广东省肇庆市2013届高三第一次模拟试题
数 学(理科)
本试卷共4页,21小题,满分150分. 考试用时120分钟.
注意事项:1. 答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班别、姓名、考号填写在答题
卡的密封线内.
2. 选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;
如需要改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能写在试卷上. 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在另发的答题卷
各题目指定区域内相应的位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设1z i =-(i 是虚数单位),则
2z z +=
A .2
B .2i +
C .2i -
D .22i +2.集合{|lg 0}M x x =>,2{|9}N x x =≤,则M N =
A .(1,3)
B .[1,3)
C .(1,3]
D .[1,3] 3.已知向量(1,2),(1,0),(3,4)===a b c .若λ为实数,()λ+⊥b a c ,
则λ= A .311
-
B .113
-
C .
12
D .
35
4.公比为2的等比数列{n a } 的各项都是正数,且 41016a a =,则6a =
A .1
B .2
C .4
D .8 5.某程序框图如图1所示,则输出的结果S =
A .26
B .57
C .120
D .247
6.下列函数中,既是偶函数又在区间0,+∞()上单调递增的函数为
A .1y x -=
B .2log y x =
C .||y x =
D .2
y x =-
7.已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形,其正视图与俯视图如图2所示,
则其侧视图的面积为
A .
4
B .
2
C
.
2
D
8.在实数集R 中定义一种运算“⊕”,具有性质:①对任意,,a b R a b b a ∈⊕=⊕;②对
任
意
,0a R a a ∈⊕=;
③对任
意
,
,
,
()
a b c R a b c c a b
∈
⊕
⊕
=⊕+
⊕
+;函数1()(0)f x x x x
=⊕>的最小值为
A .4
B .3 C
. D .1
二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分. (一)必做题(9~13题)
9.不等式4|||2|≥++x x 的解集是__▲__.
10. 2个好朋友一起去一家公司应聘,公司人事主管通知他们面试时间时说:“我们公司要从面试的人中招3个人,你们都被招聘进来的概率是70
1” .根据他的话可推断
去面试的人有__▲__个(用数字作答). 11.若圆2
2
104
x y m x ++-=与直线1y =-相切,其圆心在y 轴的左侧,则m =__▲
__.
12.在A B C ?
中,AC =,BC =2,?=∠60B ,则A B C ?的面积等于__▲__.
13.已知不等式组???
???
?≥-≤+≥
≥
a
y x y x y x ,2,0,0表示一个三角形区域(包括三角形的内部及边界),则实数a
的取值范围为__▲__.
( ) ▲
14.(坐标系与参数方程选做题) 已知直线113:(24x t l t y t
=+??
=-?为参数)与直线2:245
l x y -=相交于点B ,又点(1,2)A ,则AB =__▲__.
15.(几何证明选讲选做题)如图4,已知圆O 的半径为2,从圆O
外一点A 引切线A B 和割线A D ,C 为AD 与圆O 的交点,圆心O 到A D
AB =
A C 的长为__▲__.
三、解答题:本大题共6小题,满分80分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分12分)
已知函数)0,0)(4sin()(π??<<>+=A x A x f 在16
x π
=时取得最大值2.
(1)求()f x 的最小正周期; (2)求()f x 的解析式;
(3)若,02πα??∈-????,1
64165f πα??+= ???
,求sin 24πα??- ???的值.
17.(本小题满分13分)
因台风灾害,我省某水果基地龙眼树严重受损,为此有关专家提出两种拯救龙眼树的方案,每种方案都需分四年实施.若实施方案1,预计第三年可以使龙眼产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.3、0.3、0.4;第四年可以使龙眼产量为第三年产量的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.5、0.5.若实施方案2,预计第三年可以使龙眼产量达到灾前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.3、0.5;第四年可以使龙眼产量为第三年产量的1.2倍、1.0倍的概率分别是0.4、0.6.实施每种方案第三年与第四年相互独立,令()1,2i i ξ=表示方案i 实施后第四年龙眼产量达到灾前产量的倍数.
(1)写出ξ1、ξ2的分布列;
(2)实施哪种方案,第四年龙眼产量超过灾前产量的概率更大?
(3)不管哪种方案,如果实施后第四年龙眼产量达不到、恰好达到、超过灾前产量,预计利润分别为10万元、15万元、20万元.问实施哪种方案的平均利润更大?
