TAMAYA数字求积仪Super PLANIX α
仪器使用说明
Super PLANIX α仪器操作说明书目录
简介 (1)
显示屏及操作键 (2)
量测功能选择 (5)
量测单位选择 (7)
比例尺及坐标系统设置 (9)
已知坐标校正 (15)
小数点设置 (19)
自动编号初始化设置 (20)
量测 (22)
1. 直线、面积量测模式 (22)
a. XY 坐标点 (22)
b. 边长 (23)
c. 直线 (24)
d. 面积 (24)
e.
f. 圆心 (26)
半径 (27)
g. 量测结果求和及平均 (28)
h. 环行面积量测 (31)
2. 三角量测模式 (33)
3. 角度量测模式
计算模式 (37)
量测结果求和模式 (38)
数据输出模式选择 (39)
拷贝显示 (40)
手工输入数字输出 (40)
初始化设置 (41)
售后服务 (42)
注意事项 (42)
技术规格 (43)
简介
感谢阁下购买了TAMAYA 公司的Super PLANIX α型数字求积仪! Super PLANIX α
型数字求积仪在XY 坐标、边长、直线、面积、圆心、半径、三角及角度量定等方面的功能，得到了很大的提升。其可选配的功能特征，还包括可连接一台16 位数字宽度的简易打印机，或通过连接一条RS-232C 接口电缆，进行量测数据的双向传输。
Super PLANIX α型数字求积仪增加了更多的功能命令，以确保其完全计算机化了的数
字处理器功能之精确性。Super PLANIX α型数字求积仪内涵的众多先进特性包括：数字显示扩增至16 位数字两行显示，允许量测结果精确读至10 位数；
―X‖方向量测范围扩展到100 米；
电池操作时间提升到40 小时；
仪器坐标可转换为作图坐标；
具备―反悔‖功能，量测当中可进行―反悔‖操作；
量测及显示时，提供―公制‖、―英制‖两套单位系统供选择；
可选择及显示小数点；
量测点及量测结果自动编号；
更大更亮的追踪放大镜；
专为方便单手操作而设计的追踪臂和操作按键；
追踪臂可顺时针及逆时针转动，方便左手操作。
显示屏及操作键
显示屏
显示模式：
数字字符：
字符分辨率：
尺寸：
对比度调节：
按键（开关）
ON/OFF 开关
CE.C
16 位数字两行显示
5×7 点+光标线
61mm×15.8mm
调节柱控制
电源开关（电源打开，追踪臂保险锁自动打开）
清除键（量测开始前清楚内存）
OUT （÷）数学功能量测功能选取键（选取量测模式和量测功能）
UNIT（×）数学功能
SCALE.ADJ
（?）数学功能
XY.ADJ
（+）数学功能
量测单位选取键（―公制‖、英制‖单位系统选取）
比例尺和坐标校正键
（比例尺、原点坐标设置及坐标校正）
XY 校正键
（X 或Y 值选取，允许坐标设置及比例尺输入）ENTER
CHG
DP
（=）数学功能
（）数学功能
输入键
改变选取键（重置选取模式）
小数点设置键（设置小数点后的数字位数）
P* > 0~9 . CAL M+ RM.RT END
自动编号键（为量测点及量测结果自动编号） 显示模式改变键（移动光标显示） 数字键-小数点键
数学功能键(可从量测模式转换成四则运算模式) 内存中所有量测结果累加键 内存数据调用键
量测结束键(每一次量测结束而又没有平均前,按 END 键允许求取长度和面 积的的平均值.量测结果存储在累加记忆体中)
PRINTER/RS-232C
P-NP PAR COPY #
打印/不打印 选取键(打印功能选取,RS-232C 电缆输出功能选取) 拷贝键(打印屏幕显示,RS-232C 电缆输出屏幕显示)
手工输入数字输出键(打印输出数据, RS-232C 电缆输出手工输入数字)
量测键
量测键
START/PLOT 键
START/PLOT POINT/STREAM CANCEL ARC
START/PLOT 键（追踪点置于开始点上开始量测，画一个点） 点和曲线选取键（点模式和曲线模式转换） 取消键（取消上一次点的量测结果） 弧线量测键 （在弧线模式下量测弧线）
追踪手柄
追踪手柄可平行或垂直于追踪臂放置及锁定（以跟踪放大镜中心为轴心），对左手和右手操作均非常方便。
量测前的准备工作
把图纸或其他要量测的物体放置于光滑的水平上，按下电源开关启动Super PLANIX α求积仪，开始量测。
量测功能选取OUT
Super PLANIX α求积仪启动时，按OUT 键选择量测功能选取模式。在量测功能下有如下 3 种量测模式可供选择：
量测模式量测功能
1.直线/面积（I/a）XY 坐标
S 边长
L 直线
A 面积
C 圆心*1
R 半径*1，2
2.三角（tri）XY 坐标
B 低面边长*3
H 高
A 面积
3.角度（ang）XY 坐标
S 边长
AN 角度（360°或400 gon 可选）注：
*1 *2 *3 *4 C 和R 不能同时输出
R 不能在曲线（连续）量测模式下使用
三角量测模式不能在曲线（连续）量测模式下使用角度量测模式不能在曲线（连续）量测模式下使用
按OUT 键显示屏显示当前正在使用的量测模式。
要改变量测模式，请按CHG 键，然后用>选择所需的量测模式,按ENTER 键确定. 按键显示说明
POWER ON READY(I/a) P
0.
OUT I/a: XY S L A C R
** 仪器开始显的是直线/面积量测功能. 字符下的*
正处于量测功能选取状态.
表明仪器
CHG I/a trl ang 选取量测功能. 字符下的*表明仪器将要选取的是直线/面积* 模式.
> I/a trl ang 选取量测功能. 字符下的*表明仪器将要选取的是三角模式.
*
> I/a trl ang 选取量测功能. 字符下的*表明仪器将要选取的是角度.模式.
*
> I/a trl ang 选取量测功能.选好后,按ENTER 键.
*
ENTER I/a: XY S L A C R 选取的是直线/面积模式
**
字符下的*表示仪器将要选取上面所罗列的量测模式.
当光标在闪烁时,按CHG 键改变选取内容,光标可通过按>移动.
按键显示说明
I/a: XY S L A C R
**
字符下的*表示仪器将要选取该字符所代表的功能
CHG I/a: XY S L A C R
**
READY(I/a) P
0. 光标可通过按>移动,当光标在闪烁时,按CHG 键改变选取的内容.
将要在直线/面积模式下开始量测
OUT CHG I/a trl ang
*
> I/a trl ang 三角.模式.
*
ENTER ENTER Trl: XY B H A
— ***
Trl: XY B H A
***
READY(trl) P
0.
低面边长,高和面将被显示
按ENTER 键完成选择，屏幕立即显示：
将要在三角模式下开始量测
OUT CHG I/a trl ang 选取量测模式,按ENTER 键,选取角度模式> *
ENTER ENTER Ang:XY S AN
*
Ang:XY S AN
*
READY(ang) P
当光标在AN 下闪烁及出现*,角度模式显示
按ENTER 键完成选择，屏幕立即显示：
将要在三角模式下开始量测
0.
当量测模式及量测功能选取完毕后,量测数据便可通过选取的输出设备(打印机或RS-232C 电缆)进行输出.当然,如果设备连接不正确,数据是输不出去的.
