t h t h x t d x h t d t t t t t t -== -= -蝌 (1) 其中假设单位冲击响应在[0 T]之外的值都是0。 从数学上来看，要得到第二个积分公式中的h(t-τ)，需先把h(τ)先以τ＝0的轴进行时域翻转，然后再向右移动t 个单位。 h(τ) h(-τ )
图1.从上到下依次为h(τ), h(-τ), h(1-τ), x(τ), h(1-τ)* x(τ) 在上面这个图形例子中，取t=1，故公共区间为[0,1]这个区间，故卷积积分的区间也是这个公共区间，即 ()()1 0(1)y x h t d t t t = - ò (2) 上面图中的卷积结果将是一个分段函数。 上面的例子中，由于h(t)是连续的，故其与x(t)卷积的意义并不直观。下面我们令 h()()0.2(t 0.1)0.1(0.2)t t t d d d =+--- (3) 这是一个典型的多径时延信道的抽头延迟线（TDL ）模型的单位冲击响应。由于 ()()()()()000*x t t t x t t d x t t d t d t t ￥ ￥ -= --=-ò－ (4) 所以x(t)通过(3)式表示的信道h(t)后得到： ()()()()() ()()() **()0.2(t 0.1)0.1(0.2)0.20.10.10.2y t x t h t x t t t x t x t x t d d d ==+---=+--- (5) h(1-τ ) x(τ ) 移位对齐后相乘并积分（t=1）
实验三 线性卷积与循环卷积 1、实验目的 （１）掌握线性卷积的计算机编程方法，利用卷积的方法观察系统响应的时域特性。 （２）掌握循环卷积的计算机编程方法，并比较与线性卷积的差别，验证二者之间的关系。利用循环卷积的方法观察、分析系统响应的时域特性。 2、实验原理 （１）线性卷积： 线性时不变系统（Linear Time-Invariant System, or LTI 系统）输入、输出间的关系为：当系统输入序列为)(n x ，系统的单位脉冲响应为)(n h ，输出序列为)(n y ，则系统输出为： ∑∞ -∞=-= *=m m n h m x n h n x n y )()()()()( 上式称为线性卷积。 （２）循环卷积 设两个有限长序列)(1n x 和)(2n x ，长度分别为1N 和2N ， )()(11k X n x D FT N ???→←点 )()(22k X n x D F T N ???→←点 如果 )()()(21k X k X k X ?= 则∑---= =1021)())(()()]([)(N m N N n R m n x m x k X IDFT n x 上式称为)(1n x 和)(2n x 的循环卷积。 （３）两个有限长序列的线性卷积 序列)(1n x 和)(2n x ，长度分别为L 点和M 点，)(3n x 为这两个序列的线性卷积，则)(3n x 为 ∑∞-∞=-= *=m m n x m x n x n x n x )()()()()(21213 且线性卷积)(3n x 的非零值长度为L +M -1点。 （４）循环卷积与线性卷积的关系 序列)(1n x 为L 点长，序列)(2n x 为M 点长，若序列)(1n x 和)(2n x 进行N 点的循环卷积)(n x c ，其结果是否等于该两序列的线性卷积)(n x l ，完全取决于循环卷积的长度。 由教材相关推导，得∑∞-∞=+= q N l c n R qN n x n x )()()(，也就是说，循环卷积是线性卷积 的周期延拓序列再取主值区间。 当N ≥L+P-1时循环卷积等于线性卷积，即)()(n x n x l c =； 当N
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