18.(本小题满分13分)
如图5,P A 垂直⊙O 所在平面ABC ,AB 为⊙O 的直径,P A =AB ,
14
BF BP =
,C
是弧AB 的中点.
(1)证明:BC ⊥平面PAC ; (2)证明:CF ⊥BP ;
(3)求二面角F —OC —B 的平面角的正弦值.
19. (本小题满分14分)
已知椭圆2212
2
:
1(0)x y C a b a
b
+
=>>的离心率为3
e =
,直线:2l y x =+与以原点
为圆心、以椭圆1C 的短半轴长为半径的圆O 相切.
(1)求椭圆C 1的方程;
(2)设椭圆1C 的左焦点为1F ,右焦点为2F ,直线1l 过点1F ,且垂直于椭圆的长轴,动直线2l 垂直于1l ,垂足为点P ,线段2P F 的垂直平分线交2l 于点M ,求点M 的轨迹2C 的方程;
(3)设2C 与x 轴交于点Q ,不同的两点R 、S 在2C 上,且满足0=?RS QR ,求||
Q S
的取值范围.
20.(本小题满分14分)
已知S n 是数列{}n a 的前n 项和,且11=a ,)(2*
1N n S na n n ∈=+.
(1)求234,,a a a 的值; (2)求数列{}n a 的通项n a ; (3)设数列{}n b 满足2
1111,2
n n n k
b b b b a +==
+,求证:当n k ≤时有1n b <.
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D
C
A
B
B
C
A
B
7A 解析:侧视图的底边长为边长为1的正三角形的高,长度为2a
=
=
12
2
4
S
=?=
8B 解析:根据条件③,对于任意的,,a b c 有()()()()2a b c c ab a c b c c ⊕⊕=⊕+⊕+⊕-, ∴取0c =得()00()(0)(0)20a b ab a b ⊕⊕=⊕+⊕+⊕-?得①②得00a a a ⊕=⊕=对任意实数a 都成立,代入上式得:a b ab a b ⊕=++这就是运算⊕的定义,将其代入题目检验符合①②③,
∴1111()113f x x x x x x x
x
x
=⊕
=?
++
=+
+≥=,当且仅当1x =时“=”成立,
即函数1()(0)f x x x x
=⊕>的最小值为3.
二、填空题
9. (][)+∞-∞-,13, 10. 21 11. 12.
2
13. (,2][0,2)-∞- 14. 52
15. 3
三、解答题
16.(本小题满分12分) 解:(1)()f x 的最小正周期为242
T ππ
=
= (2分)
(2)由()f x 的最大值是2知,2A =, (3分)
又()2sin 421616m ax f x f ππ?????==?+=
? ?????,即sin 14π???
+= ???, (4分)
∵0?π<<,∴
544
4
π
π
π?<
+<
,∴
4
2
π
π
?+=
,∴4
π
?=
(5分)
∴()2sin(4)4
f x x π
=+
(6分)
(3)由(2)得116
2sin 44
164
1645
f ππ
παα????
??+
=++= ? ?????????, 即3sin()25
π
α+
=
,∴3cos 5
α=, (7分)
∵,02πα??
∈-????
,∴4sin 5α===- (8分)
∴4324
sin 22sin cos 25525
ααα?
?==?-
?=- ?
?
? (9分) 2
2
37cos 22cos 121525αα??
=-=?-=- ???
(10分)
∴sin 2sin 2cos cos 2sin 444πππααα?
?-=- ??