量测单位选取UNIT
仪器处于工作状态时，按UNIT 键选择量测单位选取模式
Super PLANIX α求积仪内置有诸如公制和英制及其他制式等量测单位系统可供选择。
直线系数面积系数
公制
英制系统（英尺）mm
cm
m
m
km
km
in
ft
yd
1
0.1
0.001
0.001
0.0001
0.0001
0.039370078
0.003280839897
0.001093613298
mm
cm
m
a
ha
km
in
ft
yd
1
0.1
0.001
0.0001
0.00001
0.000001
0.039370078
0.003280839897
0.001093613298
yd
mi
0.001093613298
-7
6.213711922 10
ac
mi
1.571958592 10
6.213711922 10
-5
-7
其他单位系统U 通过数字键输入U 通过数字键输入
当按下UNIT 键，以前使用的单位系统会显示在屏幕上。要更换单位系统，请按CHG 键，通过> 选取所需的单位系统(以*标示),然后按ENTER 键确认.
按键显示内容
READY(i/a) P
0.
说明
UNIT L
A mm
mm
显示当前量测单位系统
要改变量测单位系统,按CHG 键
CHG m ft u 要改变量测单位系统,按CHG 键
* m 下的*表明选取的是公制系统
一旦量测单位系统已经选定,屏幕就会显示出选定的单位系统。顶行显示直线单位，底行显示面积单位。按> 移动光标到所要选定的单位系统下面,按ENTER 键.
对于公制系统
按键显示内容说明
m * ft u 公制系统
按ENTER 键选取公制系统
ENTER >
> mm cm m m km km
mm cm m a ha km
mm cm m m km km
mm cm m a ha km
mm cm m m km km
mm cm m a ha km
光标在顶行的直线单位行
底行是面积单位行
移动光标到所需的单位下
移动光标到所需的单位下
ENTER L
A
READY(i/a) P
m
m
按ENTER 键结束单位选择.
屏幕立即显示:Line Unit: m Area Unit: m 0.
对于英制系统
按键显示内容说明
m * ft u 英制系统
按ENTER 键选取英制系统
ENTER > In
In
In
In
ft
ft
ft
ft
yd
yd
yd
yd
yd
ac
yd
ac
mi
mi
mi
mi
光标在顶行的直线单位上
底行是面积单位
移动光标到所需的单位下
ENTER L ft 按ENTER 键结束单位选择.
A
READY(i/a) P
ft 屏幕立即显示:Line Unit: ft Area Unit: ft
0.
对于其他单位系统
按键显示内容说明
ENTER >
m
*
INPUT !
U
INPUT !
ft
0.
u 其他单位系统
按ENTER 键选取其他单位系统
输入单位系数
1 海里= 0.00000054mm
ENTER U 0.00000054
按ENTER 键结束单位选择. U
READY(i/a)
0.00000054
P
屏幕立即显示:
0.
比例尺和坐标系统设置SCALE.ADJ
仪器处于工作状态时,按SCALE-ADJ 键,屏幕显示当前存于系统中的比例尺.
比例尺功能包括:
比例尺设置
1. 按键输入- 比例尺值可手工输入.
X 及Y 之减少值可输入
2. 实际值量测改正
比例尺功能可量测出图纸上两点间的实际距离.
也可输入距离值以确定图上两点
允许分别输入XY 方向上的比例尺
坐标改正
当需要对坐标系统的角度和坐标轴时,启用该功能.
斜面改正(量测功能)
：需要改正
：可以改正
—：不需要改正
有和标示，下述1、2、3 项改正功能都需要。
有标示，在量测前需要改正，否则，出现―NEED LINE-ADJUST‖提示信息，不能进行量测.
有标示，不必进行坐标改正，但仪器坐标会显示在屏幕上。
若X 和Y 方向上的量测比例尺大小不同，除面积量测功能外，必须进行坐标量测。
1. 坐标系统设置
有两种坐标系统可供设置：数学坐标/ 测量坐标
（仪器初始设置坐标系统为数学坐标）
数学坐标与测量坐标之间的区别在于面积量测时的方向和次序关系。Super PLANIX α可量测―负‖面积。
数学系统
<
坐标点
X
面积角度
X<0
Y>0
X<0
Y<0
X>0
Y>0
X>0
Y<0
Y
测量系统坐标点面积角度
Y
X<0
Y>0
X>0
Y>0
Y<0 Y<0
2. 倾斜改正
以作图原点及坐标轴上的另一点来决定倾斜角度
数学系统量测系统
3. 坐标零点
可通过输入数据来确定作图坐标
按SCALE-ADJ 键显示当前的比例尺。要改变比例尺，按CHG 键，然后按>键移动*到所需的比例尺（按键输入或实际量测改正）。按ENTER 键完成选取。
KEY PLOT
* 按键输入* 实际量测改正
如果选定了按键输入，就可以通过数字键输入比例尺的数值了。
如果选定了实际测量改正，可以通过绘出的两点和输入的距离来定义比例尺。
通过按键输入设置比例尺（X 和主比例尺相同）
按键显示说明
SCALE-ADJ CHG > ENTER
20
ENTER
S/PLOT
S/PLOT
30
ENTER
S/PLOT
S/PLOT
CE-C READ(I/a) P
0.
SX 100.
SY 100.
KEY PLOT
*
INPUT!
DX 0. m
INPUT!
DX 2 0. m
PLOT!
PX 1
PLOT!
PX 2
INPUT!
DY 0. m
INPUT!
DY 30. m
PLOT!
PY1
PLOT!
PY 2
SX 100.1234567
SY 99.9876543
READ(I/a) P
0.
显示当前比例尺
按CHG 键改变当前比例尺
按>键移动*到所需的比例尺输入方式
按ENTER 键选择实际量测改正
输入X 轴上两点间的距离
按ENTER 键
按START/PLOT 键,跟踪点置于X 轴的第
一点上
按START/PLOT 键, 跟踪点置于X 轴的第
二点上
输入Y 轴上两点之间的距离
按ENTER 键
按START/PLOT 键
把跟踪点置于Y 轴的第一点上
按START/PLOT 键,把跟踪点置于Y 轴的
第二点上,实际量测改正比例尺将会马上
显示出来
完成比例尺设置(如果要进行面积输出不
必进行坐标改正)
通过实际量测改正来设置比例尺(X Y 方向比例尺可不同) 打印说明
Dx 20. X 0. Y 0. X 201.4258632 Y 2.175963483 Dy 30. X 0. Y 0. X -3.27598429 Y 299.84255631 SX 100.1234567 SY 99.9876543 m
mm
mm
mm
mm
m
mm
mm
mm
mm
mm
mm
X 轴上两点间的距离
X 轴上第一个仪器X 坐标
Y 坐标
X 轴上第二个仪器X 坐标
Y 坐标
Y 轴上两点间的距离
Y 轴上第一个仪器X 坐标
Y 坐标
Y 轴上第二个仪器X 坐标
Y 坐标
实际量测改正的X 方向比例尺
Y 方向比例尺
当Super PLANIX α求积仪需要倾斜(2)改正时,会自动显示比例尺设置完成后
的坐标系统.
按>键移动*选取数学坐标系统或者测量坐标系统,按ENTER 键.
按START/PLOT 键会坐标轴上的零点及另一点以确定角度.显示屏将会切换到零点屏幕,输入零点的图上坐标.
直线和面积显示的坐标改正(X 和Y 方向的比例尺不同)
`按键显示
READ(I/a) P
0.
说明
SCALE-ADJ CHG SX
SY
KEY
100.
100.
PLOT
显示当前比例尺
按CHG 键，改变比例尺*
ENTER ENTER INPUT!
SX
INPUT!
100.
