§7.2一元二次不等式及其解法
1．会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型．
2．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．
3．会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．
一元二次不等式的解法是高考必考内容之一，常与函数、数列、平面向量、解析几何、导数等综合起来命题．小题易出现考查“三个二次”关系的题目，多与函数图象及性质、数列、导数等综合考查；解答题中易出现需要分类与整合的含参数的一元二次不等式的综合题，着重考查分类与整合思想．
1．解不等式的有关理论
(1)若两个不等式的解集相同，则称它们是；
(2)一个不等式变形为另一个不等式时，若两个不等式是同解不等式，这种变形称为不等式的；
(3)解不等式变形时应进行同解变形；解不等式的结果，一般用集合表示．
2．一元一次不等式解法
任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax＞b(a≠0)的形式．
当a＞0时，解集为；当a＜0时，解集为．
若关于x的不等式ax>b的解集是R，则实数a，b满足的条件是．
3．一元二次不等式及其解法
(1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为__________不等式．
(2)使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的________．
(3)若一元二次不等式经过同解变形后，化为一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(或ax2＋bx＋c＜0)(其中a ＞0)的形式，其对应的方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根x1，x2，且x1＜x2(此时Δ＝b2－4ac＞0)，则可根据“大于号取，小于号取”求解集．
(4)解一元二次不等式见下表：
函数与不等式Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
二次函数
y＝ax2＋bx＋c
(a＞0)的图象
一元二次方程
ax2＋bx＋c＝0
(a＞0)的根
有两相
异实根
x1，x2
(x1＜x2)
有两相等实
根
x1＝x2
＝－
b
2a
无实根
ax2＋bx＋c＞0
(a＞0)的解集
(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)R
ax2＋bx＋c＜0
(a＞0)的解集
(Ⅳ)
{x|x1＜x
＜x2}
(Ⅴ)(Ⅵ)
4.分式不等式解法
(1)化分式不等式为标准型．方法：移项，通分，右边化为0，左边化为
f（x）
g（x）
的形式．
(2)将分式不等式转化为整式不等式求解，如：
f（
x）
g（x）
＞0?f(x)g(x)＞0；
f（x）
g（x）
＜0 ?f(x)g(x)＜0；
f（x）
g（x）
≥0 ?
??
?
??f（x）g（x）≥0，
g（x）≠0；
f（x）
g（x）
≤0 ?
??
?
??f（x）g（x）≤0，
g（x）≠0.
【自查自纠】
1．(1)同解不等式(2)同解变形
2.
?
?
?
?
?
?
x|x＞b a
?
?
?
?
?
?
x|x＜b a a＝0，b＜0
3．(1)一元二次(2)解集(3)两边中间
(4)(Ⅰ){}
x|x＜x1或x＞x2
(Ⅱ)
?
?
?
?
?
?
x??x≠－
b
2a
(Ⅵ)
若0＜a＜1，则不等式(x－a)????
x－
1
a＜0的解是()
A．a＜x＜
1
a B．
1
a＜x＜a
C．x＞
1
a或x＜a D．x＜
1
a或x＞a
解：∵0＜a ＜1，∴a ＜1
a
，解应当在“两根之间”，
得a ＜x ＜1
a
.故选A.
已知集合M ＝{－1，1}，N ＝
????
??x |14＜2x －
1＜2，x ∈Z ，则M ∩N ＝( ) A ．{－1，1} B ．{－1} C ．{1} D ．{－1，0}
解：由14
＜2x －1＜2，得2－2＜2x －
1＜21，－2＜x －1
＜1，即－1＜x ＜2，又x ∈Z ，所以x 为0，1，N ＝{0，1}，M ∩N ＝{1}．故选C.
