课时跟踪检测(五十八) 直线与圆锥曲线的位置关系
一、选择题
1．直线y ＝b a x ＋3与双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1的交点个数是( )
A ．1
B ．2
C ．1或2
D ．0
2．(2015·舟山三模)已知椭圆C 的方程为x 2
16＋y 2m 2＝1(m >0)，如果直线y ＝2
2
x 与椭圆
的一个交点M 在x 轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F ，则m 的值为( )
A ．2
B ．2 2
C ．8
D ．2 3
3．(2015·四川雅安月考)抛物线y 2
＝4x 的焦点为F ，准线为l ，经过F 且斜率为3的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK ⊥l ，垂足为K ，则△AKF 的面积是( )
A ．4
B ．3 3
C ．4 3
D ．8
4．已知抛物线C ：y 2
＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若MA ·MB ＝0，则k ＝( )
A.1
2 B.22
C. 2
D ．2
5．(2015·丽水一模)斜率为1的直线l 与椭圆x 2
4＋y 2
＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的
最大值为( )
A ．2 B.
45
5 C.410
5
D.
810
5
6．(2015·大连双基测试)过抛物线y 2
＝2px (p >0)焦点F 的直线l 与抛物线交于B ，C 两点，l 与抛物线准线交于点A ，且|AF |＝6，AF ＝2FB ，则|BC |＝( )
A.92 B ．6 C.132
D ．8
二、填空题
7．设双曲线x 29－y 2
16＝1的右顶点为A ，右焦点为F .过点F 平行于双曲线的一条渐近线的
直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________．
8．(2015·贵州安顺月考)在抛物线y ＝x 2
上关于直线y ＝x ＋3对称的两点M 、N 的坐标分别为________________________________________________________________________．
9．(2015·沈阳模拟)已知点A (－2，0)，点B (2，0)，且动点P 满足|PA |－|PB |＝2，则动点P 的轨迹与直线y ＝k (x －2)有两个交点的充要条件为k ∈__________________________.
10．(2015·北京石景山期末)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为直线l ，过抛物线上一点P 作PE ⊥l 于点E ，若直线EF 的倾斜角为150°，则|PF |＝________.
三、解答题
11．(2015·山西模拟)已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2，离心率为12
. (1)求椭圆C 的方程；
(2)设直线l 经过点M (0,1)，且与椭圆C 交于A ，B 两点，若AM ―→＝2MB ，求直线l 的方程．
12．(2015·广东肇庆二模)已知双曲线C 的两个焦点坐标分别为F 1(－2,0)，F 2(2,0)，双曲线C 上一点P 到F 1，F 2距离差的绝对值等于2.
(1)求双曲线C 的标准方程；
(2)经过点M (2,1)作直线l 交双曲线C 的右支于A ，B 两点，且M 为AB 的中点，求直线
l 的方程；
(3)已知定点G (1,2)，点D 是双曲线C 右支上的动点，求|DF 1|＋|DG |的最小值．
答案
1．选A 因为直线y ＝b a x ＋3与双曲线的渐近线y ＝b a
x 平行，所以它与双曲线只有1个交点．
2．选 B 根据已知条件得c ＝16－m 2
，则点? ??
??16－m 2，2216－m 2在椭圆x 216＋y 2
m 2＝1(m >0)上，
∴16－m 2
16＋16－m
2
2m
2＝1，可得m ＝2 2.
3．选C ∵y 2
＝4x ，∴F (1,0)，l ：x ＝－1，过焦点F 且斜率为3的直线l 1：y ＝3(x －1)，与y 2
＝4x 联立，解得A (3,23)，∴AK ＝4，∴S △AKF ＝12
×4×23＝4 3.
4.选D 如图所示，设F 为焦点，取AB 的中点P ，过A ，B 分别作准
线的垂线，垂足分别为G ，H ，连接MF ，MP ，由MA ·MB ＝0，知MA ⊥
MB ，则|MP |＝12|AB |＝12
(|AG |＋|BH |)，所以MP 为直角梯形BHGA 的中位
线，所以MP ∥AG ∥BH ，所以∠GAM ＝∠AMP ＝∠MAP ，又|AG |＝|AF |，AM 为公共边，所以△AMG ≌△AMF ，所以∠AFM ＝∠AGM ＝90°，则MF ⊥AB ，所以k ＝－
1
k MF
＝2.
5．选C 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝x ＋t ，
由?????
x 2
＋4y 2
＝4，
y ＝x ＋t
消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2
－1)＝0.
则x 1＋x 2＝－8
5t ，x 1x 2＝
t 2－
5
.
∴|AB |＝1＋k 2
|x 1－x 2| ＝1＋k 2
·x 1＋x 2
2
－4x 1x 2
＝2·
? ??
??－85t 2－4×t 2－
5
＝
425
·5－t 2
， 当t ＝0时，|AB |max ＝410
5
.