按ENTER 键，选取按键输入
若X 方向比例尺不用改变，SY 100. 按ENTER 键
50 INPUT!
SY 50.
把Y 方向比例尺改为1/50
ENTER SX
SY 100.
50.
按ENTER 键，马上显示：
◇◇◇需要对直线显示进行坐标改正（X 和Y 方向上的比例尺不一样）*标明将要选取的是数学坐标或测量坐标系统。
> MATH SRVY 按>键移动*
*
ENTER S/PLOT PLOT ！
P0
PLOT ！
P x+
按ENTER 键,选取测量坐标系
统.倾斜改正
按START/PLOT 键
跟踪点置于第一个点上
S/PLOT AN 87°54‘按START/PLOT 键
跟踪点置于第二个点上.屏幕
马上显示倾斜角度: 87°54‘
100 ENTER 50 INPUT !
BX
INPUT !
BY
INPUT !
BY
100. m
0. m
50. m
输入零点X 坐标
按ENTER 键
输入零点Y 坐标
ENTER READ(i/a) P 坐标改正完成
0.
打印
SX 100.
SY 50. SRVY
X 0. mm Y 0. mm X 123.456789 mm Y -0.123456789 mm AN 87°54‘BX 100. mm BY 50. mm
说明
X 比例尺-1/100
Y 比例尺-1/50
测量坐标系统
零点第一个图上点X 坐标
Y 坐标第二个图上点X 坐标
Y 坐标
倾斜角度
改正后的零点X 坐标
Y 坐标
已知坐标改正（XY校正）XY.ADJ
仪器处于工作状态时，按XY-ADJ 键改正已知坐标.
(XY-ADJ 功能类似于SCALE 功能,但操作上有些轻微不同)
XY-ADJ 功能在有一些已知点的时候,校正结果更准确.
对输入的已知量测点数量不限制
1. 设置坐标系统
选取数学或测量坐标系统
2. 选取零点（第一点）作图
键入坐标已知点并作出这些点
3. 倾斜改正
键入并作出两点以上的坐标已知点，以确定仪器坐标与作图坐标角度之间的差
异
4. 实际量测改正
键入并作出三点以上的坐标已知点，以确定图上的实际量测改正之比例尺
按XY-ADJ 键显示坐标系统
按>键移动*选取数学坐标系统或测量坐标系统
按ENTER 键完成选取
键入坐标已知点,按START/PLOT 键描图,按ENTER 键结束.
键入一个已知点,将显示零点坐标
键入两个已知点,将显示角度.
键入三个或更多7 已知点,将显示实际改正比例尺和角度.
按键显示说明
XY-ADJ ENTER
ENTER ENTER S/PLOT
200 ENTER 100
ENTER S/P END READ(I/a) P
0.
MATH SRVY
*
INPUT!
X1 0. m
INPUT!
Y1 0. m
PLOT!
P1
INPUT!
X2 0. m
INPUT!
X2 200. m
INPUT!
Y2 100. m
PLOT!
P2
INPUT !
X3 0. m
AN 5°43‘
READ(I/a) P
0.
选取坐标系统.*表示将要选取的是数学坐
标系统
按ENTER 键完成选取
键入图上第一个点的X 值
确定键入的图上第一个点的X 值, 按
ENTER 键显示给出0.
确定键入的图上第一个点的Y 值, 按
ENTER 键显示给出0.
按START/PLOT 键
把跟踪点置于第一点上
键入图上第二个点的X 值.
按ENTER 键确定
键入图上第二个点的Y 值.
确定键入的图上第二个点的Y 值, 按
ENTER 键
按START/PLOT 键
把跟踪点置于Y 轴的第二点上
倘若不需第三点,按END 键.
马上显示:角度
倾斜改正完成
通过两个已知点进行倾斜改正
打印
MATH
X1 0. mm Y1 0. mm X -0.987654321 mm
Y -0.123456789 mm
X2 200. mm Y2 100. mm X 199.0123456 mm Y 100.2345678 mm AN 5°43‘
说明
数学坐标系统
图上第一个点X 坐标
Y 坐标仪器X 坐标
Y 坐标
图上第二个点X 坐标
Y 坐标仪器X 坐标
Y 坐标
坐标轴倾斜角度
按键显示说明
XY-ADJ > ENTER 100 ENTER 50+/- ENTER S/PLOT 200 ENTER 50+/- ENTER S/PLOT 200 ENTER 50 ENTER S/PLOT 200 ENTER READ(I/a) P
0.
MATH SRVY
*
MATH SRVY
*
INPUT!
X1 0. m
INPUT!
X1 100. m
INPUT!
Y1 0. m
INPUT!
Y1 -50. m
PLOT!
P1
INPUT!
X2 0. m
INPUT!
X2 200. m
INPUT!
Y2 0. m
INPUT!
Y2 -50. m
PLOT!
P2
INPUT!
X3 0. m
INPUT!
X3 200. m
INPUT!
Y3 0. m
INPUT!
Y3 50. m
PLOT!
P3
INPUT!
X4 0. m
INPUT!
X4 100. m
INPUT!
Y4 0. m
仪器处于直线/面积模式或曲线模式
选取坐标系统.*表示将要选取的是数学坐
标系统
按>移动*选取量测坐标系统
按ENTER 键完成选取
量测坐标系统
键入图上第一个点的X 值
确定键入的图上第一个点的X 值
键入图上第一个点的Y 值
确定键入的图上第一个点的Y 值
按START/PLOT 键
把跟踪点置于第一点上
键入图上第二个点的X 值.
确定键入的图上第二个点的X 值.
键入图上第二个点的Y 值.
确定键入的图上第二个点的Y 值
按START/PLOT 键
把跟踪点置于第二点上
键入图上第三个点的X 值.
确定键入的图上第三个点的X 值.
键入图上第三个点的Y 值.
确定键入的图上第三个点的Y 值
按START/PLOT 键
把跟踪点置于第三点上
键入图上第四个点的X 值.
确定键入的图上第四个点的X 值.
通过四个已知点进行实际量测倾斜改正
50 INPUT! 键入图上第四个点的Y 值.
Y4 50. m
ENTER S/PLOT PLOT!
P4
INPUT!
确定键入的图上第四个点的Y 值
按START/PLOT 键
X5 0. m 把跟踪点置于第四点上
END SX 100.1234567 倘若不需第五点,按END 键.
SY
AN READ(i/a) 99.8765432
1°23‘
S
0.
