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Ansoft高级培训班教材 Ansoft HFSS的有限元理论基础
谢拥军 编著 西安电子科技大学 Ansoft培训中心
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第一章 概述 第二章 有限元的基本理论及三维有限元分析 2．1 电磁场边值问题及其变分原理 2．2 有限元方法的原理――从一维简单例子 来看其建模过程 2．3 三维时谐场有限元问题 2．4 有限元方程组的求解 第三章 电磁内问题和散射问题的有限元分析方法 3．1 电磁内问题 3．2 电磁散射问题
Ansoft高级培训班 第一章概述
Ansoft HFSS软件是应用有限元方法的原理来编制 的，深入的了解有限元方法的理论基础，及其在电磁场与 微波技术领域的应用原理，对于我们灵活、准确地使用 Ansoft HFSS软件来解决实际工程问题能够提供帮助。 这一部分教材的内容就是在结合Ansoft HFSS软件中 涉及到的有限元技术，力争在最小的篇幅和最短的时间里 为学员建立理论结合实际的有限元方法的基本概念。
Ansoft高级培训班 第二章 有限元的基本理论及三维有限元分析
有限元方法是近似求解数理边值问题的一种数值技 术，大约有40年的历史。他首先在本世纪40年代被提 出，在50年用于飞机的设计。在六七十年代被引进到电 磁场问题的求解中。
Ansoft高级培训班 2．1 电磁场边值问题及其变分原理
电磁场的边值问题和很多的物理系统中的数学模型 中的边值问题一样，都可以用区域Ω内的控制微分方程 （电磁场问题中可以是泊松方程、标量波动方程和矢量 波动方程等）和包围区域的边界Γ上的边界条件（可以 是第一类的Dirichlet条件和第二类的Neumann条件，或 者是阻抗和辐射边界条件等）来定义。微分方程可表示 为： Lφ = f （2.1） f φ 式中，L 是微分算符， 是激励函数，是未知量。
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对于电磁场边值问题，只有少数情况可以得到解析解。很多的 ~ 时候我们采用基于变分原理的数值方法去求其近似解 φ ，比 如伽辽金方法。在伽辽金方法中，我们首先定义非零的残数： ~ （2.2) r = Lφ ? f ≠ 0
φ 的最佳近似应能满足：
Ri = ∫? wi rd? = 0
（2.3)
~
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~
w 这里Ri 表示残数加权积分（也可称为误差泛函）， i 是所选择的加 ~ 权函数。进一步地，我们可以将近似解φ 展开为： ~ N T φ =∑civi ={v} {c} 1 i= (2.4) c v 式中， j 是定义在区域Ω内的展开函数， j是待定的展开系数。并 且我们将加权函数选为： （2.5） wi = vi i = 1,2,3,..., N
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这时，式（2.3）变为：
T
Ri = ∫? (vi L{v} {c} ? vi f )d? = 0
i = 1,2,3,..., N （2.6）
这样问题的求解就转化为能够使上式最小化的展开系数 {c}的线 性问题的求解，将（2.6）式写为矩阵形式： [S ]{c} = {b} （2.7） [S ] 的元素为： （2.8） S ij = ∫? (vi Lv j )d?
{b}的元素为：
bi = ∫? vi fd?
（2.9）
Ansoft高级培训班 2．2 有限元方法的原理――从一维的例子 来看其建模的过程
从上一小节的内容我们可以看到电磁场边值问题 变分解法的这样的两个特点： （1）变分问题已经将原来电磁场边值问题的严格求解 变为求解在泛函意思下的弱解，这个解可以和原来的 解式不一样的。 （2）在电磁场边值问题的变分方法中，展开函数（也 可成为试探函数）是由定义在全域上的一组基函数组 成，这种组合必须能够表示真实解，也必须满足适当 的边界条件，这对于二维、三维问题是非常困难的。
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很自然的，人们认为如果采用组成全域的子域上的一组基 函数能够提高近似解对于真实解的逼近精度。这就是有限元方 法。下面我们通过一个简单的一维例子来看看有限元方法的建 模过程和其方法的特点。 考虑一个均匀充填介电常数为ε的平板电容器，如图2.1所 示:
ε
ρ E
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如果我们假设电场只有x方向的分量，问题就可以简化为一 维问题。问题的支配方程为： ? ? ?V ? ? ? ? ε?V = ?ε ? = ?ρ （2.10） ?x ? ?x ? 其边界条件为： （2.11） V (10 ) = 100
V (0 ) = 0
利用（2.10）式与权函数构成内积，仿照（2.3）式的方法 我们可以给出这里的误差泛函：
∫ WRd? = ∫ W {? ? ε?V + ρ}d? = 0
? ?
