2017年高中毕业年级第二次质量预测
数学（理科）试题卷 第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.
1.已知复数()()
n f n i n N *
=∈，则集合(){}
|z z f n =的元素个数为
A. 4
B. 3
C. 2
D.无数 2.设0.533,log 2,cos2x y z ===，则
A. z x y <<
B. y z x <<
C. z y x <<
D.x z y <<
3.要计算1111232017
+
+++ 的结果，下面的程序框图中的判断框内可以填入的是 A. 2017n < B. 2017n ≤ C. 2017n > D.2017n ≥
4.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是扇形，则该几何体的体积为 A.
163π B. 3
π C. 29π D. 169π
5.下列命题是真命题的是
A. x R ?∈，函数()()sin 2f x x ?=+都不是偶函数
B.,R αβ?∈,使得()cos cos cos αβαβ+=+
C. 向量()()2,1,1,0a b ==-
，则a 在b 方向上的投影是2
D.“1x ≤”是“1x ≤”的既不充分也不必要条件
6.在区间[]1,e 上任取实数a ，在区间[]0,2上任取实数b ，使函数()2
1
4
f x ax x b =++
有两个相异零点的概率为 A.
()121e - B. ()141e - C. ()181e - D.()
1
161e -
7.已知数列{}n a 满足()11122,,,n n n n a a a n a m a n S +-=-≥==为数列{}n a 的前n 项和，则
2017S 的值为
A. 2017n m -
B. 2017n m -
C.m
D.n
8.已知实数,x y 满足261y x x y x ≥+??
+≤??≥?
，则22z x y =-+的最小值是
A. 6
B. 5
C. 4
D.3
9.已知空间四边形ABCD 满足3,7,11,9AB BC CD DA ====
，则AC BD ? 的值为
A. -1
B. 0
C.
212 D.332
10.将数字124467重新排列后得到不同的偶数的个数为
A. 72
B. 120
C. 192
D.240
11.已知P 为双曲线2
214
y x -=上任意一点，过P 点向双曲线的两条渐近线分别作垂线，垂足分别为A,B 则PA PB 的值为
A. 4
B.5
C.
4
5 D.与点P 的位置有关 12.已知函数()sin 2cos x
f x x
=+，如果当0x >时，若函数()f x 的图象恒在直线y kx =的下
方，则k 的取值范围是
A. 13????
B.1,3??
+∞????
C. ?+∞????
D. ????
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.正方体的八个顶点中，有四个恰好为一个正四面体的顶点，则正方体的表面积与正四面体的表面积之比为 .
14.已知幂函数y x α=的图象过点()3,9
，则8
a x ? ?的展开式中x 的系数为 .
15.过点()1,0P -作直线与抛物线2
8y x =相交于A,B 两点，且2PA AB =，则点B 到该抛
物线焦点的距离为 .
16.等腰ABC ?中，,AB AC BD =为边AC 上的中线，且3BD =，则ABC ?的面积的最大值为 .
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分12分）
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，且满足()11
1.2
n n S a n n N *+=++∈ （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若()3log 1n n b a =-，设数列21n n b b +??????
的前n 项和为n
T ，求证：3
.4n T <
18.（本题满分12分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，各棱长均相等，,,D E F 分别是棱11,,AB BC AC 的中点. （1）求证：//EF 平面1
ACD ； （2）若三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，求直线BC 与平面1ACD 所成角的正弦值.
19.（本题满分12分）某公司研发生产一种新的零售食品，从产品中抽取100件作为样本，测量这些产品的一项质量指标，有测量结果得到如下所示的频率分布直方图：
（1）求直方图中a 的值；
（2）偶频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标Z 服从正态分布
()2200,12.2N ，试计算数据落在
()187.8,212.2上的概率；
（3）设生产成本为y ，质量指标为x ，生产成本与质量指标之间满足函数关系
0.4,205
0.880,205x x y x x ≤?=?
->?
，假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，试求生产成本的平均值.
20.（本题满分12分）
已知椭圆()2220x y m m +=>，以椭圆内一点()2,1M 为中点作弦AB,设线段AB 的中垂线与椭圆相交于C,D 两点； （1）求椭圆的离心率；
（2）试判断是否存在这样的m,使得A,B,C,D 在同一圆上，并说明理由.