6．选A 不妨设直线l 的倾斜角为θ，其中0<θ<π
2，点B (x 1，y 1)，C (x 2y 2)，则点B
在x 轴的上方．过点B 作该抛物线的准线的垂线，垂足为B 1，于是有|BF |＝|BB 1|＝3，
|AF |
|AB |＝
p |BB 1|，由此得p ＝2，抛物线方程是y 2
＝4x ，焦点F (1，0)，cos θ＝p |AF |＝p 6＝26＝13
，sin θ＝1－cos 2
θ＝
223，tan θ＝sin θ
cos θ
＝22，直线l ：y ＝22(x －1)．由???
y ＝22x －
，
y 2
＝4x
消去y ，得2x 2
－5x ＋2＝0，x 1＋x 2＝52，|BC |＝x 1＋x 2＋p ＝52＋2＝92
，
选A.
7．解析：c ＝5，设过点F 平行于一条渐近线的直线方程为y ＝4
3(x －5)，即4x －3y －20
＝0，联立直线与双曲线方程，求得y B ＝－3215，则S ＝12×(5－3)×3215＝32
15
.
答案：32
15
8．解析：设直线MN 的方程为y ＝－x ＋b ，代入y ＝x 2
中， 整理得x 2
＋x －b ＝0，令Δ＝1＋4b >0，∴b >－14.
设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－1，
y 1＋y 2
2
＝－
x 1＋x 2
2＋b ＝1
2
＋b ，
由? ??
??－12，12＋b 在直线y ＝x ＋3上， 即12＋b ＝－1
2
＋3，解得b ＝2， 联立得?????
y ＝－x ＋2，y ＝x 2
，
解得???
??
x 1＝－2，
y 1＝4，
?????
x 2＝1，
y 2＝1.
答案：(－2,4)、(1,1)
9．解析：由已知得动点P 的轨迹为一双曲线的右支且2a ＝2，c ＝2，则b ＝c 2
－a 2
＝1，∴P 点的轨迹方程为x 2
－y 2
＝1(x >0)，其一条渐近线方程为y ＝x .若P 点的轨迹与直线y ＝k (x －2)有两个交点，则需k ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)
10．解析：由抛物线方程y 2＝4x 可知焦点F (1,0)，准线为x ＝－1.直线EF 的斜率为k ＝tan 150°＝－
3
3
， 所以直线EF 的方程为y ＝－
3
3
(x －1)， 与准线方程联立可得点E ?
?
???－1，233，
故可设P ?
????
x ，233，
将其代入抛物线方程y 2
＝4x ，解得x ＝13
.
所以|PE |＝????
??1
3
－
－
＝43， 由抛物线的定义可知|PE |＝|PF |，故|PF |＝4
3.
答案：43
11．解：(1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >0，b >0)，
因为c ＝1，c a ＝1
2
，所以a ＝2，b ＝3，
所以椭圆方程为x 24＋y 2
3＝1.
(2)由题意得直线l 的斜率存在，
设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，
联立方程?????
y ＝kx ＋1，x 24＋y
2
3
＝1，
得(3＋4k 2
)x 2
＋8kx －8＝0，且Δ>0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由AM ＝2MB ，得x 1＝－2x 2， 又?????
x 1
＋x 2
＝－8k
3＋4k 2
，x 1
·x 2
＝－8
3＋4k
2
，所以?????
－x 2
＝－8k
3＋4k 2
，－2x 2
2
＝－8
3＋4k
2
，
消去x 2得?
???
?8k 3＋4k 22＝43＋4k 2
，
解得k 2
＝14，k ＝±12
，
所以直线l 的方程为y ＝±1
2x ＋1，
即x －2y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0.
12．解：(1)依题意，得双曲线C 的实半轴长a ＝1，焦半距c ＝2， 所以其虚半轴长b ＝c 2
－a 2
＝ 3. 又其焦点在x 轴上，
所以双曲线C 的标准方程为x 2
－y 2
3＝1.
(2)设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，
则?????
3x 2
1－y 2
1＝3，3x 22－y 2
2＝3，
两式相减，
得3(x 1－x 2)(x 1＋x 2)－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0.
因为M (2,1)为AB 的中点，所以?
??
??
x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2.
所以12(x 1－x 2)－2(y 1－y 2)＝0，即k AB ＝
y 1－y 2
x 1－x 2
＝6. 故AB 所在直线l 的方程为y －1＝6(x －2)， 即6x －y －11＝0.
(3)由已知，得|DF 1|－|DF 2|＝2， 即|DF 1|＝|DF 2|＋2，
所以|DF1|＋|DG|＝|DF2|＋|DG|＋2≥|GF2|＋2，当且仅当G，D，F2三点共线时取等号．
因为|GF2|＝－2＋22＝5，
所以|DF2|＋|DG|＋2≥|GF2|＋2＝5＋2.
故|DF1|＋|DG|的最小值为5＋2.