已知－12<1
x
<2，则x 的取值范围是( )
A ．－2 B ．－1 2 C ．x <－12或x >2 D ．x <－2或x >1 2 解：当x >0时，x >1 2 ；当x <0时，x <－2. 所以x 的取值范围是x <－2或x >1 2 ，故选D . 不等式1－2x x ＋1 ＞0的解集是 ． 解：根据分式不等式的转化结论：a b ＞0? ab ＞0， 知不等式1－2x x ＋1>0等价于(1－2x )(x ＋1)＞0， 也就是????x －12(x ＋1)＜0，所以－1＜x ＜12 . 故填???? ?? x |－1＜x ＜12，x ∈R . 设f (x )＝x 2＋bx ＋1且f (－1)＝f (3)，则f (x )>0的解集为 ． 解：f (－1)＝1－b ＋1＝2－b ，f (3)＝9＋3b ＋1＝10＋3b ， 由f (－1)＝f (3)，得2－b ＝10＋3b ， 解出b ＝－2，代入原函数，f (x )>0即x 2－2x ＋1>0， x 的取值范围是x ≠1.故填{x |x ≠1，x ∈R }． 类型一 一元一次不等式的解法 已知关于x 的不等式(a ＋b )x ＋2a －3b ＜ 0的解集为? ???－∞，－1 3，求关于x 的不等式(a －3b )x ＋b －2a ＞0的解集． 解：由(a ＋b )x ＜3b －2a 的解集为? ???－∞，－1 3， 得a ＋b ＞0，且3b －2a a ＋b ＝－1 3， 从而a ＝2b ，则a ＋b ＝3b ＞0，即b ＞0， 将a ＝2b 代入(a －3b )x ＋b －2a ＞0， 得－bx －3b ＞0，x ＜－3， 故所求解集为(－∞，－3)． 【评析】一般地，一元一次不等式都可以化为ax ＞b (a ≠0)的形式．挖掘隐含条件a ＋b ＞0且3b －2a a ＋b ＝ －1 3是解本题的关键． 解关于x 的不等式：(m 2－4)x ＜m ＋2. 解：(1)当m 2－4＝0即m ＝－2或m ＝2时， ①当m ＝－2时，原不等式的解集为， ②当m ＝2时，原不等式的解集为R . (2)当m 2－4＞0即m ＜－2或m ＞2时，x ＜1 m －2. (3)当m 2－4＜0即－2＜m ＜2时，x ＞1 m －2 . 类型二 一元二次不等式的解法 解下列不等式： (1)x 2－7x ＋12＞0; (2)－x 2－2x ＋3≥0； (3)x 2－2x ＋1＜0; (4)x 2－2x ＋2＞0. 解：(1)方程x 2－7x ＋12＝0的解为x 1＝3，x 2＝4. 而y ＝x 2－7x ＋12的图象开口向上，可得原不等式x 2－7x ＋12＞0的解集是{x |x ＜3或x ＞4}． (2)不等式两边同乘以－1，原不等式可化为x 2＋2x －3≤0. 方程x 2＋2x －3＝0的解为x 1＝－3，x 2＝1. 而y ＝x 2＋2x －3的图象开口向上，可得原不等式－x 2－2x ＋3≥0的解集是{x |－3≤x ≤1}． (3)方程x 2－2x ＋1＝0有两个相同的解x 1＝x 2＝1. 而y ＝x 2－2x ＋1的图象开口向上，可得原不等式x 2－2x ＋1＜0的解集为. (4)因为Δ＜0，所以方程x 2－2x ＋2＝0无实数解，而y ＝x 2－2x ＋2的图象开口向上，可得原不等式x 2－2x ＋2＞0的解集为R . 【评析】解一元二次不等式的步骤：(1)将二次项系数化为正数；(2)解相应的一元二次方程；(3)根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；(4)写出不等式的解集．容易出现的错误有：①未将二次项系数化正，对应错标准形式；②解方程出错；③结果未按要求写成集合． (2013· 金华十校联考)已知函数f (x )＝? ????－x ＋1，x ＜0，x －1，x ≥0， 则不等式x ＋(x ＋1)f (x ＋1)≤1的解集是( ) A ．{x |－1≤x ≤2－1} B ．