21.（本题满分12分）已知函数()()()2
ln ,.2
a f x x x x g x x ax a R =-=
-∈ （1）若()f x 和()g x 在()0,+∞上有相同的单调区间，求a 的取值范围；
（2）令()()()()h x f x g x ax a R =--∈，若()h x 在定义域内有两个不同的极值点. （Ⅰ）求a 的取值范围；
（Ⅱ）设两个极值点分别为12,x x ，证明:212x x e ?>.
请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果两题都做，则按照所做的第一题给分；作答时，请用2B 铅笔将答题卡上相应的题号涂黑。
22.（本题满分10分）选修4-4：参数方程与极坐标系 已知直线l 的极坐标方程为sin 03πρθ??
-
= ??
?
，以极点为坐标原点O ，极轴为x 轴的正半轴平面直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程为2cos 22sin x y α
α
=??
=+?（α为参数）
（1）求直线l 被曲线C 截得的弦长；
（2）从极点作曲线C 的弦，求各弦中点的极坐标方程.
23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()()21,.f x x g x x a =+=+ （1）当0a =时，解不等式()()f x g x ≥；
（2）若存在x R ∈，使得()()f x g x ≤成立，求实数a 的取值范围.
2017年高中毕业年级第二次质量预测
数学（理科）参考答案
一、选择题
1. A．
2.C
3.B
4.D
5.B
6.A
7.C
8.C
9.B 10.D 11.C 12.B
二、填空题
13.14．112；15.5；16．6.
三、解答题
17.（Ⅰ），由，得，
两式相减得，………………3分
由得到，又
所以为以-3为首项以3为公比的等比数列
故………………6分
（Ⅱ），…………9分
………………12分
18．(Ⅰ)证明：在三棱柱中，，且
连结，在中，因为D, E分别为棱AB, BC的中点. 所以
.
又为的中点，可得，所以， (2)
分
因此四边形为平行四边形，所以,
又，
所以.………………4分
(Ⅱ)证明：由于底面ABC是正三角形，为的中点，所
以,
又，又，所以………………6分
在平面内，过点作，交直线于
，连结,
，由此得，为直线与
所成的角.
设三棱柱的棱长为，可得，由∽
，所以,
在中，.
所以直线BC与平面A1CD所成角的正弦值为.………………12分
19.解析：（I）………………4分
（II）由（I）知，，从而
………………6分
由题设条件及食品的质量指标的频率分布直方图，得食品生产成本分组与频率分布表如下：
………………9分
根据题意，生产该食品的平均成本为
………………12分
20.解析：（Ⅰ）将椭圆化成标准方程， (3)
分
（Ⅱ）由题意，设，直线的斜率存在，设为，联立
得：
，此时由得，………………6分
则为，则为………………8分
则得故的中点为
由弦长公式可得到
，若存在圆，则圆心在上，
的中点到直线的距离为………………10分
又
存在这样的，使的在同一个圆上. ………………12分
21．解：（Ⅰ）函数的定义域为，
当时，；当时，.
所以，在上单调递减；在上单调递增. ………………2分
若在上单调递减；在上单调递增，则………………4分
(Ⅱ) （ⅰ）依题意，函数的定义域为，
所以方程在有两个不同根.
即，方程在有两个不同根. ………………5分
转化为，函数与函数
的图像在上有两个不同交点，如图.
可见，若令过原点且切于函数图像的直线斜率为，
只须
. (6)
分
令切点，所以，又，所以，
解得，，于是，所以. ………………8分
（ⅱ）由（i）可知分别是方程的两个根，
即，，不妨设，作差得，，即. 原不等式等价于
令，则，……10分
设，，
∴函数在上单调递增，∴，即不等式成立，故所证不等式成立．……12分
22．解：（Ⅰ）直线的直角坐标方程是，曲线C的普通方程是
易得圆心到直线l的距离d=1，所以所求的弦长为 (5)
分
（Ⅱ）从极点作曲线C的弦，各弦中点得轨迹的极坐标方程为
(10)
分
23.解(Ⅰ)当时，由得，两边平方整理得，
解得或∴原不等式的解集为 (5)
分
（Ⅱ）由得，令，则
故，从而所求实数的范围为………………10分