马上显示:实际量测改正比例尺
马上显示坐标轴倾斜角度
实际量测倾斜改正完成
打印SRVY
X1 100. mm Y1 -50. mm X -0.987654321 mm Y -0.123456789 mm X2 200. mm Y2 -50. mm X -0.987654321 mm Y 0.234567895 mm X3 200. mm Y3 50. mm X 99.0123456 mm Y 100.23456789 mm X4 100. mm Y4 50. mm X -0.987654321 mm Y 100.234567895 mm SX 100.1234567
SY 99.8765432
AN 1°23‘
说明
量测坐标系统
图上第一个点X 坐标
Y 坐标仪器X 坐标
Y 坐标
图上第二个点X 坐标
Y 坐标仪器X 坐标
Y 坐标
图上第三个点X 坐标
Y 坐标仪器X 坐标
Y 坐标
图上第四个点X 坐标
Y 坐标仪器X 坐标
实际量测改正-X 比例尺
Y 比例尺坐标轴倾斜角度
执行函数为1、使用方法： Step1：在MATLAB命令窗口输入被积函数 2 1 2 t t e dt 。 输入应为：。 Step2：执行函数。输入形式为mymulNewtonCotes(ft,a,b,m,n)； 其中ft—被积函数，此体重，已经在第一步赋值； a—积分下限，本题中为0； b—积分上限，本题中为1； m—将区间[a,b]等分的子区间数量，本题可选为10； n—采用的Newton-Cotes公式的阶数，必须满足n<8，否则积分没法保证稳定性。 当n=1时，即为复化梯形公式；n=2时，即为复化复化辛普森公式。 所以，分别输入mymulNewtonCotes(ft,0,1,10,1)和mymulNewtonCotes(ft,0,1,10,2)就可以得到两种方法的积分计算结果。 2、计算结果 而根据积分运算，可得： 说明复化梯形和复化辛普森公式计算出的结果基本一致，与实际结果相符。 3、程序代码 functionyy=mymulNewtonCotes(ft,a,b,m,n) %复化Newton-Cotes数值积分公式，即在每个子区间上使用Newton-Cotes公式，然后求和, %参考的输入形式为mymulNewtonCotes(ft,0,1,10,2) %参数说明: %ft——被积函数，此题中ft=@(t)t.*exp(t^2/2) %a——积分下限 %b——积分上限 %m——将区间[a,b]等分的子区间数量 %n——采用的Newton-Cotes公式的阶数，必须满足n<8，否则积分没法保证稳定性 %(1)n=1时为复化梯形公式
%(2)n=2时为复化辛普森公式 xx=linspace(a,b,m+1); forl=1:m s(l)=myNewtonCotes(ft,xx(l),xx(l+1),n); end yy=sum(s); function[y,Ck,Ak]=myNewtonCotes(ft,a,b,n) %牛顿-科特斯数值积分公式 %Ck——科特斯系数 %Ak——求积系数 %y——牛顿-科特斯数值积分结果 xk=linspace(a,b,n+1); forj=1:n+1 ff(j)=ft(xk(j)); end %计算科特斯系数 fori=1:n+1 k=i-1; Ck(i)=(-1)^(n-k)/factorial(k)/factorial(n-k)/n*quadl(@(t)intfun(t,n,k),0,n); end %计算求积系数 Ak=(b-a)*Ck; %求和算积分 y=Ak*ff'; functionf=intfun(t,n,k) %科特斯系数中的积分表达式 f=1; fori=[0:k-1,k+1:n] f=f.*(t-i); end
数值分析 实 验 报 告 专业：信息与计算科学 班级： 10***班 学号： 1008060**** 姓名： ******
实验目的： 用龙贝格积分算法进行积分计算。 算法要求： 龙贝格积分利用外推方法，提高了计算精度，加快了收敛速度。 1--4R R R R 1-j 1-j 1-k 1-j k 1-j k j k ，，，，+= ，k=2，3，… 对每一个k ，j 从2做到k ，一直做到|R R 1-k 1-k k k -，，| 小于给定控制精 度时停止计算。 其中： T R h k 1k =，（复化梯形求积公式），2h 1-k k a -b = 程序代码： #include
while(t!=n) { t*=2; ++i; } return i; } float t(int n) { float g,h,q=0; if(1==n) { h = (float)fabs(b-a); q = (f(a)+f(b))*h/2; } else { float x = a; g = 0; h = (float)fabs(b-a)*2/n; x = x+h/2; while(x 牛顿—莱布尼茨公式 前言 此证明主要是献给那些无论如何，竭斯底里都想知道自已手上这条无与伦比公式背后的秘密的高中生。 公式的证明首先是从定积分的基本性质和相关定理的证明开始，然后给出积分上限函数的定义，最后总揽全局，得出结论。证明过程会尽可能地保持严密，也许你会不太习惯，会觉得多佘，不过在一些条件上如函数f(x)，我们是默认可积的。 所有证明过程都是为后续的证明做铺掂的，都是从最低层最简单开始的，所以你绝对，注意，请注意，你是绝对能看懂的，对于寻求真理的人，你值得看懂！ (Ps ：如果你不太有耐心，我建议你别看了，因为这只会让你吐出垃圾两个字) 定积分性质的证明 首先给出定积分的定义： 设函数f(x)在区间[a,b]上连续，我们在区间[a,b]上插入n-1个点分成n 个区间[a,x 1],[x 1,x 2]…[x n ,x n-1]，其中x 0=a ，x n =b ，第i 个小区间?x i = x i -x i-1(i=1,2…n)。 由它的几何意义，我们是用无数个小矩形的面积相加去模拟它的面积，因此任一个小矩形的面积可表示为?S i =f(εi ) ?x i ,为此定积分可以归结为一个和式的极 限 即： 性质1：证明?b a c dx = C(b-a)，其中C 为常数. 几何上这就是矩形的面积 性质2：F(x)和G(x)为函数z(x)的两个原函数，证明F(x)=G(x)+C,C 为常数. 设K(x)=F(x)-G(x) 定义域为K 1021110()lim ()lim (...)lim ()()n b i i n n a n n i n n f x dx f x c x x x x x x c x x c b a ε-→∞→∞=→∞=?=-+-++-=-=-∑?0()()() ()()()()()0()()()lim 0x F x G x z x K x F x G x z x z x K x x K x K x x ?→''=='''∴=-=-=+?-'∴==?Q 1()lim ()n b a n i i i f x dx f x ε→∞==?∑ ? 数值计算课程PROJECT 牛顿-柯特斯公式(Newton-Cotes Methods) 例题介绍： 请在MATLAB环境下编写牛顿-柯特斯公式，以求得π的近似值。 Instruction: Using the Newton-Cotes method to solve all the following problems. Solving the problems with MATLAB, printing out your MATLAB code, figures, as well as necessary problem-solving procedures on paper, and submit before final exam. (No late submission is accepted) Students must solve all these questions correctly to get 5 point extra credits, no partial credit is given. Plagiarizing from other’s work will be treated as 0. Problems I: The value of π can be calculated from the integral 1 2121dx x π-=+?