?24725225250=-?+?=-
(12分)
17.(本小题满分13分) 解:(1)ξ1的分布列为
ξ1 0.8 0.9 1.0 1.125 1.25 P 1
0.2 0.15 0.35 0.15 0.15
(3分)
ξ2的分布列为
ξ2 0.8 0.96 1.0 1.2 1.44 P 2
0.3 0.2 0.18 0.24 0.08
(6分)
(2)由(1)可得ξ1>1的概率P (ξ1>1)= 0.15 + 0.15 = 0.3, (7分) ξ2>1的概率P (ξ2>1)= 0.24 + 0.08 = 0.32, (8分) ∵P (ξ2>1)>P (ξ1>1),∴实施方案2,第四年产量超过灾前概率更大. (9分) (3)设实施方案1、2的平均利润分别为利润A 、利润B ,根据题意,
利润A =(0.2 +0.15)×10 + 0.35×15 +(0.15 + 0.15)×20 = 14.75(万元) (10分) 利润B =(0.3 + 0.2)×10 + 0.18×15 + (0.24 + 0.08)×20 = 14.1(万元) (11分) ∵利润A >利润B ,∴实施方案1平均利润更大. (13分)
18.(本小题满分13分)
(1)证明:∵PA ⊥平面ABC ,BC ?平面ABC ,
∴BC ⊥P A . (1分) ∵∠ACB 是直径所对的圆周角,
∴90o A C B ∠=,即BC ⊥AC . (2分) 又∵P A A C A = ,∴BC ⊥平面PAC . (3分) (2)证明:∵PA ⊥平面ABC ,OC ?平面ABC ,
∴OC ⊥PA . (4分) ∵C 是弧AB 的中点, ∴?ABC 是等腰三角形,AC =BC , 又O 是AB 的中点,∴OC ⊥AB . (5分) 又∵P A A B A =
,∴OC ⊥
平面PAB ,又PB ?平面PAB ,
∴BP OC ⊥. (6分) 设BP 的中点为E ,连结AE ,则//O F AE ,AE BP ⊥
∴BP OF ⊥. (7分)
∵O C O F O = ,∴BP ⊥平面C FO . 又CF ?平面C FO ,∴CF
BP
⊥. (8分)
(3)解:由(2)知OC ⊥平面PAB ,∴OF OC ⊥,OC OB ⊥, (9分) ∴BOF ∠是二面角F O C B --的平面角. (10分) 又∵BP
OF
⊥,0
45
F B O
∠=,∴0
45
F O B
∠=, (12分)
∴sin 2
FO B ∠=
,即二面角F O C B
--
2
. (13分)
19.(本小题满分14分)
解:(1)由直线:2l y x =+与圆222x y b +=相切,
b =,
即b =
. (2分)
由3
e =
,得
22
2
213b e a
=-=
,所以a = (3分)
所以椭圆的方程是2
2
1:
13
2
x
y
C +
=. (4分)
(2)由条件,知2||||M F M P =,即动点M 到定点2F 的距离等于它到直线1:1l x =-的距离,由抛物线的定义得点M 的轨迹2C 的方程是x y 42
=. (7分)
(3)由(2),知(0,0)Q ,设22
1212,,,44y y R y S y ????
? ?????
, ∴222121
121,,,44y y y QR y RS y y ????-==-
? ?????
(8分)
由0=?RS QR ,得
()
()2
22
1
2
1
121016
y y
y y y y -+-= (9分)
∵12y y ≠,∴21116y y y ??
=-+ ??
?,
∴22
212
1
256323264y y y =++≥=,当且仅当212
1
256y y =
,即14y =±时等号成
立.
(11分)
又
||Q S =
=
(12分)
∵22
64y ≥,∴当2
2
64y =,即28y =
±时,min ||QS =
(13分)
故||Q S
的取值范围是)
?+∞?
. (14分)
20.(本小题满分14分)
解:(1)由111,2()n n a na S n N *+==∈得 2122a a == , (1分)
32123a S a a ==+=, (2分)
由43123322()a S a a a ==++得44a = (3分) (2)当1>n 时,由12n n na S += ① ,得1(1)2n n n a S --= ② (4分) ①-②得11(1)2()n n n n na n a S S +---=-,化简得1(1)n n na n a +=+,
∴11n n
a n a n
++=(1>n ). (5 分)
∴22=a ,
32
32
a a =
,……,
1
1n n a n a n -=
- (6 分)
以上(1n -)个式子相乘得n n n a n =-?
??
=1
2
32 (1>n ) (7 分)
又11=a ,∴()n a n n N *
=∈ (8 分)
(3)∵0>=n a n ,02
11>=
b ,n n k
n b b a b +=
+2
11,
∴{}n b 是单调递增数列,故要证:当n k ≤时,1n b <,只需证1k b <. (9分) (i )当1k =时 ,1112
b =<,显然成立; (10分)
(ii )当2k ≥时, ∵01>>+n n b b ,n n k
n b b a b +=
+2
11,
∴n n n n b b b k
b +<
++111,∴
1
111n n
b b k
+-
>-
. (11分)
∴
112232111
111111111k k k k k k k b b b b b b b b b b -----????????=-+-+-++-+
? ? ? ?????????