{x |x ≤1} C ．{x |x ≤2－1} D ．{x |－2－1≤x ≤2－1} 解：由题意得不等式x ＋(x ＋1)f (x ＋1)≤1等价于 ①?????x ＋1＜0，x ＋（x ＋1）[－（x ＋1）＋1]≤1 或 ②? ????x ＋1≥0，x ＋（x ＋1）[（x ＋1）－1]≤1， 解不等式组①得x ＜－1； 解不等式组②得－1≤x ≤2－1. 故原不等式的解集是{x |x ≤2 －1}．故选C. 类型三 二次不等式、二次函数及二次方程的 关系 已知关于x 的不等式x 2－bx ＋c ≤0的解集 是{x |－5≤x ≤1}，求实数b ，c 的值． 解：∵不等式x 2－bx ＋c ≤0的解集是{x |－5≤x ≤1}， ∴x 1＝－5，x 2＝1是x 2 －bx ＋c ＝0的两个实数根， ∴由韦达定理知? ????－5＋1＝b ，－5×1＝c ，∴?????b ＝－ 4， c ＝－5. 【评析】已知一元二次不等式的解集，就能够得到相应的一元二次方程的两根，由根与系数的关系，可以求出相应的系数． 已知不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为 {x |2＜x ＜3}，求不等式cx 2－bx ＋a ＞0的解集． 解：由题意知2和3是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，因为不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x |2＜x ＜3}，所以a ＜0，由根与系数的关系得 ?????－b a ＝2＋3，c a ＝2×3，a ＜0. 即???? ?b ＝－5a ， c ＝6a ，a ＜0. 代入不等式cx 2 －bx ＋a ＞0， 得6ax 2＋5ax ＋a >0(a ＜0)． 即6x 2＋5x ＋1＜0， ∴所求不等式的解集为??? ? ??x |－12 ＜x ＜－13. 类型四 含有参数的一元二次不等式 解关于x 的不等式：mx 2－(m ＋1)x ＋1＜0. 解：(1)m ＝0时，不等式为－(x －1)＜0，得x －1＞0，不等式的解集为{x |x ＞1}； (2)当m ≠0时，不等式为m ????x －1 m (x －1)＜0. ①当m ＜0，不等式为??? ?x －1 m (x －1)＞0， ∵1m ＜1，∴不等式的解集为???? ?? x |x ＜1m 或x ＞1. ②当m ＞0，不等式为????x －1 m (x －1)＜0. (Ⅰ)若1 m ＜1即m ＞1时， 不等式的解集为???? ?? x |1m ＜x ＜1； (Ⅱ)若1 m ＞1即0＜m ＜1时， 不等式的解集为??? ? ??x |1＜x ＜1m ； (Ⅲ)若1 m ＝1即m ＝1时，不等式的解集为. 【评析】当x 2的系数是参数时，首先对它是否为零进行讨论，确定其是一次不等式还是二次不等式，即对m ≠0与m ＝0进行讨论，这是第一层次；第二层次：x 2的系数正负(不等号方向)的不确定性，对m ＜0 与m ＞0进行讨论；第三层次：1 m 与1大小的不确定性， 对m ＜1 、m ＞1与m ＝1进行讨论． 解关于x 的不等式ax 2－2≥2x － ax (a ∈R )． 解：不等式整理为ax 2＋(a －2)x －2≥0， 当a ＝0时，解集为(－∞，－1]． 当a ≠0时，ax 2＋(a －2)x －2＝0的两根为－1，2 a ， 所以当a ＞0时，解集为(－∞，－1]∪????2a ，＋∞； 当－2＜a ＜0时，解集为??? ?2 a ，－1； 当a ＝－2时，解集为{x |x ＝－1}； 当a ＜－2时，解集为? ?? ?－1，2a . 类型五 分式不等式的解法 (1)解不等式x －1 2x ＋1 ≤1. 解：x －12x ＋1≤1 ? x －12x ＋1－1≤0 ? －x －22x ＋1 ≤0 ? x ＋2 2x ＋1 ≥0. 