(a)Evaluate the integral by using rectangle method, using 60 subintervals. (b)Evaluate the integral by using midpoint method, using 60 subintervals. (c)Evaluate the integral by using trapezoidal method, using 60 subintervals. (d)Evaluate the integral by using Simpson’s 1/3 method, using 60 subintervals. (e)Evaluate the integral by using Simpson’s 3/8 method, using 60 subintervals. (f)Compare the results and discuss the error from each method. 作业三——龙贝格算法的matlab实现程序流程图： 程序源代码： 文件f.m function fx = f(x) if x == 0 fx = 1; else fx = sin(x) / x; end end 文件longbeige.m clc clear all; format long a=input('请输入你要求得积分的下限:'); b=input('请输入你要求得积分的上限:'); e=input('请输入你要求得积分的结束精度:'); k=input('请输入你要求得积分的最大次数:'); fx=@(x)sin(x)/x; lbg(@f,a,b,k,e) 文件lbg.m function lbg(fx,a,b,k,e) T=zeros(k,k); T(1,1)=(b-a)*(1+fx(b))/2; for i=1:k m=0; for j=1:2^(i-1) m=m+fx(a+(2*j-1)*(b-a)/(2^i)); end T(i+1,1)=0.5*T(i,1)+(b-a)*m/2^i; for n=1:i T(i+1,n+1)=(4^n*T(i+1,n)-T(i,n))/(4^n-1); end if abs(T(i+1,i+1)-T(i,i))<=e & i>=4 break; else ; end end for i=1:k if T(i,1)==0 j=i; break; else ; end end if j==k error('所求次数不够或不可积') else ; end T=T(1:j-1,1:j-1) disp('所求的积分值为：') disp(T(j-1,1)) 牛顿—莱布尼茨公式 ● 前言 此证明主要是献给那些无论如何，竭斯底里都想知道自已手上这条无与伦比公式背后的秘密的高中生。 公式的证明首先是从定积分的基本性质和相关定理的证明开始，然后给出积分上限函数的定义，最后总揽全局，得出结论。证明过程会尽可能地保持严密，也许你会不太习惯，会觉得多佘，不过在一些条件上如函数f(x)，我们是默认可积的。 所有证明过程都是为后续的证明做铺掂的，都是从最低层最简单开始的，所以你绝对，注意，请注意，你是绝对能看懂的，对于寻求真理的人，你值得看懂！ (Ps ：如果你不太有耐心，我建议你别看了，因为这只会让你吐出垃圾两个字) ● 定积分性质的证明 首先给出定积分的定义： 设函数f(x)在区间[a,b]上连续，我们在区间[a,b]上插入n-1个点分成n 个区间 [a,x 1],[x 1,x 2]…[x n ,x n-1]，其中x 0=a ，x n =b ，第i 个小区间?x i = x i -x i-1(i=1,2…n)。 由它的几何意义，我们是用无数个小矩形的面积相加去模拟它的面积，因此任一个小矩形的面积可表示为?S i =f(εi ) ?x i ,为此定积分可以归结为一个和式的极限 即： 性质1：证明?b a c dx = C(b-a)，其中C 为常数. 几何上这就是矩形的面积 性质2：F(x)和G(x)为函数z(x)的两个原函数，证明F(x)=G(x)+C,C 为常数. 设K(x)=F(x)-G(x) 定义域为K 1021110()lim ()lim (...)lim ()()n b i i n n a n n i n n f x dx f x c x x x x x x c x x c b a ε-→∞→∞=→∞=?=-+-++-=-=-∑?0()()() ()()()()()0 ()()()lim 0x F x G x z x K x F x G x z x z x K x x K x K x x ?→''=='''∴=-=-=+?-'∴==?Q 1()lim ()n b a n i i i f x dx f x ε→∞==?∑ ? 摘要 在工程实验及研究中，实际工作中，变量间未必都有线性关系，如服药后血药浓度与时间的关系；疾病疗效与疗程长短的关系；毒物剂量与致死率的关系等常呈曲线关系。曲线拟合是指选择适当的曲线类型来拟合观测数据，并用拟合的曲线方程分析两变量间的关系.可以说，曲线拟合模型与我们的生活生产密切相关. 本课题着重介绍曲线拟合模型及其应用，其中包括它的基本思想、模型的建立、以及具体应用.为了更好的了解曲线拟合模型，可以将它分为线性与非线性模型，在模型建立的基础上我们可以用最小二乘法来解决一些我们日常所应用的问题. 关键词曲线拟合；线性与非线性模型；最小二乘发 目录 引言 (1) 第一章曲线拟合 (2) §1.1 基本思想及基本概念 (2) §1.1.1 方法思想 (2) §1.1.2几个基本概念 (2) §1.2辛普森算法基本定义及其应用 (4) §1.2.1辛普森求积公式的定义 (4) §1.2.2辛普森求积公式的几何意义 (5) §1.2.3辛普森求积公式的代数精度及其余项 (5) §1.2.4辛普森公式的应用 (6) 第二章辛普森求积公式的拓展及其应用 (7) §2.1 复化辛普森求积公式 (7) §2.1.1问题的提出 (7) §2.1.2复化辛普森公式及其分析 (7) §2.1.3复化辛普森公式计算流程图 (8) §2.1.4复化辛普森公式的应用 (9) §2.2 变步长辛普森求积公式 (10) §2.2.1变步长辛普森求积公式的导出过程 (10) §2.2.2变步长辛普森求积公式的加速过程 (12) §2.2.3变步长辛普森求积公式的算法流程图 (13) §2.2.4变步长辛普森公式算法程序代码 (14) §2.2.5变步长辛普森求积公式的应用 (14) §2.2.6小结 (14) §2.2.7数值求积公式在实际工程中的应用 (14) 参考文献 (16) 附录A (17) 实验八数值积分 信息与计算科学金融崔振威201002034031 一、实验目的： 1、掌握数据积分算法设计及程序实现 二、实验内容： 1、p290-1、p301-2 三、实验要求： 主程序： 复合梯形公式： function [I,step,h2] = CombineTraprl(f,a,b,eps) %f 被积函数 %a,b 积分上下限 %eps 精度 %I 积分结果 %step 积分的子区间数 if(nargin ==3) eps=1.0e-4; end n=1; h=(b-a)/2; I1=0; I2=(subs(sym(f),findsym(sym(f)),a)+subs(sym(f),findsym(sym(f)),b))/h; while abs(I2-I1)>eps n=n+1; h=(b-a)/n; I1=I2; I2=0; for i=0:n-1 x=a+h*i; x1=x+h; I2=I2+(h/2)*(subs(sym(f),findsym(sym(f)),x)+subs(sym(f),findsym(sym(f)),x1)); end end I=I2; step=n; h2=(b-a)/n; function [I,step,h] = IntSimpson(f,a,b,type,eps) %type = 1 辛普森公式 %type = 2 辛普森3/8公式 %type = 3 复合辛普森公式 if(type==3 && nargin==4) eps=1.0e-4; %精度为0.0001 end I=0; switch type case 1, I=((b-a)/6)*(subs(sym(f),findsym(sym(f)),a)+... 