初二秋季班教学计划
说明：
每节课会有作业，必须认真完成，下节课讲评；
因式分解
(一)
学习指导
一、 准确理解因式分解的意义和要求
1. 作为结果的代数式必须是乘积形式，因此()()ma mb na nb m a b n a b -+-=-+-，
并不是因式分解。
2. 要分解到每个因式都不能再分解为止，每个因式的内部不再有括号，并且同类项合并呼
完毕，若有重因式应写成幂的形式，这些，统称分解彻底。
多项式所分解出的因式必须是整式，目前，如果没有特别说明，系数在有理数范围内分解，最后结果(连乘式)最前面的数字因数不再分解。
二、 建立合理的思考步骤
多项式的因式分解有许多方法，但对于一个具体的多项式，有许多方法是根本不适用的。因此，拿过一道题目，先试试这个方法，再试试那个办法.对于迅速解出题目，意义十分重大。
1. 先从大的方面着手，安排合理的思考程序，建议如下：
(1) 提取公因式；
(2) 观察项数、次数、运算符号；
(3) 分解彻底在分解出的每个因式化简整理后，把它作为一个新的多项式，再重复以上
程序进行思考，试探分解的可能性，直至不可能分解为止。
2. 对上述程序的每一个环节，再安排合理的思考程序及细致方法.
(二)
精选例题
【例题1】把下列各式因式分解
1. 2633a ab a ++
2.
211218n n n n x y x y --+
3. ()()()()2
m n p q n m q p -----
4.
()()()23
103020y x x y x y -----
说明
(1) 若多项式的次数比较混乱，先将多项式降幂排列。
(2) 公因式提取后，要把原多项式的各项都除以公因式，所以，多项式中的某一项作为公因
式提出后，在它的位置上应写“1”，而不是“0”。
(3) 第一项系数为负时，一般提出负系数，确保多项式首项系数为正。
(4) 有字母指数时，要分清它们的大小关系；为了避免算错，宜在草稿纸上另作指数的运算，如本例(2)的解法所示。
【例题2】把下列二项式因式分解 5. 22a b -
6.
227
149
x y -+ 7. ()2
145x --
8.
()
()2
2
223x y z x y z -+---
9. 33a b +
10. 664m -
11. 44
4a b +
12. 44
64x y +
说明
分解二项式(公因式已提取完毕)，思考程序是： (1) 考虑应用公式
(2) 22
a b ±公式，此时两项符号必须相反； (3) 33
a b ±，此时，若第一项为负，宜先提取﹣1；
(4) 考虑拆项添项，使得2项变为4项，利用2、2分组分解
(5) 考虑配方法，如本例(4)解法所示.这时，两项都应是4n 次幂，符号相同(都是负项时，
先提﹣1)，当两项系数的比值(指大：小)不超过1000时，系数比必须是4:1或64:1或324:1。
【例题3】把下列三项式因式分解： 13. 225724x xy y -+- 14. 2243828a b a b b --
15. ()()2
2
23238x
x x x +-+-
16.
()
()()2
2
2244x y x y x y +--+-
17. 4224134a a b b -+
18. 42247m m n n -+
【例题4】把下列四项式因式分解：
19. 22
24a a b b -+-
20. 222
1x y xy --+
21. 2
2
12x y y --+
22. 232
444m mn m m n ---
23. 1x y xy +++
24. 6432ab a b -+-
25.
()()()()1a b x y a b x y ++-+-++
26. 321268x x x +--
【例题5】把下列五项式因式分解： 27. 2281628a ab b a b -+-+
28. 3223x x xy y y ----
29. 22628x x y y --++* 30. 224321x xy y y -++-*
【例题6】把下列六项式因式分解： 31. mx my x y z mz +---+
32. 222
122m n p np m --+--
33. 42332
22a a a ab ab ab --++-
34. 3
2
3
2
22x x x y y y --++-
35. 2
2
4422x xy y x y -+-+-
36.
222222a b c ab bc ac +++++
【例题7】换元法 37. ()()4
2424310x
x x x +-+++
38.
()2
2223122331x x x x -+-+-
39. ()()()()12348x x x x ++++-
40.
()()2
254272x
x x x -+---
41. ()
22
2013201312013x x ---
42.
()()()
2
221x y xy x y xy +-+-+-
【自学】双十字相乘法
在分解二次三项式时，十字相乘是常用的基本方法。对于比较复杂的多项式，尤其是某些二元二次六项式也可以运用十字相乘法分解因式。例如：
222372x xy y x y ---+-
显然这个多项式不是一个简单的二次三项式，但仍然可以看做关于x 的二次三项式，即：
()()2221372x y x y y -+--+，先利用十字相乘法，将不含x 的常数项2372y y -+进行
分解，再利用十字相乘法对关于的二次三项式进行分解：
步骤①
31
2
y
y -- 步骤②
()
()
312x y x
y --+-
()()312______________y x y x --+-=
所以，原式＝()()()()312312x y x y x y x y --+-=-++-????????
上题两次实施十字相乘法，如果把这两个步骤合并成一次完成，就是双十字相乘法：
31
2
x y x
y
-+
双十字相乘法的一般步骤是：
(1) 用十字相乘法分解由前三项组成的二次三项式，得到一个十字相乘图；
(2) 把常数项分解成两个因式填在第二个十字右边，且使这两个因式在第二个十字中交叉之
积的和，等于原式中含y 的一次项，同时还必须与第一个十字中左端的两个因式交叉之积的和，等于原式中含x 的一次项。 【例题8】
43. 2231092x xy y x y --++-
44. 224434103x xy y x y ---+-
45. 22
534x y x y -+++
46. 2
2xy y x y ++--
【例题9】
47. 已知：a b c 、、为三角形的三条边，且222
433720a ac c ab bc b ++--+=，求证：
2b a c =+
48. 若22
610340x y x y +-++=，求x y +的值。
49. 试判断当x 为何正整数时，代数式421x x ++的值是素数。在1~100之间存在整数n ，
使得2x x n +-能分解成两个整系数一次式的乘机，这样的n 有多少个？
50. 已知在△ABC 中，222166100a b c ab bc --++=（a b c 、、是三条边长），求证：
2a c b +=。