（2.12）
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如图2.2所示，我们可以将一维区域离散化为N段（单 元），每一小段又有编号为“1”和“2”的两个端点（结点）， 也称为“本地”序号，当然，与单元一样每个结点还有相应的 全域序号。
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如果我们假设在单元内部电位函数按照线性规律变化，也 就是对于单元内部的函数进行一阶插值： (2.13） 特别的，在两个结点x1和 x2处我们令其值分别为V1 和V2 ，则 （2.13）式可以重新写为（实际上和就成为了这一子域上的待 求的系数）：
V ( x ) = a1 + a2 x
1 1 V ( x) = φ1 ( x)V1 + φ2 ( x)V2 = ( p1 + q1 x)V1 + ( p2 + q2 x)V（2.14） 2 L L l p p q q 其中： 1 = x2， 2 = ? x1 ，1 = ?1 ， 2 = 1 ， = x2 ? x1
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那么这时候在离散化的意义下，泛函（2.12）式可以 K 写为： ∑ ∫? Wk Rk d? = 0 （2.15） k =1 其中，k是结点的全域序号，K是所有结点的总数， k 是第k ? 个结点的子域。由于结点和单元的关系，我们可以在单元 内选取 φ（i＝1，2）做为权函数，在利用一些矢量运算恒 i 等式，我们可以得到： N {ε?V ? ?φ ? ρφ }d? = 0 （2.16）
k
∑∫
n =1
?n
i
i
式中，n为单元的序号，N为总的单元数。
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注意到在离散化子域上有：
? ? ? 1 1 ? ? ? ?V ( x ) = x ? ∑ ( pi + qi x )Vi ? = x ∑ qiVi ? ?x ? i =1, 2 l i =1, 2 l ?
（2.17） （2.18）
ρ 实际问题中，应该是域内无源， 所以为零。则在每个 单元内（2.16）式的左边可以写为线性表达式：
ε ? q1q1
l ?q2 q1 ? q1q2 ? ?V1 ? q2 q2 ? ?V2 ? ?? ?
（2.19）
qi ? ?1 ? ? ? ?φi = x ? ( pi + qi x )? = x l ?x ? l ?
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（2.19） 具体的我们可以用图2.1所示的例子来进行数值实现。 在图2.1的离散化情况下我们有3个未知数，即对应结点全 域序号的V1，V2 和 V（而其中的V2和V3又有边界条件给 3 定）。首先将（2.19）式对应单元1中的线性表达式的值带 入到求解全部3个未知数的全域矩阵中：
? 1 ? 7 ? 1 ε ?? ? 7 ? 0 ? ? ? 1 7 0 1 7 ? 0? ? 0? ? 0? ? ? ?V 1 ?V ? 2 ?V 3 ? ? ? ? ? ?
（2.20）
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再将（2.19）式对应单元2中的线性表达式的值带入到 求解全部 3个未知数的全域矩阵中，构成全域矩阵方程：
? 1 ? 7 ? 1 ε ?? ? 7 ? 0 ? ? 1 ? 7 1 1 + 7 3 1 ? 3 ? 0 ? V 0 ?? 1 ? ? ? 1 ? ? ?V 2 ? = ? 0 ? 3?? ? ? ? 1 ? ?V 3 ? ? 0 ? ? ? ? ? 3 ? ?
（2.21）
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再在（2.21）式中加入边界条件 V1 = 0 和V3 = 100 ，则有最 终的矩阵方程： ? 1 0 0 ? ?V1 ? ? 0 ? ? 1 10 1?? ? ? ? （2.22） ?? 7 21 ? 3 ? ?V2 ? = ? 0 ? ? 0 0 1 ? ?V3 ? ?100? ? ?? ? ? ? 很方便的可以解出V2 = 70 。
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从这个很简单的例子我们可以看出有限元方法的几个特点： （1）通过离散化和建立误差泛函，原来的电磁场边值问题 变为求解矩阵方程，这是原来问题的弱解。 （2）最终矩阵方程的维数与结点的总数相同，未知数是结 点上的数值解，单元内的数值是依靠结点处数值解的 插值（这里是线性插值）。 （3）最终矩阵的构成是由子域上的小线性系统按照其全域 序阵，其计算机的存储要求并不大。号来在相应位置 上填充的，所以最终矩阵是稀疏矩阵，其计算机的存 储要求并不大。
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总结来看，有限元方法的建模过程可以分为以下几个步骤： （1）区域离散。在任何有限元分析中，区域离散是第一 步，或许也是最重要的一步，因为区域离散的方式将影响计 算机内存的需求、计算时间和数值结果的精确度。在我们前 面的一维例子里面，我们选取短直线段为单元，二维可以选 择矩形或者三角形，三维问题可以选择四面体、三棱柱或矩 形块。Ansoft HFSS选用的四面体作为基本单元，在下一小 节我们将着重加以介绍。