4*subs(sym(f),findsym(sym(f)),(a+b)/2)+... subs(sym(f),findsym(sym(f)),b)); step=1; case 2, I=((b-a)/8)*(subs(sym(f),findsym(sym(f)),a)+... 3*subs(sym(f),findsym(sym(f)),(2*a+b)/3)+ ... 3*subs(sym(f),findsym(sym(f)),(a+2*b)/3)+subs(sym(f),findsym(sym(f)),b)); step=1; case 3, n=2; h=(b-a)/2; I1=0; I2=(subs(sym(f),findsym(sym(f)),a)+subs(sym(f),findsym(sym(f)),b))/h; while abs(I2-I1)>eps n=n+1; h=(b-a)/n; I1=I2; I2=0; for i=0:n-1 x=a+h*i; x1=x+h; I2=I2+(h/6)*(subs(sym(f),findsym(sym(f)),x)+... 4*subs(sym(f),findsym(sym(f)),(x+x1)/2)+... subs(sym(f),findsym(sym(f)),x1)); end end I=I2; step=n; end 数值分析与实验课程设计 班级: 姓名: 学号: 08级应用数学《数值分析与实验（实践）》任务书 一、设计目的 通过《数值分析与实验（实践）》实践环节，掌握本门课程的众多数值解法和原理，并通过编写C语言或matlab程序，掌握各种基本算法在计算机中的具体表达方法，并逐一了解它们的优劣、稳定性以及收敛性。在熟练掌握C语言或matlab语言编程的基础上，编写算法和稳定性均佳、通用性强、可读性好，输入输出方便的程序，以解决实际中的一些科学计算问题。 二、设计教学内容 1、数值方法的稳定性； 2、禾U用牛顿法和割线法程序求出非线性方程的解，并比较它们之间的优 劣； 3、高斯消去法和列主元高斯消去法求解线性方程组； 雅克比法和高斯-赛德尔迭代法解方程组； 4、利用Lagrange插值多项式求未知点的近似值； 5、利用所给数据进行数据的多项式和可转化成多项式形式的函数拟合； 6、编写复化辛卜生公式和龙贝格算法，通过实际计算体会各种方法的精确 \ 度； 7、利用改进Euler方法和四阶Runge-Kutta方法求解初值问题的微分方程组； &利用幕法求矩阵按模最大的特征值及对应特征向量； \ （8个中选取1个） 二、设计时间 2011 —2012学年第1学期：第16周共计一周 教师签名: 2011年12月12日 、八 刖 数值计算方法是一种利用计算机解决数学 .言 问题的数值近似解方法， 特别是无法用人工过计算器计算的数学问题。数值计算方法常用于矩阵高次代数方程矩阵特征值与特征向量的数值解法，插值法，线性方程组迭代法，函数逼近，数值积分与微分，常微分方程初值问题数值解等。 作为数学与计算机之间的一条通道，数值计算的应用范围已十分广泛，作为用计算机解决实际问题的纽带，数值算法在求解线性方程组，曲线拟合、数值积分、数值微分，迭代方法、插值法、拟合法、最小二乘法等应用广泛。 数值计算方法是和计算机紧密相连的，现代计算机的出现为大规模的数值计 算创造了条件，集中而系统的研究适用于计算机的数值方法是十分必要的。数值计算方法是在数值计算实践和理论分析的基础上发展起来的。 通过数值计算方法与实验将有助于我们理解和掌握数值计算方法基本理论和相关软件的掌握，熟练求解一些数学模和运算，并提高我们的编程能力来解决实际问题。 牛顿-莱布尼茨公式 牛顿-莱布尼茨公式的意义就在于把不定积分与定积分联系了起来，也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法。 若f(x)在[a,b]上可积，且F(x)是f(x)的一个在[a,b]上的原函数，则 ∫a b f(x)dx=F(b)-F(a) 这个公式叫做牛顿—莱布尼茨公式。 定积分式 如果我们把中的积分区间的上限作为一个变量x，这样我们就定义了一个新的函数： 但是这里x出现了两种意义，一是表示积分上限，二是表示被积函数的自变量，但定积分中被积函数的自变量取一个定值是没意义的。为了只表示积分上限的变动，我们把被积函数的自变量改成别的字母如t，这样意义就非常清楚了： 2 Φ性质 1、定义函数，则 与格林公式和高斯公式的联系。 证明：让函数 获得增量，则对应的函数增量 显然， 而 （ξ在x与x+Δx之间，可由积分中值定理推得） 当Δx趋向于0也就是ΔΦ趋向于0时，ξ趋向于x，f(ξ)趋向于f(x），故有 可见这也是导数的定义，所以最后得出 。 2、，F(x)是f(x)的原函数。 证明：我们已证得 ，故 但Φ(a)=0（积分区间变为[a,a]，故面积为0），所以F(a)=C 于是有Φ(x)+F(a)=F(x)，当x=b时，Φ(b) = F(b) - F(a),而 ，所以 把t再写成x，就变成了开头的公式，该公式就是牛顿-莱布尼茨公式。相关人物 牛顿 牛顿在1671年写了《流数法和无穷级数》，这本书直到1736年才出版，它在这本书里指出，变量是由点、线、面的连续运动产生的，否定了以前自己认为的变量是无穷小元素的静止集合。他把连续变量叫做流动量，把这些流动量的导数叫做流数。牛顿在流数术中所提出的中心问题是：已知连续运动的路径，求给定时刻的速度（微分法）；已知运动的速度求给定时间内经过的路程（积分法）。 莱布尼茨 德国的莱布尼茨是一个博才多学的学者，1684年，他发表了现在世界上认为是最早的微积分文献，这篇文章有一个很长而且很古怪的名字《一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》。就是这样一篇说理也颇含糊的文章，却有划时代的意义。它已含有现代的微分符号和基本微分法则。1686年，莱布尼茨发表了第一篇积分学的文献。他是历史上最伟大的符号学者之一，他所创设的微积分符号，远远优于牛顿的符号，这对微积分的发展有极大的影响。我们使用的微积分通用符号就是当时莱布尼茨精心选用的。 牛 顿—莱布尼茨公式 ● 前言 此证明主要是献给那些无论如何，竭斯底里都想知道自已手上这条无与伦比 公式背后的秘密的高中生。 公式的证明首先是从定积分的基本性质和相关定理的证明开始，然后给出积 分上限函数的定义，最后总揽全局，得出结论。证明过程会尽可能地保持严密，也许你会不太习惯，会觉得多佘，不过在一些条件上如函数f(x)，我们是默认 可积的。 所有证明过程都是为后续的证明做铺掂的，都是从最低层最简单开始的，所 以你绝对，注意，请注意，你是绝对能看懂的，对于寻求真理的人，你值得看懂！ (Ps ：如果你不太有耐心，我建议你别看了，因为这只会让你吐出垃圾两个字) ● 定积分性质的证明 首先给出定积分的定义： 设函数f(x)在区间[a,b]上连续，我们在区间[a,b]上插入n-1个点分成n 个区 间[a,x 1],[x 1,x 2]…[x n ,x n-1]，其中x 0=a ，x n =b ，第i 个小区间?x i = x i -x i-1(i=1,2…n)。 由它的几何意义，我们是用无数个小矩形的面积相加去模拟它的面积，因此任一 个小矩形的面积可表示为?S i =f(εi ) ?x i ,为此定积分可以归结为一个和式的极限 即： 性质1：证明?b a c dx = C(b-a)，其中C 为常数. 几何上这就是矩形的面积 性质2：F(x)和G(x)为函数z(x)的两个原函数，证明F(x)=G(x)+C,C 为常数. 设K(x)=F(x)-G(x) 定义域为K 即对任意的x ∈K,都存在一个以|x ?|为半径的区间,使得K(x+x ?)=K(x) ∴函数值在K 内处处相等，K(x)=C K(x)为一直线 即: F(x)-G(x)=C 性质3：如果f(x)≤g(x),则 设k(x)=f(x)-g(x),有k(x)≤0. 即 ● 相关定理的证明 介值定理：设f(x)在区间[a,b]上连续，当x ∈[a,b],取m 为f(x)的最小值,M 为f(x)的最大值,对于任意的一个介于m ,M 的数C,至少存在一点ε∈(a,b),有 f(ε)=C 证明： 运用零点定理: 设f(x)在[a,b]上连续,若f(a)*f(b)<0,则至少存在一点ε∈(a,b),有f(ε)=0 设x1,x2∈[a,b],且x1 龙贝格算法 一、问题分析 1、1龙贝格积分题目 要求学生运用龙贝格算法解决实际问题（塑料雨篷曲线满足函数y（x)=l sin （tx），则给定雨篷得长度后，求所需要平板材料得长度）. 