112k k k
k
-+>-+=
(12分)
∴11
k k b k <
<+. (13分)
综上,当n k ≤时有1n b <. (14分)
故所求a的取值范围是(]2,0.(14分
高三数学第一次月考试题(文科) 一、选择题(四个选项中只选一项,每小题5分,共60分) 1. 设集合V={1,2,3,4,5},A={1,2,3},B={2,5},则A ?(CuB )= ( ) A. {2} B. {2,3} C. {3} D.{1,3} 2. 已知P 是r 的充分不必要条件,S 是r 的必要条件,q 是s 的必要条件,那么p 是q 成立的 ( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 与曲线11 -=x y 关于位点对称的曲线为 ( ) A.x y +=11 B. x y +-=11 C. x y -=11 D. x y --=11 4. 若x x x f 1 )(-=则方程x x f =)4(的根是 ( ) A. 21 B. 2 1- C. 2 D. 2- 5. 等差数列{n a }中,24321-=++a a a ,78201918=++a a a ,则此数列前20项和等于 ( ) A. 160 B. 180 C. 200 D. 220 6. 若不等式2+ax <6的解集为(-1,2),则实数a 等于 ( ) A. 8 B. 2 C. -4 D.-8 7. 函数y=sin ))(6 ( )3 (R X x COS x ∈++-π π 的最小值等于 ( ) A. 5- B. 3- C. 2- D. 1- 8. 函数)1()1(2-+=x x y 在1=x 处的导数等于 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 5本不同的书,全部分给4名学生,每名学生至少1本不同分法的种数为 ( ) A. 480 B. 240 C. 120 D. 96 10. 椭圆14 22 =+y x 的两个焦点为F 1,F 2,过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交,一个交点为P 则||2PF = ( ) A. 2 3 B.3 C. 2 7 D.4 11. 已知点A(1,2)、B (3,1)则线段AB 的垂直平分线的方程是 ( ) A. 524=+y x B. 524=-y x C. 52=+y x D. 52=-y x 12. 四面体ABCD 四个面的重心分别为E 、F 、G 、H ,则四面体EFGH 的表面积与四面体ABCD 的表面积的比值是 ( ) A. 27 1 B. 16 1 C. 9 1 D. 8 1 二、填空题(每小题4分,共16分) 13. )1()2(210-+x x 的展开式中x 的系数为__________。(用数字作答) 14. 设x 、y 满足约束条件,?????≥≤≤+o y x y y x 1则y x z +=2的最大值是__________。 15. 某公司生产三种型号的轿车,产量分别为1200辆,6000辆和2000辆,为检验该公司的产品质量,现用分层抽样
银川一中2020届高三年级第四次月考 理 科 数 学 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.作答时,务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.设集合{1,2,4}A =,2{|40}B x x x m =-+=,若}1{=B A I ,则B = A .{}1,3- B .{}1,0 C .{}1,3 D .{}1,5 2.设复数1z ,2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称,13z i =+,则12z z = A .10 B .9i -- C .9i -+ D .-10 3.已知向量)4,(),3,2(x b a ==,若)(b a a -⊥,则x = A . 2 1 B .1 C . 2 D .3 4.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若3623a a +=,535S =,则{}n a 的公差为 A .2 B .3 C .6 D .9 5.已知m ,n 是空间中两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列说法正确 的是( ) A .若βαβα//,,??n m ,则n m // B .若βαα//,?m ,则β//m C. 若βαβ⊥⊥,n ,则α//n D .若βα??n m ,,l =βαI ,且l n l m ⊥⊥,,则βα⊥ 6.某学校计划在周一至周四的艺术节上展演《雷雨》,《茶馆》,《天籁》,《马蹄声碎》四部话剧,每天一部,受多种因素影响,话剧《雷雨》不能在周一和周四上演,《茶馆》不能在周一和周三上演,《天籁》不能在周三和周四上演,《马蹄声碎》不能在周一和周四上演,那么下列说法正确的是 A .《雷雨》只能在周二上演 B .《茶馆》可能在周二或周四上演 C .周三可能上演《雷雨》或《马蹄声碎》 D .四部话剧都有可能在周二上演 7.函数x e x f x cos )112 ( )(-+=(其中e 为自然对数的底数)图象的大致形状是