解法一：x ＋2 2x ＋1≥0 ? ?????（x ＋2）（2x ＋1）≥0，2x ＋1≠0. 得{x|x ＞－1 2 或x ≤－2}． 解法二：x ＋2 2x ＋1≥0 ? ?????x ＋2≥0，2x ＋1＞0 或 ?????x ＋2≤0，2x ＋1＜0. 得{x|x ＞－1 2 或x ≤－2}． ※(2)不等式x －2 x 2＋3x ＋2＞0的解集是 ． 解：x －2x 2＋3x ＋2＞0? x －2 （x ＋2）（x ＋1） ＞0? (x －2)(x ＋2)(x ＋1)＞0， 数轴标根得{x |－2＜x ＜－1或x ＞2}， 故填{x|－2＜x ＜－1或x ＞2}． 【评析】分式不等式可以先转化为简单的高次不等式，再利用数轴标根法写出不等式的解集，如果该不等式有等号，则要注意分式的分母不能为零．※用“数轴标根法”解不等式的步骤：(1)移项：根据不等式的性质对不等式进行移项，使得右端为0，化为不等式的标准形式(注意：一定要保证x 的最高次幂的项的系数为正数)．(2)求根：就是求出不等式所对应的方程的所有根．①若是整式不等式，将其分解因式，求出所有根；②若是分式不等式，用积和商的符号法则，将其转化为整式不等式，再求出所有根．(3)标根：在数轴上按从左到右(由小到大)依次标出各根(不需标出准确位置，只需标出相对位置即可)．(4)画穿根线：从数轴“最右根”的右上方向左下方画线，穿过此根，再往左上方穿过“次右根”，一上一下依次穿过各根．但画线时遇偶重根不穿过(即线画至此根时，不穿过此根，而向左依次穿过其余的根)，遇奇重根要穿过．可用口诀：“奇穿偶不穿”来记忆．(5)写出不等式的解集：若不等号为“＞”，则取数轴上方穿根线以内的范围；若不等号为“＜”，则取数轴下方穿根线以内的范围；若不等式中含有“＝”号，就连根一同取，但若是分式不等式，写解集时要考虑分母不能为零． (1)若集合A ＝{x |－1≤2x ＋1≤3}，B ＝ ???? ??x | x －2x ≤0，则A ∩B ＝( ) A ．{x |－1≤x ＜0} B ．{x |0＜x ≤1} C ．{x |0≤x ≤2} D ．{x |0≤x ≤1} 解：易知A ＝{x |－1≤x ≤1}，B 集合就是不等式组? ????x （x －2）≤0，x ≠0 的解集，求出B ＝{}x |0＜x ≤2，所以A ∩B ＝{x |0＜x ≤1}．故选B. (2)(2012·重庆)不等式x －1 2x ＋1 ≤0的解集为( ) A.????－1 2，1 B.??? ?－1 2，1 C.? ???－∞，－1 2∪[1，＋∞) D.? ???－∞，－1 2∪[1，＋∞) 解：x －1 2x ＋1≤0? ?????（x －1）（2x ＋1）≤0，2x ＋1≠0 得－1 2 类型六 和一元二次不等式有关的恒成立问题 (1)若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切 x ∈??? ?0，1 2成立，则a 的最小值为( ) A ．0 B ．－2 C ．－5 2 D ．－3 解法一：不等式可化为ax ≥－x 2－1， 由于x ∈????0，12， ∴a ≥－??? ?x ＋1x . ∵f (x )＝ x ＋1x 在??? ?0，1 2上是减函数， ∴????－x －1x max ＝－52.∴a ≥－52. 解法二：令f (x )＝x 2＋ax ＋1，对称轴为x ＝－a 2 . ①?????－a 2≤0，f （0）≥0 ? a ≥0.(如图1) ②???0＜－a 2＜1 2 ， f ????－a 2≥0 ?－1＜a ＜0.(如图2) ③???－a 2≥1 2，f ???? 12≥0 ?－52≤a ≤－1.(如图 3) 图1 图2 图3 综上 ①②③，a ≥－5 2 .故选C.
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