二、方法原理 2、１龙贝格积分原理 龙贝格算法就是由递推算法得来得。由梯形公式得出辛普生公式得出柯特斯公式最后得到龙贝格公式. 在变步长得过程中探讨梯形法得计算规律.设将求积区间［ａ，b]分为ｎ个等分，则一共有n+1个等分点，n.这里用表示复化梯形法求得得积分值，其下标n 表示等分数。 先考察下一个字段[]，其中点,在该子段上二分前后两个积分值 显然有下列关系 将这一关系式关于k从０到n－１累加求与，即可导出下列递推公式 需要强调指出得就是,上式中得代表二分前得步长，而 梯形法得算法简单，但精度低,收敛速度缓慢,如何提高收敛速度以节省计算量，自然式人们极为关心得. 根据梯形法得误差公式，积分值得截断误差大致与成正比，因此步长减半后误差将减至四分之一,既有 将上式移项整理,知 由此可见，只要二分前后两个积分值与相当接近，就可以保证计算保证结果计算结果得误差很小，这种直接用计算结果来估计误差得方法称作误差得事后估计法。 ?按上式,积分值得误差大致等于，如果用这个误差值作为得一种补偿，可以期望,所得得 应当就是更好得结果。 ?按上式，组合得到得近似值直接验证，用梯形二分前后得两个积分值与按式组合，结果得到辛普生法得积分值。 再考察辛普生法。其截断误差与成正比.因此,若将步长折半,则误差相应得减至十六分之一。既有 由此得 不难验证,上式右端得值其实就等于,就就是说,用辛普生法二分前后得两个积分值与，在按上式再做线性组合,结果得到柯特斯法得积分值，既有 重复同样得手续，依据斯科特法得误差公式可进一步导出龙贝格公式 应当注意龙贝格公式已经不属于牛顿—柯特斯公式得范畴. 在步长二分得过程中运用公式加工三次，就能将粗糙得积分值逐步加工成精度较高得龙贝格,或者说,将收敛缓慢得梯形值序列加工成熟练迅速得龙贝格值序列，这种加速方法称龙贝格算法。 三、算法设计 3、1龙贝格积分算法 就就是求出,再走一遍求出，根据求出,再走一遍求出，根据求出，根据求出，再走一遍程序求出，根据得出，根据得出,再根据得出,再走一边程序，得出，根据得出,根据得出，再由得出。再根据相减得绝对值小于其精度。那其中为求出得值. 执行函数为mymulNewtonCotes.m 1、使用方法： Step1：在MATLAB 命令窗口输入被积函数212 0t t e dt ?。 输入应为：ft=@(t)t.*exp(t^2/2)。 Step2：执行函数。输入形式为mymulNewtonCotes(ft,a,b,m,n)； 其中ft —被积函数，此体重ft=@(t)t.*exp(t^2/2)，已经在第一步赋值； a —积分下限，本题中为0； b —积分上限，本题中为1； m —将区间[a,b]等分的子区间数量，本题可选为10； n —采用的Newton-Cotes 公式的阶数，必须满足n<8，否则积分没法保 证稳定性。 当n=1时，即为复化梯形公式；n=2时，即为复化复化辛普森公式。 所以，分别输入mymulNewtonCotes(ft,0,1,10,1)和 mymulNewtonCotes(ft,0,1,10,2)就可以得到两种方法的积分计算结果。 2、计算结果 而根据积分运算，可得： 221112 110222 220000() 1.648710.64872t t x x t t e dt e d e dx e e e ====-=-=??? 说明复化梯形和复化辛普森公式计算出的结果基本一致，与实际结果相符。 3、程序代码 function yy = mymulNewtonCotes(ft,a,b,m,n) % 复化Newton-Cotes数值积分公式，即在每个子区间上使用Newton-Cotes公式，然后求和, % 参考的输入形式为mymulNewtonCotes(ft,0,1,10,2) % 参数说明: % ft——被积函数，此题中ft=@(t)t.*exp(t^2/2) % a——积分下限 % b——积分上限 % m——将区间[a,b]等分的子区间数量 % n——采用的Newton-Cotes公式的阶数，必须满足n<8，否则积分没法保证稳定性 % (1)n=1时为复化梯形公式 % (2)n=2时为复化辛普森公式 xx = linspace(a,b,m+1); for l = 1:m s(l) = myNewtonCotes(ft,xx(l),xx(l+1),n); end yy = sum(s); function [y,Ck,Ak] = myNewtonCotes(ft,a,b,n) % 牛顿-科特斯数值积分公式 % Ck——科特斯系数 % Ak——求积系数 % y——牛顿-科特斯数值积分结果 xk = linspace(a,b,n+1); for j = 1:n+1 ff(j) = ft(xk(j)); end % 计算科特斯系数 for i=1:n+1 牛顿-莱布尼茨公式的 详细证明 牛顿—莱布尼茨公式 ●前言 此证明主要是献给那些无论如何，竭斯底里都想知道自已手上这条无与伦比公式背后的秘密的高中生。 公式的证明首先是从定积分的基本性质和相关定理的证明开始，然后给出积分上限函数的定义，最后总揽全局，得出结论。证明过程会尽可能地保持严密，也许你会不太习惯，会觉得多佘，不过在一些条件上如函数f(x)，我们是默认可积的。 所有证明过程都是为后续的证明做铺掂的，都是从最低层最简单开始的，所以你绝对，注意，请注意，你是绝对能看懂的，对于寻求真理的人，你值得看懂！ (Ps：如果你不太有耐心，我建议你别看了，因为这只会让你吐出垃圾两个字) ●定积分性质的证明 首先给出定积分的定义： 设函数f(x)在区间[a,b]上连续，我们在区间[a,b]上插入n-1个点分成n个区间[a,x1],[x1,x2]…[x n,x n-1]，其中x0=a，x n=b，第i个小区间?x i= x i-x i-1(i=1,2…n)。由它的几何意义，我们是用无数个小矩形的面积相加去模拟它的面积，因此任一个小矩形的面积可表示为?S i=f(εi)?x i ,为此定积分可以归结为一个和式的极 限即： 1 ()lim() n b a n i i i f x dx f x ε →∞ = =? ∑ ? 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 性质1：证明?b a c dx = C(b-a)，其中C 为常数. 几何上这就是矩形的面积 性质2：F(x)和G(x)为函数z(x)的两个原函数，证明F(x)=G(x)+C,C 为常数. 设K(x)=F(x)-G(x) 定义域为K 即对任意的x ∈K,都存在一个以|x ?|为半径的区间,使得K(x+x ?)=K(x) ∴函数值在K 内处处相等，K(x)=C K(x)为一直线 即: F(x)-G(x)=C 性质3：如果f(x)≤g(x),则 设k(x)=f(x)-g(x),有k(x)≤0. 即 1021110()lim ()lim (...)lim ()()n b i i n n a n n i n n f x dx f x c x x x x x x c x x c b a ε-→∞→∞=→∞ =?=-+-++-=-=-∑?0()()() ()()()()() ()()()lim 0x F x G x z x K x F x G x z x z x K x x K x K x x ?→''=='''∴=-=-=+?-'∴==?Q ()()b b a a f x dx g x dx ≤??1()lim ()0n b i i a n i k x dx k x ε→∞==?≤∑? Q ()[()()]()()0b b b b a a a a k x dx f x g x dx f x dx g x dx =-=-≤? ???()()b b a a f x dx g x dx ∴≤?? 一．介绍 龙贝格求积公式也称为逐次分半加速法。它是在梯形公式、辛普森公式和柯特斯公式之间的关系的基础上，构造出一种加速计算积分的方法。作为一种外推算法, 它在不增加 开始 计算步长h 计算初值 f(a)、f(b)、 R(1,1) R矩阵迭代计算 No 误差达到精度要 求 Yes 输出R(j+1,j+1) 结束三．源码 1. f=inline('1/(x+1)');%输入函数 a=0;b=1;%取值边界 eps=10^(-7); h=b-a; R(1,1)=h*(f(a)+f(b))/2; j=0; err=1; m=1; while err>eps j=j+1; h=h/2; S=0; for i=1:m x=a+h*(2*i-1); S=S+f(x); end m=2*m; R(j+1,1)=R(j,1)/2+h*S; for i=1:j R(j+1,i+1)=R(j+1,i)+(R(j+1,i)-R(j,i))/(4^i-1); end err=abs(R(j+1,j)-R(j+1,j+1)); end ans=vpa(R(j+1,j+1),7) 2. f=inline('log(x+1)/(x^2+1)');%输入函数 a=0;b=1;%取值边界 eps=10^(-7); h=b-a; R(1,1)=h*(f(a)+f(b))/2; j=0; err=1; m=1; while err>eps j=j+1; h=h/2; S=0; for i=1:m x=a+h*(2*i-1); S=S+f(x); end m=2*m; R(j+1,1)=R(j,1)/2+h*S; for i=1:j R(j+1,i+1)=R(j+1,i)+(R(j+1,i)-R(j,i))/(4^i-1); end err=abs(R(j+1,j)-R(j+1,j+1)); end ans=vpa(R(j+1,j+1),7) 3. f=inline('log(x+1)/x');%输入函数 a=0;b=1;%取值边界 eps=10^(-7); h=b-a; R(1,1)=h*(1+log(2))/2; j=0; err=1; m=1; 牛顿—莱布尼茨公式教案设计 学院：数学与统计学院 班级：2010级数学（2）班 姓名：李二亮 牛顿—莱布尼茨公式教案设计 一、【教材分析】 1.教材来源：华东师大版数学分析上册（第三版）第九章. 2.教材的地位与作用：牛顿—莱布尼茨公式不仅为定积分计算提供一个有效地方 法，而且在理论上把定积分与不定积分联系起来. 二、【教学目标】 1.知识与技能；熟练掌握与应用牛顿—莱布尼茨公式，培养学生观察、分析、抽象、 概括的能力，体会知识间的联系，进一步渗透类比、转化的思维方法，激发学习兴趣. 2.过程与方法：根据大学生的心理素质，利用启发式教学，始终从问题出发，层层 设疑，引导学生在不断思考中获取知识. 3.情感、态度与价值观：提高观察、分析、抽象、概括的能力的同时，提高数形结 合的思想意识. 三、【教学重点】 熟练掌握与应用牛顿—莱布尼茨公式. 四、【教学难点】 1.利用牛顿—莱布尼茨公式求一些定积分的极限. 2.利用牛顿—莱布尼茨公式解决实际问题. 五、【教学过程】 针对数学专业大学生的知识结构和心理特征，本节课选择师生互动探索的方法进行教学。教学过程的流程入下： （一）复习旧知识，引入课题 复习—— 1.定积分的概念；2.定积分的几何意义；3.原函数的概念；4.导数的定义；5.积分中值定理（性质7）；6.不定积分的换元积分法；7.函数的定积分与什么量有关？与什么量无关? 引入——利用定积分的定义计算定积分的值是十分繁琐且易出错的，有时甚至无法计算。下面将通过对定积分与原函数关系的讨论，导出一种计算定积分的简便有效的方法. （二）创设情境，得到猜想 示例：变速直线运动中位置函数与速度(速率)函数的联系. 设物体作直线运动，已知已知速度v=v(t)是时间间隔[T 1,T 2]上t 的一个连续函数且v(t )≧0,求物体在这段时间内所经过的路程. 分析示例： 变速直线运动路程： , 另一方面路程可以表示为： 其中， 下面我们将时间段[T 1 ,T 2]任意做一个分割，得到： 如果我们考虑 黎曼和 其中 我们可以发现 和 之间能十分接近. 因此，速度v=v(t)是时间间隔[T 1,T 2]上t 的一个连续函数，且v(t )≧0, ，()s t 是()v t 的原函数，则物体在这段时间内经过的路程 是： 如果剔除问题的物理意义，将有一下猜想： ?2 1 )(T T dt t v )()(12T s T s -).()()(122 1 T s T s dt t v T T -=∴ ? ). ()(t v t s ='其中{}121,, ,,[,] n i i i T t t ????-==[] []211111 1 ()()()()()(),,n i i i n n i i i i i i i i i i s T s T s t s t s t v t t t η?η?η?-=-==∴-=-'==∈=∑∑∑1 ()n i i i v t η?=∑ 1 ()n i i i v t ξ?=∑2 1 ()T T v t dt ? [] 1,i i i i t t ξ?-∈=1 ()n i i i v t ξ?=∑() ()s t v t '=2 1 21()()()T T v t dt s T s T =-? 一、实验目的及题目 实验目的：掌握利用复化辛普森公式和高斯求积公式方法计算积分，熟悉matlab 的操作。 题目：1.利用复化辛普森公式计算积分： 1、xdx x ln 10? 2.利用高斯求积公式计算积分： 1、xdx x ln 1 0? 2、 sinx (1+x 2) 10dx 实验步骤： 1.利用复化辛普森公式计算积分： 1.1.建立M 文件 function y=f(x) y=sqrt(x)*log(x); 1.2.建立M 文件 function T_n=F_H_T(a,b,n) h=(b-a)/n; for k=0:n x(k+1)=a+k*h; if x(k+1)==0 x(k+1)=10^(-10); end end T_1=h/2*(f(x(1))+f(x(n+1))); for i=2:n F(i)=h*f(x(i)); end T_2=sum(F); T_n=T_1+T_2; 1.3.在命令窗口输入 T_n=F_H_T(0,1,20) 输出结果： 2.利用高斯求积公式计算积分： 2.1.建立M文件 function s=guassl(a,b,n) h=(b-a)/n; s=0.0; for m=0:(1*n/2-1) s=s+h*(guassf(a+h*((1-1/sqrt(3))+2*m))+guassf(a+h*((1+1/sqrt( 3))+2*m))); end s; I=int('sin(x)',0,1); c=(I-s)/I; d=vpa(c,10); 2.2.1.建立M文件 function y=guassf(x) y=sqrt(x)*log(x); 2.2.2.建立M文件 function y=guassf(x) y=sinx/(1+x*x); 2.3.运行结果 2.3.1.在命令窗口输入s=guassl(0,1,20) 2.3.2.在命令窗口输入s=guassl(0,1,20) 第九章 定积分 2 牛顿—莱布尼茨公式 定理9.1：若函数f 在[a,b]上连续，且存在原函数F ，即F ’(x)=f(x)， x ∈[a,b]，则f 在[a,b]上可积，且?b a f (x)dx=F(a)-F(b)，称为牛顿—莱布 尼茨公式，常写成：?b a f (x)dx=F(x)b a . 证：对[a,b]上的任一分割T={a=x 0,x 1,…,x n =b}， 在每个小区间[x i-1,x i ]上对F(x)应用拉格朗日中值定理，则 分别存在ηi ∈(x i-1,x i )，i=1,2,…,n ，使得 F(b)-F(a)=∑=-n 1 i 1-i i )]x (F )x ([F =i n 1 i i x △)η(F ∑='=i n 1 i i x △)η(f ∑=. ∵f 在[a,b]上连续，从而一致连续，∴对任给的ε>0，存在δ>0，使 当x ’,x ”∈[a,b]且|x ’-x ”|<δ时，|f(x ’)-f(x ”)|< a b ε -. 于是，当△x i ≤║T ║<δ时，任取ξi ∈(x i-1,x i )，便有|ξi -ηi |<δ， ∴|i n 1 i i x △)ξ(f ∑=-[F(a)-F(b)]|=|i n 1 i i i x △])η(f )ξ([f ∑=-|≤i n 1 i i i x △)η(f )ξ(f ∑=-
牛顿-莱布尼茨公式的详细证明
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数学分析9.2牛顿—莱布尼茨公式
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